INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO FACULTAD DE … · Determine los siguientes límites...
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INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y APLICADAS JEFATURA DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS BÁSICAS
TALLER 2 CÁLCULO DIFERENCIAL
EJE TEMÁTICO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD1 OBJETIVO Comprender y aplicar el concepto de límite, sus operaciones y propiedades para dar solución a situaciones en distintos contextos.
1. Aplicando las propiedades, evalúe el límite indicado, si existe
A. lim
𝑥→3(2𝑥 + 8)
B. lim𝑥→2
(3𝑥2 − 5𝑥 + 2)
C. lim𝑥→−1
√2
D. lim𝑥→3
𝑥52
E. lim𝑥→−2
𝑥2+8𝑥−3
𝑥−5
F. lim𝑥→−2
√𝑥53
G. lim𝑥→0
𝑥+2
3𝑥+4
H. lim𝑥→√5
(2√5 + 𝑥)
I. lim𝑥→3
(3𝑥 − 5)4
J. lim𝑥→−1
(𝑥2 + 1)(1 − 2𝑥)2
K. lim𝑥→0
(4 +1
3𝑒𝑥)
L. lim𝑥→𝜋
(𝑐𝑜𝑠3𝜋 − 𝑡𝑎𝑛𝜋
4)
M. lim𝑥→1
(4 − log5 𝑥)
N. lim𝑥→1
𝑙𝑛𝑥
𝑥
2. Si lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) =−3
2 lim
𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = −1 y lim ℎ(𝑥) =
𝑥→𝑎
1
5 determine el valor de:
A. lim
𝑥→𝑎−4𝑓(𝑥)
B. lim𝑥→𝑎
[1
3ℎ(𝑥) − 𝑓(𝑥)]
1 Ejercicios seleccionados por Sergio Alarcón Vasco y María Cristina González Mazuelo,
profesores de la Facultad de Artes y Humanidades del ITM.
C. lim𝑥→𝑎
[𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)]
D. lim𝑥→𝑎
[𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)]
2
E. lim𝑥→𝑎
[2ℎ(𝑥)𝑔(𝑥)]
F. lim𝑥→𝑎
[1
3ℎ(𝑥) − 𝑓(𝑥)]
G. lim𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]2
H. lim𝑥→𝑎
−3
2√ℎ(𝑥)
3. Evalúe los siguientes límites:
A. lim𝑥→0
𝑥4−3𝑥2
𝑥2
B. lim𝑥→3
𝑥−3
𝑥2−7𝑥+12
C. lim𝑥→1
𝑥3−1
𝑥−1
D. lim𝑥→0
𝑥4−3𝑥2
𝑥2
E. lim𝑥→4
𝑥−4
𝑥2−𝑥−12
F. lim𝑥→1
𝑥2−1
𝑥2−3𝑥+2
G. lim𝑥→2
𝑥−2
𝑥3−8
H. lim𝑥→4
√𝑥−2
𝑥−4
I. lim𝑥→2
𝑥2−2𝑥
𝑥2−4
J. lim𝑡→6
𝑡−6
√2𝑡−3−3
K. lim𝑝→−5
2𝑝2+9𝑝−5
𝑝2−3𝑝−40
L. lim𝑥→0
(𝑥−1)2−1
𝑥
M. limℎ→0
(ℎ−5)2−25
ℎ
N. lim𝑡→0
√2−𝑡−√2
𝑡
O. lim𝑥→1
[1
𝑥−1−
2
𝑥2−1]
P. lim𝑥→0
𝑥
√𝑥+3−√3
Q. lim𝑥→0
1−√1+𝑥
𝑥
R. lim𝑥→2
1
𝑥 −
1
2
𝑥−2
S. limℎ→0
(3+ℎ)−1−3−1
ℎ
T. lim𝑡→0
1
𝑡√1+𝑡−
1
𝑡
U. lim𝑥→0
√3+𝑥−√3
𝑥
V. lim𝑥→0
1
4+𝑥 −
1
4
𝑥
W. lim𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
X. lim𝑥→𝜋
1+𝑐𝑜𝑠2𝑥
1+𝑐𝑜𝑠𝑥
Y. lim𝑥→0
𝑒2𝑥−1
𝑒𝑥−1
Z. lim𝑥→0
1+2𝑒𝑥
1+8𝑒3𝑥
AA. lim𝑢→−2
𝑢2−𝑢𝑥+2𝑢−2𝑥
𝑢2−𝑢−6
BB.lim𝑥→𝜋
2𝑥2−6𝑥𝜋+4𝜋2
𝑥2−𝜋2
4. Determine los siguientes límites trigonométricos.
A. lim𝑥→𝜋
4⁄𝑠𝑒𝑐3𝑥
B. lim𝑥→−2𝜋
3⁄𝑡𝑎𝑛4𝑥
C. lim𝑥→𝜋
𝑠𝑒𝑛2𝑥−1
𝑠𝑒𝑛 𝑥−1
D. lim𝑥→𝜋
4⁄
𝑠𝑒𝑛 𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝑥
1−𝑡𝑎𝑛 𝑥
E. lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 (5𝑥)
𝑥
F. lim𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠( 𝑥
3)
𝑥
G. lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
H. lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑥2
3
I. lim𝑦→0
1−𝑐𝑜𝑠 2𝑦
𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑦
J. lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 (𝑥+1)
𝑥2−1
K. lim𝑥→0
3
𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥
L. lim𝑥→0
𝑡𝑎𝑛 𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥2
M. lim𝑥→0
√𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝑥
N. limℎ→0
𝑐𝑜𝑠 (𝑥+ℎ)−𝑐𝑜𝑠 ℎ
ℎ
O. lim𝑥→0
1−√𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥2
P. lim𝑥→0
𝑥−𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
Q. lim𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠 𝑥
3𝑥2+2𝑥
R. lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 4𝑥
𝑐𝑜𝑠 3𝑥−1
S. lim𝑥→𝜋
𝑐𝑜𝑡 𝑥
T. lim𝑥→𝜋
4⁄
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥
5. Determine los siguientes límites trigonométricos, usando una sustitución idónea en cada
caso.
A. lim𝑥→𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥−𝜋
B. lim𝑥→𝜋
2⁄
𝑐𝑜𝑠 𝑥𝜋
2−𝑥
C. lim𝑥→−2
𝑡𝑎𝑛 𝜋𝑥
𝑥+2
D. lim𝑥→𝜋
2⁄
2𝑥−𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝑥
E. lim𝑥→𝜋
3⁄
1−2 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋−3𝑥
F. lim𝑥→𝜋
4⁄
𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥−𝜋
4
G. lim𝑥→𝜋
𝑥−𝜋
tan 2𝑥
H. lim𝑥→1
𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑥⁄ )
𝑥−1
I. lim𝑥→2
𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑥⁄ )
𝑥−2
6. Dadas las siguientes gráficas de funciones, determine los límites laterales en el punto
indicado y analice la existencia del límite.
A. B.
2en x
y
2 x
9
6
5en x
x5
y
4
4
C.
D.
E.
F.
G. H.
6xen
6
3
y
x
2
x
3en x
3
2
y
5
y
2en x
2x
1en x
1
y
x
1
2en x
x2
y y
x x
y
3en x
5
I.
J.
7. Dadas las siguientes funciones, evalúe la existencia del límite en el punto indicado
A.
33
32 2
xsix
xsixxxg en 3x
B.
12
11
1
2 xsixx
xsixxh en 1x
C.
22
21
xsi
xsixxf en 𝑥 = 2 y 𝑥 = 0
D.
342
312
xsix
xsixxg en 𝑥 = 3 y 𝑥 = −2
E. ℎ(𝑥) = {𝑥2 − 5𝑥 + 6 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝑎(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑎
𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎
F.
0cos
0
xsix
xsiexf
x
en 𝑥 = 0
G. 𝑔(𝑥) = {𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑖 𝑥 <
𝜋
4
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥𝜋
4
𝑒𝑛 𝑥 =𝜋
4
x
y
4en x
1
4
2
0en x
x
y
0x
6
H. ℎ(𝑥) = {𝑙𝑛(𝑥2 − 3) 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −2
1
𝑥2−3 𝑠𝑖 𝑥 < −2
𝑒𝑛 𝑥 = −2
8. Dada las siguientes funciones, determine el valor de 𝐴 para que el límite exista en el punto indicado.
A.
113
1
14
2
2
xsixx
xsiAx
xf 1xen
B.
320
3
xsi
xsiexg
Ax
3xen
9. Dada:
2
201
021
212
3
2
2
xsix
xsix
xsix
xsix
xf
Determinar:
A. lim𝑥→−2−
𝑓(𝑥)
B. lim𝑥→−2+
𝑓(𝑥)
C. lim𝑥→2−
𝑓(𝑥)
D. lim𝑥→2+
𝑓(𝑥)
E. ¿Existe xfLimx 0
? Justifique su respuesta.
10. Determine los límites infinitos que se presentan a continuación:
A. lim𝑥→−3
𝑥+2
𝑥+3
B. lim𝑥→4
𝑥
𝑥−4
C. lim𝑥→5
1
(𝑥−5)3
D. lim𝑥→−3
2𝑥2
9−𝑥2
E. lim𝑥→4
𝑥−2
𝑥2−6𝑥+8
F. lim𝑥→0
𝑥2−9
𝑥2−3𝑥
G. lim𝑢→2
−𝑢+2
(𝑢−2)2
H. lim𝑦→0
𝑦2−3
𝑦3+𝑦2
I. lim𝑥→4
𝑥2
𝑥2−16
J. lim𝑥→1
𝑥2+𝑥+1
𝑥3−1
K. lim𝑥→0
(1 +1
𝑥)
L. lim𝑠→3
(1
𝑠−3+
4
𝑠2−9)
M. lim𝑥→0
2−4𝑥2
8𝑥2 N. lim𝑥→6+
√𝑥2−36
𝑥−6
7
O. lim𝑤→−1
2𝑤
1−𝑤2 P. lim𝑦→3−
√9−𝑦2
𝑦−3
Q. lim𝑥→0
√3+𝑥2
𝑥2
R. lim𝑥→1
𝑥−1
√2𝑥−𝑥2−1
S. lim𝑥→3+
𝑙𝑛(𝑥2 − 9)
T. lim𝑥→0
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑒𝑥−1
U. lim𝑥→0
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 1
𝑐𝑜𝑠 𝑥−1
V. lim𝑥→
𝜋
4
𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥−√2
2
11. Calcule los siguientes límites al infinito:
A. lim𝑥→∞
6𝑥+3
2𝑥
B. lim𝑥→∞
√𝑥2 + 1
C. lim𝑥→−∞
𝑥3−5𝑥
2𝑥3−𝑥2+4
D. lim𝑦→−∞
2𝑦2+4
6𝑦4−5𝑦3+𝑦2
E. lim𝑢→∞
4𝑢2−10𝑢+6
(2𝑢−3)(2𝑢−2)
F. lim𝑡→∞
2𝑡3−1
5𝑡+3
G. lim𝑛→∞
𝑛(3𝑛+1)
𝑛2+5𝑛+6
H. lim𝑥→∞
𝑥+2
√9𝑥2+1
I. lim𝑦→−∞
√𝑦2+4
𝑦+4
J. limℎ→−∞
√25ℎ2+3
2−10ℎ
K. lim𝑥→−∞
2𝑥 −1
𝑥2
L. lim𝑢→∞
2𝑢2
𝑢−1−
3𝑢
𝑢+1
M. lim𝑥→∞
(2𝑥3+3𝑥2+1
4𝑥3+5𝑥2−2)
2
N. lim𝑥→−∞
(𝑥4 + 𝑥5)
O. lim𝑦→−∞
𝑦 + √𝑦2 + 3
P. lim𝑥→∞
√3𝑥2 + 𝑥 − 2𝑥
Q. lim𝑣→−∞
4𝑣 + √16𝑣2 + 2𝑣
R. limℎ→∞
√ℎ2 − ℎ − √ℎ2 + 9
S. lim𝑥→∞
√𝑥2 + 𝑎𝑥 − √𝑥2 + 𝑏𝑥
T. lim𝑥→∞
𝑒−𝑥2
U. lim𝑢→∞
𝑒3𝑢−𝑒−3𝑢
𝑒3𝑢+𝑒−3𝑢
12. Si 𝑓(𝑥) está representado por la siguiente gráfica:
56
2
x
1
3
y
3 2
8
Determine
A. lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥)
B. lim𝑥→−6−
𝑓(𝑥)
C. lim𝑥→−6+
𝑓(𝑥)
D. lim𝑥→−3−
𝑓(𝑥)
E. lim𝑥→−3+
𝑓(𝑥)
F. lim𝑥→5−
𝑓(𝑥)
G. lim𝑥→5+
𝑓(𝑥)
H. lim𝑥→∞
𝑓(𝑥)
I. ¿Existe el lim𝑥→1
𝑓(𝑥) ? Justifique su respuesta.
J. ¿Existe el lim𝑥→2
𝑓(𝑥) ? Justifique su respuesta.
K. ¿Existe el lim𝑥→5
𝑓(𝑥) ? Justifique su respuesta.
13. Sea 𝑔(𝑥) representada por:
A. ¿𝑥 = – 5 pertenece al dominio de 𝑔(𝑥)? Justifique su respuesta.
B. Determine lim𝑥→−5−
𝑔(𝑥) y lim𝑥→−5+
𝑔(𝑥)
C. ¿Existe el lim𝑥→5
𝑔(𝑥)?
D. ¿Puede afirmarse que la recta 𝑥 = – 5 es una asíntota vertical para el gráfico de la
función 𝑔(𝑥)? Justifique su respuesta.
x5
y
9
14. Sea ℎ(𝑥) representado por:
A. ¿𝑥 = 1 está en el dominio ℎ(𝑥)? Justifique su respuesta.
B. Determine lim𝑥→1−
ℎ(𝑥) y lim𝑥→1+
ℎ(𝑥)
C. ¿Existe el lim𝑥→1
ℎ(𝑥)?
D. ¿Puede afirmarse que en 𝑥 = 1 hay una asíntota vertical? Justifique su respuesta.
E. Determine lim𝑥→−∞
ℎ(𝑥) y lim𝑥→∞
ℎ(𝑥).
F. ¿Puede afirmarse que la recta 𝑦 = – 3 es una asíntota horizontal? Justifique su
respuesta.
15. Dadas las siguientes funciones, determine la posición de las asíntotas verticales y
horizontales, si las tiene:
A. 𝑓(𝑥) =𝑥−2
𝑥−4
B. 𝑔(𝑥) =−𝑥3+2𝑥+1
𝑥−3
C. ℎ(𝑥) =𝑥2−25
𝑥2−5𝑥
D. 𝑓(𝑥) =𝑥
(𝑥−1)2
E. 𝑔(𝑥) =1−3𝑥3
3𝑥3−6𝑥2+32
F. 𝑘(𝑥) =3𝑥+1
3𝑥2−5𝑥−2
G. ℎ(𝑥) =2𝑥2+3𝑥+1
3𝑥2−5𝑥+2
H. 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥2 + 𝑥3 − 3𝑥4
I. 𝑔(𝑥) =3𝑥2
𝑥2+2𝑥−15
J. ℎ(𝑥) =𝑥2−2𝑥+3
2𝑥2+5𝑥+3
K. 𝑘(𝑥) =1+2𝑥3
𝑥+1
L. 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥2)3
16. Proponga una gráfica para 𝑓(𝑥), tal que se cumplan las siguientes condiciones:
xfLimx
, 12
xfLimx
,
1
3
x
y
2
10
30
xfLimx
,
xfLimx 0
,
0
xfLimx
17. Proponga la expresión analítica de una función f(x) que cumpla las siguientes
condiciones.
xfLimx 5
y
xfLimx 5
18. Dadas las siguientes gráficas de funciones, analice la continuidad en el punto indicado.
4en x
5
x
y
4
1en x
x
2
1
y
4
x
y
6
5
5en x
2
x2
02en xyx
0
1
3
x
y
1eny3en xx
1
2
3
2
x
y
0en x
a. b.
c. d.
f.e.
11
19. Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado.
A. 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 – 6𝑥 + 1 𝑒𝑛 𝑥 = – 2
B. 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛 |3 − 𝑥| 𝑒𝑛 𝑥 = 3
C. 2
)(x
Tanxf en x y 4x
D. 63
12)(
x
xxf en 1x y 2x
𝑥 = 1 𝑠𝑖 𝑥 2
E. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑛 𝑥 = 2
2 𝑠𝑖 𝑥 > 2
𝑥2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 3
F. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑛 𝑥 = 3
2𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 > 3
G. )(xf4
2
x
x 𝑒𝑛 4x 𝑦 9x
1 + 𝑒𝑥 𝑠𝑖 𝑥 0
H. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑛 𝑥 = 0
𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0
20. En cada una de las siguientes funciones determine el valor que debe tomar 𝑎 para que
sean continuas en el punto indicado.
𝑎𝑥 – 3 𝑠𝑖 𝑥 < – 2
A. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑛 𝑥 = 2
3 − 𝑥 + 2𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 2
1 – 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 4
B. 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑛 𝑥 = 4
𝑎𝑥2 + 2𝑥 – 3 𝑠𝑖 𝑥 4
12
4
2
x
x 𝑠𝑖 1x
C. ℎ(𝑥) = 𝑒𝑛 1x
𝑎𝑥−3
5+𝑎𝑥2 𝑠𝑖 1x
21. En cada una de las siguientes funciones determine los valores que deben tomar 𝑎 y 𝑏,
para que sean continuas en el punto indicado.
A. 𝑓(𝑥) = {−2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
𝑎𝑥 − 𝑏 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 13 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
B. 𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥 + 2𝑏 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0𝑥2 + 3𝑎 − 𝑏 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 2
3 𝑥 − 5 𝑠𝑖 𝑥 > 2
C. ℎ(𝑥) = {𝑎𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 3𝑏 𝑠𝑖 𝑥 = 3−2𝑥 + 9 𝑠𝑖 𝑥 > 3
D. 𝑓(𝑥) = {𝑚𝑥 − 𝑛 𝑠𝑖 𝑥 < 15 𝑠𝑖 𝑥 = 12𝑚𝑥 + 𝑛 𝑠𝑖 𝑥 > 1
22. Con base en el teorema que se presenta a continuación, encontrar el límite de las
funciones dadas. “Teorema (Límite de una función compuesta): Si lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 y 𝑓
es continua en 𝐿, entonces lim𝑥→𝑎
𝑓( 𝑔(𝑥)) = 𝑓 (lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝐿).”
A. lim𝑥→𝜋
6⁄𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +
𝜋
3)
B. lim𝑥→𝜋2
𝑐𝑜𝑠√𝑥
C. lim𝑥→𝜋
2⁄𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)
D. lim𝑥→𝜋
2⁄(1 + 𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑜𝑠𝑥))
E. lim 𝑡→𝜋
𝑐𝑜𝑠 (𝑡2−𝜋2
𝑡−𝜋)
F. lim 𝑡→0
𝑡𝑎𝑛 (𝜋𝑡
𝑡2+3𝑡)
G. lim 𝑡→𝜋
√𝑡 − 𝜋 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡
H. lim 𝑡→1
(4𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑡)3
I. lim 𝑥→−3
𝑠𝑒𝑛−1 (𝑥+3
𝑥2+4𝑥+3)
J. lim 𝑥→𝜋
𝑒𝑐𝑜𝑠 3𝑥
13
23. Con base en el teorema que se presenta a continuación, analizar la continuidad de
las funciones dadas. “Teorema (Continuidad de una función compuesta): Si 𝑔 es
continua en 𝑎 y 𝑓 es continua en 𝑔(𝑎), entonces la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) =
𝑓(𝑔(𝑥)) es continua en 𝑎.”
A. ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)
B. 𝑣(𝑥) = ln (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
C. ℎ(𝑥) = √𝑥2 + 2
D. 𝑣(𝑥) = ln (𝑡4 − 1)
24. Dadas las siguientes funciones, demuestre que f es continua en el intervalo indicado.
A. 216)( xxf 𝑒𝑛 4,4
B. 1
1)(
xxf 𝑒𝑛 3,2
𝑥2 – 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
C. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑛 [0,2]
4 + 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 2
Bibliografía ALARCÓN, Sergio, GONZÁLEZ, Cristina y QUINTANA, Hernando, Cálculo Diferencial.
Límites y derivadas. Medellín, Colombia: ITM, 2008.
STEWART, James. Cálculo de una variable: Conceptos y contextos. Cuarta edición. México D.F.: Cengage Learning Editores, 2010.
THOMAS, George B. Cálculo de una variable. Decimosegunda edición. México: Addison-
Wesley, 2010. ZILL G., Dennis, WRIGHT, Warren S. Cálculo: Trascendentes tempranas. Cuarta edición.
México: Mc Graw-Hill, 2011.