II

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA

SECCION DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

COBERTURA DE INGRESOS CON OPCIONES DE VENTA SOBRE

LA MEZCLA MEXICANA, PERIODO 2008-2012

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO

EN CIENCIAS ECONÓMICAS (ECONOMÍA FINANCIERA)

P R E S E N T A:

M A T E O M A T E O E F R A I N

MÉXICO, D.F. NOVIEMBRE DE 2013

I

II

III

DEDICATORIA

La presente tesis se la dedico a mi familia que gracias a su apoyo pude concluir mi maestría.

A mis padres que gracias a su apoyo y sacrificios que hicieron

para que pudiera lograr mis sueños. A mi novia, por su paciencia y compresión, gracias por estar

siempre a mi lado.

A mis hermanos que gracias su ejemplo y su motivación ellos que siempre tuvieron una palabra de aliento en los

momentos difíciles.

IV

AGRADECIMIENTOS

Agradezco principalmente a Dios por darme el don de la vida, y darme la oportunidad de elegir mi camino y mis metas. A mis padres: Amelia Mateo Santiago y Epigmenio Mateo Escobar, por su apoyo moral y económico, en cada momento de mi vida A mi novia Jessica López Méndez, por estar a mi lado en los momentos felices y difíciles, y por motivarme día a día para alcanzar mis metas

A mis hermanos, por su apoyo y ejemplo de superación y perseverancia. A mi director de Tesis, el Dr. Ambrosio Ortiz Ramírez, por el apoyo moral e

intelectual, por compartir conmigo sus conocimientos, y todo lo aprendido durante la elaboración del trabajo, así como la supervisión, corrección y sugerencias para terminar la tesis.

A mi director de Tesis, el Dr. Adrián Hernández del valle, por creer en mí y

guiarme con sus conocimientos que han acumulado a lo largo del tiempo, así como la supervisión, corrección y sugerencias para terminar la tesis.

Al Dr. Francisco Venegas Martínez, por inducir en mi la sed y deseo del conocimiento, por motivarme desde la licenciatura a buscar la superación personal e intelectual, aun sin importar los obstáculos que nos ponga la vida, y que al final el único límite es el que uno mismo se proponga. A mis Sinodales, Alicia Bazarte Martínez, Salvador Cruz Aké, Miguel Flores Ortega por tomarse el tiempo de revisar mis avances de tesis y su valiosas sugerencias. A mis amigos de la especialidad en Finanzas, por compartirme parte de sus experiencias y vivencias, y por enfrentar a mi lado esos retos que compartimos juntos y que siempre estarán conmigo en mi corazón y mi mente.

A mis profesores de la Sección de Estudios de Posgrado, por compartirme sus

conocimientos y enseñanzas, la cual aplicare tanto en mi vida laboral como personal. Y al Instituto Politécnico Nacional, Por brinda el espacio y las herramientas

necesarias para poder desarrollarme como Maestro en Ciencias. Y por abrirme las puertas a La Escuela Superior de economía y darme una formación digna, de calidad y de primer nivel.

V

INDICE GENERAL

ÍNDICE DE TABLAS……………………………………………………………………………….....…..VII

ÍNDICE DE FIGURAS……………………………………………………………….........VIII GLOSARIO……....……….………………………….....……………………………………IX SIGLAS……………………..……...……………………………………………………..…..X RESUMEN…………….………………………………………………………………….…XII ABSTRACT……..…………………………………………………………………………..XIII INTRODUCCION….….……………………………………………………………………XIV

CAPÍTULO 1. LA IMPORTANCIA DE CUBRIR LOS INGRESOS PETROLEROS FEDERALES ...................................................................................... 1

1.1 Ingresos Petroleros ............................................................................... 2

1.1.1 Fondo de estabilización de los ingresos petroleros ............................... 3

1.2 Factores que determinan el precio del petróleo ..................................... 4

1.2.1 Extracción del petróleo ........................................................................... 7

1.2.2 Clasificación del petróleo ........................................................................ 9

1.2.3 Demanda de petróleo ........................................................................... 12

1.2.4 Oferta de petróleo................................................................................. 16

1.2.5 Precio de los hidrocarburos .................................................................. 20

1.3 Determinación Actual de la Mezcla Mexicana ...................................... 20

1.3.1 Precio Fiscal ......................................................................................... 20

1.3.2 Precio de mercado ............................................................................... 21

1.4 Derivados financieros ........................................................................... 22

1.4.1 Clasificación de los productos derivados .............................................. 22

1.5 El desarrollo de Futuros y Opciones petroleros .................................... 27

CAPÍTULO 2. SERIES DE TIEMPO .................................................................... 31

2.1 Procesos estocásticos .......................................................................... 31

2.2 Procesos estocásticos integrados ........................................................ 36

2.3 Pruebas de estacionariedad ................................................................. 37

2.4 Modelos ARIMA ................................................................................... 41

2.4.1 Proceso Autorregresivo (AR) ................................................................ 41

VI

2.4.2 Proceso de media móvil (MA) ............................................................. 46

2.4.3 Procesos autorregresivo integrados y de media móvil (ARIMA) ......... 51

2.5 Modelos GARCH .................................................................................. 54

2.5.1 Extensiones al modelo GARCH .............................................................. 58

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA ............................................................................. 65

3.1 Análisis de la Serie de tiempo .............................................................. 65

3.2 Modelo de Duan (1995) ........................................................................ 67

3.3 Simulación Monte Carlo (SMC) ............................................................ 71

3.4 Estimación de parámetros del modelo GARCH-M (1.1) ....................... 75

CONCLUSIONES ................................................................................................. 84

BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................... 86

APÉNDICE……….. ............................................................................................... 89

VII

ÍNDICE DE TABLAS

TABLA 1 CLASIFICACIÓN DEL PETRÓLEO TBP ................................................................... 9

TABLA 2. MÉXICO: DENSIDAD DE LOS CRUDOS DE EXPORTACIÓN ..................................... 10

TABLA 3. PRINCIPALES CONSUMIDORES (MBD) ................................................................ 15

TABLA 4. RESERVAS DE HIDROCARBUROS AL 1 DE ENERO DEL 2012 ................................ 19

TABLA 5. PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE LAS OPCIONES CALL. .................................. 25

TABLA 6. PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE LAS OPCIONES PUT. .................................... 26

TABLA 7. FACTORES TEÓRICOS DE FAC Y FACP. .......................................................... 52

TABLA 8. PARÁMETROS DEL MODELO GARCH-M (1,1) Y VOLATILIDAD DE LARGO PLAZO. .. 76

TABLA 9. PRECIO DE OPCIONES DE COMPRA Y VENTA AÑO 2009 ...................................... 76

TABLA 10. PRECIO DE OPCIONES DE COMPRA Y VENTA AÑO 2010 .................................... 77

TABLA 11. PRECIO DE OPCIONES DE COMPRA Y VENTA AÑO 2011 .................................... 78

TABLA 12. PRECIO DE OPCIONES DE COMPRA Y VENTA AÑO 2012 ................................... 79

TABLA 13. PRUEBA DE RAÍZ UNITARIA DE LA MME A PRIMERA DIFERENCIAS ...................... 89

TABLA 14. PRUEBA DE RAÍZ UNITARIA DE LA MME A PRIMERA DIFERENCIAS ...................... 90

VIII

INDICE DE FIGURAS

FIGURA 1. FUENTES DE INGRESOS .................................................................................. 1

FIGURA 2. PARTICIPACIÓN DE LOS INGRESOS PETROLEROS Y NO PETROLEROS EN LOS

INGRESOS FEDERALES ................................................................................... 2

FIGURA 3. PRECIOS HISTÓRICOS DE LOS PRINCIPALES CRUDOS: 2008-2012 ....................... 4

FIGURA 4. FACTORES QUE INFLUYEN EN LA DETERMINACIÓN DE LOS PRECIOS DEL PETRÓLEO

.................................................................................................................... 6

FIGURA 5. CONSUMO MUNDIAL DE ENERGÍA PRIMARIA, 1999-2009 .................................. 13

FIGURA 6. DEMANDA DE PETRÓLEO EN PAÍSES Y REGIONES SELECCIONADAS1999-2009

(MILES DE BARRILES DIARIOS) ...................................................................... 14

FIGURA 7. CLASIFICACIÓN DE LAS RESERVAS DE HIDROCARBUROS. .................................. 17

FIGURA 8. CAMINATA ALEATORIA SIN DERIVA. ................................................................. 34

FIGURA 9. CAMINATA ALEATORIA CON DERIVA. ................................................................ 35

FIGURA 10. CORRELOGRAMA (FAC) .............................................................................. 40

FIGURA 11. FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN (ACF). ...................................................... 43

FIGURA 12. FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN MA (1). .................................................... 48

FIGURA 13. PRECIOS DIARIOS DE LA MEZCLA MEXICANA DE EXPORTACIÓN 2008-2012. .... 65

FIGURA 14. MODELO VAR DE LA MME PARA EL AÑO 2009 ............................................. 66

FIGURA 15. SIMULACIÓN DE LOS RENDIMIENTOS DE 1t + A t k+ .................................... 72

FIGURA 16. OPCIONES DE VENTA P GH T=1, R=4%, K=75,σ =NA ................................. 80

FIGURA 17. OPCIONES DE VENTA P GH VS P B-ST=1. R=4%, K=80,σ = 35.75 ............... 80

FIGURA 18. OPCIONES DE VENTA P GH VS P B-S T=1T=1, R=4%, K=110,σ =30.78 ...... 81

FIGURA 19. OPCIONES DE VENTA P GH VS P B-S, T=1,R=4%, K=115,σ =29.51 ............ 81

FIGURA 20. OPCIONES DE COMPA C GH,T=1, R=4%, K=75,σ =NA ................................ 82

FIGURA 21. OPCIONES DE COMPRA C GH VS C B-ST=1, R=4%, K=80,σ = 35.75 ........... 82

FIGURA 22. OPCIONES DE COMPRA C GH VS C B-ST=1, R=4%, K=110,σ =30.78 .......... 83

FIGURA 23. OPCIONES DE COMPRA C GH VS P B-S,T=1, R=4%, K=115,σ =29.51 ......... 83

FIGURA 24. PRIMERAS DIFERENCIAS DEL PRECIO DEL PETRÓLEO ..................................... 90

IX

GLOSARIO Acción : instrumento financiero, por ejemplo una acción un bono o derivado

Derivado : los productos derivados son instrumentos financieros cuyo valor deriva de la evolución de los precios de otros activos subyacentes.

Opción de compra: Una opción de compra da a su tenedor el derecho pero no la obligación, a comprar un activo subyacente a un precio determinado en una fecha concreta

Opción de venta: Una opción de venta da a su tenedor el derecho pero no la obligación a vender un activo a un precio predeterminado hasta una fecha concreta

Opción: Las opciones es un instrumento financiero que otorgan a su poseedor el derecho pero no la obligación de comprar o vender

Procesos estocásticos: es una colección de dos conjuntos. Un conjunto de variables aleatorias y un conjunto índice de tal forma que a cada valor del índice corresponde una y sola una variable aleatoria.

X

SIGLAS

AAPG American Association of Petroleum Geologists

ARIMA Autorregresivos integrados y de media móvil

API Instituto de Petróleo de América

BPI Bolsa Petrolera Internacional

CEFP Centro de Estudio de Finanzas Públicas

CME Chicago Mercantile Exchange

EMV´s Máximo Verosímiles

FIP Fondo de estabilización de los ingresos petroleros

GARCH Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity

JCC Junta de comercio de Chicago

LFPRH Ley Federal de Presupuesto y Responsabilidad Hacendaria

MBNY Bolsa Mercantil de Nueva York

MCO Mínimos Cuadrados Ordinarios

NGARCH Non linear GARCH

Nymex New York Mercantile Exchange

OCDE Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos

OPEP Organización de Países Exportadores de Petróleo

PEMEX Petróleos Mexicanos

XI

QEMV Quasi-Estimación por máxima verosimilitud

SE Secretaría de Economía

SEC Securities and Exchange Commission

SIB Security and Investments Board

SMC Simulación Monte Carlo

SPE Society of Petroleum Engineers

SPEE Society of Petroleum Evaluation Engineers

SRC Residuales al cuadrado

TBP True Biling Point

WPC World Petroleum Council

WTI West Texas Intermediate

XII

RESUMEN

El petróleo es una materia prima esencial para el desarrollo de la economía mexicana, y su precio es el elemento que determina la mayor parte de los ingresos presupuestarios de nuestro país. Es por ello que en esta tesis se estudian todos los factores que determinan el precio de la mezcla mexicana de exportación (MME), así como la forma en que se estima para la ley de ingresos para cada año. Dadas las fluctuaciones que sufre el precio del barril de petróleo, se propone las opciones de venta como instrumento de cobertura de los ingresos petroleros. Para ello se supone que la volatilidad de la opción es conducida por un proceso GARCH-M(1,1) calibrado con una serie de precios históricos de la MME. Bajo estos supuestos se recurre a la simulación de Monte Carlo para determinar el precio de la opción, asimismo se compara el precio obtenido con el precio teórico dado por la fórmula de Black y Scholes (1973), con volatilidad la raíz cuadrada de la varianza de largo plazo dada por el modelo GARCH-M(1,1). Los resultados de la aplicación muestran que aunque no se cuente con un modelo en forma cerrada, es posible determinar la prima de la opción con la generación de precios hipotéticos esperados. Esto es fundamental porque ante estos escenarios de incertidumbre proporciona elementos para el diseño de coberturas que teóricamente permiten asegurar los ingresos petroleros.

XIII

ABSTRACT

Oil is a commodity essential for the development of the Mexican economy and its price is the element that determines the budgetary revenue of our country. Therefore Iin this thesis, all the factors that determine the price of Mezcla Mexicana de Exportación (MME) are studied as well as the methodology to estimate its price for the income law every year. Given the fluctuations experienced by the price of barrel of oil, put options are proposed as a hedging instrument of oil revenues.To do this, we assume that the volatility of the option is driven by a GARCH-M (1,1) calibrated with a series of historical prices from MME. Under these assumptions monte carlo simulation is used to determine the price of the option, also the price obtained is compared with the theoretical price given by the Black and Scholes (1973) formula, with volatility the square root of the long-term variance given by GARCH-M (1,1). The results show that although a closed form model is not available, is possible to determine the option premium with the generation of expected hypothetical prices.This is critical because with these uncertainty scenarios provide elements for the design of hedging procedures that ensure oil revenues theoretically.

XIV

INTRODUCCIÓN

En la actualidad el petróleo es un bien muy importante que impulsa a toda la

economía mundial, debido a que su precio es un factor clave para el desarrollo y

sustento de muchas economías. Tal es el caso de México, en el cual el 30% de los

ingresos presupuestales en promedio, son derivados de la explotación, producción,

refinación, y comercialización de este bien. El aumento o disminución del precio del

petróleo, provoca superávit y déficit presupuestales respectivamente, debido a la

gran dependencia que tiene el presupuesto con los ingresos petroleros.

Cada año el congreso emite la ley de ingresos presupuestales para cada ejercicio

fiscal, en la cual está incluida los ingresos que serán captados por la venta de la

mezcla mexicana. la cual hay una estimación de los ingresos que serán percibidos

por el la venta del crudo a un determinado precio, mas sin embargo debido a las

fluctuaciones que tiene el precio del petróleo estos ingreso pueden variar y a veces

pueden estar por arriba o por debajo de los ingresos presupuestados, y cuando los

ingresos petroleros se encuentran por arriba de los ingresos presupuestados, hay un

superávit presupuestal por el cual el Gobierno tiene más dinero que el

presupuestado para sus gastos y ello los puede emplear para los diversos fines que

le convengan o disponga el Fondo de estabilización de los ingresos petroleros

(FEIP), pero en caso contrario cuando el ingreso petrolero se encuentra por debajo

del ingreso presupuestado, el Gobierno tiene déficit, sus recursos no le alcanzan

para cubrir sus gastos presupuestados en el ejercicio que le corresponde, ello

provoca que el gobierno tome medidas alternas para enfrentar dicho gasto.

Entre las alternativas para enfrentar este déficit se encuentran las políticas fiscales

restrictivas, lo cual lo lleva a disminuir el gasto público. Y enfrentando los diversos

problemas económicos y políticos y sociales que esto conlleva.

XV

Por ello en el presente trabajo se propone una cobertura de ingresos con opciones

de venta sobre el precio futuro de la mezcla mexicana de la mezcla mexicana de

exportación, la cual es una opción que permitirá cubrir los ingresos ante altas y bajas

en el precio del petróleo, y así cubrir los ingresos petroleros que obtiene la

federación.

Este trabajo de tesis está organizado como sigue. En el Capítulo 1 se menciona la

importancia de cubrir los ingresos petroleros federales, debido a los grandes

impactos en áreas políticas, sociales y culturales. También se hace referencia a

todos los factores que determinan el precio del petróleo, como son: la oferta, la

demanda, la especulación, la producción de los países miembros y no miembros de

la OPEP, el desarrollo económico mundial, las expectativas y racionalización en la

producción de los países productores de petróleo, las políticas nacionales, entre

otros. Además se agrega un estudio de las políticas actuales para la determinación

del precio del petróleo y su metodología para determinarlas, la clasificación de los

derivados financieros y el desarrollo del uso de opciones para cubrir el riesgo ante

cambios en el precio de este bien.

Para estimar la volatilidad del precio del petróleo se proponen las metodologías de

series de tiempo; los modelos Autorregresivos y de medias móviles (ARIMA), y los

modelos de heterocedasticidad condicional autorregresivos generalizados (GARCH),

y la simulación Monte Carlo (SMC) para obtener los rendimientos futuros. Por lo

cual en el Capítulo 2 se destaca el uso de los modelos ARIMA y GARCH y sus

variantes. Este tipo de modelos son los más utilizados para el estudio de series de

tiempo. Asimismo se presenta un breve explicación sobre el surgimiento y desarrollo

de los modelos ARIMA y GARCH y sus variantes. Estos modelos son importantes

por el hecho de que permiten modelar la volatilidad de las series de tiempo que se

estudian en finanzas, tales como precios de acciones, precios de materias primas,

tipos de cambio, y en nuestro caso el precio del petróleo.

XVI

En el capítulo 3, se exponen las características teóricas del modelo GARCH para

valuar opciones en Duan (1995), este modelo combina las características de los

modelos estructurales y estadísticos; es decir, la función de volatilidad se supone es

conducida por un proceso GARCH-M (1,1) calibrado con datos históricos, pero el

precio de equilibrio de la opción se basa en argumentos de no arbitraje condicional a

la volatilidad del proceso GARCH-M(1,1). Posteriormente se ejecuta una aplicación

de este modelo con una serie de precios de la MME de 2009 a 2012. Dado que no

se cuenta con una fórmula cerrada para calcular el precio de la opción se recurre a

simulación Monte Carlo. Por último, se concluye en el último apartado.

1

CAPÍTULO 1. LA IMPORTANCIA DE CUBRIR LOS INGRESOS

PETROLEROS FEDERALES

En este capítulo se menciona la importancia de cubrir solamente los ingresos petroleros, y se propone la cobertura de ingresos mediante opciones de venta sobre el precio de la Mezcla Mexicana de Exportación (MME). También se da una descripción de los factores que afectan el precio del petróleo y los diferentes tipos de coberturas con derivados financieros.

Debido a que no existe una metodología clara para determinar el precio del petróleo se proponen los modelos de series de tiempo para estimar dicho precio y de la misma manera hacer predicciones futuras, para determinar las diferentes estrategias que se puede seguir con la utilización de opciones financieras.

Figura 1. Fuentes de ingresos

Fuente: Elaboración propia con datos obtenidos del Centro de Estudios de finanzas públicas de la H. Cámara de Diputados.

Organismo y

Empresas

Fuentes de ingresos

Petroleros

Gobierno federal PEMEX

Impuesto a los rendimientos petroleros Derechos Aprovechamientos sobre rendimientos excedentes IEPS

Tributarios

No Tributarios

ISR IETU IVA IEPS Impuesto al comercio exterior Impuesto a los depósitos en efectivo Impuesto al activo Otros

Derechos Productos Aprovechamientos Contribuciones de Mejores

CFE IMSSS ISSSTE Otros

2

1.1 Ingresos Petroleros

Los ingresos petroleros se componen de los ingresos propios de Pemex, los impuestos sobre rendimientos petroleros, los derechos por hidrocarburos al Gobierno Federal, el impuesto especial sobre gasolina y diesel, el aprovechamiento sobre excedentes y el impuesto a las importaciones que paga Pemex. Estos recursos se comportan de acuerdo al precio internacional del petróleo lo que provoca que los ingresos presupuestarios sean vulnerables en el tiempo. México es un país que depende en gran medida de los ingresos petroleros como se muestra en la gráfica siguiente:

Figura 2. Participación de los ingresos petroleros y No petroleros en los ingresos federales

Fuente: Elaboración propia con datos obtenidos del Centro de Estudios de finanzas públicas de la H. Cámara de Diputados (2012)

En la última década los ingresos petroleros han representado, en promedio, un 33% de los recursos del sector público, lo que nos dice que 3 de cada 10 pesos que se recauda para el gasto público proviene de los ingresos petroleros. Este tipo de ingresos dependen directamente del precio del petróleo; por lo cual, cuando el precio del petróleo es mayor al estimado, el gasto de gobierno es superior al autorizado por la Cámara de Diputados. Al contrario, cuando el precio es menor al estimado el gasto se recorta, y conduce a recortes en el gasto público.

0.30 0.30 0.33 0.36 0.37 0.38 0.35 0.37 0.31 0.33 0.33

0.70 0.70 0.67 0.64 0.63 0.62 0.65 0.63 0.69 0.67 0.67

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Petroleros No Petroleros

3

El principal problema derivado de la dependencia respecto a los ingresos provenientes de la venta, explotación y producción del crudo, se debe a que el mercado del crudo es muy volátil, porque los factores que determinan el precio del petróleo son muy variados y poco predecibles, y en la medida que se disponga de mayor información menor será la incertidumbre para estimar dicho precio.

1.1.1 Fondo de estabilización de los ingresos pe troleros

El Fondo de Estabilización de los Ingresos Petroleros (FEIP) está contemplado dentro del Decreto del Presupuesto de Egresos de la Federación y, de manera reciente, en la Ley de Presupuestos y Responsabilidad Hacendaria.

Este Fondo se compone de los ingresos petroleros excedentes; fue creado en el año 2000, en respuesta a una recomendación de la Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico (OCDE).

La importancia del FEIP radica en su objetivo: aminorar el efecto de una disminución de los ingresos por exportación del petróleo, debido a cambios en el precio o volumen de exportación, sobre las finanzas públicas y la economía nacional.”

El aumento del ahorro de FEIP depende del incremento del precio del petróleo, ya que el gasto programado es mayor que el gasto presupuestado, y viceversa. La disminución del ahorro del FEIP disminuye cuando el precio del petróleo baja ya que el gasto programado es inferior al gasto presupuestado.

4

1.2 Factores que determinan el precio del petróleo

En este apartado se muestran cuáles son los factores que influyen en la volatilidad del precio del petróleo y sus repercusiones sobre las finanzas públicas de México, dada la elevada dependencia que tienen éstas con el petróleo y las actividades relacionadas con el sector energético.

En el 2008 la burbuja financiera afectó al crecimiento económico mundial, la cual llevó a los países a una desaceleración económica, impactando directamente en la demanda de petróleo ya que provocó la disminución directa en la producción de muchos sectores productivos de la economía mundial. En México la exportación de petróleo disminuyó, y por ende también el precio de crudo, todo ello impactó directamente los ingresos del presupuesto federal.

Históricamente el precio del crudo de México ha mostrado una tendencia paralela a la que se puede observar en los principales crudos de referencia (West Texas Intermediate y Brent); estos precios responden no sólo a factores de mercado sino a efectos coyunturales: climáticos, geopolíticos y especulaciones financieras, que presionan los precios internacionales de los hidrocarburos. A continuación se muestran los diferentes precios que han tenido los principales crudos.

Figura 3. Precios históricos de los principales crudos: 2008-2012

Fuente: Elaboración propia con datos obtenidos del servicio geológico mexicano (2012).

20

40

60

80

100

120

140

160

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV

2008 2009 2010 2011 2012

MME BRENT WTI

5

De acuerdo con Almeida (1994) existen factores que influyen de manera importante en los precios del petróleo, los cuáles se resumen de la siguiente manera:

1. Estimaciones deficientes de la disponibilidad del petróleo.

2. Niveles competitivos de precios para otras alternativas.

3. Protección del poder de compra (inflación y tipo de cambio).

4. Valor del energético como recurso no renovable.

5. Avances tecnológicos.

6. Conocimiento e información imperfectos.

7. Incertidumbre.

8. Repercusión de los precios en las balanzas de pagos a nivel mundial.

9. Oferta y demanda.

10. Factores políticos.

11. Factores financieros.

12. Crecimiento económico mundial.

13. Especulación.

Si se quisiera estimar el precio del petróleo mediante modelos de regresión lineal o modelos de regresiones simultáneas se necesitaría toda la información disponible de los factores que la determina, sin embargo como no existe toda la información necesaria, se propone los modelos de series de tiempo para hacer la estimación.

Todos los factores que determinan el precio del petróleo tienen alguna relación de causalidad según Almeida (1994), la cual puede verse reflejada en la figura 4. Donde todos los factores tienen alguna relación de causalidad, los cuales son reflejados por el lado de la oferta podemos apreciar; el ambiente financiero, variables logísticas, tecnologías disponibles y nuevos desarrollos, por el lado de la demanda podemos observar; el crecimiento económico, factores ambientales, producción del crudo etc. Mientras que hay muchos factores que impactan de forma directa en el precio del crudo como lo son; expectativas de los precios del petróleo, políticas gubernamentales, etc.

6

Figura 4. Factores que influyen en la determinación de los precios del petróleo

Fuente: Almeida Garza Galindo (1994).

7

1.2.1 Extracción del petróleo

Para comprender la complejidad de la variación de los precios del petróleo es necesario comprender cuáles son los agentes que provocan dicha variación. El precio depende de muchos factores que van desde la exploración, la extracción, la producción.

Es conocido que la formación del petróleo está asociada al desarrollo de rocas sedimentarias, depositadas en ambientes marinos o próximos al mar, además de ser el resultado de procesos de descomposición de organismos de origen vegetal y animal, que en tiempos remotos quedaron almacenados en estos depósitos.

En la exploración se hace una serie de investigaciones geológicas, la cual comprende el estudio del terreno para futuras extracciones (mediante imágenes aéreas del mismo), y estudios geofísicos ya sean de tipo gravimétrico, magnético o sísmico, los cuales son útiles para determinar la presencia de rocas porosas y poco densas que pudieran contener petróleo.

Cuando se localiza petróleo en alguna zona, el siguiente paso es hacer varias perforaciones para determinar la magnitud del yacimiento, capas de agua, de gas o espesor o porosidad de la roca. El petróleo no se encuentra como un gran pozo sino como estratos de rocas porosas empapadas en petróleo y gas y agua salada (como una esponja majada).

Como estadística 1 de cada 50 perforaciones resulta satisfactoria. Ello se debe a que además de tener petróleo también deben ser redituables para la inversión en su extracción, no sólo es necesario que tengan petróleo sino que su volumen en miles de millones de barriles sea el adecuado para recuperar la inversión que se hace en equipo de exploración, extracción y distribución.

Tras localizar un yacimiento se construye la plataforma para perforar un pozo que llegue hasta el crudo. Posteriormente se procede a la extracción, dentro de la cual llega un momento en que la presión interna del pozo disminuye hasta un punto en que el petróleo deja de ascender por sí solo, y el gas cada vez en menor cantidad deja de presionar sobre el crudo, por lo que se tiene que forzar mediante bombas, éstas funcionan a base de gas obtenido de los mismos pozos, ello reduce el costo en extracción. Este bombeo se realiza hasta el momento en que el coste del sistema de extracción es mayor que la rentabilidad que se obtiene del petróleo, por lo que el pozo es abandonado.

8

Formas para aumentar la rentabilidad.

a) Inyección de agua.

Para aumentar la rentabilidad de un yacimiento se suele utilizar un sistema de inyección de agua mediante pozos paralelos. Mientras que de un pozo se extrae petróleo, en otro realizado cerca del anterior se inyecta agua en la bolsa, lo que provoca que la presión no baje y el petróleo siga siendo empujado a la superficie, de una manera más rentable que utilizando bombas.

Este sistema permite aumentar la posibilidad de explotación de un pozo hasta, aproximadamente, un 33% de su capacidad. Dependiendo de las características del terreno, esta eficiencia llega al 60%.

b) Inyección de vapor

En yacimientos con petróleo muy viscoso (con textura de cera) se utiliza la inyección de vapor, en lugar de agua, lo que permite conseguir dos efectos:

i) Por un lado, se aumenta, igual que con el agua, la presión de la bolsa de crudo para que siga ascendiendo libremente. .

ii) Por otro, el vapor reduce la viscosidad del crudo, con lo que se hace más sencilla su extracción, ya que fluye más deprisa.

c) Extracción en el mar

El avance en las técnicas de perforación ha permitido que se puedan desarrollar pozos desde plataformas situadas en el mar, en aguas de una profundidad de varios cientos de metros. En ellos, para facilitar la extracción de la roca perforada se hace circular constantemente lodo a través del tubo de perforación y un sistema de toberas en la propia broca.

Con ello, se han conseguido perforar pozos de 6,400 metros de profundidad desde el nivel del mar, lo que ha permitido acceder a una parte importante de las reservas mundiales de petróleo.

El crecimiento y desarrollo mundial ha aumentado el incremento de la demanda del petróleo, por lo cual cada día exige buscar yacimientos en zonas casi inaccesibles. La mayor parte del petróleo se encuentra entre los 900m y 5,000m de profundidad.

9

1.2.2 Clasificación del petróleo

La presencia en diversas cantidades de cada uno de los elementos químicos (orgánicos e inorgánicos) que componen el petróleo, determina sus características particulares como el color, densidad, viscosidad, entre otras, lo que permite clasificarlo de diferentes manera. Los tipos de petróleo pueden ser determinados de distintos maneras dependiendo de aquella característica que se considera más importante.

En su estado natural se le atribuye un valor mineral y mediante procesos de transformación se obtienen productos de alto valor agregado como combustibles, lubricantes, ceras, solventes y derivados petroquímicos, existiendo diversos tipos de petróleo. Estos diferentes tipos se distinguen por las curvas de destilación TBP (True Boiling Point) que muestran la temperatura de ebullición real, como se muestra en la Tabla 1.

Tabla 1 Clasificación del petróleo TBP

Fuente: Elaboración propia con datos del Instituto Mexicano del Petróleo (imp).

A nivel mundial los hidrocarburos se clasifican conforme a su densidad medida en grados (API), que diferencia la calidad del crudo, siendo el parámetro internacional del Instituto Americano del Petróleo. En la Tabla 2 se muestra las densidades de los diferentes crudos de exportación que se producen en México, mediante la cual se puede diferenciar el tipo de hidrocarburo mexicano obtenido.

Aceite crudo Densidad (g/cm3)

Densidad grados API

Extra pesado Mayor a 1.0 Menor a 10

Pesado 1.0-0.92 10.0-22.3

Mediana 0.92-0.87 22.3-31.1

Ligero 0.87-0.83 31.1-39

Súper ligero Menor a 0.83 Mayor a 39

10

Tabla 2. México: Densidad de los crudos de exportación

Istmo Ligero con densidad de 33.6 grados API Y 1.3% de azufre en peso

Maya Pesado con densidad de 22 grados API y 3.3% de azufre en peso

Olmeca Súper ligero con densidad de 39.3 grados API y 0.8% de Azufre en Peso

Fuente: Elaboración propia con datos obtenidos del Instituto Mexicano del Petróleo.

La densidad es una propiedad física que mide la cantidad de masa contenida en un determinado volumen. En el caso del petróleo, éste se clasifica según su gravedad API según el Instituto de Petróleo Americano, que es una “medida de densidad”. La densidad API se basa en la comparación de la densidad del petróleo con la densidad del agua, es decir, se busca determinar si el petróleo es más liviano o pesado que ésta última. La clasificación propuesta por el Instituto de Petróleo Americano indica que a una mayor gravedad API el petróleo será más liviano.

El azufre es uno de los componentes que están presentes en los hidrocarburos, esto implica que mientras mayor es la cantidad de azufre requiere de mayores procesos de refinamiento, y por ende un mayor costo final, razón por la cual la presencia de azufre es también un determinante del valor comercial del petróleo.

Características de los crudos de Referencia

a) West Texas Intermédiate (WTI).

Es el petróleo de referencia para el mercado de Estados Unidos, y cotiza en la New York Mercantile Exchange (Nymex), en Nueva York. Se trata de un crudo de muy alta calidad, es ligero (39.6 grados API) y dulce (su contenido de azufre es de sólo 0.24%). Por ello, suele cotizar entre dos y cuatro dólares por encima del Brent. Sus contratos de futuro cotizan en el Nymex desde hace 21 años y cuentan con el mayor nivel de liquidez y contratación de todos los crudos mundiales. Al vencimiento del contrato, se puede exigir la entrega física o la compensación en metálico. El punto de entrega se sitúa en Cushing, una pequeña localidad de Oklahoma (Estados Unidos), donde se encuentra un punto neurálgico de la red de oleoductos estadounidense. Aunque la producción real de este crudo alcanza sólo los 365.000 barriles (el 0.4% del bombeo mundial), diariamente se intercambian en la Nymex alrededor de 150 millones de barriles (casi el doble del consumo de petróleo mundial). El WTI posee una calidad mejor que el Brent.

11

b) Brent

El Brent es un tipo de petróleo que se extrae principalmente del Mar del Norte y es una combinación de crudos de 19 diferentes campos de explotación petrolera de dicha área. Marca la referencia en los mercados europeos. Posee 0.37% aproximadamente de azufre, lo que lo cataloga como petróleo dulce; es ligero ya que su gravedad API es de 38.3º. Es ideal para la producción de gasolinas y destilados intermedios.

c) Dubai

Es crudo de referencia para el petróleo pesado y azufroso en Asia, y sobre él se referencian otros crudos de la zona que no cotizan en el mercado. El Dubai es un tipo de petróleo de baja calidad, es pesado de 31 grados API y de alto contenido en azufre (2.04%), lo que lo cataloga como agrio. En los últimos años su importancia ha crecido a la par que las importaciones de crudo de las economías emergentes asiáticas, especialmente China. Aunque la producción de este crudo ha caído significativamente, en la actualidad se exportan alrededor de 200.000 barriles al día desde la terminal del golfo de Fateh.

d) Tapis y Minas

El crudo Tapis de Malasia, es usado como referencia para el crudo ligero del sudeste asiático con 44º API y bajo azufre (al igual que el crudo Minas de Indonesia por poseer características muy similares, 44o API y bajo azufre). Es un petróleo muy ligero y por su bajo contenido de azufre es catalogado como de muy buena calidad.

e) Arab Light

Durante décadas, el Arab Light, producido en el mítico yacimiento Ghawar, en Arabia Saudita, fue la referencia mundial para el precio del petróleo. Entre 1950 y 1981, el precio de todos los crudos se fijaba como una prima o descuento contra esa variedad saudí, cuyo principal punto de exportación es Ras Tanura, la mayor terminal de exportación de crudo del mundo. El Arab Light es un crudo medio (34 grados API, y un contenido en azufre del 1.78%), pero su producción es enorme: en la actualidad, más de cinco millones de barriles. Su yacimiento, Ghawar, es el mayor del mundo, con unas reservas estimadas de 70,000 millones de barriles.

12

f) Cesta OPEP

La OPEP fija sus decisiones de política petrolera con la vista fija en la denominada cesta OPEP [OPEC basket], una media aritmética de siete variedades de crudo: Saharan Blend (Argelia), Minas (Indonesia); Bonny Light (Nigeria), Arab Light (Arabia Saudí); Dubai (Emiratos Árabes Unidos), Tía Juana Light (Venezuela). Como la cesta OPEP está compuesta por una mayoría de crudos de calidad media-baja suele cotizar con un fuerte descuento con respecto a los crudos de alta calidad. Frente al Brent, suele cotizar alrededor de dos dólares por debajo y frente al West Texas Intermediate, su descuento oscila entre cuatro y cinco dólares.

En conclusión las tres formas generales de categorización del petróleo (densidad, cantidad de azufre y composición química) nos permiten establecer criterios básicos para determinar la calidad del petróleo, las cuales influirán finalmente en la determinación de los precios de cada uno de ellos. Cabe indicar que los petróleos ligeros son también los más requeridos en el mercado, y al mismo tiempo los de mayor precio, ya que los costos tanto de extracción como de refinación son menores en comparación con petróleos pesados. Así se da una relación directa entre la gravedad API y la calidad del petróleo, petróleos más ligeros tienen una mayor calidad, y requieren de menores costos para ser aprovechados que aquellos más pesados.

1.2.3 Demanda de petróleo

La demanda de petróleo está estrechamente relacionada con el crecimiento económico mundial, y es una de las energías primas de mayor consumo en el mundo, el consumo mundial de petróleo crudo declinó en el 2009 como consecuencia de la contracción económica reflejada directamente en la demanda energética mundial.

Según la Secretaría de Energía (SENER) en el 2009, la participación del petróleo en el consumo mundial de energía primaria se ha mantenido a la baja con una tasa de reducción promedio de 1.1% a lo largo del periodo 1999-2009; a pesar de que el consumo mundial de crudo registró un incremento de 10.2% en la última década. Sin embargo, en 2009 se presentó una disminución histórica de la demanda, que acentúa la tendencia declinante surgida en 2008 a raíz de la recesión económica.

El consumo de energía primaria mundial registró un crecimiento anual promedio de 2.1% para el período 1999- 2009. En el caso del petróleo, esta tasa alcanzó 1.0%

13

que se contrasta con la registrada por el carbón de 4.4%; esta sustitución de energéticos se complementa con el uso de gas natural y la hidroelectricidad que registraron tasas de 2.4% y 2.2% respectivamente, mientras que la energía nuclear registró la tasa de crecimiento más baja con 0.7%. En cuanto a la participación de los diferentes tipos de energía primaria al consumo mundial en 2009, en primer lugar se ubica el petróleo con 34.8%, seguido del carbón con 29.4% que ha mostrado una tendencia creciente a lo largo del periodo, posteriormente el gas natural con una aportación de 23.8% y por último la hidroelectricidad y la energía nuclear que participaron con 6.6% y 5.5%, respectivamente, como se muestra en la figura 5.

Figura 5. Consumo mundial de energía primaria, 1999-2009 (Millones de toneladas de petróleo crudo equivalente)

Fuente: Secretaria de Energía, 2009.

Como se puede ver en la figura 5, el crecimiento de la economía mundial ha provocado el aumento de la demanda de energía prima pasando de 9 mil millones de toneladas en 1999 a 12 millones de toneladas (mdt) en el 2009, lo cual refleja un aumento porcentual del 33%; pero debido a la recesión mundial en el 2008, ésta fue sustituida por otro tipo de energías como el carbón, gas natural, energía nuclear y las hidroeléctricas. En 2009, el consumo mundial de energía primaria fue de 11,164.3 millones de toneladas de petróleo equivalente según la SENER, esto representó una reducción de 1.3% respecto de 2008. En Norteamérica, la mayor contracción de la demanda se ubicó en EUA que dejó de consumir 5.2%, mientras que Canadá y México disminuyeron su consumo 4.8% y 2.0% respectivamente. Centro y Sudamérica también registraron una reducción de 1.1%, el mayor decremento en la región lo registró Brasil con 0.6% equivalente a 2.1 mdt.

14

Según la SENER, históricamente el consumo mundial de petróleo crudo ha crecido de manera gradual, con variaciones importantes en la década de los 70 e inicios de los años 80, desde 1983 y hasta 2007 su comportamiento fue casi lineal. A partir de 2008 se presentó una reducción en el consumo como resultado de una aguda crisis financiera. Para 2009 el consumo mundial siguió disminuyendo hasta alcanzar 84,077.0 miles de barriles diarios (mbd), lo que significa que se dejaron de consumir 1,162.3 mbd, equivalente a 1.7% respecto del año anterior, basándose en un nivel menor al registrado en 2006 (véase figura 6).

Figura 6. Demanda de petróleo en países y regiones seleccionadas1999-2009 (Miles de barriles diarios)

Fuente: Secretaria de Energía, 2009

Según datos de la Secretaría de Energía, México en el periodo de 2008 a 2009 ocupa el onceavo lugar en consumo de petróleo, mostrándose este dato en la siguiente tabla.

15

Tabla 3. Principales consumidores (mbd)

Fuente: Secretaria de Energía.

En general las grandes economías presentaron disminuciones en la demanda de petróleo y las economías emergentes incrementaron el consumo en su mayoría, lo cual ayudó a mantener estable el mercado y sus precios a lo largo de 2009.

La estimación de la demanda de petróleo es un escenario difícil de estimar, entre los principales factores que la determinan está el crecimiento económico mundial y el desarrollo de nuevas fuentes de energía alterna como: la energía nuclear, Bioenergía, la Hidroenergia, las cuales son fuentes que han surgido como alternativa para el abastecimiento de energía prima debido a la futura escasez de las energías fósiles; el cambio tecnológico también es un factor importante dentro de la demanda de petróleo, ya que las futuras generaciones se basarán en energía sustentable debido a las ya crecientes normas ambientales. Como se puede apreciar son muchas las variables que se deben considerar para prever la demanda del petróleo, basándose en un posible consumo.

Lo anterior sólo conforma la demanda, pero cabe mencionar que los precios que se manejan son producto de las fluctuaciones internacionales dentro de este sector. En tal caso las variantes obedecen a las necesidades de los países consumidores y a los que los países productores pueden ofrecer, actualmente los precios del crudo mexicano están a la alza en 80 dólares por barril en junio del 2012, después de haber llega a un máximo de 122 dólares por barril en julio del 2008 y un mínimo de

Posición al

2009

País 2008 2009

1 EUA 19,498 18,686

2 China 8,086 8,625

3 Japón 4,846 4,396

4 India 3,071 3,183

5 Federación Rusa 2,817 2,695

6 Arabia Saudita 2,390 2,614

7 Alemania 2,517 2,422

8 Brasil 2,397 2,405

9 Corea del sur 2,287 2,327

10 Canadá 2,287 2,195

11 México 2,010 1,945

12 Francia 1,902 1,833

13 Irán 1,761 1,741

14 Reino unido 1,681 1,611

15 Italia 1,680 1,580

16

32 dólares por barril en diciembre del 2008. Debido a que son muchos los factores que determinan la demanda de esta materia prima, puede modificarse en cualquier momento.

1.2.4 Oferta de petróleo

En muchos industrias los factores que determinan la oferta son el precio, la producción y el costo de las materias primas, así como de la demanda misma, pero en el caso del petróleo mexicano está determinado por sus reservas, por los nuevos pozos petrolíferos, por el crecimiento económico mundial así como la visión a futuro de la misma empresa; ya que como se ha mencionado el petróleo es un recurso no renovable y su producción está ligada a su extracción y a sus reservas, aunado al hecho de que es una materia prima que no se crea sino que sólo se extrae del subsuelo y es un recurso limitado. En ello radica la importancia de conocer las reservas con las que cuenta Pemex, y cuáles son sus políticas de producción para su desarrollo.

De acuerdo a PEMEX (2011), las reservas son las cantidades de hidrocarburos que se prevé serán recuperadas comercialmente mediante la aplicación de proyectos de desarrollo, de acumulaciones conocidas, desde una cierta fecha en adelante, bajo condiciones definidas.

Las reservas deben además satisfacer cuatro criterios: deben estar descubiertas, ser recuperables, comerciales y mantenerse sustentadas (a la fecha de evaluación) en un(os) proyecto(s) de desarrollo. Las reservas son además categorizadas de acuerdo con el nivel de certidumbre asociado a las estimaciones y pueden sub-clasificarse en base a la madurez del proyecto y caracterizadas conforme a su estado de desarrollo y producción.

La certidumbre depende principalmente de la cantidad y calidad de la información geológica, geofísica, petrofísica y de ingeniería, así como de la disponibilidad de esta información al tiempo de la estimación e interpretación. El nivel de certidumbre se usa para clasificar las reservas en una de dos clasificaciones principales: probadas o no probadas. En la gráfica 7 se muestra la clasificación de las reservas.

Las cantidades recuperables estimadas de acumulaciones conocidas que no satisfagan los requerimientos de comercialización deben clasificarse como recursos contingentes. El concepto de comercialización para una acumulación varía de acuerdo a las condiciones y circunstancias específicas de cada lugar. Así, las reservas probadas son acumulaciones de hidrocarburos cuya rentabilidad ha sido establecida bajo condiciones económicas a la fecha de evaluación; en tanto las

17

reservas probables y posibles pueden estar basadas en condiciones económicas futuras. Sin embargo, las reservas probables de Petróleos Mexicanos son rentables bajo condiciones económicas actuales, en tanto, una pequeña porción de las posibles es marginal en el sentido que un ligero incremento en el precio de los hidrocarburos o una ligera disminución de los costos de operación las haría netamente rentables.

Figura 7. Clasificación de las reservas de hidrocarburos.

Fuente: Las reservas de hidrocarburos en México, PEMEX 2011.

De acuerdo a la U. S. Securities and Exchange Commission (SEC), las reservas probadas de hidrocarburos son cantidades estimadas de aceite crudo, gas natural y líquidos del gas natural, las cuales, mediante datos de geotécnicos y de ingeniería, demuestran con certidumbre razonable que serán recuperadas comercialmente en años futuros de yacimientos conocidos bajo condiciones económicas, métodos de operación y regulaciones gubernamentales existentes a una fecha específica. Las reservas probadas se pueden clasificar como desarrolladas o no desarrolladas.

Las reservas son consideradas probadas si la productividad comercial del yacimiento está apoyada por datos de producción reales o por pruebas de producción concluyentes. Las reservas probadas son las que aportan la producción y tienen

Reservas originales

Reservas probadas originales

Reservas no probadas

Producción acumulada

Reservas probadas

Reservas probables

Reservas posibles

Desarrolladas No Desarrolladas

18

mayor certidumbre que las probables y posibles. Desde el punto de vista financiero, son las que sustentan los proyectos de inversión, y por ello la importancia de adoptar definiciones emitidas por la SEC.

Las reservas desarrolladas son aquéllas que se esperan sean recuperadas de pozos existentes, incluyendo las reservas detrás de la tubería, que pueden ser extraídas con la infraestructura actual mediante actividades adicionales con costos moderados de inversión.

Las reservas no desarrolladas, son reservas que se espera serán recuperadas a través de pozos nuevos en áreas no perforadas, o donde se requiere una inversión relativamente grande para terminar los pozos existentes y/o construir las instalaciones para iniciar la producción y transporte.

Las reservas probables, son las no probadas para las cuales el análisis de la información geológica y de ingeniería del yacimiento sugiere que son más factibles de ser comercialmente recuperables, que de lo contrario. Si se emplean métodos probabilistas para su evaluación existirá una probabilidad de al menos 50 por ciento de que las cantidades a recuperar sean iguales o mayores que la suma de las reservas probadas más probables.

Las reservas posibles son aquellos volúmenes de hidrocarburos cuya información geológica y de ingeniería sugiere que es menos factible su recuperación comercial que las reservas probables. De acuerdo con esta definición, cuando son utilizados métodos probabilistas, la suma de las reservas probadas más probables más posibles tendrá al menos una probabilidad de 10 por ciento de que las cantidades realmente recuperadas sean iguales o mayores.

Es importante mencionar que la evaluación y clasificación de reservas utilizada por Pemex Exploración y Producción están alineadas con las definiciones de la Securities and Exchange Commission (SEC) de Estados Unidos de América en lo referente a la estimación de reservas probadas, y para las categorías de reservas probables y posibles se emplearon los criterios de la Society of Petroleum Engineers (SPE) y los del World Petroleum Council (WPC), la American Association of Petroleum Geologists (AAPG) y la Society of Petroleum Evaluation Engineers (SPEE).

19

Estimación al 24 de febrero del 2012

La información de reservas de hidrocarburos fue dictaminada favorablemente por la Comisión Nacional de Hidrocarburos el 24 de febrero de 2012 con base en su resolución CNH.E.01.001/12 tal y como se señala en los términos del artículo 10 del Reglamento de la Ley Reglamentaria del Artículo 27 Constitucional en el Ramo del Petróleo. Solo resta la publicación por parte de la Secretaría de Energía tal y como se señala en el artículo 33, fracción XX de la Ley Orgánica de la Administración Pública Federal.

Tabla 4. Reservas de hidrocarburos al 1 de enero del 2012

Al 1 de enero del 2012

2011 MMMbpce 2012 MMMbpce

Reservas probadas 13.796 13.810

Reservas 1P 13.796 13.810

Reservas probables 15.013 12.353

Reservas 2P 28.809 26.163

Reservas posibles 14.264 17.674

Reservas 3P 43.074 43.837

Fuente: Elaboración propia con datos obtenidos de www.ri.pemex.com

La tasa de restitución de reservas probadas fue mayor al 100%. Las reservas probadas ascienden a 13.81 miles de millones de barriles de petróleo crudo equivalente (MMMbpce), lo que corresponde a una vida promedio de 10.2 años.

Las reservas 2P ascienden a 26.2 MMMbpce que corresponden a una vida promedio de 19.3 años. La tasa de restitución de las reservas 3P fue de 107.6%, debido, esencialmente, a nuevos descubrimientos. La vida promedio de las reservas 3P equivale a 32.3 años.

20

1.2.5 Precio de los hidrocarburos

Los precios de hidrocarburos son un elemento importante en la estimación del valor de las reservas de hidrocarburos o en la rentabilidad de los proyectos de inversión asociados a éstas, dado que generan los ingresos al ser multiplicados por el perfil de producción. Asimismo, aunados a las inversiones de desarrollo y a los costos de operación y mantenimiento, se determina el límite económico de las propuestas de explotación en las diferentes categorías de reservas, es decir, se determina el punto donde se igualan los ingresos y los egresos.

1.3 Determinación Actual de la Mezcla Mexicana

El petróleo es un bien muy volátil, debido a que son muchos los factores que determinan su precio, el estimado de los precios futuros de cada ejercicio fiscal de la federación se obtiene de la siguiente manera.

1.3.1 Precio Fiscal

De acuerdo al Centro de Estudios de Finanzas Públicas de la Cámara de Diputados (2009), durante el periodo 1988‐2006, el precio fiscal del petróleo se fijaba de manera conservadora mediante estimaciones futuras de las expectativas de los mercados petroleros, por esta razón la fijación de precios era motivo de discusión y debate al momento de aprobar la Ley de ingresos de la Federación (LIF) correspondiente a cada ejercicio fiscal.

A partir de abril del 2006 en el artículo 31 de la Ley Federal de Presupuesto y Responsabilidad Hacendaria (LFPRH), se planteó la manera en que se debe estimar el precio fiscal máximo de referencia del petróleo. El procedimiento consiste en tomar el promedio de los dos métodos siguientes:

21

1. El promedio de los siguientes dos componentes:

a. El promedio aritmético del precio internacional mensual observado de la mezcla mexicana en los diez años anteriores a la fecha de estimación; y,

b. el promedio de los precios a futuro, a cuando menos tres años, del crudo denominado “Crudo de Calidad Intermedia del Oeste de Texas”, cotizado en el Mercado de Intercambio Mercantil de Nueva York, ajustado por el diferencial esperado promedio, entre dicho crudo y la mezcla mexicana de exportación, con base en los análisis realizados por expertos en la materia.

2. El resultado de multiplicar los siguientes dos componentes:

a. El precio a futuro, promedio, para el ejercicio fiscal que se está presupuestando del crudo denominado Crudo de Calidad Intermedia del Oeste de Texas, Estados Unidos de América, cotizado en el mercado de Intercambio Mercantil de Nueva York, ajustado por el diferencial esperado promedio, entre dicho crudo y la mezcla mexicana de exportación, con base en los análisis realizados por los principales expertos en la materia;

b. Un factor de 84%.

De acuerdo con el procedimiento descrito, se han calculado los precios con que se estimaron los ingresos petroleros para 2007, 2008 y 2009.

1.3.2 Precio de mercado

De acuerdo a Almeida (2009), los precios de mercado difieren de los precios fiscales, ya que éstos se determinan mediante numerosas transacciones de mercado abierto entre vendedores y compradores. Estas ventas se realizan para cada envío en los términos y precios convenidos en el momento y lugar (in the spot) por las partes contrastantes. Estos precios se conocen también como precios de presentes (spot prices) y, por tanto, se determina por envío en el mercado de presentes (spot market). Las transacciones de precios del mercado (o precios de presente) han existido desde que existe esta industria.

22

1.4 Derivados financieros

Según la CNMV( 2006), los productos derivados son instrumentos financieros cuyo valor deriva de la evolución de los precios de otros activos subyacentes. Un derivado es un pacto cuyos términos se fijan hoy pero, la transacción se hace en una fecha futura. Los subyacentes utilizados en el mercado de derivados pueden ser los siguientes:

I. Financieros: a) Tipo de interés b) Acciones c) Divisas d) Bonos e) Riesgo crediticio f) Índices bursátiles

II. No financieros: a) Commodities:

1) Metales 2) Cereales 3) Cítricos 4) Energéticos (petróleo, gas, electricidad, etc.) 5) Otros

b) Condiciones climáticas c) Índices generales de precios d) Inflación e) Cualquier bien comercial

1.4.1 Clasificación de los productos derivados

1. Contrato de futuros

Es un acuerdo para comprar o vender un activo en una fecha específica en el futuro a un precio determinado. Por lo general, un contrato a futuro se denomina de acuerdo con su mes de entrega; así un inversionista podría dar instrucciones a un corredor para que compre un contrato de futuros de petróleo de octubre. Hay un periodo durante el mes de entrega (con frecuencia todo el mes) en que ésta puede realizarse. Por lo general, la negociación del contrato termina en algún momento

23

durante el periodo de entrega. La parte de la posición corta elige cuando se realiza la entrega. Realizar o recibir una entrega bajo los términos de un contrato de futuros es a menudo inconveniente y, en algunos casos bastante caro.

2. Contrato a Plazo

Un contrato a plazo es similar a un contrato de futuros en cuanto a que es un acuerdo para comprar o vender un activo en una fecha futura específica a cierto precio. No obstante, en tanto que los contratos de futuros se negocian en bolsas, los contratos a plazo se negocian en el mercado Over the counter (OTC).

3. Swaps

Un Swaps es un acuerdo entre dos empresas para intercambiar flujos de efectivo en el futuro. El acuerdo define las fechas de pago de los flujos de efectivo y cómo deben calcularse. Por lo general, el cálculo de los flujos de efectivo implica el valor futuro de una tasa de interés, un tipo de cambio u otra variable de mercado.

4. Contrato de Opciones

Las opciones es un instrumento financiero que otorgan a su poseedor el derecho pero no la obligación de comprar o vender (el activo subyacente, que pueden ser acciones, bonos índices bursátiles, etc.) a un precio determinado en una fecha definida. Según Hull (2009), estas opciones se clasifican en:

a) Opción de compra (call).

b) Opción de venta (put).

Aunque las opciones se han negociado desde hace mucho tiempo, un marco teórico consistente para la valuación de opciones fue publicado hasta 1973 cuando Fischer Black, Myron Scholes y Robert C. Merton desarrollaron un modelo que proporciona una fórmula cerrada para la valuación de una opción sobre un subyacente sin pago de dividendos, y que la opción sólo puede ser ejercida hasta la fecha de vencimiento, es decir, es europea. Este modelo cambió la forma en que se negocian los derivados hasta el presente.

Con el supuesto de que el precio del subyacente sigue un movimiento geométrico browniano y con herramientas de cálculo estocástico, el precio de la opción se calcula como el valor presente de la esperanza de la función de pago de la opción. Este precio depende de los siguientes factores.

a) Precio actual del subyacente, b) Precio de ejercicio,

24

c) Tasa de interés de libre riesgo, d) Plazo al vencimiento, e) Volatilidad del subyacente

La opción Call.

Una opción call da a su tenedor el derecho pero no la obligación, a comprar un activo subyacente a un precio determinado en una fecha concreta. El vendedor de la opción call tiene la obligación de vender el activo en el caso de que el comprador ejerza el derecho a comprar.

Venta de una opción call

En la venta de una opción call, el vendedor recibe la prima (el precio de la opción). A cambio, tiene la obligación de vender el activo al precio fijado

La opción Put.

Una opción put da a su tenedor el derecho pero no la obligación a vender un activo a un precio predeterminado hasta una fecha concreta. El vendedor de la opción put tiene la obligación de comprar el activo subyacente si el tenedor de la opción decide ejercer su derecho.

Venta de una opción put

El vendedor de una opción put, está vendiendo el derecho por el cual cobra una prima. Por lo cual contrae la responsabilidad de comprar el activo si en caso de que el comprador del put quiera ejercer su derecho de vender.

25

En la tabla 5 y 6 se presenta las Principales características de las opciones call y put

Tabla 5. Principales características de las opciones call.

Situaciones favorables para compra Implicaciones para la compra

Call • Cuando ser prevé la alza de un activo subyacente

• Cuando una acción ha tenido un tendencia alcista fuerte

• Cuando se quiere comprar activos en un futuro próximo y se cree que el activo tiende a la alza, y no se cuenta con los fondos necesarios para la compra, la opción call permite aprovecharlas subidas sin tener que comprar los activos

• Se compra el activo a un precio fijo. Este es el precio de ejercicio el cual lo fija el comprador

• Todo lo que el activo suba en la bolsa por encima de dicho precio, menos la prima pagada por la acción es la ganancia.

• Si el precio de la acción cae por debajo del precio de ejercicio, la perdida es igual a la prima de la opción.

• El costo de la opción es mucho menor que la compra del activo

• El apalancamiento es muy alto (con pequeñas inversiones puede obtenerse altas rentabilidades)

Situaciones favorables para la venta Implicaciones para la venta

Call • Asegura ingresos adiciónale una vez decidida la venta del activo subyacente

• Generan un flujo monetario inmediato derivado de la venta de la opción

• La prima por la venta de la opción amortigua las perdidas ante bajas en el precio del activo subyacente

• Proporciona una atractiva rentabilidad si los el precio de los activos son estables

Fuente: Elaboración propia.

26

Tabla 6. Principales características de las opciones put.

Situaciones favorables para compra Implicaciones para la compra

Put • Cuando se tiene activos y se cree que hay grandes probabilidades de que su precio caiga en el corto plazo, pero se piensa que el valor de las acciones tienen una tendencia alcista en el largo plazo, por lo que no se quiere vender dichos activos.

• Cuando se está convencido de que el precio del activo va a caer y se quiere aprovechar la caída para obtener beneficios

• Se vende el activo a un precio fijo. Este es el precio de ejercicio el cual lo fija el comprador

• Todo lo que el activo baje en la bolsa por debajo de dicho precio, menos la prima pagada por la acción es la ganancia.

• Si el precio del activo subyacente sube por encima del precio de ejercicio, la perdida es igual a la prima de la opción.

• El costo de la opción es mucho menor que la compra del activo

• El apalancamiento es muy alto (con pequeñas inversiones puede obtenerse altas rentabilidades),

Situaciones favorables para la venta Implicaciones para la venta

Put • Cuando se quiera comprar activos con descuento. El descuento es la prima ingresado por la venta de la opción

• Cuando se piensa que el precio del activo va a entrar en un periodo de estabilidad, se está convencido de que el precio del activo no va a caer y es posible que tenga posible subida. El precio límite de compra es el precio de ejercicio al que se véndela la opción put.

• Generan un flujo monetario inmediato derivado de la venta de la opción

• La prima por la venta de la opción amortigua las perdidas ante bajas en el precio del activo subyacente

• Proporciona una atractiva rentabilidad si los el precio de los activos son estables

Fuente: Elaboración propia.

27

Tipos de Opciones

A continuación se esboza una breve clasificación de opciones considerando la manera en que pueden ejercerse.

a) Opciones europeas : Sólo pueden ser ejercidas en la fecha de vencimiento.

Antes de esa fecha, pueden comprarse o venderse si existe un mercado

donde se negocien.

b) Opciones americanas : pueden ser ejercidas en cualquier momento entre el

día de la compra y el día de vencimiento, ambos inclusive, y al margen del

mercado en el que se negocien.

Las opciones más corrientes son europeas y americanas. Otras opciones más

complejas se denominan "exóticas", y dentro de estas podemos encontrar entre

otras: bermuda, digitales, potencia, barrera, etc.

a) Opciones Bermuda : sólo pueden ser ejercidas en determinados momentos

entre la fecha de compra y el vencimiento. Permiten el ejercicio en días

particulares.

b) Opciones Plan Vainilla : Son cuatro elementales, Call comprada, call vendida,

put comprada y put vendida.

1.5 El desarrollo de Futuros y Opciones petroleros

De acuerdo a Almeida (1994), los mercados de futuros evolucionaron desde que inició el comercio a futuro, lo cual data por lo menos del siglo XVIII. El comercio a futuro se introdujo por primera vez en Chicago en respuesta a las fluctuaciones estacionales de la oferta de productos agrícolas y ante las necesidades de evitar el riesgo de cambio en precio que corrían los agricultores y los comerciantes que entregaban estos productos a la ciudad. Otras casas de intercambio comenzaron a mediados del siglo XIX en el Reino Unido, Alemania y otros países. Ahora existen mercados de futuros para gran conjunto de activos reales y financieros.

Antes de los años setenta, el mercado de petróleo estaba dominado por las principales corporaciones petroleras multinacionales. Estas corporaciones integradas con la cooperación de Estados productores, creaban un ambiente de precios estables para el crudo y los derivados del petróleo. A medida que se nacionalizaban

28

algunas compañías y surgían otras no integradas, y en virtud de que se podía vender ahora la producción petrolera fuera de los canales integrados, no siempre se lograba la estabilidad en los precios del petróleo. El crecimiento acelerado de la actividad de mercado en la actualidad ha contribuido también a la volatilidad de los precios del petróleo. El mercado petrolero internacional abandonó su imagen caracterizada por las tendencias relativamente estables para adquirir una nueva imagen de estructura más fragmentada de la industria petrolera, donde las fuerzas competitivas del mercado y los nuevos arreglos influían sobre la estabilidad de los precios del petróleo.

En términos generales, la inestabilidad de los precios del petróleo afecta tanto a los países importadores como a los exportadores en diferentes grados. Los afecta en cuanto a la posición de la balanza de pagos en sus perspectivas de desarrollo y crecimiento económicos por conductos de ingreso esperado del petróleo, en las recaudaciones esperadas por concepto de petróleo y por la inflación que provoca en los precios los cambios de los precios relativos de los derivados del petróleo.

En el ambiente competitivo del mercado petrolero que caracteriza el mercado de mediados de los años ochenta, los compradores de crudo y compradores de derivado del petróleo enfrentaban un riesgo de precios sustanciales mayor, incluso muchos de ellos no tenían el colchón económico para sobrevivir. La inestabilidad en los precios hacia que declinaran los márgenes de la refinación y que los refinadores estuvieran expuestos continuamente al riesgo de variaciones en los precios. La volatilidad del precio en el mercado presente provoca un efecto de renuncia a las decisiones de inversión en el negocio. Tanto los vendedores como los compradores buscaron arreglos contractuales que les permitan prever el precio y la cantidad durante un cierto periodo.

El desarrollo de un mercado contractual de plazos es principalmente una respuesta a la necesidad de planear las expectativas comerciales. Los contratos de plazos facilitan planeación y administración de los negocios de compradores y vendedores. Así pues, en cuanto al mercado petrolero actual presenta precios inestables, los contratos de precios rígidos frenan la operación eficiente de los negocios. Los mercados de plazos se hacen cada vez en términos más cortos. La necesidad de que haya cierta flexibilidad hace que compradores y vendedores mantengan una cartera de negociaciones de presentes y de plazos. La composición de esta cartera varía entre las empresas y a través del tiempo.

La búsqueda de contratos más flexibles, con arreglos en los precios y de entrega más flexibles, y con la posibilidad de vender estos contratos a terceros, conduce a la introducción de mercados de futuros. La necesidad de planear, de reducir el riesgo

29

en los cambios en los precios y de descubrir las expectativas futuras del precio del petróleo propició el surgimiento y el desarrollo de los mercados de futuros del petróleo.

Los futuros de petróleo se introdujeron por primera vez en 1974, con un contrato de petróleo crudo negociado en la Bolsa Algodonera de Nueva York, BANY (New York cotton Exchange, NYCE), un Broker emitió contrato de gas de petróleo en la Bolsa Mercantil de Nueva York (MBNY). En esta época los precios del petróleo no fluctuaban lo suficiente para inducir a la proliferación de estos contratos.

En 1978 la BMNY volvió a introducir futuros de petróleo. En esta ocasión se introdujeron los contratos para el petróleo para calefacción y el petróleo combustible pesado. El petroleó para calefacción fue un éxito porque el precio internacional del petroleó se volvió inestable en 1978. Este éxito alentó la introducción de otros futuros del petróleo en otras Bolsas Mercantiles, principalmente en la Junta de Comercio de Chicago (JCC), la Bolsa Mercantil de Chicago, BMC (Chicago Mercantile Exchange, CME), y la Bolsa Petrolera Internacional (BPI) de Londres. Las Bolsas Mercantiles de productos están reguladas en Estados Unidos por la Comisión de Comercio de Futuros de Productos (Comodity Futures Trading Commision), que es un mecanismo regulador federal, y en Londres por la Junta de Valores e Inversiones (Security and Investments Board, SIB).

La idea de organizar un mercado de valores para la negociación de petróleo se propuso por primera vez en 1979, a fin de impedir cierta inestabilidad en el precio en el mercado de presentes y asegurar que las cotizaciones de presentes fuesen auténticas y no manipuladas. En 1983, la BMNY introdujo los contratos del petróleo crudo. Su éxito provocó que la industria petrolera tomara en serio la negociación de futuros del petróleo en vista con su interacción con el mercado de presentes, y en virtud de que los futuros de petróleo pronto se convirtieron en un canal de señales que indicaban el precio para los negociantes del petróleo crudo.

Las coberturas petroleras no son nuevas en México, ya que Pemex ha contratado desde hace tiempo instrumentos financieros derivados con el propósito de administrar el riesgo de sus operaciones habituales en caso de movimientos adversos en las tasas de interés, precio del petróleo crudo, materias primas, gas natural, valor de las divisas y el precio de los portafolios de inversión; los cuales pueden generar una gran volatilidad en los ingresos, patrimonio y flujos de efectivo de la empresa entre un periodo contable y otro.

En conclusión Pemex ha utilizado, desde hace tiempo (los 90’s), instrumentos derivados como una estrategia para eliminar o limitar muchos de estos riesgos.

30

Pemex ha establecido lineamientos generales de administración integral de riesgos para el uso de instrumentos financieros derivados al crear el Comité de Administración de Riesgos que está formado por representantes de Pemex, Banco de México, Secretaría de Hacienda, los cuales son los encargados de autorizar las estrategias de cobertura así como las políticas de administración de riesgos, mismas que debe aprobar el Consejo de Administración de Petróleos Mexicanos. En 2001, el Consejo de Administración aprobó la creación de Dirección Corporativa de Administración de Riesgos, cuyo objetivo es desarrollar la estrategia de administración integral de riesgos financieros y operacionales de Pemex.

El uso de coberturas con derivados en el sector petrolero mexicano ha cobrado particular interés en los últimos años, ya que mediante la compra de opciones put la Secretaría de Hacienda pudo garantizar el 90% de los ingresos petroleros de exportación en 2009 (cerca de 330 millones de barriles), al pactar los contratos de opción de venta a un precio de 70 dólares por barril (precio contemplado para la mezcla mexicana en el decreto de presupuesto de egresos 2009) con un costo de la cobertura de 1 500 millones de dólares con cargo al Fondo de Estabilización de los Ingresos Petroleros.

31

CAPÍTULO 2. SERIES DE TIEMPO

En este capítulo estudiaremos la importancia de análisis de series de tiempo, para la predicción de precios. Se mencionarán los modelos más utilizados en finanzas, entre los cuales se encuentran los modelos ARIMA Y GARCH. Esta sección es importante para nuestro estudio, ya que el objetivo principal es encontrar un modelo que mejor se ajuste a la serie de tiempo, con el fin de hacer pronósticos. De la misma manera se verificarán las debilidades y fortalezas de los modelos, ya que cada uno de ellos se basa en ciertas hipótesis para su aplicación por lo cual se hace una descripción detallada de cada modelo.

Series de Tiempo

Definición. Una serie de tiempo es un proceso estocástico indizado por el tiempo. Las series de tiempo pueden ser utilizadas para hacer predicciones en:

a) Economía y Finanzas, b) Demografía, c) Medio ambiente.

2.1 Procesos estocásticos

Según GUJARATI (2010). Un proceso estocástico es una colección de dos conjuntos. Un conjunto de variables aleatorias y un conjunto índice de tal forma que a cada valor del índice corresponde una y sola una variable aleatoria. Si Y denota una variable aleatoria y es continua, se denota como ( )Y t , pero si es

discreta se denota como tY . Un ejemplo de una variable aleatoria continua es un

electrocardiograma, y una variable aleatoria discreta el PIB. La mayoría de los datos económicos se recopilan en puntos discretos del tiempo, por lo cual se denotarán como tY . En finanzas un tipo de proceso estocástico importante es el paseo

aleatorio. En su forma más general, los paseos aleatorios son cualquier proceso aleatorio donde la posición de una partícula en cierto instante depende sólo de su posición en algún instante previo y alguna variable aleatoria que determina su subsecuente dirección y la longitud de paso. Los paseos aleatorios también varían con respecto al tiempo. Casos específicos o límites de los paseos aleatorios incluyen

32

la caminata de un borracho, el movimiento de un animal en pastoreo, el movimiento de una partícula en el agua (movimiento Browniano). Los procesos estocásticos se pueden clasificar en estacionarios y no estacionarios. Series de tiempo estacionarias. En términos generales se dice que una serie de tiempo es estacionaria, si su media y su varianza son constantes en el tiempo y si el valor de la covarianza entre dos periodos depende solo de su distancia o rezago entre los dos periodos. (Y no del tiempo en el cual se calculó la covarianza). Cuando la covarianza depende del tiempo en bibliografía de series de tiempo suele llamarse procesos estocásticos débilmente estacionarios, estacionarios covariante, estacionario de segundo orden o procesos estocástico en amplio sentido. Sea tY una serie de tiempo, considerando tiempo discreto de estacionariedad débil.

tY cumple con las siguientes condiciones:

Media: ( )tE Y µ= (2.1)

Varianza: 2 2var( ) ( )t tY E Y µ σ= − = (2.2)

Covarianza ( ) ( )k t t kE Y Yγ µ µ+= − − (2.3)

Donde kγ , es la covarianza (o autocovarianza) en el rezago k . Es la covarianza

entre los valores de tY y t kY + es decir, entre dos valores Y separados k periodos.

En resumen, si una serie de tiempo es estacionaria, su media, su varianza y su función de autocovarianza son “constantes”o invariantes en el tiempo. Tal serie de tiempo tenderá a regresar a su media (reversión a la media) y las fluctuaciones alrededor de esta media (medidas por su varianza) tendrán una amplitud constante en términos generales. La estacionariedad es importante porque no se puede aplicar la teoría de series de tiempo a procesos no estacionarios. Series de tiempo no- estacionarias. Una serie de tiempo no estacionaria, carece de elementos fijos en el tiempo. En el caso más sencillo tendrá una media que varía con el tiempo o una varianza que cambia con el tiempo; o ambas. Pero en el peor caso la distribución de cada variable aleatoria que conforma el proceso estocástico es distinto.

33

Para series no estacionarias, no se puede conocer la distribución para cada variable aleatoria en cada momento del tiempo. Sin embargo, para series estacionarias la distribución de todo el proceso estocástico es igual a la distribución conjunta de cada una de las variables que la conforman. La diferencia entre una serie de tiempo estacionaria y una no estacionaria radica en que en un proceso estacionario el análisis en un periodo de tiempo se puede generalizar para los subsecuentes y en un proceso no estacionario no. Las series de tiempo no estacionarias se pueden clasificar de la siguiente manera: Modelos de caminatas aleatorias (MCA). Un modelo de camita aleatoria predice el valor en el tiempo ‘’t’’ será igual al valor del último período más un componente estocástico (no sistemático) que es el ruido

blanco. Un ruido blanco ( )20,iid

tε σ∼ .

El MCA también puede ser nombrado como un proceso integrado de cierto orden; o un proceso con raíz unitaria; o un proceso con tendencia estocástica; o es un proceso que no tiene reversión a la media, lo cual implica que puede alejarse de la media en una dirección positiva o negativa. Otra característica del MCA es que la varianza evoluciona con el tiempo y tiende al infinito cuando el tiempo tiende al infinito, por lo tanto, una caminata aleatoria no se puede predecir. Caminatas aleatorias sin deriva Supóngase el siguiente modelo.

1t t tY Y ε−= + (2.4)

Dónde:

tY : es el modelo de camita aleatoria que depende de periodo anterior y el término tµ ,

1tY − : es el valor en tiempo ( 1)t − ,

tε : es un “shock” aleatorio, es un término de error de ruido blanco, con media 0 y

varianza 2σ . Ahora bien la ecuación (2.4) se puede escribir como

1 0 1Y Y ε= +

2 1 2 0 1 2Y Y Yε ε ε= + = + +

34

3 2 3 0 1 2 3Y Y Yε ε ε ε= + = + + +

0t tY Y ε= +∑ (2.5)

Por tanto

0 0( ) ( )t tE Y E Y Yε= + =∑ (2.6)

2var( )tY tσ= (2.7)

Una de las características del MCA es la persistencia del “shock” aleatorio, como se observa mientras transcurre el tiempo la varianza aumenta de forma proporcional a t y esto rompe con la característica de series estacionarias. Con el propósito de ilustrar una caminata aleatoria sin deriva se simula el modelo siguiente:

0t tY Y ε= + (2.8)

Donde tε son términos de error de ruido blanco de forma que (0,1)t Nε ∼ , es decir

cada tε sigue una distribución normal estándar. Las cuales se obtuvieron mediante

un generador de números aleatorios 300 valores de tε , y se generó tY y 0 0Y = como

se muestra en la figura 8.

Figura 8. Caminata aleatoria sin deriva.

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 50 100 150 200 250 300

35

Caminata aleatoria con deriva Al modificar la formula (2.4) una caminata aleatoria con deriva se puede expresar

como sigue

1t t tY Yδ ε−= + + (2.9)

Donde δ se conoce como el parámetro de deriva, según el procedimiento realizado con una caminata sin deriva se puede concluir que:

0 0( ) ( )t tE Y E Y Y tδ ε δ= + + = +∑ (2.10)

2var( )tY tσ= (2.11)

Del cual también se concluye que también se rompe con la condición de estacionariedad débil, para tener una idea grafica de una modelo de caminata aleatoria con deriva considere el modelo:

0t tY Yδ ε= + + (2.9) Donde:

0 0Y = y ( )20,iid

tε σ∼ δ = 10

Figura 9. Caminata aleatoria con deriva.

[ ]1 010 0t t tY Y Yε−= + + =

Se simula el proceso y el resultado se aprecia en la figura 9. Se nota que él valor de

tY subyace de δ .

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 50 100 150 200 250 300 350

36

2.2 Procesos estocásticos integrados

Los modelos de caminata aleatoria no son más que un caso específico de los modelos denominados procesos integrados. El modelo de caminata aleatoria sin deriva es un modelo no estacionario pero en sus primaras diferencias es un modelo estacionario y el cual se llama proceso integrado de orden 1, (1)I , y de la misma

manera una serie de tiempo que es diferenciada dos veces suele llamarse integrada de orden 2, (2)I . Para entender el proceso de integración introducimos los términos

siguientes:

Operador de retardo B , e.s. 2

1 2; t t t tY B Y Y B Y− −= =

Operador de diferencia ( )1dd B∇ = −

1 diferencia a 11(1-B) ( )t t tY Y Y −= −

2 22 12 diferencia (1-B) (1 2 ) 2a

t t t tY B B Y Y Y− −= + − = + − De manera general si una serie de tiempo tiene que diferenciarse d veces antes de volverse estacionaria, decimos que la serie es integrada de orden d, ( )I d . Pero si una

serie no necesita ser integrada y es estacionaria en su forma natural se dice que la serie está integrada de orden cero, (0)I .

Propiedades de las series integradas

Se puede observar las siguientes propiedades de las siguientes series integradas: sea X , ,t t tY Z tres series de tiempo.

1. Si (0) (1), Z ( ) (1)t t t t tX I yY I X Y I= + =∼ ∼ , una combinación lineal de series

estacionarias y no estacionarias se vuelve una combinación no estacionaria.

2. Si ( ), Z ( ) ( )t t tX I d a bX I d= + =∼ , una combinación de serie ( )I d también es

una ( )I d .

3. Si 1 2 2 2 1( ) ( ), Z ( ) ( ), dt t t t tX I d yY I d aX bY I d d= + = >∼ ∼ .

4. Si ( ) ( ), Z ( )t t t t tX I d yY I d aX bY= +∼ ∼ .

Por ello en modelos de regresión lineal una variable que depende de una serie no estacionaria también se vuelve una no estacionaria hasta que se haga su diferencia para hacer que sea estacionaria.

37

2.3 Pruebas de estacionariedad

En este apartado se mencionaran algunas de las pruebas realizadas para saber si una serie es estacionaria, y cuáles son las formas de identificarlo. Debido a su importancia se estudiara el análisis gráfico y la prueba del correlograma.

1. Pruebas de Raíces unitarias

Uno de los métodos más usuales para detectar la no estacionariedad en un serie de tiempo es a través de la raíz unitaria. Pero estas pruebas deben aplicarse con cierta reserva.

Sea un modelo de caminata aleatoria sin deriva:

1 -1 1t t tY Yρ ε ρ−= + ≤ ≤ (2.12)

De la cual se proponen las siguientes hipótesis

0 : 1H ρ =

: 1aH ρ <

De donde:

Si 1ρ = , entonces tY es una serie de tiempo no estacionario.

Si 1ρ < , se infiere que tY es una serie de tiempo estacionario

Restando 1tY − en ambos lado de la ecuación la ecuación (2.12) se puede expresar de la siguiente manera:

1 1 1t t t t tY Y Y Yρ ε− − −− = − + (2.13)

1( 1) t tYρ ε−= − + (2.14)

1t t tY Yδ ε−∇ = + (2.15)

38

De donde

( 1)δ ρ= −

Sí 0δ = , estamos tratando con una serie de tiempo no estacionaria

Sí 0δ < , se infiere que se trabaja con una serie de tiempo estacionaria

De acuerdo a Gujarati (2010) se puede demostrar que la ecuación (2.15) se puede expresar de la siguiente manera, si 1ρ = .

1t t t tY Y Y ε−∆ = − =

De donde se concluye que una serie de tiempo aplicándole sus primeras diferencias se infiere que se vuelve una serie de tiempo estacionaria, debido a que tiene las características del ruido blanco, la cual es estacionaria

Aplicando la ecuación (2.15) podemos escribir la prueba de hipótesis de la siguiente manera.

0 : 0H δ =

: 0aH δ <

El problema es que bajo la hipótesis nula, la serie está integrada en su primera diferencia (1)I , entonces el teorema del límite central que garantiza la distribución

normal estándar asintótica de estadístico t no tiene una distribución normal estándar aproximada ni siquiera en muestras grandes

Dickey - Fuller (1979), proponen la distribución del estadístico τ (tau) bajo 0H la

cual se conoce como la distribución de Dickey-Fuller, estos autores han calculado la distribución de estadístico τ MacKinnon y que ahora se encuentran incorporadas en paquetes estadísticos

Cuando el valor del ρ es cercano a uno se puede decir que el modelo no

proporciona suficiente información para rechazar la 0H , debido a que el estadístico t

se encuentra cercano al valor crítico con cierto nivel de confianza

39

La Prueba Dickey-Fuller Aumentada

Es una versión aumentada de la prueba Dickey-Fuller para un conjunto más amplio y más complejo de modelos de series de tiempo. Se supone que el termino de error tε

no está correlacionado, pero Dickey-Fuller desarrollaron una prueba cuando dicho termino si esta correlacionado la cual se denomina Dickey-Fuller Aumentada (ADF). Esta prueba se realiza aumentado a la ecuación (2.12) rezagos de la variable dependiente. Por la cual la ecuación se puede expresar de la siguiente manera

1 2 11

m

t t i t i ti

Y t Y Yβ β δ α ε− −=

∆ = + + + ∆ +∑ (2.16)

Donde 1β es una constante, 2β es el coeficiente de la tendencia en el tiempo y iα

son los coeficientes de los rezagos de la variable dependiente, t iY −∆ el número de

términos de diferencia rezagadas incluidas en el modelo la cual a veces se determina de manera empírica , con la idea de incluir el número de términos suficientes para que para que tε no este serialmente correlacionada y sea posible

obtener una estimación insesgada de δ , en la Dickey-Fuller aumentada se sigue utilizando la misma hipótesis de la Dickey-Fuller.

Dónde:

0 : 0H δ =

: 0aH δ <

Y esta prueba sigue la misma distribución de la Dickey-Fuller con el estadístico τ .

2. Función de Autocorrelación (FAC) y correlograma

Una de las pruebas para detectar la estacionariedad es la función de autocorrelación (FAC). La función de autocorrelación, se estima mediante la función de autocorrelación muestral o función de autocorrelación estimada, que se define por:

40

( ) ( )

( )

1

2

1

= k=1,2,3,...

T

t t kt

T

tt

X X X X

n

X X

n

ρκ

−=

=

− −

=−

∑

∑

( )( )( )

1

2

1

T

t t kt

T

tt

X X X X

X Xρκ

−=

=

− −=

−

∑

∑ (2.17)

Dónde:

covarianza en el rezago

Varianza 0

k kγρκγ

= =

Como la covarianza y la varianza se miden en las mismas unidades, la función de autocorrelación ( )ρκ es un número sin unidad donde sus valores van de -1 a 1, igual

que cualquier coeficiente de correlación, la gráfica de ρκ se denomina correlograma

muestral, la cual constituye un instrumento de análisis para las series de tiempo.

Figura 10. Correlograma (FAC)

Fuente: Elaboración propia

41

2.4 Modelos ARIMA

La importancia de estos modelos es que se suponen series de tiempo estacionarias las cuales ya se han mencionado en apartados anteriores.

La publicación de G.P.E Box y G.M. Jenkins (1970), establecen una nueva generación de modelos denominados Autorregresivos integrados y de medias móviles (ARIMA), en el cual este nuevo método no consiste en modelos uniecuacionales o modelos de ecuaciones simultáneas, sino en modelos donde la variable tY puede ser explicada por valores pasados o rezagos en las mismas y por

los términos estocásticos de error.

2.4.1 Proceso Autorregresivo (AR)

Si se modela tY , como:

0 1 1 ,t t tY Yα α ε−= + + (2.18)

Donde el futuro de la serie de tiempo “t" está en función de su pasado, y es de primer orden AR (1), porque solo depende del periodo anterior inmediato

Pero si se considera el siguiente modelo:

0 1 1 2 2 ,t t t tY Y Yα α α ε− −= + + + (2.19)

El cual el futuro de la seria de tiempo “t”, y es de segundo orden AR (2), porque depende de los periodos anteriores inmediatos.

Y generalizando

0 1 1 2 2 ,t t t p t p tY Y Y Yα α α α ε− − −= + + + + +⋯ (2.20)

En cuyo caso se dice que tY , sigue un proceso Autorregresivo de orden p, o AR (p).

Supuestos del modelo

1. { }tY es débilmente estacionaria,

2. Los tε son variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas con

media cero y varianza constante ( )20,iid

tε σ∼ ,

42

3. La serie de tiempo y los residuos son independientes si sus momentos son distintos cov( ,e ) 0 t st sr = ∀ ≠

Esperanza de un modelo AR (1)

(2.21)

0

1

( )1tE Y

αµα

= =− (2.22)

Funciones de autocovarianza para para un AR (1)

Para estimar la función de autocovarianza se estima la varianza del modelo AR (1) se obtiene:

1 1 1(1 )t t tY Yµ α α ε−= − + + (2.23)

( ) 1 1( )t t tY Yµ α µ ε−− = − + (2.24)

( ) ( ) ( )1 1( ) ( )t t l t t l t t lE Y Y E Y Y E Yµ µ α µ µ ε µ− − − −− − = − − + − (2.25)

1 1l lγ α γ −= (2.26)

Varianza AR (1)

0 1 1( ) ( )t t tVar Y Var Yα α ε−= + + (2.27)

2 20 1 0γ α γ σ= + (2.28)

2

0 21

.1

σγα

=−

(2.29)

Función de autocorrelación (ACF) de un AR (1)

0

.ll

γργ

=

(2.30)

Al asignar valores a l empezando por cero la función resulta de la siguiente manera:

0 1 1( ) ( )t t tE Y E Yα α ε−= + +

43

00

0

0 1lγργ

= = =

(2.31)

1 011 1

0 0 0

1 llγ α γγρ αγ γ γ

= = = = = (2.32)

22 1 12 1 1

0 0 0

2 llγ γ α γρ α ρ αγ γ γ

= = = = = =

(2.33)

33 1 23 1 2 1

0 0 0

3 llγ γ α γρ α ρ αγ γ γ

= = = = = =

(2.34)

41 344 1 3 1

0 0 0

4 llγ α γγρ α ρ αγ γ γ

= = = = = =

(2.35)

La ACF de un modelo AR (1) cae asintóticamente, como se muestra en la figura 11. Figura 11. Función de autocorrelación (ACF).

Fuente: Elaboración propia.

Función de autocorrelación parcial AR(1)

0,1 1,1 1 1

0,2 1,2 1 2,2 2 2

0,3 1,3 1 2,3 2 3,3 3 3

0,4 1,4 1 2,4 2 3,4 3 4,4 4 4

t t t

t t t t

t t t t t

t t t t t t

Y Y

Y Y Y

Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

α α εα α α εα α α α εα α α α α ε

−

− −

− − −

− − − −

= + += + + +

= + + + += + + + + +

(2.36)

Interpretación. Sólo 1,1α es significativo al 95 % de confianza estadístico.

44

Esperanza de un modelo AR (p)

0 1 1( ) ( )t t p t p tE Y E Y Yα α α ε− −= + + + +… (2.37)

0

1

( ) .1t

p

E Yαµ

α α= =

− − −…

(2.39)

Funciones de autocovarianza para para un AR (p)

Para estimar la función de autocovarianza se estima la varianza del modelo AR (1) se obtiene:

1 1 1(1 )t p t p t p tY Y Yµ α α α α ε− −= − − − + + + +⋯ ⋯ (2.38)

1 1 1( )t p t p t p tY Y Yµ µα µα α α ε− −= − − − + + + +⋯ ⋯ (2.39)

( ) { }{ }1 1 1( ) ( ) ( ) ( )t t l t p t p p t t lE Y Y E Y Y Yµ µ α µα α µα ε µ− − − − − − = − + + − + − ⋯

(2.43)

1 1 2 2l l l p l pγ α γ α γ α γ− − −= + + +⋯ (2.40)

Varianza AR (p)

0 1 1( ) ( )t t p t p tVar Y Var Y Yα α α ε− −= + + + +… (2.41)

2 2 2 2

0 1 0 2 0 1 2 1 0 12 2p p p pγ α γ α γ α α γ α γ α α γ σ−= + + + + + +⋯ (2.42)

21 2 1 1 1

0 2 2 21 2

2 2

1p p p

p

σ α α γ α α γγ

α α α− −+ +

=− − − −

⋯

⋯ (2.43)

45

Función de autocorrelación (ACF) de un AR (p)

0

ll

γργ

=

(2.30)

Al asignar valores a l empezando por cero la función queda de la siguiente manera.

00

0

0 1lγργ

= = =

(2.47)

1 1 0 2 1 1p pγ α γ α γ α γ −= + + +⋯ (2.44)

1 0 2 111 1 2 1

0 0 0

1 p plp pl

α γ α γ α γγ γρ α α ρ α ργ γ γ

+ += = = = = + + +

⋯⋯ (2.45)

11

0

γργ

= (2.46)

2 1 1 2 0 1p pγ α γ α γ α γ −= + + +⋯ (2.47)

1 1 2 0 12 1 1 2

0 0

2 p plp pl

α γ α γ α γγρ α ρ α α ργ γ

−+ + += = = = + + +

⋯⋯

(2.48)

3 1 2 2 1 3 0 1p pγ α γ α γ α γ α γ −= + + + +⋯ (2.49)

3 1 2 2 1 3 0 133 1 2 2 1 3

0 0 0

3 p plp pl

γ α γ α γ α γ α γγ γρ α ρ α ρ α α ργ γ γ

−= + + + += = = = = + + + +

⋯⋯

(2.50)

1 344 1 3 2 2 3 1 4

0 0 0

4 lp pl

γ φ γγρ α ρ α ρ α ρ α α ργ γ γ

= = = = = + + + +⋯

(2.51)

46

Función de autocorrelación parcial (PACF)

,1 0,1 1,1 1 ,1 1

,2 0,2 1,2 1 2,2 2 ,2 2

,3 0,3 1,3 1 2,3 2 3,3 3 ,2 1 3

,4 0,4 1,4 1 2,4 2 3,4 3 4,4 4 ,2 1 4

t t p t p t

t t t p t p t

t t t t p t t

t t t t t p t t

Y Y Y

Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y Y

α α α εα α α α εα α α α α εα α α α α α ε

− −

− − −

− − − −

− − − − −

= + + + +

= + + + + +

= + + + + + +

= + + + + + + +

⋯

⋯

⋯

⋯

(2.52)

2.4.2 Proceso de media móvil (MA)

Supóngase que tY se modela de la siguiente manera.

(2.53)

donde α es una constante y tε , es el término de erro estocástico con ruido blanco.

En este modelo Y en el periodo “t” es igual a una constante más un promedio móvil de los términos de errores presente y pasado. En este caso se trata de un modelo de media móvil de primer orden, o MA (1).

Pero, si Y se expresan de la siguiente manera:

1 1 2 2t t t tY α ε β ε β ε− −= + + + (2.54)

Entonces, en este caso estamos hablando de un proceso de media móvil de segundo orden MA (2), y generalizando la ecuación se puede presentar como:

1 1 2 2t t t t q t qY α ε β ε β ε β ε− − −= + + + + +⋯ (2.55)

Por lo cual en este caso estamos tratando con los modelos de medias móviles de orden q MA (q).

Supuestos

1) El modelo es invertible, 2) tY es estacionaria,

3) ( )20,iid

tε σ∼ ,

4) cov( , ) 0 t sY ε = ∨ t s≠

2 1,t t tY α ε β ε −= + +

47

Funciones de autocovarianza para un MA (1)

La función de autocovarianza para un modelo MA (1) se expresa de la siguiente manera:

Esperanza de tY MA (1)

0 1( ) ( )t t tE Y E α ε ε−= + + (2.56)

0µ α= (2.57)

Función de autocovarianza MA (1)

1 1 1t t tY µ α ε ε− −− = + (2.58)

1 1 1t l t l tY µ α ε ε− − − −− = + ( )( ) 2

1 1 1 1 1 1 1t t l t t l t t l t l t t t lE Y Y Eµ µ α ε ε α ε ε α ε ε ε ε− − − − − − − − − − − = + + + (2.59)

21 1 1 1 1 1 1l t t l t t l t l t t t lγ α ε ε α ε ε α ε ε ε ε− − − − − − − − = + + + (2.60)

20 1 1 1 1 1 1 10 t t t t t t t tl Eγ α ε ε α ε ε α ε ε ε ε− − − − = = + + +

(2.61)

2 2

0 1γ α σ σ= +

(2.62)

21 1 1 2 1 1 1 1 2 11 t t t t t t t tl Eγ α ε ε α ε ε α ε ε ε ε− − − − − − = = + + + (2.63)

21 1γ α σ= (2.64)

22 1 1 3 1 1 2 1 3 22 t t t t t t t tl Eγ α ε ε α ε ε α ε ε ε ε− − − − − − = = + + +

(2.65)

2 3 40 ,..., qγ γ γ γ= = =

(2.66)

48

Función de autocorrelac ión

0

ll

γργ

=

(2.30)

Al asignar valores a l comenzando por cero la función queda de la siguiente manera.

00

0

0 1lγργ

= = =

(2.73)

21 1

10 0 0

1 llγ γ φ σργ γ γ

= = = = (2.67)

22

0 0

2 0llγ γργ γ

= = = =

(2.68)

33

0 0

3 0llγ γργ γ

= = = =

(2.69)

44

0 0

4 0llγ γργ γ

= = = =

(2.70)

Figura 12. Función de Autocorrelación MA (1).

Fuente: Elaboración propia

49

Esperanza de tY MA (q)

0 1( ) ( )t t t q tE Y E α ε ε ε− −= + + + +⋯ (2.71)

0µ α= (2.72)

Función de autocovarianza MA (q)

1 1t t p t p tY µ α ε α ε ε− −− = + + +⋯ (2.73)

1 1t l t l p t l p t lY µ α ε α ε ε− − − − − −− = + + +⋯ (2.81)

( )( )

21 1 1 1 2 1 2 1 1 1

21 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2

+ + +

t t l t t l q t l t l q t t l

t t l t t l q t t l p t t l

t t lE Y Y E

α ε ε α α ε ε α α ε ε α ε ε

α α ε ε α ε ε α α ε ε α ε εµ µ

− − − − − − − − − − −

− − − − − − − − − − −

−

+ + + +

+ + + + +

− − = +

⋯

⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

21 1 2 2

1 1 2 2

+

q t q t l q t q t l q t q t l q q t q t l

t t l t t l q t t l q t t l

α α ε ε α α ε ε α ε ε α ε εα ε ε α ε ε α ε ε ε ε

− − − − − − − − − − −

− − − − − − −

+ + + + + + + + + +

⋯

⋯

⋯

(2.74)

21 1 1 1 2 1 2 1 1 1

21 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2

0

+ + + +

t t l t t l q t l t l q t t l

t t l t t l q t t l p t t l

E

α ε ε α α ε ε α α ε ε α ε ε

α α ε ε α ε ε α α ε ε α ε εγ

α

− − − − − − − − − − −

− − − − − − − − − − −

+ + + +

+ + + + +

= ++

⋯

⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

21 1 2 2

1 1 2 2

q t q t l q t q t l q t q t l q q t q t l

t t l t t l q t t l q t t l

α ε ε α α ε ε α ε ε α ε εα ε ε α ε ε α ε ε ε ε

− − − − − − − − − − −

− − − − − − −

+ + + + + + + + +

⋯

⋯

(2.75)

2 2 2 20 1 20 ( )ql γ σ α α α= = + + +⋯

(2.76)

21 1 1 2 2 3 11 ( )q ql γ σ α α α α α α α−= = + + + +⋯ (2.77)

22 2 1 3 2 4 22 ( )q ql γ σ α α α α α α α−= = + + + +⋯ (2.78)

50

Función de autocorrelac ión

0

ll

γργ

=

Al asignar valores a l comenzando por cero la función resulta en:

00

0

0 1lγργ

= = =

(2.79)

21 1 2 2 3 1 1 1 2 2 3 11

1 2 2 2 2 2 2 20 0 1 2 1 2

( ) ( )1

( ) ( )q q q ql

q q

lσ α α α α α α α α α α α α α αγ γρ

γ γ σ α α α α α α− −+ + + + + + + +

= = = = =+ + + + + +

⋯ ⋯

⋯ ⋯

(2.80)

2 1 3 2 4 22 2 2 2

0 1 2

( )2 0

( )q ql

q

lα α α α α α αγρ

γ α α α−+ + + +

= = = =+ + +

⋯

⋯ (2.81)

3

30 0

3 0llγ γργ γ

= = = =

(2.82)

44

0 0

4 0llγ γργ γ

= = = =

(2.83)

51

2.4.3 Procesos autorregresivo integrados y de medi a móvil (ARIMA)

En el apartado 2.3 se consideró procesos integrados, en el cual se especifica que no todas las series de tiempo son estacionarias en su forma natural. Por lo cual se necesitan hacer estacionarias a través de su diferenciación.

Cuando una serie de tiempo es estacionaria en una primera instancia, entonces se trata de modelos ARMA (p,d=0,q), en cual decimos que su proceso es integrado de orden cero I(0).

Muchas series de tiempo necesitan ser convertidas a estacionarias, para poder aplicarle los modelos de series de tiempo Box-Jenkins. En apartados anteriores se dijo que si una serie de tiempo es integrada de orden,(1), entonces en su primeras diferencias es estacionaria, I(0). Si una serie de tiempo es integrada de orden dos, I(2), su segunda diferencia es I(0), y así sucesivamente.

Cuando la serie necesita ser estacionaria, entonces decimos que estamos hablando de un modelo autorregresivo integrado de media móvil ARIMA (p,d,q), en la cual el modelo requiere un grado de integración.

Metodología Box-Jenkins

1. Identificación de modelo. Elección del orden de integración (p,d,q). la herramienta principal es la prueba de raíz unitaria.

2. Estimación de parámetros. Estimar los parámetros de los términos autorregresivos y de medias móviles. Algunas veces este cálculo se puede hacer mediante mínimos cuadrados.

3. Verificación de Diagnostico. Verificar cual es el modelo ARIMA que mejor se ajusta a los datos.

4. Predicción.

52

Según Gujarati (2010), los patrones teóricos para la identificación de la FAC y FACP son:

Tabla 7. Factores teóricos de FAC y FACP.

Tipo de modelo

Patrón típico FAC Patrón típico PACP

AR(p) Disminuyen exponencialmente Picos grandes a lo largo de p rezagos

Nos dice el orden del modelo AR

MA(q) Picos grandes a lo largo de q rezagos

Nos da el orden del modelo MA

Decrecen exponencialmente

ARMA(p,q) Decrece exponencialmente Decrece exponencialmente

Fuente: Gujarati (2010)

Pronosticar pasos adelante AR (1)

1. Decidir cuantos pasos al futuro se desea pronosticar 1 pasó adelante, 1h +

2. Rescribir el modelo

1 0 1 1h h hY Yα α ε+ += + + (2.84)

3. Para encontrar el pronóstico necesitamos encontrar las esperanzas

(. )hE F

( )1 0 1 1( )h h h h hE Y F E Y Fα α ε+ += + +

(2.85)

( ) ( ) ( )0 1 1h h h h hE F E Y F E Fα α ε += + +

(2.86)

�

1 0 1h hY Yα α+ = + (2.87)

4. El error de pronóstico ɵ (1)hε en cualquier residuo es el valor observado

menos del estimado

ɵ �11(1) hh hY Yε ++= − (2.88)

53

ɵ0 1 1 0 1(1)h h h hY Yε α α ε α α+= + + − +

ɵ1(1)h hε ε +=

5. Varianza de error pronosticado

ɵ( ) ( )1var (1) varh hε ε += (2.89)

Pronosticar 2 pasos adelante AR (1)

4. Decidir cuantos pasos al futuro se desea pronosticar 2 pasos adelante, 2h +

5. Rescribir el modelo

2 0 1 1 2h h hY Yα α ε+ + += + + (2.90)

6. Para encontrar el pronóstico necesitamos encontrar las esperanzas

(. )hE F

( )2 0 1 1 2( )h h h h hE Y F E Y Fα α ε+ + += + +

(2.99)

( ) ( ) ( )0 1 1 2h h h h hE F E Y F E Fα α ε+ += + + (2.91)

� �

2 1 10h hY Yα α+ += + (2.92)

4. El error de pronóstico ɵ (2)hε en cualquier residuo es el valor observado

menos del estimado

ɵ �22(2) hh hY Yε ++= − (2.93)

ɵ ɵ �120 1 1 0 1(2) hh hhY Yε α α ε α α +++= + + − −

ɵ ɵ ɵ1 21(2)h h hε α ε ε+ += +

6. Varianza de error pronosticado ɵ( ) ɵ ɵ( ) 2 2

1 21 1var (2) var ( 1)h h hε α ε ε σ α+ += + = + (2.94)

Como se puede observar conforme nos alejamos al futuro, la varianza del error de pronóstico crece.

54

2.5 Modelos GARCH En este apartado se presenta un resumen de los modelos de heterocedasticidad condicional autorregresivo generalizados (GARCH), algunas de sus extensiones y su relación con la Simulación Monte Carlo con un ejemplo sencillo. Estos modelos son importantes por el hecho de que permiten modelar la volatilidad de las series de tiempo que se encuentran en finanzas tales como precios de acciones, precios de materia primas, tipos de cambio, entre otros. Asimismo en esta sección se introducen un conjunto de modelos que componen algunas características importantes de los rendimientos y que son bastante flexibles para capturar aspectos específicos de activos simples. Un inconveniente de estos modelos es que requieren la estimación no lineal de los parámetros, que será discutida posteriormente. El modelo GARCH fue desarrollado independientemente por Bollerslev (1986) y Taylor (1986). Los modelos de la clase GARCH con sus extensiones son los modelos más populares para describir la dinámica de la volatilidad. Los modelos GARCH gozan de renombre porque son capaces de describir no solamente la característica de un conjunto de volatilidades (volatility clustering), sino también de algunas otras características de las series de tiempo financieras, tales como su pronunciado exceso de curtosis o colas anchas. No obstante, el modelo estándar GARCH no puede capturar otras características empíricas relevantes de la volatilidad. Por ejemplo, en Black (1976), los choques negativos o las noticias se cree afectan la volatilidad en forma absolutamente diferente que los choques positivos de igual tamaño. En el modelo estándar GARCH, sin embargo, el efecto de un choque en la volatilidad depende solamente de su tamaño; el signo del choque es irrelevante. Otra limitación del modelo estándar GARCH es que no implica que el rendimiento esperado y la volatilidad están relacionadas directamente, como en el caso del CAPM.

55

Sea 1tR + el rendimiento logarítmico diario de un activo financiero al tiempo 1t + , que

se calcula con el precio de cierre diario, 1tS + como:

( ) ( )1 1ln lnt t tR S S+ += −

11 ln t

tt

SR

S+

+

=

Supuestos:

a) Para horizontes de tiempo diario, la media de tR es cero pues es dominada

por la desviación estándar de los rendimientos. b) Las innovaciones o las noticias que golpean el rendimiento del activo se

distribuyen como una normal. c) Se supone normalidad pues permite enfocarse en modelar la distribución de la

varianza condicional.

Note que el supuesto de normalidad es poco realista, y puede modificarse. Este supuesto permite enfocarse en modelar la varianza condicional de la distribución.

Dados los supuestos anteriores, el rendimiento diario se expresa como sigue:

1 1 1, 1 con Z (0,1) . . t t t t i NiZ dR σ+ + + += ∼

Estos supuestos implican que una vez establecido un modelo para la varianza, 2

1tσ + , se conocerá la distribución completa del activo, y por lo tanto se puede calcular fácilmente cualquier medida de riesgo que se requiera El modelo GARCH más simple de la dinámica de la varianza es:

2 2 21 0 1t t tRσ α α βσ+ = + + (2.95)

con:

1 1α β+ <

La ecuación (2.95) es un modelo GARCH (1,1). 2t+1σ se denomina varianza

condicional porque es una estimación futura para la varianza calculada, basada en cualquier información pasada relevante. Al estimar el modelo GARCH se puede

interpretar la varianza estimada 2t+1σ como una función ponderada de un valor

56

promedio de largo plazo (dependiente de 0α ); la información de los rendimientos al

cuadrado durante los periodos previos 21 tα R ; y la varianza ajustada por el modelo

durante los periodos previos 2tβσ . Se puede definir la varianza incondicional, o

varianza de largo plazo, 2σ , de la siguiente manera:

2 2 2 21 0 1 t t tR Eσ σ α α β σ+ = Ε = + Ε +

2 20 1 α α σ β σ= + +

2

0 1 / (1 )σ α α β= −− ( )2.96

La varianza de largo plazo en el modelo GARCH se obtiene al resolver para 0α en

(2.96) y sustituyendo en (2.95) para obtener:

( )2 2 2 2 21 1 11 t t tRσ α β σ α βσ σ+ = − + + =−

(2.97)

Así, la varianza del periodo t+1 es un promedio ponderado de la varianza de largo plazo, el rendimiento al cuadrado y la varianza en el periodo t , dicho de otra manera, la varianza en t+1 es la varianza de largo plazo con algo sumado (restado) si el rendimiento al cuadrado en t está por arriba (debajo) de su varianza de largo plazo, y algo sumado (restado) si la varianza en t está por arriba (debajo) de la varianza de largo plazo. Una ventaja clave de los modelos GARCH para la administración del riesgo es que el pronóstico de la varianza un periodo adelante,

t+1t,σ está dado directamente por el modelo como t+1σ . Considere ahora el pronóstico

de la varianza de los rendimientos diarios de k periodos adelante. En el modelo GARCH, el valor esperado de la varianza futura en el horizonte k es:

( )2 2 2 2 2 21 1t k t t k t t k tF R F Fσ σ α σ β σ σ+ + − + − Ε − = Ε − + Ε −

(2.98)

2 2 2 2 21 1 1 t k t k t t k tZ F Fα σ σ β σ σ+ − + − + − = Ε − + Ε − (2.99)

( )2 21 ( ) t k tFα β σ σ+ − = + Ε −

(2.100)

De donde se sigue que:

( ) ( ) ( ) ( )1 12 2 2 2 2 21 1

k k

t k t t t tF Fσ σ α β σ σ α β σ σ− −+ + + Ε − = + Ε − = + −

(2.101)

57

La esperanza condicional, tFΕ⋅ se refiere a calcular la esperanza usando toda la

información disponible al final del periodo t . La tFΕ⋅ incluye el rendimiento

ajustado al periodo t también. El término α+β en (2.110) se conoce como la

persistencia del modelo. Una alta persistencia ˗esto es, un α+β cerca de 1˗ implica

que las perturbaciones alejan la varianza de su promedio de largo plazo. Por lo cual esta situación persistirá durante mucho tiempo, pero eventualmente el pronóstico de largo plazo regresará a la varianza de largo plazo promedio, 2σ . Por lo tanto, el modelo GARCH supone que eventualmente, la varianza regresará a un valor promedio (reversión a la media). Hasta ahora se ha considerado pronosticar la varianza de los rendimientos diarios de k periodos hacia adelante, porque resulta más interesante.

1:1

k

t t k t kk

R R+ + +=

≡∑

(2.102)

Bajo el supuesto de que los rendimientos tienen autocorrelación cero, la varianza de los rendimientos acumulados a K periodos es simplemente:

2

2 21:

1 1

Ε Ε k k

t t k t k t t k tk k

Rσ σ+ + + += =

≡ ≡

∑ ∑F F

(2.103)

En el modelo GARCH se obtiene:

( ) ( )12 2 2 21: 1

1

k

k

t t k tk

Kσ σ α β σ σ−+ + +

=

≡ + + −∑

(2.104)

( ) ( )12 2 2 21: 1

1

k

k

t t k tk

Kσ σ α β σ σ−+ + +

=

≡ + + −∑

(2.105)

Un inconveniente del modelo es que la distribución conjunta es desconocida incluso si la distribución al periodo t+1 se supone normal, como se hace en esta sección. Así, mientras que es fácil pronosticar la varianza de largo plazo en el modelo, no es fácil pronosticar la distribución condicional completa.

58

2.5.1 Extensiones al modelo GARCH

Como se observó anteriormente, uno de los distintos beneficios de los modelos GARCH es su flexibilidad. En esta sección, se explora esta flexibilidad y se presenta algunos de los modelos más útiles para la administración del riesgo.

Memoria de largo plazo en la varianza

El modelo GARCH estándar discutido anteriormente se denomina GARCH (1.1) porque está compuesto solamente por un rezago de los rendimientos al cuadrado y un rezago de la varianza. Para el pronóstico a corto plazo de la varianza, este modelo es suficiente, pero en general podemos tener en cuenta una dinámica de orden mayor considerando un modelo GARCH (p, q) que incluye los rezagos de orden mayor como sigue:

2 2 21 0 1 1

1 1

t i

p q

t i i t ji j

Rσ α α β σ+ + − + −= =

= + +∑ ∑

(2.106)

El modelo GARCH simple supone que la varianza de largo plazo es constante en el tiempo. Los componentes del modelo GARCH, el cual es un GARCH (2,2) restringido, se obtiene al permitir que la varianza de largo plazo cambie con el tiempo

y sea capturada por el factor 1tv + en:

( ) ( )2 2 21 1 t t t t t tv R v vσ α β σ+ += + − + −

(2.107)

( ) ( )2 2 21 1 t t t t t tv R v vσ α β σ+ += + − + −

(2.108)

Este modelo puede capturar potencialmente los parámetros de autocorrelación en la varianza, que desaparecen más lento que en el modelo estándar de memoria a corto plazo GARCH (1,1).

59

El efecto de apalancamiento Uno de los hechos caracterizados que presentan los rendimiento de los activos financieros es que un rendimiento negativo aumenta la varianza más que un rendimiento positivo de la misma magnitud, lo que se ha denominado como el efecto apalancamiento, debido a que un rendimiento negativo en una acción implica una caída en el valor del capital (equity), lo cual implica que una empresa está más apalancada y por tanto más riesgosa (si se supone que el nivel de la deuda permanecerá constante). Se puede modificar el modelo GARCH de tal forma que el peso dado al rendimiento depende de si el rendimiento es positivo o negativo:

( ) ( )22 2 2 2 21 0 0 1 t t t t t t tR zσ α θσ βσ α α σ θ βσ+ = + − + = + − +

(2.109)

El modelo en (2.109) se denomina NGARCH (non linear GARCH). Note que

estrictamente se trata de un arribo de noticias positivas, tz >0, comparado con un

rendimiento simple tR , que tiene menos de un impacto en la varianza que un arribo

de noticias , si θ>0 . La persistencia de la varianza en este modelo es ( )2α 1+θ +β, y

la varianza de largo plazo es ( )( )2 2

0 1σ =α / 1-α 1+θ -β. Otra manera de capturar el efecto

apalancamiento es definir una variable indicadora, tI , que toma el valor de 1 si el rendimiento del día t en negativo y cero en otro caso.

1, 0

0, . .t

t

si RI

e o c

<=

La dinámica de la varianza se puede especificar como:

2 2 2 21 0 1 1 , t t t t tR I Rσ α α α θ βσ+ = + + + (2.110)

Así, un θ mucho mayor que cero capturará de nuevo el efecto de apalancamiento. El modelo definido en (2.110) es conocido como el modelo de GJR-GARCH por sus autores Glosten, Jagannathan y Runkle (1993). Un modelo que también captura el apalancamiento es el modelo GARCH exponencial o EGARCH, Nelson(1991) en que la dinámica de la varianza es:

( )2 21 0 1ln ln t t t t tR R E Rσ α α φ γ β σ+ = + + − +

(2.111)

60

El cual exhibe el efecto usual de apalancamiento sí 1 0α φ < . El modelo EGARCH

tiene la ventaja de que la especificación logarítmica asegura que la varianza sea siempre positiva, pero tiene la desventaja que la varianza esperada futura más allá de un periodo no se puede calcular analíticamente. Modelo ARCH-M

Engle, Lilien y Robins (1986) extienden el modelo ARCH básico con el supuesto de que la media dependa de los movimientos de la varianza. Enders (2004) explica que esta clase de modelos, llamados ARCH-m, se pueden aplicar a series históricas de precios de activos, ya que una característica fundamental de estos mercados es que los inversionistas adversos al riesgo requieren una compensación para retener un activo riesgoso. Dado que el riesgo de un activo puede ser medido por la varianza del rendimiento, el premio al riesgo puede incrementarse en función de la varianza condicional del rendimiento.

Engle (1986) expresan esta idea, formulando el rendimiento en exceso del activo riesgoso que se desea retener como sigue:

t t ty µ ε= + (2.112)

donde:

ty : rendimiento en exceso del activo que se desea retener,

tµ : premio al riesgo necesario para inducir el inversionista a retener el activo

tε : “shock” no estimable del rendimiento en exceso de los activos

Esta ecuación explica que el exceso de rendimiento para retener el activo debe ser igual al premio al riesgo:

1( )t t tE y µ− = (2.113)

Engle et al (1986) suponen que el promedio al riesgo se incrementa en función de la varianza condicional de tε es decir, el incremento de la varianza condicional de los rendimientos aumenta la compensación necesaria para inducir a los inversionistas a retener el activo a largo plazo. Matemáticamente, si 2

tσ es la varianza condicional del el premio al riesgo puede ser expresado como:

2t tµ β δσ= + (2.114)

61

donde 2tσ es un proceso ARCH(q):

2 20 1

1

q

t j tj

σ α α ε −=

= +∑

(2.115)

Una generalización del modelo ARCH-m(q) es el modelo ARCH-m(p,q) que considera a la varianza condicional como un modelo GARCH y está dado como:

2 2 20

1 1

q p

t j t j j t jj j

σ α α ε β µ− −− −

= + +∑ ∑

(2.116)

Estas ecuaciones constituyen la idea básica del modelo ARCH-m. De las dos primeras ecuaciones observamos que la media de ty depende de la varianza

condicional 2tσ . De las dos últimas ecuaciones, se observa que la varianza

condicional es un proceso ARCH (q) y ARCH(p,q), respectivamente. Si la varianza condicional es constante 1 2 0qα α α= = = y el modelo ARCH-m degenera dentro del

caso tradicional del premio al riesgo contante. La importancia del modelo ARCH-m es que incorpora la varianza condicional no constante al exceso de rendimiento necesario para retener el activo a largo plazo.

Estimación por máxima verosimilitud

En la sección anterior se introdujeron una gama de los modelos que deberían ajustarse bien a los datos, pero tiene un número de parámetros desconocidos que deben ser estimados. Para hacer tal estimación, hay que considerar el hecho de que

la varianza condicional, 2t+1σ , es una variable no observable que debe ser estimada

implícitamente junto con los parámetros del modelo. Por ejemplo: 0 1α ,α ,β.

Dado el hecho que el modelo es no lineal, no se puede usar el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) para la estimación de los modelos GARCH. Hay varias razones para ello, pero las más sencilla y fundamental es que MCO minimiza la suma de los residuales al cuadrado (SRC). La SRC depende solamente de los parámetros en la ecuación de la media condicional, y no de la varianza condicional, y por tanto, la minimización de la SRC no es método adecuado.

Para estimar modelos de la familia GARCH se utiliza otra técnica conocida como máxima verosimilitud. Esencialmente, este método obtiene los valores más parecidos de los parámetros dados por los datos de una muestra. Específicamente se plantea una función de verosimilitud logarítmica y se maximiza en forma apropiada. La estimación por máxima verosimilitud se utiliza para encontrar valores de los

62

parámetros tanto para modelos lineales como no lineales. Se discutirá brevemente el método de estimación por máxima verosimilitud con el siguiente ejemplo. Recuérdese el supuesto:

, ~ . . (0,1) t t t tR con z i i d Nzσ=

y

El supuesto de variables aleatorias normales independientes e idénticamente

distribuidas (i.i.d.) implica que la función de verosimilitud, o la verosimilitud tI de tR

es:

2

22

1 exp -

22t

ttt

Rl

σπσ

=

(2.117)

( )21

2 22

1

2 exp2

Tt

tt t

Rπσσ

−

=

= −

∏

(2.118)

Y la verosimilitud para toda la muestra es:

2

221 1

1

22

T Tt

tt t tt

RL l exp

σπσ= =

= = −

∏ ∏

(2.119)

Una manera de elegir parámetros para ajustar los datos de una muestra es maximizar la verosimilitud de una muestra observada en (2.119). Recuérdese que maximizar el logaritmo de una función es equivalente a maximizar la función misma, ya que la función logaritmo es monótona y creciente. La maximización del logaritmo es conveniente pues sustituye productos por sumas. Así, se eligen los parámetros

( )α,β.......... , que se resuelven:

( )

1

max ln max ln T

tt

L l=

= ∑

(2.120)

( ) ( )2

22

1

1 1 1max ln 2 ln

2 2 2

Tt

tt t

Rπ σσ=

= − − −

∑

(2.121)

63

A los parámetros óptimos obtenidos se les denomina estimadores de máxima verosimilitud o EMV´s. Estos estimadores poseen características teóricas cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

Propiedades estadísticas de las EMV´s:

a) Consistentes. b) Asintóticamente normales. c) Eficientes.

En la práctica no se cuenta con una historia infinita de datos disponibles. Incluso si se tiene disponible una serie de tiempo grande, por ejemplo, los rendimientos diarios de algún activo o índice, o en este caso el precio del petróleo, no es claro si se deben de usar todos esos datos al estimar los parámetros. A veces cambios estructurales usuales tales como un nuevo tipo de cambio o nuevas regulaciones en un mercado particular, pueden servir de guía en la elección del tamaño de la muestra. Pero muchas veces las fechas de estos cambios estructurales no son conocidas y dejan al administrador de riesgo tener que ponderar las ventajas teniendo una muestra más larga, que implica estimaciones más exactas (suponiendo que no hay cambios); y una muestra más corta, que reduce el riesgo de estimar a través de un cambio estructural. Cuando se estiman modelos GARCH una regla general es utilizar las últimas 1000 observaciones diarias y actualizar la muestra con mucha frecuencia para que los parámetros cambien con el tiempo.

Quasi-Estimación por máxima verosimilitud

Se puede ahora discutir que los estimadores por máxima verosimilitud se basan en el supuesto de que la distribución condicional es normal, lo cual es falso, mientras este argumento parece ser válido, un resultado clave en econometría afirma que incluso si la distribución condicional no es normal, la estimación de máxima verosimilitud da como resultado para los parámetros de la media y la varianza una convergencia a los verdaderos parámetros cuando el tamaño de la muestra es muy grande, siempre que las funciones para la media y la varianza sean especificadas en forma apropiada.

Este resultado establece lo que se ha denominado quasi estimación por máxima verosimilitud o QEMV, refiriéndose al uso de la estimación de máxima verosimilitud normal aun cuando el supuesto de distribución normal sea falso. Note que la QEMV libera de considerar la distribución condicional, pero tiene un precio: los estimadores por QEMV en general son menos exactos que los de estimadores de máxima

64

verosimilitud. De esta manera, se compensa eficiencia asintótica teórica del parámetro por un aspecto práctico.

Por consecuencia se presenta un truco en el cambio del valor de 0α , a este truco se

le denomina (variance targeting). Recuerde que el modelo GARCH simple la varianza de lago plazo es:

20 1 / (1 )σ α α β= −−

20 1(1 )σα α β−= −

( )2 2 2 2 2 21 0 1 1 1 1 ,t t t t tR Rσ α α βσ α β σ α βσ+ + −= + = − + +

Así, en lugar de estimar 0α por máxima verosimilitud, se puede fijar la varianza de

largo plazo, 2σ , igual a la varianza muestral que se estima como:

2 2

1

1 T

tt

RT

σ=

= ∑

(2.122)

La varianza objetiva tiene la ventaja de incluir directamente la estimación de la varianza de largo plazo en el modelo GARCH. Aún más, facilita la estimación al reducir en uno el número de parámetros por estimar.

65

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

3.1 Análisis de la Serie de tiempo

Los datos para el estudio del análisis de la serie de tiempo del precio de la mezcla mexicana de exportación fueron obtenidos de la página del Servicio Geológico Mexicano, en el cual se obtuvieron 1268 datos los cuales representan los precios diarios del precio de la mezcla Mexicana de exportación del año 2008 al año 2012.

La serie de tiempo del precio del petróleo en su forma estacionaria no muestra datos suficientes para la aplicación de modelos ARIMA, para tener una función para la estimación futura del precio del petróleo, y tomar dichos precios futuros como el precio de ejercicio (K) para la estimación de opciones de venta sobre el precio del crudo, que serán calculados con el modelo GARCH-SMC y el tradicional Black y Scholes, es importante señalar que aunque al seccionar la serie por años no se puede ajustar a algún modelo ARIMA, ya que los correlogramas no muestran información necesaria para la aplicación de dichos modelos, en la figura 13 se muestra el ejemplo de toda la serie del año 2008 al 2012.

Figura 13. Precios diarios de la Mezcla Mexicana de Exportación 2008-2012.

Fuente: Elaboración propia con datos obtenidos del SGM (2013).

66

También se hace el análisis con series de tiempo multivariado específicamente con los modelos de vectores autorregresivos (VAR), utilizando las series de tiempo de la MME y el Brent en su forma estacionaria, no se encuentra un modelo que tenga un buen ajuste, y la R cuadrada son muy pequeños en órdenes del 3% como se observa en la figura 14, en la que representa el modelo VAR de la MME y el Brent para el año 2009 en su forma estacionaria donde la R cuadrada es 2.5% aun cuando los criterios de Akaike o Schwarz son los mínimos con dos rezagos como se presenta a continuación. Figura 14. Modelo VAR de la MME para el año 2009

Fuente: Elaboración propia Debido a que no se tiene un modelo específico para el cálculo del precio de futuro a un año se toma el precio máximo observado en el periodo, como el precio de ejercicio, ya que los modelos presentan reversión a la media en el largo plazo, y tratándose de precios diarios este proceso se presenta en periodos muy cortos menores a un año.

67

3.2 Modelo de Duan (1995)

En el año de 1995 Duan desarrolló un modelo considerando que el proceso de la volatilidad es conocido por un proceso GARCH-M(1,1) y sugirió que puede evitar potencialmente los errores de valuación asociados al modelo de Black y Scholes. Más adelante se desarrollará el modelo propuesto por Duan el cual no tiene una fórmula cerrada para la valuación del precio de opciones.

A continuación se desarrolla el modelo propuesto por Duan (1995). Para ello se supone que los rendimientos (logarítmicos) diarios, son:

( ) ( ) ( )21 1ln ln , ,

iid

t t tR S S N µ σ+ += − ∼

(3.1)

El rendimiento agregado en T días se distribuye también de manera normal con

media µ y varianza 2σ de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )21: ln ln , ,

iid

t t T t T tR S S N T Tµ σ+ + += − ∼

(3.2)

y el precio futuro del activo es:

( )1:exp ,t T t t t TS S R+ + += (3.3)

Por lo cual el proceso del rendimiento del subyacente satisfice:

( ) ( ) 21 1 1 1 1 1

1ln ln ,

2t t t t t t tR S S r zλσ σ σ+ + + + + +≡ − = + − +

(3.4)

donde:

1. El rendimiento esperado del activo es igual a la tasa libre de riesgo r más un premio al riesgo por la volatilidad λ , Y un término de normalización 1tσ + .

2. El rendimiento diario observado es igual al rendimiento esperado más un término de perturbación 1 1t tzσ + + .

3. ( )2,iid

N µ σ∼ .

4. 2σ sigue un proceso GARCH (1,1) con apalancamiento, el efecto de apalancamiento crea una asimetría en la distribución de los rendimientos.

5. La asimetría captura el sesgo implícito observado en los precios de opciones. La perturbación se distribuye de la siguiente manera

68

1 (0,1)tz N+ ∼

Y la función de la volatilidad es la siguiente.

2 2 21 0 1( ) .t t t t tzσ α α σ θσ βσ+ = + − + (3.5)

El valor esperado y la varianza del rendimiento del periodo siguiente condicional a toda información disponible al tiempo t son, respectivamente.

[ ][ ]

1 1

21 1

E |

Var | ,

t t t

t t t

R F r

R F

λσ

σ+ +

+ +

= +

=

Se Sabe que [ ] ( )2E exp( ) exp / 2x µ σ= + , la esperanza condicional de rendimiento de

un activo está dado por:

[ ]

( )

( )

211 1 1 1

21 1 1 1

2 21 1 1

2 21 1 1

1

1| |

2

1exp exp( ) |

2

1 1exp exp

2 2

1 1exp exp exp

2 2

exp

tt t t t t t

t

t t t t t

t t t

t t t

t

SE F E r z F

S

r E z F

r

r

r

λσ σ σ

λσ σ σ

λσ σ σ

λσ σ σ

λσ

++ + + +

+ + + +

+ + +

+ + +

+

= + − +

= + −

= + −

= + −

= +

(3.6)

La esperanza del rendimiento esperado denota la importancia de la prima del riego por volatilidad λ , el precio de una opción se obtiene bajo supuesto de neutralidad al riesgo como:

( )( ) *E max ,0 |r T tt T tc e S K F− −+= −

(3.7)

De donde el valor esperando del rendimiento se denota por:

[ ]

* 1

* 21 1

E | exp( )

Var | .

tt

t

t t t

SF r

S

R F σ

+

+ +

=

=

(3.8)

69

Como se había demostrado la esperanza del rendimiento esperado es igual a la tasa libre de riesgo. Y la varianza esperada del rendimiento esperado es igual a la varianza del proceso original. Para tener una idea más general de la esperanza del rendimiento de cualquier activo se propone el siguiente proceso:

2 *1 1 1 1 1

1ln( ) ln( )

2t t t t t tR S S r zσ σ+ + + + +≡ − = − +

(3.9)

Como se puede apreciar en este proceso no se considera el premio al riesgo por la volatilidad y el valor del rendimiento esperado es igual a la tasa libre de riesgo.

La perturbación se distribuye de la siguiente manera, que es igual al proceso anterior.

*1 (0,1)tz N+ ∼

La función de volatilidad es la siguiente.

( )22 * 21 0 1 .t t t t t tzσ α α σ λσ θσ βσ+ = + − − +

(3.10)

En este caso, se puede verificar que la esperanza condicional es:

* * 211 1 1

2 *1 1 1

2 21 1

1E | E |

2

1exp E ( ) |

2

1 1exp exp

2 2

exp( ),

tt t t t t

t

t t t t t

t t

Sr z

S

r z

r

r

σ σ

σ σ

σ σ

∗++ + +

∗+ + +

+ +

ℑ = − + ℑ

= − ℑ

= −

=

(3.11)

Se estima la varianza condicional bajo un proceso neutral al riesgo, y se concluye que la esperanza del rendimiento esperado es igual a exponencial de la tasa libre de riesgo.

70

[ ] ( )2* * 21 0 1

22 2

0 1 1

2 20 1

21

Var | |

1|

2

( ) |

,

t t t t t t t t

t t t t t t

t t t t t

t

R E z

E R r

E z

α α σ λσ θσ βσ

α α σ λσ θσ βσ

α α σ θσ βσ

σ

∗+

+

+

ℑ = + − − + ℑ

= + − + − − + ℑ

= + − + ℑ

=

(3.12)

Por lo cual la varianza es igual al proceso original, aun incluyendo en la función de la varianza la prima al riesgo por la volatilidad y la varianza es conducida por un GARCH.

71

3.3 Simulación Monte Carlo (SMC)

Es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema. Está basada en el muestreo sistemático de variables aleatorias.

Se ilustra el poder de la simulación Monte Carlo (SMC) con un ejemplo sencillo Considere un modelo GARCH (1,1), bajo el supuesto de normalidad de los rendimientos, donde:

1 1 1, 1 con . . . (0,1 z )t tt tR i i d Nzσ+ ++ += ∼ (3.13)

2 2 21 0 1 .t t tRσ α α βσ+ = + + (3.14)

Según lo mencionado anteriormente, al final del periodo t se obtiene tR y se

calcula 2t+1σ , que es la varianza del periodo t+1 en el modelo GARCH. Usando un

generador de números aleatorios, que son estándares en la mayoría de los paquetes de software econométricos, se puede generar un conjunto de números aleatorios:

,1, 1,2...ˆ ,iz i M=

Obtenidos de una distribución normal estándar, ( )0,1 ;N M denota el número de

muestras, que podrían ser, por ejemplo, 100000. Para verificar que los números aleatorios provienen de una distribución normal estándar, se puede construir un histograma de los números aleatorios generados y comparar con la función de distribución normal teórica, o hacer pruebas de normalidad.

De estos números aleatorios se calcula un conjunto de rendimientos hipotéticos para el periodo 1t + como:

, 1, 1 ,1,ˆ ˆ i t t iR zσ+ +=

(3.15)

Dado el rendimiento hipotético se puede actualizar la varianza para obtener un sistema de varianzas hipotéticas para el periodo 2t + como sigue:

2 2 2, 2 0 1 , 1 1

ˆˆ ˆi t i t tRσ α α βσ+ + += + + (3.16)

72

Figura 15. Simulación de los rendimientos de 1t + a t k+

2 21,1 1, 1 1, 2 1,2 1, 2 1, 3 1, 1,

2 22,1 2, 1 2, 2 2,2 2, 2 2, 3 2, 2,

21

2 2,1 , 1 , 2 ,2 , 2 , 3 ,

ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ

t t t t T t T

t t t t T t T

t

M M t M t M M t M t M T

z R z R z R

z R z R z R

z R z R z

σ σσ σ

σ

σ σ

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗+ + + + +

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗+ + + + +

+

∗ ∗ ∗ ∗ ∗+ + + +

→ → → → →

→ → → → →→

→ → → → →

⋯

ր ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

ց ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ,ˆ

M t TR∗+

Fuente: Elaboración propia

Dado un nuevo conjunto de números aleatorios de una distribución (0,1)N .

,2, 1,2,ˆ , iz i M= … se puede calcular el rendimiento hipotético al periodo t+2 .

y la varianza se actualiza por:

2 2, 3 0 1 , 2, 2

ˆˆ ˆ i t i t tRσ α α β σ+ + += + + (3.17)

En la figura 10 se muestra la simulación de rendimiento diarios hipotéticos a partir del modelo del periodo t+1al periodo t+k .

Cada renglón corresponde a lo que se denomina trayectoria de una simulación Monte Carlo, la cual inicia a partir de 2

1tσ + en el primer día o periodo, pero no para

los demás periodos. En cada periodo se actualiza una nueva trayectoria con un nuevo número aleatorio, que es diferente del usado en cualquier otro periodo anterior. El proceso termina con M sucesiones de rendimiento hipotéticos, comenzando desde el periodo t+1 hasta t+k . A partir de estos rendimientos futuros hipotéticos es posible calcular el K-ésimo rendimiento hipotético de cada trayectoria de Monte Carlo como:

, 1: ,1

, para 1,2,.ˆ .. .ˆ ,K

i t t k i t kk

R R i M+ + +=

= =∑

Observe que el método de GARCH-SMC descrito anteriormente es condicional en naturaleza porque se construye a partir de la estimación en el periodo t para la varianza del periodo t+1. Otra ventaja dominante de la técnica SMC es su flexibilidad.

73

La técnica SMC se puede utilizar en cualquier modelo correctamente especificado para dinámica de la varianza, en este caso se utiliza para la dinámica de la varianza del precio del petróleo

Para estimar el precio de una opción europea de compra se tiene que:

( )( ) *E max ,0 | ,r T tt T tc e S K F− −+= −

Y la simulación se hace de la siguiente manera:

(3.18)

Para el cálculo de la varianza condicional se utiliza la simulación Montecarlo

mencionada anteriormente, y el término **λ λ θ≡ + .

A continuación se calcula la esperanza de un proceso neutral al riesgo para la trayectoria de la simulación como:

� � �2 *, ,, ,

1,

2i t j i ji t j i t jR r zσ σ+ + += − + ɵ

(3.19)

donde la varianza es actualizada de la siguiente manera:

� � �( ) �22 2*

**,, 1 , , ,0 1 .i ji t j i t j i t j i t jzσ α α σ λ σ βσ+ + + + += + − +ɵ

(3.20)

En una primera instancia las trayectorias simuladas empiezan con 21tσ + por lo que:

� �

� ( )

2 *

, 1 ,1, 1 , 1

22 *** 2

,1, 2 0 1 1 1 1

1

2i t ii t i t

ii t t t t

R r z

z

σ σ

σ α α σ λ σ βσ

∗+ + +

+ + + +

= − +

= + − +

ɵ

ɵ

Se simulan los rendimientos de M simulaciones cada día hasta la fecha de vencimiento, T, y posteriormente se calculan los precios hipotéticos de los activos neutrales al riesgo al vencimiento de la siguiente manera:

2 * 2 21 0 1

* 2 20 1

* ** 2 20 1

( )

( ( ) )

( ) ,

t t t t t

t t t t

t t t t

z

z

z

σ α α σ λσ θσ βσα α σ λ θ σ βσα α σ λ σ βσ

+ = + − − +

= + − + +

= + − +

74

� **

,,1

exp , 1,2,..., .T

i t ji t T tj

S S R i M++=

= =

∑

Donde el precio del activo hipotético al vencimiento se va actualizando con la simulación Montecarlo de los rendimientos esperados de dicho activo. Una vez obtenido el precio hipotético del activo, el precio de la opción se calcula como el promedio de los pagos futuros hipotéticos traídos a valor presente con la tasa libre de riesgo:

( )ɵ( )

*

*

,

1

E max ,0 |

1max ,0 .

rTt T t

MrT

i t TGHi

c e S K F

c e S KM

−+

−+

=

= −

≈ −∑

(3.21)

En el caso de la opción de venta, se tiene que:

( )ɵ( )

*

*

,

1

E max ,0 |

1max ,0 .

rTt T t

MrT

i t TGHi

p e K S F

p e K SM

−+

−+

=

= −

≈ −∑

(3.22)

donde: GH ; denota GARCH. De esta manera, se utiliza la simulación para calcular el precio de la opción como el valor presente de las realizaciones de la función de pago de la acción. Es importante mencionar que el número de realizaciones es a criterio del investigador, a mayor número de realizaciones el promedio converge a la esperanza.

75

3.4 Estimación de parámetros del modelo GARCH-M (1. 1)

Con base en las ideas anteriores y utilizando MATLAB, se propone el siguiente algoritmo para determinar el precio de la opción, mediante las simulaciones de los rendimientos y el a cálculo de los precios hipotéticos traídos a valor presente para el cálculo de la opción de venta europea:

1. Elegir y calibrar un proceso GARCH para la volatilidad de los rendimientos del subyacente de la opción;

2. Generar muestras del proceso GARCH elegido; 3. A partir de las muestras obtenidas, generar rendimientos del subyacente en un

mundo neutral al riesgo; 4. Repetir (2) y (3) M veces con la función de pago de la opción; 5. Calcular el promedio de las M muestras de la función de pago para obtener

una estimación de la esperanza del pago de la opción; 6. Descontar el promedio obtenido a la tasa libre de riesgo para obtener una

estimación del valor de la opción. Para el estudio se realizan 100,000 realizaciones, con los recursos computacionales actuales a mayor número de simulaciones, mayor será la precisión de los resultados. En la estimación del precio de la opción de venta sobre la mezcla mexicana de exportación siguiendo la metodología propuesta, en primer lugar se obtiene los rendimientos diarios. En la estimación del modelo se utilizó el paquete econométrico Eviews y para la simulación Monte Carlo se programó el modelo en Matlab. Para verificar la estacionariedad de los datos a través del estadístico de Dickey-Fuller, y la significancia estadística de los parámetros, los correlogramas de los residuales estandarizados y de los residuales estandarizados.

Los resultados de la aplicación del modelo GARCH-M (1,1), para la estimación de los parámetros y la volatilidad de largo plazo del rendimiento del petróleo para los años; 2009, 2010, 2011, y 2012 son los que se presentan en la tabla 9.

La varianza da lago plazo se calcula con la formula (2.96), y la varianza obtenida en cada periodo nos servirá para calcular el precio de la opción para el periodo siguiente, debido a que es la varianza de largo plazo.

76

Tabla 8. Parámetros del Modelo GARCH-M (1,1) y volatilidad de largo plazo.

AÑO 0α 1α 1β λ 2σ diaria σ anualizada

2009 2.47E-11 0.9726 0.0220 0.4461 0.000000 NA1

2010 0.102 0.9155 0.0479 0.0903 3.500952 35.746994

2011 0.0373 0.9843 0.0012 0.0000 2.596699 30.786282

2012 0.1709 0.8156 0.1003 0.1236 2.385535 29.507970

Fuente: Elaboración propia utilizando Matlab.

Los valores de los parámetros nos arrojan que la desviación estándar anualizada, es de 35.74, 30.78 y 29.50, para los años 2010, 2011 y 2012 respectivamente. Estos valores nos servirán para calcular los precios de opciones para la fórmula de Black y Scholes para los años 2010, 2011 y 2012. Para el cálculo del precio de la opción, se proponen precios spots hipotéticos que empiezan desde el valor mínimo observado en la serie y que aumentan en 5 unidades hasta superar el precio de ejercicio. Para el precio de ejercicio se toma como el valor máximo observado en la serie. Los datos obtenidos se muestran en las tablas 10, 11, 12 y 13, que representan los precios para las opciones durante los años 2009, 2010, 2011 y 2012 respectivamente. Se obtuvieron los precios de opciones de compra y de venta europeas con el método de simulación Monte Carlo con M=100,000.

Tabla 9. Precio de opciones de compra y venta año 2009 para el precio de la mezcla mexicana de exportación.

Caso S K C GH P GH C B-S P B-S 1 40.0 75.0 0.0000 33.6276 NA2 NA 2 45.0 75.0 0.0000 28.8237 NA NA 3 50.0 75.0 0.0000 24.0197 NA NA 4 55.0 75.0 0.0000 19.2158 NA NA 5 60.0 75.0 0.0000 14.4118 NA NA 6 65.0 75.0 0.0000 9.6079 NA NA 7 70.0 75.0 0.0009 4.8049 NA NA 8 75.0 75.0 0.5581 0.5581 NA NA 9 80.0 75.0 4.8042 0.0002 NA NA

10 85.0 75.0 9.6079 0.0000 NA NA

11 90.0 75.0 14.4118 0.0000 NA NA

Fuente: elaboración propia.

1 Los valores de λ no son significativos para el año 2009 y no es posible calcular la varianza de largo plazo.

2 Debido a que no hay una varianza anualizada de largo plazo para el año 2009, no es posible calcular el precio

de la opción.

77

Para el año 2009, en la tabla 9 se puede apreciar que para los casos del 1 al 7 las opciones call se encuentra fuera del dinero y la opciones put se encuentra dentro del dinero y para el caso 8 las dos opciones están en el dinero, y para los casos del 9 al 11 las opciones call se encuentra dentro del dinero y la opciones put están fuera del dinero, se puede apreciar que con el modelo GARCH-M(1,1) en este año no se pudo obtener la varianza anualizada debido a que los valores de λ no fueron significativos para calcular dicho valor, y no se puede hacer una comparación con el modelo de Black-Scholes. Para el caso en que S K= el valor de la opción de compra es igual a la de venta.

Tabla 10. Precio de opciones de compra y venta año 2010 para el precio de la mezcla mexicana de exportación.

Caso S K C GH P GH C B-S P B-S 1 60.0 80.0 2.3547 21.5705 3.4791 20.3423 2 65.0 80.0 3.7017 18.1135 5.2023 17.0655 3 70.0 80.0 5.4475 15.0554 7.3355 14.1986 4 75.0 80.0 7.6027 12.4067 9.8647 11.7279 5 80.0 80.0 10.1458 10.1458 12.7631 9.6263 6 85.0 80.0 13.0487 8.2448 15.9955 7.8587 7 90.0 80.0 16.2721 6.6642 19.5231 6.3863 8 95.0 80.0 19.7813 5.3694 23.3067 5.1699 9 100.0 80.0 23.5320 4.3162 27.3086 4.1718

10 105.0 80.0 27.4835 3.4637 31.4945 3.3576 11 110.0 80.0 31.5979 2.7743 35.8336 2.6967

Fuente: Elaboración propia. Para el año 2010, en la tabla 10 se puede apreciar que para los casos del 1 al 4 la opciones call se encuentra fuera del dinero y la opciones put se encuentra dentro del dinero, para el caso 5 las dos opciones están en el dinero, para los casos del 6 al 11 la opciones call se encuentra dentro del dinero y la opciones put están fuera del dinero. En la tabla 10 se puede apreciar para opciones put en el dinero; la fórmula de B-S subvalúa la prima de una opción put, y fuera del dinero con opciones put la prima calculada con el modelo de B-S fueron menores que las obtenidas con el modelo GARCH-M(1,1). Para opciones call en todos los precios de ejercicio considerados el modelo GARCH-M(1,1) subvalúa la prima de la opción comparada con la obtenida con el modelo de B-S.

78

Tabla 11. Precio de opciones de compra y venta año 2011 para el precio de la mezcla mexicana de exportación.

Caso S K C GH P GH C B-S P B-S 1 80.0 110.0 1.1627 29.9864 2.7979 28.4847 2 85.0 110.0 1.8459 25.8657 4.0867 24.7735 3 90.0 110.0 2.7895 22.0053 5.7016 21.3884 4 95.0 110.0 4.0389 18.4507 7.6520 18.3388 5 100.0 110.0 5.6276 15.2355 9.9364 15.6232 6 105.0 110.0 7.5756 12.3795 12.5442 13.2310 7 110.0 110.0 9.8945 9.8945 15.4574 11.1442 8 115.0 110.0 12.5819 7.7780 18.6533 9.3402 9 120.0 110.0 15.6110 6.0031 22.1062 7.7931

10 125.0 110.0 18.9587 4.5468 25.7892 6.4760 11 130.0 110.0 22.5951 3.3794 29.6752 5.3620 12 135.0 110.0 26.4863 2.4666 33.7384 4.4253

Fuente: Elaboración propia. Para el año 2011, en la tabla 11 se puede apreciar que para los casos del 1 al 6 la opciones call se encuentra fuera del dinero y la opciones put se encuentra dentro del dinero, para el caso 7 las dos opciones están en el dinero, para los casos del 8 al 12 la opciones call se encuentra dentro del dinero y la opciones put están fuera del dinero. En la tabla 11 se puede apreciar que para opciones put en el dinero y fuera del dinero con opciones put el modelo GARCH-M(1,1) subvalúa la prima de la opción. Para opciones put dentro del dinero el modelo GARCH-M(1,1) sobrevalora la prima de la opción. Para opciones call fuera del dinero y dentro del dinero el modelo GARCH-M(1,1) subvalúa la prima de una opción comparada con el modelo de B-S.

79

Tabla 12. Precio de opciones de compra y venta año 2012 Para el precio de la mezcla mexicana de exportación.

Caso S K C GH P GH C B-S P B-S 1 85.0000 115.0 1.2874 30.1111 2.9117 28.4025 2 90.0000 115.0 2.0280 26.0477 4.2131 24.7039 3 95.0000 115.0 3.0420 22.2578 5.8367 21.3275 4 100.0000 115.0 4.3722 18.7840 7.7924 18.2831 5 105.0000 115.0 6.0426 15.6505 10.0792 15.5700 6 110.0000 115.0 8.0784 12.8824 12.6872 13.1780 7 115.0000 115.0 10.4764 10.4764 15.5994 11.0902 8 120.0000 115.0 13.2198 8.4158 18.7937 9.2845 9 125.0000 115.0 16.2887 6.6808 22.2450 7.7358

10 130.0000 115.0 19.6616 5.2498 25.9267 6.4174 11 135.0000 115.0 23.3032 4.0874 29.8121 5.3029

Fuente: Elaboración propia. Para el año 2012, en la tabla 12 se puede apreciar que para los casos del 1 al 6 la opciones call se encuentra fuera del dinero y la opciones put se encuentra dentro del dinero, para el caso 7 las dos opciones están en el dinero, para los casos del 8 al 11 la opciones call se encuentran dentro del dinero y la opciones put están fuera del dinero. En la tabla 12 se puede apreciar que para opciones put en el dinero y fuera del dinero el modelo GARCH-M(1,1) subvalúa la prima de una opción, mientras que para opciones dentro del dinero el modelo de B-S subvalúa la prima de la opción. Para opciones call fuera del dinero y dentro del dinero el modelo GARCH-M(1,1) subvalúa la prima de una opción comparada con el modelo de B-S. En las figuras 16, 17, 18 y 19, se muestran los precios de las opciones de venta obtenidos con el modelo GARCH y el modelo de Black y Scholes, y en las figuras 20, 21, 22 y 23 se muestra las respectivas gráficas para las opciones de compra.

80

0

10

20

30

40

35 45 55 65 75 85 95

Pu

t

So

2009

P GH

0

5

10

15

20

25

55 65 75 85 95 105 115

Pu

t

So

2010

P GH P B-S

Figura 16. Opciones de venta P GH T=1, r=4%, K=75,σ =NA

Fuente: Elaboración propia. Con la función de volatilidad obtenida con el modelo GARCH en el año 2008, se calcula el precio de la opción para el año 2009, pero debido a que no se pudo obtener la volatilidad de largo plazo no fue posible calcularlo con la fórmula de Black y Scholes.

Figura 17. Opciones de venta P GH vs P B-ST=1. r=4%, K=80,σ = 35.75

Fuente: Elaboración propia. Se puede observar que para el año 2010 con opciones de venta, el modelo Garch no y tiene gran variación con el modelo de B-S estando dentro de dinero, y fueran del dinero el modelo de B-S subvalúa la prima de una opción.

81

Figura 18. Opciones de venta P GH vs P B-S T=1T=1, r=4%, K=110,σ =30.78

Fuente: Elaboración propia.

Para el año 2011, el modelo Garch subvalúa la prima de una opción estando dentro del dinero, fuera del dinero el modelo B-S subvalúa la prima de la opción.

Figura 19. Opciones de venta P GH vs P B-S, T=1,r=4%, K=115,σ =29.51

Fuente: Elaboración propia.

0

5

10

15

20

25

30

35

75 85 95 105 115 125 135 145

Pu

t

So

2011

P GH P B-S

0

10

20

30

40

80 90 100 110 120 130 140

Pu

t

So

2012

P GH P B-S

82

0

10

20

30

40

55 65 75 85 95 105 115

Ca

ll

So

2010

C GH C B-S

Figura 20. Opciones de compa C GH,T=1, r=4%, K=75,σ =NA

Fuente: Elaboración propia. Con la función de volatilidad obtenida con el modelo GARCH en el año 2008 fue posible calcular el precio de la opción de compra para el año 2009, pero debido a que no se pudo obtener la volatilidad de largo plazo no fue posible estimarlo con la fórmula de Black y Scholes.

Figura 21. Opciones de compra C GH vs C B-ST=1, r=4%, K=80,σ = 35.75

Fuente: Elaboración propia. En la figura 21, se puede observar que el modelo Garch para el año 2010, subvalúa la prima de una opción de compra estando dentro o fuera del dinero.

0

5

10

15

20

35 45 55 65 75 85 95

Ca

ll

So

2009

C GH

83

Figura 22. Opciones de compra C GH vs C B-ST=1, r=4%, K=110,σ =30.78

Fuente: Elaboración propia. En la figura 22, se puede observar que el modelo Garch para el año 2012, subvalúa la prima de una opción de compra estando dentro o fuera del dinero.

Figura 23. Opciones de Compra C GH vs P B-S,T=1, r=4%, K=115,σ =29.51

Fuente: Elaboración propia.

En la figura 23, se puede apreciar que B-S para el año 2012, subvalúa la prima de una acción estando dentro del dinero, y que el modelo Garch subvalúa la prima de una acción estando fuera del dinero.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

75 85 95 105 115 125 135 145

Ca

ll

So

2011

C GH C B-S

0

10

20

30

40

80 90 100 110 120 130 140

Pu

t

So

2012

P GH P B-S

84

CONCLUSIONES

Uno de los supuestos del modelo de Black y Scholes es que la volatilidad es constante durante la vigencia del contrato, lo cual motiva el problema de investigación de esta tesis, ya la evidencia empírica muestra que las volatilidades implícitas de las opciones que se negocian en los mercados para diferentes precios de ejercicio y vencimiento no son constantes. Una de las metodologías que sirve para modelar la volatilidad de los activos son los modelos de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizados (GARCH). Los modelos GARCH permiten modelar la volatilidad de series de tiempo ya que describen fenómenos tales como los clusters de volatilidad, el efecto de apalancamiento, entre otros. Se ha presentado en este trabajo un modelo GARCH para valuar opciones bajo valuación neutral al riesgo. Este modelo combina las características de los modelos estructurales y estadísticos; es decir, la función de volatilidad se supone es conducida por un proceso GARCH-M (1,1) calibrado con datos históricos, pero el precio de equilibrio de la opción se basa en argumentos de no arbitraje condicional a la volatilidad del proceso GARCH. El modelo tiene características deseables y presenta una alternativa de corregir los sesgos asociados al modelo de Black y Scholes (1973). El modelo propuesto es calibrado con los rendimientos de los precios de la mezcla mexicana de exportación, y se obtiene una función de volatilidad de largo plazo con el modelo GARCH, que es utilizado con la Simulación Monte Carlo, propuesto por Duan en 1995 para el cálculo del precio de la opción. De la misma manera con los parámetros obtenidos de la función de volatilidad con el modelo GARCH, sé puede calcular la volatilidad de largo plazo para estimar el precio de la opción con la fórmula cerrada de Black y Scholes (1973). Un resultado relevante de la aplicación de la metodología propuesta es que la simulación Monte Carlo permite calcular el precio de opciones de compra y de venta con el supuesto de que la volatilidad del subyacente es conducida por un proceso GARCH-M(1,1), esto es importante que pues el cálculo de la prima de la opción está directamente relacionada con la volatilidad del activo. Los resultados de la aplicación muestran que aunque no se cuente con un modelo en forma cerrada que nos permita hacer una expectativa sobre precios futuros, es

85

posible determinar la prima de la opción con la generación de precios hipotéticos esperados. Aunque los resultados de esta tesis indican que los modelos GARCH subvalúan las primas de las opciones, son un reflejo de las constantes fluctuaciones del precio del barril de petróleo. No obstante son una herramienta básica, ya que permite analizar los posibles escenarios ante caídas o alzas en el precio del petróleo. Esto es fundamental porque ante estos escenarios de incertidumbre proporciona elementos para el diseño de coberturas que teóricamente permiten asegurar los ingresos petroleros.

86

BIBLIOGRAFÍA

Almeida Garza Galindo, A. (1994). Determinación del precio internacional del petróleo. México: Fondo de cultura económica.

Black, F, y M. Scholes(1985)”The Pricing of Options and Corporate Liabilities ” The Journal of Political Economy, Vol 81,No. 3, pp.637-645

Black, F. (1975). “Fact and Fantasy in the Use of Options”. Financial Analyst Journal, Vol.31, No. 3, pp 36-72.

Bollerslev, T. (1986). “Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity”. Journal of Econometrics, Vol. 31, pp. 307-327

Bollerslev, T. R. (1992). “ARCH Modeling in Finance: A Review of the Theory and Empirical Evidence”. Journal of Econometrics, Vol. 52, pp. 5-59.

Bollerslev, Tim (2008). Glossary to ARCH (GARCH), working paper

Bollerslev, Tim (1986). "Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity", Journal of Econometrics.

Box, George and Jenkins, Gwilym (1970) Time series analysis: Forecasting and control, San Francisco: Holden-Day. CEFP. (15 de abril de 2012). CNMV. (2006). Qué saber de opciones y futuros. Recuperado el 20 de abril de 2012, de www.cnmv.es: www.cnmv.es/DocPortal/Publicaciones/Guias/GUI_OPCYFUT.PDF

Dickey, D.A. and W.A (1979), “Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root”, Journal of the American Statistical Association, 74, p.427-431.

Duan, J. (1995). “The GARCH Option Pricing Model”. Mathematical Finance, Vol.5 No. 23 pp. 13-32.

EFP. (2009). Precios del petróleo mexicano: expectativas y volatilidad. México. Cámara de Diputados.

El Petróleo . (2012). Recuperado el 25 de enero de 2012, de muchapasta.com http://www.muchapasta.com/b/var/Importancia%20petroleo.php

87

Enders, W. (1995). Applied Econometrics Time Series, John-Wiley & Sons, 139-149,

Engle, R. (1982). “Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflations”. Econometrica, Vol. 50, No. 4, pp. 987- 1008.

Engle, R. F., Lilien, D. M. y Robins, R. P. (1987). “Estimating Time Varying Risk Premia in the Term Structure: The Arch-M Model”, Econometrica, Vol. 55, No. 2, pp. 391-407.

Engle, R.F. (1995) ARCH: selected readings. Oxford University Press.

Engle, Robert F. (2001). "GARCH 101: The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics", Journal of Economic Perspectives (a short, readable introduction) Preprint

Garza Galindo, A. A. (1999). Determinación del precio internacional del petróleo. Opciones para México. México, Ed.FCE.

Gujarati Damodar y C. Porter Dawn.(2009) Econometria, Mc Graw Hill, quinta edicion.

Gujarati, D. N. (2003) Basic Econometrics,

Hull, J. C. (2009). Introducción a los mercado de futuros y de opciones. México, Ed. Pearson Education, 6a. Edición.

La industria petrolera. (2012). Recuperado el 5 de febrero de 2012, de la industria petrolera: http://industriapetrolera.lacomunidadpetrolera.com/2008/12/petroleo-referencial-industria.html

Lawrence R. Glosten, Ravi Jagannathan,Runkle David E. (1993), on the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks,The Journal of Finance, Vol XLVIII, No 5.

Mandelbrot, B. (1963). “The Valuation of Certain Speculative Prices”. Journal of Bussiness, Vol. 36, No. 4, pp. 394-419.

Nelson, D. (1991). “Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach”. Econometrica, Vol. 59, No. 2, pp. 347-370.

PEMEX. (s.f.). Precio de la mezcla mexicana de exportación. Recuperado el 20 de ABRIL de 2012, de PEMEX: http://www.pemex.gob.mx

88

Pérez C. (2006), Econometría de las series temporales. Madrir: Pearson Education

Sánchez de Rivera D.P. (2005). Análisis de series temporales. Madrid: Alianza Editorial

Venegas Martínez, F. (2006). Riesgos financieros y económicos. Productos derivados y decisiones económicas bajo incertidumbre. México: International Thomson Editors.

Woolddrige Jeffrey M. (2001), introducción a la econometría. México: Thomson Learning

www.cefp.gob.mx/intr/edocumentos/pdf/cefp/2009/cefp1162009.pdf

www.cefp.gob.mx/intr/edocumentos/pdf/cefp/2009/cefp1162009.pdf. Recuperado el 15 de abril de 2012, de Centro de estudio de finanzas públicas:

89

APÉNDICE

Prueba de raíz unitaria

0 : 1H ρ = : 1aH ρ ⟨

Si r = 1, entonces t Y es una serie de tiempo no estacionario. Si r <1, se infiere que t Y es una serie de tiempo estacionario Dickey - Fuller (1979), proponen la distribución del estadístico t (tau) bajo los estadísticos de MacKinnon. La cual podemos encontrar en el paquete estadístico eviews. Que se presente en la tabla

Tabla 13. Prueba de raíz unitaria de la MME a primera diferencias

Fuente: Elaboración propia

Debido a que el valor de estadístico “t” (tau), es mayor a los estadísticos de MacKinnon y la probabilidad mayor al 5% se concluye que se trata de una serie no estacionaria. Por los cual se propone un proceso estocástico integrado visto en el apartado 2.3, por lo cual se propone la primera diferencia para poder transformar la serie a una serie estacionaria.

Aplicando primeras diferencias la gráfica de la serie de los precios de la Mezcla Mexicana de Exportación se ve de la siguiente manera.

90

Figura 24. Primeras diferencias del precio del petróleo

Fuente: Elaboración propia

En esta grafica no se puede notar como es la varianza la media y la covarianza de la serie en su primera diferencia por lo cual se realiza directamente la prueba de raíz unitaria.

Tabla 14. Prueba de raíz unitaria de la MME a primera diferencias

La prueba se vuelve estacionaria