INVESTlGACI{):'\J REVISTA MEXICANA !lE FíSICA 47 (1) 17-25 FEBRERO 2001

Inferencia de estructuras vorticosas del flujo que pasa alrededor de un obstaculo,mediante un modelo euleriano tridimensional

C. Millán Barrcral y H. Ramírcl Lcón:!11l.'ltitlltoMexicano de Tecnología del Agua

Paseo Cllaul"uillllae No. 8532. Col. Progreso, 62550 Jiwel'ec, Morelos, Mexicoe-mail: lemillall@rllllnc.imtll.mx;:!f¡rleon@rlaloc.;.;l1u.mx

Recihido el :1de febrero de 2(){X): aceptado el 15 de ago~to de 2000

lIacl~ rna~ dc cil'n años. se inlirió la existencia de corrientes secundarias has:'ndose en el hecho de que la velocidad máxima en canales seencuentra justo dehajo de la superficie Iihre. y el de la variación cíclica de s6lidos suspendidos en la Jirección transversal de un canal. Gibson( 1()O!)). estimú la \'elocidad aproxilllnda de tales corrientes como aproximadamcntc el YYr. de la velocidad principal. A pesar de su aparentedehi lidad. las corrientes secundarias juegan un papel esencial en la transferencia lateral de cantidad dc movimiento. calor y masa en un canal.por tanto. su variadün es tridimensional. Asimismo son responsahlcs en gran partt.: de las formas de fondo. en llujos con gran conlCnidolk sedimentos suspendidos. La importancia dell1ujo secundario ljllctla de manitiesto cuando se illlroLluce el concepto de vorticidad. En t.:steartículo sc presentan los resultados ohtenidos con un modelo euleriano tridimel1siollalljue incluye la t.:cuación estadística de la vorticidad.donde las correlaciolles Il¡wj fueron modeladas en función de las correlaciones dohles Ui1/j ohtellidas. mediante las propiedades dell1ujoIUrhulento. El modelo se aplica a un canal con un obstáculo en el fondo. Los resul!aLlos arrojados por la simulación son interesantes. ya quelos patrones de Hujo de vorticidad se comportan de manera semejante a otrm encontrados en estudios experimentales. La finalidad de estee~tlldio es servir de hase a estudios posteriores sohre los procesos dinámicos del movimiento de partículas en el fondo de un canal.

lJes("I"il'torn: \hrlil'idad tridiml'nsiona1: modelación de la turhlllcncia: cstrul'turas tic vorticitlaJ: modclación de las correlaciones W¡llj

\lnrc than l ()O )'ears ago. it was inferred the existence of sccondary currents in open channels on the hasis of the fact thal the maximun\'ChKity ol'urrcd just nelow the free surface indeed another one. the cyclic variation of the nmcentration of suspended sediment in ihespanwisc dire(.tioll 01'them. Gihson (1909). estimated that the \"elocity 01"the sccondary Cllrrcnts would he aooul 50/•..of mainstream \'elocity.In spilC nI"tllL'irapparclll wcakness. the secondary currents play an esential role in the lateral transfcr 01'momentum. energy, heat and mass ina channel. and tllus their distrihutions sho\V variations in allthrec dimensions. In the same formo for the most pan they are responsibles of IheIx'd patlern ••in high contcnt sediment suspended flows. The importancc of secombry I1mv5is manifestcd on the fact ofthe introduction fromvOrlil'ity I:ollf..'ept.In this work. sorne results ohtained wilh n 3-D elllerian l1lodelto \,I,'hichhas couplctl the statistical vorticity equation. areshm•....n. Corrclatiol1s 11,""") werc rnodeled according to 11; Ilj correlations llsing the l1uid no\\' turhulcllce properties. l\lodel is applied to a !lowt1dormctl hy a ¡hree dimt.:nsional obstacle at ¡he bottom. Simulation resulls 01'the vOrlicity shmv silllilarities with other llo\Vpattcrns behaviors!"ounu in experimental investigations. This work will he used as a hadgrtllllld to suhsequellt studies conccrning dynamical processcs 01'theparliclcs 1ll0\'elllellt on the hottolll of a channel

KI'Yll'fmls: Tridilllt.:nsiollal vnrticity: turhulencc modelling: vorlicity stnlL'tllIT:-';•.•....".1 l'orrclatiolls 1ll00klling

I'ACS: -t7.:n.Cc

1. Inlrodlll'ciún

La turhulencia ~Il canales ahiertos consiste de movimien-tos COIl tilla amplia gama de escalas que se extienden desdemilímetros hasta aharcar la profundidad del flujo. Desde los;ui()l; tr~inta s~ ha tenido claro que la turhulencia juega unpapel muy imporlante en los fenómenos de transporte y sehan llevado a caho numerosos estudios encaminados al cn-tendimiento de las diferenles escalas de la turhulcncia y suin!lucncia en los procesos de transporte de sedimentos en ca-nales. Sin cmbargo. aunque las teorías son cada vez mejorcntendidas :uín no sc han resucito modelos que permitan des-crihir los procesos de transporte de sedimentos sohre hase sr~lcv:tntes del conocimie1lto pI/m de larllrblllellcia. En lugardc 1.'110.se han propuesto para uso práctico muchas formula-ci(lIles clllpíricas.

En la literatura se encuentran Illodelos que consideran di-versas aproximaciones de la turbulencia que van desde cocfi-

ciL'ntcs, constantes o variables, hasta teorías refinadas que re-quieren equipos de cómputo sollsticados. Sin embargo, a pc-sar dc los grandes avances ell tecnología computacional. losprocedimientos como las simulaciones directas, que en teoríason capaces de cOllsiderar todo el espectro de escalas de laturbulencia tridimcnsional. son aplicados solamente a situa-ciones dcmasiado idealizadas como en !lujos a bajos númerosd~ Rc)'nolds y/o hidimensionales. Para altos números de Rey-Ilolds, situación usualmcnte encontrada en la naturaleza, eltamaño de los vonicillos más pequeños de la rurbulencia essólo 10- I a 10-:1 de la profundidad delllujo. Para un númerode Reynolds de 3300 [1 J requirieron de 4 millones de puntosde malla y 250 horas de tiempo de supercomputadora para si-mular Ilujo en un canal. En las diferentes aplicaciones de estatécnica se ha hecho evidente una estructura de la turhulenciasimilar a la ohservada experimentalmente. Debido a que lassimulaciones directas arrojaron resultados aceptables, propi-ciaron 1.'1desarrollo de los métodos de simulación de grandes

IX C. MILLÁN BAI{RERA Y H RAMIREZ LEÓN

FI(;URA 2. ESLJucma L1c rcsullaLlos obtenidos por Larnusse l't

"t. 131.

FI(;Uf{:\ l. Resultado parcial del experimento de W. f-rank 12].U, txJI- u, (O)

FJ<iURA 3. Ejemplo oc un csfucrl.O COflante puro.

en la cual Sij representa el tensor o la componente simétricadelllujo y Rij cl tensor () la componentc de rotación. dellni.

2. Aspectos fundamentales del movimiento deuna partícula fluida

( 1 )

las estructuras turhulentas y se limitan a definirlas cualitativa-mcnte. El modelo desarrollado en este estudio reproduce ade-cuaJamente las estructuras de vorticidad reportadas por otrosautores. perrnitienJo ;:¡Jem<Íscuantilkar y seguir la cvolucióne intensidaJ de los vórtices.

Si se recuerda tlue la turhulencia es hásicamente tridimcnsio-nal. se puede señalar que la velocidad instantánea en un punlodel espacio debe verse COlllOla resultante de las induccionesdel conjunto de remol ¡nos t1elmedio circundante. Un ejemplosimple de esta afirmación anterior se muestra en la Fig. 3. enla que un esfuerzo cortante puro. representado por el gradien-te 0.0 (DUjDy). introduce un alargamiento o deformación enla dirección inclinada a ,I;j° con respecto a los ejes x-y. y unafuerza de compresión en la dirección perpendicular.

Como resultado de la acción del cortante sohre el llui-do. una partícula se ve sometida a tres tipos de acciones alpasar tle un tiempo tI al tiempo t'l: a una deformación, unarotación y. además si la partkula cambia con respecto al es-pacio, a una traslación. La deformación y rotación se denomi-nan componente simétrica y antisimétrica del movimiento del!luido. respectivamente. La deformación tOlal del flujo puedecscrihirse como

remolinos, que simulan directamente el movimiento turbu-lento dc las grandes csc<llas, que se puede resolver por unamalla numérica dada, mientras el movimiento de las escalasfinas es aproximado por un modelo de escalas de submalla.Las cslrucluras de escalas grandes de la turbulencia puedenser rcsucl!as. pero los cálculos deben ser dependientes deltiempo y tridimensionales. dc ahí que requieran largos tielll-pos dc c;ilculo. En el presente, amhas simulaciones ya seandirectas o dc grandes remolinos se utilizan cada vez más enc;ílculos ingcnicnlcs en flujo hidimensional aportando infor-lllaci6n valiosa para la investigación dc estructuras cohcrcn.tcs dc cscalas grandes.

El objctivo de este trabajo es el estudio de estructuras tur.butcntas que se producen alrededor de un ohstáculo uhicadoen el fondo de un canal. para lo cual es importante scfialarlas siguientes consideraciones: el modelo desarrollado es tri.dimensional y se estudian las estructuras de vorticidad gcne-radas alrededor del obstáculo. para lo cual se considera unaecuación estadística particular apoyada cn las escalas finasdel !lujo turbulento. las correlaciones de orden dos del tipo..••'.JII] se aproximan como una función f(lI"u¡3) ohtenida pre-viamcnte por un modelo de turhulcncia "~-E.

Existcn pocos estudios en la literatura que tratan la for-mación dc vórtices. trahajos relevantes fueron dados por¡:rank 121y Larousse el al. l:lI. quienes realizaron estudiosan¡í1ogos con diferentes condiciones. En el estudio de Frank(Fig. 1) las condiciones de llujo corresponden a nlÍmeros deReynolds del orden de 10''>,el fluido utilizado cn cl cxperi.Il1cnto es una combinación de petróleo y hollín. Para la vi-suali/Jción del !lujo se utilizó el método la superficie reves.tida ya que éste en particular permite ohservar las líneas deseparación y religue o unión. Por otro lado en la Fig. 2. quecorresponde a un diagrama esqucmático de un estudio expe.rilllcntal hecho por Larousse ('1 al. [31. se pueden observar lasenvolventes del !lujo medio y líneas de separación y unión.sugeridos por información más precisa que fue arrojada porL'xperimentos y visualizaciones llevadas a caho con ayuda deanernoll1elría I¡íser. el experimcnto se realizó a números deReynolds del orden de 105• Y los patrones tic flujo fueron de-terminados mcdiante un estudio topológico del flujo. Al oh.SL'r\'arcuidadosamcnte estas figuras podemos ohservar queexiste una gran analogía en ellas; sin emhargo, en amhos es-ludios no se profundiza en lo relacionado a la magnitud de

R(>\'. Mi'x. FiJ. -17 C20() 1) J 7-25

INFERENCIA DE ESTRUCTURAS VORTICOSAS DEI. FLUJO QUE PASA ALREDEDOR DE UN ORSTACULO, '" 19

FIGURA 4. Esquema de una partícula fluida somclida a deforma-ción. rot<lción y Irnslación.

RQuelO'"

lres direcciones, es de esta manera que los remolinos oh'i-dan poco a poco las características de su ancestro iniciador ytienden hacia un estado isótropo más ° menos universal. sinemnargo, esta IlIli\'ersalidad no es totalmente independientede las condiciones iniciales del prohlema.

3. Tratamiento estadístico de la ecuación de\'orticidad

Todos los l1ujos turhulcntos son caracterizados por altos nivc-les de vorticidad fluctuante. Esta es la característica que dis-tingue la turhulencia de otros movimientos de flujo aleatorios,como las ondas oceánicas u ondas de gravedad atmosféricas.

Los esfucrzos de Reynolds pueden ser asociados con re-molinos cuya vorticidad está alineada aproximadamente conla lasa media de deformación. A continuación se mostraráque los términos de turhulcncia en las ecuaciones para el flujomcdio están asociadas con el transporte y alargamiento de lavorticidad. Para ontener la ecuación general de la vortici~adpara l1ujo incompresihlc, se aplica el operador rotacional alas ccuacioncs de Navier-Stokes, siendo la vorticidad igual a

(3 )

(2)

t2

+ ('. _ t,

•

s' _ ~ (DUi + DUJ)1) - 2 D.rj D.r¡ •

1 (DUi DUj)Hij = - --, - --, '2 D.f) D.",

dos respectivamente por

Wi = 0,

Al introducir esta descomposición y aplicar los axiomas deReYllolds en la El'. (6) se ohtiene una ecuación estadísticapara la vllrticidad:

(4 )

(7)

(6)

ü(U¡W¡lD,Tj

¡¡ = y x U,

La Ec. (7) guarda una forma similar con la ecuación prome-diada de N-S. En panicular, el término de segundo orden queinvolucra una correlación entre las fluctuaciones de vortici-dad y las dc velocidau, rcquiere de un tratamiento particular.Puede dcmostrarse que existe una relación equivalente pa-ra dicho tensor. en función de las fluctuaciones de velocidad/l i li J' aprovcchando las propiedades de llujo turhulento.

la cual, para este caso en que se supone flujo incompresihley que las fuerzas de clIerpo y los efectos de la rotación de latierra despreciahles, se reduce a la ecuación siguiente, escritaen notaci6n indicial:

Para resolver esta ecuación se recurre a un tratamiento es-tadístico tal como se procede c1<Ísicamentecon las ccuacionesdc N-S, de csta manera. la vonicidad instantánea se descom-pone clluna vorticidad media y una fluctuación de vorticidad;de tal forma que

y x -'~~-f+ Y x [(U, y)U] = y x ( - \~P)+y x f+vy x Y'U, (5)

Amhas componentes se ilustran en la Fig. 4. El (cnsor simé-trico cslá asociado directamente a la deformaci6n del elemen-lo de fluido y el asimétrico a la rotación simple ligada al vcc-lor remolino.

2.1. Acción de la \'orticidad

En lo que respecta a las agitucioncs turtlUlcntas. y revisan-do las ecuaciones medias de Navicr-Stokcs, se deduce queel movimiento medio aporta energía para mantener el estadoturhulento. este mecanismo identificado como de prlllluccióno de transferencia de energía del movimiento medio h,u:ia elmovimiento !luclUante es interesante y sumamente comple-jo; las fluctuaciones de velocidad se denen a la presencia deremolinos en cada instante, y éstos se mueven gracias a suenergía cinética la cual varía de acuerdo a su forma; es de-cir. si sufren un alargamiento o una compresi6n, ya que seha demostrado. que la energía cinética de los remolinos esproporcional a su longitud. e, de tal manera que si un remo-lino es alargado su longitud aumenta y por tanto también suenergía cinética. pero su sección disminuye. Por el contrario,cuando un remolino es comprimido, su sección aumenta perosu energía cinética disminuye. La dirección del alargamientoes dada por la deformación del movimiento medio, por es-ta razón los remolinos que mejor extraen la energía cinéticadel movimiento oel !lujo son aquellos cuyos ejes están m<Íso menos alineados con los ejes de la deformaci6n del movi-miento medio. l\lás adelante, en la discusión de resultados, sepresenta la producción de energía cinética a lo largo del ca-nal ohtenida en este estudio y el onrenido por otros estudiosnuméricos y experimentales.

Finalmente, recuérdese que el alargamiento de un remo-lino en cualquier dirección, después de cierto tiempo provo-car~íque se alarguen la misma cantidad de remolinos en las

Rel', M,'x, FiJ, 47 (2(XJI) 17-25

lO C. MILLÁN BARRERA Y H. RAMÍREZ LEÓN

la cual facilita el tratamiento dc esta ecuación y se evita unanálisis más riguroso sohre el término Ujw\ que ohligaría aldesarrollo de ecuaciones de transporte de cantidades comolLiWj, WiW¡. lLiWjllj, etc. En la Ee. (11) s610 se requerirá deevaluar las correlaciones dohles de velocidad.

En este estudio tales cantidades turbulentas son evalua-das mediante la relación clási(,;a de las tensiones de Rcynoldsesquematizadas por analogía a la expresión de esfuerzos mo-leculares en un llujo laminar 14]

El significado dinámico entre los esfuerzos de Reynolds/1¡Hj está asociado principalmente con la interacción de lavorticidaJ y la velocidad. Para aclarar un poco esto conside-remos un llujo medio hidimensional en el cual VI » U'2 yV:~= O, Y para el cual las derivadas aguas abajo de las can-tidades medias son pequeñas comparadas con las derivadastransversales. es decir, D/D.TI « D/D.r2. Esto ocurre gene-ralmente en la mayoría de los flujos tipo capa límite y enlas estelas. En estas condiciones, la única componente de lavnrticidad diferente de cero es O:~= DU2/ D,rl - au I1D,l>!..Debido a que U, «U, y a que DID.r, « DID.r" la compo-nente dc vorticidad resulta

(DU au)

-u¡'/Ij = l/T _._1 - ~

Bol) D,l!( 11)

en la que IJT es el coeficiente de viscosidad turbulenta equi-valente, y se evalúa de la relación

( 14)

( 13)

O¡; - Oh. D (lJ a,,)-+U}-=['+fl+E+- 2_ ,DI O.r} D.r¡ !7. D.rj

<1) Ecuación de la energía cinética de la turbulencia

.,¡;-

Vr = e'jl-,E

en la que "- es la energía cinética de la turhulencia y é su disi-paci6n. Las ecuaciones dc h~y é se descrihen a continuación

- OU,í!, = -;¡--..

uJ'z

Si se escribe la ecuación para V 1 en función de las fuer-zas de rotación, los términos de vorticidad producto <,socia-dos con el flujo medio son U2D3 y -U:¡02' El primero deellos es igual a -U2DU¡ /8.1:2 +U2DU2/D.T¡. El segundo escero ya que U, = O,U, = O. También -D(UjU}12)ID.r, esigual a -U, OU,I O.r, - U ,DU ,1 D.r, en esIe flujo. Si se des-precia el término viscoso y la contrihución de la turhulenciaa la presión din;llllica, la ecuación para V¡ puede escrihirsecomo

(Y)

donde E es el término de disipación que transfieredirectamente la energía cinética de la turbulencia enenergía interna del /luido por acción viscosa.

h) Ecuación dc la disipación dc la energía cinética de laturhulencia

- OU, - DU, 1 07' __ __U,-- +U2-- = ---- + 1/.2W3 - 'lt3W') (8)

D.l'l D.r'!. {J D:l'j -

esta ecuación es análoga a la ohtenida para el l1ujo mediohidimensionaL en la que se desprecian los efectos viscosos:

U, OU, +U, OU, = _.!. 07' +Du,u,_ DU'''2.a.fl D,I"2 (J u.r¡ f).rl D,r2

Ohservando que DU'j'"2/ D,f¡ « Bu¡ u2/Dx2, se encuentra queel término vorticoso representa la derivada de la corrientetransversal de los esfuerzos cortantes de Reynolds -11[1/2.

DE - DE £-O + U} 0-. = C, -(P + C"Blf U,l"¡ IN

. c2 D-C ~+-

E"2 h' Dx)( 15)

(10)0 __ --- (-111112) = U2W3 - '/l3W2'8,1"2

Las contrihuciones relativas de u2w'3 Y 1t:~W2 aO( -11 r ",) ID.r, dependen aparentemente del tipo de flujoconsiderado. Si la longitud de escala e es aproximadamenteconstante a través del l1ujo, la fuerza del alargamiento delvórtice 1l]:.v'2. ser,í despreciahle y el gradiente de los esfuer-zos de Reynolds puede ser interpretado como transporte devorticidad, Esto explica porque la teoría del transporte de1:l vorticidad ha tenido éxito en la descripción de las estelasturhulentas y dc losjets; en estos l1ujos, la longitud de escalatiende a un valor constante en la direcci6n transversal delllujo,

Generalizando la El'. (10) para un tlujo tridimensional, laEc (7) puede escrihirse como

Oí!, -[1¿)ni '1 -S o'IT;-.- + (-- = ~f j( + 1/--.-DI 0;1'( D,r,D:tr

a (Eijk DUkll()- D.r{ 20;; , (11)

En las ecuaciones anteriores se introducen además deltérmino de producción (P) que sc puede definir como el pro-ducto de los esfuerzos de Rcynolds por los gradientes de ve-locidad media y del término B que incluye los efectos dc flo-tación, cinco constantes dc modelación, las cuales dehen serdeterminadas experimentalmente, aunque en este caso fuerontomadas del modelo cs,tándar de Rodi [51.

4. Aplicación a un flujo que se deforma alrede-dor de un obstáculo

Los l1ujos reales en canales abiertos y ríos son a menudo de-masiado complejos para ser reprcsentados cumo l1ujos en 2-D, el entendimiento del l1ujo secundarias cs esencial para lainterpretación de las cstructuras turhulcntas de l1ujo en 3-D.Si el flujo no es uniformc en la t.Iirección principal, la vorti-cit.lad cn ésta cs gcncrada por el alargamiellto/contracción delos vórtices, El tipo de movimiento considerado es cl movi-micnto secundario en canales rectos quc tienen las condicio-nes de fronlera más simples, pero que sin cmhargo proporcio-nan información h:ísica acerca de las estructuras turbulentas

Rl'I', Mex, PÚ. 47 (2001) 17~2S

INFERENCIA DE ESTRUCTURAS VORTICOSAS DEL FLUJO QUE PASA ALREDEDOR DE UN ORSTACULO .. 21

de /lujo en 3-D. Tales corrientes secundarias son generadaspor la no-homogeneidad y la anisotropía de la turhulencia, yson llamadas co,.,.iellfes S('cllIl(/arias de Pral/dt/ de Sf!gll1u/o

tipo.Hace más de cien años Stcrns [61 infirió la existencia dc

corrientes secundarias, hasándose en el hecho de que la vc-locidad máxima en canales ahiertos ocurre ligeramente pordehajo dc la superficie libre. Gihson [71 estimó que la velo-cidad de las corrientes secundarias sería alrededor del 5% dela velocidad media principal. Vanoni [8J sugirió que corrien-tes celulares secundarias pueden existir en canales anchos enhase a la ohservación de que la concentración de sedimen-(os suspendidos variaha cíclicamente en la dirección del flujomedio. Karcz (9J y Kinoshita [10J se imaginaron el patrón deflujo de las corrientes celulares secundarias para explicar laformación dc listones de arena en canales Ihl\'iales anchos.

En cste estudio las corrientes secundarias. y en generallodo tipo de estructuras turhulentas. son generadas cuando al!lujo en un canal rectangular sc lc coloca un obstáculo rec~tangular en el fondo, El entendimiento y cuantificación decstas estructuras permitirá contribuir a identificar los diferen-tes procesos dimímicos que siguen los sedimentos en el fondode un canal.

4.3. Condiciones de frontera

Las condiciones de frontera se introducen en celdas ficticiasque se encuentran en los hordes del dominio de estudio. enestos. ya sean fronteras físicas o impuestas. y según sea elcaso. se dehen cumplir las condiciones de frontera de Neu-mann o de Dirichlel, es decir, D1;/Dx = O Y iJ1;/iJ,r = e,respectivamente

5. Método lIumérico de solución

Se resuelven las ecuaciones de N-S promediadas, la ecuaciónde continuidad. las ecuaciones para el modelo "'--[ y las ecua-ciones de vorlicidad. Los rcsultados que se presentan se ohtu-vicron cuando la convcrgencia estacionaria es de 0(10-6). Elsislema de ecuaciones estadístico ohtenido anteriormente, csresuelto por vía Ilumérica. lo cual involucra otro tipo de con-sidcmciones como la discretización espacial y temporal dclas ecuaciones. En cl presente trahajo se utiliza el método dediferencias lInitas para discretizar las ecuaciones en el tiem-po; y para la discretización espacial de las variahles se usa lacélula ~lAC; el método para resolver la ecuación de continui-dad es el de compresihilidad artifkial.

..t 1. Dominio d£' estudio 6. Amílisis de resultados

..•.2. Condiciones iniciales

En cl caso del perfil de velocidad de entrada al canal se uti-lizó la ley logaritmo que considera los efectos de pared sohreel perfil de flujo. Dicha ley se escrihe como

El número de Reynolds es aproximadamente 14 (lOO,por loque este estudio considera una capa límite turhulenta desa-rrollada. La presión en el fondo del canal se consideró iguala la prcsión hidrost.ítica

donde :-les una constante de integración, cuyo valor es 5.2X7,y el valor de la constante de Von Karman k. se tomó igual a0...l12 (11 J. Una consideración importante es que las constan-tes J.' y A en la ley logaritmo. deoerán ser determinadas dcdatos experimentales que perlenezcan solamente a la regióndel flujo 11/" < 0.2, en donde 11 es el liranle de agna y 11 laallura total del canal.

La ausencia de estudios tanto numéricos como experimenta-les. s610 permite hacer comparaciones cualitativas en la ma-yoría dc los casos. sin cmhargo. en las Figs. 5 y 6 se pre-senta ulla comparaci6n del perfil de la producción de energíacinética a lo largo del canal obtenida en este estudio y la uhi-caci(lll del mismo dentro de los obtenidos por olros autorescn un experimcnto similar a éste. utilizando varios mode-los Iluméricos e inclusive una medici6n experimental. parael mismo problema. En la Fig. 5 se presenta una recopilaciónde datos experimentales y numéricos hecha por Franke y Ro-di r 121. para Ullexperimento de flujo hidimensional sohre lasesquinas de UIl cilindro con un Re = 22000, En la Fig. 6. selIluestra la envolvente de resullados nUlllericos y experimen-tales del experimento ya referido, localizando dentro de ellalos resultados aquí obtenidos, se puede constatar que éstoscaen dentro del intervalo de resultados arrojados por otrosmodelos. por lo que se pueden considerar como válidos.

En la Fig. 7 se muestran las líneas de contorno de la inten-sidad del esfucr/.o tangencial~, que es un esfuerzo neto del!lujo secundario, dicho resultado coincide con la esquemati-lación que actualmente se tiene del !lujo secundario. comovórtices girando uno opuesto del otro a lo ancho del dominiode !lujo, a dichos vórtices se les conoce como celdas con-vectivas. En la Fig. H. se presenta la deformación total de lacontribuci6n "'i"i'L' alrededor del ohstáculo y la influencia queesta correlación puede tener en el flujo secundario y en la vor-tic.:it!audel !lujo. Por otra parte en las Figs. 9a y 9b, es posibleohservar lo que se dcnomina hojas de l'orticidad. en ésta seve como las líneas se deforman poco a poco hasta formar va-rias estrructuras turhulentas. entre las que sobresalen: el \'ór-

( I 7)

( 1 (¡)P(z) = I .".

1U+ = -ln(1I+) + A,

"

Las simulaciones se hicieron en un canal con superficie librecon un obstáculo en el fondo, las dimensiones del canal son:en la dirección J: Y!J, 0,3 111; y en la dirección z. 0.20 Ill. Lasdimensiones del ohstáculo son de O.OG III x O.OG III x (UI.1mde altura. Sobre este dominio de-estudio se gcneró una mallano homogénea de 117 250 puntos, refinada en la región deinlluencia del ohstáculo.

Re". Me.•..f(, ~7 (2(Xll) 17-25

FIGURA 5. Energía cinética adirnensional. obtenida por Franke yRudi [121.

C. MILLÁN BARRERA Y 11. RAMíREZ LEÓN

vw0001000009o COO70000'0_o"",o",,"00001.0001

O"""."'"• 000'

."""., COO7

.0009-;) 0010

FIGURA 8. Pcrspecliva de líneas de contorno de los esfuerzos deReynolds.

5x/D6•

o Experiment Lyn (1990)- RSE with wall funcl.--- lwo-Iayer RSE. k.E with wall funct.-'-lwo.layer k-E--+- modified two-Iayer k-E

,

.'.

O

LJ

/\¡

22o.•

0.35

0.3

0.2>

N02

o<'! 0.15

'"0.1

O.",O

-<l.'"

-<l.1., .1

FIGURA 6. Ubicación de resultados de la energía cinética adimen-sional a 10 largo del canal obtenida en este estudio y el trabajo deFranke y Rodi 112J.

•6-.

,

6-.

(b)

(n)

75x/D6•

y1h

'.........

,F.""oht,,lf d•.rt'loull.do, " ••merí"". a~ol,iI ••.ió" IIf•.•d.••.• 00 por Fu" •••.,..RuclL (1992).khUh.dOlo obl •."idos •.,,"1C' "l ••di"

• RhUllld". "'I'trim.nl.ln. I,~n (19'lOl...

O•1-

o.•

0.35

o,

0.2>

No.,

o<'! 0.15

'"0.1

O.",

O

-<l.'"-0.1

2

FIGURA 7. Líneas de contorno de la intensidad del esfuerzo deRcynolds -'f!i'il.

FInURA 9. Líneas de volumen de \'orticidad en el plano y-y. a) to-cando varios puntos en !I, a) en el fondo del canaL y b) a 0.075 cmdel fondo del canal.

Re!'. Mex. Fú. 47 (2lXll) 17-25

INFERENCIA DE ESTRUCTURAS VORTICOSAS DEL FLUJO QUE PASA ALREDEDOR DE UN OBSTACULO .. 23

rlGURA 10. Líneas de volumen de vorticidad en el plnno :r-!/ en elfondo del canal. al centro de la dirección y.

l.

FIGURA 12. Vista general de las líneas de volumen de vorticidaden el fondo del canal.

vista frontal en la Fig. 1l. Observando las Figs. 10 Y 11 es po-sible corroborar lo planteado por Aearlar y Smith [13J. Estosinvestigadores sugieren que los vórtices opuestos o vórticepar dan origen al vorticc de horquilla, y efectivamente. en laFig. 10 se nota fácilmente que el flujo separado (estela) ali-menta a los vórtices opuestos y a partir de estos últimos sedesarrolla el vórtice de horquilla. En la Fig. 11, se muestrandos características principales de un vórtice de horquilla, laprimera es que la caheza (P) es concáva en dirección al flu-jo. sin embargo. se desarrolla en dirección de este último. lasegunda es que las ramas o pies del vórtice de horquilla sealimentan del vórtice par. En la Fig. 12. se muestra una vistageneral de las estructuras vorticosas ya mencionadas.

En las foigs. 13a. 13h y 13c se muestra una secuencia dela vorticidad existente en el canal. la secuencia abarca desdeel fondo hasta 1/3 de la altura del obstáculo. la razón paraello es que el fondo es el lugar en donde se desarrolla la ma-yoría de las estructuras turhulentas más importantes en cana-les abiertos. En la Fig. 13a. se nota además del vórtice par,dos vórtices contiguos a éste. los cuales se podrían describircomo I'órfices opuestos externos, este hecho es notahle por~que en la hibliografía no se hace referencia alguna a este tipode vórtices. En la Fig. 13h, además de los vórtices opuestosse ven dos puntos de recirculación señalados con la letra R.mienlras que en la Pig. 13c, los vórtices opuestos aparecencon una envolvente, lo cual quizá constituye lo que algunosllaman rubos de l'orticidad. Tamhién aparece un vórtice cen-tral entre el vórtice par. Larousse el al. [3]. imaginaron que elvórtice par se unía en un vórtice vertical con forma de herra-dura (Fig. 2). este estudio parece revelar que el flujo lateralahsorhe dichos tuhos de vorticidad.

Por olra parte existe una nueva metodología para la des-cripción de los patrones de flujos ohtenidos ya sea en formaexperimental o numérica. conocida como tcoría de Plintoscríticos 1141. Estos son puntos en el campo de !lujo donde lapendiente de las líneas de corriente es igual a cero en rela-ción a un observador apropiado. Dicha teoría proporciona unlcnguaje o vocahulario que pennitc dcscribir complicados pa-trones de l1ujo tridimensionales en forma inteligible y sin am-

,6-.

R

p

/R

rlCiURA 11. Corte A-A' de la Fig. 9.

,6-,

tice de fondo (VP). los vórtices de punto (VL) y la más co-nocida los v6rtices opuestos (VO). Las Figuras menciona-das también muestran una pequeña secuenci¡l de la evolucióndel flujo en el espacio. por ejemplo, como ya se anotó en laFig. 9a cs posible notar adcmás de las estructuras turbulentasya mencionadas otras corno el vórtice de tubo (VT. que co-mo se han.í notar m<Ísadelante tiene su origen en un vórticede horquilla. alimentado por los vórtices opuestos) que es unade las estructuras vorticosas clásicas en flujo en canales abier-tos. sin embargo en la Fig. 9b. se puede ver claramente unaevolución cn tamaño y forma de todas éstas.

Al hacer un acercamiento a la parte central de la Fig. 9a.lo cual se presenta en las Figs. 10. 11 y 12, es posible verde manera más clara las estructuras vorticosas más comunesen flujo sohre ohst1Ículos. En la Fig. 10, se deduce que el flu-jo incidente sohre el ohstúculo produce una rccirculación delllujo. lo cual se reneja en la aparición del vórtice de pie o fon-do. En la parte derecha de esta misma figura se notan adem;ísdel vórtice par y su estela. otra estructura turbulenta; se tratadel conocido vórtice de horquilla. este último se presenta en

Re" Mex. FiJ. 47 (2001) 17-25

24 C. MILLÁN BAR.RERA Y H. RAf\1íREZ LEÓN

(e)

lb)

(e)

(a)

FlCiUR.A 1..•. :1) Patrón dc flujo superficial sohre el lado posteriordt' un nieTro con forma de misil a cierto ángulo de atnquc. h) In-terprct;1Ciún del patrón de !lujo y e) hosquejo vorticial. utilizando1;1tcmía de puntos críticos. Las imagéncs de los vórtices hajo lasupcrl1t:ic hori/olllalno se llluestran. Perry y Chong (141.

corrccto dc la supcrlicie de las líneas de corriente sc puedenesqucmati/.ar como se prcsenta en la Fig. 14 hacia la derecha.El patrón de !lujo consistc en un arrcglo de nodos (N), sillas(S) y focos (1'). Los PUlltos críticos son características salien-tcs de un patrón de llujo; proporcionando una distribuciónde talcs puntos y su tipo, mucho del campo de !lujo preva-1ccicnte, su gcometría y su topología se puede deducir, yaque existc un Illímcro limitado de formas en las que las líneasde corriente pucden scr unidas o ligadas. En la roigo14c, semuestra un posihle hosqucjo vorticoso de la Fig. 14h, cste hasido llamado ¡J(flráll (am de búho de segundo lipa. Scmejan-tes patrones y otros patrones tipo, de separación de flujo yapueden ser sintetizados analíticamente.

Por comparación cualitativa con la Fig. 14, se hizo una in-ferencia con los resultados obtenidos en este trahajo puestosde manifiesto en las Figs. 15 y 1ó. Si se compara la Fig, 15con la Fig. 14 Y se toma en clIenta la clasificación de pun-tos críticos, se pueden identifkar varias regiones de nodos,sillas y focos en la primera. A partir dc lo anterior, y del tra-hajo desarrollado por Larousse el al, [3), se infiere un patrónvorticoso, el cual se muestra en la Fig. 16.

L,

.L,

(a)

(h)

FIGURA IJ. Líneas uc superficie de vorticidad en planta. a) jus-to en el fondo <.lecanal; b) a 0.005 m del fondo del canal: y ¡;) aO'<X)75m del fondo del canal.

higüedadcs. Por ejemplo, en la Fig. 14 se muestra la supcrfi.cic dc un patrón de tinta sohre el lado posterior de un cuerpocon forma de misil y con un ángulo de ataque, mediante laclasificación de los puntos críticos, el patrón topológicamcntc

7. COllclusiolles

Las estructuras turbulentas puestas de manifiesto a través dela inclusión de la ecuación del transporte de vorticidad en el

Rel', Mt'x. ¡'ú. 47 (2001) 17-25

INFERENCIA IlE ESTRUCTURAS VORTlCOSAS DEL FLUJO QUE PASA ALI'EIlEJ)OR IlE UN OIlSTACULO. 25,~.

F](¡URA 15. Planos .1'-= y .I".!! de líneas de volumen de \'orticidad.,llcomp.lrar 6ta y las Figs. Uh y 13c. se pucJc deducir la posihleestructura turhulenta presente en el l1ujo estudiado.

programa QUETZAU3D, tienen amplia correspondencia conlas tkl estudio di: patrones dc flujo hecho anteriormente [15],Ycon estudios experimentales. Los resultados son satisfacto-rios dehido a que también hay correspondencia con la teoríadel Ilujo secundario, no solamente respeclo a las líneas VOI"-

(;cosas, sino también en cuanto a la aparición de corrientessecundarias celulares que corresponden a la formación de losvúniccs opuestos que se forman a la salida del llujo. Se Po-dría decir que este eSludio reafirma los resultados obtcnidos

1. Kim el (/I. • .J.Fluid Ml'challics 177 (19X7) 133.

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FIGURA 16. EsquematizJción del campo de l1ujo del presente es-tudio. y la inferencia de tuhos de vorticidad,

por Larouss~ et al. (ver Fig. 2). Al incluir la ecuación oetranspone de vorticidad se amplía la visualizaci6n no so-lamcnte física dcl problema. sino también conceptual dclmismo. adcm::ís contribuye al reducido acervo de estudiosnuméricos en tres dimensiones y servirá de base para pro-seguir estudios sobre la dinámica de partículas y formas defondo, En las Pigs, 7 a II pucdc corroborarse la analogía queexiste entre eslos resultados y los Illostradoscnlas Figs. I y 2,Finalmente con este estudio es posible inferir las estructurasdc vorticidao de acuerdo a la teoría de puntos críticos.

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