Matemática IITEMAS:

• Inecuaciones

Ing. Santiago Figueroa Lorenzosfigueroalorenzo@gmail.comhttp://urmate.jimdo.com

RECORDATORIO

• El término igualdad se utiliza en aritmética para comparar cantidades iguales u realizar operaciones con esas cantidades desiguales.

• El término ecuación se utiliza en álgebra para comparar variables que toman valores iguales u operaciones con variables.

• El término desigualdad se utiliza en aritmética para comparar cantidades desiguales u realizar operaciones con esas cantidades desiguales.

• El término inecuación se utiliza en álgebra para comparar variables que toman valores desiguales u operaciones con variables.

La solución no es uno o varios valores puntuales, sino intervalos.

INECUACIONES

DESIGUALDADUna desigualdad es un enunciado de que dos cantidades o expresiones no son iguales. Puede ser el caso que una cantidad sea menor (<), menor o igual (), mayor (>) o mayor o igual () a otra cantidad. Considerar la desigualdad2 𝑥+3>11 representa la variable.

DESIGUALDADLas siguientes desigualdades muestran que al igual que en las ecuaciones existen tanto proposiciones verdaderas como falsas.

INECUACIONES• Suponer que y son dos números reales

y • Se usará la notación para decir que x es un número entre y , excluyendo los extremos.

Equivale a b

INECUACIONES• Se usará la notación para decir que x es un

número entre y , incluyendo a esos extremos.

• Es aceptable escribir aunque es más recomendable invertir los signos colocando el menor de los valores a la izquierda .

PROPOSICIONES FALSAS• No existe ningún número para el que y .

• No mezclar los símbolos de la siguiente forma .

INTERVALOSSuponer que y son dos números reales y Intervalo cerrado: denotado por , consiste en todos los

números reales para los cuales .Intervalo abierto: denotado por , consiste en todos los

números reales para los cuales .Intervalos semiabiertos o semicerrados son , consiste

en todos los números reales para los cuales , y que consiste en todos los números reales para los que .

[𝑎 ;𝑏 ](𝑎 ;𝑏)¿¿

EXTREMO IZQUIERDO DEL

INTERVALO

EXTREMO DERECHO DEL INTERVALO

INTERVALOS

SÍMBOLO ó • El símbolo (leído como “infinito”) no es un

número real, sino un artificio de notación usado para indicar que no hay límite en la dirección positiva.

• El símbolo (leído como “infinito negativo”) no es un número real, sino también un artificio de notación usado para indicar que no hay límite en la dirección negativa.

SÍMBOLOS ó Usando los símbolos y , se definen otros cinco tipos de intervalos

• Consiste en todos los números reales para los que .

• Consiste en todos los números reales para los que

SÍMBOLOS ó Usando los símbolos y , se definen otros cinco tipos de intervalos

• Consiste en todos los números reales para los que .

• Consiste en todos los números reales para los que .

• Consiste en todos los números reales para los que .

ACLARACIÓNDebe aclararse que y no se incluyen como puntos extremos, ya solo representan símbolos y no NÚMEROS REALES.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Análisis Gráfico

Ejemplo 1

Ejemplo 2

La solución no es uno o varios valores puntuales, sino intervalos.

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES

El método para resolver una inecuación es muy similar a los procedimientos que eran aplicados para resolver ecuaciones, la diferencia radica que en el caso de las inecuaciones las soluciones son intervalos, o un rango de valores que la mayoría de las ocasiones es infinito.

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES LINEALES

RES

OLU

CIÓ

N D

E IN

ECU

AC

ION

ES

LIN

EALE

S

RES

OLU

CIÓ

N D

E IN

ECU

AC

ION

ES

LIN

EALE

S

RES

OLU

CIÓ

N D

E IN

ECU

AC

ION

ES

LIN

EALE

S

Para solucionar una inecuación racional se debe analizar los valores que hacen al denominador negativo.

RES

OLU

CIÓ

N D

E IN

ECU

AC

ION

ES

RA

CIO

NA

LES

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR

ABSOLUTO

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

INECUACIONES CUADRÁTICAS Y FACTOR

CERO

* El teorema del factor cero no es aplicable a las Inecuaciones, debido a que no se puede analizar un producto de la misma manera que para una igualdad.

INECUACIONES CUADRÁTICAS: PASOS

PARA RESOLVERLA𝟐 𝒙𝟐−𝒙−𝟑<𝟎Para resolver una desigualdad cuadrática1. Factorizar el

trinomio 2. Seleccionar los intervalos, limitados por los

factores encontrados

( 𝒙+𝟏 ) (𝟐𝒙 −𝟑 )<𝟎

( 𝒙+𝟏 )=𝟎 (𝟐 𝒙−𝟑 )=𝟎𝒙=−𝟏 𝒙=

𝟑𝟐

EJEMPLO 1

INECUACIONES CUADRÁTICAS: PASOS

PARA RESOLVERLA𝟐 𝒙𝟐−𝒙−𝟑<𝟎Para resolver una desigualdad cuadrática3. Seleccionar un

valor de 𝒙=𝒌 donde k es un número

arbitrariopara cada intervalo.

4. El valor de

𝒙=𝒌 debe ser sustituido para cada una de lassoluciones.

5. Esto debe ser tabla de signos o diagrama de signos.

TABLA DE SIGNOS𝒌=−𝟏𝟎

𝒙+𝟏

𝟐 𝒙−𝟑−𝟏𝟎+𝟏=−𝟗

𝟐 (−𝟏𝟎 )−𝟑=−𝟐𝟑

𝟏

𝟐

𝒌=𝟎𝒙+𝟏

𝟐 𝒙−𝟑1

𝟐 (𝟎 )−𝟑=−𝟑

𝟏

𝟐

𝒌=𝟏𝟎𝒙+𝟏

𝟐 𝒙−𝟑𝟏𝟎+𝟏=𝟏𝟏

17

𝟏

𝟐

DIAGRAMAS DE SIGNOS𝒌=−𝟏𝟎

𝒙+𝟏

𝟐 𝒙−𝟑−𝟏𝟎+𝟏=−𝟗

𝟐 (−𝟏𝟎 )−𝟑=−𝟐𝟑

𝟏

𝟐

𝒌=𝟎𝒙+𝟏

𝟐 𝒙−𝟑1

𝟐 (𝟎 )−𝟑=−𝟑

𝟏

𝟐

𝒌=𝟏𝟎𝒙+𝟏

𝟐 𝒙−𝟑𝟏𝟎+𝟏=𝟏𝟏

17

𝟏

𝟐

RESOLUCIÓN DE

INECUACIONES

CUADRÁTICASEJEMPLO 2

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES FRACCIONARIAS

DIAGRAMAS DE SIGNOS

SOLUCIÓN

EJEMPLO 3

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES FRACCIONARIAS

Puede ser cancelado tomando el valor de , e incluido en la solución.

EJEMPLO 5

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES FRACCIONARIAS(𝟐 𝒙+𝟏 )𝟐 Este factor doble cumple siempre con

la condición , debido a que presenta exponente par.𝟐 𝒙+𝟏=𝟎

𝒙=𝟏𝟐

es solución de la desigualdad

El factor no debe ser llevado hacia el lado izquierdo multiplicando, pues se pierden soluciones, debido a que puede ser positivo; pero también puede ser negativo.

EJEMPLO 6

DIAGRAMA DE SIGNOS