04.05 Inecuaciones

Dados dos números reales a y b, se pueden dar solamente una de estastres posibilidades: a > b, a = b ó a < b.

6 > 5

Es una desigualdad

5 = 5

Es una igualdad

3 < 5

Es una desigualdad

1. El orden en los números reales

MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández

3 5 3 + 7 5 + 7

2. Relación entre orden y suma


Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, se obtiene una desigualdad del mismo sentido.

a b⇔ a±cb±c

La desigualdad se mantiene La desigualdad cambia

3. Relación entre orden y producto


•Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra desigualdad:

• Del mismo sentido si el número es positivo.• De distinto sentido si el número es negativo.

ab y c0⇔a ·cb·ca /cb /cab y c0⇔a ·cb·ca /cb /c

4≤8⇒ 4 ·3≤8 ·3

4≤8 ⇒ 4 ·−2 ≥8 −2

−8≥−16

3x – 2 x + 4 es una inecuación de primer grado con una incógnita

4. Inecuación


• Una inecuación es una desigualdad entre letras y números, relacionados mediante operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas.

• Una inecuación de primer grado con una incógnita es una inecuación con una sola incógnita cuyo exponente es 1.

• Se llaman soluciones de una inecuación a los números tales que al sustituir la incógnita por ellos la desigualdad es cierta.

• Resolver una inecuación es hallar todas sus soluciones.

POSIBLES VALORES DE LA INECUACIÓN 2x−6≤0

Valores de x -2 0 2 4 10 ≤3 ≥3

Desigualdad ¿cierta ofalsa?

V V V F F V F

2x – 5 < x + 1 Se suma 5 a los dos miembros

2x < x + 6 Se resta x a los dos miembros

x < 6

La soluciones de la inecuación 2x – 5 < x + 1 son los números que cumplen lacondición x < 6.En forma de intervalo se puede escribir: (-,6)

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

5. Resolución de inecuaciones: Suma


• Dos inecuaciones que tienen las mismas soluciones se dice que son equivalentes.

• Para resolver una inecuación conviene transformarla en otra equivalente en la que la incógnita esté solo en uno de los miembros.

• Para resolver inecuaciones a veces hemos de aplicar la regla de la suma

– 4x + 5 2x – 1

Se resta 5 a los dos miembros

– 4x 2x – 6

Se resta 2x a los dos miembros

– 6x – 6

La soluciones de la inecuación – 4x + 5 2x – 1 son los números que cumplen lacondición x 1. O en forma de intervalo: (–, 1]

Se divide entre – 6 x 1

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

6. Resolución de inecuaciones: Producto


Para resolver inecuaciones a veces hemos de aplicar la regla del producto.

Valores de x paralos que se cumplex – 3 > 0

Valores de x para los que se cumple x – 3 = 0Valores de x para los que se cumple x – 3 < 0

7. Inecuaciones de primer grado. Interpretación geométrica


La inecuación x – 3 < 0 se puede interpretar como la función y = x – 3 en un sistema de coordenadas cartesiano, y preguntarse para qué valores de x toma y valores negativos.

Estas inecuaciones se pueden resolver gráficamente, representando la funcióncuadrática y = ax2 + bx + c y observando para qué valores de x secumple ax2 + bx + c > 0 (= ó <).

Valores de x para los que se cumpleque x2 – 6x + 8 < 0

Valores de x para los que se cumple que x2 – 6x + 8 = 0

Valores de x para los que se cumpleque x2 – 6x + 8 > 0

8. Inecuaciones de segundo grado


Una inecuación de segundo grado es de la forma ax2 + bx + c > 0 (<, , ). El coeficiente a siempre se puede tomar positivo; en caso contrario basta multiplicar por –1 la inecuación.

•Para resolver x2 – 6x + 8 > 0• Resolvemos la ecuación x2 – 6x + 8 = 0. Se obtienen las soluciones x = 2, x = 4.• Factorizamos el polinomio y obtenemos la inecuación equivalente• (x – 2)(x – 4) > 0• Estudiamos el signo del producto a partir de los signos de los factores.

Solución: x < 2 y x > 4, es decir, los intervalos (– , 2) y (4, + )

9. Resolución de inecuaciones por factorización


• La resolución algebraica de estas inecuaciones también se puede hacer por factorización, siguiendo los siguientes pasos:

• Primero se transforma en una inecuación en la que un miembro es 0.• Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del

miembro no nulo que dependerá del signo de los factores.

Ejemplo: 0

Solución: x < –3 y x 4, es decir, los intervalos (– , –3) y [4, + )

10. Resolución de inecuaciones racionales por factorización


• Para resolverlas primero se transforma en una inecuación en la que un miembro es 0.

• Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del miembro no nulo que dependerá del signo de los factores.

• Los valores que anulan al denominador no son soluciones porque no es posible la división por 0.

La recta x – y + 1 = 0 divide al plano en las tres regiones siguientes:

11. Inecuaciones con dos incógnitas


Toda recta ax + by + c = 0 divide al plano en tres regiones: El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c = 0 El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c > 0 El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c < 0A la parte del plano que es solución de una inecuación se le llama región factible de la inecuación.

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