INDICE Energía potencial 14.114.1 Introducción.

POTENCIAL ELÁSTICO DE BARRAS. MÉTODOS ENERGÉTICOS

mecánica de medios continuos y teoría de estructuras

Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2010/2011

Energía potencialen la barra prismática.

Potencial elástico.

Métodos energéticos.

INDICEINDICEINDICEINDICE

14.114.114.114.1 Introducción.

14.214.214.214.2 Trabajo producido por las Fuerzas

Externas.

14.314.314.314.3 Potencial Elástico y Energía Potencial.

14.414.414.414.4 Teorema de Reciprocidad.

14.514.514.514.5 Principio de los Trabajos Virtuales.




El trabajo se obtiene, matemáticamente, de integrar la fuerza por el desplazamiento. O sea que es el área del triángulo que determina la recta que relaciona el desplazamiento con fuerza aplicada al sólido. De ahí el ½ de la fórmula escrita encima del gráfico, arriba a la derecha. Su desarrollo para un volúmen determinado de sólido es

esta expresión llamada potencial Interno.

Lo que se puede discutir aquí es que la recta del gráfico suele ser curva (se ha visto al principio del capítulo), pero la

simplificación es admisibe. Fin de la discusión.

Al aplicar un sistema de fuerzas exteriores a un sólido se produce un determinado campo de desplazamientos.

Dicho de otro modo, cuando cargamos la barra en el ensayo de

tracción ésta se estira. Esto no es discutible.

Esas fuerzas externas aplicadas sobre el sólido generan un TRABAJO. (Recuérdese que trabajo es Fuerza por Distancia.)

Esto tampoco es discutible.

Para que se mantenga el equilibrio interno del sólido, las fuerzas internas (aquellas de cohesión intermolecular) han de realizar el

mismo TRABAJO.

Esto se puede discutir, pero es perder el tiempo.

Ese trabajo se convierte en calor, energía cinética y energía potencial

Esto, como tiene que ver con la termodinámica, sí que da para discutir un buen rato...

En cualquier caso, lo que a nosotros nos importa es que esa energía que le hemos aplicado al material y que él

“almacena” para mantener su equilibrio interno, es la que el material va a utilizar para recuperar la posición cuando cese

el efecto de la fuerza. Esa energía, sea la que sea, es la que lo convierte en un sólido elástico y es la que el material

“devuelve” cuando recorre la gráfica de tensión/deformación en sentido inverso.

De todos modos, si se cumple el principio de “aplicación lenta de las cargas”, la generación de calor es despreciable, lo mismo que la energía cinética, con lo que todo el trabajo es energía potencial, de ahí el nombre “potencial interno”.




W = F·δrr

Fr

δr

Fδ

TRABAJO DE UNA FUERZACarga

Desplazamiento

Fδ

δ

W

Carga

Desplazamiento

Fδ

W

PARA RELACIÓN LINEAL

1W = F

2 δ δ

δ




CASO MÁS GENERAL

i i L S vi L S V

1W = F· + F · d L+ F · dS+ F · dV

2δ δ δ δ

∑ ∫ ∫ ∫

r r r rr r r r

Cargaspuntuales

Cargaslineales

Cargassuperficiales

Cargasvolumétricas

( )ij ij xx xx yy yy zz zz xy xy xz xz yz yz

1 1U =

2 2σ ε σ ε σ ε σ ε σ γ σ γ σ γ= + + + + +

ENERGÍA UNITARIA DE DEFORMACIÓN

p ij ij

V V

1E UdV = dV

2σ ε= ∫ ∫ ENERGÍA POTENCIAL

Integrando en el volumen




Axil Flexión Torsión (C)

---

---

---

---

z

z

My

I

ENERGÍA POTENCIAL DE LA BARRA PRISMÁTICA

x

p

Tr

I

y

y

Mz

I

z y

y

V S (z)

b(z) I

N

A

y z

z

V S (y)

b(y) I

iiσ

i jσ

z

z

My

E I

x

p

Tr

G I

y

y

Mz

E I

z y

y

V S (z)

G b(z) I

N

A E

y z

z

V S (y)

G b(y) I

iiε

i jγ




DOBLE DE la Energía Potencial (de deformación)

Axil

Flector

Cortante

Torsión (C)

ENERGÍA POTENCIAL DE LA BARRA PRISMÁTICA

L L 2

xx xx

V 0 0

N N NdV = dAdx = dx

A AE AEA

σ ε∫ ∫ ∫ ∫

L L L2 22z z z z

xx xx 2z z z zV 0 0 0 0

M M M MdV y ydAdx = dx y dA = dx

I EI EI EIA

σ ε =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

22y z y z z

i j i j 2z z0 0

V S (y) V S (y) V S (y)

b(y) I G b(y) I GI b(y)

L Ly

zV A A

dV dAdx dx dAσ γ = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 22x x x x

i j i j 2p p p p0 0 0

T T T Tr r dx dx

I G I G I G I

L L L

V A A

dV dAdx r dAσ γ = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫




El teorema de reciprocidad




AAδr

BAδr

B

AABδr

BBδr

B

A

Afr

Bfr

Sea un dominio elástico sobreel que actúan

dos sistemas de carga

Sin pérdida de generalidadpueden ser representadospor sendas cargas en A y B




ABδr

AAδr

BAδr

BBδr

Bδr

Aδr

B

A

Afr

Bfr

Si ambos sistemas de cargaactuasen simultanealmente

el desplazamientode cada punto

puede descomponerseen dos componentes:

cada una debida a una carga

“el trabajo correspondiente a las fuerzas del estado ‘a’

para los desplazamientos del estado ‘b’ es igual al trabajo producido por las fuerzas del estado

‘b’ sobre los desplazamientos del

estado ‘a’”, siendo éste último un trabajo virtual




Sea que aplicamosprimero la carga en A

y después en B1

2

1

1·

2 A AAW f δ=r r

2

1· ·

2 B BB A ABW f fδ δ= +r r r r

1 1· · ·

2 2I

A AA B BB A ABW f f fδ δ δ= + +r r r r r r

AAδr

BAδr

B

A

Afr

ABδr

AAδr

BAδr

BBδr

Bδr

Aδr

B

A

Afr

Bfr




1 1· · ·

2 2II

A AA B BB B BAW f f fδ δ δ= + +r r r r r r

Si cargamos en orden inversoprimero en B y después en A1

2

1

1·

2 B BBW f δ=r r

2

1· ·

2 A AA B BAW f fδ δ= +r r r r

ABδr

AAδr

BAδr

BBδr

Bδr

Aδr

B

A

Afr

Bfr

ABδr

BBδr

B

A

Bfr




I IIW W=

1 1· · ·

2 2I

A AA B BB A ABW f f fδ δ δ= + +r r r r r r

1 1· · ·

2 2II

A AA B BB B BAW f f fδ δ δ= + +r r r r r r

· ·A AB B BAf fδ δ=r r r r

TEOREMA DERECIPROCIDAD

En ausencia de fenómenos disipativostodo el trabajo se convierte en energía potencial

I IIW W=

· ·A AB B BAf fδ δ=r r r r

TEOREMA DERECIPROCIDAD*

ABδr

BBδr

B

A

Bfr

AAδr

BAδr

B

A

Afr

AAδr

BAδr

B

A

Afr

*en ocasiones se enuncia como TEOREMA DE RECIPROCIDAD DE LOS DESPLAZAMIENTOS, considerando las fuerzas como puntuales y del mismo valor.

W virtual




El Principio deCastigliano




“el desplazamiento generalizado de cualquier punto de un sólido según una dirección puede determinarse como

la derivada parcial de la energía potencial total del sólido según la fuerza generalizada que actúa en el

punto citado y según la dirección indicada”

n

Pn F

E

∂∂=δ

la energía de deformación de un cuerpo elástico depende solamente de los valores finales de las fuerzas externas, no del orden de su aplicación

Pnnnn

PP EdFdF

F

EE +=

∂∂+ δ·

*determinación de desplazamientos e incógnitas hiperestáticas*




obtener un desplazamiento es sencillo; no hay más que resolver la extresion anterior derivando (la fuerza respecto al desplazamiento):

Por otra parte, si en la expresión de la energía de un sistema de N barras se desprecia el cortante:

y, derivando respecto a la carga puntual P:

expresión que puede escribirse como una combinación lineal de cargas exteriores

(con ):

y en la que se an notado con * los esfuerzos del ‘estado virtual’




El Principio delos Trabajos Virtuales




qx(x)

qy(x)

“la condición necesaria y suficiente para que un sistema esté en equilibrio es que el trabajo producido por las fuerzas externas sobre cualquier campo de desplazamientos virtual compatible con las condiciones de contorno (We) sea igual al trabajo producido por los esfuerzos sobre unas deformaciones que van

a ser compatibles con el campo de desplazamientos anterior (Wi)”




x x+dx

qx(x)

qy(x)

Vy(x+dx)

Vy(x) Mz(x+dx)Mz(x)

Nx(x+dx)Nx(x)

A continuación se considerarán las relaciones que, para cada tipo de solicitación, se han establecido entre fuerzas externasfuerzas externas y esfuerzos internosesfuerzos internos

de la sección.




qx(x)

qy(x)

Vy(x+dx)

Mz(x+dx)Vy(x)Mz(x)

xF 0=∑

x

dN(x)= -q (x)

dx

y zF M 0=∑y

y

d V (x)= -q (x)

dxz

y

d M (x)= V (x)

dx

zM 0=∑

Nx(x+dx)Nx(x)

Establecidas, para cada esfuerzo, las relaciones entre fuerzas externas y esfuerzos, se hará uso del teorema de reciprocidad.(fuerzas reales x desplazamientos virtuales = fuerzas virtuales x

desplazamientos reales)




xF 0=∑

x

dN(x)= -q (x)

dx

Integrandopor partes**

qx(x)

Nx(x+dx)Nx(x) ∫∫ −=LL

dxxxqdxxdx

xdN

0

**

0

* )()·()(·)( δδ

] dxdx

xdxNxNxdx

dx

xdN LL

L

∫∫ −=0

*

00

* )()()(*·)()(

)( δδδ

… y haciendo estos cambios de variables

)()(

)(*

uddxdx

xux

vNdvdx

dN

=⇒=

=⇒=

δδ

… considerando la ley de hooke, la definición de deformación y la expresión de la tensión en función del esfuerzo axil: A

Nx

dx

xd

E

xx

***

*** )(;

)(;

)()( === σεδσε

xF (L)

xF (0)

∫∑∫ =+L

ii

L

o

dLEA

NNxxFdxxxq

0

** ·

)()·()()( δδ

TRABAJO VIRTUALEXTERNO

TRABAJO VIRTUALINTERNO




]L L

L

00 0

dN(x) d (x)(x)dx = N(x) (x) N(x) dx

dx dx

ff f −∫ ∫

xF 0=∑

x

dN(x)= -q (x)

dx

**Integración genérica

por partes

L L

0 0

dN(x) N(x) N(x)u(x)dx = N(L) u(L) N(0) u(0) dx

dx EA− −∫ ∫

L L

x

0 0

N(x) N(x)q (x) u(x)dx + F(L) u(L) + F(0) u(0) = dx

EA∫ ∫

xF (L)

L L

x

0 0

dN(x)(x)dx = - q (x) (x)dx

dxf f∫ ∫

A

(x)f

xF (0)

qx(x)

Nx(x+dx)Nx(x)




Y, EN GENERAL

L L I III II I II I IIx

0 0

N (x) N (x)q (x)u (x)dx + F (L)u (L) + F (0)u (0) = dx

EA∫ ∫

Con la única condiciónde que uno de los estados sea un estado en equilibrio

y el otro un estado compatible

∫∑∫ =+L

ii

L

o

dLEA

NNxxFdxxxq

0

** ·

)()·()()( δδ

TRABAJO VIRTUALEXTERNO

TRABAJO VIRTUALINTERNO

= Principio de reciprocidad

)0()·0()()·()()·( **

0

* uFLuLFdxxuxqL

++∫




y zF M 0=∑y

y

d V (x)= -q (x)

dx

zy

d M (x)= V (x)

dx

zM 0=∑

qy(x)

Vy(x+dx)Mz(x+dx)

Vy(x)

Mz(x)

A continuación se desarrolla el mismo proceso (relaciones entre fuerzas externas y esfuerzos internos) para el caso de la

existencia de Momento Flector. Por simplicidad se considera que la sección es simétrica y se analiza sólo el caso de Mz. El

planteamiento es análogo para My.

La relación esfuerzo – fuerza, es:

yz q

dx

Md −=2

2




y zF M 0=∑y

y

d V (x)= -q (x)

dx

L Ly

y

0 0

d V (x)(x)dx = - q (x) (x)dx

dxf f∫ ∫

A

(x)f

Integrando por partes

L LLy

y y00 0

d V (x) d (x)(x)dx = V (x) (x) V (x) dx

dx dx

ff f −∫ ∫


L Lz

y

0 0

d (x) d M (x) d (x)V (x) dx dx

dx dx dx

f f=∫ ∫ zy

d M (x)= V (x)

dx

qy(x)

Vy(x+dx)Mz(x+dx)

Vy(x)

Mz(x)




LL L 2z

z z 200 0

d M (x) d (x) d (x) d (x)dx M (x) M (x) dx

dx dx dx dx

f f f= −∫ ∫


L Ly

y

0 0

d V (x)(x)dx = - q (x) (x)dx

dxf f∫ ∫

Finalmente la expresión inicial

LL L 2L

y y z z 2000 0

d (x) d (x)- q (x) (x)dx = V (x) (x) M (x) M (x) dx

dx dx

f ff f − +

∫ ∫

queda como




Si tomamos como función f(x)el campo de desplazamientos transversales compatible

con las deformaciones producidas por un flector/cortane CUALQUIERA

(x) y (x)xf = z

d (x)(x)

dx

f θ=2

z2

z

d (x) M

dx EI

f =

LL L 2L

y y z z 2000 0

d (x) d (x)- q (x) (x)dx = V (x) (x) M (x) M (x) dx

dx dx

f ff f − +

∫ ∫

Lz z

z

0

M (x) M (x)M (0) (0) dxz

zEIθ+ + ∫

L

y y y z

0

- q (x) y(x)dx = V (L) y(L) V (0) y(0) M (L) (L)zθ− −∫




Lz z

zz0

M (x) M (x)M (0) (0) dx

EIzθ+ + ∫

L

y y y z

0

- q (x) y(x)dx = V (L) y(L) V (0) y(0) M (L) (L)zθ− − +∫

yF (L)

yF (0)

zm (0)

zm (L)

L

y y y

0

- q (x) y(x)dx = F (L) y(L) F (0) y(0)− − −∫L

z zz z

z0

M (x) M (x)m (L) (L) m (0) (0) dx

EIz zθ θ− + ∫




yF (L)

yF (0)

zm (0)

zm (L)

L Lz z

y y y z zz0 0

M (x) M (x)- q (x) y(x)dx F (L) y(L) F (0) y(0) m (L) (L) m (0) (0) dx

EIz zθ θ+ + + + = =∫ ∫

L

y y y z z

0

- q (x) y(x)dx F (L) y(L) F (0) y(0) m (L) (L) m (0) (0)z zθ θ= + + + +∫T. reciprocidad




EN GENERAL,SUPERPONIENDO TODOS LOS ESFUERZOS POSIBLES

( )

L L LI II I II I IIx y z

barras 0 0 0

I II I II I II I II I II I IIx x y y z z x x y y z z

nudos

I IIL LI IIy y

barras y0 0

L I II Iz z x

z0

q (x)u (x)dx - q (x)y (x)dx q (x)z (x)dx

F u F u F u m m m

M (x)M (x)N (x)N (x)= dx dx

EA EI

M (x)M (x) Mdx

EI

θ θ θ

+ +

+ + + + + + =

+ +

+

∑ ∫ ∫ ∫

∑

∑ ∫ ∫

∫L II

x

0

(x)M (x)dx

GJ

∫

PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES




EN GENERAL,SUPERPONIENDO TODOS LOS ESFUERZOS POSIBLES

( )L

I II I I I I II

barras nudos0

I I IL LI IIy y

barras y0 0

L LI II I I Iz z x x

z0 0

q (x) (x) dx F u m

M (x) M (x)N (x) N (x)= dx dx

EA EI

M (x) M (x) M (x) M (x)dx dx

EI G J

δ θ

+ + =

+ +

+

∑ ∑∫

∑ ∫ ∫

∫ ∫

r rrr rr

PRINCIPIO DE LAS FUERZAS VIRTUALES




PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES

PRINCIPIO DE LAS FUERZAS VIRTUALES

“la condición necesaria y suficiente para que un sistema esté en equilibrio es que el trabajo producido por cualquier sistema de fuerzas en equilibrio que solicite al sistema sobre el campo de desplazamientos reales es igual al trabajo producido

por los esfuerzos internos que generan estas fuerzas virtuales sobre las deformaciones reales”

Representa el trabajo que las fuerzas reales realizan sobre un campo de desplazamientos virtual.




PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES




Aplicación del PTVal cálculo de

desplazamientos.




EJEMPLO 1Se pretende determinar el desplazamiento horizontal del apoyo B del pórtico isostático de la figura, en el que todas las barras

tienen la misma sección transversal y son del mismo material.

Se han señalado en la figura los sentidos de las coordenadas de cada barra. Como el pórtico es isostático los esfuerzos se obtienen fácilmente de la

aplicación de las ecuaciones de equilibrio del conjunto.Estos son los diagramas:

P

P

x

xx

A B

l

l l

1

2

3

Axil

P

Cortante

P

P

Flector

P�l

P�lP�(2l-x)




Se aplicará el Principio de las Fuerzas Virtuales, para lo cual, se aplicaráuna fuerza ficticia en el punto y con la dirección del desplazamiento que se

desea calcular; se obtendrán los esfuerzos correspondientes.La fuerza se considera de valor unidad.

1A B

l

2l

Estableciendo el equilibrio del conjunto se obtienen los esfuerzos ficticiosprovocados por la fuerza virtual que se ha introducido.

Axil

1

Cortante

1 1

Flector

l

l

l




Llegados a este punto resulta útil reunir todas las magnitudes (reales y virtuales) en una tabla:

BARRA Longitud N N* M M* V V*

1 l 0 0 P�x X P 1

2 2l 0 1 0<x<l = P�l

L<x<2l = P(2x-l)

l 0<x<l = 0

L<x<2l = 1

0

3 l -P 0 0 l-x 0 1

Para obtener el desplazamiento horizontal en B sólo es necesaria esta expresión (de la general del PTV):

∑∫∑ ∫==

+=3

1 0

*3

1 0

**

·

·

·

··

j

Lj

zjj

zz

j

Lj

jjxBxB dx

IE

MMdx

AE

NNF δ

ficticia real

Considerando los esfuerzos anotados en la tabla y que la fuerza ficticia es de

valor unitario: IE

PLdxxLPLdxPLxdxPx

IE

L L

L

L

xB ··

6

11)2(··

·

1 3

0

2

0

2 =

−++= ∫ ∫∫δ




Aplicación del TTVal cálculo de

incógnitas hiperestáticas

¿ ?




EJEMPLO 2Se pretende determinar las leyes de esfuerzos del pórtico hiperestático de la figura, en el que todas las barras tienen la

misma sección transversal y son del mismo material.

P

P

x

xx

A B

l

l l

1

2

3

El grado de hiperestaticidad es 1. Liberar la XB, para transformarlo en isostático.

Se transforma el pórtico hiperestático en dos isostáticos, uno con las cargas externas y otro con la reacción liberada.

Determinar los esfuerzos para ambos pórticos isostáticos.

Determinar esfuerzos en el isostático para una incógnita unitaria que luego se multiplica por la notación de la incógnita liberada; Siendo E0 los

esfuerzos del pórtico isostático con las cargas externas y E1 los del que tiene la incógnita hiperestática liberada, un esfuerzo real, E, será:

10 ·EXEE B+=




Esquema de resolución:

=Hiperestático

PP

Cargas externas

XB

Reacción liberada

+

PP

El problema es análogo al del ejemplo anterior, que surgía de la aplicación del principio de las fuerzas virtuales, con la particularidad de que la carga unitaria aplicada en el lugar del

desplazamiento que se desea conocer es ahora el isostático con la ingógnita liberada.

Esfuerzos reales y ficticios:

Axil

P

Cortante

P

P

Flector

P�l

P�lP�(2l-x)

Axil

1

Cortante

1 1

Flector

l

l

l

�XB

10 ·EXEE B+=




Tabla de esfuerzos reales y ficticios del caso anterior (se desprecian los cortantes dada su escasa influencia):

BARRA Longitud N0 N1 N M0 M1 M

1 l 0 0 0 P�x X Px+XBx

2 2l 0 1 xB 0<x<l = P�l

L<x<2l = P(2l-x)

l 0<x<l = P�l+XBx

L<x<2l = P(2l-x)+XBl

3 l -P 0 -P 0 L-x XB�(l-x)

Aplicar compatibilidad en la dirección de la incógnita liberada (el desplazamiento horizontal en B es nulo) .

Para obtener el desplazamiento horizontal en B sólo es necesaria esta expresión (donde los desplazamientos son reales):

( ) [ ] ( ) ( )[ ] 02·

1·

·

11·

·

1

0

22

0

2

0

=

−+−+++++= ∫ ∫∫∫

L L

L

BB

L

B

L

BXB LdxxLXxLPLdxLXPLIE

xdxxXPxIE

dxXAE

δ

Expresión de la cual se obtiene XB.

ALI

APLX B 2

2

1612

11

+−=

Cuyo signo negativo indica que la reacción tiene sentido contrario al inicialmente supuesto (contra lo habitual es recomendable

suponerlas todas en positivo y esperar que la resolución matemática del problema ofrezca el sentido de la incógnita)

Por superposición de los tres casos pueden determinarse todos los esfuerzos.

método de compatibilidad de desplazamientos

10 ·EXEE B+=




EJEMPLO 3Se pretende determinar las leyes de esfuerzos del pórtico hiperestático de la figura, en el que todas las barras tienen la

misma sección transversal y son del mismo material.

El grado de hiperestaticidad es 2. Liberar MB y XB, para transformarlo en tres problemas isostáticos.Uno de ellos tiene las cargas externas, otro con la reacción liberada y el tercero el momento liberado.

Determinar los esfuerzos para todos los pórticos isostáticos.

+XB

Reacción liberada

Cargas externas

PP

= +MBMomento

liberado

IIB

IB EMEXEE ··0 ++=

P

P

x

xx

A B

l

l l

1

2

3

Hiperestático

PP




Axil

P

Cortante

P

P

Flector

P�l

P�lP�(2l-x)

Axil

1

Cortante

1 1

Flector

l

l

l

�XB

El mismo problema con dos estados virtuales; el de fuerzas y el de momentos.

Esfuerzos reales y ficticios:

Axil

1/2l

Cortante

1/2l

Flector

l

l

�MB1/2l




La tabla tendrá ahora otro caso ficticio (nuevamente se desprecian los cortantes):

BARRA Long. N0 NI NII N M0 MI MII M

1 l 0 0 -1/2L -MB/2l P�x X 0 Px+XBx

2 2l 0 1 0 xB 0<x<l = P�l

L<x<2l = P(2l-x)

l x/2l 0<x<l = P�l+XBl + MBx/2l

L<x<2l = P(2l-x)+XBl+MBx/2l

3 l -P 0 1/2L -(2P-MB/l)

2

0 L-x 1 XB�(l-x) + MB

Aplicar compatibilidad en la dirección de la incógnita liberada (ahora desplazamiento horizontal y giro en B son nulos).

IIB

IB NMNXNN ··0 ++=

IIB

IB MMMXMM ··0 ++=




Expresiones con las que se compone un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

De las que se obtienen los valores de las incógnitas liberadas XB y MB:

Por superposición de los cuatro casos pueden determinarse todos los esfuerzos.

método de compatibilidad de desplazamientos IIB

IB NMNXNN ··0 ++=

IIB

IB MMMXMM ··0 ++=

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