DIAGRAMAS O LINEAS DE INFLUENCIA CONCEPTO Es una representación gráfica del valor de una fuerza interna o desplazamiento en un punto específico de una estructura debido a una carga unitaria localizada en cualquier punto de una estructura. Estos diagramas se utilizan para determinar la posición o combinación de acciones externas que produzcan respuestas máximas en las estructuras, así como para el cálculo de fuerzas a partir de ellos. LINEAS DE INFLUIENCIA EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS Por ejemplo se desea saber los valores de las reacciones de una viga isostática sometida a una carga unitaria a una distancia x del extremo izquierdo:

LINEAS DE INFLUIENCIA EN ESTRUCTURAS MEDIANTE EL TRABAJO VIRTUAL Considerando el mismo ejemplo anterior, para obtener la línea de influencia de RA se libera la restricción del desplazamiento en su dirección, vertical, y se le da un desplazamiento unitario resultando:

Esta ecuación lo que expresa es que la reacción en A producida por una carga unitaria es igual al desplazamiento virtual y bajo la carga. El procedimiento general para obtener la línea de influencia para cualquier carga interna y cualquier sistema determinado o indeterminado, será el siguiente:

1) Identificar la acción que se requiere el diagrama de influencia. 2) Liberar la restricción del desplazamiento en la dirección de esa acción y permitirle

un desplazamiento unitario. Para esto se toma una acción unitaria (Valor uno) se determina el desplazamiento donde esta aplicada y se divide por si misma para que resulte igual a la unidad en ese punto y así mismo toda la deformada se divide por dicho valor.

1Kg

x

L

RA=L

x1 Por

Estática

A

B

RB =L

x

RA=1-L

x

Reacción en A debido a carga unitaria en esta ubicación

B

A

RA

RB

1

Utilizando la expresión del trabajo virtual realizado se obtiene: Texterno =Tinterno. 1RA-1y = o No hay esfuerzos internos porque el sistema se transforma en un mecanismo conforme se permite el desplazamiento vertical.

y

x

1Kg

3) La deformada de la estructura es la línea de influencia para la acción seleccionada. LINEA DE INFLUENCIA DEL MOMENTO En el mismo ejemplo para el momento a una distancia d del apoyo A. Se elimina la restricción que equivale a colocar una articulación en ese punto:

Md

d Equivale a un mecanismo:

LINEA DE INFLUENCIA DE LA FUERZA CORTANTE Para el mismo ejemplo para la fuerza cortante a una distancia d del apoyo A, se elimina la restricción que equivale a colocar un empotramiento móvil:

DIAGRAMAS DE INFLUENCIA CUALITATIVOS PARA VIGAS INDETERMINADAS En muchas ocasiones es necesario conocer cuales son las posiciones de las cargas que produzcan respuestas máximas dentro de la estructura, por lo que determinando la forma de la línea de influencia sin saber sus valores podemos ubicar las posiciones críticas de las cargas. Veamos unos ejemplos de líneas de influencia o deformada para la fuerza requerida:

TA B

T A+ B=1

De la geometría de la figura y como son deformaciones muy pequeñas:

= A d =(L-d) B

Por lo tanto: = d(L-d)/L

V V

d Equivale a un mecanismo:

1= d 2 = (L-d)

d + (L-d) =1 = 1/L

1 = d/L 2 = (L-d)/L

Paralelas

1 ( 1+ 2=1)

2

A B C D E F 1

Línea de Influencia para: MD

1

Línea de Influencia para: VB

0000

1

Línea de Influencia para: RE

A B C D E F G H

Línea de Influencia para: Momento positivo MD

Patrón de Cargas para obtener máximo momento positivo en D, tramos alternantes

Línea de Influencia para Momento negativo ME

Patrón de Cargas para provocar máximo momento negativo en E

1

1

Línea de Influencia para: RE

1

1

Línea de Influencia para: VE Izquierda

EJEMPLO DE ESTRUCTURA INDETERMINADA Dada la siguiente viga determinar la línea de influencia de la reacción en el apoyo B:

OBTENCION DE LA DEFORMADA: 1) Se resuelve la estructura para la restricción liberada colocando una carga unitaria en

la dirección de la acción que se requiere la línea de influencia, Encontrando las reacciones en los apoyos y las expresiones de las fuerzas internas: Fuerza axial (N), fuerza de corte (V) y momento flexionante (M), fundamentalmente con la expresión de momento se obtiene por doble integración o viga conjugada las expresiones de la deformada. Hoy en día se utilizan programas para resolver estructuras con el computador para aligerar los cálculos:

Diagrama de influencia para Momento positivo en tramo AB y patrón de Carga, que es posición de las cargas en tramos alternantes

A B

+

V V N N M M Convención de Signos

A B C EI = Constante 2 m RA 2m 1) Identificar La Acción RB. 1 2) Libere la restricción y Permitir un desplazamiento unitario. 3) Obtener la deformada.

Por viga conjugada, su carga q es el momento real dividido por EI::

El corte de la viga conjugada es la rotación en la real, y el momento en la conjugada es la deformada de la viga real:

qdxVCJ EI

ParaCEI

xCdxx

EIV xCJ

1..........

4)

5,00

220

2

0

Por lo que EI

C1

EI

xVCJ

1)

41(

220

2

0

EI

ParaCEI

x

EI

xCdx

EI

xV xCJ

1..........

2

4

)25,0(4

242

4

2

Por lo que: CEIEIEI

8

4

161 De donde

EIC

5

Resulta que:EIEI

x

EI

xVCJ

52

4

242

4

2

Por lo que la expresión para la deformada será:

VdxyM CJ

0......1

12)

41( 0

3220

2

0 xxCj yMParaCEI

xxC

EI

dxxyM

Por lo que C = 0 Como para x = 2 y=(2- 8/12)(1/EI)= 4/(3EI) y como para esta línea de influencia para x=2 y debe valer1, entonces hay que multiplicar por el inverso anterior es decir por 3EI/4, por lo que la expresión para el diagrama de influencia es:

1T

A

0,5

B

0,5

0,5 _

+ 0,5

V(T)

- 1 M(T-m)

N=0 Unidades seleccionadas: Ton (T) y mts(m)

)2(5,0.......5,0 42

20 xMxM x

x =

M24 = 0,5x - 2

x

mmm

TmT

EI

M 14

2

EI1

Por simetría:

EIxx

EI

1

2

12

1

EI

1

2

0)( ARLI = 3EI(x-x3/12)1/(4EI)= (3x -

4

3x)/4 De igual manera que para la expresión que

se obtenga de y entre 2 y 4 se multiplicará por 3EI/4 para obtener la línea de influencia en ese tramo.