Lineas de Influencia (Unidad 2) Estructuras II
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Unidad II.- Lneas de Influencia Estructuras II INGENIERA CIVIL
21
UNIDAD 2
LNEAS DE INFLUENCIA
La lnea de influencia de una solicitacin es un diagrama tal, que su ordenada en un punto i
mida, en una determinada escala, el valor de la solicitacin en una seccin determinada (o de la
deformacin), cuando en el punto i de referencia acta una carga de valor unitario P=1.
Desempean un papel importante en el diseo de puentes, vigas carrilera de gras-puente, cintas
transportadoras, y cualquier otro tipo de estructura en las que el punto de aplicacin de las cargas se
mueve a lo largo de su luz. Estas cargas se denominan cargas mviles. Un ejemplo tpico es el peso
de un vehculo que circula por un puente.
La lnea de influencia representa la variacin de las reacciones de momento o cortante en un
punto especfico de un miembro a medida que una fuerza concentrada se desplaza a lo largo del
miembro. Una vez que esta lnea es construida se puede determinar fcilmente cul es la posicin
de la carga en la estructura que provocara la mayor influencia en un punto especificado. Adems a
partir de los datos del diagrama de influencia podemos calcular la magnitud de los esfuerzos de
momento y cortante, e incluso el valor de la deformacin en ese punto.
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Unidad II.- Lneas de Influencia Estructuras II INGENIERA CIVIL
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2.1 CONSIDERACIONES GENERALES
Si bien en el tratamiento del tema, por simplicidad nos referimos a casos de vigas, la
generalizacin a otros tipos de estructuras es casi inmediata y no requiere de nuevos conceptos a los
necesarios en nuestro tratamiento.
La posibilidad de cargas mviles implica la necesidad de obtener:
a) las solicitaciones, deformaciones, etc., que produce una carga (o un estado de cargas)
para distintos puntos de aplicacin de la misma.
b) El estado ms desfavorable de aplicacin de la carga, que trae aparejada las mayores
solicitaciones o deformaciones, y con las cuales tiene que ser evaluada una seccin dada
Estas dos necesidades deben ser tenidas en cuenta en todas las secciones de la viga, o por lo
menos, en varias secciones caractersticas segn las circunstancias.
El trazado de diagramas o Lneas de Influencia nos permite una adecuada respuesta a las
dos necesidades y su utilizacin es casi imprescindible en el caso de estudios de puentes, puentes
gra, etc., donde las cargas mviles (p) tienen una cierta importancia con respecto a peso propio o
carga permanentes (g).
2.2 LINEAS DE INFLUENCIA EN SISTEMAS ISOSTTICOS
Recordemos algunos elementos bsicos aplicados en sistemas isostticos simples a fin de
apreciar las similitudes y diferencias con el tratamiento que daremos a las vigas hiperestticas. Nada
mejor para esto que la aplicacin del Principio de los Trabajos Virtuales, en el mtodo de la Cadena
Cinemtica en una viga isosttica de dos tramos para distintos casos de solicitaciones, o Mtodo
Analtico.
carga unitaria aplicada en i, donde 1
se puede incorporar como factor de escala.
LNEA DE INFLUENCIA DE UNA REACCIN
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En claro ejemplo, determinemos la lnea de influencia para la reaccin en A de la siguiente viga:
Se empieza a mover la carga P a diferentes distancias x y para cada distancia se calcula RA.
LNEA DE INFLUENCIA DE UN MOMENTO
LNEA DE INFLUENCIA DE ESFUERZO DE CORTE
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Otro mtodo es encontrando la ecuacin de la variacin de la reaccin en A, a medida que se mueve
una carga unitaria. Se parte de encontrar esa reaccin en funcin de la posicin x de la carga P=1,0.
Aplicando ecuaciones de equilibrio o encontrando la reaccin por proporciones tenemos:
Notemos que la ecuacin tiene pendiente negativa y con una variacin lineal para RA.
Para obtener el valor de la reaccin en A para cualquier carga P, se multiplica la ordenada de la
lnea de influencia por el valor de la carga.
Si L=8m, P=5 ton localizada a 3m del punto A, el valor de la reaccin sera:
La Lnea de influencia para el cortante en A: Se determina la variacin del cortante en A por el
mtodo de las secciones:
En vista de que siempre es una carga puntual, se parte de encontrar primero las reacciones en
funcin de la posicin x y despus se aplica el mtodo de las secciones partiendo por el punto al
cual se le quiere determinar la lnea de influencia:
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Haciendo equilibrio en la seccin y localizando la carga en x>0 tenemos:
En este caso concluimos que la lnea de influencia del cortante en A es igual a la de la reaccin en
A; Note que la lnea de influencia se hacer para la convencin positiva de los esfuerzos internos.
Lnea de influencia para la reaccin en B:
Lnea de influencia para el momento en A: Para cualquier posicin de la carga unitaria el momento
en A ser cero.
Lnea de influencia para el cortante y momento en un punto C en L/2. Siempre comenzamos
encontrando las reacciones en los apoyos y luego partimos:
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Para x < L/2 , se puede tomar la seccin C-B y los clculos se facilitan ya que en ella no est
actuando la carga unitaria:
, de donde
Para x>L/2 se toma la seccin A-C para equilibrio:
Lnea de influencia para el cortante en C:
Momento en C:
-
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P = 1
EJEMPLO 1.-
E F
5 m
A D
B C
6 m 6 m 6 m
Solucin:
Se pone en evidencia la Fuerza Axial que ejerce la tensin en el elemento EF:
Diagrama Cartesiano de Corrimiento 5 5/2 E F NEF NFE
5 m /2
CIR
A O2 O1, O12, O2
O1 O12 B C
6 m 6 m 6 m
O12
6 3 CIR CIR O1 O2 = /2 Diagrama Cartesiano de Corrimiento
Hallar la Lnea de Influencia que ejerce la Tensin
entre el elemento EF cuando una carga P=1 se
mueve paralelamente en s misma sobre la
estructura.
Por el Mtodo de la
cadena cinemtica
hallamos los centros
instantneos
de rotacin (CIR).
Aplicando el principio de los trabajos virtuales:
Tv = 0
NEFx5 NFEx5/2 = 0
El Valor de la Lnea de Influencia axial en el elemento
X = NEF =
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EJEMPLO 2.-
D C
4m
P = 1 B
2m
A 2m
2m 2m
O3 O3
O23 O2
III O2 II
II III
O3 O12 O12
I 4
O1 I
O12 O1
I=III II
4
O1 O2
Determinar la Lnea de Influencia del Momento en
A cuando una carga P=1 se mueve paralelamente
sobre AB.
Solucin:
Evidenciando el momento en A (MA) se determina la
Lnea de Influencia a travs de los Diagramas de
Desplazamientos.
Tv = 0
x = = 2
El Valor de la Lnea de Influencia del Momento en A
X = MA =
=
4
LIMA= 2
-
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EJEMPLO 3.-
B
4m 1
A
3m
C D
3m 4m 5m
Solucin:
Se pone en evidencia el Momento en B que ejerce la Flexin:
012
M M Sistema Primario
I 01
II
03
02 023 III
II
III
0.57 1.33 7 12 2.40
3 5.14 LI MB 02 01 1.028 03 2.33
Determinar la Lnea de Influencia del Momento en
B cuando una carga P=1 se mueve sobre el sistema
mostrado.
(Tv =0)
-1x m + M x M x 0.57 = 0
m = 0.43 = 1 = 2.33
-
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2.3 LINEAS DE INFLUENCIA EN SISTEMAS HIPERESTTICOS
PRINCIPIO DE MULLER-BRESLAU
La lnea de influencia en un punto dado para la cortante o momento est dada por la
deformada de la viga al aplicar ese momento o cortante en el punto determinado, retirando la
capacidad de la viga para aguantar esa funcin.
Para la determinacin de la lnea de influencia de cualquier incgnita (fuerza axial, cortante,
momento o reaccin) en un punto de una estructura hiperesttica, se aplica el principio de Mller-
Breslau. Las lneas de influencia de estructuras hiperestticas son lneas curvas, a diferencia de las
correspondientes a sistemas isostticos, las cuales conforman lneas rectas.
Debido a que las solicitaciones de la estructura primaria estn constituidas por cargas
concentradas o momentos concentrados, el diagrama de momentos de ese sistema es lineal. Es
decir, este diagrama estar constituido por lneas rectas, para un elemento recto genrico ij. La viga
conjugada tendr un diagrama de cargas de la siguiente forma:
Mij
.
i j j
i i j
Mji
.
Diagrama de Momentos Viga Conjugada
Por superposicin, la viga conjugada puede descomponerse en los tres casos que a
continuacin se muestran
.
.
.
+ +
i j
i j
= i j i j i j
.
-
-
-
-
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El momento en un punto genrico de abscisa , es decir, la componente vertical de la
elstica en ese punto de la viga real es:
Caso I:
.
i j = . + 12
.
. . . 1
3
=
6 . . 2 . ( 3)
Ri Rj
6
3 haciendo: D = (
3) y K = (I /L) / cos tenemos:
= .
. I Ecuacin
Caso II:
.
i j = . + 12
.
. . . 1
3
Similarmente al caso I, el Momento viene dado por:
Ri Rj
3
6 haciendo: D = (
3) y K = (I /L) / cos tenemos:
= .
. II Ecuacin
Caso III:
i j
i j
donde:
= + .
Ri Rj
= + . III Ecuacin
-
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Las expresiones de las ecuaciones I, II y III permiten determinar las ordenadas de la elstica
para desplazamientos verticales de un elemento cualquiera ij de un sistema la misma forma un
ngulo con el eje x, para cada dcima parte de la longitud del elemento, obteniendo la forma
elstica de tal manera:
= .
.
.
. + + . Con Desplazabilidad
= .
.
.
. Sin Desplazabilidad
Las constantes para valores de de 0.1 en 0.1 de la dcima parte del valor de la
longitud del elemento, viene dado por lo siguiente:
D 'D
0 0 0
0.1 0.099 0.171
0.2 0.192 0.288
0.3 0.273 0.357
0.4 0.336 0.384
0.5 0.375 0.375
0.6 0.384 0.336
0.7 0.357 0.273
0.8 0.288 0.192
0.9 0.171 0.099
1.0 0 0
Ahora bien, dividiendo la elstica (v) entre el desplazamiento x correspondiente a la
incgnita x en el sistema primario se obtiene la lnea de influencia de X:
=
-
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EJEMPLO 4.-
1
1.5EKr 1.5EKr EKr EKr
A B C D E
5m 5m 6m 6m
Solucin:
L a Viga de grado hipergeomtrico 4 sin desplazabilidad. Se pone en evidencia el Momento
en C.
10000 Kg/m 10000 Kg/m
A B C D E
10000
1428
B D
A C E
2500 2855
Diagrama de Momentos (M)
Elemento AB BA BC CB CD DC DE ED
Rij 0.50 0 0 0.50 0.50 0 0.50 0
Dij 0 0.500 0.500 0 0 0.429 0.571 1
Mij
+5000
+10000
-10000
-5000
-2500 -2500 +2145 +2855 +1428
Mt 0 -2500 +2500 +10000 -10000 -2855 +2855 +1428
Determinar la Lnea de Influencia del Momento en
C de la Viga Hiperesttica, para carga vertical
movindose de A a E
+
-
-
-
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Aplicando el Mtodo de la Viga Conjugada a travs de los diagramas de Momentos, se tiene:
10000
10000
1428
B D
E
A 2500
C
2855
A continuacin se analizan los casos de cada elemento, suponiendo las cargas con sentido positivo (las
dirigidas hacia arriba) y con sentido negativo (dirigidas hacia abajo).
Determinamos los momentos genricos en las abscisas, componente vertical elstica en los puntos de la
viga real.
Tramo AB:
2500
.
A B :
5 m
v = .
6 . v =
2500 . 5
6 . 1.5 . v =
.
.
Tramo BC:
2500
. 10000
.
B C B C
:
5 m 5 m
v = .
6 .
.
6 .
v =2500 . 5
6 . 1.5 .
10000 . 5
6 . 1.5 .
v =.
.
.
.
-
-
-
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Tramo CD:
10000
. 2855
.
C D C D
:
6 m 6 m
v = .
6 . +
.
6 .
v = 10000 . 6
6 .
2855 . 6
6 .
v =
. +
.
Tramo DE:
2500
. 10000
.
D E D E
:
6 m 6 m
v = .
6 .
.
6 .
v =2855 . 6
6 .
1428 . 6
6 .
v =
.
.
Determinacin de la Rotacin Relativa:
Tramo BC:
2500
. 10000
.
B C B C
:
xMCB xMCB
QCB =2500
6 .1.5
10000
3. 1.5 =
.
()
Tramo CD:
10000
. 2855
.
C D C D
QCD = 10000
3+
2855
6 =
.
()
xMCD xMCD
-
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Entonces:
Mc = = (QCB + QCD )
Mc = = 1944.44 2857.50 =
.
El valor de la lnea de influencia vendr dado por:
= =
=
.
De forma tal, que cuando la carga P=1 se mueve paralelamente entre A y E para el Momento en C,
la lnea de influencia se obtiene a travs de:
AB: v =1388 .89
4801 .94 . = . .
BC: v =1388 .89
4801 .94 .
5555 .56
4801 .94 . = . . . .
CD: v = 10000
4801 .94 . +
2855
4801 .94 . = . . + . .
DE: v =2855
4801 .94 .
1428
4801 .94 . = . . . .
Usando los valores de D y D , obtenemos los valores definitivos de la Lnea de Influencia por elemento
AB BC CD DE
0.2892D 0.2892 D -1.1569 D X -2.0825 D 0.5946 D X 0.5946 D -0.2974 D X
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.1 0.0286 0.0495 -0.1145 -0.065 -0.3561 0.0589 -0.297 0.1017 -0.0294 0.072
0.2 0.0555 0.0833 -0.2221 -0.139 -0.5998 0.1142 -0.486 0.1712 -0.0571 0.114
0.3 0.0790 0.1032 -0.3158 -0.213 -0.7435 0.1623 -0.581 0.2123 -0.0812 0.131
0.4 0.0972 0.1111 -0.3887 -0.278 -0.7997 0.1998 -0.600 0.2283 -0.0999 0.128
0.5 0.1085 0.1085 -0.4338 -0.325 -0.7809 0.2230 -0.558 0.2230 -0.1115 0.111
0.6 0.1111 0.0972 -0.4442 -0.347 -0.6997 0.2283 -0.471 0.1998 -0.1142 0.086
0.7 0.1032 0.0790 -0.4130 -0.334 -0.5685 0.2123 -0.356 0.1623 -0.1062 0.056
0.8 0.0833 0.0555 -0.3332 -0.278 -0.3998 0.1712 -0.229 0.1142 -0.0857 0.029
0.9 0.0495 0.0286 -0.1978 -0.169 -0.2062 0.1017 -0.104 0.0589 -0.0509 0.008
1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
C
LI MC E
A B D
-
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2EKr
EKr 3EKr
0.5EKr 2EKr
EKr = 240.54
EJEMPLO 5.-
B C D
1m
3m
A Considrese
E F
3m 3m 4m 3m
Solucin:
Se pone en evidencia el Momento en B. y aplicando el Mtodo de Distribucin de
momentos determinamos las solicitudes de cargas en sus extremos
10000 Kg/m 10000 Kg/m 10000 10000 192
C D C D
B B 4103 2217
A
A 5000
F E F
E
Diagrama de Momentos
3 B C D 3/2 10000
10000
A C 192
E F A B D
5000
4103
2217
Estructura Conjugada
AB 5000 CB -4103 DC 192
BA 10000 CE 1886 DF -192
BC -10000 CD 2217 FD -97
Determinar la Lnea de Influencia del Momento en
B para carga vertical movindose paralelamente
sobre A a D
VA = - 240.54
76.12
VB = -3 721.62
228.36
VD =3/2 2360.81
90.20
-
Unidad II.- Lneas de Influencia Estructuras II INGENIERA CIVIL
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Determinacin de la Rotacin Relativa:
Tramo AB:
5000
. 10000
.
A B A B
:
6
3
B =5000
6 .2
10000
3. 2+
76.12
=
.
()
Tramo BC:
10000
. 4103
.
B C B C
3
6 B =
10000
3+
4103
6+
228.36
=
.
()
MB = = (QBA + QBC )
MB = = 1173.88 2421.14 =
El valor de la lnea de influencia vendr dado por:
= =
=
Usando el principio de superposicin:
Tramo AB: v = .
6 .
.
6 .
v =
5000 . 3.16
6 .2 .
10000 . 3.16
6. 2 .
240.54
=.
.
.
.
.
Tramo BC: v = .
6 . +
.
6 .
v =
10000 . 3.16
6 . +
4103 . 3.16
6 .
721.62
= .
. +
.
.
.
Tramo CD: v = .
6 .
.
6 . +
v =
2217 . 4
6. 3 .
192 . 4
6 . 3 . +
360.81
=.
.
.
. +
.
-
Unidad II.- Lneas de Influencia Estructuras II INGENIERA CIVIL
39
Sustituyendo los valores encontrados y simplificando cuando la carga se mueve, se tiene:
= =
=
= . . + . . . ( )
= . . . . . ( )
= . . . . . ( )
AB BC CD
-0.7325D 0.3663 D -0.0668(1-) X 0.6011 D -1.465 D -0.2007() X -0.0118 D 0.0342 D 0.1004() X
0 0 0 -0.0668 -0.067 0 0 0 0 0 0 0.1004 0.1004
0.1 -0.0725 0.0626 -0.06012 -0.070 0.0595 -0.2505 -0.0201 -0.211 -0.0012 0.0058 0.0100 0.015
0.2 -0.1406 0.1055 -0.05344 -0.089 0.1154 -0.4219 -0.0401 -0.347 -0.0023 0.0098 0.0201 0.028
0.3 -0.2000 0.1308 -0.04676 -0.116 0.1641 -0.5230 -0.0602 -0.419 -0.0032 0.0122 0.0301 0.039
0.4 -0.2461 0.1407 -0.04008 -0.146 0.2020 -0.5626 -0.0803 -0.441 -0.0040 0.0131 0.0402 0.049
0.5 -0.2747 0.1374 -0.0334 -0.171 0.2254 -0.5494 -0.1004 -0.424 -0.0044 0.0128 0.0502 0.059
0.6 -0.2813 0.1231 -0.02672 -0.185 0.2308 -0.4922 -0.1204 -0.382 -0.0045 0.0115 0.0602 0.067
0.7 -0.2615 0.1000 -0.02004 -0.182 0.2146 -0.3999 -0.1405 -0.326 -0.0042 0.0093 0.0703 0.075
0.8 -0.2110 0.0703 -0.01336 -0.154 0.1731 -0.2813 -0.1606 -0.269 -0.0034 0.0066 0.0803 0.083
0.9 -0.1253 0.0363 -0.00668 -0.096 0.1028 -0.1450 -0.1806 -0.223 -0.0020 0.0034 0.0904 0.092
1.0 0 0 0 0 0 0 -0.2007 -0.201 0 0 0.1004 0.100
LI MB
-
Unidad II.- Lneas de Influencia Estructuras II INGENIERA CIVIL
40
2EKr
EKr
0.5EKr
1.5EKr
EKr
EKr
EKr
EKr
EKr
EKr
EKr
2EKr
3EKr
Ejercicios Propuestos.-
1m B
E A C
2m
B D 3m
2m C
A F B
4m 3m 2m 4m 4m
E
C
3m
1.5m
A D
B
1.5m 4m
A B C
2m
5m
D E F F
2m 2m 2.5m 2.5m 2.5m
3m 2.5m .5m 3m
1.-Hallar la Lnea de Influencia del
Momento en D (MDC) para carga vertical
movindose paralelamente sobre C a E
2.-Determinar la Lnea de Influencia del
Momento en B (MB) para carga vertical
movindose paralelamente sobre ella.
3.-Calcule los valores de la Lnea de
Influencia que genera el sistema para el
Momento en C (MC) cuando se tiene una
carga vertical movindose entre A a F
4.-Determine la Lnea de Influencia para
una carga vertical movindose entre A a D.
considerando la Desplazabilidad de la
Estructura.