II Bimestre 2013

Álgebra

Í N D I C E

Capítulo Pág.

I División de polinomios: Horner .......................................................................................... 37

II División de polinomios: Ruffini - Teorema del Resto ............................................................. 43

III M.C.D. - M.C.M. de polinomios .......................................................................................... 49

IV Fracciones algebraicas ..................................................................................................... 55

V Factorial - Combinatorio ................................................................................................... 61

VI Binomio de Newton I ........................................................................................................ 67

VII Binomio de Newton II ....................................................................................................... 73

VIII Repaso ........................................................................................................................... 79

B la cka m es

División de polinomios: Horner

Capítulo I

División de polinomios

Es aquella operación algebraica que tiene como objetivo encontrar dos únicos polinomios llamados cociente entero q(x) y residuo R(x) a partir de otros dos polinomios llamados dividendo D(x) y divisor d(x).

D(x)

R(x)

d(x)

q(x)

laIdentidad fundamental Propiedades Clases de división

es 1 exacta

D(x) d(x).q(x) + R(x)

d(x) 0

El grado del dividendo es mayor o por lo menos igual al grado del divisor: D° d°

R(x) 0

para: x = 1 2 inexacta

D(1) d(1).q(1) + R(1)

Suma de coeficientes del dividendo

El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos

el grado del divisor: q° = D° - d°

R(x) 0

para: x = 0 3

D(0) d(0).q(0) + R(0)

Término independiente del dividendo

El grado máximo del resto es igual al grado del divisor disminuido en 1: R°max. = d°

- 1

Para todos los métodos es necesario que el dividendo y divisor estén ordenados y completos en forma descendente, si falta algún término completar con el cero.

Por ejemplo, así en la división:

2x5 3x2 - 1

2x3 - x2 6completando con ceros se tiene:

2x5 0x 4 0x3 3x2 0x - 1

2x3 - x2 0x 6

Método de Horner

Para este método sólo se utilizarán coeficientes empleando el siguiente esquema:

Con su

1. Se distribuyen los coeficientes del dividendo en forma horizontal.

2. Se distribuyen los coeficientes del divisor en forma vertical donde el primero de ellos lleva signo propio y los restantes se colocan con signo cambiado.

3. La línea que separa el cociente del resto se traza de acuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta de derecha a izquierda tantos lugares cómo lo indica el número que representa el grado del divisor.

4. Se dividen los primeros coeficientes del dividendo y divisor, siendo este el primer coeficiente del cociente.

5. Se multiplica el primer coeficiente del cociente por los términos que cambiaron de signo y los resultados se escriben en fila a partir de la segunda columna; se reduce los coeficientes de la segunda columna dividiendo este resultado entre el primer coeficiente del divisor, el resultado es el segundo coeficiente del cociente.

6. Se continuará hasta completar los coeficientes del

mismo signo

ÁLGEBRA4AÑO

Con signo

cambiado

D D I V I D E N D OI V I S OR C O C I E N T E R E S I D U O

cociente y residuo.

Problemas resueltos

1. Dividir:

S o l uc i ó n :Utilizando el esquema de Horner:

1 a b c d e2

4x5 - 12x4 13x3 12x2 - x 1

2x2 - 3x 1

0 0 a2

0

2

b2

0 c2+a4

S o l uc i ó n :Utilizando el esquema de Horner:

aEn el residuo:

b c+a 0 0

2 4 -123 6

-1

13 12 -1 1-2-9 3

3 -1

- d + b2 = 0 2 = - d

... (1)b- e + c2 + a4 = 0 ... (2) Reemplazando (1) en (2):

227 -9 - d

- d

2 -3 1 9 25 -8 e + c b + a = 0

- El divisor: 2x2 - 3x +

1

b

cd ad2

es de grado: d° = 2, entonces separamos dos columnas para el residuo.

-D 5

q° = 5 - 2 = 3; R° 1d 2

e - + = 0b b2

Transformando:eb2 - cbd + ad2 =

0 ad2 + b2e =

cdb-

Finalmente:q(x) = 2x3 - 3x2 + x

+ 9R(x) = 25x -

8

4. Determinar “” para que el polinomio:x4 + y4 + z4 - (x2y2 + y2z2 + x2z2)

sea divisible por (x + y + z).

2. La siguiente división:

ax 5 bx 4 1 (x - 1)2

es exacta. Hallar “a” y “b”.

Solución:

; x IR - {1}

S o l uc i ó n :Calculando el residuo de la división:- Se iguala el divisor a cero:

x + y + z = 0

- Con la anterior, se cumple:x4 + y4 + z4 = 2(x2y2 + y2z2 +

x2z2)En toda división exacta se establece que es posible invertir los coeficientes del dividendo y divisor y ésta seguirá siendo exacta.Ordenando y completando se tiene:

ax5 bx4 0x3 0x2 0x 1 x2 - 2x 1

Utilizando el esquema de Horner:

- Reemplazando en el dividendo:R = 2(x2y2 + y2z2 +

x2z2)- (x2y2 + y2z2 +

x2z2)- Como es divisible entonces: R 02(x2y2 + y2z2 + x2z2) (x2y2 + y2z2 + x2z2)Finalmente: = 2

Problemas para la clase

1 1 02 2

-1

0 0 b a-14 -2

6 -3

1. Dividir:

10x 4 6x3 - 37x2 36x - 12

5x2 - 7x 3

8 -4 e indicar el resto.

1 2 3 4 (b + 5) (a - 4)

a) 2x + 1 b) 2x - 1 c) 3x + 1

En la columna del residuo: b + 5 = 0 b = - 5 a - 4 = 0 a = 4

d) 3x - 1 e) 3x - 3

2. Dividir:

3. La siguiente división:ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ÷ (x2

- 2)es exacta. Calcular el valor de: ad2 + b2e

12x 4 - 14x3 15x2 - 6x 4

4x2 - 2x 1

e indicar la suma de coeficientes del cociente.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Calcular “m.n”, en la siguiente división exacta.

8x 4 6x3 - 23x2 mx - n

4x2 - 3x 1

a) 15 b) 19 c) 11 d) 48 e) 60

4. Calcular “m + n + p”, si la división:

8x5 4x 3 mx 2 nx p

2x 3 x 2 3

deja como resto:R(x) = 5x2 - 3x +

7

a) 32 b) 23 c) 21 d) 15 e) 12

5. En la división:

6x3 - 12x2 3ax a

3x2 3el residuo toma la forma “mx + m”. Calcular

“m + a”.

a) 21 b) - 21 c) 30 d) - 30 e) 9

6. Calcular “a - b” en la siguiente división exacta.

7. En la siguiente división exacta:

6x 4 11x3 Bx2 - 7x - 3B

3x2 4x 5Hallar el valor de “B”.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Calcular “A - B” si la división es exacta:

x7 Ax B

x2 x 1

a) 3 b) - 2 c) 2 d) 1 e) - 1

9. Si la división:

x5 3x 4 - 3x3 - 4x2 Ax B

x2 2x - 2deja por resto: 2x - 1, calcular “A + B”.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 23 e) 24

10.En la división:

ax 4 bx3 - 4x2 19x 14

3x2 - x 7

2x 4 5x3 Ax A

x2 - x 1el residuo es un término constante, indique

dicho resto.

a) 13 b) - 13 c) 7 a) -1 b) -4 c) -2d) - 7 e) 3 d) -8 e) -3

Comparación cuantitativa

A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las siguientes alternativas :

A. La cantidad en A es mayor que en B. B. La cantidad en B es mayor que en A. C. La cantidad en A es igual a B.D. No se puede determinar.E. ¡NO DEBE USAR ESTA OPCIÓN!

Preg. Información Columna A Columna B

Al dividir:

11

se obtiene:

6x 4 13x3 6x2 - 3x 5

2x2 3x 2

q(2) R(-1)

q(x) = cocienteR(x) = residuo


Dividir:

12 4x 4 3x2 8x - 5

2x2 x - 1

Suma de coeficientes del cociente

Término independien

te del residuo

La división:

13 x5 3x 4 - 3x3 - 4x2 Ax

B

x2 2x - 2deja como resto “2x - 1”.

Dada la división exacta:

14 8x 4 - 2x3 7x2 mx n

4x2 x 2

A BA - B -

25

m - n m

B2

n - m n

Al dividir:

15

6x 4 Ax3 Bx2 Cx D

3x2 2x - 1

A - C B - D

se obtiene un cociente cuyos coeficientes son números enteros consecutivos y un resto igual a “2x + 7”.

Suficiencia de Datos

En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debe determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas:

A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente.D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente. E. Se necesitan más datos.

16.En la división:

6x5 - 2ax 4 5bx2 cx

3x2 - x 3

I. D(x) = d(x) q(x) + R(x) II. q(x) = x2 - 5x + 2

18.Si:P(x) = ax4 + bx3 + cx2 +

3x + 1 se divide por: x2 - x + 1.Calcule “a + b + c”.

I. Suma de coeficientes del cociente es 22. II. Suma de coeficientes del residuo es 9.

19.Si la siguiente división:

2x 4 3x2 (A 1)x (B - 3)

2x2 2x 3deja como residuo: R(x) = x + 3.

Hallar:

a3 b3 c3 Hallar “A.B”

3

I. Los coeficientes del cociente disminuyen de 2 en 2. II. El residuo es un polinomio de grado

0.

17. El residuo en la siguiente división:

a) 4 - x b) 4x c) xd) x + 4 e) x - 4

a) 9 b) - 9 c) 0 d) 11 e) 21

20.En la división indicada:

x6 - 25x2 x - 43

ax5 bx4 cx3 2x2 - 5x - 3

2x3 x2 - x - 2

es: 7x2 + 8x - 3. Calcular “a + b + c”.

Hallar el residuo.

x - 5x

3

K1

K2

4 -126 -18

-14 42

2 3 -7

a) 10 b) 4 c) 6d) 3 e) N.A.

a) 1 b) 3 c) 4d) 5 e) 7

21.Si: {m; n} ZZ y al efectuarse la división:

x3 - x

el resto obtenido es: 6ab + b2. Calcular:

x2 mx n 3a2 b2

2se obtiene como resto 6. Calcular “m + n”.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 4

22.Calcular: (m + p)n, si la siguiente división:

a

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

27. Si la división:

tiene residuo:

mx 4 nx 3 px 2 17x - 5

2x 2 - x 2

R(x) = 6x - 3

Ax 4 - 7x3 Bx2 15x - 9

4x2 - 3x 2deja como residuo: 2x - 3Hallar “A - B”.

y un cociente cuya suma de coeficientes es 4.

a) 10 b) 70 c) - 70 d) 100 e) - 7

a) 12 b) - 14 c) 28d) - 12 e) 14

28.En el esquema de Horner mostrado:

23.Calcular “b - a” si al dividir:

ax 4 bx3 13x 18

3x2 - x 7se obtiene como resto “2x - 3”.

1

m

2

Determinar:

3 a 1

9 d e

n -2 p

b c

f

g h4 -3

24.Al efectuar:

2x5 7x 4 - 3x3 5x 1 x3 3x2 - 4x K

(m +n + p) - (a + b + c)

a) 12 b) 18 c) 14d) 17 e) N.A.

29.Si el polinomio:se obtiene un residuo de primer grado. Calcular dichoresto.

es divisible por:

ax7 + bx5 - 1

mx5 + nx4 + px3 - x - 1

a) 13x + 4 b) 14x + 3 c) 12x + 4d) 13x + 3 e) 12x + 3

calcular el valor de “ab + mn + p”.

25.En la división:

6x5 - x 4 ax3 - 3x2 4

3x3 - 2x2 - x - 2

30.En el esquema de Horner mostrado:

se obtiene como resto: bx + c. Indique “a + b + c”.

a) 3 b) - 4 c) - 2 d) - 1 e) 2

A1 A2 A3 A4 A5

6 826.En la división:

a) 10 b) 8 c) 4d) 6 e) N.A.

9x 4 6ax 3 (a2 3b)x 2 abx 9a2

3x 2 ax - b

se pide encontrar el mayor coeficiente del dividendo.

Autoevaluación

1. Dividir:

x 4 4x3 6x2 - 7x 2 x2 2x 1

a) - 25 b) 25 c) 24 d) 21 e) 0

Indicar el resto.

4. Calcular “ab” si la división:

a) 1 - 10x b) 1 + 11x c) 1 - 11x

ax 4

bx3 7x2 10x 3

d) 10x - 2 e) 4x - 1 es

exacta.

3x2 x 3

2. Calcular “a + b” si la siguiente división:

5x 4 4x 3 - 13x 2 ax (b 1)

x 2 2x - 1

deja como residuo a: -12.

a) 1 b) 27 c) 16 d) 4 e) 2

5. Si:

a) 2 b) 3 c) - 3x5 3x 4

- 3x 3

- 4x 2

(A - 1)x (B 1)

d) - 2 e) 1

3. Calcular (mn)2 si la siguiente división:

6x 4 5x3 2mx - 3n

2x2 x 3

x 2 2x - 2deja como resto 4x - 10, calcular “A + B”.

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

es exacta.

a

a

División de polinomios: Ruffini - Teorema del Resto

Capítulo II

Método de Ruffini

Se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado

S o l uc i ó n : Por Ruffini:

3x - 1 = 0 35 -17 8 7

de la forma: ax + b ; a 0 x = 1

13

2 -5 1

Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes cumpliendo el siguiente esquema:

3 6 -15 3 8

1 2 -5 1

D I V I D E N D O

Como:q° = 4 - 1 = 3

Coeficientes del cociente

ax + b = 0

x = - b

a

C O C I E N T E R E S T O

q = x3 + 2x2 - 5x + 1R = 8

Teorema del Resto

Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado de la forma: ax + b, y en algunos casos

Problemas resueltos

1. Dividir:

especiales.

Sea P(x) un polinomio no constante. El resto de dividir P(x)

3x5 - 2x 4 7x3 - 11x2 5x 1 x - 2 por (ax + b) donde: a 0, viene dado

por P

b

S o l uc i ó n : Por Ruffini:

x - 2 = 0 x = 2

3 -2 7 6 83 4 15

-11 5 130 38 8619 43 87

D emostr a c ió n :

Sea la división: P(x) ÷ (ax + b), de residuo “R”. De la identidad fundamental, se tiene:

P(x) (ax + b)q(x) + R

b

Como:

resto En esta identidad “R” se obtiene cuando: x = - a

q° = 5 - 1 = 4 - b

= a -

b b q -

b + R P -

b = 0 + Rq(x) = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43

P a

a

a

R(x) = 87

a 0

Observación: Si el divisor: ax + b; a 1, luego de dividir

Finalmente:

- b

por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre“a” para obtener el cociente correcto.

R = P

ÁLGEBRA4AÑO

2. Dividir:

3x 4 5x3 - 17x2 8x 7

3x - 1

Regla para calcular el Resto

- Se iguala el divisor a cero.- Se calcula el valor de la variable que

aparece con frecuencia en el dividendo.- El valor obtenido se reemplaza en el dividendo.

Problemas resueltos

1. Hallar el resto de dividir:

S o l uc i ó n :Por Ruffini, ordenando y completando:

2x2 5x 3 x - 2 + 1 = 0

1 0 (3 2 - 2) 0 0 (2 2 + 7)

2x - 1 x = 2 - 1 2 - 1 (3 - 2 2) 1

2 - 1 3 - 2 2

S o l uc i ó n :Siguiendo la regla antes mencionada:- 2x - 1 = 0

1

1 2 - 1

Finalmente: R(x) = 10

(1 + 2) 1 2 - 1 10 resto

- x = 2

1 2

1

5. Hallar el residuo en la siguiente división:

(x - 4)4 (x - 2)5

- Resto = 2 + 5 + 3 2

1 5

2 x2 - 6x 8

Resto = 2

+

2

+ 3 Resto = 6 S o l uc i ó n :

Aplicando la identidad fundamental: D(x) d(x).q(x) + R(x)

2. Calcular el residuo en la división:

(x 1)(x - 2)(x 4)(x - 5)(x 7)(x - 8) 1 (x 9)(x - 10)

Donde: R°máx. = d° - 1Reemplazando datos:

(x - 4)4 + (x - 2)5 (x2 - 6x 8) q(x) +

2do grado

R(x)1er grado

S o l uc i ó n :Multiplicando convenientemente se tiene:

* 1er grado R(x) = ax + b

(x 2 - x - 2)(x 2 - x - 20)(x 2 - x -

56) 1 x 2 - x - 90

Hacemos el cambio: x2 - x = y

(x - 4)4 + (x - 2)5 (x2 - 6x + 8)q(x) + ax + b

Para: x = 4

(y - 2)(y - 20)(y - 56) 1 y - 90

(4 - 4)4

0

+ (4 - 2)5 = (42 - 6(4) 8) q(4) + 4a + b0

32 = 4a + b ...... (1)- y - 90 = 0 y = 90- Resto = (90 - 2)(90 - 20)(90 - 56) + 1- Resto = (88)(70)(34) + 1 = 210 441

Para: x = 2

(2 - 4)4 + (2 - 2)5

0

= (22 - 6(2) 8) q(2) + 2a + b

0

3. Calcular el resto en:

2y13 - 21y10 y 8 - y7 3y 4 2y

1 y2 - 2

De (1) y (2):

16 = 2a + b ...... (2)

4a b 32 ......(1)2a b 16 ......(2)

S o l uc i ó n :Aplicando la regla:- y2 - 2 = 0 y2 = 2Dando forma al dividendo:2(y2)6y - 21(y2)5 + (y2)4 - (y2)3y + 3(y2)2 + 2y + 1

Reemplazando: y2 = 2- Resto = 2(2)6y - 21(2)5 + (2)4 - (2)3y + 3(2)2

+ 2y + 1Resto = 128y - 672 + 16 - 8y + 12 + 2y + 1Resto = 122y -

643

4. Hallar el residuo en:

Restando: 2a = 16 a = 8; b = 0Luego: R(x) = ax + b = 8x


1. Dividir:

4x 4 x2 - 3x 4

2x - 1

e indicar el producto de coeficientes del cociente.

x5 (3 2 - 2)x 3 2

2 7 a) 2 b) - 2 c) 4

x - 2 1 d) - 4 e) 6

a) 50 b) 53 c) 51d) 52 e) 60

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Hallar el residuo en la siguiente división:

5x 4 16x3 - 8x 2 x 3

a) - 4 b) 4 c) - 6 d) - 24 e) - 2

10.Al dividir:

a) 1 b) - 2 c) - 1 d) 4 e) 10

3 x 4 - 2

2 x 3 -

(2

x -

3 - 1)x 2

-

6

6 x m

3. Hallar el residuo en:

15x4 - 8x3 - 9x2 7x 1

5x - 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Calcular el valor de “a”, si la división:

x3 - ax2 - 2ax -

a2

x - a - 3

se obtuvo como resto: 3m - 4. Calcular “m”.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11.Hallar la suma de coeficientes del cociente de la división: (n IR)

nx 4 (3 - n2 - n)x 3 (5n - 3)x 2 - 8nx

- 8n2

x - n - 1

si el resto es 64.

da residuo: 7a + 2

a) 8 b) 5 c) - 5 d) 6 e) - 6

5. Hallar el resto en la división:

x 4

x 2

a) 16 b) - 16 c) 0 d) 1 e) 1024

6. Calcular el resto de la división:

(2x 3)5 (x 3)4 - 6x x 2

a) 1 b) - 6 c) - 3 d) 12 e) 40

7. Calcular el resto en la siguiente división:

12.Hallar el resto en la división:

3x7 2x6 5x 4 x3 x 4 x3 - 1

a) 9x + 1 b) 7x + 9 c) 7x + 2 d) 4x + 14 e) 9x + 7

13.Hallar el resto en:

x70 x60 x 40 x20 7 x10 1

a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 6

14.Hallar el resto en:

x 3 (x - 3)3 5(x 2 1) - 15x 14

24x 40 8x39

1 x 2

x - 3x 1

a) 14 b) 8 c) 26d) 15 e) 13

8. Calcular el resto de:

(x 1)(x 3)(x 5)(x 7)

4 x 2 8x 11

a) - 9 b) - 10 c) - 11d) - 12 e) - 13


(x 6 - 6x 6)2002 (x 6 - 6x 4)2003 - 2(x 6 - 6x) - 14


A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las

siguientes alternativas :

A. La cantidad en A es mayor que en B. B. La cantidad en B es mayor que en A. C. La cantidad en A es igual a B.D. No se puede determinar.

x6 - 6x 5 E. ¡ N O DEBE USAR ESTA OPCIÓN!


15.

En la siguiente división:

2x 32 bx 5 x - 1

la suma de coeficientes del cociente entero es64.

Efectúe la siguiente división:

Residuo b

Suma de coeficientes16. x5 (3 2 - 2)x 3

22 7 del cociente Residuo

x - 2 1

17.

18.

19.

En la siguiente división:

3nx5 (n 3)x 4 2(2n - 1)x 3 - 4nx 2 9nx - 2n

3x - 2se obtiene un cociente entero cuya suma de coeficientes es igual al duplo del resto.

Al efectuar la división por la regla de Ruffini, se obtuvo el siguiente esquema:

4 -3 -b a

2 8a c m

x 4 b d n

* “R1” es el residuo de dividir:(3x3 - 5x - 8)2 - 4(x + 3)

+ 7entre: (x - 2)

* “R2” es el residuo de dividir:x300 - 25x298 + x2 + x

+ 9entre: (x - 5)

Grado del polinomiocociente n

a + b + c n + d

R1

R2

Suficiencia de datos

En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debe determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas:

A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente.D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente. E. Se necesitan más datos.

20.Hallar el término independiente del polinomio P(x); si: P(x + 2) = P(x + 4) + 4 + P(x)

I. Al dividir P(x) ÷ (x - 2) se obtuvo “5” como residuo. II. Al dividir P(x) ÷ (x - 4) se obtuvo “4” como residuo.

21.Hallar el resto en la siguiente división:

(x - 4)4 (x -

2)5

x2 - 6x 8

I. D(x) d(x).q(x) + R(x); R° < d° II. q(x) = x2 + x + 2

22.En la división:[x3 - (m - 1)x2 + 2m] ÷ (x -

1)el resto obtenido es nulo. Hallar “m”.

a) - 1 b) - 2 c) - 3d) - 4 e) - 5

23.Hallar el valor de “a”, si al dividir:

x a17 x a16 x a15 ... x2 x 1 x - 1

se observa que la suma de los coeficientes del cociente es igual a 90 veces su resto.

A B C D E F

-1 1 3 5 7 9

e d c b a 0

a) - 6 b) - 2 c) - 3d) - 4 e) - 5

a) 161 b) 162 c) 163 d) 164 e) 165

24.Del esquema de Ruffini:

29.Calcular el residuo de dividir:

(x 1)8 - x 8 7

2x2 2x 1

a) 1 b) 3 c) 7 d) x + 1 e) x - 1

Determinar la suma de coeficientes del polinomio dividendo.

a) 10 b) - 40 c) 40 d) 50 e) - 50

25.Hallar el resto de dividir:

2x120 1 x 2 - x 1

Autoevaluación

1. Hallar el cociente en la división:

3x 4 x3 6x2 5x - 1

3x 1

a) x3 + 2x + 1 b) x3 + 2x - 1a) 2x - 3 b) - 2x + 3 c) x - 3 c) x3 + 2x2 + 1 d) x3 + 2x2 - 1d) 3x + 3 e) 5x - 1 e) x3 + x2 + 2x - 1

26.Calcular el valor de: 2. Hallar el residuo en la división:

n 2

R = 2 n-2 8x5- x 4

16x3- 2x2 4

si el residuo de la división:

x 2n1

x 2n-1

22n

es 256.

8x - 1

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

3. Determinar el residuo en la siguiente división:

2x30 - 128x24 8x15 - 32x13 4x - 5

1a) 8

1b) 4

1c) 2

x - 2

d) 1 e) 2

27. Dado el polinomio:P(x) = ( 2 + 1)x4 + 2 2 x - 3 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Hallar el resto en:

Evaluar: P( 2 - 1)

(x -

4)20 (x - 4)10

x - 5 x - 1

a) 1 b) 2 + 1 c) 2 - 1 d) - 2 e) - 3

28.Determine el valor de “m” para que la división:

(x2 - y2 z2 )(x2 y2 - z2 )

mx2 yz x y zarroje como residuo un polinomio idénticamente nulo.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8


x5

x 2

a) - 32 b) 32 c) 31 d) - 31 e) 1

Obtiene factorizando los polinomios

y

viene expresado por la multipli- cación de los factores primos comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes.

M.C.D. - M.C.M. de polinomios

Capítulo III

M.C.D. y M.C.M. de polinomios

Máximo común divisor (M.C.D.)

Mínimo común múltiplo (M.C.M.)

Propiedades

el el 1

M.C.D. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios.

se

Obtiene factorizando los polinomios

y

viene expresado por la multipli- cación de los factores primos comu nes a fe ctad os de su s menores exponentes.

M.C.M. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios.

se

Dos o más polinomios son primos entre sí, si su M.C.D. es ±1.

2

Únicamente para dos polinomiosA(x), B(x) se cumple:MCD(A;B). MCM(A;B) = A(x).B(x)

3

A(x) y B(x) son polinomios no primos entre si. Entonces:1

ra posibilidad:

A(x) - B(x) = MCD

2da

posibilidad:A(x) - B(x) = contiene al

MCD

Problemas resueltos

1. Encontrar el MCD de:

S o l uc i ó n :Factorizando cada polinomio:

3 2

P1(x) = kx2 + (k + 1)2x + k + 2P

2(x) = (x + k)(x - k) - 4(k

+ 1)

I. E = m - m

Agrupando:

- 4m + 4

S o l uc i ó n :Factorizando ambas expresiones:I. P

1(x) = kx2 + (k + 1)2x +

k + 2 kx 11x (k + 2)

(kx + 1)(x + k + 2) II. P

2(x) = (x + k )(x - k ) - 4(k +

1)Operando:

x2 - k2 - 4k - 4

Agrupando un T.C.P.x2 - (k2 + 4k +

4)x2 - (k +

2)2

Diferencia de cuadrados:[x + (k + 2)][x - (k +

2)] (x + k + 2)(x - k -

2) luego: MCD = (x + k + 2)

ÁLGEBRA4AÑO

E = (m3 - m2) - (4m - 4)

E = m2(m - 1) - 4(m - 1) E = (m

- 1)(m2 - 4) E = (m - 1)(m + 2)

(m - 2)

II. F = m5 - 2m3 + 2m2 - 2m + 1Por divisores binómicos:para: m = 1

F(1) = 1 - 2 + 2 - 2

+ 1 = 0un factor es (m - 1) y el otro lo obtenemos

dividiendopor Ruffini. Así:

m-1=0 1 0 -2 2 -2 1 m=1 1 1 -1 1 -1

1 1 -1 1 -1 0

F = (m - 1)(m4 + m3 - m2 + m - 1)

El MCD(E; F) = (m - 1)

2. El MCD de los siguientes polinomios:

E = m3 - n2 - 4m + 4

F = m5 - 2m3 + 2m2 - 2m + 1

3. Sea: P

1(x) = Ax2 + 2x

- B P2(x) = Ax2 -

4x + B

BSi (x - 1) es el MCD de P

1 P2, hallar el cociente

A .

S o l uc i ó n :(x - 1) deberá ser divisor de P

1(x) y P

2(x),

entonces: P1(1) = 0 P

2(1) = 0.

Redundando en el Teorema del Resto: P

1(1) = A + 2 - B

= 0 .... () P2(1) = A - 4 +

B = 0 .... ()Resolviendo el sistema:

A - B = - 2

A + B = 4

A = 1; B = 3

B 3Piden:

A =

1 = 3

a. H(a) ÷ (a - 2)(a - 3)

1 1 0 -9 m n

5-6

5 -625 -30

50 -601 5 10 0 0

q(a)

Luego: H(a) = (a - 2)(a - 3)q(a) H(a) = (a - 2)(a - 3)(a2 + 5a + 10)

b. G(a) ÷ (a - 2)(a - 3)

4. El MCD y MCM de dos polinomios son respectivamente: MCD(A; B) = (x + 2)(x + 1)MCM(A; B) = (x + 5)(x + 1)(x + 2)(x + 3) Si uno de los polinomios es:

(x + 1)(x + 2)(x + 3)hallar el otro polinomio.

1 1 2 -75 5 -6-6 35

1 7 22

q(a)

p

-421100

q

-1320

S o l uc i ó n :Sean los polinomios A(x), B(x). Por

propiedad: MCD(A; B).MCM(A; B) = A(x).B(x)

Por el dato del problema y adecuando la igualdad tenemos:

Luego: G(a) = (a - 2)(a - 3)q(a) G(a) = (a - 2)(a - 3)(a2 + 7a +

22) Finalmente, MCM(H; G):(a - 2)(a - 3)(a2 + 5a + 10)(a2 + 7a + 22)

B(x) =(MCD)

(MCM) A(x)

7. Hallar el MCM de: x2 - 4x + 3

Reemplazando valores:

(x 2)(x 1)(x 5)(x 1)(x 2)(x 3)

x2 + 4x + 3x4 - 10x2 + 9 x3 - 9x + x2 -

9B(x) = (x 1)(x 2)(x 3)

B(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 5)

5. Hallar MCM/MCD de las siguientes expresiones:

a- 1.xn - 1; b- 1.xn - 2; c- 1.xn - 3

S o l uc i ó n : MCD = xn -

3

MCM = a- 1.b- 1.c- 1.xn - 1

piden:

S o l uc i ó n : Factorizando:I. x2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) ... () II. x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) ... () III. x4 - 10x2 + 9 = (x2 - 9)(x2 - 1)

= (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1) ... () IV. x3 - 9x + x2 - 9 = x(x2 - 9) + (x2 - 9)

= (x2 - 9)(x + 1)= (x + 3)(x - 3)(x + 1) ... ()

De (), (), () y () se tiene: MCM MCD =

a-1.b-1.c-1.xn-

1

xn-3

x2=

abcMCM = (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x

- 1)= (x2 - 9)(x2 -

1)

6. Si el MCD de los polinomios:H(a) = a4 - 9a2 + ma

+ nG(a) = a4 +2a3 - 7a2 + pa

+ q

es: (a - 2)(a - 3).

Calcular el

MCM de dichos polinomios.

8. Si el MCD de:

y:x(x + 1)(x - 2)(x - 1) -

24 x3 - 3x + 2

S o l uc i ó n :Dividiendo por el método de Horner en ambos polinomios, así:

se iguala a cero, entonces “x” es igual a:

S o l uc i ó n :Factorizando cada expresión:I. x(x + 1)(x - 2)(x - 1) - 24

multiplicando en la forma indicada: (x2 - x)(x2

- x - 2) - 24

Efectuando:

II. x3 - 3x + 2

(x2 - x)2 - 2(x2 - x) - 24 x2 - x -6 x2 - x 4 (x2 - x - 6)(x2 - x +

4) (x - 3)(x + 2)(x2 - x +

4)

5. Dados los polinomios:A(x; y; z) =

x4y3z6

B(x; y; z) = x5y4z10

C(x; y; z) = x6y2z5

Indicar:

MCM(A;B; C)

S = MCD(A;B; C)

1 01 1

1 1

-3 21 -2

-2 0

a) x2y4z6 b) x2y4z3 c) x2y2z5

d) xyz4 e) xyz

(x - 1)(x2 + x - 2)x 2x -1

(x - 1)2(x + 2)

MCD = x + 2 x + 2 = 0 x = -2


6. Señale el MCD de los polinomios: A(x) = x4

- 1B(x) = x2 - 3x +

2

a) x - 2 b) x - 1 c) x2 + 1 d) x - 5 e) 1

8. Dados los polinomios:A(x) = x3 + 3x2 + 3x

+ 1B(x) = x3 + x2 - x -

1

1. Hallar el MCD de los polinomios:A(x) = (x + 6)2(x - 7)3(x + 9)4

B(x) = (x + 10)3(x - 7)2(x + 6)3

a) x + 9 b) x + 10c) (x - 7)(x + 6) d) (x - 7)2(x + 6)2

e) (x - 7)3(x + 6)3

Indicar el MCM.

a) (x + 1)2 b) (x + 1)3

c) (x + 1)2(x - 1) d) (x + 1)3(x - 1)e) (x - 1)

9. Hallar el MCM de:

P(x; y) = x2 - y2

2. Hallar el MCM de los polinomios:F(x) = (x + 5)4(x - 6)2(x + 9)3(x - 1)4

F(x; y) = x2

S(x; y) = x2

- 2xy + y2

+ 2xy + y2

S(x) = (x + 5)2(x - 6)4(x + 7)2(x - 1)3 a) x - y b) (x + y)3

a) (x +5)(x - 6)(x - 1)

c) (x2- y2)2

3d) (x2- y2)3

b) (x + 5)2(x - 6)2(x - 1)3

c) (x + 5)4(x - 6)4(x - 1)4(x + 9)3(x + 7)2

d) (x + 1)(x - 2)(x + 9)e) (x - 1)3(x - 6)4

e) (x - y)

10.El producto de dos polinomios es (x2 - 1)2 y el cociente de su MCM y MCD es (x - 1)2. Calcular el MCD.

3. Hallar el MCD de los polinomios:

a) x + 1 b) x2

2+ 1 c) (x + 1)2

A(x) = (x + 2)6(x - 1)4(x - 2)6(x + 3)4

B(x) = (x + 3)6(x - 1)2(x + 2)2(x + 7)2

d) (x - 1)

e) x - 1

C(x) = (x - 3)4(x + 7)2(x - 1)3(x + 2)2 a) (x - 1)(x + 2) b) (x + 1)(x + 3)

c) (x - 1)2(x + 2)2 d) (x + 2)2

e) (x - 1)2

4. Hallar el MCM de los polinomios:P(x) = (x + 4)3(x - 7)2(x + 6)8(x + 7)3

F(x) = (x + 6)2(x - 7)3(x + 7)4(x - 6)2

S(x) = (x + 2)3(x + 6)4(x + 4)8(x + 7)2

a) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8

b) (x + 7)4(x + 6)8

c) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3

d) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2

e) (x + 7)4(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3


A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las siguientes alternativas :

A. La cantidad en A es mayor que en B. B. La cantidad en B es mayor que en A. C. La cantidad en A es igual a B.D. No se puede determinar.E. ¡NO DEBE USAR ESTA OPCIÓN!


11. A(x) = (x + 7)3(x + 8)5(x - 9) B(x) = (x + 7)4(x +

8)6(x + 12)

A(x; y) = x3 - xy2 + x2y - y3

Grado del

MCD

Grado del

MCM

12. B(x; y) = x3 - xy2 - x2y + y3

MCD(A; B) MCM(A; B)

13.

14.

A = 23.32.(x - 1)3(x + 2)2

B = 22.33.(x - 1)2(x + 2)3

C = 20.32.(x - 1)2(x + 2)

A(x) = x2 + 4x + 3

B(x) = x4 - 10x2 + 9

C(x) = x3 - 9x + x2

- 9

Término independiente del

MCD

Residuo que se obtiene al dividir MCD entre (x - 3)

Suma de coeficient

es del MCM

Residuo que se obtiene al

dividir MCM entre (x - 4)

15.Hallar el MCD de los polinomios:P(x; y) = x3 - xy2 + x2y

- y3

F(x; y) = x3 - xy2 - x2y + y3

C(x; y) = x4 - 2x2y2 + y4

20.El cociente de dos polinomios es (x - 1)2 y el producto de su MCM por su MCD es:

x6 - 2x4 + x2

Hallar la suma de factores primos del MCM.

a) x + y b) x - y a) 2x b) 4x - 1 c) 3xc) x2 - y2 d) (x + y)(x - 3y) d) 2x + x2 e) 3x + 1

e) x2 - y4

16.Se tienen dos polinomios cuyo MCD es:

x2 + 2x - 3 si uno de los polinomios es:

P(x) = 2x4 + 3x3 - 2x2 + Ax + B

entonces “A + B” es:

a) 33 b) - 3 c) 12 d) - 6 e) 1

17. Si el MCD de:P(x) = x3 - 6x2 + 11x -

mQ(x) = x3 + 2x2 - x

- n es (x - 1). Hallar “m + n”.

a) - 8 b) 8 c) 4 d) 6 e) 2

21.Indique el MCD de:P(x; y) = x3 + x2y + xy2

+ y3

Q(x; y) = x3 - x2y + xy2

- y3

R(x; y) = x4 - y4

a) x2 + y2 b) x2 - y2 c) x2 + 1 d) y2 + 1 e) x + y

22.Indique el MCD de:P(x) = 3x3 + x2 - 8x

+ 4Q(x) = 3x3 + 7x2 -

4

a) 3x2 + 4x - 4 b) 3x2 - 4x + 4 c) 3x2 + x - 4 d) x2 - 4x + 4 e) x + 2

23.Si el MCD de:

18.El cociente de los polinomios es “2x” y el producto de su

MCM por su MCD es:2x3(x +

y)2

entonces uno de los polinomios es:

a) x2 + xy b) xy + y2 c) (x + y)2

d) x + y e) 2x + 2y

19.Señale el MCD de los polinomios siguientes: A(x; y) = x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3

P(x) = x3 - 7x2 + 16x - mF(x) = x3 - 8x2 + 21x

- n es (x2 - 5x + 6). Hallar “m + n”.

a) 30 b) 20 c) - 30 d) 40 e) - 40

24.Si el MCM de “A” y “B” es xay4 y el MCD de los mismos es x5yb. Calcular:

ab - mE =

B(x; y) = 3x3 + 10x2y + 9xy2

+ 2y3

C(x; y) = x4 - 5x2y2 + 4y4

a) x2 + 2xy + 4y2 b) x2 - xy - 2y2

c) x2 + 5xy + 6y2 d) x2 + 3xy + 2y2

e) x2 - 5xy + 4y2

Siendo:

- mb n

A = 12xn - 1.ym + 1

B = 16xn + 1.ym - 1

a) x + 8y b) x + 2y c) (x + 2y)3d) (x + 2y)2 e) x - 3y

a) - 1 b) - 2 c) - 3d) - 4 e) - 5

a) 23 b) 25 c) 15d) 18 e) 12 a) x + 2 b) x2 - x - 6 c) x2 + x -

6d) x - 3 e) x + 8

17 11 1630.Hallar el MCD de los polinomios:

2 2a) 15

b) 17

c) 15

F(x; y) = (x + 2y)(x

+ 4xy) + 4y (x + 2y)

12d)

1718

e) 15

Q(x; y) = x3 + 2x2y - 4xy2 - 8y3

25.Si el MCM de los polinomios:x2 + x - 2 x4 + 5x2 + 4 x2 - x - 2

es equivalente a:x8 + Ax6 + Bx4 + Cx2

+ D Determinar “A + B + C + D”

Autoevaluación

1. El MCD de un cierto número de polinomios es

(2x2 + x - 1). Si uno de esos polinomios es: P(x) = 4x3 + mx + n

Calcule “m + n”.

a) 0 b) 1 c) - 1d) 2 e) - 2

26.¿Cuál es el grado del MCM de los siguientes polinomios?

P = 1 + x + x2 + ... + x5

Q = 1 + x + x2 + ... + x7

R = 1 + x + x2 + ... + x11

2. Hallar el MCD de los polinomios:P(x) = (x + 1)4(x + 2)3(x - 3)5(x - 1)2

Q(x) = (x + 8)4(x + 2)(x - 3)5(x - 2)2

R(x) = (x - 2)2(x + 2)2(x - 3)(x + 7)6

27. Proporcionar el MCD de:P(x) = x5 + x4 +

1Q(x) = (x + 1)[x4 - 1] + x2(x

-1)

a) x2 + x + 1 b) x2 - x + 1 c) x3 - x + 1 d) x3

+ x + 1 e) x3 - x2 + 1

28.Si el MCM de dos polinomios A(x) y B(x) es:x40 + x20 +

1 y su MCD es:x30 + x20 - x10 +

2Hallar el número de factores del producto de dichos polinomios.

a) 4 b) 3 c) 5d) 6 e) N.A.

29.El producto de dos polinomios es: (x6 + 1)2

- 4x6

y el cociente del MCM entre el MCD de ambos es: (x2 + 1)2 - 4x2

3. Hallar el MCM de los polinomios: A(x) = x4(x + 1)2

B(x) = x2(x + 1)5(x + 6) C(x) = x3(x +

1)7(x - 7)

a) x4(x + 1)7(x + 6)(x - 7)b) x4(x + 1)7

c) x4(x + 1)7(x + 6)d) x4(x + 1)2(x + 6)(x - 7)e) x2(x + 1)2(x + 6)(x - 7)

4. Hallar “MCM ÷ MCD” de:

P(x; y; z) = x2.y7.z8

Q(x; y; z) = x4.y3.z9

R(x; y; z) = x5.y2.z10

a) x3yz2 b) x3y5z c) xyz d) x3y5z2 e) x4y5z9

luego el MCD es:

a) (x + 1)(x3 - 1)b) (x - 1)(x3 + 1)c) (x2 + x + 1)(x + 1)d) (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)

e) (x2 + x + 1)(x2 - 1)

a) x2 - 1 b) x2 + 1 c) x - 1d) x + 1 e) x

5. Señale el MCD de:P(x) = x3

+ x2

- x - 1

Q(x) = x4

- 1

2

Fracciones algebraicas

Capítulo IV

Fracción algebraica

llamamos

Así a la división indicada de dos polinomios en donde por lo menos el denominador es diferente de una constante no nula.

Ejemplo Simplificación de fracciones

Operaciones con fracciones

fracción algebraica

2

debemos

Factorizar el numerador y

F(x) = x - 5x + 6 x - 3x + 2

2Numerador: x - 5x + 6

2

denominador para luego e li m i na r l o s fa c t o re s comunes siempre que seandistintos de cero.

Adición y sustracción

fracciones homogéneas

Multiplicación

División

inversa

Denominador: x - 3x + 2

a +

b -

c =

a + b - c

a c =

ac a ÷

c =

a d

fracción no algebraica

2

ejemplo

Simplificar:

d d d d

fracciones heterogéneas

b d bd b d b c

extremos y medios

F(x) = x + 7x +

63

F(x) =(x2 -9)(x - 1)

x3 - 6x2 + 11x - 6a

+ c

- e

= a df + cb f - b de a

Aquí el denominador es una constante.

Factorizando y simplificando se tiene:

F(x) = (x + 3)(x - 3)(x - 1) (x - 1)(x - 2)(x - 3)

x + 3

b d f

a ±

bdf

regla práctica

c = a d ± bc

b =

ad c bcd

F(x) =x - 2 b d bd

Teorema

igualando coeficientes:

aSi la fracción:

F(x; y) =

ax2 bxy cy2

nx2 mxy py2

a = kn k = n

bb = km k =

m

...... ()

...... ()

es independiente de “x” e “y” o tiene un valor constante para todos los valores reales de “x” e “y”. Entonces:

cc = kp k = p ...... ()

a b c De (), () y () se tiene:

Demostración:

n =

m =

pa b cn

= m

=

p

l.q.q.d.

ÁLGEBRA4AÑO

Si la fracción adopta un valor constante: x; y IR, se tiene:

Problemas resueltos

ax2 bxy cy2

nx2 mxy py2 k1. Si la fracción:

2x2 (m 1)xy 10y2

3x2 6xy (n - 5)y2

Transformando:ax2 + bxy + cy2 knx2 + kmxy + kpy2

es independiente de “x” e “y”. Calcular “m - n”.

S o l uc i ó n :Utilizando el teorema se tiene:

(ay bx)(ax by) (ay bx)(ax - by)

ax by= ax - by

2 m 13

=6

10=

n - 5

De I y II:

I II III 4. Hallar el resultado de:

2

2 m 1 x 2+

x 1 4x+

6x 3

De I y III:

3 =

6

2 10

m = 3

S o l uc i ó n :

3x - 1

3 - 2x

6x 2 - 11x 3

3 =

n - 5 n = 20 La operación propuesta equivale a esta otra:

Piden calcular: m - n = -

17

x 2= 3x -

1

x 1- 2x -

3

4x 2 6x 3+ (2x - 3)(3x - 1)

2. Simplificar la fracción:

1 - a2

Dando un común denominador, se tiene:

(x 2)(2x - 3) - (x 1)(3x - 1) 4x2 6x 3=

(2x - 3)(3x -

1)

(1 ax)2 - (a x)2

efectuando y reduciendo:

3x 2 5x - 2

S o l uc i ó n :Factorizando los dos términos de la fracción se tiene: Numerador:

= (2x - 3)(3x - 1)

factorizando el numerador:

Denominador:

(1 + a)(1 - a)

(3x - 1)(x 2)= (2x - 3)(3x - 1)

(1 + ax + a + x)(1 + ax - a - x)

[(1 + x) + a(1 + x)][(1 - x) - a(1 - x)] (1 + x)(1 + a)(1 - x)(1 - a)

La fracción equivale a esta otra:

simplificada se convierte en:

x 22x - 3

(1 a)(1 - a)

(1 x)(1 a)(1 - x)(1 - a)

5. Realizar la siguiente operación:

Cancelando los factores comunes, queda:

1

1 1

2ab a(1 ab) 1- 1 (a 1)b

1(1 x)(1 -

x)

1ó

1 -

x2

a 1

b

3. Simplificar la fracción:

ab(x2 y2 ) xy(a2 b2

)

S o l uc i ó n :Transformando la fracción compleja, la operación se reduce a:

Solución :

ab(x2 - y2 ) xy(a2 -

b2 )

ab 1ab b 1

De la cual resulta:

2ab a(1 ab) 1-

1 (a 1)b

Efectuando las operaciones indicadas en el numerador y denominador, se tiene:

a(ab b 1)-

ab b 1

abx2 aby2 xya2 xyb2

abx2 - aby2 xya2 - xyb2

Reagrupando para factorizar:

(abx2 a2 yx) (aby2 b2

xy)=

Simplificando queda: - a

6. Efectuar:

2y2 - 13y 152 ÷

y

y 5

(abx2 a2 xy) - (aby2 b2

xy)

y - 25

ax(ay bx) by(ay bx)= ax(ay bx) - by(ay

bx)

S o l uc i ó n : 2y -3

y -5

2y2 - 13y 15

= (y 5)(y - 5)

÷

(2y - 3)(y - 5)

= (y 5)(y - 5) ÷

yy 5

yy 5

3. Efectuar:

x 2

x - 24

x - 10

x 2-

6

5x 4

Simplificando queda:

2y - 3 y

a)6

x 6

b)12

2x

c)2

= y 5 ÷ y 5d)

2e) - 0,1

2y - 3 y +

5= y

y + 5

(2y - 3)(y 5)

(y 5)y

4. Simplificar:

x2 - 5x 6 x2 2x - 8

2y - 3Finalmente queda:y x 1a)

x - 1

x 2b) x -

3

x - 3c)

x 4

7. Efectuar:

Solución :

32x - 4

1- x 2

-

x 10

2x2 - 8

d) x e) 1

5. Reducir:

a2 - 5a 6 a2 - a - 2

a2 a - 20+

a2 - 3a - 4

La expresión dada se puede escribir en la forma: 2 2 a 2

3 1 x 10 a) a 1

b) a -

3

c) a 1

= 2(x -

2)

- x 2

- 2(x - 2)(x 2)

d) 3 e) 2

El MCM es pues: 2(x - 2)(x + 2), de modo que se puedeescribir:

3(x 2) - 2(x - 2) - (x 10)

6. Efectuar:

x2 2x3 x2

= 2(x - 2)(x

2)

M = -x 1

+x2 - 1 x - 1

efectuando las operaciones indicadas en el numerador.

3x 6 - 2x 4 - x - 10

= 2(x - 2)(x 2)

0= 2(x - 2)(x 2)

a) 0 b) 1 c) 2

xd) x e)

2

Luego la fracción es nula, es decir “0”.


7. Simplificar:

a2 b2 - c2 2ab a2 c2 - b2

2ac

1. Simplificar:

aa) 1 +

x

a2

- ax a2 - x2

ab) 1 -

x

a

c) a x Indiq

ue la suma del numerador y

denominador.

a) 2c b) 2b c) 2a

2d) 2 e)

a

8. Reducir:d) 1 e) a + x

2. Efectuar:

x3

x - 1

2

+1

1 - x

2

x2-

x 1 +1

1 x

2

ab b2ab - b2

a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3

ab a2

2b b

+ a2 - ab

b

d) x2 + 4 e) x2 + 5

9. Si la fracción:

2x mya)

ab)

2ac)

a 4x 3yd) b e) a es independiente de “x” e “y”, hallar

“m”.

a) a b) b c) a + bd) a - b e) 1

a) - a b) - b c) ad) b e) 1

a

n

1a) 6 b)

6d) 4 e) 1

3c)

2x

a) yy

b) x

x - y

c) y

10.Simplificar:

d) 1 - x e) y

a

ab b2 - 16.Simplificar:

a - b 1 2

a(a c) b(c - b)M = c(a c) b(a - b)

a) a - b b) a c) abd) a + b e) a2 + b

11.Si:a

a) a b

a bb) c b

a - bc)

b - c

3x 2=

x2 - x - 20

Hallar “A + B”

Ax - 5

B+

x 4-2c

d) a b

a be)

c

a) 8 b) 4 c) - 6 d) 12 e) N.A.

17. Simplificar:

a2b - c

2a a2c 2ab2- c2b abc b3

12.Muestre el producto resultante:

(b c)(a b - c)

1

1

1 1

1 1 1 1 ... x x 1 x 2 x n

18.Si:

x na)

n

x - n 1d)

x

13.Reducir:

x n 1b)

x

e) N.A.

x - nc)

n

ab + bc + ac = 0

Calcular el valor de la fracción:

a3x b c

a4 x - bc

a) a-1 b) b-1 c) c-1

d) a e) 1

b -1

1 -1

1 - 1

19.Simplificar:

m2

n2 mn

1 - b m m n a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

14.Efectuar:

1 1

- 1

m2 n2 mn

m

a3 - a2b

(a - b)2a3 b3

- a2 - b2

a) mn b) (mn)2 c)n

nd) m

e) m + n

20.Calcular la suma de la serie de Stirling mostrada:

15.Reducir:

1 - 1

1 - 1

1 12

+ 6

n

1+

12

n

+ ... +

1

n2 n

n - 1

1 - x

y

a) n - 1

n 1

b) n 1

c) n - 2

d) n 2

e) N.A.

21.Dado:

A = 1 +1

1B = 2 +

11

1 1

bd)

a be) N.A.

1

Calcular “A2 - B”

1...

1 1

... 26.Calcular “ a ”, si:b

a) - 1 b) 0 c) 1 a = m 1

n 1

3d)

25

e) 4

m 1

n 1

22.Reducir:

1 1 b = n

...

1

(ax 1)(ax 2) + (ax 2)(ax 3) +

1

m 1

n 1

1

+ ... + (ax n)(ax n 1) m ...

y señalar el numerador.

a) 2ax + 2 b) ax + 1 c) n d) ax + n + 1e) 1

na) 1 b)

mc) n

23.Si:

Calcular

:

am = bn = cp

mnp(a b c)(ab ac bc)

md) m e)

n

27. Simplificar:

E = abc(m n p)(mn mp np)

1 x 2 3 3x

- 4

a) 1 b) 2 c) am 1 - 3x

2

1 - 3x

d) abc e) mnp 3

1 x 13 13x

4

24.Si: 1 - 3x

1 - 3x

(a-2 - b-2 )-

1

M = (a-1 b-1 )-

1

; N =(a-1 - b-1 )-

1

(a-2 - b-2 )-

1

a) 0 b) 1 c) x + 1 d) x e) x + 2

Hallar “M.N”

1 aba2 - b2

28.Si:

Calcular:

a + b + c = 0

a) b2 -

a2

b) a2 b2 c)

ab a8 b8 c8 - 2(a4b4 b4 c 4 a4 c 4 )

b a a babc(a2

b2 c2 )

d) b - a

25.Simplificar:

e) a - ab

a a

a2 -

b2

b b

Dar como respuesta la suma de

términos de la expresión reducida.

a) a2 + b2 + c2 b) a2 + b + c2

c) 8 + a + b + c d) a + b + c e) 6 + a2 + b2 + c2

a 2 b 2 29.Sabiendo:- 1 - 1 - 1

b b

a2 - b2 Hallar:

x + y + z = 0 ; xyz 0

a a

a2 b2x 4 (y3 z3

)M = 2

y 4 (x3 z3

)+ 2

z4 (x3 y3 )+ 2

3x - yz 3y - xz

3z - xy

a - ba) 1 b)

aa b

c)a - b

a) 0 b) 3 c) - 3 d) (x + y + z)5 e) x5 + y5 + z5

30.Si:

a b b

+ c

b c a

+ b

c 7+

a =

2

a 5+

c =

2

3. Simplificar:

2

2x - 2a x2

2ax a2

x - a

x - a÷

x a

2

Hallar:

a 1 b 1

c 1

a) x a

x a

b) x a

c) x - a

b c

a d) 2(x -

a)

e) 1

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

Autoevaluación

4. Efectuar:

x2 x - 2

x2 2x - 3 +

x2 7x 12

x2 6x 9

1. Simplificar:

x2 - 4xy 3y2

x2 - y2

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

5. Simplificar:

x - 3ya) x y

x - y

x - 3yb) x - y

x

x yc) x - 3y

1x 1

+1

x - 1 +

2

x2 - 1

d) x -

3y

e) y 1a)

x - 1 b) 2

x - 1 c)

1x 1

2. Simplificar:

(x2 - 3x - 4)(x2 - 5x

6) (x2 - 6x 8)(x2 -

2x - 3)

2d)

x 1e) x + 1

a) 0 b) 1

x 1c)

x - 3

(x - 3)(x - 2)d)

x 1

e) - 1

0

0

n

Factorial - Combinatorio

Capítulo V

Factorial de un número ZZ+

llamamos

Así al producto que resulta de multiplicar todos los números enteros y positivos consecutivos desde la unidad hasta el número considerado inclusive.

representación

n! Se lee: Factorial de "n" n o "n" factorial

Ejemplos

Está definido el fa c t o r ia l p a r a números enteros y positivos

Ejemplos

Operaciones que no se

cumplen son:

Adición y sustracción

Propiedades

1

Por definición: 1! = 1

Por acuerdo: 0! = 1

2! = 2 = 1×2 = 2

3! = 3 = 1×2×3 = 6

8! sí existe

a ± b a ± b

2

4! = 4 = 1×2×3×4 = 24

5! = 5 = 1×2×3×4×5 = 120

(-6)! no existe-5! sí existe

Multiplicación Si: a! = b! a = b

a; b 0; 1

6! = 6 = 1×2×3×4×5×6 = 7207! = 7 = 1×2×3×4×5×6×7 = 5040...en general:n! = n = 1.2.3.....(n - 2)(n - 1)n

1 ! no existe4

ab a b

División

a a

b b

Número combinatorio

Representación del número de combinaciones de"n" elementos tomados de "k" en "k". Notación:

nC k ; n ZZ+ k

su ZZ+ k n

reglas dela las

Definición matemática

Regla práctica

Propiedades

Degradación

C n

=

es es

"k" factoresn

son

C n =

1

superior e inferior

C n =

n C

n -

1

k k n - k C n

=n n(n-1)(n-2)...(n-k+1) n - k

= nk k k - 1

ejemplos

k k n - k 1.2.3.....k"k" factores

n - k

C 1 = n

C n =

1

inferior

4ejemploscomplementarios C

n =

n - k + 1 C

n

ÁLGEBRA4AÑO

2

3

C p q

C 4

= 2 4 - 2=

24 = 6

2.27 7.6.5

k k k - 1

n n

C 7

=

7 7.6.5. 4

=3 4 6. 4

= 35

C 3=

4

= 351.2.3

4.3

C k = C n - k

igualdad

superior

C n =

n C

n - 1

50 5048

50.49. 48= = 1225

C 2= 1.2

=

6 C n = C n

k n - k k

48 2 48 2C

7=

7.6.5.4 = 354 1.2.3.4 1ra posibilidad: p = q

2da posibilidad: p + q = n

suma de combinatorios

C n + C

n= C

n + 1k k + 1 k + 1

Problemas resueltos

1. Si:

9!

Reemplazando:

R =(7! 8. 7!).9!

9.8.7! 7! 8.7!

A = 7! 8! 7! (1

8).9!R =

7! (72 1 8) =

9.9! 9!81

= 9

Calcular: B

A

S o l uc i ó n :

4! 5! 6!

B =2!.3!.4!

Luego: R = 8!

4. Simplificar:(x 2)3.x!

Reduciendo cada uno por la propiedad degradativa.

T = (x 2)! (x 1)! x!

- A = 9.8.7!7! 8.7! =

9.8.7!9.7!

=

8 Solución:

- B =

Luego

:

4! 5.4! 6.5.4!2.6.4!

=36.4!12.4!

=

3

Degradamos:(x + 2)! = x!.(x + 1)(x + 2) (x + 1)! = x!.(x + 1)Reemplazando en el denominador:

B A = 3 8 = 2

2. Señale el equivalente de:K = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ...

+ n.n!

(x 2)3.x!T =

x!.(x 1)(x 2) x!.(x 1) x!

Factorizando “x!” en el denominador:

(x 2)3.x!

S o l uc i ó n :Por inducción matemática se tiene: Para un sumando:

T = x![(x 1)(x 2) (x 1) 1]

(x 2)3

1.1! = 1 = 2! - 1

Para dos sumandos:1.1! + 2.2! = 1 + 4 = 5 =

3! - 1

T = x

2

3x 2 x 2

3 3

Para tres sumandos:1.1! + 2.2! + 3.3! = 23 =

4! - 1Para cuatro sumandos:

..... = 5! - 1

T =

Luego: T = x + 2

(x 2)

x 2 4x 4

(x 2)=

(x 2)2

Para “n” sumandos:1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + n.n!

= (n + 1)! - 1

5. Reducir:

S =7 8 9 10 11 12

3. Reducir la siguiente expresión:

11

-1

S o l uc i ó n : Transformando:

C0 C 1C2 C 3 C 4 C 5

R = 7! 8! 9! C a C = C

7 7 80 0 0

Solución :

Reemplazando y sumando de 2 en 2 se tiene:

5

Dando común denominador:

S = 8 8 9 10 11 12

C0 C1 C2 C 3C 4 C 5

9! 7! 8! -

1 9 9 10 11 12

S = C 1 C2

C 3 C 4 C 5R =

(7! 8!).9!

Invirtiendo: S =

10 10 11 12

(7! 8!).9!C 2 C 3 C 4 C 5

R = 9! 7!

8!S = 11 11 12

8! 8.7!

C 3 C 4 C 5

Degradamos: 12 129! 9.8.7!

S = C 4 C

5

= C13

6 6 6

C 6 6 7 8 C

3

3

3C

3

4

9 8

p-

5

6. Resolver:

Reemplazando “” y “” en K:

x x x x x3 6x - 3

46 28

45 C0 + C 1 + C2 + C 3 = 6

(C9 ) 9 C8 28

x IR K =4C46C45

= 4.9

S o l uc i ó n :

x(x - 1)

x(x - 1)(x - 2)

x3 6x - 3

9 8

7Luego: K =

9

1 + x +2

+6

=6

Por 6:

6+6x+3x(x-1)+x(x - 1)(x - 2) = x3+6x-3

9. Calcular “m + n”, si:

Cm + 2 Cm

+ Cm + Cm2

= C10

x2 -3x 2

6 + 6x + 3x2 - 3x + x3 - 3x2 + 2x = x3 + 6x - 3 x3 + 5x + 6 = x3 + 6x - 3

5

S o l uc i ó n :

6 7 8 n-3

x = 9Descomponiendo:

2 Cm = Cm + Cm

7. Hallar el valor de:

7 7

Reemplazando y sumando combinatorios convenientemente:

3C3 C4 m Cm Cm Cm Cm2 10n-3E =

4C7

m1

m1 m 2 10C6 C7 C8

Cn-3

Solución:Notamos que C 7 y C7 son complementarios. Luego se

m 2 m 2 104 3

C7 C C 8 n-3

cumple:

7 7 7

Cm 3 = C10C4 = C7- 4 = C3

Reemplazando en “E”:

Pri me r c a so :

8 n-3

7 7

E = 3 3

4C7

7 3= 4C7 =

1

m + 3 = 10 8 = n - 3

m = 7 n = 11 m + n = 18

S e g un d o c a s o :m + 3 = 10 8 + (n - 3) = 10 m = 7 n = 5 m + n

= 12

8. Calcular:

[C 45 ]2 - [C 45 ]210.Calcular el valor de “p”, si:

Cn-1Cn1 - CnCn-1K =

[C 46 C45 ]2 - [C 46 - C45 ]2

p-1 p 1 p p-1= 8

9 8 9 8 n 2 n1 n-1(Cp ) - Cp 1Cp-1

S o l uc i ó n :El numerador se pasa a una suma por diferencia, en el denominador se aplica Legendre:

S o l uc i ó n :Para el numerador extraemos el factor:

Cn-1 . En el

(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

denominador degradamos superior e inferior.

[C 45 C45 ][C 45 - C45 ] - ( Cn )2 =n

. n

=

nn-1 n

K = 9 8 9 8

4C46C45p Cp Cp p

Cp-1 Cp

9 8 n 1 n

C

C 8 9

C 8 C 8 pp

-

9

9 8

Aplicamos la propiedad de suma:

n1 p1 p 1 Cp

45 + C

45= C

46...... () Reemplazando se tiene:

Degradamos la parte interior de

C45 :

Cp-1 Cp 1 - Cp n-1

9

n1 n

n n-1 n n 1 n n-1

45 - C

45

28

= 37

9

45

45 - C

45Cp-1Cp -

CpCp-1

= 9

C8 ...... ()

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

p

C

2 C C

C

C 1 2

15

Cn-1 Cn1 - Cn

5. Calcule el valor de “x”.

p-1 p 1 p= 8 (x 5)!(x 11)!

CnCn-1 n - n

1 (x 6)! 5(x 5)! = 20!

p p-1 p p 1

Ahora: Cn1 - Cn es equivalente a Cn .p 1 p p1Luego, degradando la parte interior en el numerador:

Cn1

6. Calcule el valor de:

= 8Cn n

- n 1 C8

p p p 1 582

n - (p 1) 1

Cn

n - p

p 1 p

=Cn n - p

p 1n - p

= 8 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

p p(p 1)

Finalmente reduciendo: p = 8

p(p 1)7. Sumar:

7 6 7 8 9 10

C0 + C1 + C2 + C3 + C 4 + C5

Problemas para la clasea) C10 b) 5 c) 11

1. Calcular el valor de “n” en:(4n - 6)! = 1

11d) 6 e) c o d

7a)

43

b) 2

1c)

420030 +

C2003

+ C2003

-

C

20032001

d) a y b e) a o b

2. Calcular el valor de “n”:(n - 10)! = 120

a) 1 b) 2 c) 10

a) 2002 b) 2003 c) 2004 d) 2005e) 2006

9. Calcular el valor de “n”:

8 8 9 10 11d) 14 e) 15 C2 + C3 + C

4 +

C5

= Cn

3. Reducir:

9!.17!S =

8!.18!

1

a) 5 b) 6 c) 7 d) a o b e) a y b

10.Indique la suma de los valores de “x” que verifican la ecuación:

35a) 1 b) 2 c) 2

1

C35 x2

= C2x

d) 4

e) 6

4. Si:

6! 7! 8!

A =6! 7!

11.Sabiendo que:

3 77 76

Calcular “A.B”

71!B =

69! 70!

k ZZ+. Calcular:

C

7

k

=

11

C7k -1

(k!)!k!

a) 56 b) 560 c) 65 d) 650 e) 1

a) 1 b) 20 c) 120 d) 160 e) 180

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

C 2 4 2

x

C C C C

C

C

C

C 7 8 C=

0

2

+

12.Si:

2(n!) - (n - 1)(n - 1)!

20.Reducir:11! - 10! 10! -

9!A = + +

9! - 8!+ ...

A = n! (n -

1)!

9! 8! 7!

n ZZ+. Entonces podemos afirmar que:

a) A < 0 b) A > 2 c) A > 3 d) A ZZ e) A 1

a) 380 b) 385 c) 386 d) 387 e) 400

21.Simplificar:

13.Hallar el valor de “a” sabiendo que:

2n C2n

2n 2n

C2n

2n

... C2n

2n

(a 7)!(a 5)!(a 6)! (a 5)! = 15!

n ZZ+

C1 C3 C5 ... C2n-1

a) 1 b)n

n 1 c) 2

14.Indicar el valor de “n” que verifica:

[(2n - 1)! - 113]! = 5 040

2nd)

2n -

1

2n - 1e)

2n

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

22.Hallar la suma de todas las soluciones de:

[Cx ]3

15.Simplificar:

[C2

] = 36x - 2

18 18 19 20 5 6 7 8

C21 C21

a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7

8

1a) 1 b)

2

13

c) 2

23.Dado:

m 1 n-1

x2

...... (1)

d) - 3 e) 4 m 1 n = x ...... (2)

16.Calcular: 10 10 10 10

0 2 10

m - n = 2 ...... (3)

Calcular el valor de “ x ”.C1 + C + ... + C

2

a) 4 320 b) 1 280 c) 1 024 d) 2 048 e) 4 096

a) 10 b) 30 c) 35 d) 70 e) 80

17. Calcular el valor de “n” en:1 + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = 719

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

24.Reducir:

S =

x 2; 4; 5

(x - 4)! (x - 3)! (x -

2)! (x2 - 4x 4)(x2 - 9x 20)

18.Hallar el valor de “x + y” si se cumple que:

a) (x - 2)! b) (x - 3)! c) (x - 5)!

x 310 + C x

1+ 2 Cx

1+ x 1

9y 2 y -3

d) (x - 6)! e) (x - 8)!

25.La suma de valores de “x” que satisface la igualdad:

a) 20 b) 22 c) 24d) 26 e) 28 19.Hallar “n” en:

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

C = 7

(x-6)!+(x-5)!+(x-4)! = x3-14x2+64x-96 a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 17n 5n-1

n 3n-1

26.Hallar “x” en:1024.(x - 1)![1.3.5.7....(2x-3)] = (2x - 2)!

a) 16 b) 18 c) 20d) 22 e) 24

7C

C7

C

7

71

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

27. Hallar “n” en: 1. Dado:

Autoevaluación

3!2!0!

n-1 n-1 n-1 A = Cn- 4

2Cn-3

2

Cn-2 ! =

120

Calcular:

A B

B = 2!3!1!

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

28.Después de efectuar:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

S = Cn - 2 C

n + 3 C

n - ... + (-1)n-1.n

Cn

2. Calcular “x”:

1 2 3 n 8 8 9 10 11donde: n > 15, se obtiene:

a) 0 b) 1 c) n

C2 + C3 + C 4 +

C5

siendo: x > 5

= C x

d) - n e) n - 1

29.Hallar “n”:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

3. Calcular el valor de “n”:n n n nC0 3C1 5C

2 ... (2n 1)Cn

= 23 (n - 1)! + n! = 0,2(n + 1)!

n n n nC1 2C2 3C

3 ... nCn 11

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

4. Sumar:

30.La suma:

9 9 10 11 12

S = ( Cn )2+2( Cn )2+3( Cn )2+...

+n( Cn )2

C2

+ C6

+ C6

+ C6

+ C6

1

es igual a:

(2n - 1)!

2 3 n

(2n)!

a) C7

d) C15

b) 13

e) 16

c) 14

a) [(n -

1)!]2

(2n 1)!

b) (n!)2

(2n - 1)!

5. Calcular el valor de “n”, si:

3 C77 = 11 C76

c) [(n

1)!]2

d)(n -

1)!

n n-1

[(2n - 1)!]2

e)(n - 1)!

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

k

C

k + 1 k

Binomio de Newton I

Capítulo VI

Introducción al Binomio de Newton(para exponente entero y positivo ZZ+)

TeoremaSean: x; a 0 y n ZZ+

Propiedades

1. El desarrollo del binomio (x + a)n tiene (n + 1)

términos: N° de términos =

Exponente + 1

(x + a)n

=

n

k 0Cn xn -

k.ak

Ej e m p l o :P(x; a) = (10x + 3a)5 tiene:

5 + 1 = 6 términos

Desarrollando los binomios:

(x + a)1 = x + a(x + a)2 = x2 + 2xa + a2

2. Cálculo del término general (t

Sea: P(x; a) = (x + a)n

k + 1= ???)

(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3

(x + a)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4

a. Contado de izquierda a derecha:

(x + a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5

...

tk + 1=n xn - k.akk

En forma general:

(x + a)n = Cn xn + Cn xn -1a + Cn xn - 2a2 + ... + Cn an

Donde: “t

Ejem plo :

k + 1” es el término de lugar (k + 1).

0 1 2

donde:x: primera base a: segunda base n ZZ+

nEn el desarrollo de: P(x; a) = (x2 + a3)6, determineel tercer término.

S o l uc i ó n :

t = t =6 6

Nota : Los coeficientes de los términos equidistantes son

3 2 + 1C

2 (x2)4(a3)2 = C

2 x8.a6

iguales.

b. Contado de derecha a izquierda:

Observación:

[x + (- a)]n = (x - a)n = Cn

xn - Cn

xn - 1a + Cn

xn - 2a2 -

Ejem plo :

t = Cn xk.an - k

0 1 2

Cn xn - 3a3 + ... + Cn an(- 1)n3 n

En el desarrollo de P(x; a) = (x3 + a2)5

determine el término de lugar 4 con respecto al final.Solución:

5 3 3 2 2 5 9 4

Triángulo de Pascal

Es una disposición o arreglo triangular de números cuyo

t4 = t3 + 1 = C3

(x ) (a )

3. Término central

= C3

x a

vértice superior y los lados están formados por la unidad, así mismo a partir de la segunda fila, determina los siguientes elementos

comprendidos entre los lados.

(x + a)0 1

ÁLGEBRA4AÑO

(x + a)1 1 1 a. El desarrollo del binomio tendrá un único término central si “n” es par, luego la posición que ocupa

neste término es:

2 + 1

n n n(x + a)2 1 2 1

(x + a)3 1 3 3 1(x + a)4 1 4 6 4 1(x + a)5 1 5 10 10 5 1 Ejem plo

:

tc

= t n

12

= C n

.x 2 .a 2

2

... ... ... ... ... ... ... ... Determinar el término central del desarrollo de: P(x; a) = (x2

+ a)6

0

2

4

n

0

0

1 21

1

S o l uc i ó n :

6 2 3 3 6 6 3

5. Propiedad adicional:

n n n n - 1tc = t 6 1

= C3 (x ) .

(a)2

= C3 .x

.aC0 + C2 + C4 + ... = 2

n n n n - 1

b. Si “n” es impar existen dos términos centrales.

C1 + C3 +

C5

+ ... = 2

t n 12

t n1 12

Ej e m p l o :Sumar cada uno:

Ej e m p l o :Determinar los términos centrales del

desarrollo de: P(x; a) = (x2 + a3)7

- C10

- 7

+

C10

7

+ C10 +... = 210 - 1 = 29 = 512

7

C1 + C2 + C3 +... = 27 - 1 = 26 = 64

S o l uc i ó n :Calculamos el primer término central para: n = 7

7

Fórmula de Leibnitz

t1° central = t 7 12

= t3 + 1 = C3 (x2)4.

(a3)3

7

Para obtener el desarrollo de un trinomio con exponente natural usaremos la fórmula de Leibnitz:

t1° central = C3 x8.a9

Calculamos el segundo término central:

7

(x + y + z)n =n!

xyz

t2° central = t 7 12

= t4 + 1 = C4

(x2)3(a3)4

7

; ; !.!.!

Donde: “”, “”, “” y “n” ZZ+

t2° central = C4 .x6.a12

4. La sumatoria de coeficientes al desarrollar el binomio: P(x; a) = (x + a)n

n ZZ+, se obtendrá si: x = a = 1

Además: + + = n, donde la suma se realizapara todos los valores que pueda tomar“”, “”, “”.

Ej e m p l o :Hallar el coeficiente de “x5” en el

desarrollo de: (a + bx + cx2)9

n n n nC0 +

C1

Ejem plo:

+ C2 + C3 + ... + Cn =

2n S o l uc i ó n :El término general del desarrollo es:

Hallar la suma de coeficientes del binomio: B(x; y) = (3x3

+ 2y2)60

Solución:

Reduciendo:

9!! . ! . ! (a)(bx)(cx2)

Para: x = y = 1

9! + 2

de coeficientes = [3(1)3 + 2(1)2]60

= 560

Ej e m p l o : Dado:

! . ! . ! a .b .c .x

Donde: + + = 9 ...... (1) Por condición: + 2 = 5 ...... (2)Resolviendo (1) y (2) tomando en cuenta que: “”, “”, “”

+A =

C15

B = C12

+ C15

+ 12

+ C15

122

+ ... +

C15

1212

ZZ . Las soluciones son:

- Primera solución: = 5; = 3; = 1- Segunda solución: = 6; = 1; = 2

A Calcular: B

0

0

1 21

Solución: C1 + C + ... +

C

- Tercera solución: = 4; = 5; = 0

El coeficiente de “x5” se obtiene realizando la suma para los tres trios de valores encontrados “”, “”, “”.

A =

C15

B = C12

+ C15

+ 12

+ C15

122

+ ... + C15 = 215

1212

coef(x5) =

9!5!.3!.1

!

a5b3c +

9!

9!6!.1!.2

!

a6bc2 +

Luego:

C1 + C + ... + C =

212 Finalmente:

4!.5!.0!

a4b5

A 215

=B 212 = 23 = 8

coef(x5) = 504a5b3c + 252a6bc2 + 126a4b5

4 2 22 4 21 6 10 8 0

C

C

C

k

C C

t = t =

x y

xy

Problemas resueltos

1. Hallar el término que ocupa el lugar 103 en el desarrollo de:

(x3 - 3 y

)104

S o l uc i ó n :

4. C al cu la r el v al or d e “k ” en e l de sa rr ol lo d e (1 + x)43 si se sabe que los coeficientes de los términos de lugares (2k + 1) y (k + 2) son iguales.

S o l uc i ó n :Calculamos el término (2k + 1):

104 3 104 - 102 3 102t103 = t102 + 1 = C102 (x )

104

6 34

(- y ) t2k + 1=43 (1)2k

43 - 2k

(x)2k

Pero:

t103 = C102 x

y t2k + 1 = 43 ...... (1)2k

104 104 104Calculamos el término (k + 2):

C102 = C104-102 = C2

104.103

tk + 2=43 (1)k 1

43 - k - 1

(x)k + 1

=

Reemplazando:1.2 =

5356 tk + 2 = C43 ... (2)

(1) y (2) son iguales por condición:t103 =

5356x6y34

2. Desarrollando la expresión:(a2 + a)n.(a2 - 1)n + 2.(1 - a-

1)n

se obtiene 21 términos en total. Hallar el segundo término.

se cumple:

Luego: k =

14

43 = 432k k 1

2k + k + 1 = 43

S o l uc i ó n :Agrupando convenientemente:

5. En el desarrollo de (a2 + b - a)8, hallar los coeficientes de los términos de la forma: a10.bk, donde “k” es el número par no nulo.

n (a

2 a) a - 1

(a2 - 1)n + 2 Solución: a Aplicando la fórmula de Leibnitz, el coeficiente

de: a10bk,

Del dato:

[a2 - 1]n(a2 - 1)n + 2 = (a2 - 1)2n

+ 2

2n + 2 + 1 = 21 n = 9

será:

8! !.!.! (a

2)(b)(-a)

Calculando “t2”:20

2 1 + 1 1 (a2)20 - 1.(-1)1 = - 20a38

Reduciendo:

Donde:

8! !.!.! a

2 + .b

3. Hallar “n” para que el “t25” del desarrollo de:

+ + = 8 ...... (1)

5n 2 2

Por dato: 2 + = 10 ...... (2)

k = (par no nulo) ...... (3)

contenga a “x” con exponente 44.

S o l uc i ó n : Calculamos “t

25”:

Como: + + = 8

2 5n 2-24

xy

2 24

5n 2 x y t25 = C24 Donde el único trio de valores que cumple con (1), (2) y

el exponente de “x” debe ser según el problema 44.

12(5n + 2 - 24) -

2 (24) =

44

10n + 4 - 48 - 12 = 44

(3) es:

Luego

:

= 4; = 2; = 2

8! (a2)4(b)2(-a)2 = 420a10b2

10n = 48 + 12 + 44 - 4

10n = 100 n =

10

4!.2!.2! el coeficiente de a10b2 es 420.

a) 320 b) 420 c) 210d) 120 e) 360

a) 6 b) 8 c) 14d) 12 e) 15

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

C

C

C

C

C

55

x

2

n

4

b

x

x


1. Hallar el cuarto término de:(x2 + 2y)4

a) 4n

d) n

4n2n

e) 4n2n1

c) 4n3n

a) -30x3y2 b) 32xy2 c) 32x2y3

d) 28xy3 e) -28x2y3

9. Hallar el lugar del término independiente del desarrollo de:

x

1 n

2. Calcular el penúltimo término en el desarrollo de:(3x2 - y3)12

a) 36x2y33 b) -36x2y33 c) 24x3y2

d) -24x3y2 e) -12xy2

siendo “n” par.

n

P(x) =

n n

a) 2

+ 1 b) 2

c) 2

- 1

3. Calcular el cuarto término de: d) n + 2 e) n - 2

x 2

2 6

-

10.Sabiendo que el desarrollo de:

n

x 3 1

a) 10 b) - 10 c) 20 x 3 x

d) - 20 e) 2

4. Calcular el término de lugar 13 en el desarrollo de:

15

tiene 15 términos. Hallar el sexto término.

a) 720x4 b) 125x c) 840 d) 360x3 e) N.A.

1 x

11.Indicar el valor de “n”, si la expansión de (x3 + y2)n,

P(x) =

x5 contiene a: x18y16.

a) 252x61 b) 455x-54 c) 125x-8

d) 30x6 e) 4x10

5. Si el décimo término del desarrollo de (xb + xc)d es x18, calcular “c + d”.

12.Calcule el coeficiente de “x6” en el desarrollo de: (x2 - 2x + 1)5

a) 1 b) 2 c) 9d) 11 e) 13

6. Calcular el número de términos que tendrá el desarrollo de:

P(x; y) = (x + y2)n

si se cumple que los términos de lugares 4 y 5 tienen el mismo coeficiente.

13.¿Qué lugar ocupa el término de grado 48 en el desarrollo de: (x2 + y3)18?

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

14.Calcular el valor de “n” para que el término doceavo del desarrollo de:

n 5 1

7. Señale el término central de:

2 1 8

x -

contenga a: x12.

x 3

x

a) 70x4 b) - 70x c) 70x2

d) - 70 e) 70

8. Hallar el término independiente en el desarrollo de: (x3 + x- 1)4n

n ZZ+

a) 15 b) 20 c) 22 d) 25 e) 28

15.Si el grado absoluto del séptimo término del desarrollo de:

P(a; b; c) = (a2b + c)n

es 30. Hallar el grado de su término central.

a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 20

17

2y

3 1 4

n

y

4

a) 16 b) 24 c) 28 d) 31 e) 47

16.Si en la expansión del desarrollo de:

22.En el desarrollo de:

F(a) = (a2 + a)n(a2 - 1)n + 2 1 - 1

a

1 n

x x 2

x IR+, el término de lugar 17 es de la forma: T = Cn x2. Calcular el valor de “n”.

se obtienen 21 términos. Halle el segundo término.

a) 20a38 b) - 20a38 c) 5a28

d) - 5a28 e) 1

23.¿Cuál es el número de términos en el desarrollo de:

nn x y 8

17. Calcular “n” si al desarrollar:

F(x) = (x6 - 1)4(x4 + x2 + 1)2n(x2 - 1)2n

se obtienen 25 términos.

a) 8 b) 10 c) 12 d) 18 e) 20

18.Determinar “m + n” si el cuarto término del desarrollo de: (x + 2)n, es: 80xm.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

19.Indicar el valor de “k” si en el desarrollo de: (x + 1)36, los términos de lugar (k - 4) y k2

tienen coeficientes iguales.

a) 7 b) 6 c) 5 d) 9 e) 10

20.De las siguientes afirmaciones:

si los coeficientes de los términos de lugares 7 y 8 son iguales?

a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49

24.En el desarrollo de:

3 7 n

x 5 x

existen dos términos consecutivos, el primero independiente de “x” y el segundo independiente de “y”. Indique el número de términos del desarrollo.

a) 54 b) 60 c) 61 d) 62 e) 63

25.Hallar “n” (n ZZ+) para que uno de los términos del desarrollo de:

x n

I. El número de términos del desarrollo de (a + b)n es

y

y

“n + 1”. (n IN)II. Los términos equidistantes de los extremos en la

expansión de (a + 2b)n poseen coeficientes iguales. (n IN)

III. El lugar que ocupa el término central del desarrollo de (a + b)2n es: n + 1. (n IN)

Indicar cuál es falsa.

sea de la forma: m(xy)p; si se sabe que el término anterior a éste, es independiente de “y”.

a) 4 b) 7 c) 6d) 8 e) 9

26.Determinar el coeficiente del término del desarrollo de:

12

2x - y z

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) II y III e) N.A.

21.Indicar “tk” en el desarrollo de (x + y)10,

tal que:

en el que los exponentes de “x”; “y”; “z”, en ese orden,forman una progresión aritmética.

tk 1tk 2

8x= 3y

a) 376 b) 495 c) 572 d) 396 e) 478

siendo “tk” término de lugar “k”. a) 210x4y6 b) 200x4y6 c) 190x4y6

d) 20x4y6 e) 211x4y6

27. Si el tercer término del desarrollo del binomio: (n + x3)n

es “nk” veces el cuarto término del desarrollo de(x + x2)n. Hallar “n”, si k ZZ+.

a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8

a) 220x6 b) 220x4 c) 220x3d) 220x2 e) 220x

2 x

y

C =

4

y

3 - 2k

1 k 2 3k2. En el desarrollo del binomio:

a)k

b)k

c)k x 2

6

3 kd)

k3 2k

e)k

indique el término central.

28.¿Cuál es el valor de “m” si el cuarto término del desarrollo de (a2 - b)m, contiene la décima potencia de “a”?

a) 5 b) 8 c) 10 d) 13 e) 16

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

3. Señale el lugar del término independiente del desarrollo de:

29.Determinar “a + b” en la expansión de:

(x2 + x-

3)55

a) 20 b) 21 c) 22 4x2a

P(x; y) = -b

b

d) 23 e) 24

b-5 2x2

de modo que admita un solo término central cuya parte literal es: x24y15.

4. Si:

n nk n-k ...... (1)

a) 5 b) 6 c) 11d) 12 e) 13

además el binomio:(x2 + y)19 ...... (2)

30.Si un término del desarrollo de:

Calcular:

t 9t12

x 4 4 m

1 - x 4 -

1 B(x) =

x 4 x 4

x 6 x 4 x 2

es igual a: 3×213. Calcular el valor de “m”.

a) y

3

x

b) y3

y3

c) y 3

d) y e) x 6

Autoevaluación

1. Hallar el cuarto término del siguiente desarrollo: (x2 + 2y)5

5. Calcular el décimo término del desarrollo de: (x5 +

x - 1)12

a) 80x4y3 b) 60x4y3 c) 40x4y3d) 20x4y3 e) x4y3

x y

y

n

b

x

2

Binomio de Newton II

Capítulo VII

Propiedades adicionales

1. La suma de coeficientes en el desarrollo del binomio

(ax + by)n

es:

Reduciendo: n(n + 1) =

72

n (n + 1) = 8 × 9

x = y = 1 (a + b)n

donde “x” e “y” son las variables.

2. La suma de exponentes en el desarrollo del binomio

(x + y)n es:

De aquí: n = 8El número de términos es 9.

2. Determinar “a” y “b” en la potencia:

b

a b

( )(n)(n 1) b-5

2

3. El coeficiente del valor máximo en el desarrollo de (x + a)n es el término central si “n” es par y los dos términos centrales si “n” es impar.

Si: (x + y)2n

de modo que admita un término central de la forma:

Cb

x3y15b2

S o l uc i ó n :

b coef. máx.:

C2n

Como hay un término central, el lugar

es: 2

+ 1.

Si: (x + y)2n +

1 b- b b

coef. máx.: 2n1 y 2n1b

x a 2 yb 2Cn Cn1 t C b 1 b yb-5

x

4. El número de términos del desarrollo del trinomio

(x + y + z)n es:

2 2

a b

b

t Cb

x 2 .

y 2

(n 1)(n 2)2

; n ZZ+

b 12

b(b-5)

b b2 y 2 x 2

5. En general, el número de términos del desarrollo de: (x

1 + x

2 + x

3 + ... + x

r)n es:

(n r - 1)!

t b

12

Cb xb2

b

b (a-1

2b

(b-b 5).y 2

b

n!(r - 1)! ; n ZZ+ t Cb x

1 b

(a-1)2 .y

(5)2 ... (I)

Problemas resueltos

1. Hallar el número de términos en el desarrollo de: (x2 + y5)n

si la suma de los exponentes de todos los

términos es

Como:

(I) = (II)

2

t b 12

b

2

Cb x3.y15 b

2

b

ÁLGEBRA4AÑO

... (II)igual a 252.

Solución:

Cb xb2

(a-1)2 .y

(5)2 Cb xb

2

3.y15

La suma de exponentes será:

(2 5)n(n 1)2

= 252

Identificando exponentes de “x” e “y”:

b-

2 (a - 1) = 3; b(a - 1) = 6

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

a

7 6

x

b-

2 (5) = 15; b =

6

Descomponiendo los factores:(n - 6)! 7!

n 1 1Resolviendo: a = 2; b = 6 =

3. Hallar el exponente de “a” en el término independiente de “x” en el desarrollo del binomio:

8 (n - 6)(n - 7)!.6!

Simplificando:

n8n - 48

=

7.6!.(n - 7)!

17

m xm

mn

7n = 8n - 48

n n = 48

Número de términos: 48 + 1 = 49

S o l uc i ó n :Cálculo del término general:

m k

5. Si:(1 + x)n = C0 + C1x + C2x

2 + ... + Cnxn

mn a Hallar el valor de:tk + 1 = C

k

(xm)m + n - k n x C

0 +

2C1

+ 3C

2

+ 4C

3

+ ... + (n + 1)Cn

si es independiente de “x”, el exponente de “x” debe ser cero, luego: S o l uc i ó n

: C

+ 2C

+ 3C

+ 4C

+ ... + (n + 1)C

m(m + n - k) - nk = 00

Descomp

1 2 3 n

iend con nient mente:

m(m + n) - mk - nk = 0 on o ve e

(C C C ... C ) (C 2C C ... nC )m(m + n) = (m + n)k k = m

4. ¿Cuál es el número de términos en el desarrollo de:

012n

2n

Factor común: “n”

12 3n

nn(n-1) n(n-1)(n-2)

...n1.2

(n - 1)(n - 2)

n 2n + n 1 (n - 1)

1.2

... 1

n x y 8 2n + n(1 + 1)n - 1

si los coeficientes de los términos de lugares 7 y 8 son iguales?

S o l uc i ó n : Cálculo del “t

7”:

1. En el binomio:

2n + n.2n -

1


P(x; y) = (x2 + 2y3)n

n n n-6

la suma de los coeficientes es 243. Calcular el númerot7 = C6 . 8

x

.(y)6

de términos del desarrollo del binomio.

el coeficiente del “t ” es:

n

8

n-6

.Cn

Cálculo del “t

8”:

n

n-7

2. La suma de coeficientes de:P(x; y) = (3n + ny)n

t8 =n .

8 x .(y)7 Q(x; y) = (5nx - 3ny)nC7 n

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

n-7n

está n en la relación de 128 : 1. Encontrar “n”. el coeficiente del “t8” es: 8

.C7

Por condición del problema:

3. En el desarrollo de:

n-6 n

n-7 n n

n

.Cn = .C7

(4x + y) 8 6

Simplificando se tiene:

8 la suma de exponentes es 110. Hallar “n”.

a) 8 b) 9 c) 10 n n n d) 11 e) 12 8

.C6 = C7

Desarrollando: 4. Si: n ZZ+, calcular:

n1n1 n1 n1

C C C ... Cn n! n!

. =

0 1 2 n1

8 6!.(n - 6)!

7!.(n - 7)!

R = n n n n C

0 C1 C2 ... Cn

C2 3 n-

x y

5

C

x

x

2

?

1

2

3

a) 2n b) 2n + 1 c) 2 d) 1 e) 0

12.A partir de:

S =

n-1 1 n-1

1 n-1

1 n-1

5. Calcular:

n n n n +

C0

obtener “nS”

+ 2

C1 + 3

C2 + ... +

n Cn-1

C1 + C2

+ C3

+ ... + Cn-1 ;n ZZ

a) 2n - 1 - n b) 2n + 1 - n c) 2n - 2 d) 2n + 2 e) 2n

6. Calcule el valor de “n” para que se verifique:

a) 2n - 1 b) 2n c) 2n + 1

d) 2n - 1 e) 2n + 1

13.Determinar el término racional en el desarrollo de: ( 2 + 3 2 )5

n- 31 + C

n-3+ C

n-3+ ... + Cn- 3 = 6

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 14.¿Cuántos términos racionales enteros posee el

desarrollo de:7. Si:

A = Cm

+ 2 Cm

+ 3 Cm

+ ... + m C

m

7

1 2 3 m y x

B = 2 C2m + 4 C2m

+ 6 C2m

+ ... + 4m C2m1 2 3

BHallar:

A

2m a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

15.Dado el binomio:

a) 4m + 2 b) 4m + 1 c) 2m + 2

d) 2m + 1 e) 2m x

120

3 x

8. Si el desarrollo del binomio para exponente natural es:

(x + a)n = Cn

xn + n xn - 1a + Cn

xn - 2a2 + ... + Cn an

¿cuántos términos racionales e irracionales tiene el desarrollo?

0 C1 2

Calcular:n

a) 9; 112 b) 10; 111 c) 11; 11020030 - 2003 2003

220032002

20032003

d) 12; 109 e) 13; 108C1

+ C - ...+ C - C

a) 1000 b) 2003 c) 0 d) 2001 e) 2000

9. Calcular el valor de:

E = Cn + 3 Cn + 9 Cn + 27 Cn +... (n + 1) sumandos0 1 2 3

a) 5n + 1 b) 4n c) 6n

d) 6n + 1 e) 6n - 1

10.Calcular el valor de:

M = Cn

+ 5 n + 25 Cn

+ 125 Cn

+... (n + 1) sumandos

16.Simplificar:

S = Cn - 3 Cn + 32 Cn - 33 Cn +...- 3n Cn

0 1 2 3 n

a) - 3n b) - 2n c) 2n

d) 2n - 1 e) 3n - 1

17. Encontrar el lugar que ocupa el término independiente obtenido al desarrollar:

615

4

0 C1 2 3

a) 1024 b) 625 c) 125 d) 520 e) N.A.

11.Calcular el equivalente reducido de:

a) 7 b) 10 c) 13 d) 16 e) No existe tal término

18.Para qué valor de “n” en el desarrollo de:

nCn + 2 Cn + 3

Cn +... + n Cn1 2 3 n x

3 1 x

a) 2n - 1 b) 2n c) n.2n -

1

d) n2.2n e) n.2n

el séptimo término es independiente.

a) 8 b) 6 c) 10 d) 12 e) 14

a) segundo b) tercero c) cuartod) quinto e) sexto

a) 15 b) 25 c) 50d) 65 e) 75

a) 807 b) 918 c) 1254d) 19278 e) 15362

4

1x

3

2 2 2

1

19.¿Qué lugar ocupa el término independiente en el desarrollo de:

25.Calcular el coeficiente de “x5” en el desarrollo de: P(x) = (1 + 2x - x2)5

x

1 6

?x 2

a) - 10 b) 120 c) - 80 d) 30 e) - 30

26.Un término que se obtiene en el desarrollo de: P(x; y; z; w) = (x + y + z + w)6

es: mx2y2zw. Hallar “m”.

20.Si el producto de la suma de los coeficientes de los desarrollos de:

(a + b)m; (c + d)n; (a + 1)p

es 4096 siendo “m”, “n” y “p” pares consecutivos, hallar el valor de:

a) 120 b) 180 c) 170 d) 162 e) 163

27. Calcular:

mn + np + pm

C30 C30C

30 C30

S = 0 + 1 + 2 + ... + 30

a) 48 b) 44 c) 12 d) 38 e) 60

21.Cuántos términos fraccionarios admite en su desarrollo:

30a)

1 2

30 - 1

b)

3 31

31 - 1c)

P(x) = x3

100

30

231d)

31

30 31

e) 231

28.Calcular “n” en:

n n n n

22.Calcular el coeficiente del término cuya parte literal es x6y4 en el desarrollo de:

(x2 - xy + 2y2)5

a) 99 b) 105 c) 124 d) 130 e) 143

23.Indicar el coeficiente del término en “x10” del desarrollo de:

(1 + 3x2 + 3x4)7

C0 3C1 5C2 ... (2n 1)Cn 51=

Cn 2Cn 3Cn ... nCn 251 2 3 n

a) 44 b) 49 c) 50 d) 51 e) 52

29.Calcular:

S = 1 + Cn + Cn + Cn + ...2 4 6

a) 2n b) n.2n c) 2n - 1

d) n.2n - 1 e) No se puede determinar

24.La suma de coeficientes de los términos obtenidos en la expansión de:

[( x + y )4 - ( x - y )4]4n

30.En el siguiente binomio:

B(x) = x

84

4 x

es 264. Calcular:

xa) y

t5t13

x 6

b) y

x 2

c) y

Calcular el número de términos racionales, irracionales, enteros y fraccionarios en ese orden. Indique la respuesta correcta.

a) 8; 77; 5; 3 b) 7; 78; 4; 3 c) 6; 79; 2; 3 d) 2; 83; 1; 1

e) 6; 78; 5; 3

x 4

d) y

x 5

e) y

a) 3072 b) 32 c) 1024 4. En el desarrollo de:d) 243 e) 3125

a) 22 b) 23 c) 24d) 25 e) 26

n

C 1 2 10

Autoevaluación

1. La suma de los coeficientes en el desarrollo de: P(a; b) = (2a + 3b)5

a) 1024 b) 1023 c) 1022 d) 1021e) 1020

es:

(2x + y)n

la suma de exponentes es 30. Hallar “n2”.

2. Calcular:

n n n nC1 + 2 C2 + 3 C3

+ ... + n Cn

a) 2n - 1 b) n.2n - 1 c) n.2n

d) 2n e) n.2n + 15. Calcular “n” para que se verifique:

n n nC1 + C2

+ C3

+ ... + Cn = 127

3. Calcular:

10 +

C10+ C

10+ ... +

C10

a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 9

a2

C

a b

b

k

x

Repaso

Capítulo VIII

Propiedades generales

Dado: P(x; a) = (x + a)n; n

ZZ +

Análisis de términos

el

Término general

contado

Término central

exponente par

Suma de coeficientes

para: x = a = 1

Adicionales

la

desarrollo del binomio

de izquierda a derecha: n

n nC

n + C

n + C

n + ... + C n

= 2 n

Suma de exponentes en el

(x + a)ntiene (n + 1)

nt = C xn - k.ak t n = C n x 2.a

20 1 2 n

desarrollo del binomio:

términos.

k + 1 k 2 +1

2también es:

(x + y ) n

además contado

exponente impar C

n + C

n + C

n + ... = 2 n - 1

(+ )(n)(n + 1)

Los coeficientes de los de derecha a izquierda:t n + 1 y t n + 1

+ 1

0 2 42

n 2 2 C n

+ C n

+ C n

+ ... = 2 n - 1

términos equidistantes son iguales.

tk + 1 = C k an -

k.xk

1 3 5el

Número de términos del desarrollo del trinomio:

(x + y + z) n

es:(n + 1)(n + 2)

2

el

Coeficiente del valor máximo en el desarrollo de (x + a) n es el término central si "n" es par y los dos términos centrales si "n" es impar.

Problemas resueltos

1. Hallar el lugar en el que se ubica el término del desarrollo del binomio:

Resolviendo: k = 105El lugar pedido es “k + 1”: 106

r

210

2. Hallar el coeficiente de “x ” en el desarrollo de la

expresión: n

1 x a; b IR - {0}, que contiene a “a” y “b” elevados al

mismo exponente. x 3

S o l uc i ó n :

2101

- 1

2 4 210-k1

- 1

2 4 k

S o l uc i ó n :Supongamos que “xr” se encuentra en la posición: k + 1

ptk+1 = Ck

. (a .b ) . (b .a )n 1

tk+1 =210.a

210-k2

- k

.a 4-210k

.b 4k

.b 2

tk+1 = Cp .(x2)n - p. 3

= n 2n - 5p

Reduciendo :

ÁLGEBRA4AÑO

C

p

k

tk+1 =

210 .

a

420-3k4

3k -210

.b 4

Cp x

Pero como

este término contiene a “xr” y por tanto:2n - 5p =

r

2n - r

por condición los exponentes son iguales.

p =5

420 - 3k4

3k - 210

=4

El coeficiente buscado es “ Cn ”.

C

1

r + 1

r

C

t = C a

C C

1

=

1

k

k

Es decir: Cn2n-r

5

4. Hallar el décimo término del desarrollo del binomio:

12

27x5 1

Desarrollando el combinatorio será:

n!2n - r 2n - r

! n - !

Solución :

3x

5 5

12 1 9

Reduciendo:

t10 = t9 + 1 = C9

(27x5)12 - 9 3x

n n!p 2n - r 3n r

Pero:

! ! 12 12 12 12.11.10 5 5 C

9 = C12-9 = C3 =

1.2.3= 220

3. Dado el binomio:

120

t10 = 220(33x5)3(3- 1.x-

1)9

Efectuando se tiene:t10 =

220x6

x 5 1

determinar:

1 x 3 5. Siendo “A”, “B” y “C” los coeficientes de tres

términos consecutivos del desarrollo de (a + b)n. Además:

A + 2B + C =

C20

I. El número de términos racionales e irracionales que tiene el desarrollo.

II. ¿Cuántos términos enteros y fraccionarios existen?

S o l uc i ó n :El término general de este desarrollo es:

Hallar “n”.

S o l uc i ó n :Sea “tr + 1” el primer término:

t = Cn .an - r.br

n

k Luego: A = Cr

12015 120 -k

1 Sea “t r + 2” el segundo término:

t

k + 1 =

Ck

(x ) 1 n

x 3

120-k -

k

tr + 2 = Cr 1 an - (r + 1)br + 1

Luego: B = Cn 1

tk + 1

=

120.x 5 .x 3 Sea “t

r + 3” el tercer término:

n n - (r + 2) r + 2r + 3 r 2

tk + 1

=

120.x24 -

8k15

Luego: C = nr 2

De la condición:I. Para que sean racionales:

8k

A + 2B + C = C20

24 - 15

= número entero n n n 20

esto cumple para: k = 0; 15; 30; 45; 60; 75; 90;105; 120; lo cual indica que hay 9 términos racionales y como el desarrollo tiene 121 términos, los

Cr + 2 Cr 1 + Cr 2 = C10

Cn Cn Cn Cn C20r r 1 r 1 r2 10

irracionales son 112.

n1

n1 20

II. Para que sean enteros:

Cr 1 Cr 2 C10

n2 208k

24 - 15 = Número entero y

positivo

Cr 2

C10

De la igualdad: n + 2 = 20 n = 18

Esto se cumple para k = 0; 15; 30; 45; hay 4 términos enteros y como existen 9 racionales hay 5 fraccionarios.

1

Problemas para la clase8.

Simplificar:

1. Hallar “A + B”, en la siguiente división exacta. E(a,b)

1 2ab

a2 - ab b2

2x4 9x3 2x2 8Ax B

a3 - b3 2a

x2 5x 1 - 13 3 a -

b a b

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. El residuo de la siguiente división:

x 4 4x3 6x2 (a 2)x (b

3) (x 1)2

es : - (27x+11), indicar “a + b”

1a)

2

bd)

a

9. Reducir:

ab) 1 c)

b

e) 0

a) - 3 b) 0 c) 3 d) 4 e) 5

S 1

(a b)(a c)

1

(b a)(b c)

1

(c a)(c b)

3. Indicar el resto :

3 x 4 2x3

3 x2 5x (7 3 )

a) 0 b) 1 c) 2abc d) abc e) -a-b-c

10.Simplificar:x 3

S 1 1

1 a

; a 1

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

4. Hallar el resto en la división :

1 a

a) a b) 2 c) 0

1(x6 6x 6)2002 (x6 6x 4)2003 2(x6 6x)

14

x6 6x 5

a) - 4 b) 4 c) - 6d) - 24 e) - 2

5. Hallar el residuo en la siguiente división :

d) -a e) a

11.Efectuar:

1

E

2 21 1

1 1

a b x a

x b

x (a b)(a b )

x

(a b) 1

1 1 2 2 2ab b a 2ab a b

x

x

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

6. Indique el M.C.D. de:P(x,y) = x3 + x2y + xy2

+ y3

Q(x,y) = x3 - x2y + xy2 - y3

a) 1 b) x c) x2

d) 0 e) -x

12.Simplificar:

6

R(x,y) = x4 - y4 Q

(n 1) (n 1)

a) x2 + y2 b) x2 - y2 c) x2 + 1 d) y2 + 1 e) x + y

7. Indique el M.C.D. de:P(x) = 3x3 + x2 - 8x + 4

Q(x) = 3x3 + 7x2 - 4

a) 3x2 + 4x - 4 b) 3x2 - 4x + 4

c) 3x2 + x - 4 d) x2 - 4x + 4

(n2 1) (n4 n2 1)

1a) 1 b) 0 c)

nd) n - 1 e) n + 1

13.Reducir:

A a(a c) b(c b)

1

c(a c) b(a b)

(b c)

e) x2 + 4x - 4

a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 11

a) - 27 b) - 5 c) 8d) 15 e) 18

x

2

C 2 3 3

a) 1 b) a - b c) a + b

ad) 0 e)

b

14.Efectuar:

a) x6 b) x- 6 c) 14x d) 14x- 12 e) 12x

20.Halle el noveno término de la expansión: (2x5

+ y3)11

16 25 15 28a 2

2 a) 1230x y

b) 1023x y

16 24 15 25R

a 3; a 3

c) 2130x y

d) 3210x y

15 24

1 2a 8 a2 3a

e) 1320x y

21.Hallar el término central del desarrollo del binomio:

a) a - 1 b) a2 c) a d) 1 e) 0

3 b 10

4a - 8

15.Efectuar:

x2 (a b)x ab x2 b2

63a) - a15b5 b)

63 a15b5 c)

63 a5b15

K 2 2 2 8 8 8

x (a c)x ac

x c

63d) -

863

a5b15 e)8 a15b10

x ca)

x b

x b

x bb)

x cx a

c) x b 22.¿Cuál es el término que contiene a “x5” en el

desarrollo de:

13d)

x a e) 1 3x5 1

?

16.Calcular el penúltimo término en el desarrollo de:

3 -

x 5

23.Calcular el menor valor de “a + b”, si:

329 7 1 + 2

C32+ 3 C32

+ ... + 32 C32 = ab

a) 8

x5 b) x5 c) 8

x4

15d)

16 x4 e) x4

17. Determine el valor de:

M = Cn

+ 6 Cn + 36 Cn + 216 Cn +...(n + 1) sumandos0 1 2 3

a) 38 b) 22 c) 25d) 20 e) 18

24.En el desarrollo de cada una de las potencias: (ax5 + by3)3; (ax7 - by2)2

se observa que la suma de coeficientes es igual al triple

de la suma de exponentes. Hallar “ a ”, siendo (a > b)

a) 5n b) 6n c) 7n b

d) 8n e) 9n

18.Hallar “n” en:

1

1!.(n - 1)!1

3!.(n - 3)!

15!.(n -

5)!

... 25.Hallar la relación entre “r” y “n” para que los coeficientes de los términos de lugares (3r) y (r + 2) del desarrollo de (1 + x)2n sean iguales.

1 4096

... (n - 1)!.1! n!n

a) n =2r b) r = 2n c) r =a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

19.Indicar el penúltimo término en el desarrollo de:

y

1

4d) 4n = r e) r >

n + 126.Se sabe que en el desarrollo

de:

14 x2 y2

25n

x x P(x; y) =

el: t25

= yx44. Halle “n +

2”.

x

a) 2 b) 8 c) 10d) 18 e) 12

8

C 7 8

C C C

6 7

y

6

8 7 8

27. Si: mxay; nx10y-b; son términos del desarrollo de:

Autoevaluación

1. La siguiente división:

2x2 y2 x 4 mx2 n

entonces “m + n” es:

2x

x2 x 1es exacta. Calcular “m + n”.

a) 2 b) 3 c) 4a) 204 b) 256 c) 412 d) 672 e) 704

28.Calcular el valor de “n” si el quinto término del desarrollo

d) 5 e) 6

x-2 y-2

de:

Q(x; y; z) = (t3 + t5)

6

2.

es igual a:

x-1 y-1

presenta la siguiente forma:Ax20y10z1

0

además “t3” y “t

5” son el tercer y quinto

término del desarrollo de:

P(x; y; z) = (x2 +yz )n

(y2 x2 )a)

x y(xy) b)

x2 y2

(xy)(x y)

x; y; z IR+

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

29.Si el máximo término en el desarrollo de: (1 + 4x)8

x2 y2

c) 2 2x y (x y)

x2 y2

e)x y

x yd)

xy(x 2 y2

)

1para: x =

3 , tiene la forma:

C8 m k 2

3. Reducir:

25 + 2

C25+ C

25

k n a) 26 b) 26 c) 27

Calcular:

m mn k 1d) C27

4. Sumar:

e) C27

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

30.El coeficiente del término de la forma:

x4y2

en el desarrollo de:P(x; y) = (1 + 2xy +

3x2)7

es:

1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + 15.15!

a) 15! b) 16! c) 15! - 1d) 16! - 1 e) 15.15!

5. Simplificar:

C11 C11 C11 ... C11 C11

0 1 2 10 11

C8 C8 C8 ... C8 C8a) 1260 b) 630 c) 315d) 60 e) 32

0 1 2 7 8

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

II Bimestre 2013

Documents

Transcript of II Bimestre 2013