En la A n tig u a G recia , ex istía un im p o rtan te g rupo de pensadores, llam ad o s p itagó rico s por ser P itágoras su fundador, cuyas d o c trin as y estilo de v id a se asem e jab a bastan te al de u n a secta. C re ían irm em en te que todo cuan to existe en este m un d o se p u ed e m ed ir o

cu an tif ic a r u tiliz an d o los núm eros enteros o fracc io nario s , y esta creen c ia era uno de sus p ilares esenciales. S in em b argo , en tre ellos em pezó a haber c iertas dudas sobre si ex istir ían n úm eros q ue no fueran en teros o fracc io nario s . La sim p le id ea de la ex isten c ia de este tipo de n úm eros les en co lerizab a tan to que em pezó a ex ten derse el presagio de q ue si a lgu ien co n segu ía en co n trar ta les núm ero s y los d iv u lg ab a al resto del m un d o , m o rir ía en un n aufrag io .

H ipaso de M e tap o n to co n sigu ió dem o strar que v 2 es ir rac io n a l, y no pudo co n ten er su an sia de p u b lic a r este revo luc io n ario resu ltado . Los p itagó rico s le expu lsaron y erig iero n u n a tu m b a con su no m bre, en seña l de q ue para e llo s, él estaba m uerto .

F in a lm en te , el p resagio se cu m p lió , e H ipaso m urió en u n a travesía en barco , au n q u e se cree que no fue p rec isam en te en un n au frag io , sino que sus com pañero s le tiraro n al m ar, do n de las o las le fu stig ar ían sin cesar para p u rif ic a r su a lm a co rru p ta po r lo que e llos co n sid erab an u n pecado .

Interpreta y resuelve

Hipaso de Metaponto demostró que / 2 es irracional. ¿En cuál de las siguientes figuras crees que se basó para realizar este descubrimiento? ¿Por qué?

Repasa

Mínimo común múltiplo y máximo común divisorEl m ínim o común m últiplo de varios números es el producto de factores comunes y no comunes de las descomposiciones en factores primos elevados al m áxim o exponente (solo se tom ará un representante de cada factor com ún).

El m áxim o com ún divisor de varios números es el producto de los factores com unes a todos elevados al menor exponente (igualm ente, solo tomaremos un factor de cada tipo). En caso de no existir n ingún factor com ún a todos ellos, se considerará el 1.

Calculem os el mcm (72,240) y el mcd (72,240).

72 = 23 • 32 240 = 24 • 3 • 5

mcm (72,240) = 24 -32 • 5 = 720

mcd (72,240) = 23-3 = 24

Propiedad distributivaLa propiedad distributiva del producto respecto de la suma o resta nos permite efectuar operaciones sin necesidad de realizar primero el paréntesis.

(—3) • (4 —7) = (—3) • 4 — (—3) -7 = —12 + 21 = 9

Extracción de factor comúnSe trata del proceso inverso a la propiedad distributiva, y se basa en la extracción de un factor com ún a varios sum andos. D icho factor será el m áxim o com ún div isor de todos ellos y nos perm itirá expresar una sum a o resta como un producto.

9 — 12 + 6 — 72 = 3 - ( 3 - 4 + 2 — 24) = 3 • ( -2 3 ) = -6 9

EJERCICIOS________________________________________________________________

1. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números:

a) 12, 36 y 54 6 ; i4 y 4 9 c9 121 y 143 $ 6 0 0 y 450

2. Aplica la propiedad distributiva y realiza las siguientes operaciones:

a) ( 3 -4 ) - ( - 5 ) c) (3 + 6) • (—2 + 7)

b) 5 -(12+ (-13 )) d) ( - 8 + (-9 )) • (1 - ( - 2 ) )

3. Saca factor común en las siguientes expresiones:

a ) -3 6 - 1 8 + 90 cj 33 - 121 + 165 -1 10

b) 2 0 -2 8 + 4 4 -6 0 d) 98 + 1 4 7 -4 9 0 + 343

i— N UM ERO S ENTEROSConcepto

Representación

— N ÚM ERO S DECIM ALES

Concepto

— Representación

— Clasificación

Aproximaciones y errores

Truncam iento

Redondeo

Error— Absoluto

— Relativo

N ÚM ERO SFRACCIO NARIOS

Concepto

— Representación

— Operaciones

— Sum a

Resta

Producto

— Cociente

— Operaciones com binadas

— Fracciones y decimales— Paso de decim al a fracción

— Paso de fracción a decimal

- N ÚM ERO S REALES

— Números racionales y reales

— Aproximación de números reales irracionales

— Comparación y representación en la recta

*— INTERVALOS

NÚMEROS

1. Números enteros1.1. Concepto

El conjunto de los números enteros, que se denota Z, surge por la necesidad de completar el conjunto de los números naturales, N , al no poder expresar con estos cantidades negativas, que pueden identificarse con deudas o carencias, por ejemplo.

USA TU CALCULADORA

Para introducir números enteros en la calculadora debes pulsar la

tecla ^

tienes las teclas y

introducir paréntesis.

Recuerda además que

para

1.2. Representación

Los números enteros incluyen por tanto a los naturales y a los negativos, cuya representación en la recta numérica se sitúa a la parte izquierda del cero, tal como muestra la siguiente ilustración, de manera que están colocados de menor a mayor, siendo mayores cuanto más a la derecha estén colocados los números.

—i------1-------- 1---- 1--------- 1------- 1----- 1---------1-------1---- 1----------1----1------- 1——6 — 5 — 4 —3 — 2 — 1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

EJERCICIOS____________________________________________________________________

1. *o o Realiza las siguientes operaciones con números enteros:

a) ( -3 + 5 • ( -2 + 1)) - ( -6 )+ 35: ( - 2 + 3 - 4 + 4 - ( -2 +1))

b) 3 + 4 : (—2) —(—2)2 —7 + 9 : (1 + 5 -(-2 ))

C) 6 + 2 • (—3 + 9: (—3))

d) - ( 3 - 5 - ( - 4 + 9): 25)+ 3 - 5 -2

2. «oo Representa en la recta y ordena de menor a mayor las siguientes colecciones de números enteros:

a ) - 7 , - 5 , 2 ,+ 6 , 0 , - 2 ,4

b) -3 , 3, -2 , 5, 1, - 1 ,6

c) 35, -2 7 , 60, -4 5 , 42, -4 3 , 1 5

d) -8 9 , 56, -2 4 , -5 7 , 22, -5 5 , -9 0

NÚMEROS

2. Números decimales2.1. Concepto

Los números decimales permiten representar partes de unidades completas, tanto negativas como positivas.

2.2. Representación

Los números decim ales se pueden s ituar de m anera aproxim ada en la recta num érica dividiendo las unidades en las partes necesarias.

-----1-------------------- 1-------------------- 1 i i t t t i i i i i—0 1 2 2.8 3

2.3. Clasificación

Podemos clasificar los números decimales según su parte decimal en exactos, periódicos o no periódicos:

•N úm ero decim al exacto: tiene un núm ero finito de cifras decimales.

3,45

• Número decimal periódico: tiene infinitas cifras decimales que se repiten. Pueden ser:

• periódicos puros: 3 .4 5 4 5 4 5 4 5 ... = 3,45

• periódicos mixtos: 3 ,24 54545 ... = 3 ,245

•N úm ero decim al no periódico : tiene infin itas cifras decim ales que no se repiten de forma periódica.

98,123456.... 71...

RECUERDAEn un número decimal distinguimos las siguientes partes:

anteperiodo| ^periodo

32.564

parte decimal

parte entera

e j e r c ic io s __________________________________

3. ««o Ordena de mayor a menor los decimales siguientes:

a) 8,98; 8,979; 9; 8,9; 8,99; 8,9779

b) -3 ,6 ; 2,5; -3 ,6 5 ; +2,45; -3 ,5 8 ; -2 ,5

c) 1,2; 1,1111...; 1,1; 1,12; 1,12

d) 0,23333; 0,23; 0,20888...; 0,233232...; 0,23

4. #oo Clasifica los siguientes números decimales:

a) 23,2323 d) 0,001010101...

b) 9,8767676... e) 36,022

c) -3,1213141516... f) 6 988,8787878...

NÚMEROS

3. Aproximaciones y erroresAveces no es necesario trabajar con todas las cifras decimales y aproximamos los números decimales. Esta aproximación se puede realizar por trun ca­miento o redondeo.

•T runcam ien to : se hacen cero todas las cifras por debajo de la posición marcada.

Truncamiento de: 32,56789

a las décimas: 32 ,50000 ► 32,5

a las centésimas: 32 ,56000 ► 32,56

RECUERDAUna aproximación por defecto es aquella en la que el valor aproximado es inferior al real y es por exceso si el valor estimado es superior al real.

• Redondeo: se hacen cero todas las cifras por debajo de la posición marcada y la cifra de la posición marcada se m antiene o se increm enta en función de si la siguiente cifra es inferior o igual/superior a 5.

Redondeo de: 587,654

a las décimas: 587,7

a las centésimas: 587,65

OBSERVA

Cuando queremos indicar que cierto valor es una aproximación de otro utilizamos el signo s:.

199 200

• Error absoluto: es la diferencia (siempre positiva) entre el valor real y el aproximado.

Ea — valor real — valor ap ro x im ad o ;

Si comparamos distintas aproximaciones de un mismo número, obser­varemos que cuanto más pequeño sea el error absoluto, m ejor será la aproximación.

•E rror relativo : es el cociente entre el error absoluto y el valor real (en caso de que se desconozca se puede emplear el aproximado).

Valo r real

Si comparamos aproximaciones de distintos números, observaremos que cuanto más pequeño sea el error relativo, mejor será la aproximación.

Llamaremos cifras sign ificativas a todas las cifras descontando los ceros que están en los extremos.

0 ,0 0 2306 703 500 0004 cifras significativas

Si realizamos aproximaciones, cometemos errores, que se pueden clasificar en absolutos o relativos.

NÚMEROS

EJERCICIOS RESUELTOS_________________________________________________1. He sacado un 8,65 en un examen. Al llegar a casa he dicho que he sacado casi un 9.

a) ¿M i aproximación es por defecto o por exceso? Indica tam bién si he redondeado o he truncado y a qué posición lo he hecho.

b) ¿Cuál es el error absoluto com etido en mi aproximación? ¿Y el relativo?

a) La aproximación es por exceso, porque digo que he sacado una nota superior a la real. He redondeado el resultado de mi examen a las unidades.

b) £ , = 18 ,65-91 = 0,35

0 35r 8,65 ’

2 . Se estima que la población de cierta localidad es de 200 000 habitantes.

a) ¿Cuál es la cota del error absoluto en esta aproximación?; es decir, ¿cuál es el m ayor error absoluto que pueda haber cometido?

b) Teniendo en cuenta el resultado anterior, ¿cuál es la cota del error relativo?

a) El número de habitantes totales de mi localidad debe estar entre 150 000 y 249 999 para que la aproximación sea correcta, porque si está por debajo o por encim a de estos valores, la aproximación (a las centenas de millar) más adecuada debería haber sido otra.

El máximo error absoluto es por tanto la diferencia 1200 000 — 150 0001 = 50 000 .

b) La cota del error relativo será 2^00^000 =

EJERCICIOS_____________________________

5. 900 Realiza las siguientes operaciones con números decimales. En el caso de las divisiones redondea el resultado a las milésimas.

a) 32 ,5 01 -0 ,708b) -5 6 ,9 8 7 + 2 4 0 ,6 9 8 -3 0 0

c) 235,01 :3 5 ,3d) 0 ,0023 :0 ,0 0 9 8

6. «oo Realiza las siguientes aproximaciones de 4,1 58 y calcula el error absoluto y relativo en cada caso.

a) Por truncamiento a las unidades.

b) Por redondeo a las décimas.

c) Por truncamiento a las centésimas.

d) Por redondeo a las centésimas.

7. #oo Indica el número de cifras significativas en cada caso.

a) 38,15 c) 0,000000036

b) 1 5 300 000 000 d) 1 030 007 000

8 . Cl Un producto cuesta 52,14 euros. Calcula el precio final si tiene un 21 % de IVA. Redondea el re­sultado como creas más conveniente. ¿Qué criterio has seguido a la hora de decidir qué cifra se va a redondear?

NÚMEROS

4. Números fraccionarios: concepto y representación

Las fracciones, al igual que los números decimales, nos permiten representar partes de la unidad.

2 [ i p p i l 73

Existen otras definiciones equivalentes:

• La fracción se puede identificar como un número decimal, resultado de div idir el num erador entre el denominador.

• La fracción se puede considerar un operador, al poderse calcular fracciones, , 3 . in n 3 • 100 _ ie-de números, como — de 1UU = — -A— — i d .4 4

Podemos clasificar las fracciones en:

• Propias: el num erador es menor que el denominador.

“ 3 * 1< 3 T ^ 2 < 5• Im propias: el num erador es m ayor que el denominador.

3 9— * 5 > 3 i ~3

9 > 4

N úm eros enteros: el num erador es m últip lo del denominador.4? 4 :2 = 2 £ Z

Para representarlas en la recta numérica, transformaremos la fracción en nú­mero mixto, observaremos de cuántas unidades completas consta la fracción y dividiremos la última unidad incompleta en tantas partes como diga el de­nominador, cogiendo tantas como diga el numerador. Para dividir la unidad de forma exacta en el número de partes deseado emplearemos el teorema de Tales, ayudándonos de un segmento auxiliar de la medida que queramos.

-2 - 1 I 0 23 J

Fracciones equivalentes: diferentes fracciones que representan la m ism a parte del todo, el m ismo número decimal.

Podemos obtener fracciones equivalentes por amplificación o por sim plifi­cación.

10

12 120: 3

A m p lif ic a c ió n :- = - = ^ = 16()... Sim plificación: 1218

10

6 2

;2 \fracción irreducible

La comparación y ordenación de fracciones se realiza mediante la obtención de fracciones equivalentes con el mismo denom inador, com parando u ordenando los numeradores posteriormente.

RECUERDALas fracciones impropias se pueden expresar mediante números mixtos. Para ello realizamos la división indicada del numerador entre el denominador y empleamos el cociente y el resto para construir el número mixto.

9 |_4_1 2

USA TU CALCULADORA

La tecla permite escribirfraccio nes, s i m p 1 i fi cari as, expresarlas en forma de número mixto y operar con ellas.

NÚMEROS

EJERCICIOS RESUELTOS_____________________________

1. Ordena de m enor a m ayor los siguientes números y fracciones:

1 2 2 j 1 0,25 f 0,8 f

Lo primero que debemos hacer es escribir todo del mismo modo, en forma de fracción o en forma de decimal.

Si lo hacemos en forma de fracción, tenemos que:

j ; 1; 0 ,2 5 = ^ ^ - = ^ ; y ; 0,8 = - ^ = |-; ~ m cm (3 ,1 ,4 ,5 ) = 60

Por tanto, las fracciones equivalentes que emplearemos para ordenar las fracciones son:

I 20 1 = 6 0 n _1_J_5_ 1 = 2 4 O o = l = 48 3 = 45 3 6 0 ’ 1 6 0 ! ’ 4 6 0 ’ 5 6 0 ’ ’ 5 6 0 ’ 4 60

1 9 3Así, el orden solicitado será 0,25 < y < < 0,8 < 1.

F JFRCICIQS

9. ooo Escribe la fracción que corresponda a cada uno de los siguientes diagramas.

c)

12. moo Obtén tres fracciones equivalentes a cada una de las dadas por amplificación y obtén también sus fracciones irreducibles.

7 21

b)

0

d)

4832

60

16599

10. ooo Calcula:

a) 1 1 de 504 y | de 1 095

W - ly de 162 d) -j— de 91

11. ooo Utiliza el teorema de Tales para representar las siguientes fracciones en la recta graduada:

c) 115

1 3 .0 0 0 Ordena los siguientes números de mayor a menor:

_7___2____ 3_ A __5 _ 125' 15' 10' 5 ' 6 ' 3

1 4 .0 0 0 Patricia ha cortado un tablón en 16 partes ¡guales y ha tomado 12 de ellas. Tomás ha cortado un tablón idéntico al de Patricia en 20 trozos iguales. ¿Cuántos trozos debe tomar Tomás para tener la misma cantidad de madera que Patricia?

3

NÚMEROS

5. Números fraccionarios: operacionesSuma y resta

Para sum ar y restar fracciones necesitamos que tengan el m ismo denom i­nador. Para ello, reduciremos las fracciones a común denominador y una vez conseguido operaremos los numeradores y conservaremos ese denominador común.

Producto

El producto de fracciones es otra fracción de num erador el producto delos numeradores y denom inador el producto de los denominadores.

a_ c__ a-c b d b- d

Cociente

Para div id ir dos fracciones, m ultip licam os la prim era por la inversa de la segunda, es decir, el cociente de dos fracciones es una fracción tal que sustérminos se obtienen al m ultip licar en cruz los de las fracciones originales.

a_' c_ _ a_ d_ _ a ■ d b ’ d b c b - c

Operaciones combinadas

RECUERDA

Los resultados de las operaciones se deben expresar en forma de fracción irreducible.

RECUERDA

La fracción inversa

de una fracción 7- es: bJ_= b a_ a b

A la hora de realizar operaciones combinadas se debe respetar siempre la siguiente jerarquía en las operaciones:

1) Se hacen las operaciones del in terio r de los paréntesis y corchetes, empezando por los más interiores si hubiera varios encajados.

2) Productos y cocientes, de izquierda a derecha.

3) Sumas y restas.

USA TU CALCULADORA

Puedes combinar las teclas ab/cQ y para realizar

operaciones con fracciones.

FJFRCICIOS RFSIJFLTOS

1. Realiza las siguientes sumas y restas:

~ 3 + f ~ 1+ f

a)

b)

2 , , 3 , 3 = 16 120 15 40 30 - 9 95 8 4 40 40 40 40 40 40

= 1 , _5_ + l = i 2 , J _ , i 8 = 3512 2 12 12 12 12

— ] + — 12/ 10-Ac = l - h H r =

NÚMEROS

EJERCICIOS RESUELTOS_______________________________

2 . Calcula los productos y cocientes que se m uestran a continuación:

a w

b) — •? = — 7 8 16

c j 3 : j7 5 6 2

j) - 2 35 d ) ~ - i

n - 2 35 -7 0 - 7 7 5 4 20 2

7 7 • 21» 4 8 84 3

C / ' 2 \ 56 2

3. Opera.

a)i +3[=r +í :5)+ f 4 ^1 + f +l :(Í- f ‘14)'21 , , / - 2 , 1 , \ , 2 4 _ 1 , , 1 -2 1 \ , 14 _ 1 , , / - 10 L 1 \

^ 2 3 ( 3 + 3 -5) + 7 • 7 2 ' \ 3 1 1 5 / 2 8 2 + J '( 15 + 15/15 + 1 5 Í+ 2 2 + 3 ‘ ( 5 ) + 2

1 9 1 _ 5 18 | 5 —8 —42 5 2 10 10 10 10 5

¿ ; i + 2 + 3 ; ( 1 _ 6 . 14) . 2 = i + 2 + | ; ( ^ _ |2 ) . 2 = i + | + 3 : — j -2 = 1 + — — —2 5 115

115 46115 115

12115

149115

E JFRCICIQS_________________________________________________________________________15. «oo Realiza las siguientes sumas y restas de frac- 17. ««o Calcula el resultado de cada una de las opera-

dones: dones combinadas siguientes

a; -5 -+ 23 18 27 Cy> 12 1 18 20 o(ar+* K t-í)

M 13 7b 15 12

d j ± _ 2 + 5 _ 1 1 J 4 9 6 12

16. »00 Efectúa los siguientes productos y cocientesde fracciones:

a) 5 - 21 J 14 20 c) 25 3 1512 ' 4 : 16

M 7 14b) 60 • 45 d) 7 5 4

18 • 36 ' 15

18. ®«o Un pilar de una casa tiene tres tramos diferen­ciados: los cimientos, la planta baja y la primera

iplanta. -4- de su altura pertenece a la planta más

alta, siendo esta parte de 3 metros. Calcula la longi­tud del pilar que está bajo tierra sabiendo que la

iparte de la planta baja mide y de su altura total.

NÚMEROS

6. Fracciones y decimales6.1. Paso de fracción a decimal

Para obtener el número decimal que equivale a una fracción, dividirem osel num erador entre el denom inador, pudiéndonos encontrar tres casos:

•N úm ero entero: si el num erador es m últip lo del denominador.

• Decimal exacto: cuando, basándonos en la fracción irreducible, el deno­m inador solo tenga como factores primos 2 y 5.

• D ecim al periódico: si observando la fracción irreducible, vemos que el denominador tiene algún factor primo distinto del 2 o 5. En concreto, si el denom inador no contiene ninguno de estos dos factores, el decim al será periódico puro, y si contiene a alguno de ellos será periódico mixto.

OBSERVALa fracción generatriz de un decimal exacto tiene por numerador el número sin la coma y por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.

?3Por ejemplo, 2,3 = qqr

6.2. Paso de decimal a fracción

Definimos fracción generatriz de un número decimal como aquella tal que al d iv id ir su num erador entre su denom inador proporciona ese número decimal.

• D ecim al exacto: N= 2,57

100/V= 257 — »-

•D ecim al periódico puro: N= 3,21

10(W = 321,212121...

N= 3,212121...

OBSERVALa fracción generatriz de un decimal periódico puro tiene por numerador la diferencia entre el número sin la coma y el número formado por la parte entera, y tiene por denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo.

31,6 = 316-319

285 = 95 9 3

Restando: 99/V=318 — »• W = =

• D ecim al periódico m ixto: N = 3,8 12

10007V= 3 812,121212...

10/V = 38,121212...

Restando: 990/V = 3774 N = 3774990

629165

OBSERVALa fracción generatriz de un decimal periódico mixto tiene por numerador la diferencia entre el número sin la coma y el número formado por la parte entera y el anteperiodo, y por denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo y ceros como cifras tenga el anteperiodo.

31,2 16 =

30 904

3121 6 -3 12990

15452990 495

NÚMEROS

F IF R f l f lO S R F S M F IT fK

1. Pasa de fracción a decim al y clasifica el decim al obtenido.

„) 25 a ) ~9

b)lsa)

* 14b)

d ) 365 ' 11c)

d)

25a) - q- = 2 ,7 , periódico puro.

_9_25

655 = 4 6 ,7 857142 , periódico mixto

j j = 3 3 ,1 8 , periódico puro.

14

365

2. Obtén la fracción generatriz de los siguientes decimales.

a) - 3 ,2 6

b) 13,22222...

c) 21,0656565... a) N= —3,26

b ) N= 13,2

Restando:

cj N = 21,065

Restando:

100N = -3 ,2 6 N= —326100

16350

ION = 132,2222...

N = 13,2222...

1 1997V = 119 — ► N = Jy ~

1000N = 21065,656565 ...

ION = 210,656565...

990N =20 855 — * N

F i F R r i n n s _______________________________

19. ®oo Clasifica los siguientes números decimales:

a) 0 ,000483

b) 4 ,023

c) -53 ,301

d) 1 404,796

e) 1426,9

f) -4 6 3 ,5

20. <aoo Indica si el número decimal que corresponde a cada fracción es decimal exacto, decimal periódico puro o decimal periódico mixto.

d) 21

21. ©30 Halla la fracción generatriz correspondiente a los siguientes números decimales:

b) 6,84a) 36,25 c) 0,513

NÚMEROS

7. Números reales7.1. Números racionales e irracionales

Todos los núm eros que se pueden expresar por medio de una fracción constituyen el conjunto de los números racionales, que se denota Q. Está, por tanto , form ado por los naturales, enteros, fracciones y decim ales exactos o periódicos.

Sin embargo, existen algunos números que no son racionales, por ser no periódicos ni decim ales exactos; es decir, constar de infin itos decim ales que no se repiten periódicam ente. Este conjunto de números se denota con la letra I y constituye el conjunto de los números irracionales.

Si unimos los números racionales y los irracionales, obtenemos los números reales, R.

7.2. Aproximación de números reales irracionales

Cuando tratamos con números irracionales podemos decidir trabajar con ellos de forma aproximada, pues contienen infinitas cifras decimales.

Estas aproximaciones se pueden realizar de dos formas distintas:

• Por defecto: aproximamos por un número menor que el real (es el caso del truncamiento, o del redondeo si la cifra siguiente a la posición marcada es inferior a 5).

Aproximaciones por defecto de f 2 :

1 1,4 1,41 1,414 1,4142

• Por exceso: aproximamos por un número mayor que el real (es el caso del redondeo si la cifra siguiente a la posición marcada es igual o mayor que 5).

Aproximaciones por exceso de -Í2 :

2 1,5 1,42 1,415 1,4143

Cuando aproximamos un número por otro, cometemos un error que se puede cuantificar. Recordamos que podemos definir dos tipos de errores, el absoluto y el relativo.

FJFRCICIOS RFS1JFI TOS___________________________________________________________

1. Aproxima por defecto el número 71 con tres cifras decimales e indica el error absoluto y el error relativo que se comete. Después redondea dichos errores a las diezm ilésimas.

La aproximación buscada será 3,141.

Error absoluto: Ea = 171 —3,14 11

t. , • n ITU — 3 ,1411 Error relativo: ^ ------

Las aproximaciones son: Ea ^ 3,1416 — 3,141 = 0 ,0006 y Er ^ = 0 ,0002 .

NÚMEROS

7.3. Comparación y representación en la recta

Los números irracionales que no son raíces no exactas se representarán de forma aproximada, como lo hemos hecho con los números decimales.

0 1 2| 3 0 1 2 3| 42,12345678... K

Para la representación de raíces no exactas podemos em plear un método exacto y no aproximado como el anterior. Consiste en construir un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea la raíz que queremos representar.

Para comparar números reales, optaremos por su representación decim al, extrayendo tantas cifras decim ales como sean necesarias.

OBSERVAToda raíz se puede representar de forma exacta a partir de la raíz del número anterior, tomando esta como cateto, junto con el 1.

FJFRflCIOS RESUELTOS_____________________________________________________1. Representa los siguientes números irracionales, de forma aproximada o exacta según corresponda.

a) 3,91011121314... b) Í6

a) Realizaremos una representación aproximada, escogiendo una escala adecuada para situar mejorel número real.

— i------- 1-------1-0 1 2

b) Para representar /ó necesitamos realizar dos pasos: en el primero calcularemos la posición de J~5 .

i\

o i :>1 3Ss

3 4

Una vez que tenemos \Í5 , lo emplearemosobtener J 6 .

i\i0 1 2 V 6 3

/ 5

F JFR flflO S _____________________________22. »«o Redondea a dos cifras decimales los siguientes

números. Después aproxima por defecto el error absoluto cometido en las aproximaciones con tres decimales.

a) <(> =1 + / 5

2

23. • • o Indica el número que está representado en cada caso.

b) /T T 24. • • o Representa de forma aproximada sobre la recta los números siguientes:

a) 6,101 100111000... b ) - / 3 c) 2 + v'T

9

NÚMEROS

8. Intervalos y semirrectas8.1. Intervalos

Un intervalo es una form a de agrupar todos los núm eros reales com ­prendidos entre dos, llam ados extremos. En función de si los querem os considerar o no en el intervalo, encontramos la siguiente clasificación:

• Intervalos abiertos

Los intervalos abiertos son aquellos en los que no queremos inclu ir los extremos del in tervalo . Se denota entre paréntesis y con los extrem os separados entre comas, ordenados de menor a mayor.

Por ejem plo, si querem os expresar de forma abreviada «el conjunto de números mayores que —1 y menores que 3», podemos hacerlo m ediante una representación en la recta:

----- 4------------ 1-------------1-------------1------------$------- 1 0 1 2 3

mediante una expresión algebraica: jc g R tales que — 1 < x < 3 o mediante el uso de intervalos, j G (-1 ,3 ) .

• Intervalos cerrados

Los intervalos cerrados son aquellos en los que queremos incluir los extremos del intervalo. Se denota entre corchetes y con los extremos separados entre comas, ordenados de menor a mayor.

Por ejemplo, escribamos de las tres formas anteriores «el conjunto de los números comprendidos entre 2 y 5 incluidos».

------ 1-------------1------------ 4------------ 1-------------1------------4------0 1 2 3 4 5

x G R tales que 2 < x < 5 (m ediante expresión algebraica)

x g [2 ,5 ] (m ediante intervalos)

• Intervalos semiabiertos o semicerrados

Los intervalos semiabiertos o semicerrados son aquellos en los que queremos inclu ir solo uno de los extremos del intervalo. Se denotan m ediante un paréntesis y un corchete y con los extremos separados entre comas, ordenados de menor a mayor.

Por ejemplo, escribamos de las tres formas anteriores «el conjunto de los números mayores o iguales que —5 y menores que —1».

----- ♦----------- 1------------1------------1----------- ó----------- 1------------1------------1------- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2

i g M tales que — 5 < x < — 1 (m ediante expresión algebraica)

x G [ - 5 , - 1 ) (m ediante intervalos)a

O BSERVA

El paréntesis indica que el extremo que está colocado junto a él no se incluye en el intervalo, mientras que el corchete lo incluye.

2i

NÚMEROS

8.2. Semirrecta

Una sem irrecta es una form a de agrupar todos los núm eros mayores o menores que otro. En función de si lo querem os considerar o no en la semirrecta, encontram os la sigu iente clasificación, que sigue las m ismas notaciones que los intervalos anteriores.

• Sem irrecta ab ierta: el extremo no se incluye en la semirrecta.

Por ejemplo, escribamos de las tres formas anteriores «el conjunto de los números mayores que 2».

— I------- 1--------- 1--------P--------1-------- 1-------- 1-------- 1-------- 1-------- 1------- h—>- 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

jc e R tales que 2 < x (m ediante expresión algebraica)

x E (2. +oc) (m ediante intervalos)

• Sem irrecta cerrada: el extremo se incluye en la semirrecta.

Por ejemplo, escribamos de las tres formas anteriores «el conjunto de los números menores o iguales que 2».

— I------ 1---------1--------1--------1------- 4------- 1------- 1—- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

x E IR tales que x < 2 (m ediante expresión algebraica)

x E (—oo, 21 (m ediante intervalos)

FJFRCICIOS RESUELTOS___________________________________1. Escribe de las otras dos formas que conoces.

¿ J ^ e R tales que x > 3

c) H--P— 4-----1----- 1-----f - d) -H-----1-----1---- 4---- 1-----!-----1-----1-----H- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

OBSERVAEl infinito siempre va colocado junto a un paréntesis.

a) Se trata de una semirrecta, (3, +oo), cuya representación en la recta esH— I— I— P— I— I— I— I— I— K 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

b) Son los x E R tales que — 1 < x < 7, que se corresponden conH-----1---- 4---- 1---- 1--------1 1 1 1 1 P--1--- b-—3 —2 —1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c ) Se trata del intervalo (—5, —4], o de forma algebraica los x e R tales que — 5 < A"< —■4.d) Es la semirrecta (—oo, 0], o de forma algebraica los x e R tales que x < 0.

EJERCICIOS_____________________________25. «oo Escribe el intervalo [-2 , 3) y la semirrecta

(-oo, 11 en forma de expresión algebraica.

26. #oo Representa en la recta numérica el intervalo ( -3 , 01 y la semirrecta ( - 4 , +oo).

27. @®o Cl Escribe un intervalo abierto de longitud 0,5 que contenga al número n. Ahora escribe otro de longitud 0,1. Por último, escribe un intervalo que lo contenga y tenga longitud 0,001.

Saber más

Operaciones con intervalos: unión e intersecciónLa unión consiste en juntar, en un ir los intervalos que se operan.

[ - 1 , 0) U (3 ,5 ) [ - 3 ,5 ] U [3 ,6 ) = [ - 3 ,6 )—♦-------O--- 1--------- i------ O------ 1------ O— —♦------ 1---------1------- 1------1-------- 1------ *------ 1------ ♦— o—- 1 0 3 5 - 3 0 3 5 6

La intersección consiste en seleccionar la parte com ún a los intervalosque se operan.

(3,8) n (4,9)—I-----1----- i----O------ 1---- 1----- 1----- 1----- O------1—0 3 8 9 __

— 0—I---1---1--1---- O--1---1---1---1—o-0 1 4 9

(4, 8)

-O---1---1---1---O---h4 8

OBSERVAPara hacer referencia a números aislados y no a intervalos completos, emplearemos la notación {}.Así, hacer referencia a los números reales 2 y 5, lo escribiremos {2, 5}.

EntornoExiste una tercera forma de representar un conjunto de números reales: por medio de entornos.Un entorno de radio r y centro c es el conjunto de números reales que distan de c menos de r unidades.Se denota E(c, r), donde c y r son números reales, siendo r positivo.

E(c, r) = (c — r, c + r)E(2 ,5 ) representa a los números reales que distan del 2 menos de 5 unidades.

< 5 unidades < 5 unidades% I | | | i , | | | t Equivale al intervalo ( - 3 ,7 ) .

- 3 0 2 7Un entorno reducido de centro c y radio r es el entorno de mismo centro y radio del que hemos elim inado su centro.Se denota E*(c, r ) con c y r números reales siendo r positivo, y se verifica: E'{c, r ) = E(c, r) — {c}

< 2 unidades < 2 unidades, r , j, , l , £ * (-3 ,2 ) = E{-3 ,2 ) - { -3} = ( - 5 , - 3 ) U ( - 3 , - 1 ) = ( - 5 , - 1 ) - { -3}

- 5 - 3 - 2 - 1 0

EJERCICIOS__________________________________________________________________________

28. #oo Realiza las siguientes operaciones con inter­valos:

a; [-2 ; 3) U (-2,5; 5) c) [-2 , 6] n (3, 7)

b ){-2 , 5)U(4, 6) d) (6; 8) n (7,5; 9)

29. ««o Escribe en forma de intervalo los entornos que se dan a continuación:

a ) E (-2,5) c)E( 1,1)

b) E’(2, 3) d) F (0; 0,5)

30. o©© Escribe, si es posible, en forma de entorno los siguientes intervalos:

a) [0, 2]

ó; (-2,5; 3,75)

c) (9, 11)-{9 ,5 }

d) (-5 , 7) — {1}

e ) (-8 , —2) U (—2, 0)

f) (—5, 2) U (2, 9)

Síntesis NUMEROS

Concepto

Númerosracionales

Númerosreales

Númerosirracionales

Intervalos y semirrectas

Representación

Decimales y fracciones

Concepto

Representación

Aproximaciones y errores

Abiertos

Cerrados

Semiabiertos o sem ¡cerrados

Naturales, enteros, fraccionarios y decimales exactos o periódicos

Tiposdecimales

Fraccióngeneratriz

Exacto2,5

2510

Periódico puro 1.3

3 - 119

Periódico mixto 2,315

2 3 1 5 -2 3 1 2084 521900 900 225

Raíces no exactas, decimales no periódicos

tS 1 10 f Z 2 37T 4

Truncamiento

3,25 ^ 3,2

E = 13,25 — 3,21 = 0,05

£ ' = y ^ = 0 -015

( -3 ,2 )

[ -2 ,5 ]

( -2 ,3 ]

[ 1, +oo)

-Ó — b -3

H-----1---- 0 -0 2

H— I— I— h-2 0

-2 0

0 1

Redondeo

3,25 % 3,3

E =13,25-3,31 = 0,05

£ ' = T B " = 0,015

- 3 < x < 2

- 2 < x < 5

- 2 < x < 3

x>\

Ejercicios y problemas

Ejercicios iniciales

31 .9®o @ CC Algunos de los números irracionales más utilizados reciben un nombre o símbolo propio, como n (pi), e o (|) (phi). Averigua cuál es el valor aproximado de estos tres números y por qué reciben esos nombres.

N úm eros en teros

32. 900 CL Asigna un número entero a cada una de las siguientes situaciones:

a) El segundo sótano de un edificio.

b) Un submarino está a 500 metros de profundidad.

c) Este mes he cobrado 1 200 euros.

d) La temperatura actual es de 5 grados bajo cero.

e) Rubén me debe 46 euros.

f) El cohete ascendió hasta los 20 000 metros de altura.

33 .900 Indica qué números enteros están representados en la siguiente recta numérica:

—I----1---- !----1----1---- 1---- 1----1----1---- 1---- 1----1----1----1----1---- 1----1----h-0

34. #oo Representa los siguientes números enteros en una recta y utiliza esta representación para ordenarlos de menor a mayor.

- 7 , 2 , - 8 , - 1 , 3, 5, 1 , -6 , - 4 , 6 ,0

35. ®oo Efectúa las siguientes operaciones con números enteros:

a) -1 + 2 ■ (—4 + 1 2 ) : (—4)

b) [2 + (— 1)] • (—2 + 3 — 9)

c) [—3 + 5 • (—1) 4- 6] • (—1)

d) - 4 + (-2 ) -10 : ( -5 ) + 6 : (-3 )

36. ®oo Realiza las operaciones con números enteros que se indican a continuación:

a) [(-3 ) • (-6 ) + (-5 ) • 4] • [ -2 + 3 • (-4 ) + 1 ]

b ) [6 : ( -2 - 1) + 4 ]: ( -5 + 3) - 4 • (-8 )

c) 15 — (— 1 + 8 + 6 - 4 — 11)- (—2)

d) 3 • (-11 ) + 4 : (-2 ) + (-1 2 + 7)- (-2 )

37. @®o Calcula los resultados de las siguientes opera­ciones combinadas de números enteros:

s) (—2)2 • 3 - (4 - 5) • ( -4 )

b) (—2)3- (—3) + (—5 — 3) • (1 — 3)2

c) —2 • (6 — 10) — [(—4)2 — (2 - 5)2]

d) - 6 • 5 + ( -3 )“ : ( -2 7 ) + ( - 6 )2: 22

N úm eros decim ales

38. ®oo Realiza las siguientes sumas y restas con números decimales:

a) 42 ,125 + 36,45

b) 38,25 - 6 ,4 2 8

c) 321,3 + 2 5 ,7 8 -1 4 ,3 7 1

d) 1,023 -3 ,6 4 1 2 + 0,14

39. ®oo Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones de números decimales:

a) 3 9 ,1 2 -2 ,4

b) 2 ,41 01 -0 ,000036

c) 3 8 3 ,6 :4

d) 0 ,1 5 2 4 :0 ,0 0 6

40. ®oo Representa, de forma aproximada, en la recta numérica los siguientes decimales:

- 2 ,2 1,3 0,7 - 0 ,2 5

41. #oo Clasifica los siguientes números decimales como exactos, periódicos puros, periódicos mixtos o no periódicos:

a) 12 ,333333...

b) 3 ,50265

c) 1,23456789101 1 12...

ó; 0,0002222...

ejO, 12122122212222 ...

f) 2 ,3333

g) 0 ,45454545 ...

h) 143 ,2635635635 ...

42. m oo Escribe los siguientes números decimales utilizando un periodo:

a) 213,444444... c) 12,3123123123...

b) 0,231313131... a9 61,616161...

43. ««o CA Los siguientes números periódicos están escritos de forma incorrecta. Indica la causa en cada caso.

a) 3,61 c) 0,33

b) 85^3 d) 456,28

44. «ooTrunca y redondea los siguientes números a la cifra que se indica en cada caso:

a) 135,8 a las centenas

b) 394,71 a las unidades

c) 87,569 a las décimas

d) 0,0197 a las milésimas

45. ®oo Redondea los siguientes números con 3 cifras significativas:

a) 371 026 cj 8025361

b) 0,0001 5236 d) 0,000000049671

48. @®o CC Hasta hace unos años se estimaba la longitud de la Gran Muralla China en 7 300 km, pero gracias a un estudio reciente en el que se utilizaron instru­mentos de precisión, hoy sabemos que la longitud exacta es de 8 851,8 km.

Calcula el error absoluto y relativo cometido en la estimación anterior al estudio.

49. ©®o CA Dados los números a = 3,5283 y b = 4,641:

a) Aproxima a y ó por redondeo a las décimas y suma los resultados.

b) Suma a y ó y redondea el resultado a las décimas.

c) ¿Qué resultado es más preciso, el del apartado a o el del b?

50. 9 9 0 CD El modo FIX de las calculadoras científicas nos permite prefijar el número de decimales que se van a presentar en pantalla, redondeando a la última de ellas.

Elige este modo en tu calculadora, para que se muestre un único decimal y realiza la operación 3,5283 + 4,641 del ejercicio anterior. ¿A cuál de los resultados obtenidos anteriormente corresponde lo que se muestra en pantalla? ¿Por qué?

N úm eros fraccionarios

46. ®®oCI En la mayoría de las situaciones en las que se hacen cálculos con euros, se realizan redondeos de todas las cantidades a las centésimas, pues el céntimo es la cantidad más pequeña que nuestro sistema monetario soporta. Sin embargo, hay situa­ciones en las que, a pesar de hablar de euros, se utilizan más cifras decimales.

51 .oooCalcula el resultado de aplicar las siguientes fracciones como operadores:

de 740 c) de 84 4

de 469 c / j | | de 270

Busca dos de estas situaciones y explica por qué se utilizan más de dos decimales.

47 .990 Calcula el error absoluto y relativo cometido en cada una de las siguientes aproximaciones:

a) 721 369 se aproxima a 700 000.

b) 35 879 412 se aproxima a 36 000 000.

c) 5,71305 se aproxima a 5,7.

d) 0,0472668 se aproxima 0,05.

52. Q9o Representa en la recta real los siguientes números fraccionarios:

5 3 . 0 0 0 Clasifica las siguientes fracciones en propias, impropias o números enteros:

a) J 4a; 17

d) 13

b ) -

e) -

2525

1 111

C) 23

12532

Ejercicios y problemas

54. moo Escribe como número mixto cada una de las siguientes fracciones:

d) 2513

55. 990 Representa los siguientes números fraccionarios en la recta real:

62. 900 Realiza las siguientes sumas y restas de fracciones:

a) 1 1 4. J _ _ 1 + Z 7 12 + 16 8 + 6

b) ± - 1 7 15 5

J - + 1 10 6

r) _ 1 9 . 1 , 3 __3_ , 5 7 20 5 2 10 4

d) — — — +1 — — + — 7 6 9 1 2 3

56. #oo Obtén, de cada una de las fracciones siguientes, las cuatro fracciones equivalentes a ella por amplifica­ción que tengan los números más pequeños posibles:

a) 1015

57. «oo Escribe todas las fracciones equivalentes a las del enunciado del ejercicio anterior, que se obtengan por simplificación.

58. 900 CD Utiliza tu calculadora científica para simplificar las siguientes fracciones. Recuerda que debes utilizar la función para introducir la fracción.

a)

b)

12648

9628

0

d)

105735

512384

59. ««o Ordena de mayor a menor las siguientes fraccio­nes, utilizando la reducción a común denominador:

1 1 _8_ 5_ J _ _5_2 0 ' 15 ' 6 ' 10 ' 12

60. ««o Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor, reduciéndolas previamente a común denomi­nador:

1 _ 1 _ H H _ 26 ' 4 ' 8 ' 2 ' 12 ' 3

61. «oo Realiza las siguientes operaciones con fracciones y simplifica los resultados:

1125

c; 4 5 .2 4 7 16 27

_5_14

d) 1 5 . 4 5 7 28 • 49

63. 990 Efectúa las siguientes sumas y restas combinadas de fracciones, simplificando los resultados cuando sea posible:

64 .990 Calcula el resultado de las siguientes operaciones combinadas con fracciones, simplificando cuando sea posible:

I fH iM M )

7 21 20 • 15 56

d) ~ ( j 2 + J 6 )l + 2A'2 '~ 1

65. • • • Realiza las siguientes operaciones con fracciones. Simplifica si es posible.

11 5

4 612 9

c) 47 18 3

i + i 8 6

10 3 1 - X153 9 5 d)7 1 - 1 10 1 36

12 ‘ 5

b) - } 2 - 1 #z 3 ' \ 5_215

que se muestra en su pantalla.

* 4 b) 1112 c) 11

63 d) 1Z54

67.©©® Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones:

68. ©oo Contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántos litros de vino hay en 160 botellas de

1 de litro cada una?4 o

b) ¿Cuántas botellas de ^ de litro necesitaremos para

embotellar 225 litros de vino?

69. ©@o Una novela consta de 4 capítulos y de un prólogo.

Los capítulos ocupan 4-, 4- y del total de pági­

nas del libro, respectivamente. Calcula de cuántas páginas consta la novela sabiendo que el prólogo tiene 12 páginas.

o70. ©oo El curso pasado, en cierto instituto, — de los

alumnos de 3.° de ESO promocionaron al siguientei

curso con todas las materias aprobadas, y - ry promo­cionaron con alguna suspendida.

a) ¿Qué fracción de los alumnos de 3.° de ESO pro- mocionó?

b) ¿Qué fracción de los alumnos que promocionaron lo hicieron con todo aprobado?

73. ®®o CA Sabemos que a una fracción determinada le corresponde un número decimal periódico. ¿Cuántas cifras como máximo puede tener el periodo?

74. ®#o Halla la fracción generatriz irreducible de cada uno de los siguientes números decimales:

a) 4,62 b) 18,48 c) 0,9432

75. moo Ordena los siguientes números de menor a mayor, escribiéndolos previamente todos en forma decimal:

j ; - 2 ; 0,16; —¡ y ; - 1 ; 0 ,5

76. ®#o Cl Escribe todos los números del ejercicio anterior en forma fraccionaria, y comprueba, haciendo denomi­nador común, que el orden obtenido anteriormente es el correcto.

77. • • • Realiza las siguientes operaciones con números decimales, obteniendo previamente las fracciones generatrices de cada uno de ellos:

a) 0,6-0,5 + 0,21 :1,1 b) — 1 -1 0 ,7 :7 ,1 53,02

78. © • • Cl Obtén la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales. ¿Qué observas? ¿Podemos decir que la representación decimal de un número es única?

a) 0,9 b) 3,9 c) 1,269

71. ®oo Clasifica los números decimales correspondientes a cada una de las siguientes fracciones, en números enteros, decimales exactos, decimales periódicos puros y decimales periódicos mixtos, sin realizar la división.

a) 15 ' 32 c )J T e.

50g) —— y 27

b ) - l i 7 18 d ) - f í ) l !

' 91h )2 L' 35

N úm eros reales

79. #oo @ CL Los símbolos de los conjuntos numéricos estudiados son N, Z, Q, l y R. El origen de algunos de estos símbolos es fácil de adivinar, como N para los naturales, I para los irracionales y R para los reales.

Investiga en Internet de dónde proceden los símbolos Z y Q.

Ejercicios y problemas

80. #oo Completa con SÍ o NO la siguiente tabla:

5,1/"N

3,7 - 6 1,02136521... 3NZQIR

81. • • • Completa con SÍ o NO la siguiente tabla:

213 /¡3 l"

n2 7 - 6 / —

V 25

N

Z

QI

R

82. #oo CA Realiza las aproximaciones por defecto y por exceso del número n a las unidades, décimas, centési­mas, milésimas, diezmilésimas, cienmilésimas y millo­nésimas.

87. • • • Representa en la recta real el número 7 11 .

88. • • • Representa en la recta real el número y 19 .

89. #oo Ordena de menor a mayor los números

/ 2 , y• n

In tervalos

ñ .2

90. ##o Escribe en forma de intervalo o semirrecta los siguientes conjuntos numéricos:

a) x g R tales que x > 5.

b) x e R tales que -1 < x < 3.

c) x e R tales que x < —2.

d) x e K tales que - 5 < x < - 3 .

91. « « o Representa en la recta real los siguientes intervalos y semirrectas:

a ) ( — 1 , + c o )

b) [ -2 , 5)

83. ««o CA ¿Podríamos determinar de forma exacta el error absoluto cometido al aproximar un número irracional? ¿Por qué?

84. • • • CA ¿Cuál es el máximo error absoluto que se podría cometer al aproximar por redondeo un número a las décimas? ¿Y a las centésimas?

c) (0; 3,5)

d) ( og, 4)

92. 990 Expresa de forma algebraica los números incluidos en los siguientes intervalos y semirrectas:

a) [ 1,6] c) ( -5 , +oo)

b) (-oof - 2 ] d) ( - 7 , - 4 ]

85. • • • @ CCT Calcula la distancia que recorre la Tierra a lo largo de un año; es decir, la longitud de su órbita. Por simplicidad, vamos a suponer que dicha órbita tiene forma circular, ya que aunque en realidad es elíptica, se aproxima mucho a una circunferencia de radio 149 430 576 km.

Busca en Internet el número n con 20 cifras deci­males y utilízalo para realizar los cálculos. Después, usa la aproximación 3,14 para tí y compara los re­sultados.

86. 990 Representa en la recta real el número TTo .

93. »#0 Indica a qué intervalos o semirrectas corresponde cada una de las siguientes representaciones en la recta real:

♦ 1- 8 - 7

H— 1— 1— 1— i— l— i— 1- - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1

H— I— I—r 2 3 4 5

-1— f-6 7

H— 8 9

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3 -2 -1 0 112 3

-3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

SABER M Á S____________________________

97. ««o Realiza las siguientes uniones de intervalos ysemirrectas:

a; (1,3) u (2, 4]

b ) [ - \ , 1) u [0, 3)

c) (—2, 0] U [0, +oo)

d) (—2, 1) U (—oo, 5)

98. #«o Realiza las siguientes intersecciones de intervalosy semirrectas:

aj (-oo, 1 ] n [ - 2 , 3 )

b) [ -4 , - 1 ] n [-2 , 0]

c) ( -2 , 5) n [6, +oo)

O f ; [ -3 ,0 )n ( - l ,+ o o )

99. • • • Escribe en cada caso un intervalo o semirrectaque verifique la igualdad correspondiente.

a) [ -2 , 6) UIH]= [ -3 , 6)

b ) {0, 5 ]n c = l = (0l 4)

c) U 3 U [ - 2 , 5] = (-oo, 5)

d) O n [ - 1 , 2 ) = [0, 1]

100. 9 0 0 Escribe a qué intervalos corresponden los siguientes entornos:

a ) E( 1,2)

b) E (-2, 5)

c) £(3,5; 0,5)

d) E (-1,4)

101. «00 Escribe en forma de entorno los siguientes intervalos:

aj ( - 1 ,7 )

b) (0, 6)

c ) ( - 4,10)

d) ( -3 , 2)

102. «»o Escribe los siguientes conjuntos en forma de intervalo reducido, cuando sea posible:

aj ( - 5 , - 1 ) - { - 3 }

b) (-oo, 2)

cj (—2, 1) U (1,4)

cO (—1,5 ) — {3}

Prepárate para las pruebas

¿En cuál de las siguientes opciones 78,2437 está redondeado a la centésima más cercana?

A. 100 B. 80 C. 78,2 D. 78,24 E. 78,244TIMSS

Ordena de menor a mayor los siguientes números:

a ) -1; 0 ,6 5 ;-2 ,6 5

b) / 5 ; - 1 ; 2 ; - / 3

( - 2)2Calcula el valor de A, dando el resultado en la forma más sencilla posible A = 3 --------- t-

1 - —2

En el siguiente cuadro se dan las notas que los alumnos de 3 o B han tenido en el examen de Matemáticas:

Nota 2 3 4 5 6 7 8 9N.° alumnos 1 2 4 5 4 4 5 3

a) ¿Cuántos alumnos hay en la clase?b) Calcula la nota media del examen.c) ¿Qué porcentaje de la clase representa el número de alumnos que ha suspendido el examen?

CDI

Beneficios

Un negocio reparte los beneficios entre tres socios según el porcentaje que tiene en el negocio cada uno. El primer socio recibe la mitad de los beneficios, el segundo recibe la quinta parte y el tercero el resto de beneficios.a) Expresa, en forma de fracción, qué parte de los beneficios recibe el tercer socio.b) Si el segundo socio ha recibido 300 € de beneficios, ¿cuántos euros ha habido en total de beneficios?c) El primer socio, que tiene la mitad del negocio, cede la mitad de su parte a una hija suya. ¿Qué porcentaje del

negocio tendrá la hija?CATALUÑA

Ganancias y resultados

a) En las tres últimas semanas, Silvia ha ganado una media de 300 € semanales. Si la segunda y tercera semanas ha ganado las cantidades expresadas en la tabla siguiente, ¿cuántos euros ganó la primera semana?

Semana Primera Segunda TerceraGanancias ¿? 310 € 320 €

b) En el centro donde estudia Raquel calculan la nota final con el sistema ponderado siguiente:- El 70% de la nota se obtiene de la calificación del resultado del trabajo diario.- El otro 30% de la nota correspondiente al resultado de una prueba global.Raquel ha obtenido un 9 en el trabajo diario y un 7 en la prueba global.

Ponderación 70% trabajo diario 30% prueba globalNota obtenida 9 7

¿Qué nota ha obtenido Raquel?CATALUÑA

Evalúate

1. Haz una clasificación completa de los números siguientes:

(|) 3,02020202... - 5 /4 9

6 1,36789... Í3 - |

2. Representa en la recta de forma exacta:

a) y b) /TT

3. Representa en la recta de forma aproximada:

a) tí b) 5,1011011101111...

4. Ordena de menor a mayor los siguientes conjuntos de números:

a) .z41 Z 3 i l L

b) 1; 1,6?; 1,01; 1,019; 1,T

5. Encuentra la fracción generatriz en cada caso:

a) 3,8 b) 3,8 c) 3,008

6. Encuentra el decimal asociado a las siguientes fracciones y clasifícalo:

a) 1_321 c) 1Z

28

Realiza las siguientes operaciones:

a) (3 + 5,2 • 3,08): 1,29 (redondea el resultado de la división a las centésimas).

2 /r- 9 3b) 2 + ‘ (5 5 : 4 ) + 1

8. Aproxima a la unidad indicada:

a) 354,5845 (a las milésimas por redondeo).

b) 0,02548 (a las centésimas por truncamiento).

9. Calcula el error absoluto y el error relativo en las aproxi­maciones del ejercicio anterior.

10. Expresa los siguientes conjuntos de números de todas las formas posibles:

a) ( -5 , 2)

b) x tales que — 5 < x < 3

c) — i----- ♦--------1------ o------ i-------1-------1------1—- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2

d) (-OO, 35]

M atemáticas recreativas

1. Un profesor pide a sus alumnos que simplifiquen la

fracción . Un alumno sale a la pizarra y realizaD O 0 0 3

los siguientes pasos:26660 = 2660 = 260 = 20 = 2 66605 6605 605 05 5

El procedimiento es evidentemente falso; sin embargo,

es cierto que66 665

2666 266 26 = 2 6665 665 65 5

Encuentra fracciones que puedan simplificarse de la misma manera que el ejemplo anterior, pero equiva-

1 1 1lentes a — y -¡A, respectivamente. 2

2. Los números del 2 al 9 pueden ser expresados como fracciones en las que aparecen todas las cifras del 1 al 9, una sola vez cada una.

Por ejemplo, 13 458 6729 '

17 469 , 15 7685 823 ' 3 942 ’

Encuentra fracciones con estas características, cuyo resultado sea 5, 6, 7, 8 y 9.

3. Alicia parte del punto A hacia el punto C por la diagonal del cuadrado. Carla parte de A hacia C por el perímetro del cuadrado. Ambas, al llegar a su destino, regresan a A, de donde vuelven a partir hacia C, y así indefinidamente.

Si Alicia y Carla inician sus trayectos en el mismo momento y a la misma velocidad, que es constante, ¿cuándo volverán a encontrarse?

A

C