Hargrave

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Estudio teórico práctico de la aerodinámica de las cometas

celulares tipo Hargrave1

1. - Introducción. 2. - Descripción de una cometa celular usada en meteorología y en observaciones militares. 3. - Fuerzas que actúan sobre una cometa.

3.1. - Peso de la Cometa. Densidad de la cometa.

3.2. - Acción del viento sobre una superficie plana.

3.2.1. - Intensidad de la acción del viento sobre una superficie plana.

3.2.2. - Dirección de la acción del viento sobre una superficie plana.

3.2.3. - Punto de aplicación de la acción del viento sobre una superficie plana.

3.4. - Acción del viento sobre la cometa celular.

4. - Consideraciones sobre el equilibrio de una cometa celular 5. - Problemas prácticos. Uso de los diagramas.

5.1. - Dada una cometa disponer su brida de manera que para una velocidad del viento V, conocida, su ángulo de ataque tenga un valor i conocido.

5.2. - Calculo de la brida de una cometa dada, de modo que para un viento de

velocidad V determinada, el ángulo del cable con la horizontal tenga un valor conocido a.

5.3. - Rendimiento de una cometa. Calculo de la brida de una cometa dada, para

que con un viento de velocidad determinada V, proporcione el rendimiento máximo. 6. - Influencia del peso y el viento sobre el cable de retención. 7. - Problemas prácticos teniendo en cuenta el peso del cable de retención. 7.1. - Calcular la brida de una cometa dada para que con un viento V determinado y un peso de cable por metro conocido, de modo que el ángulo de éste con la horizontal al salir del torno, tenga un valor dado a.

1 Según SACONNEY, J.Th. (1909), Cerfs-volants Militaires, Paris, Nancy: Berger-Laurealt et Cie.

Estudio teórico práctico de la aerodinámica de las cometas celulares tipo Hargrave

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7.2. - Calcular la brida de una cometa dada para que, elevando un peso de cable por metro con un viento determinado V, proporcione el rendimiento máximo. Apéndice I: Determinación práctica del valor 1/n. Apéndice II: Determinación práctica del ángulo i y de los diagramas de las R e I. Apéndice III: La catenaria.


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1. - Introducción.


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2. - Descripción de una cometa celular usada en meteorología y en observaciones militares. La describiremos en palabras de Rojas2 y Lorente3: Rojas, la denomina Cometa Hargrave bicelular simétrica y "... esta constituida por la cometa propiamente dicha y por el cordaje que forma su brida o sistema de retención a cuyo extremo final o vértice de la brida o de la retención se enlaza el cable que la mantiene sujeta al torno de maniobra."

"La cometa consta de armadura o esqueleto y de telas que constituyen las superficies activas, sustentadoras y directoras; la armadura, por ligera que sea, presenta cierta resistencia al aire, resistencia perjudicial que hay que tratar de disminuir todo lo posible sin restar rigidez y resistencia al conjunto. La armadura, que ya hemos dicho que debe ser indeformable, se compone de cuatro 2 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Aplicación de las Cometas a la Meteorología, Madrid, Imprenta del "Memorial de Ingenieros del Ejercito", 11- 4. 3 LORENTE, J .M. (1927) "Crónica de un Viaje de Estudios (2ª parte)", Anales de la Sociedad Española de Meteorología, 1 (6), 172-173.


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largueros (de madera, de bambú o de tubo de aluminio) aa''', bb''', cc''', dd''', de cuatro bastidores: De igual material que los largueros, iguales al a, b, c, d, paralelos entre sí y perpendiculares a los largueros, enlazados a ellos sólidamente en sus extremos y en puntos intermedios, cuatro tensores de alambre de acero que enlazan dos a dos los vértices opuestos del paralelepípedo recto rectángulo que forma el conjunto, para obtener rigidez necesaria, tensores que se cruzan y se ligan en el centro de la armadura. Por la intercalación de los dos bastidores intermedios, queda el conjunto descompuesto en tres paralelepípedos recto rectángulos superpuestos" " La magnitud aa''', por ejemplo, es la altura de la cometa que representaremos por L; la a b, anchura de la cometa que representaremos por a y la a d, fondo de la cometa que representaremos por e. En general la separación aa' entre los bastidores superiores es igual a la a'' a''' entre los dos inferiores e iguales ambas al espesor e = ad de la cometa y la separación a'a'' entre los bastidores intermedios, es algo mayor que la que medía entre los bastidores extremos." El texto sigue explicando las zonas de la cometa que van recubiertas de tela, definiendo las superficies sustentadoras, las directoras y las nocivas.4

"...Los cuatro rectángulos de tela, aba'b', cdc'd', a''b''a'''b''', y c''d''c'''d''', que son heridos por el viento en la posición de vuelo de la cometa, constituyen las superficies sustentadoras; su suma expresada en metros cuadrados la designaremos por S. Los cuatro rectángulos laterales cubiertos de tela, ada'd', bcb'c', a''d''a'''d''', b''c''b'''c''', forman las superficies directoras de la cometa (que en la posición de vuelo quedan rozadas interior y exteriormente por el viento al penetrar este por las caras superiores abcd, a''b''c''d'' de ambas células... ...Por último como la cometa vista de testa presenta superficies tales como los espesores de

4 Superficies sustentadoras (S) son aquellas que generan la fuerza de sustentación, cuando la cometa se coloca en su posición de vuelo. Las superficies directoras( S1) garantizan el equilibrio transversal de la cometa en vuelo. Las superficies nocivas (s') son las superficies que ofrecen al viento en la posición de vuelo de la cometa, una resistencia perjudicial.


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los bastidores transversales las secciones rectas o cabezas de los largueros, los tensores que arriostran el conjunto, etc.,... tendremos en cuenta dichas superficies nocivas..." Por último, Rojas describe los tipos de brida5 que se colocan en estas cometas: "Brida o retención. Este elemento, de grandísima importancia, como se veremos más adelante, puesto que de su posición dependen en gran parte los efectos que se desee obtener con una cometa determinada, afecta formas muy diversas según el tamaño de aquélla, desde la brida más sencilla compuesta por dos ramales aV y aV de igual longitud que se sujetan a los dos largueros anteriores al terminar la célula superior y se reúnen en el punto V, vértice de la brida, hasta el tipo complejo, que consta de dos partes o hojas, formada la superior por ramales m a, enlazados a los extremos superiores de los largueros anteriores y a puntos intermedios del bastidor superior, mientras el inferior consta de ramales análogos nb sujetos a dichos largueros junto al borde superior de la célula inferior y a puntos intermedios del bastidor correspondiente.

De los puntos a y b de reunión de los ramales de ambas hojas, parten dos ramales aV y bV que, reunidos en V forman el vértice de retención o brida." "Algunas veces, en el ramal inferior bV se introduce un resorte elástico..." este elemento es también descrito en el trabajo de Lorente, quien al describir las bridas de las cometas empleadas en el Observatorio de Lindenberg en Alemania:

5 La brida es una estructura funicular que une el bastidor de la cometa con el cable de retención.


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" Las anillas Q y P están enlazadas entre sí por un haz de gomas que sirve para que automáticamente varíe el ángulo de ataque del viento contra la cometa." Antes Lorente había descrito un tipo de cometa particular que se usaba en Lindenberg, que era conocida como cometa de paraguas inglés, en alemán Schirmkastendrachen, por el tipo de tensor empleado en las celdas, leamos la descripción de Lorente: "Después de muchos ensayos se ha llegado en Lindenberg a adoptar un tipo de cometas que no es sino el de Hargrave modificado en su armadura. Sabido es que la cometa de Hargrave consta de dos celdas de tela, ABCDA'B'C'D' y FGHIF'G'H'I', sin techo ni piso, unidas entre sí por las varillas DF, CG, D'F', C'G'.

Pues bien la antigua armadura de esas cometas, construida por una serie de varillas que formaban las aristas de esas celdas, ha sido sustituida en Lindenberg por un eje central (EE' en la superior y otro análogo en la inferior) para cada una de ellas, de cuyos extremos parten varillajes formados por cuatro bastoncitos (EA, EB, EC, y ED y los correspondientes en los otros extremos) que terminan en las esquinas de esas celdas. Estos ejes EE' son de madera sólida y ligera y en sus extremos tienen un tornillo que corre más o menos el varillaje, siguiendo la dirección del eje, con el fin de poner tensa la tela. El varillaje está hecho de bambú o de otra madera ligera. Las aristas AB, A'B', BC, BB'... no están determinadas sino por alambre de acero, que queda tenso con los varillajes citados. Las dos celdas de tela, la superior y la inferior se unen entre sí por los bastoncitos DF, CG,


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D'F', C'G', también de maderas ligeras. Dos tamaños de cometas se usan: uno para la llamada principal, donde va colocado el metéoro grafo y otro para las cometas secundarias que se enganchan al hilo principal y le ayudan a subir. La primera tiene 10 metros cuadrados de superficie en su tela y lasa segundas ocho metros cuadrados" 3. - Fuerzas que actúan sobre una cometa. Dado el problema de estudiar el equilibrio en vuelo de una cometa tipo Hargrave, se hace necesario establecer una serie de hipótesis en cuanto a las fuerzas implicadas en el equilibrio. Saconney6 establece la existencia de tan solo tres fuerzas a considerar: "El peso del aparato, la acción del viento y la tracción del cable", de estas tres fuerzas considera las dos primeras "fuerzas activas", ya que dependen respectivamente de la naturaleza de la cometa y de la velocidad del viento. La tracción del cable es "... una fuerza pasiva que nace por la reacción del extremo del cable de retención, para equilibrar el cambio instantáneo de dirección e intensidad resultante de las dos primeras" Rojas7, hace una hipótesis adicional que Saconney da por supuesta en su obra: "... el cable de retención, es sumamente corto, para poder prescindir en estas nociones teóricas del peso propio de dicho elemento, así como lo acción que el viento ejerce sobre el mismo". Sea una cometa celular en equilibrio8:

Donde P es el peso, R es la resultante de la acción del viento sobre las superficies sustentadoras, directoras y nocivas y T la tensión del cable. Las condiciones de equilibrio exigen que T sea igual y de sentido contrario a la resultante de la composición de P y R, (que se corten en M) y la suma de los momentos de estas dos

6 SACONNEY, J. Th. (1909), Op. Cit., 1-2 7 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 15 8 SACONNEY, J. Th. (1909), Op. Cit., 15


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fuerzas respecto al punto V será nulo. Esto se traduce en:

3.1. - Peso de la Cometa. Densidad de la cometa.

El peso en una cometa es una fuerza constante en dirección y magnitud en cualquier posición de equilibrio. Su punto de aplicación es G, su centro de gravedad. El momento de P respecto el punto de brida V es variable respecto al ángulo de ataque, el máximo momento se produce cuando VG = l es horizontal, posición (1) de la figura. En este caso el ángulo de ataque i será igual9 a 90 - a. El valor del momento mínimo se produce cuando i = 0, posición (2) de la figura, que le corresponde un brazo de palanca igual a:

l' = l · sen a Por lo tanto para una cometa dada y embridada de una manera fija, el momento del peso varía desde un valor mínimo P · l · sen a, correspondiente a i igual a cero10, hasta un máximo igual a P· l. El peso es una fuerza que tiende a rotar la cometa en el sentido de las agujas del reloj alrededor de V y por tanto aumenta el ángulo de ataque de la misma. Se denomina11 "densidad de una cometa a la relación entre el peso en kilogramos y la suma de sus superficies sustentadoras S, expresadas en metros cuadrados, se designa en general

9 Llamamos a al ángulo que forma VG con Vn, normal a las superficies sustentadoras. 10 Esto no llega a ocurrir en la práctica, ya que el ángulo de ataque no llega nunca a anularse. 11 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 16

r r rT = R + P

P p = R r⋅⋅ ⋅⋅


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por d"

3.2. - Acción del viento sobre una superficie plana. 3.2.1. - Intensidad de la acción del viento sobre una superficie plana. Una superficie plana sometida a la acción de una corriente de aire normal a la misma, dado que todas las moléculas de aire chocan sobre ella perpendicularmente, por razones de simetría la resultante R, pasará por el centro C y será normal a ella.

El valor de la intensidad R viene dada por la expresión, conocida como Ley de Newton12:

R = f · S · V2 Donde: R: Intensidad de la fuerza en Kg. f: Coeficiente de resistencia del aire comprendido entre 0,07 y 0,1. Dependiendo de la forma y dimensiones absolutas de la superficie. Su valor medio es de 0,085. S: Superficie en m2. V: Velocidad del viento en m/s. Si la superficie presenta una inclinación i ó 90+i respecto a la dirección del viento, la nueva acción R' ya no pasará por el centro de la figura en C. La expresión que se empleada para ligar el valor de R = f · S · V2 con el nuevo valor R' era

12 Esta ley aparece en el libro II "El Movimiento de los cuerpos (En medios resistentes)" de los Principia (1687) de I. Newton.

δδ =P

S


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una debida a un coronel francés de nombre Duchemin13:

Para un viento constante la única variable es i luego:

Llamando al primer miembro Yi, queda:

La variación deYi en función de i entre 0 y 90º es: 3.2.2. - Dirección de la acción del viento sobre una superficie plana. Saconney14 establece que la dirección de la resultante R es perpendicular a la superficie, para dar por válida esta simplificación, admite que se puede despreciar la componente f que

13 Ver: CHANUTE, O. (1894) Progress in Flying Machines, New York, American Engineer and Railroad Journal, 3-5. ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 18. ROTHÉ, E., Cours de physique: III, aérologie et aérodynamique, París, Gauthier-Villars, 186. SACONNEY, J. Th. (1909), Op. Cit., 3. 14 SACONNEY, J. Th. (1909), Op. Cit., 4-5.

′′ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅R = R

2 sen i

1 + sen i = S V

2 sen i

1 + sen i22

2ϕϕ

R

S V=

2 sen i

1 + sen i2 2

′′⋅⋅ ⋅⋅

⋅⋅

ϕϕ

Y = 2 sen i

1 + sen ii 2

⋅⋅


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aparece sobre la superficie, si se tiene en cuenta el rozamiento. Solo hay que ver cuanto se aparta de la vertical R en estas nuevas circunstancias En su argumento emplea una expresión que da el valor de f, basándose en los trabajos del ingeniero americano Albert Zahm.15 Según Zanh el valor del rozamiento puede expresarse por la fórmula:

f = 0,00046 · S 0,93 · V1 1,85

Donde: S: Superficie en m2. V1: Velocidad en m/s de la corriente que resbala a lo largo de la superficie. la cual es menor que V. La tangente del ángulo de desviación sobre la normal de la nueva R es:

Ya que:

El valor práctico mínimo de i es 5º, que es cuando f será máximo, para este valor:

Yi = 0,173 f = 0,085 Luego:

La arco tangente de dicho valor es inferior a 2º, por tanto R es prácticamente perpendicular a la superficie.

15 ZAHM, A.(1904), Atmospheric friction on even surfaces, n.p.

f

R =

0,00046 S V

Y S V<

0,00046 S V

Y S V =

0,00046

Y

0,9311,85

i2

2

i2

i

⋅⋅ ⋅⋅

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

⋅⋅ ⋅⋅

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ϕϕ ϕϕ ϕϕ

S S y V V0,9311,85 2<< <<

f

R <

0,00046

0,085 0,173 = 0,0313

⋅⋅


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3.2.3. - Punto de aplicación de la acción del viento sobre una superficie plana.

El punto de aplicación de R no permanece fijo al variar el ángulo i, cuando i=90º coincide con el centro de la superficie, a medida que el ángulo crece, el punto de aplicación se desplaza a lo largo de la línea de simetría vv', aproximándose a la arista horizontal más avanzada hacia el viento. Según Soreau16, la ley con arreglo a la cual se desplaza dicho punto puede expresarse por la siguiente fórmula:

Donde: e: Separación en m al centro del plano. i: Ángulo de ataque. a: Altura en metros de la superficie. Existen otras leyes que expresan esta variación como es la de Finci y Soladati:17

16 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 21 17Ver: ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 21. y SACONNEY, J. Th. (1909), Op. Cit., 6.

e =1

2 (1 + 2 tag i)

a

2⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅


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3.4. - Acción del viento sobre la cometa celular.

Conocida la acción del viento sobre un plano teórico, Saconney18 estudia los efectos del viento sobre la cometa que ya vimos se podía descomponer en tres tipos de superficies: sustentadoras, perjudiciales y directoras. Cada una de ellas presenta una orientación distinta respecto al viento, por lo tanto la reacción será distinta en cada una de ellas. Así que se procede a estudiar la acción del viento en cada una de las superficies: Superficies sustentadoras:

R = Yi · f · S · V2

R normal a la superficie y su punto de aplicación determinado mediante el diagrama de Finci y Soladati. Superficies perjudiciales: Las superficies perjudiciales que se mostraron en el apartado 1, pueden hacerse equivalentes a una superficie s' que presenta un ángulo de ataque de 90 + i, con respecto a la dirección del viento.

R' = Y90+i · f · s' · V2 Superficies directoras: Si bien se ha despreciado la acción del rozamiento sobre las superficies sustentadoras, en el caso de las directoras no ocurre lo mismo, así que para cualquier i:

Qs1 = 2 · 0,00046 · S1 0,93 · V 1,85

El factor 2 representa las dos caras con la que roza el viento en estas superficies, se puede hacer la simplificación:

Qs1 = 0,00092 · S1 · V 2 Descomponiendo R y R', en su componente vertical y horizontal y sumando la componente horizontal Qs1:

Fs = Yi · f · S · V2 · cos i Qs = Yi · f · S · V2 · sen i Fs' = Y90+i · f · s' · V2 · cos ( 90 + i) Qs' = Y90+i · f · s' · V2 · sen ( 90 + i)

Sumando con su signo:

18 SACONNEY, J. Th. (1909), Op. Cit., 7-14


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Fs - Fs' = Yi · f · S · V2 · cos i - Y90+i · f · s' · V2 · cos ( 90 + i) Qs + Qs' + Qs1 = Yi · f · S · V2 · sen i + Y90+i · f · s' · V2 · sen ( 90 + i) + 0,00092 · S1 · V 2 Simplificando:

Llamando:

Y teniendo en cuenta que:

Queda:

Para cada cometa se calculaba experimentalmente los valores de 1/n y 1/l, sustituirlos en las ecuaciones y para cada valor de i nos da el valor de F y Q, que multiplicados por f · S · V2 correspondiente en cada caso se obtiene las componentes de R. Saconney desarrolla esta operación de una manera gráfica. Veamos un ejemplo. Primero supongamos que 1/n = 1/10 y que 1/l = 1, en este caso:

Que en función de i sale la siguiente tabla:

F = Fs - Fs'

S V= Y cos i - Y

s'

S sen i

2 i 90+iϕϕ ⋅⋅ ⋅⋅

⋅⋅ ⋅⋅

Q =Qs + Qs'+Qs

S V= Y sen i + Y

s'

S cos i +

0,00092 S

S

12 i 90+i

1

ϕϕ ϕϕ⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

⋅⋅

0,00092 S

S =

0,00092 S

0,085 S = 0,01

1

l

1 1⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅ϕϕ

s'

S =

1

n

S

S =

1

l

1

F = Y cos i - Y 1

nsen i

Q = Y sen i + Y 1

ncos i + 0,01

1

i 90+i

i 90+i

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅l

F = Y cos i - Y 0,1 sen i

Q = Y sen i + Y 0,1 cos i + 0,01 i 90+i

i 90+i

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅


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i Yi Y(90+i) F Q 0 0,000 1,00000 0,0000 0,11000 5 0,173 0,99999 0,1636 0,12470 10 0,337 0,99988 0,3146 0,16701 15 0,485 0,99940 0,4427 0,23210 20 0,612 0,998 0,5413 0,31324 25 0,717 0,995 0,6079 0,40327 30 0,800 0,990 0,6433 0,49571 35 0,863 0,980 0,6508 0,58541 40 0,910 0,966 0,6348 0,66871 45 0,943 0,943 0,6000 0,74333 50 0,966 0,910 0,5509 0,80810 55 0,980 0,863 0,4916 0,86263 60 0,990 0,800 0,4256 0,90714 65 0,995 0,717 0,3556 0,94225 70 0,998 0,612 0,2838 0,96882 75 0,99940 0,485 0,2118 0,98790 80 0,99988 0,337 0,1404 1,00055 85 0,99999 0,173 0,0699 1,00770 90 1,00000 0,000 0,0000 1,01000

La resultante R tiene por valor:


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Y un ángulo sobre la vertical:

Estos valores se calculaban gráficamente confeccionando el siguiente diagrama, en el que para cada valor de i sabíamos F y Q y gráficamente R y a.

El análisis del gráfico muestra que la resultante R, va creciendo a medida que aumenta i, desde un valor mínimo de 0º, en donde no existe componente vertical ( sustentación nula), existiendo tan solo el empuje horizontal debido a las superficies perjudiciales y el rozamiento sobre las superficies directoras y sustentadoras, a un valor máximo cuando i es igual a 90º, en donde no existe de nuevo sustentación y R es horizontal. La sustentación de la cometa, aumenta muy rápidamente al principio con el ángulo de ataque, alcanzando el máximo en i igual a 35º, aproximadamente19, decreciendo después lentamente para anularse en i igual a 90º. Rojas20 concluye: "De lo dicho se deduce, que si con una cometa dada y un viento de velocidad determinada, se desea obtener un esfuerzo sustentador importante para que la cometa pueda alcanzar grandes alturas (objetivo de la mayor parte de sus aplicaciones y desde luego de las meteorológicas) habrá que disponer su sistema de retención o brida (como

19 Rojas da un valor de 34º 20 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 28

R = F Q2 2++

tag =Q

Fαα


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en su lugar se indicará) de modo que el ángulo de ataque o de equilibrio sea inferior a 34º. En cambio si por las aplicaciones a que la cometa se destine ( y tal es el caso de las cometas porta amarras empleadas en el salvamento de buques) lo que se quiere es un valor de R, muy grande para un viento dado y que la cometa se eleve muy poco, para facilitar desde el buque cojan el cable, habrá que disponer su brida en forma tal, que su ángulo de ataque sea superior a 34º"

----------------------------------o----------------------------------

El ángulo a es la desviación sobre la vertical de la resultante R, la variación del mismo respecto de i, viene dada por la siguiente gráfica:21 Si representamos la bisectriz, se podrá calcular el ángulo que forma la resultante con la 21 SACONNEY, J. Th. (1909), Op. Cit., 13


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normal n, tal como se muestra en la figura. El ángulo g es igual a la distancia AB.

----------------------------------o---------------------------------- Para definir R, solo falta calcular en punto de aplicación de esta resultante. Saconney22 plantea la utilización del siguiente diagrama:

El trazado de este diagrama es teórico práctico y el mismo se cumple para la relación 1/n = 1/10. El punto C es el centro de gravedad o simetría de la cometa y la distancia CB es la semialtura de la celda sustentadora. La intersección de la curva con cada una de las rectas radiantes nos dan la nueva posición del punto de aplicación de la resultante. Veamos como se usa en palabras de Rojas23: "El modo de emplear este diagrama (que se dibuja en papel transparente) en cada caso particular no puede ser más sencillo. Puesto que la longitud CB es la semialtura p-q de las células, se podrá dibujar la cometa que se trate con arreglo a dicha escala, dando a su eje el ángulo i de ataque del caso que se considere. Se colocará el diagrama sobre el dibujo de la cometa, de modo que el punto C coincida con el centro de figura y la línea CB con la horizontal hh.

22 SACONNEY, J. Th. (1909), Op. Cit., 21 23 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 31.


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La intersección I del eje de la cometa con la curva de la I determinará el de aplicación de la acción total R, pare este caso"

4. - Consideraciones sobre el equilibrio de una cometa celular.

Una cometa volando a una altura h y con un ángulo de elevación a, con un viento de velocidad V para estar en equilibrio, como ya vimos, la resultante de las fuerzas R y P es igual y contraria a T y que la suma de momentos respecto al vértice de la brida es cero. Dado que el peso de la cometa es igual en magnitud y dirección y que la única fuerza

variable es R, que varía en dirección y magnitud con la velocidad del viento, esto es la causante de los desequilibrios que se producen en una cometa en vuelo. Rojas24 lo asegura: "De no ocurrir accidente ni avería en el aparato, y puesto que de las dos fuerzas activas R y P la segunda es constante en valor y en dirección, la única causa que puede perturbar el equilibrio de la cometa en el aire es la variación (aumento o disminución) de R, pero el valor R, para una cometa dada depende del ángulo i y de la velocidad V del viento y como i por si no ha de variar, las variaciones de R y por lo tanto de las perturbaciones del equilibrio de la cometa dependen única y exclusivamente de las modificaciones que sufra la velocidad del viento" 24 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 34.


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Los movimientos que experimenta la cometa pueden ser de dos tipos: a) La cometa rota, en un sentido u otro, alrededor del vértice de la brida, produciéndose un

aumento o disminución del ángulo de ataque i. b) Se producen elevaciones o descensos, como consecuencia de las rotaciones que se

traducen en un aumento o disminución de la altura de la cometa, y la correspondiente variación del ángulo que forma el terreno con el cable de la cometa.

Movimientos de rotación.

Dada una cometa en equilibrio, volando con una velocidad del viento V y presentando un ángulo de ataque i. La suma de momentos de las fuerzas R y P, respecto a v, verifica:

R · vn = P · vm La furia P, como ya se vio, es constante en dirección y sentido y vm, crece al aumentar i. R es variable con la velocidad del viento y la distancia vn aumenta también con i, ya que R se aproxima a la normal a las superficies sustentadoras al aumentar i y el punto de aplicación I a la vez, se acerca al centro de gravedad G. Estudiemos como se restablece el equilibrio, ante un aumento de la velocidad del viento: R aumenta con el cuadrado de la velocidad del viento25, luego R crece rápidamente lo que hace que la cometa eleve su parte posterior, girando alrededor del vértice v, y por tanto diminuyendo el ángulo de ataque i, lo que se traduce en una disminución de R y del brazo de

25 R = f · S · V2


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palanca vn, así como un aumento de la distancia CI. El peso P no habrá variado y su brazo de palanca vm habrá disminuido muy poco, por lo tanto detiene el movimiento de giro, restableciéndose el equilibrio con un nuevo ángulo de ataque i.

Si el viento disminuye se produce el efecto inverso, por lo tanto se traducirá en un aumento del ángulo de ataque i. Rojas26 y Saconney27 extraen las siguientes conclusiones: a) Para una cometa dada con una brida fija, el ángulo de ataque i es inversamente

proporcional a la velocidad del viento. b) Para cometas de igual superficie y misma brida, el ángulo de ataque i para una misma

velocidad del viento es menor para aquella que tenga menor peso. c) Si se acorta el ramal anterior de la brida o se alarga el posterior, es decir se adelanta el

punto v, esto se traduce en un aumento del brazo de palanca de vn, en relación con lo que aumenta vm, esto se traduce en una rotación análoga a un aumento de la velocidad del viento. Si se retrasa v (aumentando el ramal anterior y disminuyendo el posterior), se consigue el efecto análogo a la disminución de la velocidad del viento.

Podemos concluir: " Para un viento de velocidad constante, el ángulo de ataque i de una cometa dada, depende únicamente de la disposición de su brida" Los movimientos de rotación de una cometa como consecuencia de las variaciones de la velocidad del viento, tienen un efecto sobre la altura de la cometa que se estudian a continuación.

26 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 37 27 SACONNEY, J. Th. (1909), Op. Cit., 14-17.


- 23 -

Desplazamientos verticales.

La tensión T1 en el cable de la cometa en la posición de equilibrio es la resultante de R y de P. Al producirse un aumento de la velocidad del viento y el correspondiente giro alrededor del vértice v, la nueva resultante pasa a ser T2. Esta nueva tensión presenta un ángulo b con el cable, luego aparece una fuerza f perpendicular al mismo, que hace que el vértice v gire alrededor del punto de anclaje en el suelo O, haciendo que se eleve la cometa harta que la nueva dirección de T2 coincide con la dirección del cable. Si la velocidad del viento disminuye se produce el efecto contrario, la cometa pierde altura. Luego una disminución del ángulo i implica un aumento de la altura de la cometa. Más adelante se demostrará, que para una cometa dada y una brida fija existe un límite en la velocidad del viento a partir del cual, aunque éste aumente, no varía ya el ángulo i ni por consiguiente la altura de la cometa. 5. - Problemas prácticos. Uso de los diagramas. Supongamos que conocemos los diagramas R e I, para una cometa determinada, Saconney28 plantea una serie de problemas que se pueden resolver con ayuda de los mismos. Estos problemas que también transcribe Rojas29 plantean una serie de nociones teóricas que irán siendo introducidas conforme sean necesarias. Veamos algunos de ellos. 28 SACONNEY, J. Th. (1909), Op. Cit., 25 - 44. 29 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 42 - 55.


- 24 -

5.1. - Dada una cometa disponer su brida de manera que para una velocidad del viento V, conocida, su ángulo de ataque tenga un valor i conocido. Como se dispone del diagrama de R y de I, de este último se sabe que la distancia CB es igual a la semialtura de la superficie de sustentación, con arreglo a esta escala se dibuja la cometa de modo que su eje forme con la horizontal el ángulo de ataque i, que es dato del problema. Sobre el dibujo se sitúan los diagramas I y R.30

En el diagrama de las R se localiza el punto i, la distancia Ci, representa la acción total del viento sobre la cometa. El peso de la cometa es igual a la densidad por la superficie total de sustentación, por lo tanto representado a la escala 1/ f · S · V2:

Componiendo este valor con Ci obtenemos el valor T, en la escala correspondiente de la tracción del cable y también la dirección. El punto de aplicación de R, I es igual a la intersección del eje de la cometa con el diagrama de las I con el eje de la cometa ee. Se traza IM paralela a Ci por I se obtiene la intersección con GM, el punto M, por el cual debe pasar la tracción del cable, trazando por él una paralela a T, se obtendrá la línea de acción de la tracción, es decir la dirección del cable. Cualquier punto de esta recta VM, puede ser vértice de dicha brida y por lo tanto resuelve el problema, pero en la práctica se toma la intersección del arco que haciendo centro en Q corta a la línea con un radio de 2L/3, donde L es la longitud de la cometa.

30 Este último esta a escala 1/ f · S · V2

p = P

S V =

S

S V =

0,085 V2 2 2ϕϕ

δδ

ϕϕ

δδ

⋅⋅ ⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅


- 25 -

Se ha supuesto que el centro de la cometa coincide con el centro de gravedad 31, sino fuera así, la vertical para hallar la intersección no se trazaría desde C sino desde G, que es el punto de aplicación del peso. Rojas32 nos demuestra, a continuación, la siguiente afirmación: "No es posible fijar a priori la inclinación de equilibrio o ángulo de ataque de una cometa dada para un viento determinado V, pues existen valores de i que no son aceptables, pues la cometa no se elevaría del suelo."

En efecto, si en el diagrama de R, trazamos una recta paralela al eje de abscisas y a una distancia p del mismo:

Esta recta cortará a R en i1 e i2, dando dos resultantes R y R', que compuesta con el peso p, nos dan duna dirección horizontal para el cable Ti1 y Ti2. Esto quiere decir que la cometa no se eleva, ya que las componentes verticales de R y R', son iguales al peso y por tanto no hay sustentación. Los ángulos i1 e i2, son los denominados ángulos límites, ya que un ángulo de ataque es valido en una cometa siempre que se cumpla que:

i1 < i < i2 Para ángulos inferiores a i1 y superiores a i2 resulta negativa la tensión del cable. Los ángulos límites, para una cometa dada, dependen de la densidad de la misma y del cuadrado de la velocidad del viento. Se puede trazar una tabla de valores de p:

31 Esto ocurre en las cometas bicelulares de Hargrave simétricas 32 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 44

p =0,085 V2

δδ

⋅⋅


- 26 -

Velocidad del viento en (m/s) d 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0,5 0,2353 0,1634 0,1200 0,0919 0,0726 0,0588 0,0486 0,0408 0,0348 0,0300 0,0261

0,6 0,2824 0,1961 0,1441 0,1103 0,0871 0,0706 0,0583 0,0490 0,0418 0,0360 0,0314 0,7 0,3294 0,2288 0,1681 0,1287 0,1017 0,0824 0,0681 0,0572 0,0487 0,0420 0,0366

0,8 0,3765 0,2614 0,1921 0,1471 0,1162 0,0941 0,0778 0,0654 0,0557 0,0480 0,0418 0,9 0,4235 0,2941 0,2161 0,1654 0,1307 0,1059 0,0875 0,0735 0,0627 0,0540 0,0471

1 0,4706 0,3268 0,2401 0,1838 0,1452 0,1176 0,0972 0,0817 0,0696 0,0600 0,0523

5.2. - Calculo de la brida de una cometa dada, de modo que para un viento de velocidad V determinada, el ángulo del cable con la horizontal tenga un valor conocido a. En el apartado anterior se ha calculado la brida para obtener un ángulo de ataque determinado, en este problema lo que nos interesa es hallar la brida que nos hace que el cable forme con la horizontal cierto ángulo a para un viento dado. El problema equivale a calcular para que ángulo o ángulos de ataque la fuerza de tracción del cable forma el ángulo planteado con la horizontal. Para ello utilizamos el diagrama de las R.

Se traza la recta CC', que forma con la horizontal un ángulo determinado a, esta recta será la que nos marque la dirección de la tracción. A continuación se traza una recta paralela a CC' a una distancia p:

Esta recta corta en i1 e i2 y podemos hallar las reacciones R y R', a partir de aquí el problema se resuelve según el apartado 5.1, pues tan solo hay que hallar la brida para que el ángulo de ataque sea i1 o i2. En problema puede tener dos soluciones, como el ejemplo que hemos vista, una o ninguna. En

p =0,085 V2

δδ

⋅⋅


- 27 -

efecto, para que el problema tenga solución la recta paralela a CC' a una distancia p, debe cortar a la curva de las R o bien sea tangente en el punto m.33 Por lo tanto:

P < l Donde l depende del ángulo dado a. Si en el diagrama de las R correspondiente para una cometa con 1/n = 1/10 y 1/l = 1, trazamos rectas análogas a CC' para a = 0º, 30º, 55º y 63º, se obtiene lo siguiente:

l a 0,65 0º 0,38 30º 0,11 55º

0 63º La condición para que tenga solución el problema:

33 En el primer caso el problema tiene dos soluciones y una sola en el segundo

δδ

ϕϕ ⋅⋅≤≤

V l

2


- 28 -

Por lo que se deduce que:

El viento límite es la velocidad que debe tener el viento, para que una cometa de densidad dada y con un ángulo de tracción determinado pueda volar.

Velocidades del viento en (m/s) Ángulos de la tracción (a) d

0º 30º 55º

0,5 3,00 3,95 7,30 0,6 3,30 4,30 8,00

0,7 3,55 4,65 8,60 0,8 3,80 5,00 9,20

0,9 4,05 5,30 9,65 1 4,25 5,60 10,30

1,1 4,45 5,85 10,80 1,2 4,65 6,10 11,30

1,3 4,85 6,35 11,75 1,4 5,05 5,60 12,20

Para a = 0º y las densidades expresadas representa la velocidad del viento para que la cometa pueda empezar a elevarse. La densidad límite, representa las máximas que puede tener una cometa para desarrollar tracciones que formen con la horizontal los ángulos a y vientos correspondientes.

d

Ángulos de la tracción (a) Velocidades del viento en

(m/s) 0º 30º 55º

3 0,5 0,3 0,08 4 0,9 0,5 0,15 5 1,4 0,8 0,20

6 2,0 1,2 0,30 7 2,7 1,6 0,40

8 3,5 2,0 0,60 9 4,4 2,6 0,70

10 5,5 3,2 0,90 11 6,7 3,9 1,10

12 8,0 4,6 1,30 13 9,5 5,4 1,60

14 10,8 6,3 1,80 15 12,4 7,3 2,10

V0,085 l

0,085 V l2≥≥⋅⋅

≤≤ ⋅⋅ ⋅⋅δδ δδ


- 29 -

5.3. - Rendimiento de una cometa. Calculo de la brida de una cometa dada, para que con un viento de velocidad determinada V, proporcione el rendimiento máximo.

Sea una cometa que se encuentra volando con un ángulo de ataque i, en el diagrama de las R, obtenemos el valor de R, que compuesto con p nos dará T. La componente vertical de la tracción T es lo que se conoce como sustentación disponible o remanente, que es la que se emplea para elevar el peso del cable, cargas, etc.

Se define rendimiento de una cometa para un viento V:

Por lo tanto para un viento dado, el máximo rendimiento se consigue con el menor b posible. Vamos ha resolver el siguiente problema: Calcularemos la brida para que un cometa nos dé el máximo rendimiento para un viento dado. Para resolver el problema lo primero que hay que calcular es el máximo de la expresión del rendimiento y de ahí calcular el ángulo de ataque i correspondiente para el viento de velocidad V, de esta forma estamos en condiciones de resolver el problema tal como se hizo en el apartado 5.1. Calculáremos gráficamente el valor de la inclinación de la tracción que proporciona el rendimiento máximo.

F - p

Q = tag (90º- ) = cotag ββ ββ

V = F - p

Q = cotag ββ


- 30 -

Partiendo de la curva de las R, se obtiene una segunda curva desplazada una distancia p, de la primera, que será el lugar geométrico de los extremos superiores de las diversas tracciones correspondientes a todos los ángulos de ataque posibles. De todas las posibles posiciones que puede llegar a tener T, la que hace que b sea mínimo, y por tanto el rendimiento máximo, es cuando partiendo del origen la recta CT, es tangente a la curva de las T. Trazando una vertical por T, hasta cortar la curva de las R, se obtiene el ángulo de ataque i deseado y ya se puede resolver según el apartado 5.1. Rojas34 hace las siguientes observaciones: " 1ª El diagrama de las R, se aproximará tanto más al origen C, y por lo tanto el rendimiento máximo será mayor, cuando menor sea, para una cometa dada, la superficie perjudicial s y la componente horizontalC0º de la resistencia debida a la misma. Si no existiera resistencia perjudicial, la curva R, pasaría por el origen C. De esta consideración se deduce que para cometas de igual densidad d y volando con el mismo viento (a fin de que d/f v2 sea igual para todas y sirva para ellas la misma curva t) el ángulo de la tracción con la vertical correspondiente al rendimiento máximo será menor (y mayor dicho rendimiento), para la cometa que tenga menor superficie s perjudicial. 2ª Para cometas de un mismo tipo, el ángulo con la vertical de la tracción que proporciona el

34 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 54


- 31 -

rendimiento máximo, es tanto menor (y mayor rendimiento) cuanto menor sea d o mayor sea V, puesto que el vector d/f v2 de separación entre las curvas de las R y de las T, será más pequeño y ambas curvas estarán próximas, disminuyendo, por consiguiente el ángulo b y aumentando su cotangente que mide el rendimiento máximo. Si suponemos V = ¥ , caso teórico según hemos dicho, ambas curvas se confunden con R (puesto que d/f v2 = 0 en este caso) y la tangente a la curva de las T coincide con la trazada por el punto C a la curva R, siendo i el ángulo de ataque correspondiente a este caso; es decir, que si la brida se dispone para dicho ángulo, se obtendrá el rendimiento máximo para el viento de velocidad infinita." Las cometas que se empleaban en meteorología o para elevar observadores con fines militares, debían volar con el máximo rendimiento para un viento dado, por lo tanto se deponían de una serie de cometas de densidades distintas y diferentes bridas para cada velocidad del viento para que su vuelo fuera el más optimo posible para los fines deseados. 6. - Influencia del peso y el viento sobre el cable de retención. Influencia del peso del cable Todo lo que se ha expuesto hasta ahora se había supuesto que el cable era lo suficientemente corto para no influir con su peso y la acción del viento sobre el mismo en los cálculos. Veamos como Rojas35 introduce la influencia del peso: "Si se tiene en cuenta dicho peso (que dependerá del que tenga el metro corriente p del cable que se utilice y de la longitud l), el

cable elevado por la cometa tomará en el espacio la forma de la curva llamada catenaria, cuya ecuación y

propiedades suponemos

conocidas". Por lo tanto bajo la acción de su propio peso el cable adquiere la forma de una catenaria.36 Para hallar la tensión en cualquier punto del cable se supone conocida Ta, que es

la tensión en el vértice de la brida, que se ha calculado a partir del diagrama de las R correspondiente, para la cometa que vuela con un determinado ángulo de ataque para un viento dado. Tb, es el valor que queremos determinar.

35 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 55. 36 Ver Apéndice III


- 32 -

Sabemos que p· l es el peso del cable comprendido entre a y b. Puesto que el cable esta en equilibrio bajo la acción de las tres fuerzas Ta, Tb y p· l, (se ha prescindido de momento de la acción del viento), Se realiza el triángulo de fuerzas (ver figura) y se halla Tb en magnitud y dirección. Conforme el punto b se aleja de a la tensión en el cable se acerca a la línea KO, que es la proyección horizontal de la tensión Ta, que ocurre en el punto c. La longitud del cable comprendido entre a y c es la mayor que la cometa puede elevar con un viento determinado y h' es la altura máxima que alcanzará, siendo inútil desenrollar más cable, pues el mismo se arrastrara por el suelo sin ganar altura. La altura h, se puede calcular conocida las tensiones Ta y Tb por medio de la expresión37:

Si el punto b es el amarre de la cometa en tierra, y calculamos Ta, medimos con un dinamómetro Tb y conocemos el peso por metro lineal de cable, hallaremos por medio de la fórmula la altura sobre el terreno h. En el apartado siguiente emplearemos esta fórmula con la que se resolvían cientos problemas prácticos en los que se tenía en cuenta el peso del cable de la cometa. Acción del viento sobre el cable Para estudiar la acción del viento se puede realizar la siguiente aproximación: se considera el cable dividido en n porciones de igual longitud l que forma una poligonal inscrita a la catenaria que forma el cable bajo la acción de su propio peso. Sobre cada uno de estos elementos el viento realizará una acción que tenderá a desplazar en su sentido y por tanto haciendo girar el cable entero alrededor de su punto de amarre a tierra, que tendrá como consecuencia una disminución de la altura a la que vuela la cometa. El valor de esta fuerza es dado por Rojas38: "La acción del viento de velocidad v sobre cada elemento se traduce en una fuerza normal al mismo y cuya intensidad, según las cuidadosas experiencias llevadas a cabo por Finci viene dada por la siguiente expresión:

en el que d es el diámetro en metros del cable que se utilice, e i el ángulo (variable de uno a otro elemento) que forma cada lado de la línea poligonal con la horizontal"

37 Ver Apéndice III 38 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 60-61.

h = T - T

pa b

q = 12

V (d l)2 sen i

1+ sen i2

2⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ×× ⋅⋅

⋅⋅ϕϕ


- 33 -

Suponemos conocida Ta y Tb, una mediante el diagrama de las R y la otra por medición en el torno. Consideremos el primer elemento a1, conocemos su peso p· l, Ta y q, por lo que podemos componer y hallaremos T1, que será punto de partida para hallar T2 a partir de p· l, T1 y q' y así sucesivamente. La acción del viento tiene las siguiente consecuencias39: "1º Aumenta la tensión en cada punto del cable y por tanto la Tb a la salida del torno. 2º Disminuye las proyecciones sobre la vertical de los diversos elementos en que se supone descompuesto el cable, y como la suma de dichas proyecciones es precisamente la altura h de la cometa sobre el terreno, este segundo efecto se traduce en una disminución en la referida altura, consecuencia derivada del primer efecto, pues si Tb ha aumentado, la altura

disminuye por el aumento de Tb." 39 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 61.

h = T - T

pa b


- 34 -

7. - Problemas prácticos teniendo en cuenta el peso del cable de retención. A continuación resolveremos dos problemas en los que influye el peso del cable y suponemos despreciable la acción del viento, que Rojas40 supone como aproximación que esto ocurre cuando su velocidad es inferior a 10 metros por segundo (36 Km./h). 7.1. - Calcular la brida de una cometa dada para que con un viento V determinado y un peso de cable por metro conocido, de modo que el ángulo de éste con la horizontal al salir del torno, tenga un valor dado a. La cometa debe poder elevar su peso propio po más p· l que corresponde a la longitud de cable desenrollado. Partamos del diagrama de las R:

Trazamos la recta CC' que forma el ángulo a dado con la horizontal, que será la dirección de la tensión en el punto de amarre. Se traza una recta paralela a una distancia igual a:

Esta cortará en i1 e i2, estos dos puntos nos dan los dos ángulos de ataque para los cuales el problema tiene solución. Ahora solo hay que seguir el desarrollo del problema del apartado 5.1 y se puede hallar la brida correspondiente. Si trazamos a partir de i1i2 una recta TT a una distancia:

40 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 62.

p + p l

S V

o 2

⋅⋅

⋅⋅ ⋅⋅ϕϕ


- 35 -

Se obtienen las tensiones Ta1 y Ta2 que representan para cada ángulo de ataque la tensión que se desarrolla en los respectivos vértices de la brida. Tb1 y Tb2 son las tensiones correspondientes a su ángulo de ataque que se desarrolla en el punto de amarre. Conocidas las tensiones podemos hallar las dos alturas que alcanza la cometa:

Para que este problema tenga solución se ha de cumplir que:

Donde M es la distancia ab. 7.2. - Calcular la brida de una cometa dada para que, elevando un peso de cable por metro con un viento determinado V, proporcione el rendimiento máximo.

El problema se resuelve de manera similar al apartado 5.3.

p

S V

o 2ϕϕ ⋅⋅ ⋅⋅

hT T

p h

T T

p1

a b 2

a b 1 1 2 2==−−

==−−

p + p l

S V Mo

2

⋅⋅

⋅⋅ ⋅⋅≤≤

ϕϕ


- 36 -

A partir del diagrama de las R se traza el de las T a una distancia:

Siendo po el peso de la cometa. Se traza por C la tangente a la curva de las T y hallamos Ta y el ángulo de ataque i, que por el apartado 5.1 calculamos la brida. Ta es la tensión del cable en el vértice de la brida que compuesto con el valor vertical:

Que representa p· l el peso del cable Obtendremos el valor de la tensión Tb y a el ángulo a la salida del torno. La altura alcanzada valdrá:

Para que el problema tenga solución se ha de cumplir:

p

S V

o 2ϕϕ ⋅⋅ ⋅⋅

p l

S V2⋅⋅

⋅⋅ ⋅⋅ϕϕ

h = T - T

pa b

p + p l

S V iso

2

⋅⋅

⋅⋅ ⋅⋅≤≤

ϕϕ


- 37 -

Apéndice I

Determinación práctica del valor 1/n La relación entre las superficies perjudiciales y las sustentadoras, lo que se llama 1/n se puede hallar de una manera práctica tal como lo describe Rojas41.

"Se despoja la cometa de todas sus telas, quedando únicamente la armadura con sus largueros, bastidores, travesaños y tensores. Dicha armadura se suspende como indica la figura mediante una cuerda c, corta y delgada y cuatro tirantes t, de un punto fijo O. De otros cuatro tirantes t', parte una cuerda que, pasando por una polea p, termina en un platillo. El eje de la cometa ( que debe quedar horizontal) y la polea p que esta en su prolongación, se orientan en la dirección del viento como indica la figura; éste al ejercer su acción sobre las superficies perjudiciales arrastra la armadura hacia la izquierda, acción que se contrarresta y mide colocando pesos en el platillo hasta alcanzar un valor q que neutraliza por completo dicha acción volviendo a quedar la cuerda c, vertical" Esto se repite varias veces midiendo en cada caso la velocidad del viento con un anemómetro, así obtenemos los valores promedios de q y V. Entonces calculamos 1/n:

41 Ver ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 32 - 33 y también SACONNEY, J. Th. (1909), Op. Cit., 19.

ϕϕ ϕϕϕϕ

⋅⋅ ⋅⋅ == ⇒⇒ ⋅⋅ ⋅⋅ == ⇒⇒ ==⋅⋅ ⋅⋅

s' V q s'

SV

q

S

s'

S =

1

n

q

S V

2 22


- 38 -

Apéndice II

Determinación práctica del ángulo i y de los diagramas de las R e I

Saconney42 ideo una serie de sistemas para hallar las gráficas de las R e I de una cometa dada, por medio de una serie de medidas directas, según pudo comprobar a través de unos experimentos llevados a cabo en 1910 en Boulogne Sur Mer (Francia.) Las experiencias consistieron en remolcar una cometa a poca altura43 con ayuda de un automóvil o en un barco. Este sistema permitía calcular los diagramas de cualquier tipo de cometa, conociendo en todo momento la velocidad del viento relativo creado por la marcha del remolque. Empezaremos explicando como calculaba i. Cálculo del valor del ángulo de ataque i.

Se dispone una articulación en el vértice de la brida de la cometa, consistente en una caña recta (en la que se enlaza el ramal anterior de la brida) atravesada por una varilla de hierro, a la que esta unido el ramal posterior. En el extremo inferior de la caña, se ata una cuerda provista de nudos igualmente espaciados, que pasa por una polea en m y terminada en un pequeño peso. Conocemos la distancia Vb, Vm y cuando estamos remolcando la cometa, por medio de un anteojo leemos los nudos que hay entre m y b, estimando esta distancia. Con estos datos podemos hallar el ángulo a.

42 SACONNEY, J. Th. (1909), Op. Cit., 22 - 25 43 Con 40 o 50 metros de cable se puede prescindir del peso y la acción del viento sobre el mismo.


- 39 -

El ángulo w y b se pueden conocer, uno por la construcción de la brida y el otro por medida directa a la salida del torno. Para hallar i se procede de la siguiente forma:

Se traza sobre la horizontal la recta OB formando un ángulo w, por B se traza BC bajo un ángulo a, que determina la recta CB trazada por formar un ángulo b por C. La inclinación de CD con la horizontal nos da el ángulo de ataque i deseado. Obtención del diagrama de las R.

Para hallar el diagrama de las R, se necesita conocer las componentes F y Q para cada ángulo de ataque y por consiguiente para cada velocidad de marcha. Se procede de la siguiente forma: En A se coloca una bolsa que sé ira llenando de arena, hasta que llegue a la posición A', en la que el tramo A'O esta horizontal y forma un ángulo w con A'V. Como conocemos el peso P podemos hallar T y T'. T es la tensión del cable que compuesto con el peso p de la cometa tendremos OS que no es más que la sustentación R. A partir de aquí hallamos F y Q.


- 40 -

Rojas44 comentando el sistema asegura: "Claro es que la exactitud del procedimiento y por lo tanto la del diagrama que se obtenga, dependerá de la práctica que se tenga en las distintas maniobras que hay que ejecutar, del cuidado y esmero con que se efectúen todas las operaciones y mediciones que en él intervienen (sobre todo las referentes a la velocidad de la marcha del remolque) y en aprovechar días o momentos de gran calma, para que la velocidad de la corriente aérea que sobre la cometa actúa sea la única y exclusivamente la de la marcha durante cada observación". Obtención del diagrama de las I.

Para hallar el punto de aplicación I de R solo hay que conocer la ubicación del centro de gravedad de la cometa, con lo cual se procede a dibujar la cometa con el ángulo de ataque i correspondiente y situando la brida. Por el punto G se traza una vertical y por V la paralela VM a la tracción ya conocida T, ambas rectas se cortan en M. Como las tres fuerzas T, R y p están en equilibrio y por tanto tienen que cortarse en un punto y como T y R se cortan en M, por M tiene que pasar R y puesto que por el método anterior conocemos su dirección, la intersección con el eje de la cometa proporciona el punto I de aplicación que se buscaba. Si se repiten estas operaciones para cada velocidad de marcha se determinan los distintos puntos del diagrama.

44 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 41.


- 41 -

Apéndice III

La Catenaria La catenaria es la curva que se forma cuando suspendemos un cable flexible entre dos puntos y se deja colgar por su propio peso. Es la forma que adquiere el cable de una cometa si no tenemos en cuenta la acción del viento. Para hallar la ecuación de esta curva, situamos los ejes coordenados de forma que el eje Y pase por el punto más bajo del cable, llamamos s a la longitud de arco de este punto a uno variable (x, y) y sea p· s el peso por metro lineal de cable.

Si el cable esta en equilibrio se cumple que la suma de las fuerzas horizontales y las verticales son iguales y de sentido contrario:

De la primera de las ecuaciones se deduce que:

T cos = T T sen p sb c b⋅⋅ ⋅⋅ == ⋅⋅θθ θθ

T tag = T cos tag = T sen

T tag = Tdy

dx = T y'

T sen = T y'

c b b

c c c

b c

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

⋅⋅ ⋅⋅

θθ θθ θθ θθ

θθ

θθ


- 42 -

De modo que:

Derivando respecto dx:

La longitud de la curva entre 0 y X es igual a:

Derivando respecto dx:

Luego:

Llamamos:

Realizamos el cambio de variable:

La ecuación se reduce a:

T y' = p sc ⋅⋅ ⋅⋅

T y' ' = pds

dxc ⋅⋅ ⋅⋅

s = 1 + dy

dxdx = 1 + y' dx

2

0

x

2

0

xz zds

dx = 1 + y'2

T y' ' = p 1 + y'

y'' = p

T1 + y'

c2

c

2

⋅⋅ ⋅⋅

⋅⋅

a = p

T

y'' = a 1 + y'

c

2⋅⋅

y' = q y'' = dq

dx


- 43 -

Integrándola y considerando que para p = 0 implica que x = 0

Resolviendo:

Luego:

Colocando el eje X a la altura apropiada de modo que para y = 1/a el valor de x se anule, llegamos a la ecuación:

a dx = dq

1 + q2⋅⋅

Ln ( q + 1 + q ) = a x2 ⋅⋅

Ln ( q + 1 + q ) = a x q + 1 + q = e

-Ln ( q + 1 + q ) = - a x Ln ( 1

q + 1 + q) = - a x

1

q + 1 + q = e

e e = q + 1 + q - 1

q + 1 + q =

(q + 1 + q ) - 1

q + 1 + q =

= (q + 1 + q ) - 1

q + 1 + q =

q + 2 q 1 + q + 1 + q -

2 2 a x

2

2

2

-a x

a x -a x 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2 2

⋅⋅ ⇒⇒

⋅⋅ ⇒⇒ ⋅⋅ ⇒⇒

⇒⇒

−−

⋅⋅ ⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅ ⋅⋅

1

q + 1 + q

= 2 q q + 1 + q

q + 1 + q = 2 q

2

2

2

==

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

q = dy

dx =

1

2 (e ea x -a x⋅⋅ −−⋅⋅ ⋅⋅ )

y = 1

2 a (e e =

1

a cosh ax a x -a x

⋅⋅⋅⋅ ++ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅ )


- 44 -

Luego :

La tensión en cada punto la podemos calcular:

Luego:

La tensión en cada punto del cable tiene por valor igual al peso de una longitud equivalente a su ordenada.

Esta expresión es la propiedad de la catenaria citada por Rojas45 y Saconney46:

45 ROJAS RUBIO, F. de PAULA (1919), Op. Cit., 56. 46 SACONNEY, J. Th. (1909), Op. Cit., 46.

y = 1

a cosh ax ⋅⋅

T sen = T y'

sen = dy

ds

b c⋅⋅ ⋅⋅θθ

θθ

T = T

sen dy

dx =

Tdy

ds

dy

dx = T

ds

dx

ds

dx = 1 + y'

T = T ds

dxT 1 + y' = T cosh

x

a

pT

pcosh

x

a p y T = p y

bc c

c

2

b c c2

c

cb

θθ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

⋅⋅ == ⋅⋅ ⋅⋅ ==

== ⋅⋅ ⋅⋅ == ⋅⋅ ⇒⇒ ⋅⋅

T = p yb ⋅⋅

h = T - T

pa b


- 45 -

En efecto:

Si tenemos la tensión en dos puntos del cable a y b, de coordenadas ya e yb, sabemos que:

Tb = p · yb

Ta = p · ya La altura h será:

h = ya - yb luego:

h = y - y = T

p -

T

p=

T - T

pa b

a b a b

Hargrave

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