2 NDICE Programa de tercer ao3 Trabajo Prctico 0 4 Unidad 1: Funciones. Algunas definiciones 9 Unidad 2: Las funciones polinmicas I. Funcin lineal18 Unidad 3: Las funciones polinmicas II. Funcin cuadrtica29 Unidad 4: Las funciones polinmicas III.39 Unidad 5: Las funciones racionales e irracionales 49 Unidad 6: lgebra de funciones56 Respuestas 59 Trabajo Prctico 0 (4to Ao)72 Problemas de Olimpadas (2do Nivel)77 3 PROGRAMA DE MATEMTICA PARA TERCER AO. 2010 Unidad 1. Funciones Definicindefuncin.Grficos,Crecimientoydecrecimiento.Funcionespareseimpares. Translacionesysimetras.Cerosdeunafuncin.Clasificacindefunciones.Lafuncin biyectiva y su inversa. Unidad 2: Las funciones polinmicas I. Funcin lineal Polinomio,funcinpolinmica.Funcinlineal,ecuacindelarecta.Paralelismoy perpendicularidad . Problemas. Unidad 3: Las funciones polinmicas II. Funcin cuadrtica Funcin cuadrtica. Clasificacin. Movimientos. Ecuacin de segundo grado. Interseccin de parbola con recta. Unidad 4: Las funciones polinmicas III. Cerosdeunafuncinpolinmicaengeneral,multiplicidad.Operacionesconpolinomios. RegladeRuffini,Teoremadelresto.Divisibilidad.Resolucindeecuaciones.Teoremade Gauss.Descomposicinfactorialdeunpolinomio.Clasificacin.Movimientos. Representacinaproximadadefuncionespolinmicasapartirdeceros,intervalosde positividad y negatividad Unidad 5: Las funciones racionales e irracionales Funcinracional.Funcinhomogrfica.Operacionesconexpresionesalgebraicas racionales. Ecuaciones. Problemas. Funciones irracionales. lgebra de funciones. Problemas Unidad 6: lgebra de funciones. Igualdad de funciones. Suma, producto, cociente de funciones. Composicin de funciones. 4 TRABAJO PRCTICO 0 para Tercer Ao- 2011 1) Operar para reducir la expresin: a) a(a+1)(a-1) a3 - a(2a+1) b) (1-b)2. (b-1)3 : (1-b)4 2) Completar las siguientes expresiones para que sean trinomios cuadrados perfectos y escribir como binomio al cuadrado. a) x2 -4x+..b) 4 a2 -8a+. c) 9+2a+ 3) Factorizar las siguientes expresiones: a) x2+2x b) x3-x2c) ax+ab+cx+cb d) x2 -2x + ax -2a e) x2 +x ax af) x2 a2 g) 4x2 a2 h) a2x2 - 14 i) x2 3 j) x2 6x +9 k) 4x2 +4x +1 l) x3-x m) 25x2 + 10x + 1

4) Dados los siguientes conjuntos de nmeros reales, expresarlos como intervalo y realizar las operaciones que se indican: AUF, BC, FC , D-A { } 0 ) .( 2 /2< = x x x x A)`||

\| =21. 22125/12xx B

)`> = 021/2xxx C ( ))`++ = 012/22xx xx D{ } x x x E 3 /3 =)`> = 23/xxx F 5) Realizar las siguientes operaciones en R en forma exacta: a)( ) ( )( ) 3 2 . 3 2 1 2 1 2 2 32 + + b) 3545 20 5 2 + c) 1 2132982418+ + +d)12317551273 11 + + 6) Verificar las siguientes identidades0 / , > > b a b aa). a b a b a b + = b)aba ba b b a=++ 5 c) ( )222a ba b aba b ab= + ++ d) bb a ab a b ab a b a2 2 += + + + e) 2 2 2 22 . 2 a b ab a b ab a b + + + = f) 2 2 2 2 2 4 422 2 2 2a b a b a a bba b a b+ =+ + g) ( )3 2a b aabb ab ab+= 7) Resolver las siguientes ecuacionesa) 2 x42 x= + b) 2 227 1( 2) 3. 14 2 4x x xx| | + + = + + |\ c)2 22(3 2) (3 2) 984 2 4x xx + + = d) 3 4 x 5 x2 2= +e)31 x 1 x1 x 1 x= + + + 6 8] Indicar cules de los siguientes grficos corresponden a funciones de A en B y cules no. Justificar la respuesta. A B 9) Indicar cul es el conjunto imagen de f 10)1 x 2 ) x ( f / : f = calcular el valor de x tal que a)f(x)=2b) f(x)=-1 11) Dada la funcin: f: / 1 x x ) x ( f3 + =calcular :f(0), f(-1), f(-2), f(0,5), f(-1/3) 7 12) Hallar dominio mayorante (mximo en sentido de inclusin) de las siguientes funciones y expresarlo como intervalo: a) 2 19) (2 +=xxx fb) ) 1 x )( 9 x (1 x 2) x ( f2+ +=c)f(x)= 2 x si2 x11 x six3d)( )( ) 112=x x xx f e)( )1422=xx xx f f) 21) (+=xxx f 13) Las localidades A, B y C estan alineadas, B se encuentra entre A y C a 40 km de A. Un tren parte de A hacia C con una velocidad constante de 90 km/h. Simultneamente parte de B hacia C otro tren a velocidad constante de 60 km/h. a)graficar la distancia hasta A en funcin del tiempo para ambos trenes en un mismo grafico. b) Expresar analticamente ambas funciones c)Calcular en que momento y a que distancia de A se encuentran. 14) Un recipiente con agua que se encuentra a 30o se pone a calentar de forma tal que la temperatura aumenta en forma constante hasta alcanzar el punto de ebullicin (100o) a los 5 minutos. Se retira y se deja a temperatura ambiente de 20o tardando 20 minutos en llegar a la misma (y suponiendo que desciende en forma constante). A temperatura ambiente se mantiene el resto el tiempo. a) Graficar la temperatura del agua en funcin del tiempo.b) Expresar analticamente la funcin c) Hallar la temperatura a los 3 minutos, 10 minutos y 40 minutos de comenzada la experiencia. 15)Pedrosaleenbicicletadesucasaalas12delmediodaavelocidadconstantede20 km/h hasta la casa de su amigo que dista 50 km de su casa, al llegar, permanece all por 2 hs y regresa a velocidad constante de 30 km/h a)Escribir analticamente la funcin distancia (a la casa de Pedro) en funcin del tiempo. b)Graficar c)Hallar: c1) Momento en que se encuentra a 40 km de su casa c2) Distancia a su casa a las 13 hs Respuestas: 1) a) -2 a (1-a),b) b-1 2) a) (x-2)2b) (2a-2)2c) 233a | |+ |\

3) a) x(x+2)b) x2(x-1) c) (a+c) (x+b) d) (x-2) (x+a) e) (x+1) (x-a) f) (x-a) (x+a)g) (2x-a) (2x+a) h) (ax-1/2) (ax+1/2) i) (x- 3 ) (x+ 3 ) j) (x-3)2k) (2x+1)2 8 l) x(x-1)(x+1) m) 5x+1)2 4) A= (0,1); B=) ;27[ ]23; ( + ;C=) ; 2 ( ) 1 ; 2 ( + D=[-2;0] {-1} (; 3 0; 3 E

=

; ( ) {} 3;1 0 F= ( ) 3;1 A F = - {0} ;( )3 72;1 2; ;2 2B C| | = + | \

( ] {} [ ) ; 3 0 1;CF= + ; [ ] { } 2; 0 1 D A = 5) a) 3-2 6 b) 53c) 1 2635+ d) 361721+ 7) a)8 b) 185c) 97 d)2 e) 35 8) a) si, b) sic) no d) si e) sif) no 9) a) [0; 2.5] b) [-2,) + 10) a) 23b) 0 11) f(0)=-1; f(-1)= -1;f(-2)= 5 ; f(0.5)= 58; f(31 )= 1072712) a) [-3;3) b) R {-3; -1; 3}c)) ; 2 ( ] 1 ; 0 ( ) 0 ; ( + d)) ; 1 ( + e)) ; 4 [ ] 0 ; 1 ( ) 1 ; ( + f) (-2;1] 13) b) Primer tren :f1(t) = 90.t Segundo tren: f2(t)= 60t + 40 Tiempo medido en horas, velocidad en km/h y distancia en km d)se encuentran despus de 1h 20 min y a una distancia de A de 120 km 14) b) > < +=25 2025 5 ) 5 ( 4 1005 0 14 30) (t sit si tt si tt T (tiempo medido en min y temperatura en grados centgrados) c) A los 3 min: 72o,a los 10 minutos: 80o,a los 40 minutos: 20o 9 Unidad I: Funciones.Algunasdefiniciones Comoyasabemos,unafuncinfdeAenBesunaasignacinquelehace corresponder a cada elemento del conjunto A (llammosle genricamente x) uno yslo un elemento del conjunto B (llammosle genricamente y) que es la imagen de x por f, Simblicamente ) x ( f y / B A : f = , con las siguientes condiciones: 1.Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen En smbolos: A x ,) x ( f y / B y = 2.La imagen de cada elemento x A debe ser nica.En smbolos: A x :z y f ) z , x ( f ) y , x ( = A es el Dominio de la funcin} ) , ( / { f y x B y A x Df = . Recordemosquecuando fvaraenlosReales,se denominaDominioMayoranteal campo de existencia de la funcin en R. Es decir al conjunto de valores de x para los cuales la expresin f(x) existe como nmero real. El dominio mayorante es el conjunto que incluye a todos los conjuntos que pueden ser tomados como dominio para esa f. Por ejemplo si la funcin est dada por 2) (2+=xxx f , la expresin est definida para cualquier valor de x excepto para x=-2. Luego el dominio mayorante de la funcin ser} 2 { Df = . Notemos que cualquier subconjunto de este conjunto puede ser tomado como dominio de f. El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algn elemento deldominiosedenominaConjuntoImagenoRecorridodef.Ensmbolos: } f ) y , x ( A x / B y { If = Se llama imagen de un elemento del dominio a un fI y B y 0 0/DiremosqueA x 0esunapreimagendeunelementodeBsiseverificaque 0 0 0) ( / y x f B y = Se denomina Grfica de f al conjunto de los pares (x,y) tales que y es la imgen de x a travs de f, o sea, los pares de la forma (x, f(x)) Lagrficadeunafuncinsepuedeexpresardedistintasmaneras:porenumeracinde pares,medianteunatabla,endiagramadeflechas,enungrficocartesiano,etc. Obviamente, algunas de estas representaciones slo son posibles cuando los conjuntos son finitos, por ejemplo, la enumeracin de pares. 10 I ntersecci onesdel agrfi cadefconl osejescoordenadosdeun si stemacartesi ano Sonlospuntosenquelagrficadeunafuncininterceptaalosejesdeabscisasyde ordenadas. a)Conelejedeordenadas(y):Seobtienehaciendox=0.Esdecir,correspondealpar (0,f(0)) (observemos que si existe es nico tal como lo exige la definicin de funcin de x) b)Con el eje de abscisas (x): Se obtienen para aquellos valores de x del dominio donde se anula el valor de la funcin. Dichos valores de x se denominan ceros de la funcin y son las soluciones o races de la ecuacin f(x)=0 Ejerci ci os 1)Hallarlascoordenadasdelasinterseccionesconlosejesyceros,siexisten,delas funciones de los ejercicios 6 y 7 del TP0. 2) Hallar los ceros de las siguientes funciones definidas de R en R a) f(x)= x2-x b)f(x)= 3x3-x c) f(x)=21xx 11 Funci onesmontonas a)Funcin creciente f: AB /y = f(x) es creciente en A x1A y x2A: x1 < x2 f(x1) f(x2) b)Funcin estrictamente creciente ) x ( f ) x ( f x x2 1 2 1< 0 a)La grfica de y=f(x)k se obtiene desplazando la curva de y=f(x) en la direccin del eje y. i)k unidades en el sentido positivo si y=f(x)+k ii)k unidades en el sentido negativo si y=f(x)-k b)La grfica de) k x ( f y =se obtiene desplazando la curva de y=f(x) en la direccin del eje x. i)k unidades en el sentido positivo si y=f(x-k) ii)k unidades en el sentido negativo si y=f(x+k) Ejerci ci os 9)Dadal asi gui ent erepresent aci ngrf i cadeunaf unci nf enunsi st ema cart esi ano, graf i car: 10) a) Representar: x6) x ( f / } 0 { : f = b) 2 x6) x ( g / A : g= Hallar A (Dominio mayorante). Vincular g con f, representar g sin tabla de valores. 0 1 2 3 4 5 6 7 8x0123456789ya) g(x)=f(x+2) d) g(x)=f(x) - 3 b)g(x)= f(x-3)e) g(x)= f(x+2) - 5 c) g(x)=f(x) + 2 f) g(x) = f(x-3) + 2

16 Clasificacin de Funciones Funcin inyectiva: Una funcinB A : f es inyectiva si y slo si a elementos distintos del dominio (A) le corresponden imgenes distintas en el conjunto de llegadaB. En smbolos: )) x ( f ) x ( f x x ( : A x , x2 1 2 1 2 1 o bien, 2 1 2 1x x ) x ( f ) x ( f = =Grficamentesiunafuncinesinyectivacualquierrectaparalelaalejexnopuede interceptaralgrficodeellaenmsdeunpunto,yaqueningnelementodelconjunto imagen puede ser imagen de ms de un elemento del dominio. Ntese que f es inyectivaf es estrictamente creciente ( o estrict. decreciente). Funcin sobreyectiva:Una funcinB A : f es sobreyectiva si y slo si todos los elementos del conjunto B tienen preimagen en el dominio A. Dicho con otras palabras el conjunto B y el conjunto imagen de f deben coincidir. B y ) x ( f y / A x = Funcin biyectiva:Una funcin es biyectivaes inyectiva y sobreyectiva simultneamente Ejercicios: 11) Sea la funcin cuya frmula es4 ) (2 = x x f .a) Graficar. b)Unir con flechas segn corresponda: si : f f no es inyectiva ni sobreyectiva si +0: f f no es funcin si+ 0: ff no es inyectiva pero es sobreyectiva f es inyectiva pero no es sobreyectiva c)Indicar un par de conjuntos A y B para que: 4 x ) x ( f / B A : f2 = sea funcin biyectiva. 12)Algunosdelosgrficosdelejercicio5delTP0correspondenafuncionesdeAenB. Clasificar dichas funciones. 17 13)DadosA={1, 2, 3}yB={3, 7} a)Def i ni r, si esposi bl e, unaB A f :quesea:a. 1)Sobreyect i va a.2) Inyectiva b) Se puede definir en estos conjuntos una funcin biyectiva?Explicar la respuesta c) Qu condicin deben cumplir dos conjuntos para que se pueda definir una funcin biyectiva entre ambos? Funcin Inversa Se denomina relacin inversa de una funcin f definida de A en B, a la que se obtiene de invertir los pares de f y se denomina f-1 Es decir dada f definida de A en B, cuya grfica est constituda por los pares (a,b), la relacin inversa de f (f-1 ) est constituda por los pares (b,a). Esta relacin queda definida de B en A y no siempre es funcin en dichos conjuntos. Por ejemplo: Si A={1, 2, 3} y B={3,7} yB A f : / f= {(1,3), (2,3), (3,7)}, su relacion inversa A B f :1, f-1= {(3,1), (3,2), (7,3)} No es funcin de B en A. QucondicionesdebecumplirunafuncinB A f : paraquesurelacininversasea funcin de B en A? Si la funcin admite funcin inversa y existe una expresin analtica a travs de una frmula y=f(x), para hallar la expresin analtica de la inversa cambiamos x por y, e y por x (es decir invertimos los pares), y despejamos la variable y, si es posible.

Ejerci ci os 14) Dada la funcin f: 2 ) ( / ) , 2 [20+ = + +x x f . Clasificarla y hallar, si existe, su inversa.

15). x ) x ( f / : f3= Clasificarla y hallar, si existe, su inversa. Representar. Los grficos de funciones inversas son simtricos respecto de la bisectriz de primero y tercer cuadrante, o sea la recta y=x siempre que la escala utilizada en ambos ejes sea la misma. 18 Unidad 2:Funciones polinmicas I. Caso particular: Funcin lineal Llamamos polinomio de grado n en x a la expresin:0 111.... ) ( a x a x a x a x pnnnn+ + + + = en la cual na a a ,....., ,1 0 ,N n Ejercicios 1) Indicar cules de las siguientes expresiones son polinomios: a)x3 g) (x-1)(x+3) b) 2x 5 +h) 0 c) x1 x + i) 1 d)2 x 3 +j) x1 e)x k) 3x-2 f)2 x + 2)Ordenarlossiguientespolinomiossegnlaspotenciasdecrecientesdelavariabley determinar sus grados. a) 2 4221x x +b)-1+x c)-3 d) 543x e) 22 3 x + f) 22 3 x + +g)-3x x 221 x2 + Funcin polinmica Una funcin polinmica, es una funcin que asigna valores a travs de un polinomio, es decir: 0 111.... ) ( / : a x a x a x a x f fnnnn+ + + + = Se dice que la funcin es de grado n con0 anyN n , na a a ,....., ,1 0 Ejemplos: si n=1 0 1) ( a x a x f + =se denomina Funcin lineal Si n=2 , 0 122) ( a x a x a x f + + =se denomina Funcin cuadrtica Si n=3 , 0 12233) ( a x a x a x a x f + + =Funcin cbica En esta unidad nos detendremos particularmente en la funcin lineal -19- Funcin lineal Paraevitarlossubndices,expresamosalafuncinlinealcomo:b mx ) x ( f / : f + = dondemybsonnmerosrealesllamadospendienteyordenadaalorigen respectivamente. Lospuntos(x,y)delagrficasontalesquey=mx+byestnalineados.Sediceque y=mx+b es la ecuacin de esta recta. Casos particulares de funcin lineal: a)Funcin constante: es aquella en la cual m=0, es decir f(x)=b. Asigna a todo valor de x del dominio, el numero b. La grfica es una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b) b)Sib=0f(x)=mx.Lospuntosdelagrficaenestecasoconformanunarectaque pasaporelorigendecoordenadas(0,0).Cuandom=1,f(x)=x,sedenominafuncin identidad porque asigna a cada valor del dominio el mismo valor como imagen. Ejercicios 3)a)Graficarlafuncinidentidadeindicarqunguloformalarectaconelsemieje positivo de las x. Justificar. b) Graficar/ : f a)f(x)=2x y f(x)= x32 Calcularlatangentedelngulodeterminadoporcadaunadelasrectasyelsemieje positivo de las x. Qu observas?c)Idem/ : f a)f(x)=-3xb)f(x)=21 x Pendi entedeunarecta Graficar:2 x32) x ( f / : f + = Medir el ngulo determinado por el semieje positivo x y la recta. Calcular la tangente de ese ngulo. A qu es igual dicha tangente? y=mx+b La recta forma con el eje x un ngulo A(0,b) ) 0 ; ( ) 0 , (mba C = =Relacin entre m y :En el tringulo rectngulo AOC es: tg= m)mb(baba 00 bCOAO= ===Luegolapendientenosdalatangentedelnguloqueformalarectaconelsemieje positivo de las x medido en sentido contrario a las agujas del reloj. -20- b mx y r P + = 2 2 2 - b mx y r P + = 1 1 1 ) x x ( m y y1 2 1 2 = tg mx xy y1 21 2= = Definimos: 1 2y y y = como el incremento o variacin de y. 1 2x x x = como el incremento o variacin de x.

xytg= Cul es el rango de valores que puede tomar ? Ejercicios 4) Escribir la ecuacin correspondiente a cada uno de los siguientes grficos. 5) Representar las siguientes rectas, teniendo en cuenta su pendiente sin hacer tabla de valores:y=4xx23y =35y = xy=-x 6)Dadal af unci n l i neal general b mx ) x ( f / : f + = , anal i zarsi :a) f es una funcin montona b) En qu condiciones es una funcin estrictamente creciente c) En qu condiciones es una funcin estrictamente decreciente 7) Representar la funcin dada y todos los desplazamientos indicados en el cuadro: Recta Desplazamiento respecto de y=1/2xf(x)=1/2xf(x)+1=1/2x+1f(x)-2=1/2x-2f(x+1)=1/2(x+1)f(x-1)=1/2(x-1) -21- 8) Representar en un mismo sistema de ejes: a) f(x)=3x b) g(x)=-f(x)c) Qu relacin existe entre las grficas? 9) Prescindiendo de la ecuacin correspondiente a la funcincuyogrficoeseldelafigura,obtenerel grfico correspondiente a: y=ax y=ax-b y=-ax y=ax+2b y=-ax+b 10) Sea la funcin: f(x)=-3x+4 a) Si trasladamos la grfica de f 3 unidades hacia arriba la ecuacin correspondiente es :y=.................... b)Sirealizamosunasimetradeejexlaecuacincorrespondientees: y=...................... c)Sirealizamosunasimetradeejexyluegounatraslacinhaciaabajo5unidadesla ecuacin correspndiente es:y=..................... Realizar los grficos correspondientes. 11) Sea la funcin:1 x21) x ( f / : f = . Se pide: a) Grfica b) Ceros, c) Clasificacin, d) Definir) x ( f1 , grfica correspondiente. 12)Dadalafuncinlinealgeneralf(x)=mx+bdefinidadeRenR,clasificarlaenlos siguientes casos: a) m 0 b) m=0 Ecuacin de una recta que pasa por P(x0,y0) y tiene pendiente m b mx y + = r P0 b mx y0 0+ = ) x x ( m y y0 0 = Ecuacin de una recta conocidos dos de sus puntos:P1(x1,y1)P2(x2,y2) Vimos anteriormente que su pendiente sera 1 21 2x xy yxym==y la ecuacin de una recta que pasa por un punto P1(x1,y1) de pendiente m es:y-y1=m(x-x1) Entonces: ) x x .(x xy yy y11 21 21= 1 211 21y yy yx xx x=

-22- Ejercicios 13) Dada x52y / : f + = se pide: a)Ceros de la funcin b)Hallar A= } 0 ) x ( f / x { c)Hallar B= } 3 ) x ( f 2 / x { < d)Hallar D= } 1 x / ) x ( f { > e)Hallar E={ } 5 , 1 x 0 / ) x ( f < 14) Siendo f una funcin lineal de variable real se sabe f(5)=4 yf(-2)=5, hallar la ecuacin de la recta correspondiente. 15) Hallar la ecuacin de la recta que verifica: a) Ordenada al origen igual a 7 y = 45b) Ordenada al origen igual a 7 y = 120 16) Hallar la ecuacin de la recta r que pasa por P0=(1,-9) y cumple la siguiente condicin: a)Tiene ngulo de inclinacin = 45b)Tiene pendiente 31 c)Tiene ordenada al origen 2 d)Pasa por el origen de coordenadas 17) Hallar f, sabiendo que es una funcin lineal de variable real que asigna a los valores del intervalo [1,3], el intervalo [2,5].Cuntas posibilidades hay? 18) Todas las rectas del plano representan funciones? 19) a)Indicar si P, Q y R estn alineadosP(3,2)Q( )43,41R(1,0) b)De acuerdo al grfico, indicar coordenadas de P1

20) Coordenadas del punto de interseccin Resolver este ejercicio grfica y analticamente. a)= += + y 2 7 x 30 9 y 2 x 5b) = = +4 y x 22 x 6 y 3c)= += y 3 10 x 4 / 93 / 40 x 3 y 4 -23- I ntersecci nderectas Pueden presentarse los siguientes casos: a)Hay un nico punto de interseccin. Se trata de un sistema compatible determinado. b)Seobtienendosrectassuperpuestasyenconsecuenciahayinfinitospuntosde interseccin.Setratadeunsistemacompatibleindeterminado(existeninfinitas soluciones) c)Seobtienendosrectasparalelasnocoincidentesy,porlotanto,lainterseccines vaca.Setrata de un sistemaincompatible(notienesolucin).Clasificalossistemas del ejercicio 20. Paral el i smoyperpendi cul ari dad a)Paralelismo r rb x m y r + = sy=ms x+bs r sr =s r=stgr=tgsmr=ms (por ser 180 0 180 0 < < s r ) Conclusin:Para que dos rectas sean paralelas las pendientes deben ser iguales. Ejerci ci o 21) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por P0(2,1) y es paralela a la recta determinada por los puntos P1(1,-3) y P2(-3,0). -24- b)Perpendi cul ari dad Paraquedosrectasseanperpendicularesla pendientedeunadeellasdebeserlarecproca cambiada de signo de la otra. Queda la justificacin para el alumno Analizar el caso especial de rectas paralelas a los ejes coordenados. Ejerci ci os 22)HallarlaecuacindelarectaquepasaporP0yesperpendic.ar:P0(-1,2) r34x31y = 23)HallarlaecuacindelarectaquepasaporP0(-1,2)yesperpendicularalarecta determinada por los puntos P1(0,4) y P2(6,6). 24) Responder Vo F. a) La ecuacin de la recta del grfico es 321+ = x y(Considerandoquelasunidadesmarcadas representan 1, 2, 3) b) + = = 4421x y rx y r 2 1r r c) + = + = 2942121x y rx y r)} 3 , 1 {( r r2 1 = 25) Hallar el rea del tringulo determinado por la recta r y los ejes coordenados siendo r la recta que pasa por M=(4,-1) y es ax21y r1= 26) Hallar h y k de manera tal que las rectas de ecuaciones: 0 3 x 5 y 3 = 0 h y kx 2 = + seana)perpendiculares b)paralelas, no coincidentes c)coincidentes -25- Formasegmentari adel aecuaci n deunarecta 1bcyacxc by ax0 c by ax r=+ = += + + abscisa al origen: pac= ordenada al origen: qbc= 1qypx= + Ejerci ci os 27)Escribir la forma segmentaria de r y representar:a) 0 12 y 4 x 3 r1= + b) 0 4 y 4 x 2 r2= 28)Escribirlasecuacionesdelasrectasquecontienenalosladosylasdiagonalesdel rombo. (Considerando que las unidades marcadas representan 1, 2, 3, ... ) 29) a) Completar la tabla teniendo en cuenta los datos de la figura Forma implcita ax+by+c=0 Forma explcita y=mx+b Forma segmentariar1r2r3r4r5 -26- siendo 2r r1r3 eje xr4eje yr5 r1 b) Hallar coordenadas de los puntos de interseccinc)Hallar ceros, si existen 30) Determinar k tal que la recta de ecuacin0 k 2 y53kx= +tenga abscisa al origen igual 3) 0 k ( . 31) Un estudio determin que la altura de un rbol y la longitud de la sombra que produce (en una cierta hora del da) tienen una relacin lineal. Si el rbol mide 2 m, la longitud de su sombra ser de 3 m. Si mide 9m, la longitud de su sombra ser de 13,5 m. a)Cul ser la altura de un rbol que produce una sombra de 18 m? b)Encontrar la funcin que relaciona las dos variables anteriores. Graficar. 32) Un resorte mide 7 cm cuando colgamos de l 10 g y mide 13 cm cuando colgamos 80 g. a)Escribir la ecuacin que relaciona la longitud L con el peso P. b)Cul es la longitud del resorte cuando no colgamos ningn peso? c)Teniendo en cuenta que el resorte empieza a deformarse y perder elasticidad cuando sealarga5vecessulongitudinicial.Culeseldominiodedefinicindelafuncin L(P)? d)Cul es la variacin de longitud por cada 10g? Y por cada 5g? Y por cada gramo? 33) Un depsito se vaca mediante una bomba de agua. El volumen de agua que queda (enm3)vienedadoport218 ) t ( V = .Cuntosm3deaguahabralponeren funcionamientolabomba?Culserlafrmuladelvolumensieldepsitosevacacon una bomba 4 veces ms potente que la original? -27- Funciones lineales por tramos 34) Sea < += 3 x si 23 x si 4 x 2 / 3) x ( f / : f .Se pide : Graficar, definir If, clasificar, ceros. 35) Sea < < < = 2 x si 45 x 2 si 2 x) x ( f / A : f .Se pide: graficar, definir If, clasificar, ceros. 36) Sea = ........ .......... ................. .......... ..........) ( / : x f fa) Completar teniendo en cuenta el grfico. b)Es inyectiva? c)Es sobreyectiva? d)Ceros e)Buscarunarestriccinparaquesea biyectiva y hallar la inversa. Funci nmdul o Seax ) x ( f / : f = Por definicin de mdulo de un nmero real podemos escribir: 00) ( / :< = x si xx si xx f f Ejercicios 37) a) Conjunto imagen y clasificacin de la funcin anterior. b) Si no es biyectiva buscar una restriccin que lo sea y definir la funcin inversa de la misma. Nota:esinteresanteobservarqusucedeconelgrficodeunafuncincuandole aplicamos el mdulo. -28- Representamos y=x ex y =La semirrecta que est incluida en el semiplano inferior en la representacin de y=x pasa a ocupar el semiplano superior en la representacin dex y = . Son simtricas respecto de x. 38)Representarenunmismogrficoy=x+1e + = 1 x y sinutilizartablade valores para la segunda. 39) Graficar las siguientes funciones:/ : f a) f(x)=3- xb) f(x)=1+ 1 x 40) A partir del grfico de f: x ) x ( f / = representar:a) g(x)=f(x+2) b)s(x)=f(x-2) c)h(x)=f(x)+1 d) t(x)=-f(x) -29- Unidad3:FuncionespolinmicasII.Casoparticular:Funcin cuadrtica Una funcincuadrticaes una funcin : f dadaporc bx ax x f + + =2) ( donde a, b, c y. 0 a Lospuntosdelagrficaconformanunacurvallamadaparbolacuya ecuacin es c bx ax y2+ + = . Los ceros de f, son los x/02= + + c bx ax . Qu representan en el grfico de la parbola los ceros de la f? Ej erci ci os 1) a) Dadas las siguientes funciones cuadrticas, hallar ceros (completar cuadrados para resolver las ecuaciones del tipo02= + + c bx ax en los casos que sea necesario) b) Graficar e indicar eje de simetra. c)Indicar coordenadas del punto de interseccin del grfico con eje y. 1)f(x)= x2-6x+9 5) f(x)=-x2+2x-2 2)f(x)=3x2 2 6) f(x)=4x2-16x+12 3)f(x)=x2+4x+1 7) f(x)=x2+4x+5 4)f(x)=3x2-12x8) f(x)=-x2+x d) qu incidencia tienen en el grfico a, b y c? 2)a)Verificarquetodaecuacindeltipoy c bx ax = + +2sepuedeescribirdelaforma: 020y ) x x ( a y + = , (forma cannica) b) Qu representa el punto(x0,y0) en el grfico de la parbola? c) Cul es la ecuacin del eje de simetra? 3) En las funciones del ejercicio 1,a) Escribir la ecuacin de la parbola asociada a cada caso en forma cannica, expresar coordenadas del vrtice y ecuacin del eje de simetra b)Indicar en todos los casos: imagen, intervalos en que f(x) 0 (analticamente) c) Estudiar paridad d) Indicar intervalos de crecimiento y decrecimiento e) Clasificar c/u de las funciones. f) Hallar en cada caso una restriccin para que sea biyectiva y encontrar la inversa. Desplazamientos Podemos representar una parbola cualquiera expresada en forma cannicay=a(x-x0)2+y0 mediante desplazamientos de y=ax2. Ejemplo: 1 ) 2 x ( 3 4 4 x 2 . 2 x 3 x 4 x y2 2 2 = + + = + =La grfica es una parbola que se obtiene desplazando la grfica de y=x22 unidades en el sentido positivo de x y 1 unidad en el sentido negativo de y. -30- Ejercicios 4) Dadas las parbolas 1 121 12 222 2c x b x a y pc x b x a y p+ + = + + = donde 2 1a a = hallarlasecuacionesdep1yp2teniendoencuentaencadacasolos datos que figuran en las grficas. a) b) 5) a) Dada la parbola 21 1) 2 x ( a y p = hallar la ecuacin de la parbola p2que pasa por el punto Q=(0,5) y tiene el mismo vrtice que P1.Cul es el valor de a1 sia2=2 a1? b) Dar la ecuacin de la parbola que pasa por los puntos: A(0,6) B(4,-10) C(2,6) Determinar los ceros y el vrtice. Graficarla .Determinar su imagen.Decir en qu intervalo es positiva y decreciente simultneamente y en cul es negativa y creciente. Frmul ageneral paraencontrarl asracesdeunaecuaci nde segundo grado Deduciremos una frmula para encontrar las races de una ecuacin de segundo grado o ceros de una funcin cuadrtica en forma ms prctica que completando cuadrados. 0 c bx ax2= + +(ecuacin de segundo grado) dividimos por a: 0acxabx2= + +completando cuadrados: 04 4 21. 22224422)2(222= + + ++ a ac babxacababxabx 0a 4ac 4 ba 2bx222=|||

\|+ 222442a ac babx=|||

\|+ -31- 222442a ac babx=|||

\|+ 22442 a ac babx= +

a 2ac 4 b bx2 + = a 2ac 4 b bx2 =Frmula resolvente de la ecuacin de 2do. Grado

aac b bx242 = Vemos que para hallar esta frmula, simplemente se han resuelto en trminos generales losmismosclculosquehemosrealizadoparaloscasosparticularesplanteadosenel ejercicio 1 con valores numricos, con la ventaja de haber obtenido una expresin general en funcin de los parmetros a, b y c. Ejercicios: 6)Detodoslosrectngulosdepermetro8hallarlasdimensionesdelquetienerea mxima. 7) Hallar dos nmeros de suma 36 y de producto mximo. 8)UnacompaadeTVporcabledeacuerdoconunestudiodemercadosabequeel ingreso mensual de la empresa cuando la tarifa es de x pesos mensuales viene dada por la funcin(x)=500(300-x).x (0 races reales y distintas (races simples) c)0 < no existen races en el campo real Ejemplo: Determinar la naturaleza de las races de las ecuaciones. -34- a) ( ) ( ) 0 , 5 5 25 10. 5 00 25 102 22 12 + = + + = = = = = + +V x x x ydoble Raiz x xx x El eje x es tangente a la parbola. b)

||

\| ||

\|+ = + = = = > = +481,27481278 71 8 00 8 7222 1 2 12Vx x x ysimples Raices x x x xx x El eje x corta a la parbola en dos puntos. c) ) 12 , 1 (12 ) 1 ( 3 15 6 3sin 00 15 6 32 22+ + = + + =< = + +Vx x x yreales racesx x El eje x no corta a la parbola. -35- Ejercicios 14) Indicar Vo F justificando. Sean x1 y x2 races de un ecuacin de segundo grado ax2+bx+c=0 y su discriminante. Si x1,x20 Si0 x x2 1= =Si0 0 a > Siac 4 b x x22 1> 15) Siendo a 2bx1 + =y a 2bx2 =las races de la ecuacin0 c bx ax2= + +(a ) 0 obtener x1+x2 y x1.x2 16) Hallar una ecuacin de segundo grado cuyas races son: x1=5 yx2=-7 17) Reconstruir la ecuacin:0 c bx ax2= + +sabiendo que sus races son: a)8 x 2 x2 1= = y a=2 b)3 1 x 3 1 x2 1+ = = y21a =18) Calcular en cada caso el valor que debe tener m para que la ecuacin: a)0 m x21x 22= + +tenga raz dobleb)1 m x x2= + +tenga una raz nula c)0 m x 8 x2= + tenga una raz igual al triplo de la otra 19) Hallar k para que la ecuacin tenga raz doble a)( )211 22 = x k xb)0 4 ) 1 ( 22= + + k x k x20) Hallar k para que la suma de las races sea igual al producto. a)0 k x ) 3 k 2 ( x2= + b)0 5 k 3 x ) 1 k ( x 22= + + + 21) Hallar k para que x1=0 a)0 1 k 4 kx 5 x 52= + b)0 1 k kx 3 x2= + + 22) Hallar k sabiendo que una raz es 3 veces la otra:0 k x 8 x2= + + -36- Fact ori zaci ndel t ri nomi odesegundogrado ||

\|+ + =+ + =acxabx a yc bx ax y22 pero: abx x2 1 = + y acx . x2 1=reemplazando: ( ) ( )( )( ) ( )( )( )2 12 1 22 1 2 122 1 2 12x x x x a y) x x ( x x x x a yx x xx xx x a yx . x x x x x a y = =+ =+ + = Ejercicios 23) Factorizar los trinomios: a) 2 3 22 x xb) 45 42 +x xc) 3 42 xd) 1 2 32 +x xe) 180 2 22+ + x x 24) Resolver grficamente las inecuaciones: a) 2 3 22 > x x yb) 45 42 + x x yc) 3 42 x yd) 1 2 32 + < x x ye) 180 2 22+ + x x y 25) Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas a)4x4-13x2+3=0 b)4x4-17x2+4=0 c)4x4-37x2+9=0 d)4(x2-1)2+3x2-3=0 e)(x2-1)2-4(x2-1)+3=0 -37- Rect asecant e, rect at angent eoext eri oraunaparbol a Resolvamos primero grfica y luego analticamente el siguiente sistema de ecuaciones: = + = + recta 4 y x 2parbola y 6 x 5 x2 a)Grficamente

41)25x ( y6 x 5 x y225. 22 =+ =

||

\|+ + =||

\|41,25V6425425x25. 2 x y225x2

Representamos la parbola Representamos la recta LascoordenadasdelospuntosA(2,0)yB(1,2)resuelven el sistema. b)Analticamente: Resolvemos el sistema por sustitucin:

21 3x0 2 x 3 x0 4 6 x 2 x 5 x6 x 5 x 4 x 24 x 2 y6 x 5 x y2222= = + = + + + = + )`+ =+ = x=2 o x=1,y=0 o y=2 ,A(2,0) B(1,2) Obtuvimos 2 puntos. Observemos la ecuacin . Al resolverla el discriminantees mayor que cero por eso encontramos 2 valores distintos para x. Es decir, existen dos puntos de interseccin entre la recta y la parbola. La recta es secante a la parbola. Cmo interpretaras grficamente que el radicando hubiese sido: a)nulo? (en este caso, la recta es tangente a la parbola) b)negativo? (en este caso, la recta es exterior a la parbola) Ejercicios 26) Resolver analtica y grficamente: a)= += + 4 y x 2y 6 x 5 x2 b) =+ + =6 66 4 22x yx x y 27) Dada la parbola y=x2-5x+6, hallar la recta de la forma y=mx+b tal que sea tangente a dicha la parbola en el punto (1,2) (punto de tangencia). -38- Existe otra recta que tenga un solo punto en comn con la parbola en el punto (1,2) y no sea tangente? Indicar la ecuacin. Graficar. 28)Seay=x2-2x-1.Determinarmparaquelarectay=mx-2seatangentealaparbola. Interpretar grficamente e indicar punto de tangencia. 29) Dado el siguiente sistema de ecuaciones = + =1 mx y1 x x 2 y2

indicar para qu valores de m la recta resulta secante a la parbola 30)Dadalaparbola1 kx x 3 y2 = ylarectay=kx-2determinarqucondicindebe cumplir k para que: a)La recta sea tangente a la parbola. Indicar punto de tangencia b)La recta no corte a la parbola 31) Dadax 2 x y2 =se pidea) Ecuacin de la secante que pasa por los puntos de la parbola de abscisas: x1=3 x2=4.b) Ecuacin de la tangente en el punto correspondiente ax1=3. 32) Hallar k para que la recta y=2x+k sea tangente a la parbola y=2x2-2x.Grficos correspondientes. Ejercicios optativos: 34)Sea : fi) Graficar ii) Conjunto imagen iii) Clasificar a)1 221) (2+ = x x x f b) > =1 x si ) 1 x (1 x si 1 x) x ( f2 c)> < + =2 x si212 x si 32 x si 1 x) x ( f2 35) Considerando las funciones del ejercicio 11: a)Enelgrficoquerepresentae=f(t)trazamoslarectaquepasapor(2,4)ytiene pendiente igual a la velocidad para t1=2.Cmo resulta esta recta con respecto a la parbola?b)Trazar en el grfico que representa e = f(t) la recta tangente a la parbola en t0=1,5Cul es la pendiente de esta recta y qu representa dicha pendiente? -39- Unidad 4: Funciones polinmicas III. Funciones polinmicas en general. Polinomios. En la Unidad 2 ya hemos mencionado que la expresin: 0 111.... a x a x a x annnn+ + + + con0 anyN n , n 1 0a ,....., a , ase denomina Polinomio de grado nY la funcin 0 11 n1 nnna x a .... x a x a ) x ( f / : f + + + + = se denomina funcin polinmica de grado n.Lasfuncioneslinealycuadrticaquehemosestudiadoenlasunidadesanterioresson casos particulares de sta cuando n es igual a 1 o 2 respectivamente. En esta unidad trabajaremos en general las funciones polinmicas de cualquier grado. Ejercicios 1) a) Graficar 3x ) x ( f / : f = b) Graficar1 ) 2 x ( ) x ( g / : g3+ = desplazando la grfica anterior. c) Clasificar y=g(x), hallar y=g-1(x) y graficarla. 2) Indicar si es V o F segn corresponda: a)2 es un cero de f(x)=x2+4 b)-2 es un cero de f(x)=x2+4 c)-1 es un cero de f(x)=x3+1 d)-3 es un cero de f(x)=x3+5/2x2-3/2x Sobre los ceros (o races) de una funcin polinmica: Los ceros de una funcin polinmica son las races de la ecuacin:0 ....0 111= + + + +a x a x a x annnn. Siestaecuacinasociadaala funcintiene razx0,simpleo mltipledeordenimpar,la grfica de f atraviesa al eje x en x0. Si la ecuacin asociada a la funcin tiene raz x0, mltiple de orden par, la grfica de f no atraviesa al eje x en x0.Ejemplo: Dada la funcin polinmica:x 3 x ) x ( f3 =deseamos conocer los ceros y los intervalos en los cuales la funcin toma valores positivos o negativos. ) 3 ( 3 ) (2 3 = = x x x x x fCeros: x=0 x= 3 x= 3 Son tres ceros simples la grfica de f atraviesa al eje x en cada uno de ellos. Completar la tabla (- ,- 3 )- 3 ( ) 0 , 3 0 ( ) 3 , 0 3 ( ) + , 3f(x)000 -40- Si adems de esto pudiramos encontrar los mximos y mnimos podramos dibujarla. (la funcin polinmica es continua) Ejercicios 3)En el siguiente grfico, indica en qu punto la funcin tiene un cero de orden impar y en qu punto, un cero de orden par.

4)Encontrarloscerosylosintervalosenloscualeslafuncintomavaloresnegativoso positivos, grfica aproximada:f(x)=x3-3x2. 5)DadaslassiguientesfuncionesdefinidasdeRenR,hallarceros,intervalosde positividad, estudiar paridad. Grficar. Indicar conjunto imagen: a)f(x)=x3+2 b)f(x)=(x+2)3 c)f(x)=(x-1)3+2 d)f(x)=-x3 e)f(x)=2x3 f)f(x)=x4 g)f(x)=-x4+3 6) Clasificar las funciones del ejercicio anterior cuando estn definidas de R en R. Indicar, cuando sea necesario, restricciones en los conjuntos para que sean biyectivas.En esos conjuntos, definir las funciones inversas. Igualdad de polinomios: 7) Determinar a,b y c (nmeros reales) tales que los siguientes polinomios sean iguales:a) p(x)= a(3x-5)+b(2x-1)+cx2 q(x)=6-5x b) p(x)=a(2x+1)+(bx+c)(2x-1) q(x) =(x+1)(4x+3) 3 3 xy -41- Nota: observar que la igualdad de polinomios significa que son del mismo grado y PARA TODOVALORDEXseverificaquep(x)=q(x).Estosignificalaigualdaddelas expresiones algebraicas. Notar la diferencia con la resolucin de ecuaciones. Por ejemplo, cuando se pide resolver la ecuacin 7(3x-5)+2(2x-1)+3x2=6-5xse pide que se hallen, si existen, el o los valores de x que satisfacen esta igualdad, que obviamente NO se verifica para todo x Operaciones con polinomios 8) Dados los polinomios: 2 4x 2 x21) x ( p + =r(x)=-1+x s(x)=-3 5x43) x ( t =2x 2 3 ) x ( q + =2x 2 3 ) x ( v + + =u(x)=-3x x 221 x2 + Hallar a)r(x)-2p(x) b) q(x).v(x)c) q(x)-v(x) d)p(0)= ,p( 2 )=, = ) 0 ( s ,t(-1)= ,q(-1)+p(-2)= 9)Sean 2x21) x ( a = b(x)=4xc(x)= 1 x x 22 3+ .Hallarlasracesocerosdelpolinomio: p(x)=a(x).b(x)+c(x) 10) Dados p(x)=-x+1 q(x)=2x. Hallar p2(x)+q(x) Divisin de polinomios Dados p(x) y q(x) dos polinomios,0 ) x ( q y[ ] )] ( [ ) ( x q gr x p gr existen y son nicos c(x) y r(x) tales que:) x ( r ) x ( c ). x ( q ) x ( p + = , siendo p(x) el dividendo, q(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el resto, verificandose que gr r(x)0)yy0unidadesenelsentido positivo de y (si y0>0) Silafuncinestdadaenlaforma d cxb axx f++= ) ( puedellevarsealaformacannica xy 41-4 21 -2 -1-1 -2 21 11 2 2121 2 51 00) ( yx x kx f +=de dos maneras: Veamos un ejemplo:2 31) (++=xxx f Compl etandol ostrmi nosparasi mpl i fi caryobtenerl aforma canni ca ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 13 3 3 2 1 3 2 3 23 3 3 3 3 3( )3 2 3 2 3 2 3 2 3 2113( ) , 33 3 21191/3:3=1/9, tenemos ( )233x x x xfxx x x x xfx sacando factor comun y operandoxconel numerador fxx+ + + + + += = = = ++ + + + += ++= ++ Obi en, di vi di endol ospol i nomi osseobti enecoci ente 31yresto 31 Por ser una divisin entera 31) 2 3 (311 + + = + x x

Di vi di endomi embroami embropor3x+2 2 331312 31) (++ =++=x xxx f =329131++x Las ecuaciones de las asntotas son 2 1 2 1: :3 3 3 3f fav x ah y D I = = = = ` ` ) ) Ej erci ci os 2] Dadas las funciones: a) 3 21 4) (+=xxx fb) 10 52) (=xxx fc) 42) (2=xxx f d) 50 520 5 , 2) (++=xxx f 52 e) x xxx f2 8 5) (++ =f) 11) (2=xxx fg) 11) (3=xxx f Sepide:a)Graficarlasb)Dominioeimagenc)Cerosd)Enloscasosdefunciones homogrficas: pasaje a la forma cannica y ecuaciones de las asntotas 3]Dadaslassiguientesfunciones,sepideformacannica,ecuacionesdelasasntotas, grficos correspondientes, ceros, intervalos donde la funcin es positiva y creciente. a) 3 21 4) (+=xxx f b) 13 2) ( =xxx f 4] Sea{}3 x1) x ( f / 3 : f= Para qu valores de{} 3 x :a) f(x)>2? b) f(x)>-1? c) 10 a en mg Hasta qu edad un nio debe consumir menos de la mitad de la dosis mxima. Suponiendo a=2 mg. Cul es el grfico que permite visualizar la variacin de la dosis con el tiempo? 10] Sea 1) 1 ( 2) ( / :2+= x x xx f B A fHallar A y B mximos para que la funcin sea biyectiva. Obtener la inversa. Graficar ambas. Operatoria con expresiones racionales 11] Reducir a su mnima expresin haciendo las restricciones necesarias: a) 1 x x1 x1 x2 x1 x12 3+ +++d) ( )81 251 3.331222 + ||

\|+xx x xxxxx b)) 12 4( :1418223+ +x xxxe) ||

\|++++ xxxxxx x71 271 4:77 212 c) |||

\|+ + ||

\|+x 2 x x1 x 2 x1 x2x2 32f)( ) ( )( )2232224214 41 2.1111xxxxx xxxxx|||

\|+++ +||

\|++ 12] Efectuar: 1 x1 x xx11x1x222++ + 13] Hallar A y B para que: a) 2 x x1 x 32 xB1 xA2 +=++ b) 3 x 5 x 213 x 23 xB1 x 2A 22 ++=+ 14](Optativo) Descomponer en fracciones simples: a) 1 xx2 c) 1 xx24 b) 2 x 3 x1 x x 222+ d) x x1 x25+ 54 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con expresiones racionales 15]Resolverlassiguientesecuacionesteniendoencuentaencadacasoeldominiode definicin b) x 66 x6x216 xx++ = c) 3 x33 x19 xx2++= d) 8 x 6 x48 x 132 x3 x4 x6 x2+ +=+++ 16] Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones analtica y grficamente: a) =+=3 x y1 x3 xy b) + =++=21x21y3 x4 x 2yc) =+=1 y1 x1y Funci ones cuyas frmul as conti enen expresi ones i rraci onal es a)x ) x ( f / : f0= +,+ =0 fIceros: x=0. Es estrictamente creciente .. Ejercicios 17]Teniendoencuentalagrficade/ ) ( : R A R A f f(x)= x ymediantesimetrasy/o desplazamientos. Graficar: a)x ) x ( f =b)1 x ) x ( f =c)1 x ) x ( f + = Entodosloscasosobtener:dominiomximo,ceros,conjuntoimagen.Analizarsison biyectivas y obtener las funciones inversas (si es necesario restringir). 55 18] Dada 21 ) ( / ) ( : x x f R A R A f = se pide: a) Dominio mximo, b) Conjunto imagen, c)Ceros,d)Grfica,e)Clasifique,f)Buscarunarestriccinbiyectiva,hallarlainversay graficar en el mismo sistema que f. 19] Sea1 x ) x ( f / A : f + = se pide: a)Dominio mximo, b) conjunto imagen, c) ceros, d) grfico, e) clasificacin, f) intervalo en que la funcin es positivay creciente simultneamente, g) si no es biyectiva buscar una restriccin que lo sea, hallar la inversa y graficar en el mismo sistema que f. 20]Sea 31 x ) x ( f / : f = .Clasificar.Hallarlainversa(siesnecesariorestringir). Graficar ambas. 21] ( )< =2 x si 2 x212 x si 2 x) x ( f2 : fSe pide: representar, conjunto imagen, ceros, clasificar, inversa (si es necesario buscar una restriccin). 22] Resolver las siguientes ecuaciones irracionales, teniendo en cuenta las restricciones: a)5 x x 12 = b)5 x 13 2 x = + c) 2 2x 7 5 x = + d)21 9 x x2 2= + + e)0 1 x 8 3 x 2 1 x = + + + + 56 Unidad 6: lgebra de funciones IGUALDAD Dos funciones f:Df B y Dg C son iguales cuando: Df = Dg ; B = Cy para todo x: f(x) = g(x)Por ejemplo: Las funciones {}24) ( / 2 :2= xxx f R R f y g: RR/ g (x) = x+2

no son iguales ya que Df Dg , sin embargo, notemos que para todo x2, f(x) = g(x).Es decir, sus grficas sern iguales salvo en el punto de abscisa 2 en el cual f no est definida ytiene un "agujero" y sin embargo g(2) = 4 Si definimosuna funcin h: RR/ ==2 4224) (2x six sixxx h , resulta h = g SUMA, PRODUCTO Y COCIENTE Se pueden definir operaciones entre funciones que llamaremos suma, producto y cociente de la siguiente manera: f+g(x) = f(x)+g(x) para todo x , siendo Df+g = Df Dg f.g(x) = f(x).g(x) para todo x , siendo Df.g = Df Dg ) () () (x g x fxgf=para todo x, siendo{ } 0 ) ( / = x g R x D D Dg fgf Ejemplo :Sean f(x) =11 x Df = R-{1} y g(x)=x Dg= +0Rentonces, } 1 {11) )( (0 = += +++R D xxx g fg f } 1 { .11) )( . (0 . ==+R D xxx g fg f } 1 {). 1 (1) ( ==+R Dx xxgfgf

COMPOSICION DE FUNCIONES Analicemos la siguiente situacin: el rea de un crculo depende del radio. Si a su vez el radio aumenta al transcurrir el tiempo segn la funcin r(t) = 3t, resulta: A(r) = 2.r con r(t)=3t El rea del crculo, depende entonces del tiempo a travs de la funcin A(r(t))= 2) 3 .( t Definicin: Dadas dos funciones f:DfIfy g:Dg Igy tales que If Dg, llamamos funcin compuesta g sobre f, a gof:Df Ig / para todo x , gof(x) = g[f(x)] 57 Observaciones: * La imagen de f debe estar includa en el dominio de g para que todos los elementos de Df tengan imagen a travs de la funcin compuesta gof. * La imagen de g es, en general, el codominio (conjunto de llegada) de la compuesta y no su conjunto imagen, ya que puede haber elementos en el dominio de g que no sean imagen de ningn elemento de Df (si la inclusin es estricta) * Si la inclusin pedida en la definicin no se verifica, pueden hacerse las restricciones necesarias para la composicin. Veamos un ejemplo para aclarar estos puntos: Sean f(x) = 2x+1 y g(x)=11 x Df=RIf=R Dg=R-{1}Ig=R-{0} Para realizar la composicin gof debemos verificar que la imagen de la primer funcin a aplicar (f ) est includa en el dominio de la segunda funcin a aplicar (g) . Esto no se verifica, entonces realizamos la siguiente restriccin: Como necesitamos que 1 no pertenezca a If, para eliminarlo, restringimos Df. Notemos que 2x+1=1 cuando x=0. Bastar entonces tomar como Df * =R-{0}, luego la Imagen correspondiente serIf=R-{1} que coincide (y por lo tanto est includa) en Dg. A pesar de que, hechas las restricciones las funciones no son las mismas, usaremos por comodidad las mismas letras para nombrarlas. Ahora; gof:R-{0} R-{0} /gof(x) = g[f(x)] = g[2x+1]=x x 211 1 21= + Para hallar fog, debemos analizar si el Ig est includa en el Df. ComoR-{0} R, podemos realizar la composicin: fog:R-{1} R / fog(x) = f[g(x)]=11111. 211+= += ||

\| xxx xfNotemos que como la inclusin es estricta, el conjunto R es el codominio (conjunto de llegada) y no la imagen de la funcin compuesta fog Como vemos, fog gof. La composicin de funciones no es un operacin conmutativa. Puede demostrarse que la composicin de funciones es asociativa. Composicin de funciones inversas: Sean las funciones biyectivas f:A Byf-1:B Aa travs de f a cada x de A le corresponde un y de B a travs de f-1 a cada y de B le corresponde un x de A O sea f-1 (f(x))= xque se denomina funcin identidad y est definida de A en A Anlogamente, si aplicamos primero f-1, diremos: a travs de f-1 a cada x de B le corresponde un y de A 58 a travs de f a cada y de A le corresponde un x de B Entonces; f(f-1(x)) = x que es la identidad, pero ahora definida de B en B. Las grficas de funciones inversas son simtricas respecto de la recta y=x (grfica de la funcin identidad). Ejercicios 1] Dados los siguientes pares de funciones f y g indicar para cada una dominio mayorante e imagen y hallar f+g, f.g y f/g indicando el dominio mayorante de cada una. a) f(x)= x2 g(x)= 2x-1 b) f(x) = x2g(x) =xc) f(x) = 21 xg(x) = 3x+2 2] Dadas f(x)=xy g(x)= x2 1, hallar: a) f(g(1))b) g(f(1))c)g(f(2)) d) f(g(2))e) fog f) gof 3] Dados los pares de funciones del ejercicio 23,hallar, fog y gofhaciendo restricciones a los conjuntos si fuese necesario 4] Dada fog: RR / fog(x)= x3 + 3x2+3x +2. Hallar g, siendo f: RR/ f(x)= 2x-1. 5] Un globo esfrico elstico, que desinflado tiene un metro de radio, se infla aumentando su radio 0.1 m cada segundo. a) Escribir la funcin de medida del radio respecto del tiempo. b) Sabiendo que la funcin de medida del volumen respecto del radio para la esfera es 3.34) ( r r V = , hallar la funcin de medida del volumen respecto del tiempo. Calcular el volumen para t=3 6] Dadas las siguientes funciones, indicar dominio e imagen, buscar su inversa (restringiendo si es necesario para la biyectividad) y componer para obtener la identidad. Indicar en todos los casos, dominiose imgenes. a) f(x) = x2+2b)f(x) =33 x c) f(x) = 31 2+xx 7] (Optativo) Indicar si es V o F, expresando un argumento que justifique la respuesta.a)La composicin de funciones inyectivas, es inyectiva b)La composicin de funciones sobreyectivas, es sobreyectiva 59 RESPUESTAS

Unidad 1 1)Ej 6:i)Intersecciones con los ejes: Con el eje x : ( 0,0) y ( 3,0); con el eje y : ( 0,0 ) Ceros: x = 0 ; x = 3 ii)Intersecciones con los ejes: Con el eje x : ( -2,0) y ( 2,0); con el eje y : ( 0,-2 ) Ceros: x = -2 ; x = 2 Ej 7: Intersecciones con los ejes: Con el eje x : ( -1/2,0); con el eje y : ( 0,-1 ) Ceros: x = -1/2 2) Ceros: a) x = 0; x = 1; b) x = 0, x =33, x= -33;c) x = 1 5) b) i) Intervalos de crecimiento: ( 0 ; 1,5) ii) Intervalos de crecimiento: ( 0 ;+ ) Intervalos de decrecimiento: ( 1,5; 3)Intervalos de decrecimiento: ( - ; 0) 6) a) V ; b) F 7) i) par ii) impar iii) ni par ni impar iv) par. 8) a)par;b)impar; c)ni par ni impar. 10) b) Dominio mayorante: A = R { 2};g ( x ) = f ( x-2) 11) b) Las funciones son respectivamente:No inyectiva, no sobreyectiva Inyectiva, no sobreyectiva No es funcin c) Los conjuntos A y B no son nicos, una posibilidad es: A = +0RB = [0; + ) 12) Son funciones i) ii) iv) v) . i) y iv) son sobreyectivas pero no inyectivas; ii) es biyectiva; v) no es ni inyectiva ni sobreyectiva. 13) a) a.1) por ejemplo f ( 1 ) = 3 ; f ( 2 ) = 3; f ( 3 ) = 7 a.2)imposible. b) No, porque no puede definirse una funcin inyectiva. c) Ambos conjuntos deben tener la misma cantidad de elementos. 14) Biyectiva.[ ) 2 ) ( / , 2 :101 = + + x x f f 15) Biyectiva. 3 1 1) ( / : x x f f = Unidad 2 1) Son polinomios: a) d) e) g) h) i) k) 2) a)21x 2 x2 4+ grado 4 e)3 x 22 grado 2 b) x 1grado 1 f)3 x 22+grado 2

c) -3 grado 0 g) 67x65x312+ grado 2 60 d) 5x43 grado 5 3) a) La recta forma un ngulo de 45 con el semieje positivo de las x.

b)Las tangentes son 2 y 2/3 respectivamente. Coinciden con el coeficiente m o sea con la pendiente de la recta.c) 3 y -1/2 respectivamente. 4) a) y = -2 x b) y = 21 x c)y = 32 x 6) a) s; b) m>0; m velocidad cero. 12) b) t = 5 13) a) asciende( 0 , 600/49) desciende ( 600/49; 1200/49) b) altura mxima : 734,7 mcuando t= 600/49 = 12,24 seg c) 1200/40 = 24,49 seg d) t1= 0,424 seg t2=24,065 seg 14) V, V , F , V ,V 15)x1+x2 = - abx1.x2 = ac 16) x +2x - 35 = 0 17) a) 2( x -2 )( x 8)b) 1/2( x +6 )( x + 1/2) c) -5x( x +3/5 )d) -1/2( x -1+ 3)( x 1-3 ) 18) a)m= 1/32b) m = 1c) m = 12 19) a) a = 3 o a = -1 b) a = 3 + 2 2 o a = 3 -2 2 20) a) k = 3 b) k = 1 21) a) k = 1/4b) k =122) k = 12 23) a) y = 2 ( x - 2)( x + 1/2 ) b) y =( x - 5)( x + 9 ) c) y = 4 ( x -3 /2)( x + 3/2 ) d) y = 3 ( x +1)( x - 1/3 ) e) y = -2 ( x - 10)( x + 9) 25) a)x1= 3 ; x2= - 3 ; x3=1/2; x4= -1/2 b)x1=2; x2= -2; x3=1/2; x4= -1/2 c)x1=3; x2= -3; x3=1/2; x4= -1/2 d)x1=1; x2= -1; x3=1/2; x4= -1/2 e)x1= 2 ; x2= - 2 ; x3=2; x4= -2 26) a) A = ( 2,0)B = ( 1,2) b) A = ( 6, -42)B = ( -1,0) 27) y = -3 x + 5 28) m = 0 o m = -4 29) Todo valor real de m30) a) k =3 b) - 3 4 (x+1) (x+2) j)x2 + 2x+ 1 4 k) x3 > xl) 22 2 2 x x + < 4 4. . Encont rarel conj unt osol uci nendeest asi necuaci ones: 73 a) 2225x 903 x 5 d) 327 x0x 3