Guias de Calculo II

Programa de Matemática Cálculo II

Página 1 de 3

GUÍA Nº 1

Repaso de Derivadas e Integrales

Derivadas Elementales

a) Si

b) Si

c) Si

d) Si

e) Si

f) Si

g)

h)

i)

Algebra de derivadas Suma o resta

Multiplicación

División

Regla de la cadena

Rodrigo

Cuadro de texto


Página 2 de 3

EJERCICIOS

1. Determine en cada caso

a) Respuesta:

b) Respuesta:

c) Respuesta: 2. Aplique algebra de derivadas para calcular la derivada de las siguientes

funciones:

a) Respuesta:

b) Respuesta:

c) Respuesta:

d) Respuesta:

e) Respuesta

f) Respuesta

g) Respuesta:

Integrales de Funciones Elementales

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Rodrigo

Cuadro de texto


Página 3 de 3

3. Calcule las siguientes integrales:

a) Respuesta:

b) Respuesta:

c) Respuesta:

d) Respuesta:

e) Respuesta: 4. Calcule las siguientes integrales definidas:

a) Respuesta: , donde es la unidad de medida

b) Respuesta: Más ejercicios puedes encontrar en Cálculo - J.Stewart. - Thompson Learning … y en tus apuntes de la asignatura de Cálculo I

http://books.google.cl/books?id=_SUkc7rVAdUC&printsec=frontcover&dq=C%C3%A1lculo%20Stewart&source=gbs_slider_thumb#v=onepage&q=derivadas&f=false

Rodrigo

Cuadro de texto


1

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 10 Derivadas Parciales

1. Determine todas las primeras derivadas parciales de las siguientes funciones:

a. 𝑓(𝑥,𝑦) = (2𝑥 − 𝑦)4 Respuesta: 𝜕𝑓

𝜕𝑥= 8(2𝑥 − 𝑦)3 𝜕𝑓

𝜕𝑦= −4(2𝑥 − 𝑦)3

b. 𝑓(𝑥,𝑦) = (4𝑥 − 𝑦2)3 2�

Respuesta: 𝜕𝑓𝜕𝑥

= 6(4𝑥 − 𝑦2)1 2� 𝜕𝑓𝜕𝑦

= −3𝑦(4𝑥 − 𝑥2)1 2�

c. 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥2−𝑦2

𝑥𝑦


= 𝑥2+𝑦2

𝑥2𝑦 𝜕𝑓

𝜕𝑥= −𝑥2+𝑦2

𝑥𝑦2

d. 𝑓(𝑥,𝑦) = �𝑥2 − 𝑦2


= 𝑥(𝑥2 − 𝑦2)−1 2� 𝜕𝑓𝜕𝑥

= −𝑦(𝑥2 − 𝑦2)−1 2�

e. 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑒𝑥𝑦 Respuesta: 𝜕𝑓

𝜕𝑥= 𝑦𝑒𝑥𝑦 𝜕𝑓

𝜕𝑥= 𝑥𝑒𝑥𝑦

2. Determine 𝜕𝑓𝜕𝑥

(1,2) 𝑦 𝜕𝑓𝜕𝑦

(1,2), si 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥2𝑦 + 3𝑦3 Respuesta: 4 y 37

3. Dada la función 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑦 + 𝑦𝑧2 + 𝑧3. Verifique que:

𝑥𝜕𝑓𝜕𝑥

+ 𝑦𝜕𝑓𝜕𝑦

+ 𝑧𝜕𝑓𝜕𝑧

= 3𝑓

4. Determine 𝜕2𝑇𝜕𝑤𝜕𝑥

; 𝜕2𝑇

𝜕𝑥𝜕𝑤 𝑦 𝜕

2𝑇𝜕𝑧2

de la función

𝑇(𝑤, 𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑧𝑒𝑤2+𝑥2+𝑦2

Respuesta: 𝜕2𝑇𝜕𝑤𝜕𝑥

= 𝜕2𝑇𝜕𝑥𝜕𝑤

= 4𝑤𝑥𝑧𝑒𝑤2+𝑥2+𝑦2 ; 𝜕2𝑇𝜕𝑧2

= 0

Rodrigo

Cuadro de texto


2

5. Una función de dos variables que satisface la ecuación de Laplace 𝜕2𝑓𝜕𝑥2

+ 𝜕2𝑓𝜕𝑦2

= 0 se

dice que es armónica. Muestre que las siguientes funciones son armónicas:

a. 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥𝑦

b. 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 c. 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥3𝑦 − 𝑥𝑦3 d. 𝑓(𝑥,𝑦) = ln(4𝑥2 + 4𝑦2) e. xy eyexyxf −=),(

6. De acuerdo con la ley del gas ideal para un gas confinado, si P atmósferas es la

presión, V litros es el volumen y T grados es la temperatura en la escala Kelvin, se tiene la fórmula

𝑃𝑉 = 𝑘𝑇 Donde k es una constante de proporcionalidad. Suponga que le volumen de un gas de cierto recipiente es de 12 litros y que la temperatura es de 290ºK, con k=0.6 a. Calcule la tasa de variación instantánea de P por unidad de variación de T si V

permanece fijo en 12. Respuesta: 0.05

b. Utilice el resultado del inciso a. para aproximar la variación de la presión si la

temperatura se incrementa a 295ºK. Respuesta: 0.25 atm

c. Calcule la tasa de variación instantánea de V por unidad de variación de P si T

permanece fija en 290ºK. Respuesta: -0.83

d. Suponga que la temperatura se mantiene constante. Utilice el resultado del inciso c. para calcular la variación aproximada del volumen necesario para producir la misma variación en la presión que se obtuvo en el inciso b. Respuesta: disminuye 0.21 litros

7. Emplee la ley del gas ideal para un gas confinado a fin de demostrar que

𝜕𝑉𝜕𝑇

∙𝜕𝑇𝜕𝑃

∙𝜕𝑃𝜕𝑉

= −1

Rodrigo

Cuadro de texto


3

8. Verifique si la función 22

1yx

z+

= satisface la ecuación:

3

2

2

2

2

zyz

xz

=∂∂

+∂∂

Respuesta: se cumple la igualdad 9. Si 𝑧 = �𝑥2 + 𝑦2. Demuestre que 𝑥 𝜕𝑧

𝜕𝑥+ 𝑦 𝜕𝑧

𝜕𝑦= 𝑧

10.Si 𝑧 = 𝑙𝑛�𝑥2 + 𝑦2. Demuestre que 𝑥 𝜕𝑧

𝜕𝑥+ 𝑦 𝜕𝑧

𝜕𝑦= 1

Rodrigo

Cuadro de texto


1

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 11

Máximos y Mínimos

Un punto ( )baP ,= es un punto crítico (posible máximo o mínimo) de una función de

( )yxfz ,= si:

( ) 0=∂∂ P

xf y ( ) 0=

∂∂ P

yf

Sea ( ) ( ) ( )22

2

2

2

2

∂∂∂

−∂

∂⋅

∂

∂= P

yxfP

yfP

xfD

• Si 0>D y ( ) 02

2<

∂

∂ Px

f entonces f tiene un máximo local en P

• Si 0>D y ( ) 02

2>

∂

∂ Px

f entonces f tiene un mínimo local en P

• Si 0<D entonces f tiene un punto silla en P • Si 0=D entonces no se puede decidir que ocurre con f en P 1. Determine los puntos críticos de las funciones y clasifíquelos en máximo, mínimo o

punto silla: a. 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2

4

Resp. (1,0) mín.

b. 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑦2

𝑏− 𝑥2

𝑎

Resp. (0,0) p. silla

c. 𝑓(𝑥,𝑦) = 3𝑥3 + 𝑦2 − 9𝑥 + 4𝑦 Resp. (1, -2) min. (-1, -2) p.silla

d. 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥2 + 4𝑦2 − 4𝑥 Resp. (2,0) min.

e. 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥2 + 4𝑦2 − 2𝑥 + 8𝑦 − 1 Resp. (1,-1) min.

f. 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥𝑦 + 2𝑥

+ 4𝑦

Resp. (1,2) min.

Rodrigo

Cuadro de texto


2

g. 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑒−�𝑥2+𝑦2−4𝑦�

Resp. (0,2) max.

2. Determine la mínima distancia entre el origen y la superficie 𝑧2 = 𝑥2𝑦 + 4 Resp. Distancia mínima es 4

3. Determine el punto en el plano 2𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 12 , que es más cercano al origen ¿Cuál

es la distancia mínima? Resp. El punto es �24

29, 4829

, 3629� y la distancia aprox. es 2.2283

4. Un tanque metálico rectángulo sin tapa debe contener 256 pies cúbicos de líquido.

¿Cuáles son las dimensiones del tanque que requieren menos material de construcción? Resp. Dimensiones 8’ x 8’ x 4’

5. La conveniencia social de una empresa con frecuencia incluye elegir entre la ventaja

comercial y las pérdidas sociales o ecológicas que pueda generar. Suponga que la conveniencia social de una empresa se mide por la función:

( ) ( ) ( )404616, 2 +−−−= xyyxxyxD , con 0≥x e 0≥y

donde x mide las ventajas comerciales (utilidades y puestos de trabajo) e y mide las desventajas ecológicas (desplazamiento de especies, como porcentaje). La empresa se considera conveniente si 0≥D e inconveniente si 0<D .

¿Qué valores de x e y maximizarán la conveniencia social? Interprete los resultados. ¿Es posible que esta empresa sea conveniente? Resp. Con 4=x e 8=y se obtiene un máximo para D, el cual es 8−=D , por lo tanto, la empresa se considera inconveniente

6. La compañía de teléfonos planea introducir dos nuevos tipos de sistemas de comunicaciones para ejecutivos, y espera venderlos a sus mayores clientes comerciales. Se calcula que si el primer tipo de sistema se vende en x cientos de dólares por sistema, y el segundo tipo en y cientos de dólares por sistema, aproximadamente, yx 5840 +− consumidores comprarán el primer tipo y yx 7950 −+ comprarán el segundo tipo. Si el costo de fabricación del primer tipo es de U$1.000 por sistema y el costo del segundo tipo es de U$3.000 por sistema, ¿qué precio debería fijar la compañía de teléfonos a los sistemas para generar la máxima utilidad?

Resp. Con 30=x e 45=y se obtiene un máximo.

Rodrigo

Cuadro de texto


3

7. Un cable de electricidad está tendido desde una planta de energía hasta una nueva fábrica ubicada al otro lado de un río poco profundo. El río tiene un ancho de 50 pies y la fábrica está 200 pies río abajo y a 100 pies de la orilla, como se muestra en la figura

Tender el cable bajo el agua cuesta $600 por pie, $100 por pie a lo largo de la ribera y $200 por pie para tenderlo de la ribera a la fábrica. ¿Qué trayectoria debe elegirse para minizar el costo y cuál es el costo mínimo? AYUDA: utilice Teorema de Pitágoras Resp. Aproximadamente (8.4515; 57.737)

Para determinar los máximos y/o mínimos de una función ( )yxfz ,= , sujeta a la restricción ( ) 0, =yxg , se deben determinar los puntos ( )baP ,= que satisfagan el sistema:

( ) 0, =

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

yxg

yg

yf

xg

xf

λ

λ

Este método se conoce con el nombre de método de los Multiplicadores de Lagrange. Para discriminar entre los máximos y mínimos de la función ( )yxfz ,= , los puntos obtenidos del sistema deben ser reemplazados en ella.

Rodrigo

Cuadro de texto


4

8. Determine los valores máximos y mínimos de 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 sobre la elipse

dada como la intersección del cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 2 y el plano 𝑦 + 𝑧 = 1

Resp. f(1,-1,2)=5 es el valor máximo y f(-1,1,0)=1 es valor mínimo.

9. ¿Cuál es la máxima área que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 2? Resp. El área es 2

10.Use el método de Lagrange para determinar los valores máximos y mínimos de

𝑓(𝑥,𝑦) = −𝑥2 + 𝑦2 Sobre la elipse

𝑥2

4+ 𝑦2 = 1

Resp. El valor mínimo de f en la elipse dada es -4; el valor máximo es 1

11.Determine el mínimo de

𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 5 Sujeto a la restricción

𝑔(𝑥,𝑦, 𝑧) = 9𝑥2 + 4𝑦2 − 𝑧 = 0 Resp. El mínimo de f sujeto a la condición es 𝑓 �− 1

6,− 1

4, 12� = 9

2

Rodrigo

Cuadro de texto


5

12.Determine los valores extremos de

( ) 3232342, 22 +−−−+= yxxyyxyxf

sujeta a la restricción 15=+ yx . Resp. ( )7,8 es máximo. 13.Suponga que U es una función utilidad para la cual

U(x,y,z) = xyz

donde x,y,z representan el número de unidades de los artículos A,B y C respectivamente, los cuales son consumidos semanalmente por una persona particular. Además suponga que los precios unitarios de A, B y C son US$2, US$3 y US$4, respectivamente, y que el gasto total semanal para estos artículos se ha presupuestado en US$90. ¿Cuántas unidades de cada artículo deben comprarse semanalmente para maximizar el índice de utilidad de la persona? Resp. Para maximizar se necesitan 15 A, 10 B y 7.5 C

14.El material para el fondo de una caja rectangular cuesta el triple por pie cuadrado que

el material para los lados y la tapa. Determine la máxima capacidad que la caja puede tener si la cantidad total de dinero disponible para material es de US$12 y el material para el fondo cuesta US$ 0.6 el pie cuadrado. Resp.

15.Un cliente tiene U$280 para gastar en dos artículos, el primero de los cuales cuesta U$2 por unidad y el segundo U$5 por unidad. Si la utilidad obtenida por el cliente al comprar x unidades del primer artículo e y unidades del segundo, es ( ) 75,025,0100, yxyxU = , ¿cuántas unidades de cada artículo debería comprar el

consumidor para maximizar las utilidades? Resp. ( )42,35 es máximo.

Rodrigo

Cuadro de texto


1

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 12

Integrales Dobles

1. Evalúe las siguientes integrales:

a. ∫ ∫1

0

2

1

dxdy

Resp: 1

b. ( )∫ ∫ +3

0

2

1

32 dxdyyx

Resp: 22,5

c. ( )∫ ∫ +2

1

3

0

32 dydxyx

Resp: 22,5

d. ( )∫ ∫ +4

2

2

1

22 dydxyx

Resp: 70/3

e. ( )∫ ∫ −−4

0

4

0

2236 dxdyyx

Resp: 1216/3

2. Determine ( )∫∫ −R

dAxy 223 donde R es la región del plano xy que consiste en todos

los puntos (x,y) para los cuales 21 ≤≤− x y 31 ≤≤ y . Resp: 24

3. Calcule el volumen del sólido limitado por la superficie 169

4),(22 yxyxf −−= . Así

como por los planos x = 3 y y = 2, y los tres planos coordenados. Resp: 21,5

Rodrigo

Cuadro de texto


2

4. Calcule mediante integración doble el área de la región del plano xy limitada por de la siguiente gráfica

Resp: 2

38 u

5. Calcule mediante integración doble el volumen V del sólido bajo la superficie 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦 y sobre el rectángulo 𝑅 = {(𝑥 + 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2}

Resp: 16

3 u3

6. Determine el valor del área comprendida entre las parábolasxyxy 444 22 −=−= e

Resp: 8 u2

Rodrigo

Cuadro de texto


3

7. En los siguientes ejercicios, evalúe la integral iterada

a. ( )∫ ∫−

+5

3

2

104x

x

dydxyx

Resp: 101803

u3

b. dydxyey

x∫ ∫1

0 0

2

2

Resp: (𝑒 − 2)u3

c. ∫ ∫2

1

2

0

3x

dydxxy

Resp: 42u3

d. ∫ ∫2

1

2

0

3y

dxdyxy

Resp: 21u3

e. ∫ ∫4

0 0

y

dxdy

Resp: 8u3

f. ∫ ∫−

4

1 1

xe

dydxyx

Resp: 21,666 u3

g. ∫ ∫1

0

2

2

x

x

dydxxy

Resp: 0,025 u3

Rodrigo

Cuadro de texto


4

8. Use integración doble para determinar el volumen del tetraedro acotado por los

planos de coordenadas y el plano 3x+6y+4z = 12

3𝑥

Resp: 4 u3

9. Evalúe la siguiente integral doble y dibuje la región R.

( ){ }∫ ∫ +≤∧≤∧+≥=++ 6332,;)1( 2 xyyxxyyxRdAyx

Resp: 23920

u3

Rodrigo

Cuadro de texto


Página 1 de 5

GUIA Nº 2

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad. Ejemplos

𝑑𝑦𝑑𝑥

+ 12𝑦 = 𝑒3𝑥𝑦 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 9𝑦 = 0

𝜕𝑢

𝜕𝑥= −𝜕𝑣

𝜕𝑥 𝑑

2𝑦𝑑𝑥2

+ 5 �𝑑𝑦𝑑𝑥�4

+ 8𝑦 = 𝑒6𝑥

Cuando una función ∅ definida en algún intervalo I, se sustituye en una ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo.

1. Compruebe que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial correspondiente.

a. Función: 𝑦 = 𝑒3𝑥 + 10𝑒2𝑥 ; Ecuación: 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑦 = 𝑒3𝑥

b. Función: 𝑦 = 𝑒2𝑥 + 𝑥𝑒2𝑥 ; Ecuación: 𝑑

2𝑦𝑑𝑥2

− 4 𝑑𝑦𝑑𝑥

+ 4𝑦 = 0

c. Función: 𝑦 = 𝑥2𝑒𝑥; Ecuación: 𝑦′′′ − 3𝑦′′ + 3𝑦′ − 𝑦 = 0

d. Función: 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥2 ln(𝑥) , 𝑥 > 0 Ecuación: 𝑥2 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 3𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0

Rodrigo

Cuadro de texto


Página 2 de 5

Ecuación de Variable Separable

Se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma

𝑑𝑦𝑑𝑥

= 𝑔(𝑥)𝑓(𝑦) Es separable o de variables separables

2. Indique cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) de variables separables.

a. 𝑑𝑦𝑑𝑥

= 2𝑥 + 𝑦 − 3 Respuesta: No

b. 𝑑𝑦𝑑𝑥

= 𝑦𝑒𝑥 Respuesta: Si

c. 𝑑𝑦𝑑𝑥

= 𝑙𝑛(𝑥𝑦) Respuesta: No

d. 𝑥𝑦𝑑𝑥 + 32𝑥+4𝑦𝑑𝑦 = 0 Respuesta: Si

3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el método de variables separables:

a. (1 + 𝑥)𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0 Respuesta: 𝑦 = 𝑐(1 + 𝑥)

b. (𝑥2 + 4) 𝑑𝑦𝑑𝑥

= 𝑥𝑦 Respuesta: 𝑦 = 𝑐√𝑥2 + 4

c. (𝑦𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 − (𝑦 + 1)𝑑𝑥 = 0 Respuesta: 𝑦 = ln(𝑦 + 1) (𝑥 − 1) + 𝑐

d. 𝑑2𝑦𝑑𝑥2

= 4𝑥 + 3 Respuesta: 𝑦 = 23𝑥3 + 3

2𝑥2 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2

Rodrigo

Cuadro de texto


Página 3 de 5

4. Resolver las siguientes ecuaciones con problema de valor inicial:

a. 𝑑𝑦𝑑𝑥

= 𝑦𝑥2

condición inicial: 𝑦(1) = 3

Respuesta: 𝑦 = 3𝑒𝑥−1𝑥 ,𝑥 > 0

b. 𝑑𝑦𝑑𝑥

= 𝑥2+12−𝑦

condición inicial: 𝑦(−3) = 4

Respuesta: 𝑥

3

3+ 𝑥 + 𝑦2

2− 2𝑦 = −12

c. 𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑒−𝑥2(𝑦2 − 1)𝑑𝑦 = 0 condición inicial: 𝑦(0) = 1 Respuesta: 𝑦2 − 𝑙𝑛(𝑦2) + 𝑒𝑥2 = 2

d. 𝑑𝑦𝑑𝑥

= 1(𝑥+1)3

condición inicial: 𝑦(0) = 0

Respuesta: 𝑦 = 1

2− 1

2(𝑥+1)2 5. El Costo Marginal de un taladro inalámbrico 14.4 volt cuando se producen q

unidades es −3𝑞2 + 60𝑞 + 4000 pesos por unidad. Si el costo total de producción de las 10 primeras unidades es de $90000. ¿Cuál es el costo de producción de las 50 primeras unidades? Respuesta: $198.000.-

6. Muestre que la ecuación diferencial 2 444

dy y xdx xy

−= no es separable pero se

convierte en separable con el cambio de variable dependiente de y a v de acuerdo a la transformación y vx= .

Rodrigo

Cuadro de texto


Página 4 de 5

Ecuación Lineal de Primer Orden Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación del tipo:

𝑎1(𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑥

+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)

donde 𝑎1(𝑥),𝑎0(𝑥),𝑓(𝑥) son funciones continuas en un intervalo I. Al dividir ambos lados de la ecuación anterior por el coeficiente 𝑎1(𝑥), se obtiene una forma más útil, llamada forma estándar de la ecuación lineal.

𝑑𝑦𝑑𝑥

+ 𝑝(𝑥)𝑦 = ℎ(𝑥)

Cuya solución queda expresada mediante la fórmula:

( ) ( ) ( ) ( )

∫+∫= ∫

−dxxheCexy

dxxPdxxP

7. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

a. 𝑑𝑦𝑑𝑥

+ 5𝑦 = 50 Respuesta: 𝑦 = 10 + 𝑐𝑒−5𝑥

b. 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑦 = 𝑥2 Respuesta: 𝑦 = 𝑥2(𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐)

c. 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 4𝑦 = 𝑥6𝑒𝑥 Respuesta: 𝑦 = 𝑥5𝑒𝑥 − 𝑥4𝑒𝑥 + 𝑐𝑥4

d. (𝑥2 + 1) 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 3𝑥𝑦 = 6𝑥 Respuesta:𝑦 = 2 + 𝑐(𝑥2 + 1)−3 2�

8. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales con problema de valor inicial

a. 𝑑𝑦𝑑𝑥− 𝑦 = 11

8𝑒−

𝑥3 condición: 𝑦(0) = −1

Respuesta: 𝑦 = 132�𝑒𝑥 − 33𝑒−

𝑥3�

Rodrigo

Cuadro de texto


Página 5 de 5

b. 𝑑𝑦𝑑𝑥− 3𝑦 = 𝑥𝑒3𝑥 condición: 𝑦(0) = 4

Respuesta: 𝑦 = 12𝑥2𝑒3𝑥 + 4𝑒3𝑥

Más ejercicios puedes encontrar en Cálculo - J.Stewart. - Thompson Learning

Ecuaciones Diferenciales - C.Edwards , D.Penney - Prentice Hall Ecuaciones Diferenciales con Modelado - Dennis G Zill – Cengage Learning Editores

http://books.google.cl/books?id=6X6XSKkr8nYC&lpg=PP1&dq=C%C3%A1lculo%20Stewart&pg=PP1#v=onepage&q=&f=false

http://books.google.cl/books?id=ph_Yuv_oM3oC&printsec=frontcover&dq=Ecuaciones+Diferenciales+edwards&ei=9wOES-TAKIm-MsXRnOgP&cd=1#v=onepage&q=&f=false

http://books.google.cl/books?id=MipvfE1JLT8C&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q=&f=false


Rodrigo

Cuadro de texto


Página 1 de 5

GUÍA Nº 03 Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales

Crecimiento o Decrecimiento

Modelo de Malthus. Si 𝑃(𝑡) representa la población en el tiempo 𝑡, un modelo que permite determinar esta población en cualquier instante t , teniendo información de la población en un tiempo 𝑡0, es el conocido como Modelo de Malthus:

𝑑𝑃𝑑𝑡

= 𝑘𝑃 , con valor inicial 𝑃(𝑡0) = 𝑃0

1 En un cultivo de bacterias se tenían x números de familias. Después de una

hora se observaron en el cultivo 1000 familias de la bacteria y después de cuatro horas, 3000 familias. Determinar el número de familias de la bacteria que había originalmente en el cultivo. Respuesta: aprox. 694 familias.

2 Una superficie electrizada se descarga con una velocidad proporcional a la carga. Hallar la carga en función del tiempo. Respuesta: 𝐶(𝑡) = 𝐶0𝑒−𝑘𝑡

3 Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isótropo plutonio 239. Después de 15 años, se ha determinado que 0.043% de la cantidad inicial 𝐴0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media

Rodrigo

Cuadro de texto


Página 2 de 5

de ese isótropo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad que queda. Respuesta: aprox. 24,180 años

Circuito LR en Serie

Si consideramos el siguiente circuito eléctrico

Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff a este circuito, la suma de las caídas de potencial a través del inductor 𝐿 𝑑𝑖

𝑑𝑡 y de la resistencia 𝑅𝑖, es igual a la

fuerza electromotriz (fem) 𝐸(𝑡) aplicada al circuito y es así como se obtiene la siguiente ecuación diferencial lineal para la corriente 𝑖(𝑡)

𝐿𝑑𝑖𝑑𝑡

+ 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡)

donde 𝐿 y 𝑅 son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia respectivamente y la corriente 𝑖(𝑡) es conocida como la respuesta del sistema.

4 Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en la que la inductancia es ½ Henry y la resistencia es 10 ohms. Determine la corriente i si la corriente inicial es cero. Respuesta:𝑖(𝑡) = 6

5(1 − 𝑒−20𝑡)

5 Un generador con una fem de 50 V se conecta en serie con una resistencia de 6 ohms y un inductor de 2 henrys. Si el interruptor K se cierra a 𝑡 = 0. Determine la corriente para todo t Respuesta:𝑖(𝑡) = 25

3(1 − 𝑒−3𝑡)

Rodrigo

Cuadro de texto


Página 3 de 5

Ley de Newton del enfriamiento

Una aplicación sencilla y útil de las ecuaciones diferenciales, es aquélla que permite modelar el comportamiento del cambio de temperatura de un cuerpo, en interacción con la temperatura de un medio dominante, al que llamaremos temperatura ambiente, la cual se considerará constante.

Si 𝑇𝑎𝑚 es la temperatura ambiente y 𝑇 es la temperatura de un cuerpo inmerso en esta temperatura ambiente, entonces, a temperatura del cuerpo cambia, en el tiempo, en forma proporcional a la diferencia de temperatura entre el medio del cuerpo y la temperatura ambiente. Así, el problema queda modelado por la ecuación

𝑑𝑇𝑑𝑡

= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎𝑚) con valor inicial 𝑇(0) = 𝑇0

6 Si la temperatura del aire es de 20ºC y una sustancia se enfría de 100ºC a 60ºC en 30 minutos. Calcule en que instante la temperatura de la sustancia será de 40ºC. Respuesta: aprox. 60 minutos

7 Al sacar una barra de estaño de un crisol, su temperatura es 300 ºF. Tres

minutos después su temperatura es de 200 ºF. ¿Cuál será la temperatura de la barra de estaño a los 7 minutos? Respuesta: aprox. 130.8 ºF

Rodrigo

Cuadro de texto

Rodrigo

Cuadro de texto


Página 4 de 5

8 Un termómetro, que está en el interior de una habitación, se lleva al

exterior, en donde la temperatura del aire es de 15º C bajo cero. Después de un minuto el termómetro marca 12.8º C y después de 5 min marca 1.1º C bajo cero. ¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación? Respuesta: 18,059958 º C aprox.

Diseminación de una enfermedad Cuando se analiza la diseminación de una enfermedad contagiosa, es razonable suponer que la tasa o razón con que se difunde no sólo es proporcional a la cantidad de personas 𝑥(𝑡) que la han contraído en el momento 𝑡, sino también a la cantidad de sujetos, 𝑦(𝑡), que no han sido expuestos todavía al contagio. Si la tasa es 𝑑𝑥

𝑑𝑡 entonces

𝑑𝑥𝑑𝑡

= 𝑘𝑥𝑦 Donde 𝑘 es la constante de proporcionalidad.

9 Suponga que un alumno de DUOC es portador del virus H1N1 y regresa a la sede, donde hay 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no sólo a la cantidad x de alumnos infectados, sino también a la cantidad de alumnos no infectados, determine la cantidad de alumnos infectados seis días después, si se observa que a los cuatro días ( )4 50x = . Respuesta: 276 alumnos.

Rodrigo

Cuadro de texto


Página 5 de 5

Otro Modelo

10 Un modelo simple para la forma de un tsunami, está dado por

𝑑𝑊𝑑𝑥

= 𝑊√4 − 2𝑊 Donde 𝑊(𝑥) > 0 es la altura de la ola expresada como una función de su posición respecto a un punto en altamar. Resuelva la ecuación diferencial y realice las gráficas de las soluciones que satisfacen la condición inicial 𝑊(0) = 2.

Más ejercicios puedes encontrar en Cálculo - J.Stewart. - Thompson Learning






Rodrigo

Cuadro de texto


Página 1 de 4

GUÍA Nº 04

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden

Ecuación Lineal de Segundo Orden Homogénea Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, es una ecuación de la forma:

ay′′ + by′ + cy = 0 donde a, b y c son constantes reales, cuya solución es:

y = c1y1 + c2y2 con c1 y c2 constantes reales. Esta ecuación diferencial tiene asociada la siguiente ecuación de segundo grado (ecuación característica):

am2 + bm + c = 0

cuyas soluciones vienen dada por la fórmula m = −b±√∆2a

, con ∆= b2 − 4ac Si ∆= 0, la ecuación am2 + bm + c = 0 tendrá a m1 como única solución real, por lo tanto,

y1 = em1x e , y2 = xem1x Si ∆> 0, la ecuación am2 + bm + c = 0 tendrá a m1 y m2 como soluciones reales, por lo tanto,

y1 = em1x e , y2 = em2x Si ∆< 0, la ecuación am2 + bm + c = 0 tendrá soluciones complejas. La ecuación

0=+′+′′ cyybya si tendrá solución, las que no serán tratadas en esta asignatura

Rodrigo

Cuadro de texto


Página 2 de 4

1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes:

a. y′′ − y′ − 6y = 0 Respuesta: y(x) = c1e3x + c2e−2x

b. y′′ − 2y′ + y = 0 Respuesta: y(x) = c1ex + c2xex

c. y′′ − 5y = 0 Respuesta: y(x) = c1e√5x + c2e−√5x

d. y′′ + 12y′ + 36y = 0 Respuesta: y(x) = c1e−6x + c2xe−6x

2. En cada caso, determine una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, que tenga como solución

a. y(x) = c1e2x + c2e−2x Respuesta: y′′ − 4y = 0

b. y(x) = c1e3x + c2xe3x Respuesta: y′′ − 6y′ + 9y = 0

c. y(x) = c1 + c2e6x Respuesta: y′′ − 6y′ = 0

d. y(x) = c1e−x + c2e−2x Respuesta: y′′ + 3y′ + 2y = 0 3. Resolver el problema de valores iniciales

a. y′′ − y′ − 2y = 0 con y(0) = 1 y′(0) = 4

Respuesta: y(x) = 53

e2x − 23

e−x

b. y′′ + 6y′ − 7y = 0 con y(0) = 0 y′(0) = 4


ex − 12

e−7x

c. y′′ − 3y′ − 10y = 0 con y(0) = 1 y′(0) = 10


e5x − 57

e−2x

Rodrigo

Cuadro de texto


Página 3 de 4

d. 076 =−′+′′ yyy con 0)0( =y 4)0( =′y

Respuesta: xx eexy 7

21

21)( −−=

VARIACIÓN DE PARÁMETROS Una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, es una ecuación de la forma:

ay′′ + by′ + cy = h(x)

Si y = c1y1 + c2y2 es la solución de la ecuación ay′′ + by′ + cy = 0, entonces la solución general de la ecuación no homogénea será:

y = c1y1 + c2y2 + c3y1 + c4y2 ,

con c1 y c2 constantes reales, y

c3 = −∫ h(x)y2y1y′2−y2y

′1

dx y c4 = ∫ h(x)y1y1y′2−y2y

′1

dx

4. Utilizando el método de variación de parámetros, resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes

a. y′′ + 3y′ + 2y = 3x2 − x + 1 Respuesta: y(x) = c1e−x + c2e−2x + 3

2x2 − 5x + 13

2

b. y′′ + 4y′ + 4y = e−2x

x2

Respuesta: y(x) = c1e−2x + c2xe−2x − lnx ∙ e−2x

c. y′′ + 4y′ + 4y = e3x Respuesta: y(x) = c1e−2x + c2xe−2x + 1

25e3x

d. y′′ − 9y′ = 81x2 + 7 Respuesta: y(x) = c1 + c2e9x − 3x3 − x2 − x

Rodrigo

Cuadro de texto


Página 4 de 4

e. 4y′′ + 4y′ + y = e−

x2

Respuesta: y(x) = c1e−x2 + c2xe−

x2 + 1

8x2e−

x2

5. La caída de un paracaidista viene descrita por la ecuación diferencial

wg

d2ydt2

− kdydt

= w

Donde w es el peso del paracaidista, y su altura en el instante t, g la aceleración de la gravedad, y k la constante de amortiguamiento del paracaídas. Si el paracaídas se abre a 2.000 pies, y(0) = 2.000, y en ese instante la velocidad es y′(0) = −100 pies/s, para un paracaidista que pese 160 libras, usando k = 8. Determine una función para la altura y que dependa de la variable t. Respuesta: y = 1.950 + 50e−1.6t − 20t Más ejercicios puedes encontrar en Cálculo - J.Stewart. - Thompson Learning






Rodrigo

Cuadro de texto


1

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 05 SUCESIONES Y LÍMITES DE SUCESIONES

1. Escriba los 5 primeros términos de cada sucesión { }na , si su fórmula (término

general) es:

a. ( ) 11 +−= nna Solución: 1, -1 , 1, -1, 1

b. nnna2

2

= Solución: 3225 ;1 ;

89 ;1 ;

21

c. 1)1(

3

3

++

=nnan Solución:

712;;

716;;4

1325 3

d. !

1n

an = Solución: 120

1 ;241 ;

61 ;

21 ;1

2. Lea con atención y observe el dibujo.

Helge Von Koch procedió de la siguiente manera: un trazo lo dividió en tres partes iguales. Borró el segmento del centro y en ese espacio agregó dos segmentos iguales al borrado, de modo que formaran un triángulo equilátero con el trozo borrado. Repitió el mismo procedimiento con cada nuevo segmento y continuó repitiéndolo “n” veces. Se podría decir que esta es una sucesión dibujada, o dicho correctamente, una iteración por copia.

Del dibujo se observa que el número de lados aumenta de acuerdo a la siguiente sucesión: 1, 4, 16 ¿Cuál es el término siguiente? Solución: 64 lados

3. Escriba el término general de las siguientes sucesiones:

a. ...;65;

54;

43;

32;

21

Solución: 1+

=n

nan

Rodrigo

Cuadro de texto


2

b. ...;21 ;16 ;11 ;6 ;1 Solución: 45 −= nan

c. ...;1314;1;

98;

75;

52 Solución:

3213

+−

=nnan

d. ...;3231;

1615;

87;

43;

21 Solución: n

n

na2

12 −=

4. Escribe los términos que van en el triángulo

Solución: 12, 30, 16, 56, 13, 14, 21.

5. Dada la siguiente sucesión

¿Cuál de las tres posibilidades que se ofrecen es la más lógica para continuar la sucesión? Solución: (A)

6. Determine los 5 primeros términos de la sucesión

21 =a na = 1

12

25

−

− +

n

n

aa

n 2≥

Rodrigo

Cuadro de texto


3

Comparare los términos obtenidos con el valor de 5 obtenido con una calculadora Solución: La sucesión definida por recurrencia se parece al valor de 5 entre más alto es el término na

7. Determine la relación por recurrencia común para poder continuar las siguientes sucesiones

Ayuda: Fíjate en la cantidad de letras que tiene el primer número

8. Dada la siguiente sucesión:

2, 10, 12, 16, 17, 18, 19…… Determine el octavo y noveno término de la sucesión dada. Solución: 200, 201.

9. Las siguientes sucesiones están definidas en forma recursiva. En cada una de ellas determine los 6 primeros términos.

a. 5;2 11 +== −nn aaa , para 2≥n Solución: 27,22,17,12,7,2

b. 1

1 11;1

−+==

nn a

aa , para 2≥n Solución: 138,

85,

53,

32,

21,1

c. nn aaa ⋅== + 2;6 11 , para 1≥n Solución: 192,96,48,24,12,6

d. 1121 ;1;1 −+ +=== nnn aaaaa , para 2≥n Solución: 8,5,3,2,1,1

Rodrigo

Cuadro de texto


4

10.Un cultivo tiene al principio 3000 bacterias, y su tamaño aumenta 4% cada hora.

a. ¿Cuántas bacterias hay al final de: 2 hrs, 10 hrs, 100 hrs?

b. Deduzca una fórmula para calcular la cantidad de bacterias presentes después de n horas.

Solución: ( )nna 04,1000.3 ⋅=

11.Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15 metros sobre una losa de

concreto.

Cada vez que rebota, alcanza una altura de 31 de la altura anterior. Determine qué

altura alcanza en:

a. El tercer rebote. Solución: 95 m

b. El quinto rebote. Solución: 815 m

c. El n-ésimo rebote. Solución: n

⋅

3115 m

Rodrigo

Cuadro de texto


5

12.Considere la sucesión ( )nrPCn ⋅+⋅= 1 donde:

P es el capital inicial. r es la tasa de interés anual. n es el número de años.

nC es la cantidad acumulada después de n años.

a. Si 000.1=P y 08,0=r , calcule los 5 primeros términos. Solución: 1400;1320;1240;1160;1080

b. Si 000.000.10=P y 05,0=r , calcule los 5 primeros términos.

Solución: 000.500.12;000.000.12;000.500.11;000.000.11;000.500.10

13.En cada caso, describa qué sucede a los términos de la sucesión { }na a medida que n aumenta.

a. n

an1

= Solución: Los términos tienden a 0

b. 23

2

+=

nnan Solución: Los términos tienden a 0

c. n

n ea = Solución: los términos crecen indefinidamente

d. 52

3+

=n

nan Solución: Los términos tienden a 23

e. 3)1( ⋅−= n

na Solución: Los términos fluctúan entre -3 y 3

14. Sabiendo que 01lim =∞→

pn n

, si 0>p . Calcule los siguientes límites:

a.

n

nn 22

61

lim+

+

∞→

Solución: 3

b. 36

25232

lim+

++

∞→

n

nnn

Solución: 32

Rodrigo

Cuadro de texto


6

c. 12lim +

+

∞→ nn

n Solución: 1

d. 2417

2

2

lim ++

∞→ nn

n Solución:

47

e. nn

nn 5

24

3

lim ++

∞→

Solución: 0

f. 6

6

321lim n

nn +

−

∞→

Solución: 31

−

15. Sabiendo que ( ) 0lim =

∞→

n

nR , si 11 <<− R . Calcule los siguientes límites:

a. n

n

n

−

+

∞→

315

221

lim Solución: 52

b.

981

71852

lim+

−

+

⋅

∞→n

n

n Solución:

97

c. nn

nn

n 3772lim +

+

∞→

Solución: 1

d. nn

nn

n 5826lim +

+

∞→

Solución: 0

e. nn

nn

n 6326 21

lim +− ++

∞→

Solución: 6

16. Sabiendo que αα en

n

n=

+

∞→1lim , 0≠α . Calcule los siguientes límites:

a. n

n n

+

∞→

61lim

6:Solución e

Rodrigo

Cuadro de texto


7

b. n

n n

−

∞→

11lim

1:Solución −e

c. n

n nn

++

∞→ 12lim e:Solución

d. n

n nn

−+

∞→ 35lim

8:Solución e

17. Calcule los siguientes límites:

a. nn

24lim +∞→

Solución: 2

b. ( ) 0 :Solución n

n

n

−+

∞→

23

11lim

c. ∞−−

−

∞→

:Solución 1

13

4

lim nnn

n

18. La sucesión { }na converge si LLan

n;lim =

∞→ un número real. En caso contrario

Diverge. En cada caso, determine si las siguientes sucesiones convergen o divergen.

a. Converge :Solución 154

15

5

−++

=nn

nan

b. Diverge :Solución 52 −= nan

c. ( ) Diverge :Solución 8

1ln +=

nan

d. Converge :Solución nn

nn

na5634

++

=

Rodrigo

Cuadro de texto


8

e. Converge :Solución n

n nna

++

=53

19.Si se invierten $ 1.000.000 a un interés de 5% anual compuesto, entonces a los n

años, la inversión tiene valor: ( )nna 05,1000.000.1 ⋅=

a. Determine los 5 primeros términos de la sucesión { }na . Solución: $1050000; $1102500; $1157625; $1215506; $1276282 b. Es convergente o divergente la sucesión? Explique.

Rodrigo

Cuadro de texto


1

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 06 SERIES NUMÉRICAS

Serie Una aplicación de las sucesiones consiste en representar “sumas infinitas”. Dicho brevemente, si { }na es una sucesión, entonces

1 2 31

n nn

a a a a a∞

=

= + + + + +∑ ... ...

es una serie. Las que se clasifican en convergentes o divergentes.

Algunos tipos de series conocidas son:

Serie Geométrica Una serie geométrica de razón r es una serie del tipo:

00, n

nar a

∞

=

≠∑

es decir, una serie del tipo:

2

00..... ..., n n

nar a ar ar ar a

∞

=

= + + + + + ≠∑

además, es sabido que la serie geométrica de razón r diverge para 1r ≥ . En

cambio, para 1r < , converge, más aún su suma es:

0 1n

n

aarr

∞

=

=−∑

Rodrigo

Cuadro de texto


2

1. Halle la suma de las siguientes series:

a. 1

12n

n

∞

=∑ Solución: 1

b. 4

12n

n

∞

=∑ Solución:

81

c. 0

12n

n

∞

=∑ Solución: 2

2. Calcule el área de los triángulos rosados

Solución: 31

3. Determine la suma de las series dadas a continuación:

a. 21

23n

n

∞

+=

−∑ Solución: 91

−

b. 24

52n

n

∞

−=∑ Solución:

25

c. 31

32n

n

∞

+=∑ Solución:

83

Rodrigo

Cuadro de texto


3

4. Se deja caer una pelota de una altura de 6 metros. En cada rebote, la altura

que alcanza es 43 de la altura anteriormente alcanzada. Determine la distancia

vertical total recorrida por la pelota.

Solución: 42 m

5. Halle la suma de las siguientes series:

a. 1

34

n

nn

∞

=∑ Solución: 3

b. 1

12

23

n

nn

−∞

+=∑ Solución:

92

c. 1

0

47

n

nn

+∞

=∑ Solución:

328

6. ¿Para cuál(es) de los valores de a siguientes la serie siguiente converge?

1

23

n

n

a∞

=

∑

a. 34

a = Solución: Converge

b. 32

a = Solución: Diverge

c. 72

a = Solución: Diverge

Rodrigo

Cuadro de texto


4

7. El disco de un péndulo se balancea en un arco de 24 cm de largo en su primera oscilación. Si cada balanceo sucesivo es de aproximadamente cinco sextos de la longitud del anterior, usa una serie geométrica para hallar la distancia total que recorre hasta que se detiene

Solución: 144 cm SERIES P La p - serie es de la forma:

1

1 1 1 11 2 3

.....p p p pn n

∞

=

= + + +∑

Converge si 1p > y Diverge si 0 1p< ≤

8. Dadas las siguientes series, determine si converge o diverge:

a. 1

1n n

∞

=∑ Solución: Diverge

b. 1

1n n n

∞

=∑ Solución: Converge

c. 3 4

1

1n n

∞


d. 21

1n n

∞


CRITERIO DEL TÉRMINO GENERAL PARA LA DIVERGENCIA Si la sucesión { }na no converge a cero, la serie na∑ es divergente.

9. Demuestre que las siguientes series divergen.

a. 1 1n

nn

∞

= +∑

Rodrigo

Cuadro de texto


5

b. 16n

n

∞

=∑

c. 0

73

n

n

∞

=

∑

d. 2

21

74 1n

nn n

∞

= + +∑

e. ( )1

5 n

n

∞

=

−∑

f. 1

51n

n n

∞

=

+

∑

Rodrigo

Cuadro de texto


1

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 07 SERIES NUMERICAS

Criterio de D'Alembert y de la Integral CRITERIO DE D’ ALEMBERT Este criterio también es conocido como Criterio de la Razón y postula lo siguiente:

Si 1

nn

a∞

=∑ una serie con términos positivos:

• 1

nn

a∞

=∑ es convergente si 1lim 1 <+

∞→ n

nx a

a

• 1

nn

a∞

=∑ es divergente si 1lim 1 >+

∞→ n

nx a

a o si ∞=+

∞→ n

nx a

a 1lim .

• El criterio de la razón no es concluyente si 1lim 1 =+∞→ n

nx a

a

1. Use el criterio de la razón para estudiar las convergencia de las siguientes series:

a. ∑∞

=0 !2

n

n

n Solución: Converge

b. ∑∞

=120

2n

n

n Solución: Diverge

c. ∑∞

=1 !n

n

nn Solución: Diverge

d. 2 1

1

23

n

nn

n +∞


e. ∑∞

= +1 1n nn Solución: El criterio no decide

f. ( ) ( )∑∞

= −⋅−⋅⋅⋅1 1232531n

n

nnn

Solución: Diverge

Rodrigo

Cuadro de texto


2

2. Sea ( )( ) 0

!12!

1

2

>+⋅∑

∞

=

λλ con

n

n

nn .

Determine el valor de λ para que la serie sea convergente.

Solución: ] [2,0∈λ

CRITERIO DE LA INTEGRAL Si f es positiva, continua y decreciente para 1x ≥ y ( )na f n= , entonces:

( )1

1 y n

na f x dx

∞ ∞

=∑ ∫

convergen o divergen ambas simultáneamente 3. Use el criterio de la integral para estudiar la convergencia de las siguientes series.

a. 2

1

n

nne

∞−

=∑ Solución : Converge

b. 1

14n n

∞

= +∑ Solución : Diverge

c. 1 2n

n

n∞


d. ( )1

16 n

n

∞


ln( )

e. 21

2 3n nn n

∞

=

+

∑ Solución : Converge

f. 2

1n n n

∞

=∑ Solución : Diverge

ln( )

Rodrigo

Cuadro de texto


3

4. Use el criterio de la integral para estudiar la convergencia de las siguientes series:

a. 1 1 1 13 5 7 9+ + + + Solución : Diverge

b. 1 1 1 14 16 36 64+ + + + Solución : Converge

5. Empareja cada serie con su gráfica de sumas parciales y discuta su convergencia

∑∑∑∑∞∞∞∞

==== 12

1114 3

2)2)2)2)nnnn n

IVnn

IIIn

IIn

I

Solución: I-a diverge II-d diverge III-b converge IV-c converge

Rodrigo

Cuadro de texto


1

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 08 Series de Potencias, Series de Taylor

Serie de Potencias Se llama serie de potencias a la serie del tipo:

20 1 2

0... ....n n

n nn

a x a a x a x a x∞

=

= + + + + +∑ ,

Más en general, cualquier serie de la forma

( ) ( ) ( ) ( )20 1 2

0

n nn n

na x c a a x c a x c a x c

∞

=

− = + − + − + + − +∑ ... .... ,

Se dice que es una serie de potencias centrada en c, donde c es una constante.

El intervalo donde la serie ( )∑∞

=−

0n

nn cxa converge se le llama intervalo

de convergencia y a R radio de convergencia, el que se puede calcular por:

1

n

nn

aR

a→∞+

= lim

Así, la serie de potencias ( )∑∞

=−

0n

nn cxa converge y es continua en

cada punto x de su intervalo de convergencia ( )RcRc +− ,

1. Determine el radio de convergencia de las siguientes series de potencias:

a. 0

0n

nn x R

∞

=

=∑ ! Solución:

b. ( )03 4 1n

nx R

∞

=

− =∑ Solución:

Rodrigo

Cuadro de texto


2

c. ( )( )

2 1

0

12 1

n n

n

xR

n

+∞

=

−= ∞

+∑ Solución: !

d. ( )21

1321

1∑∞

=

=+

−

n

nnn

Rn

x :Solución

2. Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series:

a. ] [1,165432

65432

−∈+−+−+− xxxxxxx :Solución

b.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] [3,162

52

42

32

222

65432

∈+−

+−

+−

−−

+−

+− xxxxxxx :Solución

c.

] [1,1119753

119753

−∈+−+−+− xxxxxxx :Solución

d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] [6,0363

353

343

333

323

312

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

∈+⋅−

+⋅−

+⋅−

−⋅−

+⋅−

+⋅− xxxxxxx :Solución

3. Asociar cada gráfica de las diez primeras sumas parciales de la serie

n

n

xxg ∑∞

=

=

0 3)(

con el valor indicado de la función:

I ) g(1) II) g(2) III) g(3,1) IV) g(-2)

Rodrigo

Cuadro de texto


3

Solución: I)- c) II)- a) III) – b) IV) – d)

Serie de Taylor Sea f una función infinitamente derivable en un intervalo ( )c r c r− +, Se llama Serie de Taylor de f (centrada) en c a la serie

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2

1 2

nnf c f c f c

f c x c x c x cn

+ − + − + + − +' "

... ....! ! !

Cuando 0=c la series se denomina serie de Maclaurin. La serie de Taylor representa a la función f en el intervalo

( )c r c r− +, si y solo sí

00nn

R x→

=lim ( )

donde Rn es el residuo de la fórmula de Taylor

( ) ( )( ) ( )

11

1

nn

n

fR x x c

nδ+

+= −

+( )

! y δ

es algún punto en ( )c r c r− +,

4. Para las siguientes funciones, determine la serie de Taylor correspondiente (sólo

hasta el tercer grado), en el punto c indicado:

a. ( ) 11ln -x) c(xf =−= Solución: ( ) ( ) ( ) ( )32

122

12

12ln 3

3

2

2

⋅+

−⋅

++

+−

xxx

b. ( )( )

21

12 =

−= c

xxf Solución: ( ) ( ) ( )32 2423221 −−−+−− xxx

Rodrigo

Cuadro de texto


4

c. ( ) 21 =−= cxxf Solución: ( ) ( ) ( )

162

82

221

32 −−

−+

−−

xxx

d. ( )2112 −== + cexf x Solución:

!321

2!221

2!121

21

3

3

2

2

+

+

+

+

+

+xxx

5. Para las siguientes funciones, determine la serie de MacLaurin (sólo hasta el cuarto grado). Realice el gráfico de la función original y del polinomio encontrado

a. ( ) 44

33

22

2

!42

!32

2221 xxx

!xexf x +−+−= − :Solución

b. ( )432

)1ln(432 xxxxxxf −+−+= :Solución

Rodrigo

Cuadro de texto


1

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 09 Funciones de dos o más variables. Curvas de Nivel

1. Sea 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥2𝑦 + √𝑥 . Determine el valor de: a. 𝑓(4,9) b. 𝑓(3,0) c. 𝑓(−3,−6) d. 𝑓(𝑢,𝑢4)

Respuesta: a. 146 b. √3 c. ∄ d. 𝑢6 + √𝑢

2. Sea 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑦𝑥

+ 𝑥𝑦 . Determine el valor de: a. 𝑓(2,1) b. 𝑓(3,1) c. 𝑓(0,4) d. 𝑓 �1

𝑢,𝑢�

Respuesta: a. 52 b. 10

3 c. ∄ d. 𝑢2 + 1

3. Sea 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝐿𝑛|𝑥 + 𝑦| . Determine el valor de: a. 𝑓(2,9) b. 𝑓(3,0) c. 𝑓(𝑒, 0) d. 𝑓(𝑒, 𝑒)

Respuesta: a. ln (11) b. ln (3) c. 1 d. ln (2𝑒)

4. Determine el dominio de las siguientes funciones: a. 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑒

𝑥 𝑦� Respuesta: {(𝑥,𝑦) ∈ 𝐼𝑅2|𝑦 ≠ 0} b. 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥+3𝑦

𝑥𝑦 Respuesta: {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐼𝑅2|𝑥 ≠ 0 𝑦 ≠ 0}

c. 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑙𝑛(4 − 𝑥 − 𝑦) Respuesta: {(𝑥,𝑦) ∈ 𝐼𝑅2|𝑦 < 4 − 𝑥}

5. Al utilizar x trabajadores calificados e y trabajadores no calificados, un fabricante puede producir ( ) yxyxQ 210, = unidades al día. En la actualidad hay 20 trabajadores calificados y 40 trabajadores no calificados.

a. ¿Cuántas unidades se producen cada día? b. ¿En cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se adiciona un trabajador

calificado a la fuerza laboral actual? c. ¿En cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se adiciona un trabajador

no calificado a la fuerza laboral actual? d. ¿En cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se adiciona un trabajador

calificado y un trabajador no calificado a la fuerza laboral actual?

Rodrigo

Cuadro de texto


2

Respuesta: a. 160.000 unidades b. Aumenta en 16.400 unidades c. Aumenta en 4.000 unidades d. Aumenta en 20.810 unidades

6. Determine el dominio de las siguientes funciones:

a. 𝑓(𝑥,𝑦) = �𝑥2+𝑦2−9𝑥

b. 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑥�9−𝑥2−𝑦2−𝑧2

Respuesta: a. Son los puntos están en el círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 9 , o en su exterior, excepto los

que se encuentran en el eje y b. Son los puntos interiores de la esfera de radio 3 centrada en el origen

7. Dibuje las cuatro curvas de nivel que se indican a continuación para cada una de las

funciones mencionadas: 0 ; 1 ; 2 y 3z z z z= = = =

a. ( ) yxyxf 2, +=

b. ( ) yxyxf += 2, c. ( )

yxyxf =,

8. La siguiente figura muestra isotermas para Estados Unidos

a. ¿Cuál de las ciudades San Francisco, Denver o Nueva York tenía

aproximadamente la misma temperatura que San Luis? Resp. San Francisco

Rodrigo

Cuadro de texto


3

b. Si usted estuviera en Kansas City y quisiera viajar a un clima más frio lo más rápido posible ¿En qué dirección viajaría?

Resp: Noroeste

9. Si 𝑉(𝑥,𝑦) es el voltaje en un punto (𝑥,𝑦) e el plano, las curvas de nivel de V se llaman curvas equipotenciales. Trace las curvas equipotenciales correspondiente a 𝑉 = 1

2; 1,2,4

para

𝑉(𝑥,𝑦) =4

�(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2

10.El mapa de contorno de la figura muestra las curvas de nivel para una montaña de 3000 pies de altura.

¿Qué tiene de particular el camino hasta la cima indicado por la AC? ¿Qué tiene de particular BC?

Resp: Ascenso suave, ascenso empinado

Rodrigo

Cuadro de texto

Guias de Calculo II

Documents

Transcript of Guias de Calculo II