Universidad Centroamericana Jos Simen Caas

Departamento de Operaciones y Sistemas

Investigacin de Operaciones I

PRACTICA DE LABORATORIO N 2

MTODO DE LA GRAN M

Duracin Estimada: 1.5 horas

Objetivo:

Mostrar al estudiante la metodologa de resolucin del mtodo de la gran M a travs del

software de WinQSB para el desarrollo de ejercicios que contenga tipos de restricciones que

apliquen para el mtodo mencionado.

INTRODUCCIN TERICA

Hasta ahora se han presentado los detalles del mtodo simplex bajo el supuesto de que el

problema se encuentra en la forma estndar (Max o Min Z sujeta a restricciones de tipo y

las de no negatividad sobre todas las variables).

En esta oportunidad se aborda el caso en que las restricciones vienen dadas por igualdades

(tambin existe el caso de ) las cuales introducen la dificultad de encontrar una solucin

inicial bsica factible, ante esta situacin deben introducirse al inicio variables artificiales que

justamente involucra al mtodo de la gran M para resolver el PL configurado artificialmente.

El mtodo de la gran M, es una variante de simplex aplicada en los casos en que las variables

artificiales son necesarias para la resolucin del problema, ya sea de maximizar o minimizar. El

mtodo consiste en penalizar con un coeficiente M (representa un valor numrico muy grande

y mayor que cualquier otro coeficiente del problema) a cada variable artificial Ri incluida en la

funcin objetivo del problema.

Las variables artificiales son usadas en la primera solucin bsica del simplex, pero el gran

valor del coeficiente M le hace salir rpidamente de la base cuando el problema tiene solucin

factible. Al maximizar se penaliza la variable artificial con el valor -M, al minimizar se penaliza

con el valor +M.

Ejemplo 1.

Max Z = 3X1 + 2X2

Sujeta a:

X1 + X2 6

2X1 - X2 0

X1 = 2

Xi 0

Base artificial:

X1 + X2 + S1 = 6

2X1 - X2 S2 + R2 =0

X1 + R3 = 2

Xi 0, S1 0, S2 0, R2 0, R3 0

Penalizacin de la funcin objetivo:

Max Z = 3X1 + 2X2 MR2 MR3

Entonces:

Max Z - 3X1 - 2X2 + MR2 + MR3 =0

Ejemplo 2.

Min Z = 4X1 + 5X2

Sujeta a:

3X1 + X2 27

5X1 + 5X2 = 60

6X1 + 4X2 60

X1 0, X2 0

Base artificial:

3X1 + X2 + S1 = 27

5X1 + 5X2 + R2 = 60

6X1 + 4X2 - S3 + R3 =60

X1 0, X2 0, S1 0, R2 0, R3 0, S3 0

Penalizacin de la funcin objetivo:

Min Z = 4X1 + 5X2 + MR2 + MR3

Entonces:

Min Z - 4X1 - 5X2 MR2 MR3 =0

DESARROLLO DE PRCTICA.

La Medequip Company produce equipos de precisin de diagnstico mdico en dos fbricas.

Se han recibido pedidos de tres centros mdicos para la produccin de este mes. La tabla 1

presenta el costo unitario desde cada fbrica hasta cada centro. Adems muestra el nmero

de unidades que se producirn en cada fbrica y el nmero de unidades ordenadas por cada

cliente.

Tabla 1. Datos del problema.

DE \A Costo Unitario de envo Produccin Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3

Fbrica 1 $600 $800 $700 400 unidades

Fbrica 2 $400 $900 $600 500 unidades

Tamao de Unidades 300 unidades

200 unidades

400 unidades

Ahora debe tomar la decisin sobre el plan de cuntas unidades enviar de cada fbrica a cada

cliente. Formule un modelo de programacin lineal, resuelva por simplex.

SOLUCIN.

Primero se plantea las variables de decisin:

Variable de Decisin:

Xij= Nmero de unidades a enviar desde la fabrica i hacia el cliente j.

Segn el problema se tienen 2 fbricas desde las cuales se pueden surtir a los 3 clientes, por lo

tanto dado que no hay restricciones en la forma de enviar, ambas fbricas enviarn hacia los

tres clientes, esto es importante para la definicin de las variables y sus respectivos sub ndices

En seguida se detalla cada una:

X11= Nmero de unidades a enviar desde la fabrica 1 hacia el cliente 1.

X12= Nmero de unidades a enviar desde la fabrica 1 hacia el cliente 2.

X13= Nmero de unidades a enviar desde la fabrica 1 hacia el cliente 3.

X21= Nmero de unidades a enviar desde la fabrica 2 hacia el cliente 1.

X22= Nmero de unidades a enviar desde la fabrica 2 hacia el cliente 2.

X23= Nmero de unidades a enviar desde la fabrica 2 hacia el cliente 3.

Como se trata solamente de considerar del costo de enviar hacia los clientes, evidentemente

lo que importa en este problema es minimizar los costos del envo, bajo esa consideracin se

plantean la funcin objetivo y sus restricciones correspondientes.

Minimizar Z= 600X11 + 800X12 + 700X13 +400X21 + 900X22 + 600X23

Sujeto a:

X11 + X12 + X13 = 400

X21 + X22 + X23 = 500

X11+ X21 =300

X12 + X22 = 200

X13 + X23 = 400

No Negatividad Xij 0

SOLUCIONANDO CON WINQSB

Primero se activa el ambiente de WinQSB para programacin lineal. Se da click en file y se elige

la opcin New Problem. Al tener el cuadro de dilogo abierto se define el ttulo del problema,

variables de decisin y las restricciones, recordar que WinQSB ya incluye la no negatividad.

Se hace un conteo de las variables de decisin y de las restricciones que resultan ser 6

variables y 5 restricciones respectivamente. Adems debe considerarse que la funcin

objetivo es minimizar costos, por lo tanto se selecciona la opcin minimizar. En la imagen 1 se

muestra la edicin del cuadro de dilogo.

Imagen 1. Edicin de cuadro de dilogo.

Luego de asegurarse de la correcta edicin del cuadro de dilogo, dar click en OK.

En seguida aparecer la matriz inicial para realizar el simplex, habiendo planteado ya el PL de

la manera variables a la izquierda y constantes a la derecha se procede a llenar la matriz inicial,

en la imagen 2 aparece la manera en cmo se deben colocar los coeficientes del PL.

Imagen 1. Edicin de la matriz inicial.

Luego de haber montado correctamente la matriz inicial, dar click en la opcin Solve and

Analyze y elegir Solve and Display Steps, tal y como se muestra en la imAgen 3.

Imagen 2. Resolver paso a paso.

La intencin de resolver paso a paso el ejercicio es hacer notar que dado que se trabaja con

restricciones de mal comportar, es este caso igualdades, WinQSB reconocer en su algoritmo

que debe resolverlo por el mtodo de la gran M. En la imagen 4 se puede notar que hay una

fila ms en relacin a las tablas simplex de la practica 1 de los laboratorios, esa ltima fila

corresponde a los coeficientes de que acompaarn a la gran M, recordar que tanto para la fila

de z como en este caso para la fila de la gran M los coeficientes aparecen con signo cambiado.

Imagen 3. Iteracin 1.

El problema se resuelve con 5 iteraciones, a continuacin en la imagen 5 se muestra la tabla de

resultados

Imagen 4. Tabla de resultados.

Habiendo resuelto el ejercicio, detalle cuntas unidades debe enviar cada fbrica a cada

cliente y cul es el costo mnimo al que puede hacerse esa operacin.

EJERCICIO PROPUESTO

Web Mercantile vende muchos productos para el hogar mediante un catlogo en lnea. La

compaa necesita un gran espacio para almacenar los productos. En la actualidad planea

rentar espacio para los siguientes 5 meses. Se sabe cunto espacio necesitar cada mes, pero

como dicha superficie es muy variable, puede ser ms econmico rentar slo la cantidad

necesaria cada mes con contratos mensuales. Por otro lado, el costo adicional de rentar

espacio para meses adicionales es menor que para el primero, y puede ser menos costoso

rentar el espacio mximo de los 5 meses. Otra opcin es el enfoque intermedio de cambiar la

cantidad total de especio rentado (con un nuevo contrato y/o la terminacin del anterior) al

menos una vez pero no cada mes.

El espacio que se requiere y los costos de los perodos de arrendamiento son los siguientes:

MES ESPACIO REQUERIDO (PIES CUADRADOS)

PERODO DE ARRENDAMIENTO (MESES)

COSTO POR PIE CUADRADO ARRENDADO

1 30000 1 $65

2 20000 2 $100

3 40000 3 $135

4 10000 4 $160

5 50000 5 $190

El objetivo es minimizar el costo total de arrendamiento para cumplir con los requerimientos.

Formule un modelo de programacin lineal, resuelva por simplex