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GU ´ IA DEL EXAMEN GENERAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES El examen general de Ecuaciones Diferenciales Parciales est´ a basado en parte del ma- terial especificado en el programa del curso b´ asico de Ecuaciones Diferenciales Parciales que se imparte en el Posgrado en Ciencias Matem´ aticas de la UNAM. Los temas inclu´ ıdos en el examen son los siguientes: 1. TEMARIO 1. Ecuaciones de primer orden Ecuaci´ on de transporte Ecuaciones cuasi-lineales Ecuaciones nolineales: m´ etodo de caracter´ ısticas Leyes de conservaci´ on y problema de Riemann 2. Ecuaci´ on de onda Ecuaci´ on de onda en una dimensi ´ on espacial Problema de Cauchy Condiciones de frontera Problemas no homog´ eneos Ecuaci´ on de onda en R n Cono de luz y m´ etodo de promedios. Principio de Huygens. M´ etodo del descenso de Hadamard Problema no homog´ eneo y principio de Duhamel M´ etodo de energ´ ıa 3. Ecuaciones el´ ıpticas Las ecuaciones de Poisson y Laplace Propiedades de funciones arm ´ onicas El principio del m´ aximo Funci´ on de Green y la f ´ ormula de Poisson El problema de Dirichlet Existencia de la soluci ´ on al problema de Dirichlet: el m´ etodo de Perron M´ etodos de energ´ ıa y el principio de Dirichlet Problemas de valores propios (arm´ onicos esf´ ericos) Ejemplos: membranas, electrost´ atica, mec´ anica de fluidos 4. Ecuaci´ on del calor La soluci ´ on fundamental (n ´ ucleo de Poisson) Problemas con valores iniciales y de frontera Principio del m´ aximo y unicidad 1
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GUIA DEL EXAMEN GENERAL DEECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
El examen general de Ecuaciones Diferenciales Parciales esta basado en parte del ma-terial especificado en el programa del curso basico de Ecuaciones Diferenciales Parcialesque se imparte en el Posgrado en Ciencias Matematicas de la UNAM. Los temas incluıdosen el examen son los siguientes:
1. TEMARIO
1. Ecuaciones de primer ordenEcuacion de transporteEcuaciones cuasi-linealesEcuaciones nolineales: metodo de caracterısticasLeyes de conservacion y problema de Riemann
2. Ecuacion de ondaEcuacion de onda en una dimension espacialProblema de CauchyCondiciones de fronteraProblemas no homogeneosEcuacion de onda en Rn
Cono de luz y metodo de promedios. Principio de Huygens.Metodo del descenso de HadamardProblema no homogeneo y principio de DuhamelMetodo de energıa
3. Ecuaciones elıpticasLas ecuaciones de Poisson y LaplacePropiedades de funciones armonicasEl principio del maximoFuncion de Green y la formula de PoissonEl problema de DirichletExistencia de la solucion al problema de Dirichlet: el metodo de PerronMetodos de energıa y el principio de DirichletProblemas de valores propios (armonicos esfericos)Ejemplos: membranas, electrostatica, mecanica de fluidos
4. Ecuacion del calorLa solucion fundamental (nucleo de Poisson)Problemas con valores iniciales y de fronteraPrincipio del maximo y unicidad
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Problema no homogeneo: principio de DuhamelRegularidadEl problema global de CauchyAplicaciones: difusion, caminatas aleatorias, finanzas
2. BIBLIOGRAFIA
2.1. Bibliografıa basica.L. C. EVANS, Partial Differential Equations, vol. 19 of Graduate Studies in Mat-hematics, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998.F. JOHN, Partial Differential Equations, vol. 1 of Applied Mathematical Sciences,Springer-Verlag, New York, Fourth ed., 1982.S. SALSA, Partial differential equations in action. From modelling to theory, Uni-versitext, Springer-Verlag Italia, Milan, 2008.
2.2. Bibliografıa complementaria.R. COURANT AND D. HILBERT, Methods of mathematical physics. Vol. II: Par-tial differential equations, Wiley Classics Library, John Wiley & Sons Inc., NewYork, 1989.G. B. FOLLAND, Introduction to Partial Differential Equations, Princeton Uni-versity Press, Second ed., 1995.D. GILBARG AND N. S. TRUDINGER, Elliptic partial differential equations ofsecond order, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2001.J. JOST, Partial differential equations, vol. 214 of Graduate Texts in Mathematics,Springer, New York, second ed., 2007.J. SMOLLER, Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, Springer-Verlag,New York, Second ed., 1994.
