GUIA DE FISICA I completa 2011-1 - Página Web de CECyTE...

Física 1

Clemente Mora González Jefe del Departamentode Fomento Editorial

Leticia Mejia GarcíaCoordinadora de Fomento Editorial

Ulises Ramírez HernándezCoordinador de Diseño Gráfico

Miguel Antonio González VidalesGestión Administrativa

Mayra Guzmán GallegoDiseño Gráfico

DIRECCIÓN GENERALAv. Panamá #199 Esquina con Buenos Aires.Col. Cuauhtémoc SurTels. 01 (686) 9 05 56 00 al 08

Correo Electrónico: [email protected]ágina Web: www.cecytebc.edu.mx

CICLO ESCOLAR 2012-1Prohibida la reproducción total o parcialde esta obra incluido el diseño tipográficoy de portada por cualquier medio,electrónico o mecánico, sin el consentimientopor escrito del editor.

GESTIÓNDITORIAL

Nota:

Al personal Docente interesado en enriquecer el contenido del presente documento, le agradeceremos hacernos llegar sus comentarios o aportacionesa los siguientes correos:

[email protected]@cecytebc.edu.mx

José Guadalupe Osuna MillánGobernador del Estado

de Baja California

Javier Santillán PérezSecretario de Educación

y Bienestar Social del Estado

CECYTE BC

Adrian Flores LedesmaDirector General

Jesús Gómez EspinozaDirector Académico

Ricardo Vargas RamírezDirector de Administración y Finanzas

Olga Patricia Romero CázaresDirectora de Planeación

Argentina López BuenoDirectora de Vinculación

Ángela Aldana TorresJefe del Departamento de Evaluación Académica

MUNICIPIO DE MEXICALI

Cristina de los Ángeles Cardona RamírezDirectora del Plantel Los Pinos

Laura Gómez RodríguezEncargada del Plantel San Felipe

Carlos Zamora SerranoDirector del Plantel Bella Vista

Jesús Ramón Salazar TrillasDirector del Plantel Xochimilco

Rodolfo Rodríguez GuillénDirector del Plantel Compuertas

Abraham Limón CampañaDirector del Plantel Misiones

Francisco Javier Cabanillas GarcíaDirector del Plantel Guadalupe Victoria

Román Reynoso CervantesDirector del Plantel Vicente Guerrero

MUNICIPIO DE TIJUANA

Martha Xóchitl López FélixDirectora del Plantel El Florido

María de los Ángeles Martínez VillegasDirectora del Plantel Las Águilas

Amelia Vélez MárquezDirectora del Plantel Villa del Sol

Bertha Alicia Sandoval FrancoDirectora del Plantel Cachanilla

Rigoberto Gerónimo González RamosDirector del Plantel Zona Río

Jorge Ernesto Torres MorenoDirector del Plantel El Niño

Joel Chacón RodríguezDirector del Plantel El Pacífico

Efraín Castillo SarabiaDirector del Plantel Playas de Tijuana

Benito Andrés Chagoya MorteraDirector del Plantel Altiplano

Juan Martín Alcibia MartínezDirector del Plantel La Presa

MUNICIPIO DE ENSENADA

Alejandro Mungarro JacintoDirector del Plantel Ensenada

Emilio Rios MaciasDirector del Plantel San Quintín

MUNICIPIO DE ROSARITO

Manuel Ignacio Cota MezaDirector del Plantel Primo Tapia

Héctor Rafael Castillo BarbaDirector del Plantel Rosarito Bicentenario

MUNICIPIO DE TECATE

Christopher Díaz RiveraEncargado del Plantel Tecate

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MENSAJE DEL GOBERNADOR DEL ESTADO

Jóvenes Estudiantes de CECYTE BC: La educación es un valuarte que deben apreciar durante su estancia en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, dado la formación y calidad educativa que les ofrece la Institución y sus maestros.

Por ello, asuman el compromiso que el Gobierno del Estado hace para brindarles educación media superior, a fin de que en lo futuro tengan mejores satisfacciones de vida, y se conviertan en impulsores y promotores del crecimiento exitoso, con la visión que tiene nuestra entidad en el plano nacional.

Esta administración tiene como objetivo crear espacios y condiciones apropiadas para que en un futuro inmediato, el campo laboral tenga profesionistas técnicos de acuerdo al perfil de la industria que cada día arriba a nuestra entidad; por lo que los invito a ser mejores en sus estudios, en su familia y en su comunidad.

En ustedes se deposita la semilla del esfuerzo y dedicación que caracteriza a los bajacalifonianos. Son el estandarte generacional que habrá de marcar la pauta de nuestro desarrollo.Como Gobierno del Estado, compartimos el reto de ser formadores de los futuros profesionistas técnicos que saldrán del CECYTE BC.

Unamos esfuerzos, Gobierno, Sociedad, Maestros y Alumnos, para brindar y recibir una mejor educación en Baja California, ser punta de desarrollo humano, crecimiento industrial y económico, y factor importante del progreso de México.

MENSAJE DEL SECRETARIO DE EDUCACIÓN

Alumno de CECYTE BC:

La educación es una herramienta que aumenta tus oportunidades de desarrollo personal, y permite ampliar tu horizonte de posibilidades de progreso económico y social.

Bajo esa perspectiva, el Gobierno del Estado de Baja California asume con responsabilidad su compromiso con los jóvenes en la tarea de crear espacios educativos en el nivel medio superior, y ofrecerles programas de estudios tecnológicos que les permitan integrarse con competencia a fuentes de trabajo y/o continuar estudios superiores.

El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, es un ejemplo de lo anterior. En las escuelas de esta Institución, los estudiantes pueden encontrar el camino de la superación, y el apoyo para alcanzar las metas que visualizan para forjar su futuro.

Entre esos apoyos se encuentran la publicación y entrega de este material educativo, que el CECYTE BC distribuye, con el objetivo de que lo utilices en beneficio de tus estudios.

La tarea que han desarrollado maestros, alumnos y autoridades aducativas en torno a CECYTE BC, han convertido a esta Institución en un modelo para la formación de generaciones de profesionistas técnicos que demanda el sector productivo que se asienta en la región.

Además de eso, el Colegio se ha destacado por alentar el acercamiento de los padres de familia con la escuela, como una acción tendiente a fortalecer los vínculos que deben existir entre ellos, los docentes y administrativos en el proceso educativo, por ser esta, una responsabilidad compartida.

Por todo esto, te felicito por realizar tus estudios en un plantel del CECYTE BC. Te exhorto a valorar este esfuerzo que hace la sociedad a través de la Administración Estatal, y a que utilices con pertinencia los materiales que se te otorgan para apoyar tu formación profesional.

Adrian Flores Ledesma DIRECTOR GENERAL DEL CECYTE BC

Atentamente

PRESENTACIÓN

El libro que tienes en tus manos representa un importante esfuerzo del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, que a través de sus academias de profesores te proporciona material de calidad para el estudio de las distintas asignaturas que cursarás en tu preparación como Bachiller Técnico.

Los contenidos corresponden a los programas establecidos para cada una de las asignaturas de acuerdo a la reforma integral de la educación media superior, y enriquecidos por las competencias comunes del Sistema Nacional de Bachillerato.

Este ejemplar, encierra conocimientos, aprendizaje, análisis y habilidades que deberás de poner en práctica en tu vida diaria, convertida en una acción educativa más, que el Colegio te ofrece para obtener una mejor formación académica.

Te invitamos a que valores y obtengas el mayor provecho a esta obra, que fue diseñada especialmente para lo más preciado del Colegio: sus Alumnos.

gradecimiento

Un especial agradecimiento a los Docentes y Administrativos de CECYTE BC, que colaboraron e hicieron posible la edición de estas Guías de Aprendizaje Básicas y Material Didáctico.

El Colegio

• MANUAL DE QUÍMICA II •Mario Báez VázquezASESOR ACADÉMICO DEL DIRECTOR GENERAL DEL CECYTEBC

• GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA •Andrés Sarabia LeyCOORDINADOR DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA, D.G.Andrés Aguilar MeztaDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• INGLÉS 2 •Mauro Alberto Ochoa SolanoAlonso Palominos TapiaBertha Alicia Canceco JaimeAlejandra AgúndezDOCENTES DEL PLANTEL ENSENADA

• QUÍMICA 2 •Saúl Torres AcuñaAgustín Valle RuelasDOCENTES DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• LECTURA, EXPRESIÓN ORAL Y ESCRITA 2 •María Guadalupe Valdivia MartínezDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASMaría Elena Padilla GodoyCOORDINADORA DE FORMACIÓN VALORAL, D.G.

María Trinidad Salas LeyvaCAPTURISTA DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA, D.G.Lina Rodríguez EscárpitaENCARGADA DEL GRUPO OVIEDO MOTA

• CÁLCULO • Silvia Elisa Inzunza Ornelas Manuel Norberto Quiroz Ortega Javier Iribe Mendoza María Del Carmen Equihua Quiñonez Alvaro Soto Escalante María Guadalupe Bañuelos Cisneros DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• INGLÉS 4 • Adriana Cera MoralesDOCENTE DEL GRUPO PORTALESVerónica Murillo EsquiviasDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASManuel Arvizu Ruíz Joaquín Alberto Pineda Martínez Lina Roxana Cárdenas MezaJuan Olmeda González Juliana Camacho CamachoDOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• FÍSICA I • Andrés Sarabia LeyCOORDINADOR DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA, D.G. Juan Francisco Cuevas Negrete Silvia Elisa Inzunza Ornelas Manuel Norberto Quiroz Ortega Javier Iribe Mendoza María Del Carmen Equihua Quiñonez Alvaro Soto Escalante María Guadalupe Bañuelos Cisneros DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• ECOLOGÍA • Aidé Aracely Pedraza MendozaClara Angélica Rodríguez SánchezDOCENTES DEL PLANTEL COMPUERTASGloria Mosqueda Contreras Sulma Loreto Lagarda LagardaPetra Cantoral Gómez Eva Pérez Vargas DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• MATEMÁTICAS APLICADA • Manuel Norberto Quiroz OrtegaSilvia Elisa Inzunza OrnelasDOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA Eloísa Morales CollínIsmael Castillo OrtízDOCENTES DEL PLANTEL COMPUERTAS

• BIOQUÍMICA • José Manuel SotoDOCENTE DEL GRUPO PORTALESAidé Araceli Pedraza MendozaDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS Alejandra MachucaCristina FélixDOCENTES DEL PLANTEL MISIONESEnid Quezada MatusSergio Alberto Seym GuzmánDOCENTES DEL GRUPO CENTENARIO

Alberto Caro EspinoJEFE DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIADenisse Samaniego ApodacaRESPONSABLE DE FORMACIÓN PROFESIONAL

SEGUNDO SEMESTRE

CUARTO SEMESTRE

SEXTO SEMESTRE

COORDINACIÓN Y REVISIÓN ACADÉMICA

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ÍNDICE

UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN AL CONOCIMIENTO DE LA FÍSICA

1.1 Definición de la física………………………………………………………….. 7 1.2 Historia de la física…………………………………………………………….. 8 1.3 Ramas principales de la física……………………………………………….. 11 1.4 Concepto de ciencia…………………………………………………………... 13 1.5 Juicios deductivos e inductivos………………………………………………. 15 1.6 Métodos de investigación…………………………………………………….. 15

UNIDAD 2. MECÁNICA

2.1 Vectores…………………………………………………………………………….. 22 2.2 Movimiento…………………………………………………………………………. 41 2.2.1 Movimiento en dos dimensiones………………………………………………. 42 2.2.2 Tiro parabólico horizontal y oblicuo…………………………………………… 42 2.2.3 Movimiento circular uniforme y uniformemente acelerado…………………. 54 2.3 Sistema de referencia……………………………………………………………... 68 2.4 Distancia de desplazamiento…………………………………………………….. 69 2.5 Rapidez media…………………………………………………………………….. 71 2.6 Velocidad media…………………………………………………………………… 72 2.7 Movimiento en una dimensión…………………………………………………… 74 2.8 Características generales del movimiento en una dimensión………………… 77 2.9 Movimiento rectilíneo uniforme…………………………………………………… 77 2.10 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado……………………………… 82 2.11 Caída libre y tiro vertical…………………………………………………………. 87

UNIDAD 3. FUERZA (LEYES DE NEWTON)

3.1 Primera Ley de Newton o Ley de la inercia……………………………............ 148

3.2 Segunda Ley de Newton o Ley de la proporcionalidad entre fuerzas y

aceleraciones………………………………………………………………………….. 150

3.3 Tercera Ley de Newton o Ley de la Acción y la Reacción…………………… 154

3.4 Cuarta Ley de newton o Ley de la gravitación Universal……………………. 155

3.5 Resolución de problemas aplicando las leyes de Newton………………....... 158

3.6 Ejercicios propuestos…………………………………………………………….. 166

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UNIDAD 4. MASA

4.1 Densidad…………………………………………………………………………. 172 4.2 Elasticidad………………………………………………………………………... 174 4.3 Fluidos……………………………………………………………………………. 177 4.4 Presión Hidrostática…………………………………………………………….. 185 4.5 Presión atmosférica……………………………………………………………... 187 4.5.1 Barómetro de mercurio, y experimento de torricelli………………………. . 188 4.6 Presión manométrica y presión absoluta……………………………………… 188 4.7 Principio de pascal………………………………….......................................... 190 4.8 Aplicaciones en la vida cotidiana de la prensa hidráulica…………………… 192 4.9 Principio de Arquímedes y flotación de los cuerpos…………………………. 195

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RESULTADOS DE APRENDIZAJE:

El alumno comprenderá los antecedentes históricos de la física.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR: Durante el presente bloque se busca desarrollar los siguientes atributos de las competencias genéricas:

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. 5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus propios puntos de vista al conocer nuevas

UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN AL CONOCIMIENTO DE LA FÍSICA

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INTRODUCCIÓN AL CONOCIMIENTO DE LA FISICA

La Física es una de las Ciencias Naturales que más han contribuido al desarrollo y bienestar del hombre, porque gracias a su estudio e investigación ha sido posible encontrar, en múltiples casos, una explicación clara y útil a los fenómenos que se presentan en nuestra vida diaria. La palabra física proviene del vocablo griego physike cuyo significado es naturaleza. La Física es ante todo una ciencia experimental, pues sus principios y leyes se fundamentan en la experiencia adquirida al reproducir intencionalmente muchos de los fenómenos; sin embargo, al aplicar el método científico experimental, el cual consiste en variar en lo posible las circunstancias en que un fenómeno se reproduce para obtener datos e interpretarlos, se pueden encontrar respuestas concretas y satisfactorias a fin de comprender cada día más el mundo en que vivimos.

Aparte de la elección que se haga de una carrera, es difícil imaginar ningún curso técnico que no se finque en un cimiento de Física Básica. Con una comprensión firme de la mecánica, el calor, el sonido y la electricidad, se tendrán los bloques necesarios para construir casi cualquier carrera técnica. Si se experimentara la necesidad o los deseos de cambiar de carrera antes o después de la graduación, se tendrá el apoyo de una base general de ciencias y matemáticas. Tomando este curso de Física con seriedad y dedicándole el tiempo y la energía suficiente, existirán menos problemas en el futuro. En el trabajo académico posterior y en su empleo se estará en la cresta de la ola en vez de mantenerse sólo a flote en un mar tempestuoso.

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1.1 Definición de la Física

Encontrar una definición clara acerca de qué es la es la Física no es sencillo, toda vez que abarca el estudio de múltiples fenómenos naturales; sin embargo podemos tratar de dar una definición general satisfactoria. “La Física es la ciencia de la naturaleza en el sentido más amplio, ya que estudia las propiedades de la materia, la energía, el tiempo, el espacio y las interacciones entre ellos, sin producir cambios en la composición de la materia.” (Tippens, 2007).

Los cambios que se producen en la naturaleza son estudiados por las ciencias naturales como la Física, la Química, la Biología y la Geografía Física, que se caracterizan porque estudian hechos que tienen una causa y provocan un efecto. Por ejemplo, al frotarnos las manos, generamos calor que se disipa en el medio ambiente; la frotación es la causa y la generación de calor es el efecto, esto lo estudia la Física, ya que es un fenómeno natural en el cual no hay ningún cambio en la composición de la materia. La Química por su parte, estudiará los fenómenos en los cuales sí hay un cambio en la constitución de la materia, tal es el caso de una reacción química donde el producto obtenido es distinto a los reactivos o sustancias iniciales que intervienen en la reacción.

Fig. 1‐1

a)

Cuando se frota un objeto con un instrumento como en la presente figura se produce calor. La fricción es un ejemplo de fenómeno físico.

En toda reacción química, la materia se transforma y se producen nuevas sustancias, dando origen a un fenómeno químico.

b)

8

La Biología se ocupa de estudiar los seres vivos y los cambios que se producen en ellos, mientras que la Geografía Física nos permite comprender la naturaleza del medio que nos rodea, apoyándose en la astronomía, la meteorología, la oceanografía y la geodesia, esta última estudia la forma de la Tierra y la medición de su superficie.

1.2 Historia de la Física

A medida que el hombre primitivo desarrolló su inteligencia, sintió la necesidad de explicarse el porqué de las cosas que sucedían a su alrededor y encontrar respuestas a las siguientes interrogantes: ¿Por qué el día y la noche? ¿Por qué el frío y el calor? ¿Por qué las estaciones? ¿Por qué llueve? ¿Qué son los truenos? ¿Por qué vuelas los pájaros? ¿Qué es la Luna? Estas y otras cuestiones eran un verdadero misterio antes de que la Física contribuyera, gracias a su estudio, a dar respuestas a las mismas. Sin embargo, no todo está resuelto, pues aún en nuestros días no se tiene absoluta certeza sobre: ¿Qué es la materia? ¿Qué es la luz? ¿Existe vida en otros planetas? ¿De dónde provenimos? Las primeras explicaciones se basaron en consideraciones filosóficas y sin realizar verificaciones experimentales, concepto este inexistente en aquel entonces. Por tal motivo algunas interpretaciones falsas, como la hecha por Ptolomeo – “La Tierra está en el centro del Universo y alrededor de ellas giran los astros”- perduraron cientos de años.

Para comprender el desarrollo de la Física es necesario mencionar brevemente algo de su historia:

La Física tiene sus orígenes con los antiguos griegos, quienes trataron de explicarse el origen del Universo y el movimiento de los planetas. 500 años antes de la era cristiana, mientras Leucipo y Demócrito pensaban que todas las cosas que nos rodean, es decir, la materia, estaban constituidas por pequeñas partículas, otros explicaban que la materia estaba constituida por cuatro elementos básicos: tierra, aire, fuego y agua.

Hacia el año 300 a.C. Aristarco ya consideraba el movimiento de la Tierra alrededor del Sol; sin embargo, durante cientos de años predominó la idea de que la Tierra, carente de movimiento, era el centro del Universo con todos los planetas y estrellas girando en torno de ella.

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Hasta el año 1500 de nuestra era se desarrolló un gran interés por la ciencia. Galileo Galilei, científico Italiano, llegó a comprobar que la Tierra gira alrededor del Sol tal como sostenía Copérnico, astrónomo polaco. Además, Galileo construyó su propio telescopio y demostró que las estrellas estaban a distancias fabulosas y debido a ello la mayoría resultaba invisible al ojo humano. También descubrió que Júpiter tenía satélites girando a su alrededor, usando experimentos descubrió la ley de la inercia, entre otras cosas. Sin embargo, en Roma, la Santa Inquisición obligó a Galileo a retractarse acerca de que la Tierra giraba alrededor del Sol entre otras cosas, ya que chocaban completamente con las ideas religiosas contenidas en las Sagradas Escrituras. Galileo pasó sus últimos días en el retiro y murió en 1642, año del nacimiento de Isaac Newton.

Newton, científico inglés, describió el movimiento de los cuerpos celestes por medio de su Ley de la Gravitación Universal. Explicó que la fuerza de atracción llamada gravedad, existente entre dos cuerpos cualesquiera, ocasiona la caída de las cosas al suelo y su permanencia sobre él, de la misma forma como el Sol retiene a los planetas girando a su alrededor en lugar de permitirles flotar en el espacio.

Fig. 1-2

Galileo Galilei Issac Newton John Dalton

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Albert Einstein Max Planx

A principios del siglo XIX, John Dalton consideró que todas las cosas estaban formadas por pequeñas partículas llamadas átomos, su idea fue aceptada por otros científicos constituyéndose la Teoría Atómica; consideraron también que los átomos se combinan para formar moléculas. Posteriormente, en 1896, Becquerel descubrió el desprendimiento de partículas más pequeñas en los átomos del elemento uranio, por lo cual se pensó que el átomo no era la partícula más pequeña, sino que estaba constituido por otras partículas. Esto motivó la realización de más experimentos atómicos como los de Thomson, Ruthrford y Bohr, quienes concluyeron en describir al átomo como un pequeño Sistema Solar, así como los planetas giran alrededor del Sol, en el átomo los electrones de carga negativa giran alrededor del núcleo, el cual está compuesto de protones con carga positiva y de neutrones sin carga eléctrica.

Fig. 1-3

El átomo es la unidad más pequeña de un elemento químico.

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Los descubrimientos de la radioactividad abrieron un nuevo campo: La Física Atómica, encargada de estudiar la constitución del átomo. Aparecieron las teorías: Cuántica de Planck, de la Relatividad de Einstein y de la Mecánica Ondulatoria de Broglie. Actualmente el descubrimiento de nuevas partículas de vida media muy corta ha originado la Física Nuclear, cuyo objetivo es descubrir totalmente la constitución del núcleo atómico.

1.3 Ramas principales de la Física

Para su estudio la Física se puede dividir en tres grandes ramas, la Física Clásica, La Física Moderna y la Física Contemporánea. La primera se encarga del estudio de aquellos fenómenos que tienen una velocidad relativamente pequeña comparada con la velocidad de la luz y cuyas escalas espaciales son muy superiores al tamaño de átomos y moléculas. La segunda se encarga de los fenómenos que se producen a la velocidad de la luz o valores cercanos a ella o cuyas escalas espaciales son del orden del tamaño del átomo o inferiores y fue desarrollada en los inicios del siglo XX. La tercera se encarga del estudio de los fenómenos no lineales, de la complejidad de la naturaleza, de los procesos fuera de equilibrio termodinámico y de los fenómenos que ocurren a escalas mesoscópicas y nanoscópicas. Esta área de la Física se comenzó a desarrollar hacia finales del siglo XX y principios del siglo XXI .

Dentro del campo de estudio de la Física Clásica se encuentran la:

Mecánica. Rama de la Física que estudia los fenómenos relacionados con el movimiento de los cuerpos. De manera que cuando estudiamos el movimiento de caída de un cuerpo, el movimiento de los planetas, el choque de dos automóviles, etc., estamos tratando de fenómenos mecánicos.

• El Calor o Termología. Como su nombre lo indica, esta rama de la Física estudia los fenómenos térmicos. Por lo tanto, la variación de la temperatura de un cuerpo, la fusión de un trozo de hielo, la dilatación de un cuerpo caliente, etc., son fenómenos que se estudian en esta rama de la Física.

• Movimiento Ondulatorio o Acústica. En esta parte estudiamos las propiedades de las ondas que se propagan en un medio material como, por ejemplo, las ondas formadas en una cuerda o en la superficie del agua. Aquí se estudian, además, los fenómenos audibles o sonoros, porque el sonido no es más que un tipo de onda que se propaga en los medios materiales.

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• La Óptica. Es la parte de la Física que estudia los fenómenos visibles relacionados con la luz. La formación de nuestra imagen en un espejo, la observación de un objeto distante a través de una lente, la descomposición de la luz solar en los colores del arco iris, etc., son todos fenómenos ópticos.

• Electromagnetismo. En esta rama de la Física se incluyen los fenómenos eléctricos y magnéticos. De modo que se estudian aquí las atracciones y repulsiones entre los cuerpos electrizados, el funcionamiento de los distintos aparatos electrodomésticos, las propiedades de un imán, la producción de un relámpago en una tempestad, etc.

Dentro del campo de estudio de la Física Moderna se encuentran:

• Relatividad. La Teoría de la Relatividad fue formulada por Albert Einstein a principios del siglo XX, la cual toma como hecho fundamental, la constancia de la velocidad de la luz para formular su teoría. Una de las consecuencias más importantes de esta teoría, es la equivalencia entre la masa y la energía. La masa puede convertirse en otras formas de energía (como, por ejemplo, ondas de luz) y al contrario. De aquí sale la famosa fórmula

2mcE = , ( E = Energía, m = masa y c = velocidad de la luz). • Mecánica Cuántica. La Mecánica Cuántica, conocida también como

Mecánica Ondulatoria o Física Cuántica, es la rama de la Física que estudia el comportamiento de la materia a escala muy pequeña. El concepto de partícula “muy pequeña” atiende el tamaño en el cual comienzan a notarse efectos como la imposibilidad, de conocer con exactitud, arbitraria y simultáneamente la posición y el momento de una partícula.

• La Física de Altas Energías o Física de Partículas. Es la parte de la Física que estudia los componentes elementales de la materia y las interacciones entre ellos.

Dentro del campo de estudio de la Física Contemporánea se encuentran:

• Nanofísica. Estudia el conjunto de técnicas para manipular la materia a escalas muy pequeñas, del orden de una millonésima de milímetro. A esta escala, las propiedades físicas y químicas de la materia se comportan de manera diferente que a escalas mayores. Esta rama de la Física ofrece beneficios de todo tipo, desde aplicaciones médicas nuevas o más eficientes, solución de problemas ambientales, de la industria de la transformación, etc.

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• Dinámica no lineal. Esta área de la Física, estudia como los pequeños en las condiciones iniciales de un fenómeno físico, puede conducir a enormes cambios en el resultado final. De este modo se comenzó la búsqueda de las leyes que gobiernan sistemas desconocidos, tales como el clima, las turbulencias, formaciones geológicas, epidemias, la bolsa, etc., Todo conduce a la posibilidad de que en un sistema como los anteriormente mencionados se genere un caos. Por ello a veces a esta rama de la Física se le denomina, Física de la Teoría del Caos.

• Mecánica Estadística. Parte de la Física que trata de determinar el comportamiento agregado termodinámico de sistemas macroscópicos a partir de consideraciones microscópicas utilizando para ello herramientas estadísticas junto a leyes mecánicas.

1.4 Concepto de Ciencia

La ciencia es un conjunto de razonamientos razonados y sistematizados opuestos al conocimiento vulgar. El hombre, en su afán de lograr el conocimiento de las cosas con base en los principios y las causas que les dan origen, ha logrado el desarrollo constante de la ciencia; por ello, podemos afirmar que la ciencia es uno de los productos más elaborado de la actividad del ser humano, pues a través de ella el hombre ha comprendido, profundizado, explicado y ejercido un control sobre muchos de los procesos naturales y sociales.

Las principales características de la ciencia son las siguientes:

1. Sistemática, ya que emplea el método científico para sus investigaciones. Por medio de él obtiene un conjunto de conocimientos ordenados y relacionados entre sí, evitando dejar al azar la posibilidad de explicar el por qué de las cosas.

2. Comprobable, porque pude verificar si es falso o verdadero lo que se propone como conocimiento.

3. Perfectible, es decir, sus enunciados de ninguna manera deben de considerarse como verdades absolutas, sino por el contrario, constantemente sufren modificaciones e incluso correcciones a medida que el hombre incrementa sus conocimientos y mejora la calidad y precisión de sus instrumentos de medición y observación.

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Ciencias formales y ciencias factuales

La ciencia se divide para su estudio en dos grandes grupos:

Ciencias formales

Son aquellas que estudian ideas, como es el caso de la Lógica y las Matemáticas. La característica principal de estas ciencias es que demuestran o prueban sus enunciados con base en principios lógicos o matemáticos, pero no los confirman experimentalmente.

Ciencias factuales

Se encargan de estudiar hechos, ya sean naturales, como es el caso de la Física, Química, Biología y Geografía Física que se caracterizan porque estudian hechos con causa y efecto. O bien, estudian hechos humanos o sociales, como es el caso de la Historia, Sociología, Psicología Social y Economía, cuya característica es que estudian hechos de imputación debido a que las teorías o hipótesis son atribuibles a los investigadores que han realizado los estudios. En general, las ciencias factuales comprueban mediante la observación y la experimentación sus hipótesis, teorías o leyes.

Fig. 1-4

Las Matemáticas es una ciencia formal, ya que demuestran o prueban sus enunciados con base en principios lógicos, pero no los confirman experimentalmente.

Los rayos son un fenómeno natural y lo estudian las ciencias factuales.

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1.5 Juicios deductivos e inductivos

La ciencia, ya sea formal o factual, formula juicios, es decir, afirma o niega con base en la observación y el razonamiento. Las ciencias formales generalmente emplean juicios deductivos, los cuales se realizan cuando a partir de una generalidad o ley se analiza un caso particular. Las ciencias factuales por la general usan juicios inductivos que se llevan a cabo cuando gracias al estudio de un caso o hecho particular se llega al enunciado de una generalidad o ley.

Las ciencias factuales también utilizan juicios deductivos cuando al estudiar un hecho se formulan hipótesis con base en leyes o principios previamente establecidos.

Ejemplo de juicio deductivo: todos los metales son buenos conductores de calor; la plata es un metal, por tanto, es buen conductor de calor.

Ejemplo de juicio inductivo: El cobre es un buen conductor de electricidad y es un metal; si el cobre es un metal y es buen conductor de electricidad, entonces todos los metales son buenos conductores de electricidad.

1.6 Métodos de Investigación

Método Científico

La ciencia utiliza para sus investigaciones el llamado método científico, éste se define como el conjunto de pasos ordenados y sistematizados que conducen con mayor certeza a la elaboración de la ciencia (Alvarenga, Maximo, 2003). Consta de ciertos pasos o procedimientos recomendables que permitirán al investigador la posibilidad de explicar algún principio o suceso cuando se presente, o conocer más acerca de ellos.

Los pasos del método científico de manera muy general son:

1. Cuerpo de conocimiento disponible. Es la interpretación clara del problema que se desea investigar.

2. Observación del problema 3. Planteamiento sobre cómo resolver el problema. 4. Formulación de preguntas e hipótesis que tratan de explicar el problema,

aún sin comprobación. 5. Investigación bibliográfica y comunicación con centros de investigación del

mundo. 6. Comprobación de la hipótesis. 7. Elaboración de leyes, teorías y modelos.

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Los pasos señalados de ninguna manera son los únicos que sigue el método científico, pueden variar según el investigador y las características del problema. Los pasos no son infalibles y, por lo tanto, el simple hecho de seguirlos no garantiza el llegar a la explicación del problema, aunque evidentemente el seguimiento de un método hará más factible esa posibilida

Método Científico Experimental

Fig. 1-5

El método científico experimentales utilizado por las ciencias factuales, ya que la Lógica y las Matemáticas no requieren de la experimentación para demostrar sus enunciados, como en la Física, la Química o la Biología que sí necesitan para probar la validez de sus postulados. Por tal motivo se experimenta modificando en forma consciente las diferentes variables involucradas en el

objeto de estudio. En términos generales y con todas las limitaciones que presenta el señalar una serie de pasos a seguir en el estudio de un fenómeno, empleando el método científico experimental, se tiene como una posible secuencial los siguientes pasos:

1. Cuerpo de conocimiento disponible, es decir, el fenómeno en estudio. 2. Observación del fenómeno 3. Planteamiento del problema para definir claramente lo que vamos a

investigar y para qué. 4. Formulación de hipótesis. 5. Investigación bibliográfica en libros y revistas especializadas para

aprovechar, si existe, algún escrito acerca del fenómeno que se estudia, así como la comunicación con centros de investigación en el mundo, abocados al estudio del fenómeno en cuestión, ya sea de manera directa, por teléfono, fax o vía Internet.

6. Experimentación, se llevará a cabo mediante la modificación controlada de las distintas variables involucradas en el fenómeno en estudio. Por lo general, se realiza mediante el empleo de un modelo que representa el fenómeno.

7. Registro e interpretación de datos. 8. Comprobación de la hipótesis 9. Enunciado de una teoría que explica el porqué del fenómeno, pero en

ciertas limitaciones que no permiten hacer una generalización para todos los casos similares a nuestro fenómeno de estudio.

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10. Obtención de una ley, ésta se produce cuando el afortunado y persistente investigador encuentra reglas invariables que dentro de ciertos límites rigen al fenómeno de estudio. No obstante, dicha ley estará sujeta a los nuevos descubrimientos y progresos del hombre, por lo cual tarde o temprano puede sufrir alguna corrección.

Finalmente, vale la pena recordar que no siempre es posible experimentar con todos los fenómenos naturales, pues en muchos casos, como el movimiento de planetas, eclipses, temblores, etc., el investigador no interviene en las causas del fenómeno de estudio, por ello no puede alterar de manera intencionada y controlada ninguna de las variables, solo puede llevar a cabo su investigación científica mediante observación sistemática y minuciosa de dichos fenómenos cuando se presentan.

AUTOEVALUACIÓN

Escriba en su cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas. Si se le presentan dudas al responder vuelva a leer la sección correspondiente del libro.

1. ¿Cuál es el origen de la palabra Física?

2. ¿Cómo definiría a la Física?

3. Menciones cinco aportaciones que la Física ha hecho en beneficio del desarrollo de la humanidad.

4. Mencione cinco antecedentes históricos en el desarrollo de la Física.

5. ¿Cuáles son los tres grandes grupos en los que se divide la Física para su estudio?

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6. ¿Cuál es el concepto de ciencia y cuáles son sus principales características?

7. ¿Qué estudian las ciencias formales?

8. ¿Qué estudian las ciencias factuales?

9. ¿Por qué la Física se clasifica como una ciencia factual?

10. ¿Qué es un juicio deductivo?

11. ¿Qué es un juicio inductivo?

12. ¿Cómo se define el método científico y cuáles son sus principales pasos?

13. ¿Cuáles son las ciencias que utilizan el método científico experimental u cuáles son sus principales pasos?

14. Explique qué es una ley físic

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.


El alumno realiza predicciones sobre el comportamiento de cuerpos en movimiento en una y dos dimensiones, por medio de la observación sistemática de las características, de los patrones de movimiento que se muestran en ambos tipos, mostrando objetividad y responsabilidad.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR: Durante el presente bloque se busca desarrollar los siguientes atributos de las competencias genéricas:


5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. 5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus propios puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.

UNIDAD 2 MECÁNICA

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Unidad II. MECÁNICA.

Como ya te habrás dado cuenta la Física es una ciencia interesante y completa

que te proporciona la metodología y las herramientas necesarias para investigar

los fenómenos que presentan los cuerpos en la naturaleza y, que de hecho, al

hablar genéricamente sobre los “fenómenos en la naturaleza”, implícitamente se

están respetando o desafiando las leyes de la física.

Frases como:

“Denme un punto de apoyo y moveré el mundo”.

“A toda acción corresponde una reacción de igual magnitud, pero de sentido contrario”.

“Un cuerpo en reposo tiende a seguir en reposo y todo cuerpo en movimiento

tiende a permanecer en movimiento a menos que haya una fuerza externa que lo altere”.

Han perdurado a través de los tiempos gracias a su verdad absoluta y a que, además de aplicarse a los fenómenos físicos, se extienden a las situaciones de la vida cotidiana. En esta unidad la Física te brinda un conjunto de herramientas como: ecuaciones, ejercicios y bases teóricas, con las cuales podrás calcular y predecir las diferentes variables que involucran el movimiento de los cuerpos. Además, aclararas algunas dudas sobre ciertos conceptos, que debido a su uso convencional e inadecuado se han perdido o se confunden como la velocidad y rapidez, aceleración constante y velocidad constante, distancia y desplazamiento. Trabajaremos con movimientos simples en una dimensión, con velocidad constante y con velocidad variable, estudiaremos arranques y frenado de móviles para ver que tiempo o distancia necesita para alcanzar cierta velocidad o detenerse en cierto punto. También estudiaremos el movimiento que describe un objeto cuando es lanzado hacia arriba y como es afectado, por la fuerza de la gravedad, al grado que lo va frenando conforme va subiendo y como la misma gravedad le va devolviendo al objeto la energía cuando comienza a caer, reponiéndole la velocidad perdida.

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Veremos el movimiento parabólico y sus variantes, que los antiguos guerreros del imperio romano matarían por conocer, ya que calcularemos con precisión el ángulo de disparo de un proyectil para dar en el blanco a una cierta distancia. Observaremos cómo se comporta la velocidad de un objeto cuando es lanzado con cierto ángulo de inclinación, que influencia tiene este en la altura alcanzada, y la distancia o alcance horizontal, así como el tiempo que dura en el aire. El movimiento parabólico es el que describen los proyectiles tierra-aire y aire-tierra, los cañones y las pelotas de golf al ser golpeadas. También, analizaremos el movimiento que describe un disco, un motor o cualquier objeto que este sujeto a movimiento circular, ya sea con velocidad constante o variable. El mapa conceptual de la presente unidad es el siguiente:

UNIDAD II

MOVIMIENTO.

MOVIMIENTO EN UNA DIMENCION.

CONSEPTOS DE DISTANCIA, DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION. • SISTEMA DE REFERENCIA • MRU (MOVIMIENTO RECTILINEO

UNIFORME) • MRUA (MOVIMIENTO RECTILINEO

UNIFORMEMENTE ACELERADO)

MOVIMIENTO EN DOS DIMENCIONES.

• TIRO PARABOLICO • MCU

(MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME)

• MCA (MOVIMIENTOUNIFORMEMENTE ACELERADO)

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2.1 Vectores Características de un vector. Las cantidades vectoriales se representan por medio de un vector. Un vector se define como un ente matemático que consta de: origen y extremo, dirección, sentido y magnitud o modulo. Origen y extremo. El origen, también denominado punto de aplicación, es el punto exacto sobre el que actúa el vector. El extremo es el punto donde finaliza el vector. Dirección. Esta dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Esto se logra indicado el ángulo con respecto a un eje de referencia (por ejemplo, la horizontal, representada generalmente como eje X) y se le llama ángulo director. Sentido. Se Indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia que lado de la línea de acción se dirige el vector.

Magnitud o modulo. Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cual es el modulo del vector debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Actividad individual:

1. Menciona las características de un vector.

2. Explica con tus propias palabras los elementos de un vector: sentido, modulo, dirección y origen.

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Representación grafica de sistemas de vectores coplanares, no coplanares, deslizantes, libres, colineales y concurrentes. CLASIFICACION Y REPRESENTACION GRAFICA DE SISTEMA DE VECTORES Existen diversos criterios para clasificar los vectores, pero el que se emplea con mayor frecuencia es el que se muestra a continuación. Vectores colineales. Son aquellos cuyas direcciones se encuentran en la misma línea.

Vectores coplanares. Son aquellos que se encuentran en un mismo plano.

Vectores no coplanares. Son aquellos que se encuentran en diferentes planos. La figura siguiente muestra como cada uno de los vectores representados se puede asociar a un solo eje cartesiano o a planos diferentes. Por ejemplo a1

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pertenece al plano formado por los ejes x – z o bien al que definen los ejes x – y. Estos planos no coinciden con aquellos en los que puede ubicar el vector a2.

Vectores concurrentes. Son aquellos cuyas líneas de acción se cruzan en un punto. El punto de cruce es el punto de “aplicación” de los vectores concurrentes.

Vectores paralelos. Son aquellos en los que su línea de acción es paralela.

Vectores opuestos. Se llama vector opuesto (-A) de un vector (A) cuando tienen el mismo modulo y la misma dirección, pero sentido contrario.

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Vectores perpendiculares. Son aquellos que forman un ángulo de noventa grados entre si.

Vectores ni concurrentes ni paralelos. Son aquellos que no son colineales, ni paralelos, ni concurrentes entre si; también lo son aquellos vectores integrados simultáneamente por vectores colineales y concurrentes, o paralelos y concurrentes. Lee cuidadosamente y resuelve el siguiente ejercicio de opción múltiple, Indica con una cruz “X” la respuesta correcta. 1. Nombre de los vectores que se encuentran en la misma línea de acción, aunque tengan sentido contrario. a ( ) Paralelos. b ( ) Fijos. c ( ) Deslizantes. d ( ) Colineales. 2. Nombre de los vectores que tienen un punto de aplicación, es decir cuando las direcciones de estos se cruzan en un punto. a ( ) Coplanares. b ( ) Concurrentes. c ( ) Colineales. d ( ) Deslizantes. 3. El vector que por sí solo sustituye a un sistema de vectores, recibe el nombre de: a ( ) Equivalente. b ( ) Resultante. c ( ) Polar. d ( ) Equilibrante. 4. Magnitud que queda completamente definida con un número o cantidad respecto de cierta unidad de medida de la misma especie. a ( ) Derivada. b ( ) Vectorial. c ( ) Escalar. d ( ) Fundamental.

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5. Magnitud que queda completamente definida si tiene magnitud, dirección y sentido. a ( ) Derivada. b ( ) Vectorial. c ( ) Escalar. d ( ) Fundamental. 6. Es una característica de un fenómeno o de un objeto susceptible a ser medido, al cual se le asocia un número, que se obtiene por medio de la operación llamada medición a ( ) Derivada. b ( ) Vectorial. c ( ) Magnitud. d ( ) Fundamental. En equipos de cinco integrantes, completa los siguientes enunciados en los espacios en blanco, posteriormente exponga los resultados en clase y anoten las conclusiones.

1) ¿Cuándo se dice que dos vectores son iguales entre sí?

2) Los vectores no se modifican si se trasladan paralelamente a sí mismos. A los vectores que tienen esta propiedad se les conoce como:

3) Escribe el nombre del sistema de vectores que se encuentran en un mismo

plano.

4) Nombre del vector, que tiene la misma magnitud y dirección pero de sentido contrario a otro vector.

5) Una lancha de motor efectúa los siguientes desplazamientos: 300 m al Oeste, 200 m al Norte, 350 m al Noreste y 150 m al Sur. ¿Qué distancia total recorre?

6) Se dice que las cantidades escalares no tienen signo. Sin embargo

sabemos que existen temperaturas 1) negativas (por ejemplo –10ºC). ¿Quiere decir esto que la temperatura es un

vector? Adición de vectores. Sumar dos o más vectores, es representarlos por uno sólo llamado resultante. Este vector resultante produce los mismos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmética.

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Suma de vectores mediante métodos gráficos En este procedimiento hay que utilizar un juego geométrico. Los vectores se dibujan a escala, por ejemplo si tenemos un vector desplazamiento cuya magnitud sea de 100 km, podemos elegir una escala 1cm : 10km, en cuyo caso dibujaremos una flecha con una longitud de 10cm. Si elegimos una escala 1cm : 20km, entonces la flecha que dibujaremos deberá tener una longitud de 5cm, para este ejemplo. Obviamente, la escala que utilicemos tendrá que ser elegida de tal manera que los vectores que dibujemos, queden de un tamaño manejable en el papel. Los ángulos correspondientes a las direcciones de los vectores, se medirán con el transportador. Hay tres métodos gráficos comunes para encontrar la suma geométrica de vectores. El método del triángulo y el del paralelogramo son útiles para la suma de dos vectores a la vez. El método del polígono es el más útil, puesto que puede aplicarse rápidamente a más de dos vectores. Como ya se dijo, la magnitud o módulo de un vector se indica a escala mediante la longitud de un segmento de recta. La dirección es el ángulo y el sentido se denota por medio de una punta de flecha al final del segmento.

Método del triángulo. Válido sólo para dos vectores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un triángulo, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el triángulo y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.

Métodos gráficos

Triangulo

Paralelogramo

Polígono

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Ejemplo: Un jinete y su caballo cabalgan 3 km al norte y después 4 km al oeste. Calcular:

a) ¿Cuál es la distancia total que recorren?

b) ¿Cuál es su desplazamiento?

Solución:

a) Como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritméticamente las dos distancias:

dt = d1+ d2= 3 km + 4 km = 7 km

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b) Para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial, toda vez que corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos (el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial. Para ello, dibujamos a escala de 1 cm : 1 km el primer desplazamiento de 3 km realizado al norte, representado por d1 con 3cm, después el segundo desplazamiento de 4 km al oeste representado por d2 con 4 cm. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector R equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo coincide con el final del vector d2. Para calcular la magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su dirección se mide con el transportador por el ángulo α que forma. Así, encontramos que R = 5 km con un ángulo α de 37º en dirección al norte del este.

Método del paralelogramo. Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes, para hallar la resultante se une a los vectores por el origen (deslizándolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resultante se encontrará en la diagonal que parte del punto de del origen común de los dos vectores.

Ejemplo: En un poste telefónico se atan dos cuerdas, formando un ángulo de 120º entre sí. Si se tira de una cuerda con una fuerza de 60 lb, y de la otra con una fuerza de 20 lb (La libra es la unidad con que se miden las fuerzas en el sistema inglés) ¿cuál es la fuerza resultante sobre el poste telefónico?

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Solución: Empleando la escala de 1 cm: 10 lb, encontramos que las fuerzas se dibujarán de 6 cm y de 2 cm, respectivamente. Se construye un paralelogramo dibujando las dos fuerzas a escala desde un origen común con 120º entre ellas. Completando el paralelogramo, es posible dibujar la resultante como una diagonal desde el origen. La medición de R y θ con una regla y un transportador produce los valores de 53 lb para la magnitud y 19º para la dirección. Método del polígono. Válido sólo para dos o más vectores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un polígono (a esto se le llama juntar cola con punta). El vector resultante se encontrará en la línea que forma el polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.

En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del último, el vector resultante es nulo; y al sistema se le llama “polígono cerrado”.

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Ejemplo: Hallar la resultante del sistema de fuerzas F1, F2 y F3 mostradas en la figura (N es Newton, la unidad con la que se miden las fuerzas, como se verá más adelante)

Se elige una escala como por ejemplo 1 cm = 1 N, de tal manera que como las tres fuerzas son de 2 N, entonces se dibujarán de 2 cm. Se traza el polígono dibujando primero el vector F1, que es horizontal. Donde termina el primer vector, se dibuja el vector F2, con un ángulo de 45º. Donde termina el vector F2 se dibuja el vector F3, con un ángulo de 45º (con la misma orientación que se ve en la figura de la izquierda. Luego se traza el vector fuerza resultante R desde el inicio del primer vector hasta el final del último vector. Medimos su longitud y vemos que es de 3.4 cm, por lo que la magnitud de R = 3.4N. Por último, con el transportador medimos el ángulo que forma R con el eje x y nos da 58º. La exactitud de las medidas efectuadas depende de los instrumentos utilizados, de la escala que se emplee y del cuidado que se tenga. Adición de vectores por el método analítico. ♦ Suma de Vectores Colineales. En este caso la resultante se determina mediante la suma algebraica de los módulos

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de los vectores, teniendo en cuenta la siguiente regla de signos. Ejemplo: Determinar la resultante de los siguientes vectores:

Sabiendo: A=4, B=3, C=3, D=1 Solución: R = A + B + C + D Teniendo en cuenta la regla de signos: R =4 – 3 – 3 + 1 , r = –1 El signo negativo indica que el vector está dirigido hacia la izquierda. Suma de Vectores Concurrentes y Coplanares. Puede realizarse con dos o más vectores. Iniciaremos con el caso de dos vectores que forman un ángulo entre sí, que se resuelve por el método gráfico del paralelogramo, pero aquí lo haremos con cálculos matemáticos.

En este caso el módulo de la resultante se halla mediante la siguiente fórmula. R es el valor de la magnitud o módulo del vector resultante. A y B son los valores de las magnitudes o módulos de los vectores a sumar. Θ es el ángulo de los vectores A y B a sumar La dirección del vector resultante se halla mediante la ley de senos. A y B son los mismos de la fórmula anterior.

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α es el ángulo de B con la resultante. β es el ángulo de A con la resultante. La dirección del vector resultante se halla mediante la ley de senos. A y B son los mismos de la fórmula anterior. α es el ángulo de B con la resultante. β es el ángulo de A con la resultante. CASO PARTICULAR: Si los dos vectores a sumar son perpendiculares entre sí, o sea si θ = 90°

Ejemplo: Los vectores a y b de la figura 2 tienen magnitudes iguales a 6.0 y 7.0 unidades (u). Si forman un ángulo de 30º, calcular la magnitud y dirección del vector resultante (vector suma) s.

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Para calcular la dirección del vector resultante, basta con hallar el valor del ángulo α. Para lograr esto podemos utilizar la ley de los senos:

Componentes rectangulares de un vector. Son aquellos vectores componentes de un vector, que forman entre sí un ángulo de 90°. Pueden obtenerse de manera gráfica o analítica. La ventaja del método gráfico es que nos permite visualizar las cantidades vectoriales aunque tiene la desventaja que no suele ser muy preciso. Ejemplo: Determinar por el método gráfico las componentes rectangulares de un vector V de 50m a 40º Primero se selecciona una escala adecuada (en este caso puede ser 1cm : 10m, esto significa que la longitud del vector será de 5 cm), luego con el transportador mide un ángulo de 40° desde el eje horizontal y por último, traza el vector. Partiendo del extremo del vector traza líneas punteadas perpendiculares hacia los ejes X y Y; donde se intersectan quedan los extremos de las componentes Vx y Vy. Para encontrar el valor de ellas sólo mídelas y obtén su valor según tu escala. El método analítico tiene las ventajas de ser más preciso, útil y rápido porque se utilizan procedimientos matemáticos, realizándose con las siguientes fórmulas trigonométricas:

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Resuelve los ejercicios de problemas donde apliques el método gráfico y analítico. De manera individual determina las componentes rectangulares de siguientes vectores por el método gráfico y analítico. a) Una fuerza de 200N a 45º b) Un desplazamiento de 60m a 164º c) Una velocidad de 85 km/h a 70º al S del E d) Una aceleración de 5m/seg2 a 60º al S del W

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3) Un bote es remolcado a lo largo de un canal por medio de dos cables, uno en cada orilla, como se muestra en la figura. Si las fuerzas aplicadas son de 1000 N y 2000 N, respectivamente y el ángulo entre los cables es de 60°, determinar la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma ésta con la fuerza de 2000 N. Utilizar el método del paralelogramo analítico.

Suma de vectores por el método de componentes rectangulares. Para hallar la resultante por este método, se siguen los siguientes pasos:

1. Se descompone cada vector en sus componentes rectangulares Vx y Vy 2. Se halla la resultante en el eje X y Y (Rx, Ry), por el método de suma de

vectores colineales (se uman directamente las componentes x obteniendo Rx y se suman directamente las componentes y obteniendo Ry).

3. El módulo del vector resultante se halla aplicando el teorema de Pitágoras

4. La dirección se obtiene calculando primero la tangente buscando luego la inversa de la tangente.

Los signos de los vectores Rx y Ry, determinan el cuadrante donde está la resultante y de esta forma calculamos la dirección

Ejemplo: ¿Cuál es la resultante de una fuerza de 5 N dirigida hacia la derecha y una de 8N dirigida hacia abajo? Este es un caso de suma de dos vectores perpendiculares, para lo cual no se necesita descomponer a los vectores en sus componentes X y Y. Se resuelve de la siguiente manera

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En el caso de sumar dos o más vectores concurrentes y coplanares (no necesariamente perpendiculares todos entre sí) se realiza el procedimiento completo ya descrito al inicio. Ejemplo: Tres sogas están atadas a una estaca y sobre ella actúan tres fuerzas como se indica en la figura. Determinar la fuerza resultante. Procedimiento:

1. Se determinan las componentes rectangulares de cada vector. 2. Se obtiene una resultante de las componentes horizontales (Rx) y una de

las verticales (Ry).

Para organizar todos los datos, es conveniente elaborar una tabla de componentes:

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3. Se calcula la magnitud de la resultante aplicando el teorema de Pitágoras.

4. Se determina el ángulo con el eje x

5. Se determina la dirección de la resultante (observa los signos de Rx y Ry para saber en qué cuadrante queda R); en este caso las dos son negativas, por lo tanto queda en el tercer cuadrante y:

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Lee cuidadosamente y resuelve el siguiente ejercicio de opción múltiple, Indica con una cruz “X” la respuesta correcta. 1) Método gráfico, que permite sumar más de dos vectores a la vez. a ( ) Paralelogramo. b ( ) Triángulo. c ( ) Polígono. d ( ) Descomposición. 2) Cuando se suman tres o más vectores, ¿qué método gráfico de adición de vectores escogerías? a ( ) Paralelogramo. b ( ) Triángulo. c ( ) Polígono. d ( ) Descomposición. 3) Permite obtener las componentes rectangulares de un vector. a ( ) Paralelogramo. b ( ) Triángulo. c ( ) Polígono. d ( ) Descomposición. 4) La aplicación del teorema de Pitágoras nos sirve para encontrar: a ( ) La magnitud del vector resultante. b ( ) La componente x del vector resultante. c ( ) La componente y del vector resultante. d ( ) La dirección del vector resultante. 5) Para encontrar la dirección de la resultante en el método del paralelogramo, se utiliza a ( ) La ley de los senos. b ( ) La componente x del vector resultante. c ( ) La componente y del vector resultante. d ( ) La ley de los cosenos

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Actividad grupal:

A. Completa correctamente los enunciados que se te presentan a continuación:

1. ________________ Son aquellos cuyas líneas de acción se cruzan en un punto. 2. _______________ Son aquellos que forman un ángulo de noventa grados entre si. 3. _________________ Son aquellos en los que su línea de acción es paralela. 4. ______________ Son aquellos cuyas direcciones se encuentran en la misma línea. 5. __________________ Son aquellos que se encuentran en un mismo plano.

B. Reúnete con otro compañero de clase y entre los dos encuentren en las sopa de letras, ocho palabras relacionadas con la clasificación de los vectores.

PALABRAS:

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2.2 MOVIMIENTO La física como muchas otras ciencias se divide en áreas más específicas para tener mayor profundidad y mejor control sobre cada fenómeno, ya que el dominio sobre algún fenómeno lo proporciona la cantidad de información que tengas de él. Hablando de movimiento, la ruta que tomaremos de la física es la siguiente: Física Clásica/ Mecánica/ Cinemática: La Cinemática se encarga de estudiar el movimiento de los cuerpos sin atender a sus causas, es decir, no le interesa cómo se genera el movimiento o qué fuerzas lo producen o lo modifican, sólo estudia el comportamiento una vez que el cuerpo está en movimiento. Cuando hablamos de movimiento en una dimensión estamos hablando que el movimiento se puede representar en un solo eje de coordenadas, ya sea en “x” o en “y”, pero no los dos a la vez, esta característica facilita los cálculos y su estudio. Todo en el Universo se mueve constantemente. Si piensas que estás sentado en una silla, y crees que no te mueves, recuerda que la Tierra gira alrededor de su eje. Además, la Tierra gira alrededor del Sol, el Sol se mueve con respecto al centro de la Galaxia de la Vía Láctea y así sucesivamente. Todo es movimiento y la Física es la ciencia encargada de estudiarlo, por medio de una de sus ramas: la Mecánica. Atendiendo a la naturaleza de su contenido, la mecánica puede dividirse en dos partes: La Cinemática: describe el movimiento sin analizar sus causas. La Dinámica: estudia las causas del movimiento y de sus cambios. Dentro de la Dinámica queda comprendida la Estática, que analiza las situaciones que posibilitan el equilibrio de los cuerpos. ¿A qué llamamos movimiento? Un cuerpo tiene movimiento cuando cambia su posición a medida que transcurre el tiempo.

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¿Cómo saber la posición del cuerpo? Midiendo su distancia y dirección desde un punto de referencia, al que le incluimos ejes de coordenadas y entonces le llamamos Sistema de Referencia.

2.2.1 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

Objetivo temático: Resolverás problemas prácticos referentes al movimiento en

dos dimensiones que realizan los cuerpos, a partir del análisis y descripción de las

características de dichos movimientos.

Este movimiento, como su nombre lo indica, se lleva a cabo en dos ejes y para

describirse correctamente se requieren dos valores o dos coordenadas, ya sean

rectangulares como es el caso del tiro parabólico o polar como en el caso del

movimiento circular uniforme.

2.2.2 Tiro parabólico horizontal y oblicuo

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Tiro parabólico horizontal es el que describe un objeto cuando es lanzado de

manera horizontal, por ejemplo una pelota que rueda sobre una mesa y después

cae o el descrito por una bomba lanzada desde un avión. Este movimiento

siempre describirá parte de una parábola formada por dos componentes de la

velocidad: en el eje X

será Vx, con una magnitud constante y que corresponde a un MRU a lo largo de

todo el movimiento; y en el eje Y tenemos Vy que es afectada por la aceleración

de la gravedad como si fuera una caída libre o un MRUA Este tipo de movimiento

puede considerarse como una conjugación de dos de los movimientos que se

vieron anteriormente y por lo tanto, también el conjunto de ecuaciones que lo rigen

son el resultado de la combinación de ambos movimientos

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Fig. 2.7. Trayectoria de un tiro horizontal.

ACTIVIDAD

1. Con apoyo de la bibliografía a tu alcance y con ayuda de la Biblioteca virtual

con que disponibles en tu Escuela, investiga y responde lo siguiente:

a) De acuerdo con la descripción de un tiro horizontal, menciona 3 ejemplos más.

b) ¿Qué es la trayectoria?

c) ¿Cuáles son las características del tiro horizontal?

d) ¿Cómo se llama la distancia horizontal alcanzada en un tiro horizontal?

2. Observa atentamente la resolución de los siguientes problemas de tiro

horizontal:

A. Un avión desea arrojar abastecimientos en una comunidad africana, la pregunta

es a qué distancia debe dejar caer el paquete, para que no caiga en otro lugar

más que en el refugio, si su velocidad es de 210 km/h y su altura es de 500 m.

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Solución: Lo que nos está pidiendo el problema es “x” y los datos proporcionados son la

velocidad inicial (Vo) y la altura (y), pero para calcular x es necesario conocer el

tiempo y convertir la velocidad a m/s

Datos Fórmula Despeje Sustitución Resultado

Vo=58.33 m/s y= gt2/2 t =√ 2y/g t =√2(500)/9.8 t = 10.1 s

y = 500 m

g = 9.8 m/s2 x= Vo t -------------- x = 58.33(10.1) x = 589.22 m

x = ?

C. Considerando el ejercicio anterior, calcula:

a) La altura a los dos segundos.

b) La magnitud de la velocidad horizontal cuando toca el piso.

c) La magnitud de la velocidad vertical cuando cae.

d) La velocidad con la que impacta en el piso.

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Solución:

3. Resuelve, ahora, los siguientes problemas:

A. Un arquero es capaz de lanzar una flecha de manera horizontal a una velocidad

de 50 m/s desde una altura de 1.75 m, ¿a qué distancia del arquero caerá la

flecha?

B. Un avión que vuela horizontalmente con una velocidad de 320 km/h a una

altura de 1100 metros suelta un proyectil que 15 segundos después hace impacto.

a) ¿Qué distancia horizontal recorrió el proyectil?

b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad con la que choca el proyectil?

C. Una lancha que viaja por un río cuya corriente es de 60 km/h, se aproxima a

una cascada de 190 metros de altura, por la que sin ningún remedio caerá.

Completa la siguiente tabla que describe las variables de su caída segundo a

segundo y escribe tus conclusiones:

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Mis conclusiones:

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Tiro oblicuo: este es un movimiento ligeramente más complejo que el tiro

horizontal, debido a que se incorpora una variante del tiro vertical, es decir, un tiro

hacia arriba , pero con cierto ángulo de disparo diferente de 90°, este tipo de

movimiento es experimentado por un misil tierra-tierra, por una balón de fútbol al

ser pateado desde el suelo. Es la combinación de un tiro vertical, un movimiento

rectilíneo uniforme y una caída libre.

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2.8. Trayectoria de un tiro oblicuo

Al igual que en el tiro horizontal y por ser un movimiento en dos ejes, existen

dos componentes de la velocidad: La componente en el eje “x” (Vx) que describe

un MRU, es decir, es constante durante todo el movimiento; y en el eje “y” (Vy)

que en la primera mitad del movimiento obedece a un tiro vertical hacia arriba y en

la segunda mitad del movimiento a una caída libre.

La combinación de estos movimientos se encuentra en las siguientes ecuaciones:

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ACTIVIDAD

1. Apóyate en la Biblioteca de tu escuela y con tu asesor, para dar respuesta a las

siguientes preguntas y resuelve el crucigrama.

a) ¿Cómo se llama la distancia vertical máxima alcanzada en un tiro oblicuo?

b) Iníciales del movimiento que se presenta en el eje x de un tiro oblicuo.

c) ¿Cómo es la componente de la velocidad en el eje “x”?

d) Iníciales del movimiento que se efectúa en el eje vertical.

e) ¿Cómo se llama la distancia máxima horizontal en un tiro oblicuo?

f) ¿Cómo es la componente de la velocidad en el eje “y”?

g) ¿Qué propiedad física terrestre provoca una aceleración constante en el eje

“y”?

h) ¿Cuánto vale la componente vertical de la velocidad en el punto más alto?

i) ¿A qué ángulo se obtiene la mayor altura?

j) ¿A qué ángulo se obtiene el alcance mayor?

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2. Analiza los siguientes problemas resueltos:

A. Un cañón puede lanzar un proyectil con una velocidad de 230 km/h y desea

impactar sobre un blanco que se encuentra a 300 m. Calcular:

a) ¿Con que ángulo debe de hacer el disparo para acertar?

b) ¿Cuánto tiempo dura el proyectil en el aire?

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Solución:

a) Ahora tenemos que despejar el ángulo de disparo de la siguiente ecuación, ya

que del conjunto que rige este movimiento es la más adecuada.

Xmax=Vo2•Sen(2 )/g Despejando nos queda:

Para el inciso b)

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B. Un jugador de fútbol tiene el talento de poder dirigir sus tiros libres con una

precisión increíble, que puede controlar el ángulo de tiro para librar la barrera que

se encuentra a 9.15 m, exactamente a la mitad de la distancia del balón y la

portería, el hombre más alto de la barrera no llega a los dos metros, es decir que

es necesario que al momento de pasar por la barrera el balón tenga un altura de 2

m. Si el ángulo de disparo es de 30°, con qué velocidad debe golpear la pelota

para poder librar la barrera de defensas.

Solución:

3. Resuelve los siguientes problemas:

A. Un golfista golpea la pelota con una velocidad inicial de 20 m/s y con un ángulo

de 40° respecto del piso. Calcular:

a) La altura máxima alcanzada por la pelota.

b) El alcance horizontal máximo.

B. Un proyectil pretende derribar un blanco que se encuentra a 3 km, si la

velocidad de disparo es de 290 km/h

a) ¿Con qué ángulo se debe disparar el proyectil?

b) ¿Cuánto tiempo tarda en impactar?

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C. En un ejercicio de estrategia de guerra se pretende saber con qué velocidad

dispara un mortero, para esta prueba se dispara un misil y los datos obtenidos

son, un alcance máximo de 2 km con un ángulo de disparo de 30° y el tiempo que

tardó en hacer blanco fue de 15.38 s.

a) ¿De cuánto es el valor de la velocidad de impulso?

b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el misil con esas condiciones de

disparo?

2.2.3 Movimiento circular uniforme y uniformemente acelerado

El movimiento circular uniforme es el que se presenta cuando la dirección de la

velocidad y la aceleración forman un ángulo de 90°, el resultado de esta

combinación es girar en torno a un punto fijo llamado eje.

La velocidad lineal es constante en magnitud, pero variable en sentido y dirección,

se le llama también velocidad tangencial debido a que si rompiéramos la fuerza

que mantiene a un objeto girando en círculo, éste saldría disparado de manera

tangencial a la circunferencia que describe.

La aceleración tiene un sentido radial, es decir, su dirección es desde la periferia

de la circunferencia que presenta el objeto hacia el eje de giro, por lo que se llama

aceleración centrípeta.

55

ACTIVIDADES:

1. Existen otras variables a considerar en el MCU, que debes investigar en tu

bibliografía, con el fin de llenar la siguiente tabla:

56

2. A continuación se presenta un esquema de un movimiento circular uniforme con

las variables correspondientes que debes indicar con su literal en el lugar

apropiado.

3. Responde las preguntas:

a) ¿Qué es un radián y cuánto vale?

_________________________________________

_________________________________________

b) ¿Qué es un ángulo?

_________________________________________

_________________________________________

c) ¿Qué es una revolución?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

d) ¿En qué estriba la diferencia entre MCU y MCUA?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

57

Cuando se hace girar un objeto, existe una fuerza que lo orilla a mantener un

movimiento circular, esta fuerza es llamada Fuerza Centrípeta y se define como:

4. Realiza un resumen que contenga las características del Movimiento Circular

Uniforme y el Uniformemente Acelerado.

5. Observa los siguientes problemas resueltos:

A. Una partícula que se encuentra sobre un disco a 10 cm del centro girando a 33

rpm. Calcula:

a) ¿El tiempo que tarda en dar una vuelta completa?

b) La velocidad angular que experimenta la partícula.

c) La velocidad tangencial

d) La aceleración centrípeta.

58

Solución:

a) Convirtiendo las 33 rev/min a rev/s, para conocer la frecuencia:

59

B. Un disco duro de computadora gira a 7500 rpm, expresa las revoluciones en

grados y en radianes.

Solución:

Valiéndonos de las siguientes conversiones podemos hacer los cálculos

necesarios.

60

6. Resuelve los siguientes problemas:

A. En un disco giratorio de un juego de Feria se encuentran 2 pasajeros, uno en

cada auto como indica la figura, si se sabe que el disco da una vuelta completa en

1.3 segundos y que el auto “1” se encuentra a 5 m del centro del disco y el auto “2”

a 4.5 m.

a) ¿La velocidad angular de cada auto?

b) ¿Qué auto tiene mayor velocidad angular y por qué?

c) ¿La velocidad tangencial o lineal de cada auto?

d) ¿Qué auto presenta mayor velocidad tangencial y cuál es la razón?

61

B. Se requiere saber cuáles son las RPM de un volantín, para ello se coloca un

trozo de plastilina a 15 cm del centro y cuando la fuerza centrífuga vence la unión

de la plastilina, ésta sale disparada de manera tangencial a una velocidad de 50

m/s.

C. En el extremo del segundero de un reloj de 20 cm de largo se coloca una gota

de mercurio. ¿Cuál es el valor de la aceleración centrípeta sobre la g?

62

ACTIVIDAD

I. Escribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es el movimiento más simple efectuado por un objeto?

2. ¿Cómo se llama a la tendencia de conservar el estado de reposo o movimiento

que guardan los cuerpos?

3. ¿Cuál es la diferencia sustancial entre el movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)?

4. ¿Cuándo una aceleración es positiva y cuando negativa?

5. ¿Qué variables se pueden predecir en un movimiento parabólico con la ayuda

de los modelos matemáticos actuales?

63

6. ¿A qué ángulo de disparo se puede tener el mayor alcance de un cañón?

7. ¿Qué es la velocidad de escape y cuál es su magnitud?

8. ¿Cómo se llama la parte de la física que se encarga del estudio del movimiento

de los cuerpos sin atender sus causas?

9. ¿Qué diferencia existe entre distancia y desplazamiento?

10. ¿Cuál es la diferencia entre velocidad y rapidez?

11. ¿Realmente existe un sistema de referencia absoluto?, ¿Por qué?

12. Menciona las características del Movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado:

64

13. Relaciona las siguientes columnas: ( ) Unidades en las que se expresa la

velocidad de un cuerpo en el SI.

( ) Unidades en las que se expresa la

aceleración de un cuerpo en el SI.

( ) Es el cambio de posición de un

cuerpo.

( ) Parte de la Mecánica que estudia

el movimiento sin atender sus

causas.

( ) En el MRU la velocidad es:

( ) En el MRUV la aceleración es

constante y la velocidad es:

( ) Si la velocidad de un cuerpo es

constante, su aceleración es:

a) Variable

b) Distancia

c) m/s2

d) m/s

e) Desplazamiento

f) Cinemática

g) Constante

h) MRU

i) MRUV

j) Dinámica

k) Igual a cero

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( ) Tipo de movimiento en el que un móvil

recorre distancias iguales en tiempos iguales.

II. Resuelve los siguientes problemas:

14. Una persona corre a razón de 8 km/h de manera constate, si tiene que recorrer una longitud de

18 km, ¿cuánto tiempo le tomará recorrer esa distancia?

15. Un automóvil A se dirige de Norte a Sur con velocidad constante de 100 km/h y se encuentra a

20 km de su destino; un automóvil B viaja de Sur a Norte a velocidad constante de 53 m/s y se

encuentra a 30 km de su destino.

a) ¿En cuántos minutos llegará cada auto a su destino?

b) ¿Qué auto llegará primero?

c) ¿Qué automóvil viaja con mayor velocidad?

d) ¿A qué velocidad viaja el automóvil A respecto del automóvil B en km/h?

16. Un automovilista viaja a una velocidad de 105 km/hr cuando repentinamente decide pararse y

aplica los frenos que le proporcionan una desaceleración de 20 m/s2. Calcular:

a) El tiempo que necesitó para detenerse.

b) La distancia recorrida desde que aplicó los frenos hasta detenerse.

17. Se deja caer una piedra desde una ventana y tarda en llegar al suelo 5 s

a) ¿Desde qué altura cayó?

b) ¿Con qué velocidad choca contra el piso?

68

18. Se dispara una bala verticalmente hacia arriba con una velocidad de 50 m/s.

a) ¿Qué altura máxima alcanzó la bala?

b) ¿Qué tiempo tarda en caer, es decir cuánto tarda en subir y bajar?

19. Si una flecha se dispara horizontalmente con una velocidad de 45 m/s desde una altura de 1.7

m, ¿a qué distancia del arquero cayó la flecha?

20. Si un canguro puede saltar una altura máxima de 2 m cuando se despega con un ángulo de

45°, ¿con qué velocidad salta?

21. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad ( tangencial) de un móvil que describe una circunferencia

de 1.5 m de radio en 2.5 s?

2.3 Sistemas de referencia. Si tu posición en este momento es la de estar sentado o parado en el salón de clases, estás en reposo (para efecto de nuestro estudio de la mecánica clásica, olvidaremos que todo en el universo se mueve). Lo mismo puedes decir de un libro sobre el mesa banco o del pizarrón en la pared, se encuentran en reposo. Ahora, supón que estás parado dentro de una caja con ruedas, totalmente cerrada; puedes decir que no te estás moviendo. Pero otra persona que está afuera, observa que la caja se aleja de él y dice que te estás moviendo. Entonces ¿Te estás moviendo o estás inmóvil?

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La respuesta es: depende. Para decir si un cuerpo se mueve o no, hay que especificar con respecto a qué (sistema de referencia). En este caso, tú estás inmóvil con respecto al sistema de referencia “caja” y estás en movimiento con respecto al sistema de referencia “persona del exterior” (o Tierra, porque está parado sobre ella). Esto nos permite entender que el movimiento puede ser descrito de diferentes maneras dependiendo del sistema de referencia en el que se le ubique. Un sistema de referencia absoluto considera como referencia a un punto u objeto fijo, mientras que un sistema de referencia relativo, considera un punto u objeto móvil. En el ejemplo anterior, la Tierra (o la persona parada sobre ella) sería un sistema de referencia absoluto, mientras que la caja sería un sistema de referencia relativo. Recordando lo que dijimos al principio, en realidad no existen los sistemas de referencia absolutos, pues todo en el universo se mueve. Sin embargo, para nuestro estudio de mecánica clásica, usaremos sistemas de referencia que podamos considerar fijos o móviles. En mecánica, el movimiento es un fenómeno físico que se define como todo cambio de posición en el espacio que experimentan los cuerpos de un sistema con respecto a ellos mismos o a otro cuerpo que se toma como referencia. En otro ejemplo, con velocidades (las cuales trataremos más adelante con más detalle), imagina que te encuentras en la siguiente situación: vas de viaje en automóvil y te rebasa un autobús, en ese instante, un agente federal de caminos estacionado al lado de la carretera (sistema absoluto), determina a través de su pistola de radar que tu velocidad es de 90 km/h. y la del autobús de 95 km/h. Para ti como sistema relativo la velocidad del camión es de 5 km/h. Para nuestro estudio de cinemática, los cambios de posición serán ubicados en un sistema de coordenadas artesianas. Así el movimiento en una dimensión se orienta a lo largo de uno de los ejes, quedando referenciadas la posición inicial y final respecto al origen del sistema. 2.4 Distancia y desplazamiento. Ya mencionamos que el movimiento puede describirse en parte especificando qué tan lejos viaja un objeto al cambiar de posición, es decir, qué distancia recorre. Distancia ( d ). Se define como la longitud del trayecto recorrido por un objeto al moverse de un lugar a otro. Así, si consideramos tu casa como tu posición inicial y al colegio como posición final, el camino que recorres (que puede ser diferente de un día a otro) es la trayectoria y su longitud es la distancia. La distancia es una cantidad escalar que no tiene dirección sólo magnitud y su unidad en el sistema internacional es el metro y en el sistema inglés el pie (ft) pero se expresa también en kilómetros, millas, centímetros, yardas, etc.

70

En el movimiento el desplazamiento es la recta que une a la posición inicial con la final. Se clasifica como vector y su magnitud puede ser igual o menor a la de la distancia, pero con dirección. Se expresa en m, ft, km, mi, etc. y una dirección. Desplazamiento ( d ). Es la distancia medida en una dirección particular entre dos puntos: el de partida y el de llegada.

En esta figura recordamos lo que ya habíamos mencionado en la secuencia de vectores, acerca de la diferencia entre una distancia y un desplazamiento. Por ejemplo, si a una persona le recomiendan que corra 5 km diarios, no importa si lo hace en línea recta o dando vueltas o yendo y viniendo, siempre y cuando complete 5 km en su trayectoria. Pero el desplazamiento, considerado como vector, se determina con la flecha que une el punto de partida con el punto de llegada. Al desplazamiento no le interesa cuántos giros o vueltas haya dado el cuerpo en su trayectoria, sólo interesa la flecha trazada desde el punto de partida hasta el punto de llegada. Esto es algo a lo que no hemos estado acostumbrados en nuestra vida cotidiana, pero es el lenguaje de la Física y tenemos que familiarizarnos con él. Puede darse el caso de un corredor que inicia su carrera en una pista circular, partiendo de la meta y después de varias vueltas, termina en la meta otra vez. ¿Cuál fue su desplazamiento? Si seguimos la regla mencionada, trazamos una flecha desde la meta hasta la misma meta y ¡no tenemos nada! Por lo tanto ¡el desplazamiento ha sido cero!, no importa que el atleta haya corrido 3, 5, 10 km o los que sean, el punto de llegada es el mismo que el de partida, así que no hubo desplazamiento. Supongamos que en cuanto el corredor inicia su carrera, cerramos los ojos y cuando termina la carrera, los abrimos de nuevo y lo vemos donde mismo, entonces decimos “no se desplazó”. El movimiento en una dimensión se refiere a un movimiento horizontal (orientado en el eje X) o a un movimiento vertical (orientado en el eje Y). Así al ubicar el movimiento a lo largo del eje X, la posición inicial se denota por xi y la final por xf. De esta manera, el desplazamiento lo podemos expresar: d = Δx = x − x, donde la letra griega delta (Δ), indica diferencia entre dos cantidades.

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2.5 Rapidez media.

Rapidez media ( r , la raya arriba de “r” significa “media” o “promedio”). Es la distancia que recorre un objeto dividida entre el tiempo que tarda en recorrer dicha distancia, como la distancia y el tiempo son cantidades escalares, también lo es la rapidez, la cual se expresa en m/s (Sistema Internacional), ft/s (Sistema Inglés), km/h., mi/h. etc. y nos indica únicamente lo rápido que se mueve el objeto. Ejemplo. Si la distancia entre una ciudad A y una ciudad B es 140 km. y un automóvil la recorre con una rapidez promedio de 25 m/s ¿Cuál es el tiempo que tarda en recorrer dicha distancia en segundos? Razonamiento. Conocemos la rapidez media y la distancia, el tiempo se obtiene de la ecuación de la rapidez media despejada para tiempo.

En equipos de tres integrantes, resuelve los siguientes problemas y comenten los resultados en forma grupal

1. Durante una carrera de los 400 m, a un corredor le tomó 52 s en llegar a la meta. ¿Cuál es su rapidez media, en (a) m/s y (b) ft/s?

2. Un electrón recorre un tubo al vacío de 2m de largo en 2.2 x 10–3 segundos. ¿Cuál es su rapidez media en km/h?

3. El tiempo necesario para que la luz del Sol llegue a la tierra es de 8.3 min y su rapidez media es de 3.0 x 108 m/s. ¿Qué tan lejos se encuentra la Tierra del Sol, en km?

4. Un autobús viaja en una carretera recta y plana con una rapidez media de 80 km/h, ¿qué distancia recorre en 30 minutos?

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5. La rapidez media de un avión es de 50 m/s al pasar por los 400 m de la pista, ¿en qué tiempo llega a los 600 m?

6. 3. Si una partícula se encuentra en x=36 m y 5 s después en x=16 m, ¿cuál es su rapidez media?

7. Un automóvil se encuentra en el kilómetro 50 de una carretera recta y plana, si su rapidez media es de 133.33 km/h, ¿en qué posición se encuentra 20 minutos después?

2.6 Velocidad media. Velocidad media ( v ). Es el cociente del desplazamiento Δx de la partícula entre el intervalo de tiempo total Δt. A diferencia de la rapidez, la velocidad es un vector, se expresa en m/s, ft/s, etcétera y una dirección. En el sistema de coordenadas, el signo del desplazamiento establece la dirección de la velocidad.

Δx es el desplazamiento, como ya vimos, pero Δt = t f -ti es el tiempo trascurrido, que a veces ponemos simplemente como “t”. Por ejemplo, si el tiempo de salida es la una de la tarde y el tiempo de llegada son las cuatro de la tarde, entonces Δt = tf -ti = 4 h – 1 h = 3 h. Es decir, el tiempo transcurrido es t = 3 h. Si despejamos la ecuación para posición final queda x x vt f i = + , donde vt es el incremento o decremento del desplazamiento según sea el signo de la velocidad media. En la descripción del movimiento la velocidad da información referente a la rapidez y dirección del movimiento del objeto. Si la trayectoria es en línea recta y la dirección no cambia, la rapidez y la velocidad son iguales, pero si se invierte la dirección, la velocidad se considera negativa. Si al describir el movimiento de un objeto se establece su posición inicial y final, entonces se sabe hacia qué dirección se mueve, esto es, su desplazamiento. Sin embargo, cuando realizamos un viaje de una ciudad A a una ciudad B, la mayoría de la veces el trayecto tiene tramos curvos (cambios de dirección), tramos rectos, casetas de cobro (velocidad cero), etc. Todo esto ocasiona que hagamos el recorrido con diferentes velocidades. Pero en la velocidad media de todo el recorrido, se considera únicamente la diferencia de la posición inicial y la posición final, el desplazamiento A→ B, dividido por el intervalo de tiempo que dura el recorrido. Al igual que la rapidez, en un momento de tiempo determinado obtenemos la velocidad instantánea (v), la cual nos indica la rapidez y dirección del movimiento del objeto en un instante dado. Ejemplo: Una camioneta se encuentra en el kilómetro 70 de una carretera recta y plana al inicio de la observación; media hora después, se encuentra en el kilómetro 20. a) ¿Cuál es su velocidad promedio? b) ¿Si transcurren 42 minutos desde el inicio de la observación, cuál es su posición en km?

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Razonamiento: La velocidad promedio y la posición se obtienen de la ecuación

La velocidad resulta negativa, lo que significa que la camioneta se dirige hacia la izquierda, de acuerdo con la gráfica.

c) Ahora se conoce, además de la posición inicial, la velocidad promedio y el tiempo

Solución: Primero tenemos que convertir 42 minutos en horas, ya que la velocidad la tenemos en km / h. 42 min x 1 h/60 min = 0.7 h xf = 70 km – (100 km/h)(0.7 h) = 0 La posición final resulta cero, es decir, después de 42 minutos, la camioneta llega al km 0, o sea al origen del sistema de coordenadas.

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2.7 Aceleración media. Al cociente del cambio de la velocidad y el tiempo, se le define como aceleración media ( a ), la cual también es un vector y nos indica la rapidez con que cambia la velocidad. Se expresa en unidades de longitud por unidad cuadrada de tiempo, m/s2, ft/s2, y la dirección del vector aceleración será la misma que la dirección del cambio de velocidad resultante.

Donde vi y vf, son la velocidad inicial y final respectivamente y los tiempos se definen de la misma manera que con la velocidad. Despejada para velocidad final queda vf = vi + at, donde “at” es el incremento o decremento de la velocidad según sea el signo de la aceleración

Ejemplo: Un autobús se mueve con una velocidad de 72 km/h en el instante en el que se inicia la observación, cuando han transcurrido 5 s, su velocidad es de 108 km/h ¿Cuál es su aceleración media?

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Ejemplo: Un ciclista va por la calle a una velocidad de 1 m/s y de repente acelera a 0.1 m/s2. ¿En cuánto tiempo logrará una velocidad de 2 m/s?

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En equipos de tres integrantes, resuelve los siguientes problemas y comenta los resultados en forma grupal

1. Un automóvil de carreras logra la mitad de su recorrido en una pista circular de 1312 ft de radio en 20 segundos. ¿Cuál es su velocidad media en m/s?

2. Un automovilista conduce 100 millas de una ciudad a otra, a través de una carretera recta y

plana en 1.3 h y de regreso lo hace en 1.7 h. ¿Cuál es su velocidad media en: a) la ida, b) el regreso, c) el viaje redondo?

3. Un automóvil se mueve a 30 km/h sobre una carretera recta y plana cuando recibe una

aceleración media de 4 m/s2 durante 5 s, ¿cuál es la velocidad al cabo de los 5 s, en m/s?

4. Un autobús viaja en una carretera recta y plana a 95 km/h en el momento en el que aplica el freno durante 8 s para reducir su velocidad a 55 km/h, ¿qué aceleración media se produce por dicha variación de la velocidad en ese intervalo de tiempo?

5. Una lancha se mueve a 15 m/s sobre el agua tranquila de un lago en el instante en que se

apaga el motor, si dura moviéndose con la aviada 5 segundos hasta llegar al reposo, ¿qué aceleración se produce por el roce con el agua?

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2.8 Características generales del movimiento en una dimensión. Cuando hablamos del movimiento en una dimensión, nos estamos refiriendo al que ocurre en una línea recta. Puede ser una recta horizontal, por ejemplo, un carro moviéndose horizontalmente en la misma dirección. El movimiento también puede ser en línea recta vertical, como cuando dejamos caer un cuerpo. Cuando utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas, el movimiento horizontal lo representamos en el eje de las “X” y el movimiento vertical lo representamos en el eje de las “Y”. Así pues, cuando hablamos de una dimensión, nos referimos a la coordenada “X” o a la coordenada “Y”, según que el movimiento sea horizontal o vertical, respectivamente. Si el movimiento requiere de dos o más coordenadas, entonces ya no será rectilíneo. En la próxima secuencia veremos algunos casos de movimientos en dos dimensiones.

Dentro del movimiento rectilíneo, nos encontramos con que puede haber varios casos: la velocidad puede ser constante o puede ser variable. Cuando la velocidad es variable, existe una aceleración, la cual a su vez, puede ser constante o variable. En todos los casos a estudiar, nos interesa conocer cómo varían: la posición, la velocidad y la aceleración, en el transcurso del tiempo, para lo cual manipularemos las fórmulas que definen a dichas variables. 2.9 Movimiento Rectilíneo Uniforme. Este tipo de movimiento implica velocidad constante, esto es, que el objeto efectúa desplazamientos iguales en tiempos iguales.

Ejemplo: Si un automóvil se mueve en una carretera plana y recta y si su velocímetro indica 80 km/h, al cabo de una hora habrá recorrido 80 km, en dos 160 km, en 3.0 h 240 km, etc. El análisis gráfico nos permite ver de una manera más detallada lo que el texto del problema nos dice. Empezaremos por hacer una tabulación de datos: Como es un movimiento horizontal, utilizamos “X” para las posiciones y desplazamientos, aunque a veces podemos usar “d”. Ponemos entre paréntesis las unidades, para no estarlas repitiendo en la tabla. Vemos que aumenta el tiempo y aumenta la distancia, pero la velocidad permanece constante. Podríamos seguir agregando datos, pero con estos serán suficientes

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Con los datos de la tabla, graficamos velocidad contra tiempo, es decir, la velocidad en el eje “Y” y el tiempo en el eje “X” Este tipo de gráfica nos muestra cómo va variando la velocidad, conforme pasa el tiempo. Observamos que al transcurrir una hora, la velocidad es 80 km/h, al transcurrir 2 horas, sigue siendo 80 km/h, es decir, la velocidad es constante (no varía) y por eso resulta en una recta horizontal (la velocidad no sube ni baja). Esta es una de las características esenciales del Movimiento Rectilíneo Uniforme

Siguiendo con el mismo ejemplo, ahora graficaremos posición contra tiempo, es decir, posición en el eje “Y” y tiempo en el eje “X”, con los datos correspondientes de la tabla. Lo que buscamos es la facilidad de visualizar los datos en la gráfica que resulta. En este caso, nos resulta más fácil de visualizar el tiempo “corriendo” de izquierda a derecha que de abajo a arriba. Pero el hecho de que pongamos la “X” hacia arriba, no quiere decir que el movimiento es hacia arriba: el movimiento del automóvil sigue siendo en línea recta horizontal. Lo que la gráfica nos indica son datos en forma visual

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Algunas de las cosas que podemos obtener de la gráfica: • En el tiempo cero, la x es cero, es decir, el automóvil parte del origen. • Al transcurrir una hora, el automóvil se encuentra a 80 km del origen. • Al transcurrir una hora y media, el automóvil se encuentra a 120 km del origen. • La gráfica es una línea recta, resultado de recorrer distancias iguales en tiempos iguales. El hecho de que la gráfica x-t sea una línea recta es una característica esencial del Movimiento Rectilíneo Uniforme En matemáticas existe un concepto llamado “pendiente”, que nos indica el grado de inclinación que tiene una recta en una gráfica y nos va a servir para nuestro estudio del movimiento. La pendiente “m” se define como la tangente del ángulo de inclinación. En la figura, la pendiente de

la recta inclinada es: ya que la tangente es cateto opuesto entre cateto adyacente

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c ) Cálculo de la velocidad.

Podemos usar la fórmula de la pendiente, para lo cual seleccionamos arbitrariamente el segundo y tercer punto de la tabla de datos, de tal manera que:

Vemos que, en efecto, la velocidad resulta negativa. ¿Qué pasa si la gráfica x-t es una recta horizontal? Indica que no hay cambio de posición en el transcurso del tiempo y por lo tanto, por definición, no hay velocidad, el cuerpo está en reposo. Cuando la recta de la gráfica “posición contra tiempo” (x-t) de un Movimiento Rectilíneo Uniforme está inclinada a la derecha, la pendiente es positiva y la velocidad es positiva (movimiento de izquierda a derecha). A mayor pendiente, mayor velocidad. Cuando la recta de la gráfica “posición contra tiempo” (x-t) de un Movimiento Rectilíneo Uniforme está inclinada a la izquierda, la pendiente es negativa y la velocidad es negativa (movimiento de derecha a izquierda). Cuando la recta de la gráfica “posición contra tiempo” (x-t) de un Movimiento Rectilíneo Uniforme es horizontal, la pendiente es cero (no hay inclinación) y la velocidad es cero (el cuerpo está en reposo). Ejemplo: Observa siguiente gráfica x-t

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a) Describe los cambios de posición que va teniendo el móvil en este movimiento. El movimiento inicia en la posición 20 m, después de dos segundos, avanza con velocidad constante a la posición 40 m. De los 2 a los 5 segundos permanece inmóvil (velocidad cero). De los 5 a los 8 segundos, se regresa al origen a velocidad constante y negativa.

b) Describe los cambios de velocidad que va teniendo el móvil en este movimiento. c) Desde el inicio hasta los dos segundos, la velocidad es constante e igual a Δx/Δt = (40m-

20m)/(2s-0s) = 10 m/s. De los 2 a los 4 segundos, la velocidad es cero (no hay pendiente). De los 5 a los 8 segundos, la velocidad es constante e igual a Δx/Δt = (0m-40m)/(8s-5s) = –13.3 m/s.

Para resumir, el MRU tiene las siguientes características: • Movimiento que se realiza sobre una línea recta. • Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes. • La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. • Aceleración nula. En forma individual resuelve los siguientes ejercicios y comenta los resultados en forma grupal.

1. Un autobús viaja en una carretera recta y plana con una rapidez media de 80 km/h, ¿Qué distancia recorre en 30 minutos?

2. La velocidad media de un avión es de 50 m/s al pasar por los 400 m de la pista, ¿En qué tiempo llega a los 600 m?

3. Si una partícula se encuentra en x=36 m y 5 s después en x=16 m, ¿Cuál es su velocidad

media? 2.10 Movimiento uniformemente acelerado El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), es aquél en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante. Recordemos que la aceleración existe cuando cambia la velocidad, en magnitud, dirección o ambas

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Aquí cambia la magnitud de la velocidad, pero no la dirección. Vemos que por cada segundo de tiempo transcurrido, La velocidad aumenta en la misma cantidad: 6 m/s. Decimos que la velocidad cambia 6 m/s por cada segundo y que esa variación viene siendo lo que llamamos “aceleración”: a = 6 m/s /s = 6 m/s2. Los datos los podemos visualizar mejor en una tabla:

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Ejemplo: Una lancha que parte del reposo, en un estanque de agua tranquila, acelera uniformemente en línea recta a razón de 4 m/s2 durante 5 segundos. ¿Qué distancia recorre en ese tiempo?

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2.11 Gráficas del MRUA. Para el estudio de las gráficas del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado, tomaremos como ejemplo un objeto que se mueve con una aceleración de 4 m/s2, arrancando del origen, con una velocidad inicial cero.

En el tiempo inicial t = 0, la aceleración es 4 m/s2, la distancia recorrida es 0 y la velocidad es 0 En el tiempo t = 1 s, la aceleración es 4 m/s2, la distancia recorrida es 2 y la velocidad es 4 m/s Podemos obtener más valores, mediante la utilización de las fórmulas ya vistas

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Para resumir, el MRUA tiene las siguientes características: • Movimiento que se realiza sobre una línea recta. • Velocidad variable; aumenta o disminuye cantidades iguales en tiempos iguales. • La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. • Aceleración constante, diferente de cero.

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2.11 Caída libre y tiro vertical. Un cuerpo tiene caída libre si desciende sobre la superficie de la Tierra y no sufre ninguna resistencia originada por el aire o cualquier otra sustancia. Estas consideraciones se hacen para simplificar el estudio del movimiento. El hecho de ignorar la resistencia del aire es porque tiene el efecto de ir frenando la caída de los cuerpos, lo cual es más notorio en cuerpos ligeros o de gran superficie. Por ejemplo, el funcionamiento del paracaídas se basa en el hecho de que presenta una gran superficie y por lo tanto se suaviza la caída. Sin embargo, en ausencia de aire, todos los cuerpos caen de igual manera. Esto sólo se puede lograr en el laboratorio, extrayendo el aire de un tubo con una bomba de vacío; entonces, dentro del tubo, una pluma de ave y una bola de plomo caen al mismo tiempo. También es importante considerar que estamos cerca de la superficie de la Tierra, ya que entre más altura haya, más lento caerán los objetos, de tal manera que en el espacio exterior, lejos de la Tierra, no caen. En 1590, el científico italiano Galileo Galilei fue el primero en demostrar que todos los cuerpos, ya sean grandes o pequeños, en ausencia de rozamiento o resistencia del aire, caen a la tierra con la misma aceleración. Con estas justificaciones, podemos emprender el estudio de la caída libre, de forma simplificada y le podremos considerar como un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado. La magnitud de la aceleración en la caída libre, cerca de la superficie terrestre, tiene un valor constante e igual a 9.8 m/s2 y por esa razón, se le asigna un símbolo único que es la letra “g”. Su dirección es vertical, hacia abajo. En el sistema inglés, g = 32 ft/s2. Dado que la caída libre es un MRUA, se aplican las mismas fórmulas que ya vimos, con la diferencia de que como el movimiento es vertical, ahora se usará el eje de las “Y”. En lugar de “distancia” recorrida “d”, se usa “h” por “altura” (de “height”: altura en inglés) y en lugar de “a” se usa “g”. Ecuaciones del MRUA para caída libre:

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En la caída libre se pueden dar 3 casos: un cuerpo que se deja caer, un cuerpo que se lanza verticalmente hacia abajo y un cuerpo que se lanza verticalmente hacia arriba. Objeto que se deja caer. Todo cuerpo que se deja caer inicialmente tiene velocidad cero, y posición inicial cero, luego incrementa su desplazamiento y velocidad en cuanto a magnitud, pero con signo negativo, el cual establece la dirección de los vectores desplazamiento y velocidad. Ejemplo. Se deja caer una piedra desde una altura de de 100m, ¿Qué tiempo le toma a la gravedad hacer que la piedra llegue al suelo?

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Cuerpo que se lanza verticalmente hacia abajo. En este otro caso, el objeto no se deja caer sino que es arrojado hacia abajo con una velocidad inicial (negativa).

Cuerpo que se lanza verticalmente hacia arriba.

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En forma individual, resuelve los siguientes problemas y comenta los resultados en forma grupal. En equipo de tres integrantes, resuelve los siguientes problemas y comenten los resultados en forma grupal. 1. Desde un risco muy alto se deja caer una piedra. a) ¿Cuál es su velocidad después de 4 s de caída libre? b)¿Cuál es su posición en ese intervalo de tiempo? 2. Desde lo alto de un edificio de 80 m de altura se dejan caer un lápiz y una piedra. a) ¿Llegan al suelo en tiempos diferentes? b) ¿Si llegan al mismo tiempo, en qué tiempo lo hacen? 3. De un cuerpo que se ha dejado caer se sabe que su desplazamiento es 44.1m (a) ¿En qué instante de su caída se encuentra? (b) ¿Si llega al suelo en 4.5 s, de qué altura se soltó? 4. Se lanza una piedra verticalmente hacia abajo desde una altura de 150 m con una velocidad de 10 m/s. a) ¿Cuál es el tiempo para y =–150 m? b) ¿Cuál es la velocidad promedio entre t=2 s y t=3 s, de su caída libre? 5. Si lanzas desde el suelo verticalmente hacia arriba una piedra con una rapidez de 87.7 mi/h, a) ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la máxima altura? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? c) ¿Cuál es el tiempo de vuelo? 6. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde una altura de 5 m con una velocidad de 24.5 m/s, a) ¿En cuánto tiempo alcanza la altura máxima? b) ¿Cuál es la altura máxima respecto al suelo? c) ¿Cuál es su posición al cabo de 5 segundos? Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción correcta 1. Si una partícula se encuentra en x=25 m y se mueve con una velocidad media de 3 m/s en dirección negativa de X durante 5 s, su posición final es: a) x=40 m b) x=10 m c) x=8 m d) x=12 m

93

2. Si un automóvil se encuentra en el kilómetro 25 de una carretera recta y plana y 18 minutos después en el kilómetro 52, su velocidad media es: a) 90 km/h b) 110 km/h c) 80 km/h d) 100 km/h 3. Una lancha se mueve en línea recta a 1 0m/s y recibe una aceleración de 2.5 m/s2 hasta alcanzar los 25 m/s, el tiempo de aceleración es: a) 5 s b) 4.8 s c) 6 s d) 3.7 s 4. En una carrera de lanchas a remo el equipo del cecyte se encuentra a 15 m de la meta y con una velocidad de 8 m/s, en ese momento acelera uniformemente durante 1.7754 s hasta llegar a la meta. La aceleración que le producen a la lancha es: a) 505 m/s2 b) 702 m/s2 c) 604 m/s2 d) 403 m/s2 5. Se lanza una piedra verticalmente hacia abajo desde un puente con una velocidad de 11m/s, 3s después llega al agua. La altura de la cual se lanzó es: a) 69.2 m b) 73 m c) 77.1 m d) 75.3 m

95

EQUILIBRIO TRASLACIONAL

Las fuerzas pueden actuar de tal manera que causen movimiento o lo impidan. Los grandes puentes deben diseñarse de tal manera que el efecto global de las fuerzas sea impedir el movimiento. Toda armadura, viga, trabe y cable debe estar en equilibrio. En otras palabras, las fuerzas resultantes que actúan en cualquier punto de la estructura deben estar equilibradas. Las plataformas, montacargas, ganchos, cables elevadores y aun los grandes edificios deben ser construidos de tal manera que los efectos de las fuerzas sean controlados y soportados. En este capítulo continuaremos el estudio de las fuerzas en relación con los objetos en reposo. La fuerza de fricción, que es tan importante para el equilibrio en tantas aplicaciones, será también introducida en este capítulo como una extensión natural de nuestro trabajo con todas las fuerzas.

4.1 PRIMERA LEY DE NEWTON

Sabemos por experiencia que un objeto estacionario permanece en reposo a menos que una fuerza externa actúe sobre él. Un florero sobre una mesa permanecerá en su lugar hasta que el gato lo derribe.

Menos obvio que lo anterior es la aseveración de que un objeto en movimiento conservará su estado de movimiento hasta que una fuerza externa modifique ese movimiento. Por ejemplo, una pelota de béisbol que rueda en un campo pronto se detendrá debido a la interacción que sufre con el suelo. La misma pelota rodaría mucho más lejos antes de detenerse si hubiera caído en hielo. Esto se debe a la interacción horizontal, llamada fricción, que es mucho más fuerte entre la pelota y el suelo que entre la pelota y el hielo. Esto nos lleva a la idea de que una pelota sobre un plano horizontal perfectamente liso, libre de fricción, permanecería en movimiento para siempre. Estas ideas son formuladas en la primera ley de newton del movimiento.

4.2 PRIMERA LEY DE NEWTON

Primera Ley de Newton: Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que una fuerza externa no equilibrada actúe sobre él.

96

4.3 TERCERA LEY DE NEWTON

No puede existir una fuerza a menos que estén afectados dos cuerpos. En otras palabras, debe existir una interacción mutua entre una fuerza que actúa y otra fuerza que reacciona. Cuando dos cuerpos interaccionan, la fuerza ejercida por el primer cuerpo sobre el segundo es igual en magnitud pero opuesto en dirección a la fuerza que ejerce el segundo cuerpo sobre el primero. Este principio se enuncia en la tercera ley de Newton:

Tercera Ley de Newton: A toda acción corresponde una reacción igual en magnitud y dirección pero en sentido opuesto.

Figura 4‐1 Ejemplos de fuerzas de acción y reacción.

Por lo tanto, no podremos nunca tener una sola fuerza aislada. Consideremos los ejemplos de la figura 4‐1.

Nótese que las fuerzas que actúan y las que reaccionan, aunque son iguales en magnitud y opuestas en dirección, nunca se neutralizan porque siempre actúan sobre cuerpos diferentes. Para que dos fuerzas se cancelen, deberán actuar sobre el mismo cuerpo. Se podría decir que las fuerzas que actúan crean las fuerzas que reaccionan.

4.4 EQUILIBRIO

La fuerza resultante fue definida como una fuerza única cuyo efecto es el mismo que el de un sistema dado de fuerzas. Si la tendencia de un conjunto de fuerzas es provocar un movimiento, la resultante también producirá esta tendencia. Existe una condición de equilibrio donde la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el objeto es cero.

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Esto es lo mismo que decir que cada fuerza externa se equilibra con la suma de todas las demás fuerzas externas cuando existe equilibrio. Por lo tanto, de acuerdo con la primera ley de Newton, un cuerpo en equilibrio deberá estar en reposo o en movimiento con velocidad constante ya que no existe ninguna fuerza externa no equilibrada.

Consideremos el sistema de fuerzas que se muestra en la figura 4‐2a. La solución por el método del polígono de vectores demuestra que independientemente de la secuencia en que los vectores se sumen, su resultante es siempre cero. El extremo del último vector siempre termina en el origen del primer vector.

Fig. 4‐2

Un sistema de fuerzas que no esté en equilibrio puede ser equilibrado al reemplazar la fuerza resultante por una fuerza igual pero opuesta que recibe el nombre de equilibrante. Por ejemplo, las dos fuerzas A y B de la figura 4‐3a

tiene una resultante R a °30 sobre la horizontal. Si le sumamos E, que es igual en magnitud a R pero cuya dirección

es de un ángulo de °180 mayor, el sistema estará equilibrado, tal como se muestra en la figura 4‐3b.

Fig. 4‐3

Cuando un cuerpo esta en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero. En este caso ambas componentes rectangulares deben ser también iguales a cero; es la condición para que un cuerpo permanezca en equilibrio.

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0=∑ xF ∑ = 0yF Ecuación 1

Estas dos ecuaciones representan una proposición matemática de la primera condición de equilibrio, que puede ser enunciada como sigue:

Un cuerpo se encuentra en estado de equilibrio trasnacional

si y sólo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre

él es igual a cero.

El término equilibrio trasnacional se utiliza para distinguir la primera condición de la segunda condición de equilibrio, la cual se refiere al equilibrio rotacional que estudiaremos en el capítulo siguiente.

4.5 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE

Antes de intentar aplicar la primera condición de equilibrio a la resolución de problemas de física, se debe aprender a construir un diagrama de cuerpo libre o diagrama de fuerzas. El procedimiento para lograrlo es el siguiente: Considérese, por ejemplo, el peso de 40 lb suspendido por cuerdas mostrado en la figura 4‐4a. Hay tres fuerzas actuando en el nudo, ejercidas por el techo, la pared y la tierra (peso). Si cada una de estas fuerzas es marcada y representada por un vector, podemos dibujar un diagrama de vectores como el que se muestra en la figura 4‐4b. Este diagrama se denomina diagrama de cuerpo libre.

Un diagrama de cuerpo libre es un diagrama vectorial que describe todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo u objeto. Nótese que en el caso de fuerzas concurrentes todos los vectores apuntan hacia fuera del centro de los ejes x y y , los cuales se intersecan en un origen común. Al dibujar diagramas de cuerpo libre, es muy importante

distinguir entre fuerzas de acción y reacción. En nuestro ejemplo, hay fuerzas en el nudo, pero también hay tres fuerzas de reacción iguales y opuestas ejercidas por el nudo. Por la tercera ley de Newton las fuerzas de reacción ejercidas por el nudo en el techo, la pared y Tierra se muestran en la figura 4‐4c. Para evitar confusión, es importante

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escoger un punto en el cuál todas las fuerzas estén actuando y dibujar aquellas que actúan sobre el cuerpo en ese punto.

Fig 4‐4

En la figura 4‐5 se muestra otro ejemplo de cómo formar un diagrama de cuerpo libre. Nótese que el origen de los ejes esta en donde actúan todas las fuerzas, que es el punto que está señalado con un circulo. Los ángulos que se muestran, son el resultado de aplicar el concepto de ángulos alternos internos a dos líneas paralelas cortadas por una secante que se estudió en geometría plana o euclidiana el semestre anterior.

Fig. 4‐5

100

Probablemente la parte más difícil de la construcción de diagramas vectoriales sea la visualización de las fuerzas. Dos ejemplos adicionales se muestran en la figura 4‐6. Nótese que la fuerza ejercida por la percha de la figura 4‐6a es hacia fuera y no hacia adentro de la pared. Esto es a causa de que estamos interesados en las fuerzas ejercidas en el extremo de la percha, no en las que son ejercidas por el extremo de la percha. Escogemos un punto en el extremo de la percha en donde las dos sogas estén atadas. El peso de 60 N y la tensión T son fuerzas actuantes ejercidas por la soga en este punto. Si el extremo de la percha no ha de moverse, estas fuerzas deben de estar equilibradas por una tercera fuerza, la fuerza ejercida por la pared (a través de la percha). Esta tercera fuerza B, actuando en el extremo de la percha no debe confundirse con la fuerza de reacción hacia dentro que actúa sobre la pared.

Fig. 4‐6

El segundo ejemplo (figura 4‐6b) también muestra las fuerzas en dos contrapesos conectados por una cuerda. Las fuerzas de fricción, que serán analizadas más tarde, no se incluyen en estos diagramas. La tensión en la cuerda en

ambos lados se muestra como T, y las fuerzas normales 1N y 2N son fuerzas perpendiculares ejercidas por el plano

sobre los bloques. Si estas fuerzas estuvieran ausentes los bloques se balancearían juntos. Nótese que en el plano inclinado se hizo una rotación de ejes, esto es con el propósito de hacer coincidir la mayor cantidad de fuerzas que actúan en el problema, directamente sobre los ejes perpendiculares x e y, para evitar trabajar con varios ángulos a la vez.

101

4.6 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE EQUILIBRIO

En el capítulo 2 estudiamos un procedimiento para calcular la resultante de varias fuerzas por medio de la resolución rectangular. Un procedimiento muy similar puede ser utilizado para sumar fuerzas que se encuentran en equilibrio. En este caso la primera condición de equilibrio nos dice que la resultante debe ser cero, o sea

0== ∑ xx FR 0== ∑ yy FR

De esta manera tenemos dos ecuaciones que podemos usar para calcular las fuerzas desconocidas.

Se deben seguir ciertos pasos, los cuales explicaremos al resolver un ejercicio concreto.

Ejemplo 1. Una pelota de 100 N suspendida del cordel A es tirada hacia un lado por otro cordel B y mantenida de tal

forma que el cordel A forme un ángulo de °30 con la pared vertical (véase fig. 4‐7). Encuéntrense las tensiones en los cordeles A y B.

Paso 1. Dibújese un bosquejo (fig. 4‐7a)

Fig. 4‐7

Paso 2. Dibújese un diagrama de cuerpo libre ( Fig. 3‐8b )

102

Paso 3. Resuélvanse todas las fuerzas en sus componentes (Tabla 4‐1). Nótese en la figura que xA y yW son

negativos.

Tabla 4‐1

Fuerza xθ componente en x componente en y

A °60 °−= 60cosAAx °= 60AsenAy

B °0 BBx = 0=yB

W °− 90 0=xW NWy 100−=

∑ °−= 60cosABFx NAsenFy 10060 −°=∑

Paso 4. Aplíquese ahora la primera condición de equilibrio. La suma de fuerzas en el eje x resulta en

060cos =°−=∑ ABFx

De lo que obtenemos

AAB 5.060cos =°= ( recuerde que °60cos = 0.5)

103

La segunda ecuación resulta de sumar las componentes en y, de la cual obtenemos

010060 =−°=∑ NAsenFy

de lo cual

NAsen 10060 =°

Paso 5. Finalmente, resuélvanse las fuerzas desconocidas. Dado que 866.060 =°sen , de la ecuación anterior obtenemos

NA 100866.0 =

a sea,

NNA 115866.0

100==

Ahora que se conoce el valor de A, B se puede obtener a partir de B = 0.5A la cuál se obtuvo con anterioridad

B = 0.5A = (0.5)(115N)

B = 57.5 N

Ejemplo 2. Una pelota de 200 N cuelga de un cordel anudado a otros dos cordeles, como se muestra en la figura 4‐8. Encuéntrese las tensiones en los cordeles A, B, C.

Fig. 4‐8

104

Solución: Dado que ya se nos proporciona el bosquejo, el primer paso es trazar el diagrama de cuerpo libre, como está indicado en la figura 4‐8b. Las componentes x e y de cada vector calculadas a partir de la figura son las siguientes:

Componente en x componente en y

°−= 60cosAAx °= 60AsenAy

°= 45cosBBy °= 45BsenBy

0=xC NCy 200−=

Sumando todas las fuerzas a lo largo del eje x, obtenemos

045cos60cos =°+°−=∑ BAFx

que puede ser simplificada por sustitución de funciones trigonométricas conocidas. Así,

0707.05.0 =+− BA Ecuación (a)

Se requiere más información para resolver esta ecuación. Obtenemos una segunda ecuación al sumar las fuerzas a lo largo del eje y, resultando

0707.0866.0 =+ BA Ecuación (b)

Las ecuaciones (a) y (b) están ahora resueltas simultáneamente para A y B mediante el proceso de sustitución. Resolviendo para A en la ecuación (a) da

BBA 414.15.0

707.0== Ecuación ( c )

Ahora sustituimos esta igualdad en la ecuación (b) obteniendo

NBB 200707.0)414.1(866.0 =+

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que puede ser resuelta para B como sigue

NBB 200707.0225.1 =+

NB 20093.1 =

NNB 10493.1

200==

La tensión A puede ahora encontrarse por sustitución de B = 104N en la ecuación ( c )

NNA 147)104(414.1 ==

La tensión en la cuerda C es, por supuesto, 200N puesto que debe ser igual al peso.

Ejemplo 3. Un bloque de 200 lb descansa sobre un plano inclinado sin fricción que tiene una pendiente de °30 . El bloque está atado a un cordel que pasa sobre una polea sin fricción en el vértice del plano inclinado y del cual cuelga a su vez otro bloque. ¿Cuál debe ser el peso del segundo bloque para que el sistema se encuentre en equilibrio? (despréciese el peso del cordel).

Fig. 4‐9

Solución: Después de hacer un bosquejo de la situación, un diagrama de cuerpo libre se ha construido para cada cuerpo tal como se muestra en la figura 4‐9. Al aplicar la primera condición de equilibrio al segundo bloque (fig. 4‐9c), encontramos que

0=−WT

o sea WT =

106

Dado que el cordel es continuo y que el sistema está libre de fricción, la tensión en la figura 4‐9b para el bloque de 200 lb debe ser también igual al peso W.

Al considerar el diagrama para el bloque de 200 lb, determinamos las componentes de cada fuerza como sigue:

Componente en x componente en y

WTTx == 0=yT

0=xN NN y =

)30)(200()200( °−= senlblb x )30)(cos200()200( °−= lblb y

Al aplicar la primera condición de equilibrio nos da

0=∑ xF 0)30)(200( =°− senlbT Ecuación ( a )

0=∑ yF 0)30)(cos200( =°− lbN Ecuación ( b )

A partir de la ecuación ( a ) obtenemos

lbsenlbT 100)30)(200( =°=

y, por lo tanto, W = 100 lb ya que T = W. Por tanto, se requiere un peso de 100 lb para mantener el equilibrio.

La fuerza normal que el plano ejerce sobre el bloque de 200 lb puede calcularse a partir de la ecuación ( b ), aun cuando este calculo no fue necesario para determinar el peso de W. Así,

107

4.7 FRICCIÓN O ROZAMIENTO

Siempre que un cuerpo se mueve estando en contacto con otro cuerpo, existen fuerzas de rozamiento que se oponen al movimiento relativo. Estas fuerzas son consecuencia de la adhesión de una superficie a la otra y por la trabazón de las irregularidades en las superficies en roce. Es precisamente este rozamiento lo que mantiene a un clavo dentro de una tabla, lo que nos permite caminar y la que hace que los frenos de automóvil funcionen. En todos estos casos el rozamiento tiene un efecto deseable.

En muchas otras circunstancias, sin embargo, es deseable minimizar el efecto del rozamiento. Por ejemplo, el rozamiento aumenta el trabajo necesario para operar alguna máquina, causa desgaste y genera calor, que en muchos casos provoca a su vez daños adicionales. Los automóviles y los aviones son diseñados aerodinámicamente para reducir el rozamiento con el aire, que resulta ser muy grande a altas velocidades.

Siempre que una superficie se desliza sobre otra, la fuerza de rozamiento ejercida por cada cuerpo sobre el otro es paralela o tangente a las dos superficies y actúa de tal manera que se opone al movimiento relativo de las superficies. Es importante notar que estas fuerzas no sólo existen cuando ocurre un movimiento relativo, sino que también están presentes en cuanto uno de los cuerpos tiende a deslizarse sobre el otro.

Fig. 4‐10 a) En la fricción estática, el movimiento está impedido; b) en la fricción cinética, las dos superficies están en movimiento relativo.

Supóngase que una fuerza se ejerce sobre un bloque que descansa en reposo sobre una superficie horizontal como se muestra en la figura 4‐10. Al principio el bloque no se moverá debido a la acción de una fuerza llamada fuerza

de rozamiento estático F s .

Pero a medida que la fuerza aplicada se aumenta, llega un momento en que se provoca el movimiento del bloque, y la fuerza de rozamiento ejercida por la superficie horizontal mientras el bloque se encuentra en movimiento se

denomina fuerza de rozamiento cinético F k .

Las leyes que gobiernan a las fuerzas de rozamiento se determinan experimentalmente en el laboratorio por medio de un aparato similar al que se ilustra en la figura 4‐11a. Una caja de peso W se coloca sobre una mesa horizontal y un cordel ligero que está atado a la caja se pasa por una polea con rozamiento despreciable, y se cuelga del otro extremo del cordel una serie de pesas conocidas. Todas las fuerzas que actúan sobre la caja y las pesas se muestran en sus correspondientes diagramas de cuerpo libre ( Figuras 4‐11b y 4‐11c).

108

Consideremos que el sistema está en equilibrio, para lo cual la caja debe permanecer en reposo o moviéndose con velocidad constante. En cualquiera de los casos podemos aplicar la primera condición de equilibrio. Consideremos el diagrama de fuerzas como se muestra en la figura 4‐11c.

0=∑ xF F – T = 0

∑ = 0yF N – W = 0

o sea

F = T y N = W

Vemos así que la fuerza de rozamiento es de magnitud igual que la tensión en el cordón y que la fuerza normal ejercida por la mesa sobre la caja es igual al peso de la caja. Nótese que la tensión en el cordón es a su vez igual al peso de las pesas más el peso del soporte.

Fig. 4‐11

Empezamos el experimento colocando gradualmente pesas en el soporte, para aumentar lentamente la tensión del cordel. Al aumentar la tensión, la fuerza de rozamiento estático, que es igual en magnitud pero opuesto en dirección, también aumenta. Si T aumenta lo suficiente, la caja se empezará a mover, indicando que T ha sobrepasado

la máxima fuerza de rozamiento estático F max,s . Así, aunque la fuerza de rozamiento estático F s variará de acuerdo

con los valores de la tensión del cordel, existe un valor máximo único F max,s . Sólo este valor máximo es útil en la

solución de problemas de fricción. Por lo tanto, en esta antología F s se entenderá que representa F max,s .

Para continuar el experimento, supóngase que agregamos peso a la caja, con lo que aumentaríamos la presión normal entre la caja y la mesa. Nuestra fuerza normal será ahora

109

N = W + peso agregado

Al repetir nuestro experimento anterior, veremos que un nuevo valor de T proporcionalmente mayor será necesario

para contrarrestar F s . En otras palabras, al duplicar la fuerza normal entre las dos superficies, la máxima fuerza de

rozamiento estático que debemos contrarrestar también se duplica. Si N se triplica, F s también se triplica, y así ocurre

con todos los demás factores. Puede decirse por tanto que la máxima fuerza de rozamiento estático es directamente proporcional a la fuerza normal entre las dos superficies. Esta proporcionalidad puede escribirse como

F s ∝ N

Que puede escribirse como ecuación:

F ss μ= N

en la que sμ es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de rozamiento estático. Dado que sμ es una

relación constante entre dos fuerzas, es una cantidad sin dimensiones.

En el experimento que precede debe notarse que una vez que T ha superado en magnitud a F s la caja aumentará

su velocidad, o se acelerará, hasta topar con la polea. Esto indica que un valor menor que T bastaría para mantener a

la caja moviéndose con velocidad constante. Por tanto, la fuerza de rozamiento cinético F k debe ser menor que F s

para las mismas superficies. En otras palabras, se requiere de más fuerza para iniciar el movimiento de un bloque que para mantenerlo moviéndose a velocidad constante. En este último caso la primera condición de equilibrio también se

satisface; así, el mismo rozamiento que nos llevo a derivar la ecuación para F s para el rozamiento estático, nos dará la

siguiente proporcionalidad para el rozamiento cinético:

F ∝k N

que puede también expresarse como una ecuación, como antes:

F kk μ= N

110

Donde kμ es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de rozamiento cinético.

La tabla 4‐2 muestra algunos valores representativos de los coeficientes de rozamiento estático y cinético para diferentes tipos de superficie. Estos valores son aproximados y dependen de las condiciones en que se encuentran las superficies.

Tabla 4‐2 Coeficientes de fricción aproximados

Material sμ kμ

Madera sobre madera 0.7 0.4

Acero sobre acero 0.15 0.09

Metal sobre cuero 0.6 0.5

Madera sobre cuero 0.5 0.4

Hule sobre concreto seco 0.9 0.7

Hule sobre concreto húmedo 0.7 0.57

Los problemas que incluyen fricción se resuelven como otros problemas de fuerzas, excepto que se deben considerar los siguientes puntos:

111

1. Las fuerzas de rozamiento son paralelas a las superficies y se oponen directamente al movimiento relativo de las superficies entre sí.

2. La fuerza de rozamiento estático es mayor que la fuerza de rozamiento cinético para los mismos materiales.

3. Al dibujar diagramas de cuerpo libre, generalmente resulta más conveniente elegir el eje x paralelo al plano del movimiento y el eje y normal al plano del movimiento.

4. Se puede aplicar la primera condición de equilibrio para obtener dos ecuaciones que representan las fuerzas a lo largo del plano de movimiento y normales a él.

5. Las ecuaciones para la fricción estática y cinética obtenida anteriormente se pueden aplicar para obtener la cantidad deseada.

Ejemplo 4

Un bloque de 50 lb descansa sobre una superficie horizontal. Se requiere una fuerza horizontal de 10 lb para iniciar el movimiento del bloque. Una vez en movimiento, sólo se necesita una fuerza de 5 lb para mantener una velocidad constante. Encuéntrese los coeficientes de fricción estática y cinética.

Solución: Las palabras clave que deben ser reconocidas son para iniciar el movimiento y movimiento con velocidad constante. Las primeras implican fricción estática, mientras que las últimas se refieren a la fricción cinética. En cada caso existe una condición de equilibrio. Los diagramas de cuerpo libre se ilustran en las figuras 4‐12a y 4‐12b.

Fig. 4‐12

112

Consideremos la fuerza que contrarresta la fricción estática. Al aplicar la primera condición de equilibrio en la figura 4‐12a obtenemos

0=∑ xF 10 lb – F 0=s

0=∑ yF N – 50 lb = 0

de lo que podemos observar que

F lbs 10= N = 50 lb

De este modo podemos calcular el coeficiente de fricción estática a partir de la ecuación para la fricción estática

2.05010

===lblb

NFs

sμ

La fuerza que contrarresta la fricción cinética es de 5 lb. De aquí que la suma de las fuerzas a lo largo del eje x resulte.

5 lb – F 0=k para obtener F lbk 5=

La fuerza normal es aún 50 lb, y así

1.0505

===lblb

NFk

kμ

Ejemplo 5.

¿Qué fuerza T con ángulo de °30 sobre la horizontal se requiere para arrastrar un bloque de 40 lb hacia la derecha a

velocidad constante si 2.0=kμ ?

113

Solución: Dibujemos primero un bosquejo del problema y tracemos después el diagrama de cuerpo libre tal como se muestra en la figura 4‐13. Al aplicar la primera condición de equilibrio obtenemos

0=∑ xF 0=− kx FT

∑ = 0yF N + 040 =− lbTy

La última ecuación muestra que la fuerza normal es

N = yTlb −40

Fig. 4‐13

La fuerza T con un ángulo sobre la horizontal reduce la fuerza

normal, resultando en una fuerza de fricción menor.

Nótese que la fuerza normal está disminuida por la componente y de T . Sustituyendo

F Nkk μ= en la ecuación 0=− kx FT nos da

0=− NT kx μ

114

Pero yTlbN −= 40 de acuerdo con la ecuación 040 =−+ lbTN y , con lo que da

0)40( =−− ykx TlbT μ

Del diagrama de cuerpo libre podemos notar que

TTTx 866.030cos =°=

TTsenTy 5.030 =°=

De aquí, y recordando que ,2.0=kμ podemos escribir lo siguiente

0)40( =−− ykx TlbT μ ⇒ 0)5.040)(2.0(866.0 =−− TlbT

De la que podemos resolver T como sigue:

0.866T – 8 lb + 0.1T = 0

0.966T – 8 lb = 0

==966.0

8lbT 8.3 lb

Por lo tanto se necesita una fuerza de 8.3 lb para arrastrar el bloque a velocidad constante si la cuerda hace un ángulo

de °30 sobre la horizontal.

115

Ejemplo 6

Un bloque de 100 lb descansa sobre un plano inclinado de °30 . Si 1.0=kμ , ¿qué empuje P paralelo al plano y dirigido

hacia arriba se requerirá para que el bloque se mueva a) hacia arriba a velocidad constante y b) hacia abajo a velocidad constante?

Solución a) El problema general se ha bosquejado en la figura 4‐14a. Para el movimiento hacia arriba la fuerza de fricción apunta hacia abajo del plano inclinado como se ilustra en la figura 4‐14b. Aplicando la primera condición de equilibrio obtenemos

0=∑ xF 0=−− xk WFP

∑ = 0yF 0=− yWN

Fig. 4‐14

De la figura vemos que las componentes x e y del peso son

=°= )30)(100( senlbWx 50 lb

=°= )30)(cos100( lbWy 86.6 lb

Sustituyendo 86.6 lb en la ecuación para 0=∑ yF , podemos obtener la normal

06.86 =− lbN que da 6.86=N lb

116

De la ecuación para 0=∑ xF , el empuje requerido para mover el bloque hacia arriba es

xk WFP +=

Pero NF kk μ= , por lo que

xk WNP += μ

Sustituyendo los valores conocidos de kμ , N y xW , obtenemos

P = ( 0.1)( 86.6 ) + 50 lb

P = 58.7 lb

Nótese que el empuje hacia arriba del plano debe contrarrestar en este casop tanto la fuerza de fricción de 8.66 lb como la componente de 50 lb del peso del bloque hacia abajo y a lo largo del plano.

Solución b) Ahora debemos considerar el empuje P necesario para detener el movimiento hacia abajo del bloque. La única diferencia en este problema y la parte a) es que la fuerza de fricción se dirige ahora hacia arriba del plano. La fuerza normal no cambia y las componentes del peso tampoco cambian. Por tanto, si sumamos las fuerzas a lo largo del eje x de la figura 4‐14c tenemos

0=∑ xF 0=−+ xk WFP

de la cual

kx FWP −=

por lo tanto

P = 50 lb – 8.66 lb

117

P = 41.3 lb

La fuerza de 41.3 lb está dirigida hacia arriba del plano inclinado y detiene el movimiento hacia abajo del bloque de tal manera que su velocidad sea constante. Si esta fuerza P no se ejerciera, el bloque se aceleraría hacia abajo del plano por su propio peso.

EJERCICIOS

I. DEFÍNASE LOS SIGUIENTES TÉRMINOS

1.

a) Inercia f) Fuerza de fricción b) Fuerza de reacción g) Coeficiente de fricción c) Equilibrio h) Fuerza normal d) Equilibrante i) Primera condición de equilibrio e) Diagrama de cuerpo libre

II. EXPLIQUE LAS SIGUIENTS INTERROGANTES

1. Cuando se suelta la cabeza de un martillo, se pude volver a sujetarla manteniendo el martillo verticalmente y golpeando la base del mango contra el piso. Explíquese lo que ocurre. ¿Qué ley queda ilustrada?

2. Explíquese el papel que juega la tercera ley de Newton en las siguientes actividades: a) caminar, b) remar, c) el lanzamiento de cohetes y d) el paracaidismo.

3. ¿ Puede un cuerpo en movimiento estar en equilibrio? De varios ejemplos.

4. Un cable largo de acero se estira entre dos edificios. Demuéstrese por medio de diagramas y explicaciones por qué no es posible estirar el cable tan tenso que esté perfectamente horizontal sin colgarse del centro.

118

5. Hemos visto que es siempre ventajoso elegir los ejes x e y de los diagramas de cuerpo libre, de tal manera que el mayor número posible de fuerzas queden alineadas a uno de los ejes. Cuando ya no se pueden alinear más fuerzas por medio de la rotación de ejes, ¿sería mejor alinear uno de los ejes con una fuerza conocida o con una desconocida? ¿Por qué?

6. Explíquese algunos usos de la fuerza de fricción

7. ¿Por qué es más fácil tirar de un trineo con cierto ángulo que empujarlo con el mismo ángulo? Dibújese un diagrama de cuerpo libre para mostrar cuál sería la fuerza normal en cada caso.

8. ¿Es siempre la fuerza normal igual al peso de un cuerpo?

9. Cuando se camina sobre un lago congelado, ¿se deben dar pasos cortos o largos? ¿por qué? Si no hubiera nada de fricción en el hielo, ¿sería posible salirse del lago congelado? Explíquese.

III. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

1.‐ Considérese el peso suspendido en la figura 4‐15. Visualícense las fueras que actúan en el nudo y dibújese el diagrama de cuerpo libre. Aplíquese la primera condición de equilibrio para establecer dos ecuaciones y resuélvanse para las tensiones en las cuerdas A y B.

Respuesta: A = 1374 N, B = 1462 N

Fig. 4‐15

2.‐ Un mecánico tira con una fuerza de 80 lb en la dirección mostrada en la figura 4‐16. Dibújense un diagrama de cuerpo libre de todas las fuerzas que actúan en la polea. ¿Cuáles son las magnitudes de la fuerza A y B?

119

Fig. 4‐16

3.‐ Encuentre la tensión en los cordeles A y B de cada uno de los ejemplos de la figura 4‐17.

Respuesta: a) A = 170 N, B = 294 N, b) A = 134 N, B = 209 N

c) A = 1410 N, B = 1150 N.

Fig. 4‐17

4.‐ Encuéntrese la tensión en el cable y la compresión en la viga para los arreglos de la figura 4‐18.

120

Fig. 4‐18

5.‐ Encuéntrese la tensión en la cuerda A y la compresión B en el montante de la figura 4‐19.

Respuesta: A = 231 N, B = 462 N

6.‐ Si el esfuerzo de ruptura del cable A en la figura 4‐20 es de 200 N, ¿cuál es el máximo peso W que puede soportarse por este aparato?

Fig. 4‐20

Fig. 4‐19

121

7.‐ Determínese la compresión en el montante central B y la tensión en la cuerda A, para la situación descrita en la figura 4‐21

Respuesta: A = 643 N, B = 940 N.

Fig. 4‐21

8.‐ Encuéntrese la tensión en cada cuerda de la figura 4‐22 si el peso W es de 476 N.

Fig. 4‐22

9.‐ Un bloque de madera de 20 N es jalado con una fuerza máxima estática de 12 N; al tratar de deslizarlo sobre una superficie horizontal de madera, ¿cuál es el coeficiente de fricción estático entre las dos superficies?

Respuesta: 6.0=sμ

122

10.‐ Se aplica una fuerza de 85 N sobre un cuerpo para deslizarlo a velocidad constante sobre una superficie horizontal. Si el peso del cuerpo es de 213 N, ¿cuál es el coeficiente de fricción cinético?

11.‐ Un refrigerador de 200 lb se coloca sobre una manta y es arrastrado sobre un piso de mosaicos. Si 4.0=sμ y

2.0=kμ , ¿qué fuerza horizontal se requiere para iniciar el movimiento, y qué fuerza hará moverse al refrigerador

con una velocidad constante?

Respuesta: 80 lb, 40 lb

12.‐ Un bloque de hielo se desliza con velocidad constante sobre un piso de madera cuando una fuerza horizontal de 8

lb es aplicada. ¿Cuál es el peso del bloque de hielo si 15.0=kμ ?

13.‐ Calcular la fuerza que se debe aplicar para deslizar un bloque de peso P = 200 N con velocidad constante sobre una superficie con coeficiente de fricción cinético igual a 0.4, al presentarse las siguientes situaciones:

a) Se empuja el bloque con un ángulo de °30 . Véase figura 4‐23a

b) Se jala el bloque con un ángulo de °30 . Véase figura 4‐23b

Respuesta: a) 121.2 N, b) 75.05 N

Fig. 4‐23

123

14.‐ Una caja de 300 lb descansa sobre un plano horizontal. Se le aplica una fuerza de 76 lb con un ángulo de °37 bajo la horizontal para que empiece a moverse. ¿Cuál es el coeficiente de fricción?

15.‐ Un bloque de peso P = 50 N se desliza sobre una tabla al existir un coeficiente de fricción cinético de 0.3. Determinar la fuerza que se debe aplicar al bloque para que se mueva con una velocidad constante cuando:

a) La tabla se encuentra sobre una superficie horizontal. Ver figura 4‐24a

b) La tabla forma un ángulo de °20 respecto al plano horizontal. Ver figura 4‐24b

Respuesta: a) 15 N b) 37.99 N (para que el bloque ascienda)

Fig. 4‐2

124

16.‐ En la situación representada en la figura 4‐25, suponga que el coeficiente de fricción estática entre el bloque de 200 N y la superficie es de 0.3. Calcule el peso máximo W que se puede colgar para que el sistema permanezca en equilibrio.

Respuesta: 21.8 lb

Fig. 4‐25

ACTIVIDAD EXPERIMENTAL

COEFICIENTES DE ROZAMIENTO .

Objetivos.- 1.- Determinar experimentalmente valores de los coeficientes de rozamiento estático(μ e) y cinético (μ c) 2.- Comprobar alguna de las utilidades del plano inclinado. Material.- Cronómetro Regla graduada.. Madera que actuará de plano inclinado. Maderas pegadas, que actuarán de soporte Cuerda.

125

Desarrollo.-

A. Coeficiente estático de rozamiento. Para obtener el coeficiente estático de rozamiento entre dos cuerpos, dispondremos del montaje representado esquemáticamente en la figura. Ponemos en el suelo, tendida horizontalmente, la tabla que actuará de plano inclinado y encima de ella colocamos en el extremo de la derecha el taco de madera. Después atamos una cuerda a esta tabla, también por su extremo derecho, mediante un pequeño cáncamo que habremos clavado en la madera. A continuación haremos pasar la cuerda por encima de las tablas (deben estar pegadas), que actúan de soporte. Si tiramos ahora lentamente de la cuerda según el sentido de la flecha, veremos que la tabla que sostiene al taco, se irá levantando por su parte derecha, llegando un momento en el que el taco comienza a deslizarse. En este preciso instante dejamos de tirar y, sin soltar la cuerda, procuramos que la tabla mantenga su inclinación. La tangente del ángulo que forman la tabla inclinada y el suelo, tiene el valor del coeficiente estático de rozamiento entre el taco y el plano inclinado. Por si no estáis may puestos en trigonometría, podéis obtener el coeficiente estático de rozamiento (μ e), dividiendo la longitud a por la longitud b. Es decir, μ e = a / b

B. Coeficiente cinético de rozamiento. Para obtener el coeficiente cinético de rozamiento, procedemos de forma similar al caso anterior, pero hay que conseguir que el taco se deslice por el plano inclinado con movimiento uniforme. En este instante, la tangente del ángulo entre el plano inclinado y el suelo es el valor del coeficiente cinético de rozamiento.( μ c) Para comprobar cuándo el movimiento es uniforme, haremos uso tanto de la regla graduada, con la que dividiremos previamente en partes iguales la longitud del plano inclinado, y del cronómetro. Sólo habrá que conseguir que el taco recorra los tramos iguales en tiempos iguales. Al igual que en el caso anterior, podemos hacer el cálculo μ c = a / b. Por supuesto que aquí, tanto a como b tendrán valores distintos a los del caso anterior. Se observará que es este caso, al ángulo es un poco más pequeño que en el A.. El coeficiente cinético de rozamiento es menor que el estático. Conclusiones.-

• Los coeficientes que se han obtenido, son por deslizamiento. • Los resultados nos indican que la resistencia que ofrece un cuerpo a iniciar el movimiento es mayor

que la ofrecida a mantenerlo con movimiento rectilíneo y uniforme.

126

CAPÍTULO 5

MOMENTO DE TORSIÓN Y EQUILIBRIO ROTACIONAL

En los capítulos previos nos hemos referido a las fuerzas que actúan en un solo punto. Existe equilibrio traslacional cuando la suma vectorial es cero. Sin embargo, hay muchos casos en los cuales las fuerzas que actúan en un objeto no tienen un punto común de aplicación. Tales fuerzas se denominan no concurrentes. Por ejemplo, el volante de un automóvil es girado por fuerzas que no tienen un punto común de aplicación. Un mecánico ejerce una fuerza en el maneral de una llave para apretar un perno. El ingeniero considera las fuerzas de torsión que tienden a arrancar una viga de la pared. En tales casos, puede haber una tendencia a girar que

definiremos como momento de torsión. Si aprendemos a medir o a predecir los momentos de torsión producidas por ciertas fuerzas, podremos obtener los efectos rotacionales deseados. Si no se desea la rotación, no debe haber ningún momento de torsión resultante. Esto conduce naturalmente a la condición de equilibrio rotacional, que es muy importante en las aplicaciones industriales y de ingeniería.

5.1 CONDICIONES DE EQUILIBRIO

Cuando un cuerpo está en equilibrio, debe estar en reposo o en estado de movimiento rectilíneo uniforme. De acuerdo con la primera ley de Newton, lo único que puede alterar esta situación es la aplicación de una fuerza resultante. Hemos visto que si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo tienen un solo punto de intersección y su suma vectorial es igual a cero, el sistema debe estar en equilibrio. Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen un punto de intersección, puede existir equilibrio trasnacional pero no necesariamente equilibrio rotacional. Por tanto, al estudiar el equilibrio debemos tomar en consideración no sólo la magnitud y dirección de cada una de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, sino también su punto de aplicación.

Considérese el arreglo que se muestra en la figura 5‐1a, en el que dos fuerzas F iguales pero opuestas se aplican hacia la derecha y hacia la izquierda. La primera condición de equilibrio nos dice que las fuerzas verticales así como las horizontales están equilibradas. Por ello se dice que el sistema se encuentra en equilibrio trasnacional. Sin embargo, si las mismas fuerzas se aplicaran como en la figura 5‐1b es obvio que el cuerpo girará aun cuando la suma vectorial de las fuerzas siga siendo igual a cero. Vemos con toda claridad que se requiere de una segunda condición de equilibrio para satisfacer la posibilidad de movimiento rotacional. Un enunciado formal para esta condición será dado un poco más adelante.

127

Fig. 5‐1

a) Hay equilibrio; las fuerzas tienen la misma línea de acción. b) No hay equilibrio porque las fuerzas opuestas no tienen la misma línea de acción.

En la figura 5‐1b las fuerzas F no tienen la misma línea de acción.

La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria extendida

Indefinidamente a lo largo del vector en ambas direcciones.

Cuando las líneas de acción de las fuerzas no se intersecan en un mismo punto, puede producir rotación respecto a un punto llamado eje de rotación. En nuestro ejemplo, el eje de rotación es una línea imaginaria que pasa a través del perno perpendicular a la página.

5.2 BRAZO DE PALANCA

La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción de una fuerza recibe el nombre de brazo de palanca de esa fuerza. Este factor determina la eficacia de una fuerza dada para causar movimiento de rotación. Por ejemplo, si aplicamos una misma fuerza F a distancias cada vez mayores del centro de una gran rueda, nos será cada vez más fácil lograr que gire. (Véase figura 5‐2).

128

El brazo de palanca de una fuerza es la distancia perpendicular desde

la línea de acción de la fuerza al eje de rotación.

Fig. 5‐2

La fuerza no equilibrada F no produce ningún efecto rotacional sobre el punto A

pero es cada vez más eficaz a medida que su brazo de palanca se hace mayor

Si la línea de acción de la fuerza para por el eje de rotación (punto A de la figura 5‐2), el brazo de palanca es igual a cero, y se observa que no se produce ningún efecto de rotación sobre la rueda, sin importar la magnitud de la fuerza. En este ejemplo simple, el brazo de palanca para los puntos B y C es simplemente la distancia del eje de rotación al punto de aplicación de las fuerzas. Nótese, sin embargo, que la línea de acción de una fuerza no es sino una mera construcción geométrica. El brazo de palanca se dibuja perpendicular a esta línea. Por tanto, el brazo de palanca es igual a la distancia del eje de rotación al punto de aplicación solamente cuando la fuerza aplicada es perpendicular a esta distancia. En los ejemplos de la figura 5‐3, r representa el brazo de palanca y O representa el eje de rotación. Estúdiese cada ejemplo y obsérvese cómo el brazo de palanca traza un arco; obsérvese si la rotación es el sentido de las agujas del reloj o no respecto al eje O.

Fig. 5‐3

129

5.3 MOMENTO DE UNA FUERZA

Hemos definido la fuerza como la acción de empujar o tirar para provocar una tendencia hacia el movimiento. El momento de una fuerza o momento de torsión se puede definir como la tendencia a producir un cambio en el movimiento de rotación. Como ya vimos, tanto la magnitud de una fuerza F como su brazo de palanca r determinan el movimiento de rotación. De esta manera, podemos definir el momento de una fuerza como sigue:

Momento de torsión = fuerza × brazo de palanca

t = F r

donde se entiende que r se mide perpendicularmente a la línea de acción de la fuerza. Las unidades del momento de

torsión son unidades de fuerza por distancia , por ejemplo, newton‐metros ).( mN y libras‐pie (lb.pie).

La dirección del momento de torsión depende de si tiende a producir rotación en sentido del movimiento de las manecillas de un reloj, o viceversa. Seguiremos la misma convención que para medir ángulos. Si la fuerza F tiende a producir una rotación contraria al movimiento de las manecillas del reloj, el momento de torsión resultante será considerado positivo. Los momentos de torsión en el sentido de las manecillas del reloj serán negativos.

Ejemplo 1. Se aplica una fuerza de 20 N sobre un cable enrollado alrededor de un tambor de 120 mm de diámetro. ¿Cuál es el momento de torsión producido en el centro del tambor? (Véase la figura 5‐4).

Fig. 5‐4

130

Solución: Nótese que la línea de acción de la fuerza de 20 N es perpendicular al diámetro del tambor. El brazo de palanca, por lo tanto, es igual al radio del tambor. Convirtiendo el diámetro en metros, el radio es 0.06m.

20.1)06.0)(20( −=−== mNFrt N.m

El momento de torsión es negativo porque tiende a causar un movimiento en el sentido de las manecillas del reloj.

Ejemplo 2. Un mecánico ejerce una fuerza de 20 lb en el extremo de una llave de 10 in (in = pulgada), como se

muestra en la figura 5‐5. Si esta tracción forma un ángulo de °60 con el maneral, ¿cuál es el momento de torsión producido en la tuerca?

Fig. 5‐5

Solución: primero, trazamos un bosquejo aproximado, extendemos la línea de acción de la fuerza de 20 lb dibujamos el brazo de palanca como se muestra. Nótese que el brazo de palanca r es perpendicular tanto a la línea de acción de la fuerza como al eje de rotación. Sólo debe recordarse que el brazo de palanca es una construcción geométrica que puede o no situarse a lo largo de alguna estructura física, como el maneral de la llave. De la figura obtenemos

inseninr 66.860)10( =°=

173)66.8)(20( === inlbFrt lb.in

Si se desea, este momento de torsión puede convertirse en 14.4 lb.pie

131

En algunas aplicaciones es más útil trabajar con las componentes de una fuerza para obtener el momento de torsión resultante. En el ejemplo anterior hubiéramos podido resolver el vector de 20 lb en sus componentes horizontal y vertical. En vez de encontrar el momento de torsión de una fuerza única, hubiéramos tenido que encontrar el momento de torsión de las dos fuerzas componentes. Como se pude observar en la figura 5‐6, el vector

de 20 lb tiene las componentes xF y yF que se encuentran por trigonometría.

10)60)(cos20( =°= lbFx lb

3.17)60)(20( =°= senlbFy lb

Fig. 5‐6

Se puede observar en la figura 5‐6b que la línea de acción de la fuerza de 10 lb pasa por el eje de rotación. Esto no produce ningún momento de torsión porque su brazo de palanca es cero. El momento de torsión totales, por lo tanto, debido a la componente de 17.3 lb perpendicular al maneral. El brazo de palanca de esta fuerza es la longitud de la llave, y el momento de torsión es

173)10)(3.13( === inlbFrt lb.in

Nótese que se obtiene el mismo resultado utilizando este método. No se requieren más cálculos porque la componente horizontal tiene un brazo de palanca cero. Si escogemos las componentes de una fuerza a lo largo y perpendicularmente a una distancia conocida, sólo necesitamos preocuparnos por el momento de torsión de esta componente perpendicular.

MOMENTO DE TORSIÓN RESULTANTE

En el capítulo 3 demostramos que la resultante de un número de fuerzas se puede obtener al sumar las componentes x e y de cada fuerza para obtener las componentes x e y de la resultante.

.....+++= xxxx CBAR .....+++= yyyy CBAR

132

Este procedimiento se aplica específicamente a las fuerzas que tienen un mismo punto de intersección (fuerzas concurrentes). Pero las fuerzas que carecen de ese punto común de intersección (fuerzas no concurrentes) tendrán un momento de torsión resultante y además una fuerza trasnacional resultante. Cuando todas las fuerzas aplicadas actúan en un mismo plano, el momento de torsión resultante se encuentra como la suma algebraica de todos los momentos de torsión positivos y negativos.

.....321 +++== ∑ tttttR

Recuérdese que los momentos de torsión de sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj son positivos y los del mismo sentido negativos.

Ejemplo 3 Una pieza angular de hierro está pivoteada en el punto A como se muestra en la figura 5‐7. Determínese el momento de torsión resultante en A debido a las fuerzas de 60 y 80 N.

Fig. 5‐7

Solución: Se dibuja un diagrama de cuerpo libre, y los brazos de palanca 1r y 2r se trazan como en la figura 5‐7b.

Las longitudes de los brazos de palanca son:

19.950)12(1 =°= sencmr cm

40.970)10(2 =°= sencmr cm

133

Considerando A como el eje de rotación, el momento de torsión debido a 1F es negativo y el debido a 2F es

positivo. El momento de torsión resultante se encuentra como sigue:

221121 rFrFtttR +=+=

)40.9)(80()19.9)(60( cmNcmNtR +−=

cmNcmNtR .752.552 +−=

200=Rt N.cm

El momento de torsión resultante es de 200 N.cm en sentido opuesto a las manecillas del reloj. Esta respuesta se expresa mejor como 2 N.m en unidades S.I.

EQUILIBRIO

Estamos ya listos para estudiar la condición necesaria para que exista equilibrio rotacional. La condición para el equilibrio trasnacional se enunció en forma de ecuación como

∑ = 0xF 0=∑ yF

Si nos queremos asegurar de que los efectos rotacionales también se encuentran equilibrados, debemos estipular que no debe haber momento de torsión resultante. Por tanto, la segunda condición de equilibrio es:

La suma algebraica de todos los momentos de torsión

alrededor de cualquier eje de rotación debe ser igual

a cero.

0.....321 =+++=∑ tttt

134

La segunda condición para el equilibrio nos dice simplemente que los momentos de torsión en el sentido de las manecillas del reloj están exactamente equilibrados por los de sentido opuesto a las manecillas del reloj. Aún más: puesto que la rotación no ocurre respecto a ningún punto, podemos escoger cualquier punto que deseemos como eje de rotación. Mientras los brazos de palanca se midan respecto al mismo punto para cada fuerza, el momento de torsión resultante será cero. Los problemas pueden simplificarse escogiendo como eje de rotación el punto de aplicación de una fuerza desconocida. Si una fuerza particular tiene un brazo de palanca nulo, no contribuirá al momento de torsión independientemente de su magnitud.

Ejemplo 4 Considérese el arreglo ilustrado en el diagrama de la figura 5‐8. Una viga uniforme que pesa 200 N está sostenida por dos soportes A y B. Dadas las distancias y las fuerzas listadas en esta figura, ¿cuáles son las fuerzas ejercidas por los soportes?

Solución: Se dibuja un diagrama de cuerpo libre para mostrar claramente todas las fuerzas y las distancias entre las fuerzas. Nótese que todo el peso de la viga uniforme se considera actuando en su centro. En seguida aplicamos la primera condición de equilibrio.

Fig. 5‐8

135

0400200300 =−−−+=∑ NNNBAFy

900=+ BA N

Ya que esta ecuación contiene dos incógnitas, debemos obtener más información. Por lo tanto, aplicamos enseguida la segunda condición de equilibrio.

Primero debemos seleccionar un eje alrededor del cual sea posible medir los brazos de palanca. La selección lógica es el punto de aplicación de alguna de las fuerzas desconocidas. Escoger el eje en B da a esta fuerza un brazo de palanca cero. La suma de los momentos de torsión por lo que corresponde a B resulta en la siguiente ecuación:

∑ =−++−= 0)4))400()4)(200()10)(300()12( mNmNmNmAtB

Nótese que la fuerza de 400 N y la fuerza A tienden a producir una rotación en el sentido de las manecillas del reloj con respecto a B. La simplificación da:

0.800.1600.3000)12( =+−+− mNmNmNAm

Sumando (12m)A a ambos lados y simplificando obtenemos:

2200 N.m = (12m)A

Dividiendo ambos lados entre 12 m, encontramos que

A = 183 N

Ahora, para encontrar la fuerza ejercida por el soporte B, podemos regresar a la ecuación obtenida de la primera condición de equilibrio.

A + B = 900 N

136

Resolviendo para B, obtenemos

B = 900 N – A = 900 N – 183 N

B = 717 N

Como verificación de esta solución, podríamos escoger el eje de rotación A, y entonces aplicar la segunda condición de equilibrio para encontrar B.

CENTRO DE GRAVEDAD

Todas las partículas en la Tierra tienen por lo menos una fuerza en común con todas las demás partículas: su peso. En el caso de que un cuerpo extendido formado por muchas partículas, estas fuerzas son, en esencia, paralelas y dirigidas hacia el centro de la Tierra. Independientemente del tamaño y forma del cuerpo, existe un punto en el cual se puede considerar que todo el peso del cuerpo se concentra. Este punto se denomina centro de gravedad del cuerpo. Por supuesto, de hecho, el peso no actúa en ese punto. Pero calcularíamos el mismo momento de torsión respecto a un eje determinado, siempre y cuando se estimara que el peso total actuase en ese punto.

El centro de gravedad de un cuerpo regular, como una esfera uniforme, un cubo, una barra o una viga, se localiza en su centro geométrico. Así se hizo en los ejemplos de la sección anterior, cuando consideramos que el peso de toda la viga actuaba en su centro. Aun cuando el centro de gravedad se localiza en un punto fijo, no necesariamente está dentro del cuerpo. Por ejemplo, una esfera hueca, un arco circular y un neumático, tienden todos sus centros de gravedad fuera del material del cuerpo.

A partir de la definición de centro de gravedad, se puede reconocer que cualquier cuerpo que sea suspendido de ese punto se encontrará en equilibrio rotacional. Esto es cierto porque el vector peso, que representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre cada partícula, carece de brazo de palanca alrededor de este punto dado que pasa a través del propio punto. Así, podemos calcular la posición del centro de gravedad de un cuerpo al determinar el punto en el cual una fuerza ascendente producirá un equilibrio rotacional.

Ejemplo 5 Calcúlese la posición del centro de gravedad de las dos esferas de la figura 5‐9 si están conectadas entre sí por una barra de 30 in que tiene peso despreciable.

Fig. 5‐9

137

Solución: Primero dibujamos un vector hacia arriba indicando la fuerza en el centro de gravedad que equilibraría el sistema. Supóngase que escogemos colocar este vector a una distancia x del centro de la esfera de 16 lb. La distancia x sería dibujada y acotada en la figura. Puesto que la fuerza hacia arriba debe igualar a la suma de las fuerzas hacia abajo, la primera condición de equilibrio nos dice que

F = 16 lb + 8 lb = 24 lb

Ahora, escogemos nuestro eje de rotación en el centro de la esfera. Esta es la mejor elección porque la distancia x se mide desde este punto. La segunda condición de equilibrio se aplica como sigue:

∑ =−= 0)30)(8()24( inlbxlbt

inlbxlb .240)24( =

inx 10=

Si la barra que une las dos esferas pende del techo en un punto situado a 10 in del centro de la esfera de 16 lb, el sistema estará en equilibrio. Este punto es el centro de gravedad. Se deberá demostrar que se obtiene la misma conclusión si se suman los momentos de torsión respecto al extremo derecho o respecto a cualquier otro punto.

EJERCICIOS

I. DEFINIR LOS SIGUIENTES TÉRMINOS:

a) Línea de acción d) Momento de torsión b) Eje d rotación e) Eje de rotación c) Brazo de palanca f) Centro de gravedad

138

II. RESUELVANSE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

Momento de torsión

1.‐ Una correa de cuero se enrolla alrededor de una polea de 20 cm de diámetro. Se aplica una fuerza de 60 N a la correa. ¿Cuál es el momento de torsión en el centro del eje?

Respuesta: 6 N.m

2.‐ La barra delgada de la figura 5‐10 tiene 20 in de longitud y el eje de rotación es el punto A. Determine la magnitud y

el signo del momento de torsión causado por la fuerza de 200 lb si el ángulo θ es : (a) °90 , (b) °60 , (c) °30 y (d)

°0 .

Fig. 5‐10

Momento de torsión resultante

3.‐ De acuerdo con la figura 5‐11, ¿Cuál es será el momento de torsión resultante respecto (a) al punto A y (b) respecto al extremo izquierdo de la viga?

Respuesta: (a) 90 N.m, (b) ‐120 N.m

Fig. 5‐11

139

4.‐ Suponga que el eje se encuentra en el punto A como se muestra en la figura 5‐11. ¿Qué fuerza perpendicular que actúa en el extremo derecho de la viga tendrá un momento de torsión igual a cero?

5.‐ Determine el momento de torsión resultante respecto al punto A en la figura 5‐12.

Respuesta: 6.19 lb.pie

Fig. 5‐12

6.‐ ¿Cuál es el momento de torsión resultante respecto al punto C en la figura 5‐12?

7.‐ ¿Cuál es el momento de torsión resultante en relación con el pivote de la figura 5‐13? Desprecie el peso de la barra.

Respuesta: ‐3.42 N.m

Fig. 5‐13

140

8.‐ ¿Qué fuerza horizontal se debe aplicar al extremo izquierdo de la barra curva de la figura 5‐13 para producir un equilibrio rotacional?

Equilibrio

9.‐ Determine las fuerzas desconocidas de la figura 5‐14. Suponga que están en equilibrio y el peso de la barra es despreciable en todos los casos.

Respuesta: NBNAlbFlbFlbFlbA 1.49,9.50;5.87,198;107,7.26 21 ======

Fig. 5‐14

10.‐ Una correa se enrolla alrededor de una polea de 16 pulgadas de diámetro. Si se requiere un momento de torsión resultante de 4 lb.pie, ¿qué fuerza debe aplicarse a lo largo de la correa?

141

11.‐ Un puente de 20 m de longitud está sostenido en cada uno de sus extremos. Considere que el peso del puente es de 4500 N. Calcule las fuerzas que se ejercen en cada extremo cuando una podadora de 1600 N se localiza a 8 m del extremo izquierdo del puente.

Respuesta: 2890 N, 3210 N.

12.‐ Calcule el centro de gravedad de una hacha si la cabeza metálica pesa 12 lb y el mango que la soporta, de 32 pulgadas, pesa 2 lb. Suponga que el mango es uniforme en su construcción y peso.

13.‐ Se colocan pesas de 100, 200 y 500 lb sobre una viga apoyada en dos soportes, como se muestra en la figura 5‐15. Si se desprecia el peso de la viga, ¿cuáles son las fuerzas ejercidas por los soportes?

Respuesta: 425 lb, 375 lb.

Fig. 5‐15

14.‐ Una caja de 30 lb y otra de 50 lb están colocadas en los extremos opuestos de un tablero de 16 pies. El tablero está apoyado tan solo en el punto medio. ¿Dónde debe colocarse una tercera caja que pesa 40 lb para equilibrar el sistema?

Respuesta: 4 pies a la izquierda del centro

142

15.‐ Encontrar los esfuerzos de reacción en cada uno de los apoyos en la siguiente viga, misma que tiene un peso de 200 N.

Respuesta: NRNR BA 86.442,14.357 ==

Fig. 5‐16

16.‐ Calcular la reacción en el apoyo A y B de la siguiente viga, cuyo peso es de 400 N

Respuesta: NRNR BA 7.294,9.242 ==

Fig. 5‐17

143

ACTIVIDAD EXPERIMENTAL #1

COMPROBACIÓN DE LA LEY DE LA PALANCA.

Objetivos.- 1.- Comprender la importancia que tiene la distancia entre la fuerza y el punto de giro, cuando se utilizan momentos de fuerzas para rotar cuerpos. 2.- Comprobar experimentalmente la ley de la palanca. Material.- Regla graduada rígida. Lápiz. Monedas.

Desarrollo.-

Colocamos en una mesa un lápiz redondo, sujeto con algún tipo de pegamento, para que ni ruede, ni se deslice sobre la mesa. Sobre el lápiz se coloca la regla y encima de la regla, al lado izquierdo, por ejemplo, ponemos una moneda de un euro (F), a cierta distancia del punto de apoyo (d). A continuación ponemos dos euros (F´) al lado derecho, deslizándolos sobre la regla hasta conseguir el equilibrio. Observaremos cómo la distancia de los dos euros al punto de apoyo (d´) será la mitad de la que tiene el euro de la izquierda a dicho punto de apoyo.

Con ello queda demostrado que F * d = F´* d´ (Ley de la palanca).

Conclusiones.-

• Después de realizar esta experiencia, nos damos cuenta, cómo cualquiera de nosotros, utilizando una palanca, podría levantar con un pequeño esfuerzo, un cuerpo de peso considerable. Sólo tendría que realizar dicho esfuerzo a gran distancia del punto de apoyo, una vez colocado el cuerpo a una distancia pequeña de dicho punto

• Que el giro de los cuerpos es cosa de dos: fuerza y distancia.

144


¿Cuánto pesa usted?

Consigue un cartón gris, de los que se usan para llevar el huevo sin romperse. Observa como

está construido; no permite que dos huevos tengan contacto cuando están empacados, no con

los de los lados ni con los de arriba cuando se apilan varios de estos cartones en una caja. Te

invitamos a jugar con uno de estos cartones.

Pon un cartón en el suelo e intenta pararte sobre él. Después de colocar el primer pie e intentar

colocar el segundo el cartón se deformará. ¿Como es que no se deforma cuando le ponen

encima varios de esos cartones cargados de huevo? consigue otro cartón, pero ahora súbete

en él de tal forma que coloques los dos pies al mismo tiempo. Esto lo puedes hacer

apoyándote primero con los brazos sobre un mueble y subiendo luego los pies hasta que lleguen los dos al mismo tiempo al cartón. Observarás que el cartón no se deforma.

Explicación científica

La explicación está por un lado en la forma que tiene y cartón y por otro en tu peso. Cuando te

apoyas en uno de tus pies, todo el peso de tu cuerpo está actuando sobre este pié. Es por esto

que cuando colocas primero un pie y luego el segundo, en el momento de levantar este

segundo pie, todo el peso de tu cuerpo se concentra en el primer pie y deforma el cartón para huevo.

Cuando colocas los dos pies al mismo tiempo, tu peso se reparte en los dos pies y sobre una

región más grande del cartón, lo que le permite sostenerlo sin deformarse. Esta es la diferencia

145

entre fuerza( en este caso peso) y presión. Las damas que usan tacones muy delgados dejan

la marca de su tacón debido a que concentran su peso en dos regiones extremadamente

delgadas como son sus tacones. Cosa que no ocurre cuando usan zapatos bajos, ya que

entonces su peso se reparte sobre una zona más grande.

Material

Cartones para huevo


Tres en equilibrio

Consiga una cuchara sopera, un tenedor y un cerillo de madera y rete a sus amigos a

suspender en equilibrio estos objetos sobre un vaso.

A continuación entrelácelos como se muestra en la figura y apoye el cerillo en la orilla de un

146

vaso de vidrio. Para sorpresa de todos, el arreglo se sostendrá sobre dicho vaso sin perder el

equilibrio balanceándose suavemente.

¿Qué pasará si se enciende la cabeza del cerillo que está apoyada en el vaso? ¿Se caerá el

arreglo?

¿Por qué sucede esto ?

Un cuerpo alto cae porque su centro de gravedad está lejos de su base de apoyo. Cuando se

saca de la vertical el centro de gravedad, es fácil que el cuerpo gire. En el caso del arreglo del

cerillo con los cubiertos, el centro de gravedad está por debajo del punto de soporte, lo que

impide que el arreglo gire y caiga.

Material

Un cerillo de madera

Un tenedor

Una cuchara sopera

Un vaso de vidrio

147

RESULTADOS DE APRENDIZAJE: El alumno resolverá problemas de aplicación práctica de las leyes de Newton, a partir del análisis y descripción de las características de dichas leyes, valorando su utilidad en la comprensión de múltiples fenómenos.

Atributos a desarrollar en el bloque: Durante el presente bloque se busca desarrollar los siguientes atributos de las competencias

genéricas:


5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de

sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.

5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre

ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad

UNIDAD 3 FUERZA(LEYES DE NEWTON)

148

Isaac Newton (1643-1727), nació en Inglaterra y ha sido una de las inteligencias más brillantes que han existido hasta nuestros tiempos. Estudioso de las leyes naturales que rigen el movimiento de los cuerpos, observo la caída de una manzana al suelo y a partir de ahí estableció relaciones entre la fuerza que provocaba la caída de la manzana y la fuerza que sostenía a la Luna en su órbita alrededor de la Tierra. En 1679, ya había

determinado con precisión el radio terrestre: 6371.45 Km.

En 1687 publicó su Philosohiae Naturalis Principia Mathematica; libro en el que Newton expuso tres

leyes conocidas como Leyes de Newton o Leyes de la Dinámica.

3.1 Primera Ley de Newton o Ley de la inercia. “Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que una

fuerza externa no equilibrada actúe sobre él”.

Esta Ley afirma, Newton que un cuerpo en movimiento rectilíneo uniforme tiende a mantenerse así

indefinidamente, lo mismo que un cuerpo que se encuentra en reposo trata de mantenerse inmóvil.

Un ejemplo de la ley de la inercia se presenta al viajar en un automóvil: cuando el conductor aplica

bruscamente los frenos, tanto el cómo sus acompañantes son arrojados violentamente hacia el

frente, toda vez que el automóvil, el único que recibe una fuerza para detenerse, pero como los

pasajeros no la reciben, por su inercia tratan de seguir en movimiento.

De igual manera, cuando el automóvil está parado y el conductor lo acelera bruscamente, se

observa que todo lo que está en su interior se comporta como si hubiera sido arrojado hacia atrás;

ello se debe a que su inercia, los cuerpos en reposo tratan de conservar esa posición.

Otro ejemplo es: Un florero sobre una mesa permanecerá en su lugar hasta que el gato lo derribe.

La tendencia que presenta un cuerpo en reposo a permanecer inmóvil, o la de un cuerpo en

movimiento a tratar de no detenerse, recibe el nombre de inercia. Para detener un cuerpo que está

149

en movimiento, para moverlo si esta en reposo, o para modificar su dirección, sentido o la magnitud

de su velocidad, debemos aplicarle una fuerza.

De acuerdo con lo anterior, todo cuerpo en movimiento debería seguir conservando ese mismo

estado sin alterar su velocidad ni dirección, pero entonces, ¿Por qué se detiene una canica puesta

en movimiento?; la razón es que sobre la canica actúa una fuerza llamada fricción, que se opone a

su movimiento.

Actividad:

Busca a un compañero y contesten entre ambos las siguientes preguntas.

1. ¿Por qué es importante que utilices el cinturón de seguridad del automóvil?

2. ¿Qué pasaría si chocas bruscamente y no tienes puesto el cinturón de

seguridad?

3. ¿Por qué?

4. ¿Qué sucedería si a un objeto, por ejemplo una taza, le aplicamos una fuerza

en una superficie que estuviera libre de toda fricción?

5. ¿Cuál de las siguientes situaciones ejemplifica a un sistema inercial?

-Nos encontramos en la parte posterior de un camión repartidor de refrescos, el

cual se mueve a velocidad constante.

-Nos encontramos en la parte posterior de un camión repartidor de refrescos, el

cual se encuentra constantemente acelerando.

De la pregunta anterior, en el segundo caso.

6. ¿Qué le puede pasar a la persona que va atrás?

Masa. La primera ley de Newton explica el concepto de una fuerza, pero algo es necesario para

ayudarnos a medir la intensidad de una fuerza. Si definimos una fuerza como algo que produce una

aceleración, parecería lógico medir el tamaño de una fuerza por el tamaño de la aceleración que

trae consigo.

150

Cuando nos restringimos a un cuerpo en especial, por ejemplo una pelota de baloncesto, esto tiene

sentido. Si empujamos el balón a lo largo del suelo con una fuerza constante, se mueve cada vez

más rápidamente, y después de diez segundos, se mueve con una velocidad de, digamos, 2 m/s.

Su aceleración es: 2 m/s, dividido por 10 segundos, es decir, 0.2 m/s2.

Si empezamos desde cero y no empujamos tanto, al final de diez segundos puede ser que el balón

se mueva a sólo 1 m/s; por tanto, su aceleración será 0.1 m/s2. Puesto que la aceleración es dos

veces más grande en el primer caso, parece razonable suponer que la fuerza fue dos veces más

grande en el primer caso que en el segundo

3.2 Segunda Ley de Newton o Ley de la proporcionalidad entre fuerzas y aceleraciones.

“Toda fuerza resultante aplicada a un cuerpo le produce una aceleración en la misma dirección en

que actúa. La magnitud de dicha aceleración es inversamente proporcional a la magnitud de la

fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa del cuerpo”.

Esta Ley se refiere a los cambios en la velocidad que sufre un cuerpo cuando recibe una fuerza. Un

cambio en la velocidad de un cuerpo efectuado en la unidad de tiempo, recibe el nombre de

aceleración. Así, el efecto de una fuerza desequilibrada sobre un cuerpo produce una aceleración.

Cuanto mayor sea la magnitud de la fuerza aplicada, mayor será la aceleración. Debemos recordar

que aceleración también significa cambios en la dirección del objeto en movimiento,

independientemente que la magnitud de la velocidad cambie o permanezca constante; tal es el

caso cuando se hace girar un cuerpo atado al extremo de una cuerda, pues ésta aplica una fuerza

151

al objeto y evita que salga disparado en línea recta acelerándolo hacia el centro de la

circunferencia.

Podemos observar claramente cómo varía la aceleración de un cuerpo al aplicarle una fuerza,

realizando la siguiente actividad:

Si a un coche de juguete le damos dos golpes diferentes, primero uno leve y después otro más

fuerte, el resultado será una mayor aceleración del mismo a medida que aumenta la fuerza que

recibe.

La segunda Ley de Newton también relaciona la aceleración con la masa de un cuerpo, pues

señala claramente que una fuerza constante acelera más a un objeto ligero que a uno pesado.

Compruebe lo anterior al empujar un carro de los que se usan en los supermercados y observará

que al moverlo cuando está vacío exigirá menor esfuerzo que cuando está lleno.

Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

a= F m

Donde

a = valor de la aceleración en m/seg2, cm/seg2, pies/seg2.

F= valor de la fuerza aplicada en Newtons (N), dinas o libras fuerza (lbf).

m = masa del cuerpo en kilogramos (kg), gramos (gr) o slugs. De esta ecuación podemos despejar a la fuerza, lo cual nos permitirá comprender con mayor

facilidad el significado del newton como unidad de fuerza en el Sistema Internacional:

F = ma

Sustituyendo las unidades de masa y aceleración tenemos:

F= kg m/seg2= newton (N).

Por definición, se aplica una fuerza de un Newton cuando a un cuerpo cuya masa es de un

kilogramo se le imprime una aceleración de un metro por segundo cuadrado. La equivalencia

entre newtons y dinas es la siguiente:

1 N = 1 x105 dinas.

152

Como el peso de un cuerpo representa la fuerza con que la tierra atrae a la masa de dicho

cuerpo, entonces:

P = mg. por lo tanto m= p/g. De donde la Segunda Ley de Newton puede escribirse también como: F = P/g a Donde F= Valor de la fuerza aplicada al cuerpo en newtons (N).

P = Valor del peso del cuerpo en Newtons (N).

g = valor de la aceleración de la gravedad = 9.8 m/seg2.

a = valor de la aceleración de la gravedad en m/seg2.

153

Actividad.

Resuelve los siguientes problemas en grupos de 3 compañeros y verifica tus

resultados con el profesor.

a) Por medio de un cordón se arrastra un escritorio en una superficie sin

fricción con una masa de 75 kg y una fuerza de 200 N, ¿Cuál será la

aceleración del escritorio?

b) Para jalar el viejo ropero de la abuela que pesa 120 kg se requirieron de

325 N de fuerza, ¿cuál fue la aceleración que tuvo el ropero?

c) Un objeto de 15 kg tiene una aceleración de 3.5 m/s2, ¿Cuál será la fuerza

neta que actúa sobre el objeto?, y si la misma fuerza la aplicamos a un

objeto de 8 kg, ¿qué aceleración tendrá?

d) Se encuentran dos personas empujando un automóvil que se quedó

parado en el tránsito de la ciudad. Una de las personas aplica una fuerza

de 300 N mientras que la otra aplica una fuerza de 220 N. Si el automóvil

pesa 1200 kg, ¿Qué aceleración tendrá el automóvil considerando que

existe una fuerza de fricción contraria de 180 N?

e) Obtén la aceleración de un cuerpo al ejercer una fuerza de 60 N si tiene

una

masa

de 15000 g

f) Determina la aceleración de un cuerpo como resultado de las fuerzas

aplicadas:

g) ¿Cuál es la fuerza que se tendría que aplicar a un bulto de cemento cuya

masa es de 50 kg si requerimos una aceleración de 1.5 m/s2?

154

3.3 Tercera Ley de Newton o Ley de la Acción y la Reacción.

“A toda acción corresponde una reacción igual en magnitud y dirección pero en sentido opuesto”

La tercera ley, también conocida como Principio de acción y reacción nos dice que si un cuerpo A

ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y de sentido contrario.

Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas ocasiones. Por ejemplo, cuando

queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo para impulsarnos. La reacción del suelo es

la que nos hace saltar hacia arriba.

Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros también nos movemos en

sentido contrario. Esto se debe a la reacción que la otra persona hace sobre nosotros, aunque no

haga el intento de empujarnos a nosotros.

Hay que destacar que, aunque los pares de acción y reacción tenga el mismo valor y sentidos

contrarios, no se anulan entre si, puesto que actúan sobre cuerpos distintos

155

3.4 Cuarta Ley de newton o Ley de la gravitación Universal. La ley de la gravitación universal establece que todos los cuerpos en

el Universo atraen a otro con una fuerza que es directamente

proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia entre ellos. Si consideramos que dos

cuerpos tienen una m1 y una m2, encontrándose separados por una

distancia r, entonces,

la fuerza gravitatoria seria:

Donde:

F = Fuerza de atracción gravitacional en newtons (N)

G = constante de gravitación universal cuyo valor es 6.67 x 10 - 11 Nm2/kg2 o 6.67 x

10 - 8 dina cm2/g2

m1 y m2 = masa de los cuerpos en kg o g

d= distancia existente entre los centros de gravedad de ambos cuerpos en m o cm

Poniendo lo anterior en una fórmula, tenemos: F= G m1 m2 donde m1 y m2 son

D2

las masas de los dos objetos d es la distancia que separa sus centros de gravedad y G es la

constante de proporcionalidad, llamada en este caso: constante de gravitación universal.

Interpretando lo anterior, y guiándonos en la fórmula, esta ley establece que mientras más grandes

sean las masas de sus cuerpos, mayor será la fuerza con que se atraigan, y que a mayor distancia

de separación menor será la fuerza de atracción.

Ejemplos específicos:

• Si una de las masas aumenta el doble, la fuerza aumenta el doble.

• Si las dos masas aumentan al doble, la fuerza aumenta el cuádruple.

• Si la distancia aumenta al doble, la fuerza disminuye a la cuarta parte.

¿Cómo se pueden calcular estos resultados?

156

Calcula la fuerza gravitacional entre Tierra y una persona de 70 kg. La masa de la Tierra es 6 X

1024 kg. El radio de la Tierra es 6,379 km. Para calcular las fuerzas gravitacionales, las distancias

se consideran desde el centro de un cuerpo al centro del otro cuerpo.

Ahora sí, la fuerza es considerable.

1.- Actividad individual. Resuelve los siguientes problemas:

a) Tenemos dos cuerpos, uno de 70 kg y otro de 100 kg, con una distancia de

1.3 m. Calcula el valor de la fuerza gravitacional.

b) Si eres una persona que pesa 65 kg, calcula la fuerza gravitacional que

ejerce la Tierra sobre ti, considerando que la masa de la tierra es de 5.98 x

1024 kg y su radio es de 6.37 x 106 m Realiza el mismo calculo con tu

peso real.

c) En una oficina se encuentra un sillón con su respectivo escritorio que pesa

80 kg Entre ellos existe una fuerza gravitacional de 3.73 x 10-07 N y la

distancia que los separa es de 30 cm. Calcula la masa del sillón.

d) Calcula el valor de la fuerza de atracción entre dos cuerpos si existe entre

ellos una distancia de 80 cm y sus masas son de 85 y 250 N.

e) A que distancia se encuentran dos perros si tienen masas de 45 kg y 65

kg, si se atraen con una fuerza de 6.85 x 10-6 N?

157

2. Actividad. Recupera los conocimientos que has adquirido resolviendo el

siguiente crucigrama:

Horizontal

2. Enuncio sus tres famosas leyes sobre el movimiento de los planetas,

estableciendo una física celeste basada en fundamentos matemáticos.

4. Causa capaz de producir una aceleración o la deformación de un cuerpo.

6. Efecto de la fuerza de gravedad sobre un cuerpo.

7. Cantidad de materia de un cuerpo.

8. Formulo la primera teoría de la gravedad empíricamente exitosa.

9. Ideo un sistema planetario en el que el Sol es el centro del Universo.

158

Vertical

1. Fuerza de atracción mutua que experimentan dos objetos con masa.

3. Concibió un sistema planetario geocéntrico y realizo un catálogo de estrellas.

5. Magnitud física que expresa el incremento de la velocidad en unidad de tiempo.

3.5 Resolución de problemas aplicando las leyes de Newton.

1.- Calcular la aceleración que produce una fuerza de 50 Newtons a un cuerpo cuya masa es de

5000 gramos. Expresar el resultado en m/seg2.

Datos Fórmula Sustitución

a = a = F/m a = 50 kg m/seg2. = 10 m/seg2. F= 50 N 5 kg

m = 5000 gramos

= 5 kg

2.- Calcular la masa de un cuerpo si al recibir una fuerza de 100 Newtons le produce una

aceleración de 200 cm/seg2. Exprese el resultado en kg.

Datos Fórmula Sustitución.

m= m = F/a m = 100 kg m/seg2.

F = 100 kg m/seg2. 2 m/seg2.

a = 200 cm/seg2.= m = 50 kg

2 m/seg2.

159

3.- Determinar la fuerza que recibe un cuerpo de 30 kg, la cual le produce una aceleración de 3

m/seg2.

Datos Fórmula Sustitución

F = F = ma F = 30 kg x 3 m/seg2.

m = 30 kg F = 90 kg m/seg2.

a = 3 m/seg2. F = 90 Newtons.

4.- Determinar el peso de un cuerpo cuya masa es de 60 kg.


P = P = mg P = 60 kg x 9.8 m/seg2.

m = 60 kg P = 588 kg m/seg2.

g = 9.8 m/seg2. P = 588 Newtons.

5.- Calcular la masa de un cuerpo cuyo peso es de 980 Newtons.


m = m = P/g m = 980 kg m/seg2.

P = 980 kg m/seg2. 9.8 m/seg2.

g = 9.8 m/seg2. m = 10 kg

1. Calcular la aceleración que produce una fuerza de 50 N a un cuerpo cuya masa es de 5000

g. Expresar el resultado en m/s2.

Datos Fórmula

a =?

F=50N

n=5000g=5kg

160

Substitución y resultado

2. Calcular la masa de un cuerpo si al recibir una fuerza de 100 N le produce una aceleración

de 200 cm/s2. Exprese el resultado en kg.

Datos Fórmula

m=?

F =100N m

a =2O0 cm/ = 2 m/

Substitución Y resultado:

3. Calcular la aceleración que recibirá el siguiente cuerpo como resultado de las fuerzas

aplicadas:

Datos Fórmula

a=? FR = F1 + F2

F1 = 30 N

F2 = 20 N

m = Kg

Substitución y resultado:

F1 = 30 N F2 = 20 N m = 2 Kg

161

4. Un bloque cuya masa es de 4 kg es jalado mediante una fuerza horizontal ( Fx ) como se ve

en la siguiente figura.

a) Calcule la fuerza de reacción (R) que ejerce el piso sobre el bloque.

b) La fuerza horizontal (Fx) que se requiere para dar al bloque una velocidad horizontal de 6 m/seg

en 2 segundos, a partir del punto de reposo. Considere despreciable la fricción entre el piso y el

bloque.

Datos Fórmulas

m = 4 kg P = mg

R =? Fx = maX

Fx = ? Fy = maY

Vx = 6 m/s

t = 2s

g = 9.8 m/s2

Substitución y resultado

a) Para calcular la reacción que el piso ejerce sobre el bloque, con la segundo ley de Newton

determinamos la suma de fuerzas en el eje vertical:

R = ?

Fx = ?

P = ?

162

El signo ( - ) del peso es porque su sentido hacia abajo, como el bloque se desplaza únicamente en

forma horizontal no hay movimiento vertical; por tanto, la aceleración vertical es cero de donde:

O sea que la reacción (R) es igual al peso del cuerpo (P)

b) Para calcular la fuerza horizontal ( Fx ) que se requiere para mover el bloque con una

velocidad horizontal ( Vx ) de en 2 segundos tenemos que la única fuerza que actúa

sobre el eje horizontal, es la fuerza que estamos calculando; de donde, según la fuerza de

Newton:

Para calcular la aceleración horizontal ( ):

de donde:

163

5. En una polea se suspende un cuerpo cuyo peso es de 500 N, como se ve en la siguiente

figura.

a) Calcular la tensión en el cable que lo sujeta cuando desciende con una aceleración de 2

.

b) Calcule la tensión en el cable que lo sujeta cuando asciende con la misma aceleración.

Datos Fórmulas

P = 500 N

P =mg

a) Si el cuerpo estuviera en reposo sostenido por el cable, la tensión en este sería igual al

peso del cuerpo T = P pero como esta en movimiento descendiendo, es evidente que el

peso debe ser mayor que la tensión. De donde: substituyendo en la fórmula de la suma

de las fuerzas en el eje vertical ( ), se tiene que esta es igual al producto de la mesa

del cuerpo (m) por su aceleración ( ).

P= 500 N

T

164

Sustituyendo

Recuerde: el signo (--) tanto del peso, como el de la aceleración de la gravedad y el de la

aceleración del cuerpo es porque actúan en dirección vertical con sentido hacia abajo.

Despejando a la tensión (T) tenemos:

b) Al estar ascendiendo el cuerpo con una aceleración vertical ( ) tenemos que la tensión

en el cable debe ser mayor que el peso del cuerpo. Substituyendo valores en la

ecuación:

Observamos que los valores son los mismos que substituimos para responder el inciso a del

problema; pero ahora, el signo de la aceleración del cuerpo será positivo, ya que actúa hacia arriba

toda vez que el cuerpo sube. El signo del peso y de la aceleración de la gravedad siguen siendo (-)

pues actúan hacia abajo.

165

Despejando a la tensión tenemos:

6. Con una polea se eleva un cuerpo cuyo peso es de 980 N aplicando una fuerza de 1400 N

como se ve en la figura. Determine la aceleración que adquiere el cuerpo.

Datos Fórmula

como

Sustitución y resultado

T = 1400 N

P = 980 N

166

Despejando la aceleración de la cuerpo

3.6 Ejercicios propuestos

A.- En equipos de 3, responde a las siguientes cuestiones:

1. Si un cuerpo se mueve con velocidad constante,

a) ¿Puede asegurarse que alguna fuerza lo está impulsando?

b) ¿Puede asegurarse que no está aplicada fuerza alguna sobre ese cuerpo?

c) ¿Puede asegurase que si existe alguna fuerza sobre ese cuerpo, no es la única?

d) ¿Puede asegurase que, si existen fuerzas sobre ese cuerpo, se anulan entre sí, dando como

resultante cero?

2. Si sobre un cuerpo actúa una fuerza única, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

a) El cuerpo no se mueve.

b) El cuerpo puede no moverse.

c) El cuerpo se mueve con velocidad constante.

d) El cuerpo se mueve con velocidad variable.

3. Si un cuerpo permanece en reposo en el suelo, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

a) No actúa ninguna fuerza sobre él.

b) Actúa sobre él una fuerza muy pequeña.

c) Actúan sobre él dos fuerzas que se anulan entre sí.

d) Actúa una única fuerza sobre él.

4. ¿Qué relación tiene el cinturón de seguridad en los automóviles con las leyes de Newton?

167

B.- Selecciona la opción correcta de las siguientes preguntas: 5. La primera Ley de Newton establece que si no actúa fuerza neta sobre un cuerpo cualquiera,

entonces ese cuerpo:

a) Permanecerá en reposo.

b) Podrá moverse aceleradamente.

c) Se moverá con velocidad constante.

d) Podrá permanecer en reposo o moverse con velocidad constante.

6. Según la Segunda Ley de Newton, si un carro de masa m se mueve con cierta aceleración bajo

la influencia de una fuerza neta F y luego se duplica la fuerza, y la masa se cambia de tal manera

que la aceleración resulta dividida entre dos, habrá sucedido que:

a) La masa se dividió entre dos.

b) La masa se dividió entre cuatro.

c) La masa se multiplicó por dos.

d) La masa se multiplicó por cuatro.

7. Según la tercera ley de Newton sucede que:

a) Las fuerzas de acción y de reacción son idénticas.

b) Las fuerzas de acción y de reacción actúan sobre un cuerpo y son iguales en magnitud y en

dirección, pero de sentidos contrarios.

c) Las fuerzas de acción y de reacción actúan sobre cuerpos distintos y son iguales en magnitud y

en dirección, pero de sentidos contrarios.

d) Puesto que las fuerzas de acción y de reacción tienen sentidos contrarios, se anulan

mutuamente.

8. La masa de un cuerpo es una propiedad que:

a) Es independiente del peso de ese cuerpo.

b) Depende del peso del cuerpo.

c) Depende del sitio del universo donde se le mida.

d) Aumenta su valor si se comprime a ese cuerpo.

C.- En forma individual, responde a las siguientes cuestiones: 9. Una fuerza que actúa sobre un cuerpo es:

168

a) Una cantidad vectorial que se manifiesta sólo poniéndolo en movimiento.

b) Una cantidad escalar que se manifiesta sólo poniéndolo en movimiento.

c) Una cantidad vectorial que se manifiesta cambiando el estado de movimiento de un cuerpo o

deformándolo.

d) Una cantidad escalar que se manifiesta cambiando el estado de movimiento de un cuerpo o

deformándolo.

10. Entre dos cuerpos que tienen cierta separación existe cierta fuerza gravitacional. La fuerza

gravitacional conservará su valor si:

a) Las masas se duplican y la distancia se cuadruplica.

b) Una masa se multiplica por ocho, la otra se duplica y la distancia también se cuadruplica.

c) Una masa se cuadruplica y la distancia también se cuadruplica.

d) Una masa se divide entre dos, la otra masa se cuadruplica y la distancia se multiplica por dos.

11. Un carro de 500 Kg es impulsado por un motor que le proporciona una fuerza de 300 N. Se

observa que ese carro se mueve con aceleración de 0.5 m/s2. Puede decirse entonces, que:

a) La segunda ley de Newton no se cumplió, pues según ésta, debe obtenerse que

• a =F/m

• a = 300 N/500 kg = 0.6m/s2

b) La segunda ley de Newton sí se cumple, pero hay que tomar en cuenta la fuerza de fricción, la

cual vale 100 N.

c) La segunda ley de Newton sí se cumple, pero hay que tomar en cuenta la fuerza de fricción, la

cual vale 50 N.

d) Todo está en orden.

12. Una masa de 20 kg deberá elevarse verticalmente con aceleración de 2m/s2, utilizando una

cuerda. Para lograr eso, deberá ejercerse una tensión hacia arriba

a) Igual al peso de esa masa. Es decir, T = 196 kg

b) Mayor que 196 N, pero menor que 230N

c) Mayor o igual que 230 N, pero menor que 250 N.

d) Mayor o igual que 250 N.

169

13. Calcule la masa de un cuerpo en kilogramos, si al recibir una fuerza de 300 N le produce

una aceleración de 150 cm/ .

14. Calcule la aceleración que recibirá el cuerpo que se ve en la figura, como resultado de las

fuerzas aplicadas:

14. Determine la aceleración en m/s2 que Ie produce una fuerza de 75 N a un cuerpo cuya masa

es de 1500 g.

15. Calcular la fuerza que se le aplica a un cuerpo de 10 kg de masa si adquiere una aceleración

de 2.5 m/ .

16. Un bloque cuya masa es de 8 kg es jalado mediante una fuerza horizontal como se ve en la

figura:

a) Encuentre la fuerza de reacción (R) que ejerce el piso sobre el bloque.

b) La fuerza horizontal ( ) que se requiere para dar al bloque una veloci9dad horizontal de

4 m/ en 1.5 s a partir del reposo. Desprecie la fricción entre el piso y el bloque.

17. En un montacargas está suspendido un cuerpo cuyo peso es de 950N como se ve en la

figura:

m = 3 kg

F1 = 30 N

F2 = 50 N

F3 = 40 N

m = 5 kgFx = ?

P

R =

170

a) Determine la tensión en el cable que lo sujeta cuando desciende con una aceleración de

3 m/

b) Calcule la tensión en el cable que lo sujeta cuando asciende con la misma aceleración.

Respuestas:

a) T = 659.18 N

b) T= 1240.81 N

18. Calcular la tensión que soporta un cable al subir a un elevador que vacío pesa 2500 N, si

además se suben a él cuatro personas que tienen un peso de 2352 N. El elevador sube con

una aceleración constante de 1.3 m/

19. Un montacargas eleva un cuerpo cuyo peso es de 2310 N con una fuerza de 2935 N.

determine la aceleración con que sube el cuerpo.

20. Una persona pesa 686 N y asciende por un elevador con una aceleración de 2 m/ .

Calcule:

a) El peso aparente de la persona o sea, la fuerza de reacción que ejercerá el piso del

elevador al subir.

b) El peso aparente de la persona al estar bajando.

P = 950 N

171


Cuando termine de estudiar esta unidad el alumno: Definirá y aplicará los conceptos de densidad peso específico y elasticidad para resolver problemas físicos cotidianos. También definirá los conceptos de esfuerzo de tensión, de compresión, esfuerzo cortante, deformación y limite elástico.

COMPETENCIAS GENÉRICAS A DESARROLLAR:

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiadas.(Atributo: 4.1) 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. (Atributos: 5.1 y 5.3) 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. (Atributos: 7.1)

COMPETENCIAS DISCIPLINARES A DESARROLLAR:

1. Establece la interrelación entre la ciencia, la tecnología, la sociedad y el ambiente en contextos históricos y sociales específicos. 2. Fundamenta opiniones sobre los impactos de la ciencia y tecnología en su vida cotidiana, asumiendo consideraciones éticas. 6. Valora las preconcepciones personales o comunes sobre diversos fenómenos naturales a partir de evidencias científicas.

UNIDAD 4 MASA

172

4.1 DENSIDAD

La densidad o masa específica (p) de un cuerpo se define como la relación de su masa (m) con respecto a su volumen (V). La unidad del Sistema Internacional es kilogramo por metro cubico (kg/m3).

p = , m = pV

Ejemplo 1. Si un objeto tiene una masa de 4 kg. y un volumen de 0.002 m3, tiene una densidad de 2000 kg/m3.

p = = 2000 kg/m3

Cuando trabajamos con volúmenes pequeños la densidad se expresa en gramos por centímetro cubico (gr/cm3). El peso específico se usa con frecuencia para las unidades más viejas de peso (lb) y longitud (ft).

El peso específico (D) de un cuerpo se define como la relación entre su peso (W) y su volumen (V). La unidad común es la libra por pie cubico (lb/ft3).

D = , W = DV

La relación entre peso especifico y densidad se determina recordando que W = mg. Por consiguiente:

D = = pg

Las densidades para los sólidos, líquidos y gases comunes se proporcionan en la siguiente tabla:

SUSTANCIA Densidad (p) Peso Específico(D)

Kg/m3 g/cm3 (lb/ft3)

SÓ

LID

OS

Acero 7800 7.8 487 Aluminio 2700 2.7 169 Cobre 8890 8.89 555 Hielo 920 0.92 57 Latón 8700 8.7 540 Oro 19300 19.3 1204

Plata 10500 10.5 654 Plomo 11300 11.3 705

173

Vidrio 2600 2.6 162

LÍQ

UID

OS

Agua 1000 1.0 62.4 Alcohol 790 0.79 49

Benceno 880 0.88 54.7 Gasolina 680 0.68 42 Mercurio 13600 13.6 850

GA

SE

S

(0°C

)

Aire 1.29 0.00129 0.0807 Helio 0.178 0.000178 0.0110

Hidrógeno 0.090 0.000090 0.0058 Nitrógeno 1.25 0.00126 0.0782 Oxigeno 1.43 0.00143 0.00892

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1.

1.1. Un material tiene una densidad igual a 1.8 gr/cm3, calcular el volumen que ocuparían 100 gramos de dicho material.

1.2. Calcular el volumen que ocuparían 250 gramos de cobre.

1.3. Un material tiene peso especifico igual a 1.8 gr/cm3, calcular el volumen que ocuparían 100 gramos de dicho material.

1.4. Calcular la masa del alcohol para un volumen de 250 m3.

174

4.2 ELASTICIDAD

Definimos como cuerpo elástico aquel que recobra su tamaño y su forma originales cuando deja de actuar sobre él una fuerza deformante. Las bandas de hule, las pelotas de golf, los trampolines, las camas elásticas, las pelotas de futbol y los resortes son ejemplos comunes de cuerpos elásticos.

Considere el resorte de longitud 1 en la figura 1. Podemos estudiar su elasticidad añadiendo pesas sucesivamente y observando el incremento en su longitud. Una pesa de 20 N alarga el resorte en 1 cm, una pesa de 40 N alarga el resorte 2 cm, y una pesa de 60 N alarga el resorte 3 cm. Es evidente que existe una relación directa entre el estiramiento del resorte y la fuerza aplicada.

Robert Hook fue el primero en establecer esta relación por medio de la invención de un volante de resorte para reloj. En términos generales, Hook descubrió que cuando una fuerza (F) actúa sobre un resorte produce en él un alargamiento (s) que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza. Ley de Hook que se presenta como:

k = ,

Un esfuerzo de tensión se presenta cuando fuerzas iguales y opuestas se apartan entre sí. En un esfuerzo de compresión las fuerzas son iguales y opuestas y se acercan entre sí. Un esfuerzo cortante ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas no tienen la misma línea de acción.

La eficiencia de cualquier fuerza que produce un esfuerzo depende en gran medida del area sobre la que se distribuye la fuerza. Por esta razón, una definición más completa de esfuerzo se puede enunciar en la siguiente forma:

Esfuerzo es la razón de una fuerza aplicada entre el área sobre la que actúa, por ejemplo Newtons por metro cuadrado o libras por pie cuadrado (lb/ft2).

Como se menciono antes, el término deformación presenta el esfuerzo de un efecto dado. La definición general de deformación es la siguiente:

Deformación es el cambio relativo en las dimensiones o en la forma de un cuerpo como resultado de la aplicación de un esfuerzo.

El límite elástico es el esfuerzo máximo que puede sufrir un cuerpo sin que la deformación sea permanente.

Por ejemplo una varilla de aluminio cuya área en sección transversal es de 1 in2 se deforma permanentemente si se le aplica un esfuerzo de tensión mayor de 19000 lb. Esto no significa que la

175

varilla de aluminio se romperá en ese punto sino únicamente que el cable no recuperara su tamaño original.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2.

2.1. Define el concepto de elasticidad.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2. ¿Qué es esfuerzo de tensión?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.3. ¿Qué es esfuerzo de compresión?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.4. ¿Qué es esfuerzo cortante?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.5. Define el término esfuerzo.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.6. Define el término deformación.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.7. ¿Qué es el límite elástico?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

176

Temas: fluidos, líquido presión, volumen, empuje y gasto

RESULTADOS DE APRENDIZAJE: El alumno analiza los diferentes conceptos e ideas de la importancia y las características fundamentales de los fluidos en reposo y movimiento a través de las teorías, principios, teoremas o modelos matemáticos aplicándolos en situaciones cotidianas.

Argumenta cómo un líquido ejerce presión sobre el fondo de un recipiente del mismo modo como un bloque ejerce presión sobre la mesa, aplica los diferentes conceptos de los fluidos en situaciones de la vida cotidiana. Identifica con ejemplos reales de nuestro entorno las aplicaciones de los principios de Pascal y Arquímedes y por ultimo resuelve las diferentes ecuaciones y modelos matemáticos en la solución práctica de problemas de fluidos en movimiento o reposo de nuestro entorno.

Competencias genéricas:

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. 5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.

177

6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus propios puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.

4.3 FLUIDOS

Los fluidos están constituidos por gran cantidad de minúsculas partículas de materia, éstas se deslizan unas sobre otras en los líquidos y en los gases se mueven sueltas. Esto explica por qué los líquidos y gases no tienen forma definida, adoptando la del recipiente que los contiene.

Finalmente recordemos que un gas es expansible, por consiguiente su volumen no es constante; pues al pasarlo a un recipiente de mayor volumen inmediatamente ocupa todo el espacio libre. Un líquido, por su parte, no tiene forma definida, pero si volumen definido.

Se denomina fluido a un conjunto de sustancias donde existe entre sus moléculas poca fuerza de atracción, cambiando su forma, lo que ocasiona que la posición que toman sus moléculas varía, ante una fuerza aplicada sobre ellos, pues justamente fluyen. Los líquidos toman la forma del recipiente que los aloja, manteniendo su propio volumen, mientras que los gases carecen tanto de volumen como de forma propios. Las moléculas no cohesionadas se deslizan en los líquidos, y se mueven con libertad en los gases. Los fluidos están conformados por los líquidos y los gases, siendo los segundos mucho menos viscosos (casi fluidos ideales).

178

En la actualidad el estudio del uso y aprovechamiento del agua tiene gran importancia para el desarrollo y progreso de la humanidad y se ha convertido en una de sus principales preocupaciones, es por esto que la hidráulica ha tomado un lugar muy importante. La palabra hidráulica significa: conducción del agua y proviene del griego hydro: agua, aulos: conducción e icos: relativo a. Sin embargo, la palabra tiene un significado más amplio. Los problemas que abarca van desde el flujo controlado de fluidos a través de las tuberías y canales abiertos, hasta la construcción de presas para la producción de electricidad. Hidráulica: Es el estudio del comportamiento del agua y de otros líquidos, ya sea en reposo o en movimiento. Es la rama de la Física que aplica los conocimientos de la mecánica de los fluidos para diseñar y construir dispositivos que funcionen con fluidos en reposo y movimiento.

Hasta el momento, nuestro estudio de los fluidos se ha limitado a los líquidos en reposo. Pasamos ahora nuestro a la atención de los fluidos en movimiento. En lugar de tratar de estudiar el movimiento de cada partícula del fluido en función del tiempo, se describen las propiedades de un fluido en movimiento cada punto como una función del tiempo.

¿Qué tienen en común las siguientes situaciones? Un líquido sale de la extremidad de un gotero como una sucesión de gotas y no como un chorro continuo. Un clip “flota” sobre una superficie de agua, aún cuando su densidad es varias veces la densidad del agua. Algunos insectos pueden caminar sobre la superficie del agua donde sus patas hacen deformaciones en la superficie pero no la penetran. En todos estos ejemplos la superficie del líquido pareciera estar bajo tensión.

Actividad de aprendizaje no. 1: EXPERIMENTO

Si realizáramos el siguiente experimento; amarremos un rizo de hilo a aun alambre en forma de anillo, introduzca el anillo y el hilo dentro de una solución jabonosa y agite hasta formar una película delgada del líquido en la cual el hilo flota. Cuando pinchamos la película dentro del rizo, el hilo se estirará en forma circular ya que la tensión de la superficie del líquido empujará radialmente hacia afuera sobre este.

Un alambre en forma de anillo con un hilo en forma de rizo, sumergido en una solución jabonosa (a) antes y (b) después de pinchar la película formada dentro del rizo. COMENTARIOS DEL EXPERIMENTO:

179

En un líquido las fuerzas de atracción entre las moléculas, aunque no son tan grandes como en los sólidos, sí son lo suficientemente fuertes para mantener a la substancia en un estado condensado, de modo que podemos hablar de una superficie del líquido, de la cual puede medirse el área. Si deseamos incrementar el área superficial de una cantidad de líquido, es necesario llevar a cabo un trabajo sobre la superficie, es decir, se debe hacer un trabajo sobre las fuerzas de cohesión que son las que mantienen cercanas las moléculas de la superficie.

El trabajo W requerido por unidad de área para incrementar el área de un líquido es llamado tensión superficial del líquido.

Sus unidades son J/m² (J son Joules, unidad de trabajo o energía) o bien en N/m. Con el objeto de aclarar este concepto, considérese agua jabonosa: en un momento dado tendrá un área superficial determinada; si queremos aumentarla bastará con agitar el agua y producir espuma sobre la superficie: agitarla implica hacer trabajo sobre ella.

De esta manera haremos aumentado su superficie. Se usa la palabra tensión para describir el trabajo por unidad de área, por el efecto que tiene que aplicar una tensión, es decir una fuerza a lo largo de uno de los lados de la superficie, para estirarla: se logra aumentar el área. Esto es fácil de imaginar si se piensa en un gancho en forma de U que ha sido sumergido a una solución jabonosa, y en el cual se cierra la U por medio de un alambre que puede desplazarse bajo la aplicación de una fuerza, tensado así la superficie.

La tensión superficial es hoy en día uno de los conceptos de la física del continuo, que es un objeto de estudio concienzudo por sus múltiples aplicaciones industriales (coloides, mojado,

formación de burbujas, espumas, etc.

Otro fenómeno importante en el estudio de los fluidos es el de capilaridad, es el desplazamiento de un líquido en tubos de pequeño diámetro. El líquido puede ascender o descender una altura.

La capilaridad es la habilidad que tiene un fluido de subir dentro de un tubo de diámetro interior pequeño, violando aparentemente la ley de gravedad. Considérese que un tubo de vidrio con un diámetro interior pequeño se introduce en agua: el agua subirá a una cierta altura en el tubo y

180

presentará una forma cóncava; el líquido en contacto con las paredes del tubo estará a mayor altura que el líquido del centro del tubo.

El agua realmente trepa por el tubo hasta que el empuje dado por la tensión superficial se balancee con el peso de la columna de agua.

La altura a la cual sube el líquido dentro de un tubo, depende de las magnitudes relativas de las fuerzas de cohesión y de las fuerzas de adhesión (fuerzas existentes entre las moléculas del líquido y las moléculas del tubo). Si las fuerzas de adhesión son grandes, se dice que el líquido moja al tubo y entonces trepa por él; si las fuerzas de cohesión son mayores que las de adhesión, entonces el líquido no moja al tubo y no sube por su interior; esto último ocurre en el caso del mercurio.

La viscosidad puede ser medida mediante un viscosímetro cilíndrico, se deja caer el peso hasta que la velocidad sea constante. Entonces la fuerza de fricción es igual al peso . Si la velocidad de la superficie móvil es y la separación entre las superficies es , la viscosidad se define como: Siendo A el área de la superficie móvil. La viscosidad se mide en poise si la fuerza se mide en dinas, el área en cm2, la velocidad en cm/s y la distancia en cm. Hasta ahora sólo han sido consideradas situaciones estáticas para los fluidos, pero el comportamiento de ellos cambia ante situaciones dinámicas. La trayectoria de una partícula en un fluido en movimiento se

conoce como línea de flujo. Cuando el líquido esté en movimiento, su flujo puede ser caracterizado como uno de los dos principales tipos. El flujo laminar, se dice que es constante, si cada partícula del fluido sigue un buen camino, de manera que las trayectorias de las partículas de diferentes nunca se cruzan entre sí, es decir, son equidistantes, como se muestra en la Figura, se habla de un flujo incompresible.

El flujo laminar alrededor de un automóvil en una prueba de túnel de viento. Por encima de una cierta velocidad crítica, se convierte en el flujo de fluidos turbulentos, un flujo turbulento es irregular flujo caracterizado por pequeñas regiones, como se muestra en la figura.

181

Los gases calientes de un cigarrillo se hacen visibles por el humo partículas. En el humo al inicio se muestra un flujo laminar y en la región superior se convierte en un flujo turbulento.

Debido a que el movimiento real de los fluidos es muy complejo y no completamente entendido, es necesario formular algunas hipótesis para su estudio, considerando a un fluido ideal. En nuestro modelo de un líquido ideal, hacemos los siguientes cuatro supuestos: 1. El líquido es no viscosos. En un fluido no viscoso, la fricción interna insignificante. 2. El flujo laminar. En un flujo laminar ó constante, la velocidad del fluido en cada punto también es constante. 3. El fluido es incompresible. La densidad de un fluido incompresible es constante. 4. El flujo es irrotacional. El líquido no tiene momento angular sobre cualquier punto. Actividad de aprendizaje no. 2 Completa la información del siguiente cuadro. Comenta tus respuestas con tus compañeros, anexando la información que consideres necesaria.

182

Actividad de aprendizaje no. 3 Realiza una consulta, complemente el siguiente cuadro y al final contesta las preguntas que se te indican:

A) ¿A qué se debe las propiedades de los fluidos?

B) ¿Por qué los fluidos presentan diferentes propiedades?

C) ¿Menciona la aplicación de los fluidos en tu vida cotidiana?

183

Actividad de aprendizaje no. 4 Realiza una investigación de los temas de hidrodinámica, hidrostática, hidráulica, gasto, flujo y volumen. Y elabora un mapa mental o conceptual de la información consultada.

184

Actividad de aprendizaje no. 5 Completa los siguientes enunciados, relacionando con los aspectos que se te indican en la numeración.

La ____________________es la parte de la _______________que estudia a los líquidos en movimiento. Al estudiarlos no se tiene en cuenta al ________________de los líquidos.

Al estudiar el desplazamiento de los líquidos se manejan, entre otros, dos conceptos fundamentales, el_____________________o cantidad de masa de un liquido que atraviesa el área de sección transversal de un tubo, por el segundo, y el _________________o volumen de fluido que atraviesa dicha sección en la unidad de tiempo. La fórmula del primero es:__________________________; la del segundo_______________________

Respuestas:

I. Física

II. Flujo

III. Hidrodinámica

IV. Gasto

V. Rozamiento interno o viscosidad

VI. tVQ =

VII. tmF =

185

4.3 Presión hidrostática.

La presión hidrostática es aquella que origina todo líquido sobre el fondo y las paredes del recipiente que lo contiene. Esto se debe a la fuerza que el peso de las moléculas ejerce sobre un área determinada; la presión aumenta conforme es mayor la profundidad.

La presión hidrostática en cualquier punto puede calcularse multiplicando es peso especifico del líquido por la altura que hay desde la superficie libre del líquido hasta el punto considerado.

P Dh= o considerando la densidad P ghρ=

Donde:

P = Presión hidrostática

ρ = Densidad del líquido

D = Peso específico del líquido

g = Aceleración de la gravedad

h = Altura de la superficie libre al punto en cuestión

Consideremos tres recipientes con agua, dos a la misma altura y otro con diferente altura, como se aprecia en la figura 4-1.

186

Cálculo de la presión hidrostática en el punto A, que corresponde al fondo de los tres recipientes de la figura.

Recipiente 1: 3 2 2(1000 / )(9.8 / )(0.5 ) 4900 /P gh kg m m s m N mρ= = =



La llamada paradoja (lo que va en contra de la opinión común) hidrostática de Stevin señala lo siguiente: la presión ejercida por un líquido en cualquier punto de un recipiente, no depende de la forma de éste ni de la cantidad de líquido contenido, sino únicamente del peso específico y de la altura que hay del punto considerado a la superficie libre del líquido

Ejemplo 1 Calcular la presión hidrostática en el punto A y B del siguiente recipiente que contiene agua:

Solución:

La densidad del agua es 1000 3/kg m por lo tanto,

Punto A: 3 2 2(1000 / )(9.8 / )(1.5 ) 14700 /

P ghP kg m m s m N m

ρ=

= =

Punto B: 3 2 2(1000 / )(9.8 / )(3.5 ) 34300 /P kg m m s m N m= =

187

EJEMPLO NO. 2

Calcular la profundidad a la que se encuentra sumergido un submarino en el mar, cuando soporta una presión hidrostática de 6 28 10 /N m× . La densidad del agua de mar es de 31020 /kg m .

Solución: Tenemos que despejar h de la ecuación P ghρ= , lo cual da Phgρ

=

Que al sustituir nos queda;

6 2

3 32

8 10 / 8001.02 10 / 9.8 /

N mh mkg m m s×

= =× ×

4.5 Presión atmosférica

La Tierra está rodeada por una capa de aire llamada atmósfera. El aire, que es una mezcla de 20% de oxígeno, 79% de nitrógeno y 1% de gases raros, debido a su peso ejerce una presión sobre todos los cuerpos que están en contacto con él, la cual es llamada presión atmosférica.

La presión atmosférica varía con la altura, por lo que al nivel del mar tiene su máximo valor o presión normal equivalente a:

1 atmósfera = 760 mm de Hg = 5 21.013 10 /N m×

A medida que es mayor la altura sobre el nivel del mar, la presión atmosférica disminuye. En la ciudad de México su valor es de 586 mm de Hg equivalente a: 5 20.78 10 / .N m×

Es común expresar las presiones en milímetros de mercurio, por tanto, resulta conveniente recordar la siguiente equivalencia:

1 mm de Hg = 2133.2 /N m

O bien:

1 cm de Hg = 21332 /N m

188

4-5-1 Barómetro de mercurio, experimento de Torricelli

La presión atmosférica no puede calcularse fácilmente, pero sí medirse utilizando un barómetro, instrumento que sirve para determinar experimentalmente la presión atmosférica. Evangelista Torricelli (1608-1647) fue el primero en idear un barómetro de mercurio (fig. 12-5); para ello, llenó de mercurio un tubo de vidrio de casi un metro de longitud cerrado por un extremo, tapó con su dedo el extremo abierto, invirtió el tubo y lo introdujo en la superficie del mercurio contenido en una cuba. Al retirar su dedo observó que el líquido descendía del tubo hasta alcanzar un equilibrio a una altura de 76 cm sobre la superficie del mercurio. La fuerza que equilibra e impide, el descenso de la columna de mercurio del tubo, es la ejerce la presión atmosférica sobre la superficie libre del mercurio, y es la misma que recibe el tubo de vidrio por su extremo abierto.

Fig. 4-5

Experimento de Torricelli para medir la presión atmosférica con un barómetro de mercurio.

4.6 Presión manométrica y presión absoluta

Un líquido contenido en un recipiente abierto, además de la presión originada por su peso, soporta la presión atmosférica, la cual se transmite uniformemente por todo el volumen del líquido. En el caso de un líquido encerrado en un recipiente, además de la presión atmosférica puede recibir otra presión causada por su calentamiento, tal como sucede en las autoclaves que contienen un fluido bajo presión y se emplean como esterilizadores en clínicas y hospitales; también es común detectar la presión en las calderas de vapor, o la presión en las llantas de los vehículos como resultado del aire comprimido. La presión diferente a la atmosférica recibe el nombre de presión manométrica. De donde la Presión absoluta que soporta el fluido encerrado es igual a la suma de las presiones manométrica y atmosférica.

Los dispositivos para medir la presión manométrica se llaman manómetros. La presión manométrica es igual a la diferencia entre la presión absoluta del interior del recipiente y la presión atmosférica.

189

Presión absoluta = presión manométrica + presión atmosférica

Presión manométrica = presión absoluta – presión atmosférica

Un manómetro de uso extenso es el de tubo abierto o manómetro de líquido el cual tiene una forma de U; generalmente contiene mercurio pero si se requiere alta sensibilidad puede contener agua o alcohol. Se utiliza para medir la presión en calderas, autoclaves, tanque de gas o cualquier recipiente de presión. Para ello, un extremo de tubo se conecta al recipiente de referencia para medir la presión; el gas o vapor ejerce una presión que hace subir el mercurio por el extremo abierto, hasta igualar las presiones (ambiental, o del gas o vapor). La diferencia entre los dos niveles determina la presión manométrica, a la cual debe agregarse la atmosférica si se desea conocer la presión absoluta del interior del recipiente (fig. 4-6).

Fig. 4-6

La diferencia de alturas h determina la presión manométrica del recipiente, medida en mm de Hg, o bien, en cm de Hg.

Otro tipo de manómetro muy empleado es el metálico, de tubo o de Bourdón, que funciona sin líquido; está constituido por un tubo elástico, en forma de espiral, cerrado por un extremo y por el otro recibe la presión que se desea medir, ésta distiende el tubito y su deformación elástica es transmitida a una aguja que giraba sobre una circunferencia graduada.

190

Ejemplo No.3

Para medir la presión manométrica del interior de un cilindro se utilizó un manómetro de tubo abierto. Al medir la diferencia entre los dos niveles de mercurio se encontró un valor de 15 cm. de Hg. Determinar la presión absoluta que hay dentro del cilindro en:

a) mm de Hg ; b) cm de Hg y c) 2/N m . Considere la presión atmosférica 586 mm de Hg.

Solución:

a) 150 586 736absP mmHg mmHg mmHg= + =

b) 73.6absP cmHg=

c) 2

21332 /73.6 98035.2 /1abs

N mP cmHg N mcmHg

= × =

4.7 Principio de Pascal

Sabemos que un líquido produce una presión hidrostática debido a su peso, pero si el líquido se encierra herméticamente dentro de un recipiente puede aplicársele otra presión utilizando un émbolo; dicha presión se transmitirá íntegramente a todos los puntos del líquido. Esto se explica si recordamos que los líquidos, a diferencia de los gases y sólidos, son prácticamente incomprensibles. Esta observación fue hecha por el físico francés Blaise Pascal (1623-1662), quien enunció el siguiente principio que lleva su nombre:

Toda presión que se ejerce sobre un líquido encerrado en un recipiente se transmite con la misma intensidad a todos los puntos del líquido y a las paredes del recipiente que lo contiene.

El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una esfera hueca, perforada en diferentes lugares y provista de un émbolo. Al llenar la esfera con agua y ejercer presión sobre ella mediante el émbolo, se observa que el agua sale por todos los agujeros con la misma presión (fig- 4-7).

191

Jeringa de Pascal. Con ella se observa que la presión recibida por un líquido se transmite en todas direcciones.

La prensa hidráulica es una de las aplicaciones del principio de Pascal. Consta esencialmente de dos cilindros de diferente diámetro, cada una con su respectivo émbolo, unidos por medio de un tubo de comunicación. Se llenan de líquido el tubo y los cilindros, y al aplicar una fuerza en el émbolo de menor tamaño la presión que genera se transmite íntegramente al émbolo mayor. Al penetrar el líquido en el cilindro mayor, que está unido a una plataforma, empuja el émbolo hacia arriba.

Con este dispositivo, si una fuerza pequeña actúa sobre el émbolo menor produce una gran fuerza sobre el émbolo mayor.( fig. 4-8).

Fig. 4-8

La presión en el émbolo menor es la misma que en el émbolo mayor:

F fA a=

192

La presión en el émbolo menor está dada por la relación fa

, y en el émbolo mayor FA . De

acuerdo con el principio de Pascal ambas presiones son iguales, por tanto, la fórmula para la prensa hidráulica es.

F fA a=

Donde: F = fuerza obtenida en el émbolo mayor

A = Área en el émbolo mayor

f = Fuerza obtenida en el émbolo menor

a = Área en el émbolo menor

4.8Aplicaciones en la vida cotidiana de la prensa hidráulica.

La prensa hidráulica se utiliza en las estaciones de servicio, para levantar automóviles; en la industria, para comprimir algodón o tabaco; para extraer aceites de algunas semillas o jugos de algunas frutas. Los frenos hidráulicos de los automóviles también se basan en el principio de Pascal. Cuando se pisa el freno, el líquido del cilindro maestro transmite la presión recibida a los cilindros de cada rueda, mismos que abren las balatas para detener el giro de las ruedas.

193

Ejemplo 4

¿Qué fuerza se obtendrá en el émbolo mayor de una prensa hidráulica cuya área es de 2100cm , cuando en el émbolo menor de área igual a 215cm se aplica una fuerza de 200N?

Datos: 2 2100 , 15 , 200A cm a cm f N= = =

Fórmula: F fA a= que al despejar queda fAF

a=

2

2

200 100 1333.3315N cmF N

cm×

= =

Ejemplo 5

Calcular la fuerza que se obtendrá en el émbolo mayor de una prensa hidráulica de un diámetro de 20 cm, si en el émbolo menor de 8 cm se ejerce una fuerza de 150 N.

Datos: F = ?

D = 20 cm Como el área de la circunferencia es 2rπ la fórmula queda;

d = 8 cm

150f N= 2

2

150 (10 ) 937.5(4 )

fA N cmF Na cm

ππ×

= = =

194

Ejemplo 6

Calcular el diámetro que debe tener un émbolo mayor de una prensa hidráulica para obtener una fuerza de 200 N, cuando el émbolo menor tiene un diámetro de 10 cm y se aplica una fuerza de 100 N.

Fórmula : F fA a= ; como 2a rπ= la fórmula queda;

2 2

F fR rπ π

= que al despejar R nos da;

2 2F r FrR

f fππ

= = , sustituyendo los valores dados,

22000 (5 ) 22.36

100N cmR cm

N= = . El diámetro es 2(22.36 ) 44.72cm cm=

195

4.9 Principio de Arquímedes y flotación de los cuerpos.

Cuando un cuerpo se sumerge en un líquido se observa que éste ejerce una presión vertical ascendente sobre él (fig. 12-10). Lo anterior se comprueba al introducir un trozo de madera en agua; la madera es empujada hacia arriba, por ello se debe ejercer una fuerza hacia abajo si se desea mantenerla sumergida. De igual forma, hemos notado que al introducirnos en una alberca sentimos una aparente pérdida de peso a medida que nos aproximamos a la parte más onda, comenzando a flotar debido al empuje recibido por el agua.

Fig. 4.9

Cuando la pelota se introduce en un líquido éste ejerce una presión vertical ascendente sobre la pelota, por lo que se requiere ejercer una fuerza hacia abajo sobre ella para mantenerla sumergida.

En un cuerpo totalmente sumergido en un líquido, todos los puntos de su superficie reciben una presión hidrostática, que es mayor conforme aumenta la profundidad de un punto. Las presiones ejercidas sobre las caras laterales opuestas del cuerpo se neutralizan mutuamente, sin embargo, está sujeto a otras dos fuerzas opuestas: su peso que lo empuja hacia abajo y el impulso del líquido que lo empuja hacia arriba.

196

De acuerdo con la magnitud de estas dos fuerzas tendremos los siguientes casos:

1. Si el peso de un cuerpo es menor al empuje que recibe, flota porque desaloja menor cantidad de líquido que su volumen (fig. 12-11a).

2. Si el peso del cuerpo es igual al empuje que recibe, permanecerá en equilibrio, es decir, sumergido dentro del líquido (fig. 4-11b).

3. Si el peso del cuerpo es mayor que el empuje, se hunde, sufriendo una disminución aparente de peso (fig. 4-11c).

Fig. 4-11

Flotación o hundimiento de un cuerpo en función de su peso y el empuje que recibe

Alguna vez nos habremos preguntado cómo es posible que flote un barco se está construido con algunos materiales de mayor densidad que el agua y, por si fuera poco, llenos de gente, muebles, automóviles, alimentos y muchas otras cosas más. Para explicarnos esto analicemos lo que pasa a una lámina de acero extendida sobre un estanque lleno de agua; evidentemente la lámina se hunde, pues su densidad es mayor que la del agua. Pero ¿qué pasará si la doblamos en forma de caja y la sumergimos nuevamente en el estanque?, quizá con sorpresa veamos que flota. Esto sucede porque al dividir la masa de la lámina entre el volumen de agua que desaloja, obtenemos la densidad promedio de la lámina, valor inferior a la densidad del agua.

197

Para que el cuerpo flote en cualquier fluido, su densidad promedio debe ser menor a la del fluido.

El empuje que recibe un cuerpo sumergido en un líquido se determina multiplicando el peso específico del líquido por el volumen desalojado de éste:

E DV= , o tomando en cuenta la densidad del líquido E gVρ=

Algunas aplicaciones del principio de Arquímedes son flotación de barcos, submarinos, salvavidas, densímetros o en los flotadores de las cajas de los inodoros.

Ejemplo 7

Un cubo de acero de 20 cm de arista se sumerge totalmente en agua. Si tiene un peso de 564.48 N, calcular:

a) ¿Qué empuje recibe? b) ¿Cuál será el peso aparente del cubo?

Datos: Fórmulas

20 0.2l cm m= = 3cuboV l=

Peso del cubo = 564.48 N E DV=

Peso específico del agua = D = 39800 /N m aparente realW W E= −

Solución a)

2

3 3, (0.2) 0.008cubo H O desalojadaV V m= = =

3 39800 / 0.008 78.4E DV N m m N= = × =

Solución b)

198

EJERCICIOS

1. 1500 kg de plomo ocupan un volumen de 30.13274m . ¿Cuánto vale su densidad?

R : 311300 /kg mρ =

2. ¿Cuál es la masa y el peso de 10 litros de mercurio? Dato: 313600 /Hg kg mρ =

R: 136 , 1332.8m kg W N= =

3. Calcular el peso específico del oro, cuya densidad es de 319300 /kg m

R: 3189140 /D N m=

4. ¿Qué volumen en metros cúbicos y litros ocuparán 1000 kg de alcohol con una densidad de 3790 / ?kg m

R: 31.266 1266V m= = litros

5. ¿Cuál es la presión que se aplica sobre un líquido encerrado en un tanque, por medio de un pistón que tiene un área de 20.02m y aplica una fuerza de 100 N?

R: 25000 /P N m=

6. Calcular el área sobre la cual debe aplicarse una fuerza de 150 N para que exista una presión de 22000 / .N m

R: 20.075A m=

199

7. Determine la presión hidrostática que existirá en una prensa hidráulica a una profundidad de 3 y 6 m, respectivamente. Dato:

2

31000 /H O kg mρ =

R: 2 2,3 ,629400 / ; 58800 /h m h mP N m P N m= =

8. ¿Cuál será la presión hidrostática en el fondo de un barril que tiene 0.9 m de profundidad y está lleno de gasolina cuya densidad es 3680 / ?kg m

R: 25997.6 /hP N m=

9. Determine a que profundidad está sumergido un buceador en el mar, si soporta una presión hidrostática de 2399840 / .N m Dato:

2

3, 1020 /H O mar kg mρ =

R: 40h m=

10. Al medir la presión manométrica con un manómetro de tubo abierto se registró una diferencia de alturas de 7 cm de Hg. Cuál es el valor de la presión absoluta en:

a) mm de Hg; b) cm de Hg; c) 2/N m

R: 2) 830 ; )83 ; )110556 /absa P mmHg b cmHg c N m=

11. ¿A que altura máxima llegará el agua al ser bombeada a través de una tubería con una presión de 5 24 10 / ?N m× Dato: 31000 /agua kg mρ =

200

R: 40.8h m=

12. Calcular la fuerza que se aplica en el émbolo menor de una prensa hidráulica de 210cm de área, si en el émbolo mayor con un área de 2150cm se produce una fuerza de 10500N.

R: 700f N=

13. ¿Cuál será la fuerza que se producirá en el émbolo mayor de una prensa hidráulica, cuyo diámetro es 40 cm, si en el émbolo menor de 12 cm de diámetro se ejerce una fuerza de 250 N?

R: F = 2777.77 N

14. Calcular el diámetro del émbolo menor de una prensa hidráulica, para que con una fuerza de 400 N se produzca en el émbolo mayor, cuyo diámetro es de 50 cm, una fuerza de 4500 N.

R: d = 14.9 cm

15. Un prisma rectangular de cobre, de base igual a 236cm y una altura de 10 cm, se sumerge hasta la mitad, por medio de un alambre, en un recipiente que contiene alcohol.

a) ¿Qué volumen de alcohol se desaloja?

b) ¿Qué empuje recibe?

c) ¿ Cuál es el peso aparente del prisma debido al empuje, si su peso real es de 31.36N?

Dato: 3790 /alcohol kg mρ =

R: a) 3180desalojdaV cm=

b) 1.39E N=

c) Peso aparente = 29.97 N

201


ELEVAR CUERPOS DE PESO CONSIDERABLE , SOPLANDO.

Objetivos. 1.- Comprobar el principio de Pascal.. 2.- Demostrar que con un esfuerzo pequeño, se pueden levantar cuerpos de peso considerable. Material.- Bolsa. (Puede servir una de basura o similar). Libros. (Se puede utilizar también un bloque de madera o unas tablas

Desarrollo.- Se coloca encima de una mesa la bolsa de basura y sobre ella unos libros apilados. Se coge con las manos el extremo abierto de la bolsa, hasta reducirlo a una pequeña apertura. Si ahora soplamos por esa pequeña apertura, con un esfuerzo mínimo, conseguiremos levantar los libros, que tienen un peso mucho mayor que el esfuerzo que estamos realizando al soplar. El hecho se debe a que la presión (P1) que se ejerce al soplar sobre la pequeña apertura, se transmite a la bolsa, (P2) de superficie mucho mayor, y por tanto la fuerza que la bolsa realiza sobre los libros, es también mucho mayor que la que hacemos al soplar. Conclusiones.- Este hecho explica el funcionamiento de los gatos hidráulicos, que se emplean para elevar automóviles. También explica el funcionamiento de los frenos hidráulicos de los automóviles.

202


¿Flota o se hunde?

Material necesario

3 vasos grandes un huevo agua sal

Procedimiento

Llena dos vasos con agua Añádele a uno de ellos sal poco a poco. Revolviendo con

una cuchara, trata de disolver la mayor cantidad posible. En un vaso de 200 cm3 se pueden disolver unos 70 g de sal.

Coloca el huevo en el vaso que tiene solo agua : se irá al fondo.

Colócalo ahora en el vaso en el que has disuelto la sal : observarás como queda flotando.

Pon el huevo y agua hasta que lo cubra y un poco más, en el tercer vaso. Añade agua con sal, de la que ya tienes, hasta que consigas que el huevo quede entre dos aguas(ni flota ni se hunde).

Si añades en este momento un poco de agua, observarás que se hunde. Si a continuación añades un poco del agua salada, lo verás flotar de nuevo. Si vuelves añadir agua,

otra vez se hundirá y así sucesivamente.

203

Explicación Sobre el huevo actúan dos fuerzas, su peso (la fuerza con que lo atrae la Tierra) y el empuje (la fuerza que hace hacia arriba el agua). Si el peso es mayor que el empuje, el huevo se hunde. En caso contrario flota y si son iguales, queda entre dos aguas. El empuje que sufre un cuerpo en un líquido, depende de tres factores :

La densidad del líquido El volumen del cuerpo que se encuentra sumergido La gravedad

Al añadir sal al agua, conseguimos un líquido mas denso que el agua pura, lo que hace que el empuje que sufre el huevo sea mayor y supere el peso del huevo: el huevo flota. Así también se puede explicar el hecho de que sea más fácil flotar en el agua del mar que en el agua de ríos y piscinas.

HIDRODINÁMICA

Flujo laminar y turbulento de un fluido en su trayectoria

204

En la figura 4-1 se muestran las líneas de corriente de flujo de aire que pasan por dos obstáculos estacionarios. Adviértase que las líneas de corriente se rompen cuando el aire pasa sobre el segundo obstáculo originando remolinos. Estos pequeños remolinos representan flujo turbulento y absorben mucha de la energía del fluido, incrementándose el arrastre por rozamiento a través del mismo.

Asimismo se considerará que los fluidos son incomprensibles y que no presentan un rozamiento interno apreciable. En estas condiciones, pueden hacerse ciertas predicciones acerca de la velocidad del flujo del fluido a lo largo de una tubería u otro recipiente.

El gasto se define como el volumen de fluido que pasa a través de cierta sección transversal en la unidad de tiempo. Matemáticamente se expresa:

VGt

=

En el capítulo anterior se estudiaron las propiedades de los fluidos en reposo. Los trabajos de Arquímedes, Pascal y Newton contribuyeron enormemente al conocimiento de los fluidos que actualmente se tiene. Por desgracia, las dificultades matemáticas que se encuentran cuando se trabaja con fluidos en movimiento son enormes. No obstante, los aspectos fundamentales del flujo de fluidos pueden analizarse si se establecen ciertas hipótesis y generalizaciones. Este capítulo dará algunas nociones y conocimientos de la mecánica de fluidos en movimiento.

205

Flujo y gasto en los fluidos

Al estudiar la dinámica de los fluidos, se supondrá que todos los fluidos en movimiento exhiben un flujo laminar.

Fig. 13-1

Ejemplo 1

Para llenar un tanque de almacenamiento de gasolina se envió un gasto de 30.1 /m s durante un tiempo de 200 segundos. ¿Qué volumen tiene el tanque?

Solución: Sabemos que VGt

= , que al despejar V nos da:

3 3(0.1 / )(200 ) 20V Gt m s s m= = =

La expresión matemática para el gasto también se puede expresar en otros términos.

Figura 4-12

Cálculo de la velocidad de un fluido por un tubo.

206

Considérese el flujo de un líquido a través del tubo de la figura 13-2 con una velocidad media v . Durante un intervalo de tiempo t , cada partícula en la corriente se mueve una distancia vt . El volumen V que fluye a través de la sección transversal A se obtiene mediante la siguiente expresión

V Avt=

De este modo, el gasto (volumen por unidad de tiempo) puede calcularse de

AvtG vAt

= =

secGasto velocidad ción= × transversal

Las unidades de G expresan la razón de una unidad de volumen respecto a una unidad de tiempo. Ejemplos comunes son metros cúbicos por segundo, litros por segundo, pies cúbicos por segundo y galones por minuto.

Si el fluido es incomprensible y se ignoran los efectos del rozamiento interno, el gasto G permanecerá constante. Éste significa que la variación transversal del tubo, como se muestra en la figura 13-3, dará como resultado un cambio en la velocidad del líquido, de modo que el producto vA permanecerá constante. Esto se puede escribir simbólicamente como

1 1 2 2G v A v A= =

Fig 4-13

En el flujo laminar, el producto de la velocidad del fluido por el área de la sección

transversal del tubo es constante en cualquier punto.

207

Un líquido fluirá con más rapidez a través de una sección estrecha del tubo y más lentamente a través de secciones más amplias. Este es el principio que hace que el agua fluya más rápidamente cuando las márgenes de una corriente se juntan.

Ejemplo 2

El agua fluye a través de una manguera de hule con un diámetro de 3 cm con una rapidez de 2 m/s. a) ¿Qué diámetro debe tener el chorro si el agua sale con una velocidad de 4 m/s? b) ¿Cuál es el gasto en litros por minuto?

Solución a) Datos: 1 3 0.03d cm m= = ∴ 1 0.015r m=

1 2 /v m s=

2 4 /v m s=

El gasto es constante, así que 1 1 2 2Av A v= ;

Al despejar 2A tenemos 1 12

2

A vAv

=

Sabemos también que el área de una sección circular es 2A rπ= , por lo tanto

2 2

21 12 2

2

( 0 .0 1 5 ) ( 2 / ) 0 .0 0 0 1 7 6( 4 / )

A v m m sA mv m s

π= = =

2 22 2 0 .0 0 0 1 7 6A r mπ= =

2

20 .0 0 0 1 7 6 0 .0 0 7 4 8mr m

π= =

208

Por lo tanto, el diámetro del chorro de agua a la salida de la manguera es:

2 0.00748 2 0.0149 1.49d m cm= × = =

Solución b) El gasto será 3

21 1 (0.015 ) (2 / ) 0.0014 mG Av m m s

sπ= = =

El gasto en / minlt es 3

3

1000 600.0014 841 1min min

m lt s lts m× × =

13.2 Presión y velocidad

Se ha indicado que la velocidad del fluido aumenta cuando éste fluye a través de una constricción. Sólo es posible lograr un aumento de velocidad cuando se tiene una fuerza que provoque una aceleración.

A fin de acelerar el líquido cuando entre por la constricción, la fuerza de empuje de la sección transversal grande debe ser mayor que la fuerza de resistencia de la constricción. En otras palabras, la presión en los puntos A y C en la figura 13-4 debe ser mayor que la presión en B. Los tubos insertados en la tubería arriba de estos puntos indican claramente la diferencia de presión. El nivel del fluido en el tubo que está sobre la constricción es menor que el nivel en las áreas adyacentes.

Fig 13-4

Un incremento de la velocidad del fluido que fluye a través de una constricción

indica una caída de presión.

209

Si h es la diferencia de altura, la diferencia en presión es dada por

A BP P ghρ− =

Esto supone que el tubo está horizontal y que no hay cambio de presiones debido a una modificación en la energía potencial.

El ejemplo anterior, como se muestra en la figura 13-4, muestra el principio del medidor Venturi. A partir de una determinación de la diferencia de presiones, es posible calcular la velocidad del agua en un tubo horizontal con este dispositivo.

El efecto Ventura permite descubrir otras aplicaciones tanto para líquidos como para gases. El carburador de un automóvil emplea el principio de Ventura para mezclar vapor de gasolina y aire. El aire, al pasar por una constricción en su camino a los cilindros, origina un área de baja presión a medida que aumenta su velocidad. La disminución de presión se usa para enviar combustible a la columna de aire, en donde es rápidamente vaporizada.

En la figura la figura 13-5 se muestran dos métodos que pueden emplearse para demostrar la disminución de presión a causa del incremento de la velocidad. El ejemplo más simple consiste en insuflar aire en el extremo superior de la superficie de una hoja de papel, como se muestra en la figura 13-5a. La presión de la corriente de aire arriba del papel se reducirá. Esto permite que el exceso de presión en la parte inferior empuje el papel hacia arriba.

Figura 13-5

Una segunda demostración requiere un carrete, un disco de cartulina y un alfiler (fig. 13-5b). El alfiler se pasa a través del disco de cartulina y se coloca en uno de los extremos del carrete, como

210

se muestra en la figura. Si se sopla a través del extremo abierto se podrá ver que el disco se adherirá más al otro extremo, cuando se debería esperar que el disco de cartulina se despegara inmediatamente. La explicación es que el aire soplado en el orificio debe escapar a través de un espacio estrecho entre el disco y el extremo del carrete. Esta acción crea un área de baja presión, lo que permite que la presión atmosférica externa empuje al disco contra el carrete.

13.3 Ecuación de Bernoulli

En el estudio de fluidos se hace hincapié en cuatro cantidades: la presión P , la densidad ρ , la velocidad v , y la altura h por arriba del nivel de referencia. La relación entre estas cantidades y su capacidad para describir el movimiento de los fluidos fue establecida por el matemático suizo Daniel Bernoulli (1700-1782). Los pasos que se siguen para desarrollar esta relación fundamental pueden comprenderse mejor considerando la figura 13-6.

Figura 13-6

Deducción de la ecuación de Bernoulli

Ya que un fluido tiene masa, debe obedecer a las mismas leyes de conservación establecidas anteriormente para los sólidos. En consecuencia, el trabajo necesario para mover cierto volumen de fluido a través de un tubo debe ser igual al cambio total en energía cinética y potencial. Considérese el trabajo requerido para mover el fluido de un punto a a uno b en la figura 13-6a. El trabajo neto debe ser la suma del trabajo realizado por la fuerza de entrada 1F y el trabajo negativo

efectuado por la fuerza de resistencia 2F .

211

Trabajo neto 1 1 2 2F s F s= − (En esta demostración s representa el desplazamiento del fluido en la tubería).

Pero 1 1 1F P A= y 2 2 2F P A= , así que

Trabajo neto = 1 1 1 2 2 2P A s P A s−

El producto del área por la distancia representa el volumen V del fluido movido a través del tubo. Puesto que este volumen es el mismo en la parte inferior y en la parte superior del tubo, puede sustituirse

1 1 2 2V A s A s= =

Obteniéndose

Trabajo neto 1 2 1 2( )PV PV P P V= − = −

La energía cinética CE de un fluido se define como 212

mv , donde m es la masa del fluido y v

es su velocidad. Ya que la masa permanece constante, un cambio en la energía cinética CEΔ es el resultado solamente de la diferencia de la velocidad del fluido. En el ejemplo, el cambio de la energía cinética es

2 22 1

1 12 2CE mv mvΔ = −

La energía potencial del fluido a una altura h por arriba de un punto de referencia se define como mgh , donde mg representa el peso del fluido. El volumen del fluido desplazado a lo largo del tubo es constante. De esta manera, el cambio de la energía potencial PEΔ resulta del incremento

en altura del fluido de 1h a 2h :

212

2 1PE mgh mghΔ = −

Ya se está en condiciones de aplicar el principio de la condición de la energía. El trabajo neto realizado sobre el sistema debe ser igual a la suma de los incrementos de energía cinética y potencial. De modo que

Trabajo neto C PE E= Δ + Δ

( )2 21 2 2 1 2 1

1 1( )2 2

P P V mv mv mgh mgh⎛ ⎞− = − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

Si la densidad del fluido es ρ , puede sustituirse /V m ρ= , dando

( )2 21 2 2 1 2 1

1 1( )2 2

mP P mv mv mgh mghρ

⎛ ⎞− = − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

Si se multiplica por / mρ y se reordena, se obtiene la ecuación de Bernoulli.

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2

P gh v P gh vρ ρ ρ ρ+ + = + +

Puesto que los subíndices 1 y 2 se refieren a dos puntos cualesquiera, la ecuación de Bernoulli puede establecerse en forma más simple como

21 tan2

P gh v cons teρ ρ+ + =

213

La ecuación de Bernoulli tiene aplicación en casi cualquier aspecto relacionado con el flujo de fluidos. La presión P debe reconocerse como la presión absoluta y no como la presión manométrica. Recuérdese que ρ es la densidad de masa y no el peso específico del fluido.

Adviértase que las unidades de cada uno de los términos en la ecuación de Bernoulli son unidades de presión.

13.4 Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli

En muchas situaciones físicas, la velocidad, altura o presión de un fluido son constantes. En tales casos, la ecuación de Bernoulli se satisface en una forma más simple. Por ejemplo, cuando un líquido es estacionario, tanto 1v como 2v son 0. De la ecuación de Bernoulli puede demostrarse que la diferencia de presión es

2 1 2 1( )P P g h hρ− = −

Esta ecuación es idéntica a la relación estudiada en el capítulo anterior para fluidos en reposo.

Otro resultado importante se encuentra cuando no hay cambio en la presión 1 2( ).P P= En la figura 13-7 un líquido sale de un agujero u orificio, cerca del fondo de un recipiente abierto. La velocidad con la que sale el fluido del orificio puede determinarse a partir de la ecuación de Bernoulli. En lo que sigue se supondrá que el nivel del líquido en el recipiente decae lentamente al compararlo con la velocidad de salida, así que la velocidad 2v en el extremo superior puede considerarse cero.

Fig. 4-7

214

Teorema de Torricelli

Además se observa que la presión del líquido, tanto en el extremo superior como en el orificio, es igual a la presión atmosférica. O sea que 1 2( )P P= y 2 0,v = reduciéndose la ecuación de Bernoulli a

21 1 2

12

gh v ghρ ρ ρ+ =

O sea

21 2 12 ( ) 2v g h h gh= − =

Esta relación se conoce como teorema de Torricelli:

2v gh=

Obsérvese que la velocidad de salida de un líquido a una profundidad h es la misma que la de un objeto que deja de estar en reposo desde una altura h .

La velocidad o gasto con la cual un líquido fluye desde un orificio está dada por vA . La relación de Torricelli permite expresar la velocidad en términos de la altura de un líquido por arriba del orificio. Por tanto

2G vA A gh= =

Ejemplo 3

Una hendidura en un recipiente de agua tiene un área de sección transversal de 1 2cm . ¿Con qué velocidad fluye el agua del tanque si el nivel del agua en el mismo está 4 m por encima de la abertura?

Solución: El área 2 4 21 1 10A cm m−= = × y la altura 4h m= . Mediante una sustitución directa se obtiene

215

4 2 2 4 32 (1 10 ) (2)(9.8 / )(4 ) 8.85 10 /G A gh m m s m m s− −= = × = ×

La velocidad de descarga aumenta con la profundidad por debajo de la superficie libre, pero el alcance es máximo en el punto medio.

Fig. 4.18

Un ejemplo interesante que demuestra el principio de Torricelli se muestra en la figura 4-18. La velocidad de descarga aumenta con la profundidad. Adviértase que el alcance máximo ocurre cuando la abertura está en medio de columna de agua. Aunque la velocidad de descarga aumenta abaja del punto medio, el agua golpea el piso más cerca. Esto sucede porque llega a él más rápidamente. Perforaciones equidistantes por arriba y abajo del punto medio tendrán el mismo alcance horizontal.

Como una aplicación final, considérese el efecto Venturi, que describe el movimiento de un fluido a través de una constricción. Si el tubo de la figura 13-9 es horizontal, puede establecerse que 1 2( )h h= en la ecuación de Bernoulli, para obtener

2 21 1 2 2

1 12 2

P v P vρ ρ+ = +

216

Ya que 1v es mayor que 2v , se deduce que la presión 1P debe ser menor que la presión 2P como lo estudiamos anteriormente.

Ejemplo 4

El agua que inicialmente fluye a 10 pies/s pasa por un tubo de Venturi como se muestra en la figura 4.19. Si 4 lgh pu= , ¿cuál es la velocidad del agua en la constricción?

Fig. 4.19

Flujo de un fluido por una constricción en un tubo horizontal

Solución: Al iniciar esta sección estudiamos que la diferencia de presión entre las dos secciones es,

2 1P P ghρ− =

por otra parte tenemos que para el efecto Venturi, la ecuación de Bernoulli se transforma en,

2 21 1 2 2

1 12 2

P v P vρ ρ+ = +

que al reordenar términos llegamos a,

2 22 1 1 2

1 12 2

P P v vρ ρ− = −

217

si se combinan las ecuaciones anteriores, se obtiene

2 21 2

1 12 2

gh v vρ ρ ρ= −

Multiplicando ambos miembros por 2 / ρ se obtiene,

2 21 22gh v v= −

Nótese que esta relación es similar a la de un cuerpo en caída libre con una velocidad inicial 2v . Si

se resuelve para 21v , se tiene

2 21 22v gh v= +

Como 4 lg 0.333h pu pies= = , al sustituir valores da,

2 2 2 2 21 (2)(32 / )(0.333 ) (10 / ) 121.3 /v pies s pies pies s pies s= + =

Por lo tanto, la velocidad en la constricción es 1 121.3 11 /v pies s= =

EJERCICIOS

1. Calcular el gasto de agua por una tubería al circular 31.5m en ¼ de minuto.

Respuesta: 30.1 /m s

218

2. Calcular el tiempo que tardará en llenarse un tanque cuya capacidad es de 310m al suministrarle un gasto de 40 /lt s .

Respuesta: 250 segundos

3. Calcular el gasto de agua por una tubería de diámetro igual a 5.08 cm, cuando la velocidad del líquido es de 4 m/s.


4. Determine el gasto de petróleo crudo que circula por una tubería de área igual a 20.05m de su sección transversal y la velocidad del líquido es de 2 m/s.


5. ¿Cuál es el gasto de agua en una tubería que tiene un diámetro de 3.81 cm, cuando la velocidad del líquido es de 1.8 m/s?


6. Calcular el diámetro que debe tener una tubería, para que el gasto sea de 30.02 /m s a una velocidad de 1.5 m/s.

Respuesta: 0.13 m

219

7. Por una tubería de 5.08 cm de diámetro, circula agua a una velocidad de 1.6 m/s. Calcular la velocidad que llevará el agua, al pasar por un estrechamiento de la tubería donde el diámetro es de 4 cm.

Respuesta: 2.58 m/s

8. Por una tubería de 3.81 cm de diámetro circula agua a una velocidad de 3 m/s. En una parte de la tubería hay un estrechamiento y el diámetro es de 2.54 cm, ¿qué velocidad llevará el agua en este punto?

Respuesta: 6.74 m/s

9. ¿Con que velocidad sale un líquido por un orificio que se encuentra a una profundidad de 0.9 m?

Respuesta: 4.2 m/s

10. Determinar la velocidad con la que sale un líquido por un orificio localizado a una profundidad de 2.6 m en un tanque de almacenamiento.

Respuesta: 7.14 m/s

220

11. El agua que fluye inicialmente a 3 m/s pasa por un tubo de Ventura como el que se muestra en la figura 13-9. Si 15h cm= , ¿cuál es la velocidad del agua en la constricción?

Respuesta: 3.45 m/s

221

Instrucciones: Resuelve la siguiente sopa de letras en relación a los temas vistos en clase. ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE NO.6

SOPA DE LETRAS

Y Q V E O T N E 0 N Y E N S A A F O F L U I D O S N L W P D O G L E I D O C A M V A L M E E R V U X S O L I D O S E A N L G O L J V L S I C E T A S S I H I D R O D I N A M I C A I Q O C A D L D E O X C C U M D U N E R H U V E N E S I E N A I C M K G M U M M O D D W A D D A P E A E A Y O A S A E M O O L U C S N I G R S S D Y I Z N H J L T O T M A L P A E D R O P E S O E S P E C I F I C O

Fluidos Elasticidad Volumen Densidad Masa

Empuje Solido Flujo de masa Gasto Liquido

Peso especifico Hidrodinámica

222

BIBLIOGRAFIA:

• Hewitt, Paul G. Física Conceptual. 9a ed., México, Pearson Educación, 2004.

• Pérez Montiel, Héctor. Física 1 para Bachillerato General. 2aed., México, Publicaciones Cultural, 2003.

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• Ávila, Ramón y otros. Física I bachillerato. México, Editorial ST, 2005.

• Lozano, Rafael y Julio López Calvario. Física I. México, Nueva Imagen, 2005.

• TIPPENS, P.E. (2007). “Física, conceptos y aplicaciones”. México: McGraw-Hill Interamericana.

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Cultural, 2003. PAGINAS DE INTERNET.

• http://es.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A1tica

• http://www.fisicanet.com.ar/fisica/f1_cinematica.php

• http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm#uniforme

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