Guía didáctica: Trigonometría - Universidad de los ... · PDF...

Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47

VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS)

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

Guía didáctica: Trigonometría

Curso de Extensión

PARTE B SESIONES 5 - 8

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache.

MATERIAL EN REVISIÓN

Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

CURSO DE EXTENSIÓN

TRIGONOMETRÍA

MODALIDAD: NO PRESENCIAL

DURACIÓN: 5 SEMANAS

FACILITADORES

MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES Horario: 8:30 A.M. – 11:30 A.M.

2:00 P.M. – 5:00 P.M.

CONSULTAS

SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007 SESIONES 1 - 4

SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007

SESIONES 5 - 8


SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007

SESIONES 14 - 16


1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.

Curso Básico de Nivelación en el área de

Trigonometría

Contenidos desarrollados por: Prof. Asdrúbal Canache

Índice Introducción……………………………………………….. i Objetivos…………………………………………………… ii Estrategias………………………………………………….. iv Contenido Programático ………………………………. vi Tema 1 “Preliminares geométricos”

Sesión 1: Preliminares geométricos…………1 Problemas propuestos……………………… 10 Autoevaluación 1…………………………..... 11 Sesión 2: Preliminares geométricos…….….15 Problemas propuestos……………………… 24 Autoevaluación 2…………………………..... 27 Sesión 3: Preliminares geométricos…….….30 Problemas propuestos……………………… 38 Autoevaluación 3…………………………..... 43 Sesión 4: Preliminares geométricos…….….47 Problemas propuestos……………………… 57 Autoevaluación 4…………………………..... 63 Sesión 5: Preliminares geométricos…….….67 Problemas propuestos……………………… 75 Autoevaluación 5…………………………..... 77

Datos de Identificación Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Unidad Académica: Correo electrónico:

Datos de Identificación Profesores del área:

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache

Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.


Tema 2 “Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo”

Sesión 6: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo………………….……... 81 Problemas propuestos……………………… 85 Autoevaluación 6……………………………. 88

Tema 3 “Funciones trigonometrícas en el círculo”

Sesión 7: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……... 92 Problemas propuestos……………………… 98 Autoevaluación 7…………………………….101 Sesión 8: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..104 Problemas propuestos……………………… 124 Autoevaluación 8…………………………….131 Sesión 9: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..134 Problemas propuestos……………………….146 Autoevaluación 9…………………………….149 Sesión 10: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..152 Problemas propuestos……………………….158

Autoevaluación 10…………………………161 Tema 4 “Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios”

Sesión 11: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios………..………..…165 Problemas propuestos……….……………..171 Autoevaluación 11..…………………..…….174 Sesión 12: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…178 Problemas propuestos……………………..183 Autoevaluación 12 …………………..…….187 Sesión 13: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…191 Problemas propuestos……………………..203 Autoevaluación 11 …………………..…….205

Tema 5 “Suma y diferencia de ángulos” Sesión 14: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………208 Problemas propuestos……………….…… 217 Autoevaluación 14……………………… 218 Sesión 15: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………221




Problemas propuestos……………….…… Autoevaluación 15………………………

Tema 6 “Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas”

Sesión 16: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 230 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 16………………………… Sesión 17: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 238 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 17………………………… Sesión 18: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 245 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 18…………………………

Tema 7 “Resolución de triángulos”

Sesión 19: Resolución de triángulos….… 256 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluaión 19…………………………

Sesión 20: Resolución de triángulos….… 261 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 20…………………………

Respuestas a las Autoevaluaciones.

Tema 1 Sesión 1……………………………..…………14

Sesión 2……………………………..………...29 Sesión 3……………………………..………...46

Sesión 4……………………………..…………66 Sesión 5…………………………………….....80

Tema 2 Sesión 6…………………………………..…...91 Tema 3 Sesión 7………………………………………103 Sesión 8…………………………………..…..133 Sesión 9……………………………………....151 Sesión 10…………………………………..…164 Tema 4 Sesión 11………………………………..……177 Sesión 12………………………………..……190 Sesión 13………………………………..……207 Tema 5 Sesión 14………………………………..……220 Sesión 15……………………………………




Tema 6 Sesión 16…………………………………… Sesión 17…………………………………… Sesión 18…………………………………… Tema 7 Sesión 19…………………………………… Sesión 20……………………………………




Introducción

Este curso está orientado hacia la capacitación del

estudiante para el uso de herramientas básicas de

trigonometría. Esta área, como parte de las

matemáticas trata del cálculo de los elementos de los

triángulos planos y esféricos, siendo las funciones

trigonométricas parte fundamental del análisis y del

cálculo desempeñando un importante papel tanto en las

matemáticas puras, como en las aplicadas.

Las asignaturas de las carreras de ingeniería solicitan que los

estudiantes hagan un hábil manejo de conocimientos básicos de

trigonometría, desarrollando destrezas que permitan aplicaciones

prácticas en su quehacer profesional.

El curso de Trigonometría que abarca los temas: Funciones

Trigonométricas, Suma y Diferencia de Ángulos, Identidades

Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones

trigonométricas Inversas, es un curso de nivelación para estudiantes

de nuevo ingreso de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad de

Los Andes.

Objetivos

Objetivo general Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas

básicas de trigonometría.

Objetivos específicos

* Tema 1: Preliminares geométricos

Formular los conceptos básicos de la trigonometría.

* Tema 2: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Aplicar todas las funciones trigonométricas a un triángulo

rectángulo.

* Tema 3: Funciones trigonometrícas en el círculo

Emplear las funciones trigonométricas en el círculo.

* Tema 4: Funciones trigonometrícas de ángulos

suplementarios

Resolver problemas aplicados.




* Tema 5: Suma y diferencia de ángulos

Aplicar las relaciones y operaciones de ángulos en la solución de

problemas.

* Tema 6: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas Formular y aplicar las relaciones trigonométricas.

* Tema 7: Resolución de triángulos

Resolver problemas de triángulos.

Estrategias

Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo,

voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes

satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta

modalidad le permitirá:

1. Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la

comodidad de su domicilio.

2. Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador,

M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C.

están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL

CURSO:

Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas por cada

tema, las cuales abarcan todos los contenidos del curso.

Sesiones: están conformadas por temas que deben leerse, para ser

analizados e interpretados y por actividades que deben realizarse

en un tiempo determinado.

Objetivos: muestran de manera clara los aprendizajes que se

lograrán durante la interacción con cada sesión.

Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los

diferentes temas que comprende cada sesión.

Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que deben

seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y aprendizaje

de cada sesión. Como estudiante podrás descargar y/o revisar los

contenidos en formato PDF, repasar los temas más importantes

(críticos) a través de clases interactivas, realizar ejercicios prácticos

y, al finalizar, podrás realizar una autoevaluación, la que te




permitirá determinar el nivel de aprendizaje obtenido en cada

sesión.

Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas por el

autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y vocabulario

empleado.

Evaluación: contiene un enlace, al que se accede después de

finalizar las actividades de cada unidad. Esta la realizarás cuando te

sientas preparado para presentar la evaluación final.

Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se

encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.

Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:

• Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión

• Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el

transcurso de 10 semanas.

• Leer pausadamente cada sesión de clase

• Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y

verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran

al final de cada unidad

• Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con

la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en

cada sesión de clases

• No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran

al final de la unidad, antes de realizar las mismas.

• Es importante consultar a través del correo electrónico

[email protected] cualquier duda de los temas expuestos.



67 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 5

Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 5


* Manejar los conceptos relacionados con arcos de circunferencia y área de un sector circular.

Actividades

* Leer apuntes sesión 5. * Resolver los ejercicios propuestos de la sesión 5. * Realizar la autoevaluación de la sesión 5.

Recursos

* Apuntes sesión 5. * Ejercicios Propuestos de la sesión 5.

Arcos de circunferencia

1. Circunferencia: es el conjunto de todos los puntos que equidistan

de un punto dado llamado Centro. La distancia del centro O a un

punto cualquiera de la circunferencia es el radio r.

O

A

B

C

r

D E

O

Figura 5.1. Circunferencia

2. Cuerda: es el segmento que une dos puntos de una

circunferencia, en la Figura 5.1. los segmentos DE y CB definen una

cuerda.

3. Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la

circunferencia. El segmento CB en la Figura 5.1 define el diámetro

de la circunferencia, la mitad del diámetro define el radio r.

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache.



Tema 1 / Sesión 5

4. Círculo: es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y

los interiores de la misma, ver Figura 5.2.

r

o

Figura 5.2. Círculo

4.1. Arco de la circunferencia: se refiere a una porción de

circunferencia. Se denota A B , ver Figura 5.3.

O

A

B

C

r

O

Figura 5.3. Arco de circunferencia A B

4.2. Segmento circular: es la región del círculo limitada entre una

cuerda y su arco, ver Figura 5.4.

Figura 5.4. Segmento Circular

4.3. Sector circular: es la región del círculo limitada entre dos radios

y el arco comprendido entre ellos, ver Figura 5.5.

Figura 5.5. Sector circular




Tema 1 / Sesión 5

2. Posiciones de una recta y una circunferencia

2.1. Recta tangente: es la recta que intercepta a la circunferencia

en un solo punto. En la Figura 5.6, la recta L1 es tangente en el punto

P.

2.2. Recta secante: es la recta que intercepta a la circunferencia en

dos puntos. En la Figura 5.6, la recta L2 es secante e intercepta a la

circunferencia en A y B.

2.3. Recta exterior: es la recta que no intercepta a la circunferencia

en ningún punto. En la Figura 5.6, la recta L3 es exterior.

O A

B

L1

L2

L3

P

Figura 5.6. Posiciones de una recta y una circunferencia

Ejemplo 5.1 En la Figura 5.7

45º A

B

O

Figura 5.7 Triángulo AOB

El triángulo AOB es:

a. Solamente rectángulo.

b. Solamente isósceles.

c. Rectángulo escaleno.

d. Rectángulo isósceles.




Tema 1 / Sesión 5

Respuesta:

La respuesta es d) Rectángulo isósceles. Los segmentos OA y OB

tienen igual longitud (radio de la circunferencia), son

perpendiculares y representan los catetos, mientras el segmento AB

representa la hipotenusa de mayor longitud.

3. Longitud de arco de una circunferencia

a. El número π

La razón entre la longitud total L de una circunferencia y su diámetro

es una cantidad constante y esta constante es el número irracional

π, donde:

π = 3.1415926535.......

En la Figura 5.8 se observan dos circunferencias de longitudes L y L’ y

diámetros D y D’ respectivamente. La definición nos dice que:

π==''DL

DL

(1.4.1)

O A B

r

D

r’ D’

O’ A’ B’

L L’


b. Longitud de la circunferencia (L)

Si se tiene una circunferencia de diámetro D y longitud L, de la

definición anterior se tiene que:

π=DL

Luego,

L = π.D (1.4.2)

con D = 2 r se obtiene,




Tema 1 / Sesión 5

L = 2 π r (1.4.3)

Ecuación que nos permite calcular la longitud de una circunferencia

de radio r.

Ejemplo 5.2

Hallar la longitud de una circunferencia cuyo diámetro mide π4

cm.

Solución:

Utilizando la ecuación 1.4.2, se tiene:

L = π.D = π.(π4

) = 4 cm. (Longitud de la circunferencia)

c. Longitud de un arco de circunferencia:

La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la

longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el

valor del radio. El valor de este ángulo es independiente del valor

del radio.

Si θ es el ángulo que describe los arcos S y S’ sobre circunferencias

de radio r y r’, como se muestra en la figura 5.9, se tiene que:

)('

radianesenrS

rS θ== (1.4.4)

θ θ S

r r’ S’

Figura 5.9 Circunferencia

De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco

de circunferencia S; solo basta multiplicar el radio por el ángulo en

radianes.

Longitud de arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] x [Radio

de la circunferencia]

S = θ (en radianes) x r (1.4.5)




Tema 1 / Sesión 5

Si el ángulo θ es dado en grados sexagesimales, se tiene que llevar

a radianes, sabiendo que 2π radianes equivalen a 360º

sexagesimales.

Luego:

X→

→º

2º360θ

π

de donde:

θπθπ180º360

2==X

Sustituyendo en la ecuación 1.4.5:

º180ºθπ rS= (1.4.6)

Ejemplo 5.3 Hallar la longitud de un arco cuya amplitud es de 30º, y que

pertenece a la circunferencia de radio 5 cm.

Solución:

Aquí el ángulo θ es dado en grados sexagesimales, luego utilizando

la ecuación 1.4.6, se obtiene:

cm65S

cm180150

18030.cm5.

º180º

π

ππθπ

=

===o

orS

4. Área de un círculo de radio r

El área de un círculo es igual al producto de � por el cuadrado del

radio.

A = π r2 (1.4.7)

Ejemplo 5.4

Hallar el área de un círculo de radio π2

cm.




Tema 1 / Sesión 5

Solución:

Mediante la ecuación 1.4.7 con r = π2

cm., se tiene:

2

2

2 cm222. =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

ππ

πππ rA

5. Área de un sector circular

La región encerrada entre dos radios y su arco correspondiente

genera un sector circular, y el cual le corresponde también un

ángulo θ (Figura 5.10).

r

r

θ

Figura 5.10. Área de un sector circular

Sabiendo que cuando se recorre un ángulo de 2π radianes (360º),

alrededor de una circunferencia de radio r, el área del círculo

generado es π r2, luego, planteando una regla de tres podemos

determinar el área del sector circular de la Figura 5.10:

Ar

→→

θππ 22




Tema 1 / Sesión 5

Luego, 22

22 θπ

θπ rrA ==

con θ en radianes. (1.4.8)

Si se trabaja con θ en grados sexagesimales se tiene:

º360

2 θπ rA =

con θ en grados. (1.4.9)

Ejemplo 5.5

Hallar el área del sector circular de amplitud 4π

radianes y radio

π2

cm.

Solución:

En el ejemplo se tiene el ángulo θ en radianes, luego, conviene

utilizar la ecuación 1.4.8 con r = π2

cm. para el área del sector

circular:

2

2

2

2

cm41

24

2

24

cm2

2

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==

A

cmθrA

ππ

ππ




Tema 1 / Sesión 5


Sesión 5: Ejercicios propuestos

1. En la figura 5.11, la cuerda BC es la mediatriz del radio OA. Si la

longitud de OA es 2, determine la longitud de la cuerda BC.

O A

B

C

Figura 5.11. Mediatriz del radio 2. En una circunferencia, dos cuerdas perpendiculares AB y CD se

cortan en el punto E, como se indica en la figura 5.12. Si AE = 3;

EB =2; CE =1 y ED =6. Determine la longitud L de la

circunferencia.

A B

C

D

E

Figura 5.12. Circunferencia 3. En la figura 5.13., se tiene un círculo de centro O y radio OA =

OB = OC. Si CT es tangente al círculo en el punto C y el ángulo

OAC mide 30º. ¿Cuánto mide el ángulo BCT, en grados?




Tema 1 / Sesión 5

A B

C

O

T

Figura 5.13. Circulo

4. El área de los triángulos sombreados de la figura 5.14.

representa, con respecto al área total del triángulo equilátero

ABC:

a) 1/3

b) 2/3

c) 1/9

d) 2/3

C

A

B

Figura 5.14. Área de los triángulos




Tema 1 / Sesión 5


Sesión 5

Autoevaluación 5 Pregunta Nº 1 En la siguiente figura 1. el triángulo ABC es equilátero con

AB0=AC=BC= 20 cm. El área del sector MNP es:

Figura 1. Triángulo ABC

a.

b.

c.

d. Pregunta Nº 2 En la figura 2. siguiente OA= 4 cm. El área de la regla sombreada es:

Figura 2. Área

a.

b.

c.

d.



https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize50%282%5Csqrt+%7B3%7D+-+%7B%5Cpi%7D%29+cm%5E%7B2%7D�




https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize4+%28%7B%5Cpi%7D%2B+2%29+cm%5E%7B2%7D�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize4+%28%7B%5Cpi%7D-+2%29+cm%5E%7B2%7D�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize8+%28%7B%5Cpi%7D%2B+2%29+cm%5E%7B2%7D�



Tema 1 / Sesión 5

Pregunta Nº 3 En la siguiente figura 3., se tienen dos circunferencias de igual

diámetro donde 00`= 30 cm. El área de la región sombreada es:

Figura 3. Circunferencias a. b. c. d.

Pregunta Nº 4 En la siguiente figura 4. se tiene dos circunferencias concéntricas de

centro O y radio r1= 2 cm y r2= 4 cm respectivamente. El área de la

región sombreada es:

Figura 4. Circunferencias

a. b. c. d.



https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize300%7B%5Cpi%7D-+450%5Csqrt+%7B2%7D+cm%5E%7B2%7D�




https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize4+%7B%5Cpi%7D+cm%5E%7B2%7D�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize12%7B%5Cpi%7D+cm%5E%7B2%7D�




Tema 1 / Sesión 5

Pregunta Nº 5 En la figura 5. siguiente, el triángulo isósceles ABC está inscrito en una

circunferencia. Si OA = 2cm, el área de la región sombreada es:

Figura 5. Triángulo isósceles a.

b.

c.

d. Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final

de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la

sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión

antes de continuar.



https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize4%28%7B%5Cpi%7D%2B+1%29+cm%5E%7B2%7D�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize2%28%7B%5Cpi%7D-+1%29+cm%5E%7B2%7D�


https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize4%28%7B%5Cpi%7D-+1%29+cm%5E%7B2%7D�


Tema 1 / Sesión 5


Sesión 5

Respuestas de la Autoevaluación 5 Pregunta Nº 1

b. Pregunta Nº 2 d. Pregunta Nº 3 b. Pregunta Nº 4 a.

Pregunta Nº 5 c.






https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize4+%7B%5Cpi%7D+cm%5E%7B2%7D�


81 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 2: Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo

Tema 2 / Sesión 6

Tema 2: Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo

Sesión 6


* Conocer y aplicar el Teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos.

* Aplicar todas las funciones trigonométricas a un triángulo rectángulo.

Actividades

* Leer apuntes sesión 6. * Revisar y practicar los ejemplos resueltos en cada

contenido de la sesión 6. * Resolver los ejercicios propuestos de la sesión 6. * Realizar la autoevaluación de la sesión 6.

Recursos

* Apuntes sesión 6. * Ejercicios Propuestos de la sesión 6.

Introducción

Hay dos formas de enfocar o definir las funciones trigonométricas

seno, coseno, tangente y otras. En la primera forma, las funciones se

definen como cocientes entre dos lados de un triángulo

rectángulo. En la segunda, se definen en términos de un punto

sobre un rayo ó el lado terminal de un ángulo al girar alrededor de

la circunferencia (definición como funciones circulares).

La primera definición se usa generalmente en Navegación y

Astronomía, donde un problema típico consiste en un triángulo

rectángulo donde se conocen tres de sus seis elementos (3 lados y

3 ángulos) y se desean calcular las demás. La segunda definición se

usa en Física, Electrónica, Biología y otras ciencias, donde la

naturaleza periódica de dichas funciones es de gran importancia.

Antes de definir las funciones trigonométricas en un triángulo

rectángulo, se necesita conocer el Teorema de Pitágoras y la

distancia entre dos puntos.




Tema 2 / Sesión 6

1. Teorema de Pitágoras

1.1. Teorema 2.2.1. “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la

longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las

longitudes de los catetos”.

En la Figura 6.1. el triángulo ABC es rectángulo donde:

La longitud del segmento AB = a es un cateto.

La longitud del segmento AC = b es otro cateto, y

La longitud del segmento BC = h es la hipotenusa

Según el teorema:

(2.2.1) 222 bah +=

A B

C

a

b h

Figura 6.1. Triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras

Ejemplo 6.1

Determine la hipotenusa (h) de un triángulo rectángulo – isósceles

sabiendo que un cateto tiene longitud a = 3 cm.

Solución:

• Se tiene un triángulo rectángulo – isósceles, luego sus catetos

tienen igual longitud:

a = b = 3 cm.

• De la ecuación (2.2.1) se tiene que:

22 bah +=




Tema 2 / Sesión 6



• Finalmente:

cm633)3()3(h 22 =+=+=

Ejemplo 6.2

Determine la altura (a) de un triángulo equilátero sabiendo que su

lado tiene longitud L = 10 cm.

Solución:

• En un triángulo equilátero todos sus lados tienen igual longitud,

tal como se muestra en la Figura 6.2.

A B

C

a 10 cm 10 cm

D 5 cm 5 cm

Figura 6.2. Triángulo equilátero

• Trabajando 6.2, y

de la ec

con el triángulo rectángulo ADC de la Figura

uación (2.2.1) se tiene que:

cm35a

7525-100510bha

=

==−=−=

Dados los s A (X1, Y1) y B (X2, Y2) en el plano cartesiano; la

r sta dada por la longitud del

segm

2222

2. Distancia entre dos puntos

distancia ent e los puntos A y B e

punto

ento AB definido entre estos.

X

Y’

O X’

Y

B (X2,Y2)

A (X1,Y1)

X1 X2

Y1

Y2

a = X2 - X1

b = Y2-Y1 d

C


Tema 2 / Sesión 6



Figura 6.3. Triángulo rectángulo

En la Figura 6.3. se han representado los puntos A y B en el plano

cartesiano. Construyendo e ABC tal como se

muestra en la figura, se pu ma de Pitágoras para

l triángulo rectángulo

ede ap r el relica teo

encontrar la distancia d como:

d2 = AC 2 + BC 2 2 = O también, d a2 + b2

De donde, d = 22 ba +

La distancia AC = a = X1X2 − (valor absoluto de la

diferencia de las abscisas).

La distancia BC = b = Y1Y2 − (valor absoluto de la

diferencia de

uego, la distancia entre los puntos A y B se puede escribir como:

las ordenadas).

L

d = 22 Y1)(Y2X1)-(X2 −+ (2.3.1)

.

Dete

l

• s coordenadas del punto A (1,3) se tiene que X1 =1 y Y1=3

• X2=4 y Y2=7.

• tilizando la ecuación (2.3.1) para la distancia, se encuentra

que :

Ejemplo 6 3

rmine la distancia (d) del punto A (1,3) al punto B (4,7)

So ución:

De la

De las coordenadas de

U

l punto B (4,7) se tiene que

525d ==

Los puntos A y B están separados una distancia de 5 unidades.

169433)(71)-(4d 2222 +=+=−+=


Tema 2 / Sesión 6




Sesión 6: Ejercicios pr pu stos o e

1. c es su

n ento BC es:

La cir nferencia de la figura 6.4u . tiene por radio 6 cm. Si O

ce tro, AB = 2 cm y CD ⊥ OA, la lo

a)

ngitud del segm

2 5

b) 5

c) 2

d) 10


. En la fi erd BC es a mediatriz del radio OA de la

circunf = la longitud de BC es:

2 gura 6 a c

erencia. Si OA

.5., l u a l

4 cm,

a)

3 cm

b) 2 3 cm

c) 3 3 cm

d) 4 3 cm


O

B

A

C

D

O

B

C

A


Tema 2 / Sesión 6



3. E del triángulo de la figura 6.6. es:

) 6

c)

d)

4.

ellos. El padre

dispus estamento que el triángulo ABC le

corresp jos, el triángulo CDE al

segund nor de todos. Si AE = 10

Km y C esponde al mayor de los

hijos es:

200 Km2

c) 300 Km2

d) 400 Km2

igura 6.7. División del terreno

5. En la fi el triángulo ABC es rectángulo isósceles con AB

= 2

l área

a) 3

b

8

12

Figura 6.6. Área del triángulo

La figura 6.7. muestra la forma de un terreno y las divisiones que

realizó el padre de tres hijos para repartirlo entre

o en su t

ondiera al omay r de los hi

l triángulo AED al me

D = 30 Km, El área que le corr

o de ellos y e

a) 100 Km2

b)

F

gura 6.8., 2 cm; entonces el área total de la figura es:

2

4

2

8 0 A

D

E

C

B


Tema 2 / Sesión 6



b)

c)

d)

a) 2 + π

1 + 2π

4+ π

4 + 2π

Figura 6.8. Triángulo ABC


Tema 2 / Sesión 6



Tema 2: Funciones Tri Triángulo gonométricas en unRectángulo

Sesión 6

Autoevaluación 6 Pregunta Nº 1 La circunferencia de r radio 10 cm si O es

su centro, AB= 4 cm y

la siguiente figura tiene po

CD OA, la longitud del segmento CD es:

a. b.

c. d.

Pregunta Nº 2

En la siguiente figura, del radio OA de la

circunferencia. Si OA :

la cuerda BC es la media σ

= 8 cm, la longitud de BC es

.

a b. c. d.

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Cperp�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+%7B8%7D+cm+�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+2%5Csqrt+%7B5%7D+cm+�



https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+%5Csqrt+%7B3%7D++cm+�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+2%5Csqrt+%7B3%7D++cm+�




Tema 2 / Sesión 6



Pregunta Nº

El perímetro de

3

l triángulo ABC de la siguiente figura es:

a.

b. . c

d.

Pregunta Nº 4

En el triángulo MNP de la siguiente figura, la longitud de la

hipotenusa AC y el área del ángulo son:

a. b. c. d.

Pregunta Nº 5

En la siguiente figura, el triángulo ABC es rectángulo isósceles es

BC= ; entonces el perímetro del sector ABCA es:

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize2%283%2B%5Csqrt+%7B3%7D+%29+cm�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize4%283%2B%5Csqrt+%7B2%7D%29+cm�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize3%2B%5Csqrt+%7B3%7D+cm�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize3%284%2B%5Csqrt+%7B2%7D%29++cm�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+4+cm+y+10+cm%5E%7B2%7D�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+%5Csqrt+%7B51%7D++cm+y+10+cm%5E%7B2%7D�





Tema 2 / Sesión 6

a.

b.

c.


de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la

sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión

antes de continuar.



https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+%2810%2B5%5Cpi+%29+%5Csqrt+%7B2%7D�



https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+20%2B%2810%2B+5%5Cpi%29%5Csqrt+%7B2%7D+�


Tema 2 / Sesión 6


Sesión 6

Autoevaluación 6 Pregunta Nº 1

c.

Pregunta Nº 2

d. Pregunta Nº 3

d.

Pregunta Nº 4

c.

Pregunta Nº 5

c.





https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize3%284%2B%5Csqrt+%7B2%7D%29++cm�



92 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo

Tema 3 / Sesión 7

Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo

Sesión 7


* Aplicar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, a un triángulo rectángulo.

Actividades

* Leer apuntes sesión 7. * Practicar los problemas resueltos de la sesión 7. * Resolver los ejercicios propuestos correspondientes

a la sesión 7. * Realizar la autoevaluación de la sesión 7.

Recursos

* Apuntes sesión 7. * Ejercicios propuestos sesión 7.

Funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un

triángulo rectángulo

Consideremos el triángulo rectángulo ABC de la Figura 7.1 con los

ángulos agudos α y β.

A B

C

a

b h

α

β


1. Las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente

Las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente se

encuentran definidas a continuación:




Tema 3 / Sesión 7

1.1. Seno: es la razón o relación entre la longitud del cateto opuesto

al ángulo y la hipotenusa. En la Figura 7.1., el seno de los ángulos α y

β se definen como:

hb

hipotenusaánguloalopuestocatetodelLongitudSen ==

αα (2.4.1)

ha

hipotenusaánguloalopuestocatetodelLongitudSen ==

ββ (2.4.2)

1.2. Coseno: es la relación entre la longitud del cateto adyacente al

ángulo y la hipotenusa. En la Figura 7.1., el coseno de los ángulos α y

β se definen como:

ha

hipotenusaaadyacentecatetodelLongitudCos ==

αα (2.4.3)

hb

hipotenusaaadyacentecatetodelLongitudCos ==

ββ (2.4.4)

1.2. Tangente: es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la

longitud del cateto adyacente al ángulo. En la Figura 7.1., la

tangente de los ángulos α y β se definen como:

ab

aadyacentecatetodelLongitudaopuestocatetodelLongitudTag ==

αα

α (2.4.5)

ba

aadyacentecatetodelLongitudaopuestocatetodelLongitudTag ==

ββ

β (2.4.6)

Las potencias n-ésimas de las funciones trigonométricas se denotan

como:

Senn α en lugar de (Sen α)n

Cosn α en lugar de (Cos α)n

Tagn α en lugar de (Tag α)n

Por ejemplo: sen2α, cos3α, tag4α.

Teorema 2.2.1. Si ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto

en A (Figura 7.2.), entonces, para el ángulo agudo β se tiene:

a) Sen2 α + Cos2 α = 1 (2.4.7)

b) Tag α = αα

CosSen

(2.4.8)

Las mismas identidades son válidas para las funciones

trigonométricas del ángulo agudo β.




Tema 3 / Sesión 7

A B

C

a

b h

α

β


Ejemplo 7.1 Demostrar la ecuación 2.4.7 del teorema 2.2.1 Solución

• Consideramos un triángulo rectángulo como el de la figura 7.2.,

y con las ecuaciones (2.4.1) y (2.4.2) obtenemos que:

Sen2 α + Cos2 α = 22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ha

hb

= 2

2

2

2

ha

hb

+

= 2

22

hab +

(2.4.9)

• Como el triángulo ABC es rectángulo con hipotenusa BC = h y

catetos AB = a y AC = b, se sigue del teorema 2.2.1 de Pitágoras

(ecuación 2.2.1) que:

b2 + a2 = h2 (2.4.10)

Sustituyendo la ecuación 2.4.10 en la 2.4.9 vemos que:

Sen2 α + Cos2 α = 2

2

hh

= 1

Esto prueba la ecuación 2.4.7.

Ejemplo 7.2 Demostrar la ecuación 2.4.8 del teorema 2.4.1

Solución

• Si ABC es un triángulo rectángulo como el de la figura 7.2.,

entonces, por definición de la función tangente para el ángulo

α (ecuación 2.4.5) se tiene que:

abTag =α

• Dividiendo el numerador y el denominador entre la hipotenusa

h y utilizando las ecuaciones (2.4.1) y (2.4.2) se obtiene;

αα

αCosSen

hahb

Tag ==




Tema 3 / Sesión 7



Esto prueba la ecuación 2.4.8.

Ejemplo 7.3 Hallar el Cos α y Tag α siendo ABC el triángulo de la figura 7.2., si Sen

α = 21

.

Solución (Primera forma)

• De la ecuación 2.4.7 del teorema 2.4.1 se obtiene:

αα 22 Sen1Cos −=

donde,

αα 2Sen1 Cos −+=

Se toma el signo positivo para el radical pues la función coseno está

definida como el cociente entre las distancias de los lados de un

triángulo, y estas son cantidades positivas.

Luego:

23

43

414

411

211 Cos

2

==−

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=α

• De la ecuación 2.4.8 del teorema 2.4.1:

33

31

23

21

CosSenTag ====

αα

α

Solución (2da. Forma)

El mismo problema se puede resolver utilizando el teorema 2.2.1 de

Pitágoras.

• Como Sen α = 21

= )(

)(hhipotenusa

bánguloalopuestocatetodelLongitud α

Se puede obtener que: b = 1 y h = 2, como se muestra en la figura

7.3.

A B

C

a

b = 1 h = 2

α

β

Figura 7.3. Triángulo


Tema 3 / Sesión 7



• De la ecuación 2.2.1 del Teorema de Pitágoras podemos hallar

la longitud del cateto adyacente a:

22 bha −=

31412a 22 =−=−=

De la ecuación 2.4.3, 23

haCos

la ecuación 2.4.5,

==α

De 31

abTag ==α

Racionalizando, 33Tag =α

Teorema 2.4.2. Si ABC y A’B’C’ son triángulos rectángulos semejantes

A y A’, y ángulo α y α’ en los vértices B y B’

respectivamente, entonces:

os α = Cos α’ y α = Tag α’ (2.4.11)

Demostrar el teorema

ngulos α y α’ en los

vértices B y B’ respectivamente (ver Figura 7.4.)

con ángulos rectos en s

Sen α = Sen α’, C Tag

Ejemplo 7.4

2.4.2

Solución:

• Consideremos dos triángulos rectángulos semejantes con

ángulos rectos en los vértices A y A’, y á

C

A B α

β

B’ A’

C’

α’

β ’

Figura 7.4. Triángulos rectángulos

Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes porque tienen sus

ángulos interiores respectivamente iguales y sus lados

proporcionales; existe un número positivo k tal que:

kC'A'

ACC'B'

BCB'A'

AB===


Tema 3 / Sesión 7



De donde, AB = k A’B’

BC = k B’C’

AC = k A’C’

Por lo tanto, usando las ecuaciones 2.4.1, 2.4.3 y 2.4.5 de las

funciones seno, coseno y tangente, se tiene:

Sen α = 'SenC'A'C'A'kAC===

C'B'C'B'kBCα

Cos α = 'CosC'B'B'A'

C'B'kB'A'k

BCAB α===

T ag α= 'TagB'A'B'A'k

=C'A'C'A'k

ABAC α==


Tema 3 / Sesión 7





1. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 7.5., calcular las

funciones trigonométricas del ángulo α.

A

B C

100

25

α

Figura 7.5. Triángulo rectángulo ABC

Hallar las funciones trigonométricas de 2. l ángulo β, en el triángulo

rectángulo de la figura 7.6.

A B

C

5

3

β

Figura 7.6. Ángulo β 3. En el triángulo rectángulo PQR de la figura 7.7., la longitud de la

hipotenusa h es 10 metros, y la medida del ángulo α es 30º.

Determine la longitud de los catetos.

P

Q R

10

α

Figura 7.7. Triángulo rectángulo PQR


Tema 3 / Sesión 7



4. En el triángulo de la figura 7.8., determine el valor de la longitud x

en metros.

20 m

A B

C

D

60º

45º

X

Figura 7.8. Triángulo 5. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 7.9., la longitud del

lado AB es 10 metros, BC = 20 metros y BE = 6 metros. Determine

la longitud BD en metros.

A

B

C

D E

Figura 7 lo ABC

. En la figura 7.10., determine el perímetro del triángulo ABC en

función de la altura h.

.9. Triángulo rectángu

6

A B

C

D

30º 45º

h


7. En la figura 7.11., determine la distancia EB expresada en

metros.


Tema 3 / Sesión 7



A B

C

D

E

5 m

6 m

30 m



Tema 3 / Sesión 7




Sesión 7

Autoevaluación 7

regunta Nº 1

n la siguiente figura, el perímetro del triángulo ABC en función de h

s:

P

E

e

.

a

b.

c.

d.

Pregunta Nº 2

El valor numérico de la expresión

es:

a.

b.

c.

d. Pregunta Nº 3

Si , el valor numérico del cos x y tag x son respectivamente: a.

b.

c.

d.

Pregunta Nº 4

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+%281%2B2%5Csqrt+%7B2%7D%2B3%5Csqrt+%7B3%7D%29h�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+%281%2B%5Csqrt+%7B2%7D%2B%5Csqrt+%7B3%7D%29h�


https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+%283%2B2%5Csqrt+%7B2%7D%2B2%5Csqrt+%7B3%7D%29h�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Cfrac%7Bcos+30%5Eo%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bsen+30%5Eo%7D+%2B%7Btg+45%5Eo%7D%7D+%2B+%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos+60%5Eo%7D%29+.+tg+60%5Eo+�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%7B%5Csqrt+%7B3%7D�




https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+Sen+x+%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+4+y+5�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D+y+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D�




Tema 3 / Sesión 7



En la siguiente figura, si DE= 24cm y AC= 30cm, el área en del

triángulo ABC es:

1000

c. 800 400

a.b. 600


de sila se ón. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la

ses gión si uiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión

an e tes d continuar.

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+cm%5E%7B2%7D�


Tema 3 / Sesión 7




Sesión 7

Respuestas de la Autoevaluación 6

regunta Nº 1

.

P

c Pregunta Nº 2

. d Pregunta Nº 3

. c Pregunta Nº 4

. 600 b





Tema 3 / Sesión 8




Sesión 8


* Aplicar las funciones trigonométricas secante, cosecante y cotangente, a un triángulo rectángulo.

Actividades

* Leer apuntes sesión 8. * Practicar los problemas resueltos de la sesión 8. * Realizar los ejercicios propuestos correspondientes

a la sesión 8. * Realizar la autoevaluación de la sesión 8. * Realizar autoevaluación de todo el tema 2.

Recursos

* Apuntes sesión 8. * Ejercicios propuestos sesión 8.

Funciones trigonométricas secante, cosecante y cotangente

gulo rectángulo ABC de la figura 8.1., con

ángulos agudos α y β.

Consideremos el trián

A B a

C

b h

α

β


ángulo. La

secante del ángulo α se abrevia Sec α. De la figura 8.1.:

1. Secante: es la relación ó cociente entre la longitud de la

hipotenusa y la longitud del cateto adyacente al


Tema 3 / Sesión 8



ah

ánguloaladyacentecatetodelLongitudhhipotenusaladeLongitudSec ==

αα

)( (2.4.12)

bh

ánguloaladyacentecatetodelLongitudhhipotenusaladeLongitudSec ==

ββ

)( (2.4.13)

La cosecante

del

2. Cosecante: es la relación o cociente entre la longitud de la

hipotenusa y la longitud del cateto opuesto al ángulo.

ángulo e tiene: α se abrevia Cosec α. De la figura 8.1. s

Cosecbh

ánguloalopuestocatetodelLongitudhhipotenusaladeLongitud

==α

α)( (2.4.14)

Cosecah

ánguloalopuestocatetodelLongitudhhipotenusaladeLongitud

==β

β)( (2.4.15)

ente del ángulo α se abrevia Cotag α. De la figura 8.1. se

tien :

3. Cotangente: es la relación ó cociente entre la longitud del cateto

adyacente y la longitud del cateto opuesto al ángulo. La

cotang

e

Cotag ba

ánguloalopuestocatetodelLongitudánguloaladyacentecatetodelLongitud

==α

αα (2.4.16)

Cotagab

ánguloalopuestocatetodelLongitudánguloaladyacentecatetodelLongitud

==β

ββ (2.4.17)

Teorema 2.4.3 es un ángulo ag

Entonces:

. Si α udo de un triángulo rectángulo.

a) Sec α = αCos

(2.4.18) 1

b) Cosec α = αSen

1 (2.4.19)

c) Cotag α = αα

α SenCos

Tag=

1 (2.4.20)

1

Solución:

Consideremos el triángulo rectángulo ABC de la figura 8.2.

Ejemplo 8. Demostrar la ecuación 2.4.20 del Teorema 2.4.3


Tema 3 / Sesión 8

A B

C

a

b h

α

β


Con la ecuación 2.4.16 de la definición de la función cotangente

para el ángulo α, dividiendo el numerador y el denominador entre

la longitud da la hipotenusa (h), se tiene:

hbha

ba

ánguloalopuestocatetodelLongitudánguloaladyacentecatetodelLongitudCotag ===

αα

α

Con las ecuaciones 2.4.1 y 2.4.3 de la definición de las funciones

seno y coseno se llega a:

αααα

ααTag

CosSenSen

CosCotag 11===

Esto prueba la ecuación 2.4.20. Además, de forma análoga se

puede demostrar las ecuaciones 2.4.8 y 2.4.9.

Teorema 2.4.4. Si α es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo,

entonces:

Tag2 α + 1 = Sec2 α (2.4.21)

α1 + Cotag2 α = Cosec2 α (2.4.22)

Ejemplo 8.2

Demostrar la ecuación 2.4.21 del Teorema 2.4.4

Solución:

Sabemos que, Sen2 α + Cos2 α = 1

Dividiendo cada miembro de la ecuación entre Cos2 α resulta:




Tema 3 / Sesión 8

αα

ααα

22

2

2

2 1CosCos

CosCosSen

=+

De donde: Tag2 α + 1 = Sec2 α

Teorema 2.4.5. Conocida una función trigonométrica, se pueden

conocer las demás.

Ejemplo 8.3

Dado Sen α = 23

, hallar las demás funciones trigonométricas

Solución:

• De la ecuación 2.4.7, Cos2 α = 1 – Sen2 α

αα 21 SenCos −=

41

431

231

2

=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=αCos

21

=αCos

• Con la ecuación 2.4.19, Cosec α = 3

2

2311

==αSen

• Con la ecuación 2.4.8, Tag α = 3

2123

==αα

CosSen

• Cotag α = 33

31

Tag1

==α

• Sec α = 2

2111

==αCos

Puede comprobarse la identidad de la ecuación 2.4.21, que no se

ha utilizado:

( )

44413

213Sec1Tag 2222

==+

=+⇒=+ αα

Análogamente se puede comprobar la identidad

Cosec2 α =+ α2Cotag1

En los ejemplos que se han resuelto se han calculado las funciones

trigonométricas con signo positivo puesto que se ha trabajado con




Tema 3 / Sesión 8

distancias en un triángulo rectángulo. En el capítulo III se estudiará el

signo de las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera no

necesariamente agudo, utilizando el círculo de radio unitario para

definir dichas funciones.

2. Funciones trigonométricas de ángulos notables

Se llaman ángulos notables a aquellos cuyas medidas son 30º, 45º y

60º en el sistema sexagesimal, ó π/6, π/4 y π/3 radianes en el sistema

angular. Utilizando estas medidas como ángulos agudos de un

triángulo rectángulo, se puede demostrar los siguientes teoremas.

Teorema 2.5.1. Si α = 30º, entonces:

• Sen 30º = 21

• Cos 30º = 23

• Tag 30º = 33

• Sec 30º = 3

32

• Cosec 30º = 2

• Cotag 30º = 3

Ejemplo 8.4

Demostrar la igualdad Sen 30º = 21

del teorema 2.5.1

Solución:

Para la demostración consideremos un triángulo rectángulo ABC

de la figura 8.3., con ángulo recto en A, y ángulos agudos 30º y 60º

en los vértices B y C respectivamente. (Esto por que la suma de los

ángulos internos de un triángulo debe ser 180º).

A B

C

a

b h

30º

60º


Sobre el lado AC a partir del punto A, construyamos un ángulo

CAD = γ’ = 60º. Ver figura 8.4.




Tema 3 / Sesión 8



A B

C

a

b

30º

60º

D

γ γ’

δ δ’


El triángulo CAD es equilátero, por lo tanto:

AC = AD = CD (igual longitud de los lados) (2.5.1)

Además, γ’ = δ’ = 60º (ángulos internos de un triángulo equilátero)

Como los ángulos δ y δ’ son suplementarios, se tiene que;

δ + δ’= 180º

De donde, δ = 180º - δ’ = 180º - 60º = 120º

Ahora en el triángulo ABD, la suma de sus ángulos interiores debe ser

igual a 180º, luego:

γ + δ + 30º = 180º

De donde, γ = 180º - 30º - δ = 180º -30º -120º = 30º

Así, el triángulo ABD es isósceles con base AB, por tanto:

AD = BD (2.5.2)

De las ecuaciones 2.5.1 y 2.5.2 se obtiene:

AD = BD = CD = AC

También, BC = BD + CD = AC + AC

BC = 2 AC (2.5.3)

Por la ecuación 2.4.1 y el triángulo rectángulo ABC, se sigue que:

Sen 30º =21

AC2AC

BCAC

==

Ejemplo 8.5

Demostrar las igualdades b, c, d, e y f del Teorema 2.5.1


Tema 3 / Sesión 8

Solución:

Por la demostración del ejemplo 2.5.1, sabemos que Sen 30º = 21

.

Luego:

• De la ecuación 2.4.7, con α = 30º ,

23

411

21130130

22

=−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−= oo SenCos

• Tag 30º = 33

31

23

21

3030

===o

o

CosSen

• Cotag 30º = 33

3

331

301

===oTang

• Sec 30º = 3

323

2

231

301

===oCos

• Cosec 30º = 2

211

301

==oSen


Sen 45º = 22

Cos 45º = 22

Tag 45º = 1

Cotag 45º = 1

Sec 45º = 2

Cosec 45º = 2

Ejemplo 8.6

Demostrar, usando el triángulo rectángulo, que Sen 45º = 22

Solución:

Consideremos un triángulo rectángulo ABC con ángulo recto en B y

ángulo agudo interior α = 45º en C. Ver figura 8.5.




Tema 3 / Sesión 8

A

B C a α=45º

β=45º

b h


Como los ángulos internos α = β = 45º (pues la suma de los ángulos

interiores de un triángulo debe ser igual a 180º), el triángulo

rectángulo es isósceles con base AC, en consecuencia:

AC = AB ó a = b

Luego, Sen 45º = o45CosBCAB

BCAC

HipotenusaopuestoCateto

=== (2.5.4)

También,

Sen2 45º + Cos2 45º = 1 (2.5.5)

Y con la ecuación 2.5.4 se sigue que:

2 Sen2 45º =1 22

2145 ==⇒ oSen

Esto prueba la igualdad.

Como consecuencia se tiene que Sen 45º = Cos 45º = 22

, luego se

puede demostrar, usando las definiciones, las igualdades b, c, d, e

y f del teorema 2.5.2 y que se dejarán como ejercicios propuestos.

Teorema 2.5.3. El Seno de un ángulo es el Coseno del

Complemento, o viceversa, el Coseno de un ángulo es el Seno del

Complemento.

Ejemplo 8.7

Dado el triángulo de la figura 8.6., demostrar que el Senα = Cosβ




Tema 3 / Sesión 8

A

B C a

α

β

b h


Solución:

Los ángulos α y β son complementarios en el triángulo ABC; ahora

bien, en dicho triángulo, el cateto AB es opuesto al ángulo α; y el

cateto BC es opuesto al ángulo α. Por tanto:

Sen α = βCosACAB

=

Y también, Sen β = αCosACBC

=


Sen 60º = 23

Cos 60º = 21

Tag 60º = 3

Cotag 60º = 33

Sec 60º = 2

Cosec 60º = 3

32

Ejemplo 8.8

Demostrar la igualdad Sen 60º = 23 del teorema 2.5.4

Solución:

En el ejemplo 2.5.2 se demostró que Cos 30º = 23

Como los ángulos 30º y 60º son complementarios, por el teorema

2.5.3 se tiene que:

Sen 60º = Cos 30º = 23

Análogamente se puede demostrar que Cos 60º = 21




Tema 3 / Sesión 8

Ejemplo 8.9

Demostrar las igualdades c, d, e y f del teorema 2.5.4

Solución:

• Tag 60º = 3

2123

6060

==o

o

CosSen

• Cotag 60º =33

31

601

==oTang

• Sec 60º = 2

211

601

==oCos

• Cosec 60º = 3

32

231

601

==oSen

En la siguiente tabla 8.1. se presenta un resumen de los valores de las

funciones trigonométricas de los ángulos notables.

30º 45º 60º

Seno

21

22

23

Coseno

23

22

21

Tangente

33

1 3

Cotangente 3 1

33

Secante

332

2 2

Cosecante 2 2 3

32

Tabla 8.1. Funciones trigonométricas




Tema 3 / Sesión 8

Ejemplo 8.10

En el triángulo de la figura 8.7. determine las funciones

trigonométricas del ángulo dado

A B

C

α

4

3

h


Solución:

Dado que,

Sen α = Hipotenusa

opuestoCateto

Debemos calcular la hipotenusa antes de calcular la función Seno.

Por el teorema de Pitágoras se tiene que:

h2 = 32 + 42

De donde, h = 525169 ==+

Luego,

• Sen α = 53

• Cos α = 2591

5311

22 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=− αSen

54

2516

=

=

• Tag α = 43

5453

==αα

CosSen

• Cotag α = 34

431

Tag1

==α

• Sec α = 45

5411

==αCos




Tema 3 / Sesión 8

• Cosec α = 35

5311

==αSen

Ejemplo 8.11 En el triángulo de la figura 8.8., determine las funciones

trigonométricas del ángulo α

A B

C

D

β α

10 20


Solución:

El ángulo α es el complementario del ángulo α, por el teorema 2.5.3 se tiene:

Cos α = Sen α = 21

2010

==ACCD

Luego,

23

43

411

2111

22

=

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−= αα CosSen

Tag α = 3

2123

CosSen

==αα

Cotag33

31

Tag1

===α

α

2

2111

===α

αCos

Sec

Cosec3

323

2

2311

====α

αSen

Ejemplo 8.12

En el triángulo de la figura 8.9., si la altura CD del triángulo ABC es

de 10 cm, determine las funciones Seno, Coseno y Tangente del

ángulo α. ¿Cuál es la distancia AB?




Tema 3 / Sesión 8

A B

C

D α 45º

β

10 cm

20 cm


Solución:

• Los ángulos α y β son complementarios en el triángulo rectángulo

ACD, luego:

21

2010

====ACCDSenCos αβ

23

43

411

2111

22

==

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−= ββ CosSen

3

2123

CosSenTag ===

βββ

• Para el cálculo de la distancia AB se tiene que efectuar la

suma:

AB = AD + DB (2.5.6)

AD es un cateto del triángulo ACD, luego, por la definición de la

función Tangente:

CDAD

aadyacenteCatetoaopuestoCatetoTag ==

ββ

β

De donde, AD = CD Tag β

AD = 10. 3 = cm310

DB es un cateto del triángulo BCD, por la definición de la función

Coseno se tiene:

DBCD

aadyacenteCatetoaopuestoCatetoTag ==

o

oo

454545

De donde, cmcmTag

CDDB 101

1045

===o

Finalmente, en la ecuación 2.5.6:




Tema 3 / Sesión 8



AB = cm)13(1010310 +=+

jemplo 8.13

Demuestre que si α y β son ángulos complementarios, entonces

Tag α = Cotag β

Solución:

tiene que si α y β son ángulos

complementarios entonces:

Sen α = Cos β

De acuerdo a esto se tiene que:

E

Por el teorema 2.5.3 se

βββ

αα

α CotagSenCos

CosSenTag ===

E jemplo 8.14

Hallar Tag 18º sabiendo que Sen 18º =

415 −

So ución:

En primer lugar, se determinará

l

• la función Cos 18º ya que se

necesita para la función tag 18º:

45210

165210

165261

1615251

415118118

2

2

+=

+=

=o −−=

+−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=− oSenCos

• Luego:

5210

15

45210

415

181818

+

−=

+

−

==o

oo

CosSenTag

Ejemplo 8.15

la cúspide de ella es de 30º. Determinar la

altura de la chimenea.

l

•

ma, donde se presentarán los datos y

la incógnita que se tiene.

Desde una distancia de 150 metros a la base de una chimenea el

ángulo de elevación a

So ución:

En primer lugar, se realizará una gráfica (figura 8.10.)

representativa del proble


Tema 3 / Sesión 8

A B

C

Chimenea

altura a = ?

150 mt

30º


• Se pide determinar la altura de la chimenea (a), lo que

representa el cateto BC del triángulo rectángulo ABC. Luego,

por la definición de la función Tangente, se tiene:

150a

ABBC30 ===

adyacenteCatetoopuestoCatetoTag o

De donde,

mtTag 3503315030150a === o (altura de la chimenea)

Ejemplo 8.16

Determine la distancia de un observador a la cúspide de una

iglesia que tiene 15 metros de alto, sabiendo que el ángulo de

elevación es de 41º 81’ y además Sen (41º 81’) = 0.66

Solución:

• Al igual que en el ejemplo 8.16, se realizará una gráfica

representado los datos y la incógnita que se tiene, ver figura

8.11.:

A B

C

Iglesia

altura a = 15 mt

h = ?

41º 81’





Tema 3 / Sesión 8



• Por la definición de la función Seno, se tiene:

h

15ACBC'8141 ===

HipotenusaopuestoCatetoSen o

De donde,

mt22.720.6615

'814115h ===

oSen (Distancia pedida)

Ejemplo 8.17 Demostrar que: 1 + Cotag2 x = Cosec2 x

Solución:

Sabemos por el teorema 2.4.1, ecuación 2.4.7, que,

Sen2 x + Cos2 x = 1

Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre Sen2x se obtiene:

xSenxSenxSen 222 =+

xCosxSen 22 1

Es decir,

1 + Cotag2x = Cosec2x

Ejemplo 8.18

En la figura 8.12., determine la distancia DC expresada en metros

1.

A B

C

D

E

5 m

6 m

30 m


Solución:

• Sea a el ángulo DAE del triángulo rectángulo ADE y que es igual

al ángulo CAB del triángulo rectángulo ABC. Ver figura 8.13.


Tema 3 / Sesión 8

A B

C

D

E

5 m

6 m

30 m

α

?


De la figura 8.13.,

AC = AD + DC

De donde,

DC = AC – AD (2.5.7)

• El problema se puede resolver utilizando las definiciones de las

funciones trigonométricas, ó utilizando el teorema de Pitágoras.

Vamos a resolverlo combinando los dos conceptos.

Por el Teorema de Pitágoras en el triángulo ADE, se obtiene:

AE2 + DE2 = AD2

De donde,

m

DEAEAD

61

253656 2222

=

+=+=+=

También podemos determinar las funciones trigonométricas Seno,

Coseno y tangente con el triángulo ADE:

616615

==

==

ADAECos

ADDESen

α

α

65Tag ==

AEDEα

• Por la definición de la función Seno α en el triángulo ABC, se

tiene:

AC30

ACBC

===Hipotenusa

opuestoCatetoSenα

De donde,

m6165

61 30

615

30AC ====αSen

30




Tema 3 / Sesión 8

• Finalmente, en la ecuación 2.5.7:

m615DC =−= 61616 (Distancia pedida)

Ejemplo 8.19

En la figura 2.5.12 se tiene que las longitudes AC =DE y que

cm20AE = .

Determine la longitud del segmento CD.

A

B C D

E

60º 30º


Solución:

Respuesta corta: el problema señala que la longitud hipotenusa AC

del triángulo ABC es igual a la longitud de la hipotenusa ED del

triángulo rectángulo EBD. Por lo tanto, es de esperarse que la

longitud AE sea igual a la longitud CD; Luego, una respuesta

inmediata sería:

CD = 20 cm

Respuesta larga: si el problema no se resuelve inmediatamente, es

posible llegar al mismo resultado utilizando las funciones

trigonométricas en un triángulo rectángulo y el teorema de

Pitágoras.

Por el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC se tiene:

AB2 + BC2 = AC2 (2.5.8)

Utilizando el mismo teorema en el triángulo EBD,

EB2 + BD2 = ED2 (2.5.9)

Como la longitud de las hipotenusas de los triángulos son iguales,

entonces,

AC = ED

Y también,

AC2 = ED2 (2.5.10)




Tema 3 / Sesión 8

Luego, podemos igualar las ecuaciones 2.5.8 y 2.5.9 para obtener la

siguiente igualdad:

AB2 + BC2 = EB2 + BD2 (2.5.11)

Además, de la figura 2.5.12, la longitud de cada cateto viene dada

como:

AB = AE + EB = 20 + EB (2.5.12)

BD = BC + CD (2.5.13)

Sustituyendo las ecuaciones 2.5.12 y 2.5.13 en la ecuación 2.5.11 se

obtiene:

(20 + EB)2 + BC2 = EB2 + (BC + CD)2

y desarrollando los productos notables se llega a:

400 + 40 EB +EB2 +BC2 = EB2 + BC2 + 2 BC CD + CD2

400 + 40 EB = 2 BC CD + CD2 (2.5.14)

Ahora vamos a utilizar la definición de la función tangente en los

triángulos ABC y EBD.

2060.2060 −=⇒+

== oTagBCEBBC

EBBCABTag (2.5.15)

o30)(30 TagCDBCEBCDBC

EBBDEBTag x+=⇒

+== (2.5.16)

Igualando las ecuaciones 2.5.15 y 2.5.16 se llega a:

oo

o

ooo

ooo

oo

30603020

3020)3060(30302060

30)(2060.

TagTagTagCDBC

TagCDTagTagBCTagCDTagBCTagBC

TagCDBDTagBC

−+

=

+=−

+=−

+=−

CDBC

CDCDCD

BC

21310

)3320(

323

332

.3320

333

33.20

+=

+=+

=

−

+= (2.5.17)

Sustituyendo la ecuación 2.5.17 en la 2.5.15 se obtiene:

202330

203)21310(2060).

21310(

−+=

−+=−+=

CDEB

CDTagCDEB o

CDEB2310 += (2.5.18)




Tema 3 / Sesión 8

y en la ecuación 2.5.14:

22

2

320320400400

)21310(2)

2310(40400

CDCDCDCD

CDCDCDCD

++=++

++=++

4002800

2

2

=

=

CDCD

cm20400 ==CD




Tema 3 / Sesión 8



1. En los ejercicios que se enuncian a continuación, dada la

función trigonométrica calcule las demás usando las identidades

fundamentales.

a) Cos α = 32 g) Tag α = - 5

b) Tag α = 5 h) Cos x = 22

22

baba

+−

c) Sec β = 3 i) Sec β = ba

d) Cosec γ = 25 j) Sen α =

51

e) Sen δ = 21 k) Tag β = 3

f) Cotag x = 4 l) Cos α = 54

2. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 8.15., calcular las

funciones trigonométricas del ángulo α.

A

B C

100

25

α


3. Hallar las funciones trigonométricas del ángulo β, en el triángulo

rectángulo de la figura 8.16.




Tema 3 / Sesión 8

A B

C

5

3

β


4. Demostrar que si α y β son ángulos complementarios, entonces

Sec α = Cosec β.

En el triángulo de la siguiente figura determine la longitud X del

lado BC.

A

B

C D

X

40 m

45º

15º


5. En la figura 8.18., sabiendo que AC =DE y cm10CD = ,

determine la longitud AE.




Tema 3 / Sesión 8

A

B C D

E

45º

F 60º

Figura 8.18.Triángulo

6. En la figura 8.19., determine el área del triángulo rectángulo ABD.

30º 45º A B

C D

Figura 8.19. Área del triángulo

7. En la figura 8.20., determine el valor de la distancia x en términos

de los ángulos α y β y de las distancias a y b.

a

b

β

α

x

Figura 8.20. Distancia 8. Un observador ve la parte superior de una estatua con un

ángulo de elevación de 30º. Camina 30 metros hacia la estatua

y en ese momento ve la parte superior con un ángulo de

elevación de 60º. Determine la altura de la parte superior de la

estatua. (Suponer que el observador no tiene altura).

9. Desde un faro de 60 metros de altura, se ven dos botes

alineados con el faro y a un mismo lado de éste, con ángulos




Tema 3 / Sesión 8



de depresión de 30º y 60º respectivamente. Determine la

distancia entre los botes.

Dos observadores A y B están situados en la misma horizontal, y

separados por una distancia de 250 metros. Entre ellos, y en el

mismo plano vertical, hay un

10.

11. Si ABC es un

triángulo rectángulo con ángulo recto en C y altura CD con

otenusa (figura 8.22.), entonces,

b) BC2 = AB.BD

globo que el observador A ve con

un ángulo de elevación de 45º y B con 60º. Determine la altura a

la que se encuentra el globo.

Demuestre el siguiente Teorema de los Catetos:

respecto a la hip

a) AC2 = AB.AD

A

B C

D


Asumiendo que el ángulo α es agudo, seña12. le ¿cuál de los

s v s trigonométricos son posibles? siguiente alore a) Sen α = 2 b) Sen α = 1/3

c) Cos α = 2 d) Cos α = 32

13.

14.

0º y 45º

respectivamente. Determinar la longitud de la escalera.

e) Tag α = ½ f) Tag α = 100

g) Sec α = 4/3 h) Cosec α = 4

i) Sec α = 3 j) Cotag α = 1/3

El palo central de una tienda de campaña de forma de cono

circular tiene altura de 6 metros, y su parte superior está

sostenida por cuerdas de 12 metros de largo, amarradas a

estacas clavadas en la tierra. ¿A qué distancia están las

estacas del pié del mástil central?

Una escalera se encuentra apoyada contra un muro formando

un ángulo de 75º con el suelo. Dos observadores ubicados a

nivel del suelo a una distancia de 10 metros uno del otro, ven el

extremo de la escalera con un ángulo de elevación de 3


Tema 3 / Sesión 8

15. En la figura 8.23. se representa al trapecio ABCD, con lados AB

CD, AB ⊥ BC y el ángulo DAC = β = 120º. Si AB = 33 cm y BC

= 3 cm, determine la longitud del lado DC.

Figura 8.23. Trapecio ABCD

16. En el triángulo ABC de la figura 8.24. se conoce que CD ⊥ AB y

AC BC, AD = m y DB = n. Si ⊥31

=ba

, entonces mn

es igual a:

a) 1/3

b) 1/9

c) 9

d) 3

C

b a

3 3A B

B A n D β

3 C D


m

17. En la figura 8.25., si AB DE y AB = 80 mt, DE = 40 mt y DC = 30

mt. ¿Cuánto mide en metros el segmento AC?

a) 50 mt b) 60 mt c) 100 mt d) 650 mt




Tema 3 / Sesión 8

Figura 8.25. Segmento AC 18. La figura 8.26. muestra la forma de un terreno y las divisiones que

realizó el padre de tres hijos para repartirlo entre ellos. El padre

dispuso en su testamento que el triángulo ABC le correspondiera

al mayor de los hijos, el triángulo CDE al segundo de ellos y el

triángulo AED al menor de todos. Si AE = 10 Km y CD = 30 Km, El

área que le corresponde al mayor de los hijos es:

a) 100 Km2 b) 200 Km2 c) 300 Km2 d) 400 Km2

Figura 8.26. Terreno y sus divisiones 19. En la figura 8.27., el triángulo ABC es rectángulo isósceles con

AC = 2 2 cm; entonces el área total de la figura es:

a) 2 + π b) 1 + 2π c) 4 + π d) 4 + 2π

A B

C

D E D C

E

A B




Tema 3 / Sesión 8


C

A B




Tema 3 / Sesión 8


Sesión 8

Autoevaluación 8

Pregunta Nº 1 Si Cosec x , el valor numérico de sec x y cotag x son

respectivamente:

a.

b. c.

d. Pregunta Nº 2

El valor numérico de la expresión es:

a.

b.

c. d. Pregunta Nº 3

En la siguiente figura, si BC= 10 cm, el área del triángulo ABD en

es:

a. 300 b. 100 c. 400 d. 200



https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D+y++%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D�


https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%7B4%7D+y+%7B5%7D�


https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Cfrac%7Bsec%5E2+30%5Eo+%2B+cosec%5E2+60%5Eo%7D%7Bsen%5E2+45%5Eo+%2B+cotg+45%5Eo%7D+-1�




https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%7B0%7D�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Csqrt%7B2%7D�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+cm%5E2�


Tema 3 / Sesión 8

Pregunta Nº 4

En la siguiente figura, se representa el trapecio ABCD, con lados AB

⊥CD, AB BC y el ángulo = 60º. Si AB=3 m y BC=3 m la

longitud del lado DC es:

a. 4 m b. 8 m c. 5 m d. 6 m Pregunta Nº 5

En la siguiente figura, la distancia AE expresada en metros es:

a. 6 b. 38 c. 36 d. 40 Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al

final de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con

la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la

sesión antes de continuar.



https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Cperp�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Cbeta�

https://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Csqrt%7B3%7D�


Tema 3 / Sesión 8


Sesión 8

Respuestas de la Autoevaluación 8 Pregunta Nº 1

a. Pregunta Nº 2

c.

Pregunta Nº 3

d. 200 Pregunta Nº 4

d. 6 m

Pregunta Nº 5

c. 36





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