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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 2 CNICAS SUPERFICIE CNICA. CORTES CON UN PLANO UN POCO DE HISTORIA LA CIRCUNFERENCIA LA ELIPSE LA HIPRBOLA LA PARBOLA PARA QU SE UTILIZAN LAS CNICAS (enlace) EJERCICIOS (Enlace) ENLACES

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 3 SUPERFICIE CNICA - CORTES CON PLANOS Al girar una recta g (generatriz) alrededor de otra no paralela a ella e (eje) obtenemos una superficie cnica. e Si una superficie cnica se corta por planos en diferentes posiciones, se obtienen las curvas que se llaman cnicas : Circunferencia Elipse Parbola Hiprbola

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UN POCO DE HISTORIA Cuando en el siglo III a. de C. Apolonio descubri las cnicas, estaba muy lejos de imaginar que dichas curvas se ajustaban a los movimientos de los cuerpos celestes. Durante muchos siglos se consider que las rbitas de los planetas eran circulares. Fue a comienzos del siglo XVII cuando Kepler enunci sus importantes leyes, una de las cuales asigna rbitas elpticas a dichos cuerpos. Slo un siglo antes, Coprnico haba dado al traste con la concepcin geocntrica del universo, haciendo ver que era la tierra la que giraba alrededor del Sol. Otras aplicaciones de las cnicas

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 5 Elipse es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F (llamados focos) es constante. Hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F (llamados focos) es constante. Parbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F (llamado foco) y de una recta llamada directriz. Las Cnicas como lugar geomtrico La Circunferencia es un caso particular de elipse (F coincide con F)

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 6 LA CIRCUNFERENCIA DEFINICIN GENERACIN CARACTERSTICAS ECUACIN REDUCIDA CIRCUNFERENCIA TRASLADADA POSICIN RELATIVA DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA POSICIN RELATIVA DE DOS CIRCUNFERENCIAS POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA EJE RADICAL

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 7 Circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio. LA CIRCUNFERENCIA ECUACIN REDUCIDA geogebra P(x,y) x yr Ecuacin de la circunferencia de centro (0,0) y radio r Ecuacin reducida de la circunferencia

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 8 Circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio. LA CIRCUNFERENCIA P(x,y) x-a y r Ecuacin de la circunferencia de centro (a,b) y radio r x y-b b C(a,b) Tambien: a

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 9 LA ELIPSE DEFINICIN GENERACIN CARACTERSTICAS ECUACIN REDUCIDA ELIPSE TRASLADADA EXCENTRICIDAD

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 10 Ecuacin reducida de la elipse LA ELIPSE. ECUACIN REDUCIDA Elipse es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F(-c,0) (llamados focos) es constante (2a). geogebra P(x,y) F F aa b c a b c

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 11 Centro: Focos: Vrtices: Eje mayor: Eje menor: Ecuacin eje mayor: Ecuacin eje menor: Excentricidad: a a C(0,0)A(a,0) A(-a,0) F(c,0)F(-c,0) B(0,-b) B(0,b) LA ELIPSE. CARACTERSTICAS Elipse es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F(-c,0) (llamados focos) es constante (2a). b c a b c Ecuacin reducida de la elipse C(0,0) F(c,0) yF(-c,0) A(a,0),A(-a,0), B(0,b) y B(0,-b) |AA|=2a |BB|=2b y=0 x=0 e=c/a NOTA: Los focos siempre estn en el eje mayor (e

2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 17 Centro: Focos: Vrtices: Eje real: Eje imaginario: Ecuacin eje real: Ecuacin eje imaginario: Excentricidad: Asntotas: a C(0,0) A(a,0) A(-a,0) F(c,0)F(-c,0) B(0,-b) B(0,b) LA HIPERBOLA. CARACTERSTICAS b c c b a Ecuacin reducida de la hiprbola C(0,0) F(c,0) yF(-c,0) A(a,0),A(-a,0), B(0,b) y B(0,-b) |AA|=2a |BB|=2b y=0 x=0 e=c/a NOTA: Los focos siempre estn en el eje real (e>1) Hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F(-c,0) (llamados focos) es constante (2a).

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 18 EXCENTRICIDAD DE LA HIPRBOLA Ecuacin reducida de la hiprbola Excentricidad de la hiprbola: c=a, es decir, los focos conciden con los vrtices: e = 1 Se trata de dos SEMIRRECTAS c > a : e > 1 Se trata de una HIPRBOLA propiamente dicha

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 19 Centro: Focos: Vrtices: Eje real: Eje imaginario: Ecuacin eje real: Ecuacin eje imaginario: Excentricidad: Asntotas: a C(0,0) A(0,a) A(0,-a) F(0,c) F(0,-c) B(-b,0) B(b,0) LA HIPRBOLA. CARACTERSTICAS b c C(0,0) F(0,c) yF(0,-c) Ecuacin reducida de la hiprbola |AA|=2a |BB|=2b y=0 e=c/a NOTA: Los focos siempre estn en el eje real Hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F(0,-c) (focos) es constante. c b a A(0,a),A(0,-a), B(b,0) y B(-b,0) (e>1) x=0

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 20 Centro: Focos: Vrtices: Eje real: Eje imaginario: Ecuacin eje real: Ecuacin eje imaginario: Excentricidad: Asntotas: C(x 0,y 0 ) HIPRBOLA TRASLADADA (Ejes paralelos a los ejer de coordenadas) Ecuacin de una hiprbola de C(x 0,y 0 ) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas C(x 0,y 0 ) |AA|=2a |BB|=2b y=y 0 x=x 0 e=c/a O A(x 0 +a,y 0 )A(x 0 -a,y 0 ) B(x 0,y 0 +b) B(x 0,y 0 -b) a b c F(x 0 +c,y 0 ) F(x 0 -c,y 0 ) A(x 0 +a,y 0 ), A(x 0 -a,y 0 ), B(x 0,y 0 +b) y B(x 0,y 0 -b) F(x 0 +c,y 0 ) y F(x 0 -c,y 0 ) Hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F es constante. X Y

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 21 HIPRBOLA EQUILTERA

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 22 LA PARBOLA DEFINICIN GENERACIN CARACTERSTICAS ECUACIN REDUCIDA PARBOLA TRASLADADA

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 23 Ecuacin reducida de la parbola Vrtice (0,0) y eje OX LA PARBOLA. ECUACIN REDUCIDA Parbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una recta llamada directriz (x=-p/2). (2a). V(0,0) El parmetro p nos da la distancia del foco a la directriz. p

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 24 Ecuacin reducida de la parbola LA PARBOLA. CARACTERSTICAS Parbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una recta llamada directriz (x=-p/2).). V(0,0) El parmetro p nos da la distancia del foco a la directriz. p Foco: Vrtice: Eje : Directriz: Parmetro: V(0,0) y=0 eje p>0

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 25 V(0,0) y=0 Foco: Vrtice: Eje : Directriz: Foco: Vrtice: Eje : Directriz: V(0,0) x=0

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 26 Ecuacin de una parbola de eje paralelo al eje OX LA PARBOLA TRASLADADA Parbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F (foco) y de una recta llamada directriz. V(x 0,y 0 ) El parmetro p nos da la distancia del foco a la directriz. O Y Foco: Vrtice: Eje : Directriz: Parmetro: y=y 0 p>0 V(x 0,y 0 )

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 27 CIRCUNFERENCIA ELIPSE HIPRBOLA PARBOLA

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 28 Las cnicas estn presente en la naturaleza y tambin en los inventos del hombre. Por ejemplo las trayectorias que describen el planeta Tierra, el famoso cometa Halley son de forma elptica. Las antenas parablicas y las pticas de los automviles fueron ideadas con esa forma para utilizar las propiedades de las parbolas, teniendo en cuenta que las ondas y rayos se concentran en el foco, y esto permite un mayor aprovechamiento de los mismos. Es por esto que nos parece importante aprender este tema, ya que esto nos muestra que la matemtica est presente y se puede aplicar en la vida cotidiana.

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 29 ENLACES DE TODO. TEORIA Y EJERCICIOS: http://personales.unican.es/gonzaleof/ http://soko.com.ar/index.htm CNICAS: FLASH: http://perso.wanadoo.es/j.antonio_cuadrado/ http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/ http://www.rena.edu.ve/CuartaEtapa/Matematica/tema6/tema6b.html http://almez.pntic.mec.es/~aberho/conicas/resumen.htm http://www.dmae.upct.es/~pepemar/conicas/index.htm http://www.fcen.uba.ar/museomat/maquinas.htm Con Geogebra: http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/conicas.htm http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/Lugares_geometricos_conicas/index.htm http://soko.com.ar/matem/matematica/Conicas.htm http://www.revista.dominicas.org/conicas.htm Con cABRI: http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice

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2007(:)Mara Jess Arruego Bags CNICAS 30 http://images.google.es/imgres?imgurl=http://www.xtec.es/~cgarci38/tecnologia/construccions/gaudi12.JPG&imgr efurl=http://www.xtec.es/~cgarci38/tecnologia/construccions/gaudi1.htm&h=210&w=364&sz=20&hl=es&start=68& um=1&tbnid=aoKTWiBZHOLGQM:&tbnh=70&tbnw=121&prev=/images%3Fq%3Dhiperbola%26start%3D60%26n dsp%3D20%26svnum%3D10%26um%3D1%26hl%3Des%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:es- ES:official%26sa%3DN http://images.google.es/imgres?imgurl=http://thesaurus.maths.org/mmkb/ media/vrml/thumbnails/hiperbola.gif&imgrefurl=http://thesaurus.maths.or g/mmkb/entry.html%3Bjsessionid%3D22B83B293E5F770268DE4BC2DE33 EDB1%3Faction%3DentryByConcept%26id%3D859&h=25&w=25&sz=2 &hl=es&start=98&um=1&tbnid=Mp1GbTdIniPemM:&tbnh=25&tbnw=25 &prev=/images%3Fq%3Dhiperbola%26start%3D80%26ndsp%3D20%26s vnum%3D10%26um%3D1%26hl%3Des%26client%3Dfirefox- a%26rls%3Dorg.mozilla:es-ES:official%26sa%3DNDN