Fase1_100402_119

PROBABILIDAD

Experimento Aleatoriao y Espacio Muestral.Eventos Sucesos.

Técncias de Conteo.Axiomas de Probabilidad.

Teorema de Bayes.

Integrantes:

Deicy Magaly Puliche código: 34331678Gimena Velasco código: 1064427596

Mauren Gisela Reyes código: 1061715996Yanncy Milena Fernández código:1061726036

Curso:100402_119

Tutor:Luis Alexander Saravia

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADADMINISTRACION DE EMPRESAS

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS

POPAYANMARZO

2016

INTRODUCCION

La probabilidad es cosiderara una herramienta fundamental de ayuda para la toma de decisiones ya que brinda inforamción y soluciones en las formas de medir, expresar y analizar incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles , ésta es un amedida numérica de posibilidades de que ocurrirá un evento y sus valores se asignan en una escala de 0 a 1.

La Estadística es un método eficaz de descripción, relación y análisis de valores y datos del entorno tanto a nivel social, como cultural, político, económico etc;además del análisis y tabulación de datos se brinda la posibilidad de la toma de desiciones acertadas y a tiempo y realizar la respectivas proyecciones. Muchos de los eventos que ocurren en el entorno cotidiano del ser humano no se pueden predecir con exactitud, ya que la mayoría de los hechos están influenciados por el azar, es decir, por procesos inciertos, en los que no se está seguro de lo que va a ocurrir, no podemos afirmar que vivimos en un mundo determinista, en donde no hay influencia del azar y la incertidumbre; Es por ello que la Probabilidad permite un acercamiento a estos sucesos, ponderando las posibilidades de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones, creando así modelos Probabilísticos. Precisamente, algunos de esos métodos proporcionados por la teoría de la Probabilidad llevan a descubrir que ciertos eventos tienen una mayor o menor probabilidad de ocurrir que la apreciación hecha a través del sentido común.

En el desarrollo de la Siguiente Actividad y mediante lo estudiado en la Unidad 1 sobre :

Definición de Experimento aleatorio y espacio Muestral. Eventos o Sucesos, Operaciones entre eventos Técnicas de conteo: permutaciones, combinaciones, etc. Axiomas de probabilidad: Regla de la adición, regla de la multiplicación Probabilidad condicional Teorema de Bayes.

Se aplicarán dichos conocimientos en la solución de los ejercicios – Caso propuestos.

Desarrollo del Trabajo:

Cuadro Sinóptico:

PROBABILIDAD UNIDAD 1

EXPERIMENTO ALEATORIO Y ESPACO MUESTRAL

Experimento Aleatorio:

Dan lugar a varios resultados, sin ser predecible enuciar con certeza cual de los dos va a ser observado en la realizaciónd el experimento.

Espacio Muestral:

Conjunto formado por todo slos posbles resultados de un experimento aleatorio y se desigan por S, a la colección de resultados que se obtienen en los experimentos aleatorios.

EVENTOS OSUCESOS

Sucesos o Eventos:

De un fenómeno o experimento aleatorio son cada uno de los subconjuntos del Espacio Muestral S,los elementos del espacio muestral se llaman sucesos individuales o elementales, también son sucesos el suceso vacío o suceso imposible, y el propio S,suceso seguro.

OPERACIONES CON EVENTOS:

Los sucesos o eventos son subconjuntos, entonces es posible emplear las operaciones básicas de conjuntos como:

Unión= (AUB) Intersección= ( A∩ B) Diferencia = (A-B) Suceso Complementario=

A’ = E-A, suceso complementario de A.


Cuadro Sinóptico:


TÉCNICAS DE CONTEO

Principios :

Multiplicativo:

Si un evento determinado puede

realizarse de n1maneras diferentes y

si un segundo evento puede realizarse

den2 maneras diferentes y si adicional

un evento puede realizarse de n3y asi sucesivamente y si al mismo tiempo cada evento es independiente del otro, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto:

n1 xn2 xn3∗¿¿

Principio Aditivo:

Este principio tiene las mismas premisas del principio multiplicativo, pero con la condición no de que los eventos sean independientes sino de que sean mutuamente excluyentes, es decir que cada uno ocurra sin la necesidad de que otro lo haga. El número total de maneras en las que pueden realizarse los eventos es la adición:

n1+n2+n3∗¿¿

Factorial de un Número:

En el análisis combinatorio interviene con mucha frecuencia el concepto de factorial de un entero no negativo n. Este se denota por el símbolo n! y se define como el producto de n por todos los enteros que le preceden hasta llegar al uno.

Simbólicamente queda expresado como:

La excepción es el caso de 0! El cual conviene definirlo como igual a 1 con objeto de preservar la validez de las fórmulas en casos extremos.


Cuadro Sinóptico:


PERMUTACIONES Y VARIACIONES

PERMUTACIONES Y VARIACIONES

Considere un conjunto de elementos

. Una permutación de los elementos es un acomodo u ORDENAMIENTO de ellos. Así:

abc acb bac bca cab cba

Son las permutaciones de los elementos del conjunto S y son en total 6 posibles acomodos. Esto es:

El número de permutaciones (acomodos u ordenaciones) de n elementos distintos, tomados todos de una vez, se denota por n!

Una ordenación de un número r de elementos del conjunto de n elementos, , es denominada variación. Son permutaciones en las que implica un orden en la colocación de los elementos, tomando únicamente una parte de los elementos. Una variación puede construirse seleccionando el elemento que será colocado en la primera posición del arreglo de entre los n elementos, para luego seleccionar el elemento de la segunda posición de entre los n-1 elementos restantes, para seleccionar después el tercer elemento de entre los n-2 restantes, y así sucesivamente. Se trata pues de una permutación de n elementos tomando r a la vez.

El número de permutaciones de n elementos tomados r a la vez se define como:


Cuadro Sinóptico:


COMBINATORIAS

Si se tiene que tiene un conjunto de n elementos. Una combinación de ellos, tomados r a la vez, es un subconjunto de r elementos donde el orden no se tiene en cuenta. El número de combinaciones de n elementos tomados r a la vez, , sin tener en cuenta el orden, es:

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

Los Axiomas de probabilidad que satisfacen la probabilidad de cualquier experimento aleatorio. Estos axiomas no determinan las probabilidades, lo que hacen es facilitar el cálculo de las probabilidades de algunos eventos a partir del conocimiento de las probabilidades de otros.Entendiendo la probabilidad de cualquier evento como un número entre 0 y 1, ella satisface las siguientes propiedades:

Si S es el espacio muestral y A es cualquier evento del experimento aleatorio, entonces:

1. P(S)= 1

2.

Estos axiomas implican los siguientes resultados.

La probabilidad de un evento imposible es 0 ó P(Ø)=0.

La probabilidad de que un evento ocurra con certeza es 1.

Para cualquier evento A, P(At)=1-P(A).

Si el evento A1 está contenido en el evento A2, entonces:


Cuadro Sinóptico:


AXIOMAS DE PROBABILIDAD

Regla dela adicción:

Para eventos mutuamente excluyentes.

A menudo, estamos interesados en la probabilidad de que una cosa u otra suceda; es decir nos interesa la probabilidad de la unión de dos eventos. Si estos dos eventos son mutuamente excluyentes, podemos expresar esta probabilidad haciendo uso de la regla de adición para eventos mutuamente excluyentes:

P (A U B) = P (A) + P (B)

Existe un caso especial, para cualquier

evento A, tenemos que éste sucede o no sucede. De modo que los eventos A y A' son mutuamente excluyentes y exhaustivos:

P(A) + P(A') = 1

P(A') = 1 - P(A)

Eventos que no son mutuamente excluyentes.

Si dos eventos no son mutuamente excluyentes, es posible que ambos se presenten al mismo tiempo. En tales casos, debemos modificar la regla de la adición para evitar el conteo doble:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AnB)

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

Cuando se presentan dos eventos, el resultado del primero puede tener un efecto en el resultado del segundo, o puede no tenerlo. Esto es, los eventos pueden ser dependientes o independientes. Existen tres tipos de probabilidades que se presentan bajo independencia estadística:

Marginal. Conjunta. Condicional.


Cuadro Sinóptico:


TEOREMA DE BAYES

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:

Resulta que:

el denominador corresponde a encontrar la Probabilidad Total de B.

En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es recomdable que con la información del problema, se construya una tabla de contingencia o diagrama de árbol.

ESTUDIO DE CASO 1

En una universidad de Bogotá se realizó un informe sobre el rendimiento

académico de los estudiantes que cursaron asignaturas en el área de

matemáticas en el periodo 2015 - I. Los resultados obtenidos muestran el

rendimiento por curso, por programa, y por profesor.

Datos: La base de datos incluye la compilación de la información

reportada por los docentes del área, incluye 2755 registros de

estudiantes inscritos en alguna de las asignaturas ofrecidas por el

área. Los profesores reportaron la valoración (notas) de cada corte,

y con ellas se hizo seguimiento durante el semestre.

APROBÓ: Estudiantes que finalizaron el curso con una nota superior o igual a 3.0.

REPROBÓ: Estudiantes que finalizaron el curso con una nota inferior a 3.0 sin

contar a quienes ya perdieron por fallas, o fueron reportados por cancelación de

semestre.

CANCELO O PERDIO POR FALLAS: Estudiantes que perdieron por fallas, o

fueron reportados por cancelación de semestre

Curso Aprobó Reprobó Cancelo o perdió

por fallas Total

Algebra lineal 178 10 30 218 Análisis numérico 146 15 21 182 Cálculo infinitesimal 252 37 39 328 Calculo integral 56 8 15 79 Cálculo multivariado 244 49 64 357 Calculo negocios 226 44 61 331 Ecuaciones diferenciales 178 47 40 265 Estadística básica 33 11 9 53 Estadística inferencial 269 70 98 437 Matemáticas avanzadas 199 53 73 325

Matemáticas discretas 44 13 23 80 Pre calculo 42 24 17 83 Probabilidad 6 8 3 17

TOTAL 1873 389 493 2755

Programa Aprobó Reprobó

Cancelo o perdió por fallas

Total

Administración ambiental 146 15 21 182 Admón. empresas 295 44 41 380 Arquitectura 297 53 71 421 Contaduría 99 23 19 141 Economía 99 19 24 142 Ing. Meca trónica 515 118 154 787 Ing. Civil 88 20 27 135 Ing. Financiera 83 29 22 134 Ing. Sistemas 127 26 53 206 Ing. Telecomunicaciones 32 9 15 56 Negocios Internacionales 69 21 33 123 Psicología 23 12 13 48

Total 1873 389 493 2755

Profesor Aprobó Reprobó Cancelo o perdió

por fallas Total

César r. 52 1 53 Claudia v. 31 5 36 Diana m. 97 4 18 119 Ernesto s. 166 17 21 204 Diego v. 36 5 4 45 Eduardo m. 154 17 26 197 Enrique p 118 25 13 156 Fernando m. 125 21 21 167 Gloria a. 151 32 20 203 Jairo a. 116 19 26 161 Javier b. 98 10 29 137 José c. 49 9 16 74 Luz p. 142 23 44 209 Marcela f. 60 19 21 100 María a. 93 27 37 157

Mario g 90 16 46 152 Mercedes s. 60 15 27 102 Oscar n. 111 48 45 204 Patricia m. 37 14 22 73 Ricardo o. 57 31 46 134 Sandra m. 30 37 5 72

Total 1873 389 493 2755 Con el propósito de evaluar el resultado académico en los cursos del área de

matemáticas, a usted le han llamado para que ayude en el análisis de datos.

Utilice su conocimiento de la probabilidad para ayudar a realizar el informe

solicitado.

Prepare un informe en el que debe incluir como mínimo lo siguiente:

1. La probabilidad de que un estudiante apruebe un curso del área de

matemáticas

2. La probabilidad de que un estudiante repruebe un curso del área de

matemáticas.

3. Por cada profesor, establezca la probabilidad de que un estudiante apruebe un

curso del área de matemáticas.

4. Si un estudiante aprueba un curso, establezca la probabilidad de que sea cada

uno de los cursos del área

5. Clasifique los cursos del área de acuerdo a los resultados obtenidos. Establezca

los criterios que utilizó y dé las razones de su elección.

6. Califique los profesores del área de acuerdo a los resultados obtenidos.

Establezca los criterios que utilizó y dé las razones de su elección

7. En que programa hay mejores resultados. Establezca los criterios que utilizó y

dé las razones de su elección

Solución:

1. La probabilidad de que un estudiante apruebe un curso del área de

matemáticas

Probabilidad de que un estudiante apruebe un curso del área de matemáticas:

P : totalde AprobadosNúmero total deestudiantes

∗100

P : 18732755

∗100

P :0,68∗100

P :0,68∗100

P68%

La Probabilidad de que un estudiante apruebe el curso del área de

matemáticas es del 68%.

2. La probabilidad de que un estudiante repruebe un curso del área de

matemáticas.

Solución:

P : total de ReprobadosNúmero total deestudiantes

∗100

P : 3892755

∗100

P :0,14∗100

P :0,14∗100

P :14%

La Probabilidad de que un estudiante Repruebe el curso del área de

matemáticas es del 14%.

3. Por cada profesor, establezca la probabilidad de que un estudiante apruebe un curso del área de matemáticas.

Profesor Aprobó Probabilidad de Aprobar Total

César r. 52 P(A) = 52/53 = 0,98 % * 100 = 98% 53 Claudia v. 31 P(A) = 31/36 = 0,86 % *100 = 86% 36 Diana m. 97 P(A) = 97/119 = 0,82 % *100 = 82% 119 Ernesto s. 166 P(A) = 166/204 = 0,81 % *100 = 81% 204 Diego v. 36 P(A) = 36/45 = 0,80 % * 100= 80% 45 Eduardo m.

154 P(A) = 154/197 = 0,78 % *100 = 78%

197

Enrique p 118 P(A) = 118/156 = 0,76 % *100 = 76% 156 Fernando m.

125 P(A) = 125/167 = 0,75 % *100 = 75% 167

Gloria a. 151 P(A) = 151/203 = 0,74 % *100 = 74% 203 Jairo a. 116 P(A) = 116/161 = 0,72% *100 = 72% 161 Javier b. 98 P(A) = 98/137 = 0,72 % *100 = 72% 137 José c. 49 P(A) = 49/74 = 0,66 % *100 = 66% 74 Luz p. 142 P(A) = 142/209 = 0,68 % *100 = 68% 209 Marcela f. 60 P(A) = 60/100 = 0,60 % *100 = 60% 100 María a. 93 P(A) = 93/157 = 0,59 % *100 = 59% 157 Mario g 90 P(A) = 90/152 = 0,59 % *100 = 59% 152 Mercedes s.

60 P(A) = 60/102 = 0,58 % *100 = 58% 102

Oscar n. 111 P(A) = 11/204 = 0,05% *100 = 5% 204 Patricia m.

37 P(A) = 37/73 = 0,51 % *100 = 51% 73

Ricardo o. 57 P(A) = 57/100 = 0,43 % *100 = 43% 134 Sandra m.

30 P(A) = 30/72 = 0,41% *100 = 41% 72

Total 1873 P(A) = 1837/2755= 0,66 % *100 = 66% 2755

4. Si un estudiante aprueba un curso, establezca la probabilidad de que sea cada uno de los cursos del área

Curso Aprobó Probabilidad de Aprobar Total

Algebra lineal 178 P(A) = 178/218 = 0,82 % * 100 = 82% 218 Análisis numérico 146 P(A) = 146/182 = 0,80 % * 100 = 80% 182 Cálculo infinitesimal 252 P(A) = 252/328 = 0,77 % * 100 = 77% 328 Calculo integral 56 P(A) = 56/79 = 0,71 % * 100 = 71% 79 Cálculo multivariado 244 P(A) = 244/357 = 0,68 % * 100 = 68% 357 Calculo negocios 226 P(A) = 226/331 = 0,68 % * 100 = 68% 331 Ecuaciones diferenciales 178 P(A) = 178/265 = 0,67 % * 100 = 67% 265 Estadística básica 33 P(A) = 33/53 = 0,62 % * 100 = 62% 53 Estadística inferencial 269 P(A) = 269/437 = 0,62 % * 100 = 62% 437 Matemáticas avanzadas 199 P(A) = 199/325 = 0,61 % * 100 = 61% 325 Matemáticas discretas 44 P(A) = 44/80 = 0,55 % * 100 = 55% 80 Pre calculo 42 P(A) = 42/83 = 0,51 % * 100 = 51% 83 Probabilidad 6 P(A) = 6/17 = 0,35 % * 100 = 35% 17

TOTAL 1873 2755

5. Clasifique los cursos del área de acuerdo a los resultados obtenidos. Establezca los criterios que utilizó y dé las razones de su elección.

Se aplica la fórmula de Probabilidad Clásica, en donde los caso favorables al Evento A se dividen entre el número de casos posibles, para este caso el número de los que aprobaron, y se divide entre el número total de estudiantes.

De esta manera se analiza que ALGEBRA LINEAL, tiene el mayor porcentaje de aporbación en estudiantes.

Curso Aprobó

Probabilidad de Aprobar Reprob

ó

Probabilidad de Reprobar


Probabilidad por fallas

Total

Algebra lineal

178 P(A) 178/218: 0,82% *100: 82%

10 P(A) 10/218: 0,05% *100: 5%

30 P(A) 30/218: 0,14% *100: 14%

218 (7)

Análisis numérico

146 P(A) 146/182: 0,80% *100: 80%

15 P(A) 15/182: 0,08% *100: 8%

21 P(A) 21/182: 0,11% *100: 11%

182 (6)

Cálculo infinitesimal

252 P(A) 252/328: 0,77% *100: 77%

37 P(A) 37/328: 0,11% *100: 11%

39 P(A) 39/328: 0,12% *100: 12%

328 (10)

Calculo integral

56 P(A) 56/79: 0,71% *100: 71%

8 P(A) 8/79: 0,10% *100: 10%

15 P(A) 15/79: 0,18% *100: 18%

79 (3)

Cálculo multivariado

244 P(A) 244/357: 0,68% *100: 68%

49 P(A) 49/357: 0,14% *100: 14%

64 P(A) 64/357: 0,18% *100: 18%

357 (12)

Calculo negocios

226 P(A) 226/331: 0,68% *100: 68%

44 P(A) 44/331: 0,14% *100: 14%

61 P(A) 61/331: 0,18% *100: 18%

331 (11)

Ecuaciones diferenciales

178 P(A) 178/265: 0,67% *100: 67%

47 P(A) 47/265: 0,18% *100: 18%

40 P(A) 40/265: 0,15% *100: 15%

265 (8)

Estadística básica

33 P(A) 33/53: 0,62% *100: 62%

11 P(A) 11/53: 0,21% *100: 21%

9 P(A) 9/53: 0,17% *100: 17%

53 (2)

Estadística inferencial

269 P(A) 269/437: 0,62% *100: 62%

70 P(A) 70/437: 0,16% *100: 16%

98 P(A) 98/437: 0,22% *100: 22%

437 (13)

Matemáticas avanzadas

199 P(A) 199/325: 0,61% *100: 61%

53 P(A) 53/325: 0,16% *100: 16%

73 P(A) 73/325: 0,22% *100: 22%

325 (9)

Matemáticas discretas

44 P(A) 44/80: 0,55% *100: 55%

13 P(A) 13/80: 0,16% *100: 16%

23 P(A) 23/80: 0,29% *100: 29%

80 (4)

Pre calculo 42 P(A) 42/83: 0,51% *100: 51%

24 P(A) 24/83: 0,29% *100: 29%

17 P(A) 17/83: 0,21% *100: 21%

83 (5)

Probabilidad 6 P(A) 6/17: 0,35% *100: 35%

8 P(A) 8/17: 0,47% *100: 47%

3 P(A) 3/17: 0,18% *100: 18%

17(1)

TOTAL 1873 389 493 2755

6. Califique los profesores del área de acuerdo a los resultados obtenidos. Establezca los criterios que utilizó y dé las razones de su elección.

Con la Fórmula de Probabilidad Clásica, los casos favorables al evento A se dividen entre el número de casos posibles, para este caso el número de los que aprobaron dividido el número total de estudiantes.

Con el siguiente análisis podemos ver que le Profesor César,obtiene el mayor porcentaje de probabilidad de que los estudiantes aprueben las materias que el dicta.

Profesor Aprob

ó

Probabilidad de Aprobar

Reprobó

Probabilidad de Reprobar


Probabilidad por fallas

Total

César r. 52 P(A) 52/53: 0,98% *100:

98%

1 P(A) 1/53: 0,02% *100:

2%

53

Claudia v. 31 P(A) 31/36: 0,86% *100:

86%

5 P(A) 5/36: 0,14% *100:

14%

36

Diana m. 97 P(A) 97/119:

0,82% *100: 82%

4 P(A) 4/119: 0,03% *100:

3%

18 P(A) 18/119: 0,15% *100:

15%

119

Ernesto s.

166 P(A) 166/204:

0,81% *100: 81%

17 P(A) 17/204: 0,08% *100:

8%

21 P(A) 21/204: 0,10% *100:

10%

204

Diego v. 36 P(A) 36/45: 0,8% *100:

80%

5 P(A) 5/45: 0,01% *100:

1%

4 P(A) 4/45: 0,08% *100:

8%

45

Eduardo m.

154 P(A) 154/197:

0,78% *100:

17 P(A) 17/197: 0,09% *100:

9%

26 P(A) 26/197: 0,13% *100:

13%

197

78%Enrique p 118 P(A)

118/156: 0,76% *100:

76%

25 P(A) 25/156: 0,16% *100:

16%

13 P(A) 13/156: 0,08% *100:

8%

156

Fernando m.

125 P(A) 125/167:

0,75% *100: 75%

21 P(A) 21/167: 0,13% *100:

13%

21 P(A) 21/167: 0,13% *100:

13%

167

Gloria a. 151 P(A) 151/203:

0,74% *100: 74%

32 P(A) 32/203: 0,16% *100:

16%

20 P(A) 20/203: 0,10% *100:

10%

203

Jairo a. 116 P(A) 116/161:

0,72% *100: 72%

19 P(A) 19/161: 0,12% *100:

12%

26 P(A) 26/161: 0,10% *100:

10%

161

Javier b. 98 P(A) 98/137:

0,72% *100: 72%

10 P(A) 10/137: 0,07% *100:

7%

29 P(A) 29/137: 0,21% *100:

21%

137

José c. 49 P(A) 49/74: 0,66% *100:

66%

9 P(A) 9/74: 0,12% *100:

12%

16 P(A) 16/74: 0,22% *100:

22%

74

Luz p. 142 P(A) 142/209:

0,68% *100: 68%

23 P(A) 23/209: 0,11% *100:

11%

44 P(A) 44/209: 0,21% *100:

21%

209

Marcela f. 60 P(A) 60/100:

0,6% *100: 60%

19 P(A) 19/100: 0,19% *100:

19%

21 P(A) 21/100: 0,21% *100:

21%

100

María a. 93 P(A) 93/157:

0,59% *100: 59%

27 P(A) 27/157: 0,17% *100:

17%

37 P(A) 37/157: 0,30% *100:

30%

157

Mario g 90 P(A) 90/152:

0,59% *100: 59%

16 P(A) 16/152: 0,11% *100:

11%

46 P(A) 46/152: 0,11% *100:

11%

152

Mercedes s.

60 P(A) 60/102:

0,58% *100: 58%

15 P(A) 15/102: 0,15% *100:

15%

27 P(A) 27/102: 0,26% *100:

26%

102

Oscar n. 111 P(A) 111/204: 0,554%

*100: 54%

48 P(A) 48/204: 0,24% *100:

24%

45 P(A) 45/204: 0,22% *100:

22%

204

Patricia m.

37 P(A) 37/73: 0,51% *100:

51%

14 P(A) 14/73: 0,19% *100:

19%

22 P(A) 22/73: 0,30% *100:

30%

73

Ricardo o.

57 P(A) 57/134:

0,43% *100: 43%

31 P(A) 31/134: 0,23% *100:

23%

46 P(A) 46/134: 0,34% *100:

34%

134

Sandra m.

30 P(A) 52/53: 0,42% *100:

42%

37 P(A) 37/72: 0,51% *100:

51%

5 P(A) 5/72: 0,07% *100:

7%

72

Total 1873 389 493 2755

7. En que programa hay mejores resultados. Establezca los criterios que utilizó y dé las razones de su elección

Da como resultado que el Programa que mejores resultados de Aprobación tiene es Administración Ambiental, resultado obtenido de la aplicación de la fórmual de Porbabilidad Clásica, donde los casos favorables al Evento A, se dividen entre el número de casos posibles, para este caso el número de los que aprobaron, dividido el total de estudiantes.

Programa Aprobó

Reprobó


Total

Administración ambiental

146 P(A) 146/182: 0,80%

*100: 80%

15 P(A) 15/182: 0,08%

*100: 8%

21 P(A) 21/182: 0,11%

*100: 11%

182

Admón. empresas 295 P(A) 295/380:

44 P(A) 44/380:

41 P(A) 41/380:

380

0,77% *100: 77%

0,12% *100: 12%

0,11% *100: 11%

Arquitectura 297 P(A) 297/421: 0,71%

*100: 71%

53 P(A) 53/421: 0,13%

*100: 13%

71 P(A) 71/421: 0,29%

*100: 29%

421

Contaduría 99 P(A) 99/141: 0,70%

*100: 70%

23 P(A) 23/141: 0,16%

*100: 16%

19 P(A) 19/141: 0,13%

*100: 13%

141

Economía 99 P(A) 99/142: 0,70%

*100: 70%

19 P(A) 19/142: 0,13%

*100: 13%

24 P(A) 24/142: 0,17%

*100: 17%

142

Ing. Meca trónica 515 P(A) 515/787: 0,65%

*100: 65%

118 P(A) 118/787: 0,15%

*100: 65%

154 P(A) 154/787: 0,20%

*100: 20%

787

Ing. Civil 88 P(A) 88/135: 0,65%

*100: 65%

20 P(A) 20/135: 0,15%

*100: 15%

27 P(A) 27/135:

0,2% *100: 20%

135

Ing. Financiera 83 P(A) 83/134: 0,62%

*100: 62%

29 P(A) 29/134: 0,22%

*100: 22%

22 P(A) 22/134: 0,16%

*100: 16%

134

Ing. Sistemas 127 P(A) 127/206: 0,62%

*100: 62%

26 P(A) 26/206: 0,13%

*100: 13%

53 P(A) 53/206: 0,26%

*100: 26%

206

Ing. Telecomunicaciones

32 P(A) 32/56: 0,57%

*100: 57%

9 P(A) 9/56: 0,16%

*100: 16%

15 P(A) 15/56: 0,27%

*100: 27%

56

Negocios Internacionales

69 P(A)69/123: 0,56%

*100: 56%

21 P(A)21/123: 0,17%

*100: 17%

33 P(A)33/123: 0,27%

*100: 27%

123

Psicología 23 P(A) 23/48: 0,48%

*100: 48%

12 P(A) 12/48: 0,25%

*100: 48%

13 P(A) 13/48: 0,27%

*100: 27%

48

Total 1873 389 493 275

5 ESTUDIO DE CASO 2

Con frecuencia es necesario hallar la probabilidad incondicional de un evento B,

dado que un evento A ha ocurrido. Una de estas situaciones ocurre al hacer

exámenes de selección, que solían estar asociados principalmente con exámenes

médicos de diagnóstico pero que ahora están encontrando aplicaciones en varios

campos de actividad. Los exámenes de esteroides en atletas, los exámenes

caseros de embarazo y los exámenes para detectar sida son algunas otras

aplicaciones. Los exámenes de selección se evalúan sobre la probabilidad de un

falso negativo o un falso positivo y éstas dos son probabilidades condicionales. Un

falso positivo es el evento de que el examen sea positivo para una condición

determinada, dado que la persona no tiene la condición. Un falso negativo es el

evento de que el examen sea negativo para una condición determinada, dado que

la persona tiene la condición.

Se pueden evaluar estas probabilidades condicionales usando una fórmula

derivada por el probabilista Thomas Bayes, llamada el Teorema de Bayes. El

teorema se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se

posee nueva información y fue desarrollado por el reverendo Thomas Bayes en el

siglo XVII,

Suponga que cierta enfermedad está presente en el 10% de la población, y que

hay un examen de selección diseñado para detectar si esta enfermedad está

presente. El examen no siempre funciona a la perfección. A veces, es negativo

cuando la enfermedad está presente y otras es positivo en ausencia de ella. La

tabla siguiente muestra la proporción en que el examen produce varios resultados:

Resultado del examen positivo

Resultado del examen Negativo

Enfermedad presente 8 % 22 % Enfermedad Ausente 5 % 85 %

Con base en esta información y usando el Teorema de Bayes, elabore un informe

que como mínimo, debe incluir:

1. Probabilidad de que la enfermedad este presente

2. Probabilidad de que la enfermedad esté ausente

3. Probabilidad de un falso positivo, es decir que el examen sea positivo dado

que la persona no tiene la enfermedad

4. Probabilidad de un falso negativo, es decir, que el examen resulte negativo

dado que la persona tiene la enfermedad

5. Probabilidad de que la persona tenga la enfermedad dado que el examen

resulto positivo

6. Probabilidad de que la persona NO tenga la enfermedad dado que el

examen resulto positivo

7. Probabilidad de que la persona tenga la enfermedad dado que el examen

resulto negativo

8. Probabilidad de que la persona NO tenga la enfermedad dado que el

examen resulto negativo

9. De acuerdo con las probabilidades encontradas, ¿que tan confiable es este

examen de selección para detectar la enfermedad?

Positivo (O)

Negativo (N)

Presente (P) 0.08 0.02Ausente (A) 0.05 0.85

P (P )=0.1

P (A )=1−0.1=0.9

P( NA )=P (N∩ A )P (A )

=0.850.9

=0.944

P( NP )=P (N∩P )P (P )

=0.020.1

=0.2

P( PN )=P (P )∗P (NP )

P (P )∗P( NP )+P ( A )∗P( NA )P( PN )= 0.1∗0.2

0.1∗0.2+0.9∗0.944=0.023

P(OA )=P (O∩A )P ( A )

=0.050.9

=0.056

El caso nos presenta un problema en el falso negativo, pues es bastante alto y puede causar confianza en las personas y no realizar ningún tratamiento.

ESTUDIO DE CASO 3

En su excitante novela “Congo”, Michael Chichón describe la búsqueda de

depósitos de diamantes azules cubiertos de boro llevada a cabo por Earth

Resources Technology Services (ERTS), una compañía dedicada a estudios

geológicos. Según ERTS los diamantes son la clave para una nueva generación

de computadoras ópticas. En la novela ERTS compite contra un consorcio

internacional por encontrar la cuidad perdida de Zinj, que prosperó dada la minería

de diamantes hace varios miles de años (según la leyenda africana) y se ubica en

lo más profundo de la selva tropical de Zaire Oriental.

Después de la misteriosa destrucción de su primera expedición, ERTS lanza una

segunda expedición dirigida por Karen Ross, una experta en computación de 24

años de edad, acompañada por el profesor Peter Eliot, un antropólogo; Amy, un

gorila parlante; y el afamado mercenario y líder de la expedición, el “capitán”

Charles Munro. Las acciones ofensivas del consorcio, la mortal selva tropical y las

hordas de gorilas “parlantes” asesinos, que percibieron que su misión era defender

las minas de diamantes, bloquean los esfuerzos de Ross para encontrar la ciudad.

Para superar estos obstáculos Ross utiliza computadoras de la era espacial para

evaluar las probabilidades de éxito en todas las circunstancias posibles y las

acciones que pudiera llevar a cabo la expedición. En cada etapa de la expedición,

ella evalúa rápidamente las probabilidades de éxito.

En una etapa de la expedición Ross recibe informes de su oficina principal en

Houston, de que sus computadoras estiman que tiene 18 horas y 20 minutos de

retraso en relación con el equipo competidor euro-japones, en lugar de 40 horas

de ventaja. Cambia los planes y decide que 12 miembros de su equipo desciendan

en paracaídas en una región volcánica cerca de la ubicación estimada de Zinj.

Según el relato de Crichton, “Ross había vuelto a revisar las probabilidades de la

computadora de Houston y los resultados eran inequívocos. La probabilidad de un

salto exitoso era 0,7980; sin embargo, dado un salto exitoso, la probabilidad de

éxito de la expedición era de 0,9943 con lo cual casi se aseguraba de que

vencerían al consorcio”

Sin olvidar que se trata de la cita de una novela, examine las probabilidades

mencionadas y determine:

1. ¿Si fuera uno de los 12 miembros del equipo, cual es la probabilidad de

completar su salto con éxito?

2. ¿Si la probabilidad de que los 12 miembros del equipo tengan un salto exitoso

es de 0.7980, cual es la probabilidad de que un solo miembro del equipo pueda

completar el salto con éxito?

3. En el relato se afirma que: “esa probabilidad de 0,7980 significaba que había

casi una posibilidad entre cinco de que alguien se hiera seriamente en un salto”.

¿Concuerda usted con esa afirmación? Si o no. ¿Por qué?

Solución:

1. 0,7980*0,9943 = 0.7934514

0.7934514 sería la probabilidad de terminar el salto con éxito, pero al no saber de

paracaidismo esta probabilidad se volvería a 0 ya que sin tener este conocimiento

o destreza se podría perder la expedición.

2. 0.7934514 es la probabilidad de salto con éxito de una persona del equipo.

3. Si, ya que el rango de error es de 20% el cual nos dice que pueden haber

entre 2 o 3 personas heridas en el equipo.

Bueno en este caso yo desarrolle el tema de probabilidad es la probabilidad de

que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La

probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede

preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede

causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o

temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden

desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los

eventos.

Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado.

¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara (moneda) y luego un 6 (dado)? Pues

eso se escribiría como P (Cara | 6).

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de

Bayes.

El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada

por el filósofo inglés Thomas Bayes (1702-1761)1 en 1763,2 que expresa la

probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la

distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de

probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de

enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la

probabilidad de B dado A. Es decir, que sabiendo la probabilidad de tener un dolor

de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la

probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza. Muestra este sencillo

ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus

ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad

de aspectos causales dados los efectos observados.

Con base en la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de

Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicional de cualquiera de los

eventos , dado .

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la

probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades

que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten

probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación

empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten

probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo

debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos

información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está

demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento

subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la

evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento.

Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente

usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan

con el uso. Otra aplicación se encuentra en la fusión de datos, combinando

información expresada en términos de densidad de probabilidad proveniente de

distintos sensores.

Como observación, se tiene y su demostración resulta trivial.

.

ESTUDIO DE CASO N° 4

Los jueces del condado Hamilton (E.E.U.U.) procesan miles de casos al año. En la

gran mayoría de los casos presentados, la sentencia permanece como se

presentó. Sin embargo, algunos casos son apelados y en algunos de estos se

revoca la sentencia. Una periodista del diario Cincinnati Times realizó un estudio

de los casos manejados por los jueces del condado de Hamilton durante un

periodo de tres años En la siguiente tabla se muestran los resultados de 182908

casos presentados a 38 jueces del Tribunal Penal, del Tribunal de Familia y del

Tribunal Civil. Dos de los jueces (Dinkelacker y Hogan) no trabajaron en el mismo

tribunal durante todo el periodo de tres años.

El propósito del estudio es evaluar el desempeño de los jueces. Las apelaciones

con frecuencia son resultado de errores cometidos por los jueces y el diario quería

saber cuáles jueces estaban haciendo un buen trabajo y cuáles cometían

demasiados errores. A usted le han llamado para que ayude en el análisis de

datos. Utilice su conocimiento de la probabilidad y la probabilidad condicional para

ayudar a calificar a los jueces. Tal vez pueda analizar la probabilidad de los casos

que se apelaron y revocaron manejados en los diferentes tribunales.

CASOS PRESENTADOS, APELADOS Y REVOCADOS EN LOS TRIBUNALES DEL CONDADO DE HAMILTON

Juez Tribunal Penal Casos Presentados

Casos apelados

Casos Revocados

Fred Cartolano 3037 137 12Thomas Crush 3372 119 10Patrick Dinkelacker 1258 44 8Timothy Hogan 1954 60 7Robert Kraft 3138 127 7William Mathews 2264 91 18William Morrissey 3032 121 22Norbert Nadel 2959 131 20Arthur Ney, Jr. 3219 125 14Richard Niehaus 3353 137 16Thomas Nurre 3000 121 6John O’Connor 2969 129 12Robert Ruehlman 3205 145 18

J. Howard Sundermann 955 60 10Ann Marie Tracey 3141 127 13Ralph Winkler 3089 88 6Total 43945 1762 199

C Casos Presentados

Casos apelados

Casos Revocados

Penelope Cunningham 2729 7 1Patrick Dinkelacker 6001 19 4Deborah Gaines 8799 48 9Ronald Panioto 12970 32 3Total 30499 106 17

Juez Tribunal Civil Casos Presentados

Casos apelados

Casos Revocados

Mike Allen 6149 43 4Nadine Allen 7812 34 6Timothy Black 7954 41 6David Davis 7736 43 5Leslie Isaiah Gaines 5282 35 13Karla Grady 5253 6 0Deidra Hair 2532 5 0Dennis Helmick 7900 29 5Timothy Hogan 2308 13 2James Patrick Kenney 2798 6 1Joseph Luebbers 4698 25 8William Mallory 8277 38 9Melba Marsh 8219 34 7Beth Mattingly 2971 13 1Albert Mestemaker 4975 28 9Mark Painter 2239 7 3Jack Rosen 7790 41 13Mark Schweikert 5403 33 6David Stockdale 5371 22 4John A. West 2797 4 2Total 108464 500 104

Prepare un informe con las calificaciones de los jueces. Incluya también un

análisis de la probabilidad de la apelación y la revocación de casos en los tres

tribunales. Como mínimo, su informe debe incluir lo siguiente:

1. La probabilidad de casos que se apelan y revocan en los tres tribunales

2. La probabilidad de que se apele un caso, por cada juez

3. La probabilidad de que se revoque un caso, por cada juez

4. La probabilidad de una revocación dada una apelación, por cada juez

5. Clasifique a los jueces dentro de cada tribunal. Establezca los criterios que

utilizó y dé las razones de su elección.

.

Análisis:

Sea Espacio Muestral, S = {A, B, C] Sea A = Tribunal Penal

Sea B = Tribunal Familiar

Sea C = Tribunal Civil

1. La probabilidad de casos que se apelan y revocan en los tres tribunales

a. Sea P(A) = 1 / n Los casos que se apelan del tribunal penal

Respuesta: P(A) = 1762 / 43945 = 0,04009 Casos que se apelan

Sea P(A) = 1 / n Los casos que se revocan del tribunal penal

Respuesta: P(A) = 199 / 43945 = 0,00453 Casos que se revocan

b. Sea P(B) = 1 / n Los casos que se apelan del tribunal familiar

Respuesta: P(B) = 106 / 30499 = 0,00347 Casos que se apelan

Sea P(B) = 1 / n Los casos que se revocan del tribunal familiar

Respuesta: P(B) = 17 / 30499 = 0,00056 Casos que se revocan

c. Sea P(C) = 1 / n Los casos que se apelan del tribunal civil

Respuesta: P(C) = 500 / 108464 = 0,00460 Casos que se apelan

Sea P(C) = 1 / n Los casos que se revocan del tribunal civil

Respuesta: P(C) = 104 / 108464 = 0,00096 Casos que se revocan

2. La probabilidad de que se apele un caso, por cada juez

Sea P(A + B+ C) / 3, Probabilidad de apelación por cada juez

P(A + B+ C) / 3 = (0,04009 + 0,00347 + 0,00460) / 3

P(A + B+ C) / 3 = (0,04818) / 3

Respuesta: P(A + B+ C) / 3 = 0,16053 Probabilidad de apelación por cada juez.

3. La probabilidad de que se revoque un caso, por cada juez

Sea P(A + B+ C) / 3, Probabilidad que se revoque por cada juez

P(A + B+ C) / 3 = (0,00453 + 0,00056 + 0,00096) / 3

P(A + B+ C) / 3 = (0,00605) / 3

Respuesta: P(A + B+ C) / 3 = 0,00202 Probabilidad de revoque por cada juez.

4. La probabilidad de una revocación dada una apelación, por cada juez

Sea [(P(A + B+ C) / 3) / (P(A + B+ C) / 3) = Apelación / Revocación

Respuesta: 0,00202 / 0,16053 = 0,01258

Probabilidad de revocación por apelación por cada juez.

5. Clasifique a los jueces dentro de cada tribunal. Establezca los criterios que utilizó y de las razones de su elección.

Clasificación jueces - análisis

a. Tribunal penal

P(A) = 1762 / 43945 = 0,04009 Casos apelados = 4%

P(A) = 199 / 43945 = 0,00453 Casos revocados = 0,4 %

b. Tribunal familiar

P(B) = 106 / 30499 = 0,00347 Casos apelados = 0,3 %

P(B) = 17 / 30499 = 0,00056 Casos revocados = 0,06 %

c. Tribunal civil

P(C) = 500 / 108464 = 0,00460 Casos apelados = 0,5 %

P(C) = 104 / 108464 = 0,00096 Casos revocados = 0,01 %

Razones

El juez civil es el que más trabaja con 108464 casos y en comparación con el número de casos el más eficiente con 0,5% casos apelados y 0,001 de casos revocados.

El juez penal es el menos eficiente con más casos apelados = 4 % y revocados = 0,4 %, pero es el segundo que más trabaja.

El juez familiar es el que menos traba.

Criterios

Los porcentajes de atención de casos, más los porcentajes de eficiencia en casos apelados y revocados.

ESTUDIO DE CASO 5

Un fabricante de reproductores de DVD compra un microchip en particular, denominado LS-24, a tres proveedores: Hall Electronics, Schuller Sales y Crawford Components.

Los registros de la compañía muestran que el Veinticinco por ciento de los chips LS-24 se le compran a Hall Electronics; el treinta por ciento a Schuller Sales y el restante, a Crawford Components. El fabricante cuenta con amplios historiales sobre los tres proveedores y sabe que 2% de los chips LS-24 de Hall Electronics tiene defectos, 4% de los de Schuller Sales también y6 % de los que vende Crawford Components son defectuosos. Cuando los chips LS-24 se reciben, se les coloca directamente en un depósito y no se inspeccionan ni se identifican con el nombre del proveedor.

Un trabajador selecciona un chip para instalarlo en un reproductor de DVD y lo encuentra defectuoso. Como el fabricante no identificó los chips, no se está seguro de qué proveedor los fabricó. Con el propósito de evaluar con que proveedor hay mayor probabilidad de tener chips defectuosos, usted ha sido llamado para que ayude en el análisis de datos. Utilice su conocimiento de la probabilidad para ayudar a realizar el informe solicitado.

Prepare un informe en el que debe incluir como mínimo lo siguiente:

1.- Probabilidad de que un chip este defectuoso

A1= 2% Hall Electronics

A2=4% Schuller Sales

A3=6% Crawford Components

A= 12% de los chips defectuosos

B(1)= chips LS-24 defectuoso

P(B1/A)=0,12

Hay una probabilidad de que salgan 0,12 del total defectuosos

2.- Probabilidad de que el chip este en buenas condiciones

B(2)= chips LS-24 NO defectuoso

A= 88% buenas condiciones

P(B2/A)= 0,88

La probabilidad de que los chips salgan en buenas condiciones es del 0,88

3.- Si el chip seleccionado resulta defectuoso, debe encontrar la Probabilidad de que haya sido fabricado por cada uno de los proveedores

A1= chips LS-24 se le compra a Hall Electronics

P( A1B1 )=P (A 1 )P( B1A1 )

P (A1 ) P( B1A 1 )+P (A2 ) P( B1A 2 )+P (A3 )P( B1A3 )P( A1B1 )= 0,25∗0,02

0,25∗0,02+0,30∗0,04+0,45∗0,06

P( A1B1 )= 0,0050,005+O ,012+0,027

P( A1B1 )=0,0050,044

P( A1B1 )=0,0050,044

P( A1B1 )=0,1136La probabilidad de que un chip defectuoso sea elaborado por Hall Electronics es del 11,36% o 11%

A2= chips LS-24 se le compra a Schuller Sales

P( A2B1 )=P (A 2 )P( B1A2 )

P (A1 )P( B1A1 )+P (A2 )P( B1A2 )+P (A 3 )P( B1A3 )P( A2B1 )= 0,30∗0,04

0,25∗0,02+0,30∗0,04+0,45∗0,06

P( A2B1 )= 0,0120,005+O,012+0,027

P( A2B1 )=0,0120,044

P( A2B1 )=0,0120,044

P( A2B1 )=0,2727La probabilidad de que un chip defectuoso sea elaborado por Schuller Sales es del 27,27% o 27%

A3= chips LS-24 se le compra a Crawford Components

P( A3B1 )=P (A 3 )P ( B1A3 )

P (A 1 )P( B1A1 )+P (A 2 )P( B1A2 )+P (A 3 )P ( B1A3 )P( A3B1 )= 0,45∗0,06

0,25∗0,02+0,30∗0,04+0,45∗0,06

P( A2B1 )= 0,0270,005+O,012+0,027

P( A2B1 )=0,0270,044

P( A2B1 )=0,6136

La probabilidad de que un chip defectuoso sea elaborado por Crawford Components es del 61,36% o del 61%

4.- Si el chip seleccionado está en buenas condiciones, debe encontrar la Probabilidad de que haya sido fabricado por cada uno de los proveedores

Para el desarrollo del informe se recomienda:

a. Identificar los eventos mutuamente excluyentes

Hay tres eventos mutuamente excluyentes




b. Identificar las probabilidad de los eventos mutuamente excluyentes (probabilidades a priori)

la probabilidad se asigna antes de obtener los datos empíricos.

P(A1)= 0,25

P(A2)= 0,30

P(A3)= 0,45

c. Identificar las probabilidades condicionales presentadas

Características



Probabilidades de que los LS-24 salgan defectuosos

P(B1/A1)= 0,02 Hall Electronics

P(B1/A2)=0,04 Schuller Sales

P(B1/A3)=0,06 Crawford Components

5.- Elabore un diagrama de árbol que represente las probabilidades encontradas.






CONCLUSIONES

Con el desarrollo de la anterior Actividad se consolida la Teoría estudiada en la Unidad 1, al aplicar y estudiar cada uno de los casos propuestos en la Guía, ya que en la solcuión de los mismos de manera práctica desarrollo cada caso.

Se empelaron cada una de los temas de la Unidad 1 para resolver de manera particular cada ejercicio, aprendiendo de esta forma lo concerniente a procedimientos fórmulas, Axiomas, etc.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

UNAD. (2016). Entorno de Conocimiento:Principios de Probabilidad. Recuperado el 02 de Marzo de 2016 de From : http://campus03.unad.edu.co/ecbti04/mod/book/view.php?id=6223&chapterid=1712

UNAD. (2016). Entorno de Conocimiento:Experimento Aleatorio, Espacio Muestral y Eventos. Recuperado el 02 de Marzo de 2016 de From : http://campus03.unad.edu.co/ecbti04/mod/book/view.php?id=6223&chapterid=1557

UNAD. (2016). Entorno de Conocimiento:Técnicas de Conteo. Recuperado el 07 de Marzo de 2016 de From : http://u.jimdo.com/

UNAD. (2016). Entorno de Conocimiento:Axiomas de Probabilidad. Recuperado el 10 de Marzo de 2016 de From : http://datateca.unad.edu.co/contenidos/301014/axiomas_de_la_probabilidad.pdf

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