FACULTAD DE ESTADISTICA E INFORMATICA

UniYersidad VeracruzanaFACULTAD DE ESTADISTICA E INFORMATICAESPECIALIZACION EN METODOS ESTADISTICOS

ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

TRABAJO RECEPCIONAL

QUE COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL DIPLOMA DE ESTA ESPECIALIZACION

PRESENTA:

REBECA GORROCHOTEGUI SALAS

TUTOR:L.E. JULIAN FELIPE DIAZ CAMACHO

ALAPA, VER., MARZO DE 1999.

El H. Comite Academico de la Especializacion en Metodos Estadisticos y el tutor academico del trabajo recepcional, autorizan la impresion y la constitution del jurado para la defensa.

Coordinador de la Especializacion

DATOS DEL AUTOR:

Rebeca Gorrochotegui Salas, nacio el 28 de octubre de 1972, en la Cd. de Tuxpan, Ver. Curso sus estudios basicos y medio superior en esa ciudad. Egreso de ia facultad'de. Estadistica e Informatica de la Universidad Veracruzana en la ciudad de Xalapa, Ver, en 1996. En 1998, ingreso a la especializacion en Metodos Estadisticos. Actualmente trabaja en el area de Investigation del Instituto de Salud Publica de la Universidad Veracruzana.

DEDICATORIA:

Dedico este trabajo al Sr. Librado Gorrochotegui Arguelles, en primer lugar, por haber sido un gran ser humano; por su amor y su apoyo incondicional en todo momento, principalmente para el ingreso a esta especializacion. Y aunque ahora no esta fisicamente conmigo, lo estar£ en mi mente y en mi corazon por siempre. Te quiero papa.

AGRADECIMIENTOS:

A DIOS ...

A mi mama. Por su amor, ternura y por ese valor que siempre nos ha contagiado en los momentos diflciles.

A mi hermana. Por estar siempre a mi lado.

A mi hermano. Porque con ese sentido del humor de nino, ha madurado como un verdadero hombre.

Al resto de mi familia, por permanecer siempre unida.

A todos los maestros de la especializacidn, por sus ensenanzas. Especialmente al Profr. Julian Felipe Diaz Camacho. Por su apoyo desde el inicio de la especialidad; ademas de la dedicacidn prestada para la culminacion de este trabajo. Gracias por su amistad.

A mis amigos, y compaheros de la especialidad porque s6 que puedo contar con ustedes.

Al Instituto de Salud Publica de la Universidad Veracruzana, en especial a Cris y Salvador, por toda su paciencia.

Siceramente...

GRACIAS.

I N D I C E

1. Revision de conceptos basicos.1.1 Espacio muestral. 11.2Eventos. 21.3 Probabilidad de un evento. 31.4 Concepto de variable aleatoria. 41.5 Distribucion de probabilidad de una variable aleatoria discreta. 51.6 Grdfica de una funcion de probabilidad. 61.7 Media y varianza de una variable aleatoria discreta. 71.8 Ejercicios propuestos. 8

2. La distribucion discreta uniforme.2.1 Descripcidn. 92.2 Definicidn. 92.3 Media y varianza. 92.4 Grafica de la distribucion. 102.5 Ejercicios propuestos. 11

3. La distribucion de probabilidad binomial y multinomial.3.1 La distribucion binomial

3.1.1 Descripcion. 133.1.2 Definicidn. 143.1.3 Media y varianza. 143.1.4 Grafica de la distribucion. 14

3.2 La distribucidn multinomial.3.2.1 Descripcidn. 193.2.2 Definicidn. 193.2.3 Media y varianza; 20

3.3 Ejercicios propuestos. 21

4. La distribucion geometrica.4.1 Descripcidn. 244.2 Definicidn. 254.3 Media y varianza. 254.4 Grafica de la distribucion. 254.5 Ejercicios propuestos. 28

5. La distribucion binomial negativa5.1 Descripcidn. 305.2 Definicidn. 305.3 Media y varianza. 315.4 Grdfica de la distribucidn. 315.5 Ejercicios propuestos. 33

6. La distribution hipergeometrica.6.1 Description. 346.2 Definition. 356.3 Media y varianza. 356.4 Grafica deja distribution. 356.5 Ejercicios propuestos. 39

7. La distribucibn Poisson.7.1 Description. 417.2 Definition. 417.3 Media y varianza. 427.4 Grafica de la distribution. 427.5 Ejercicios propuestos. 44

8. Aproximacion de algunas distribuciones.8.1 Aproximacion de la distribution Poisson a la binomial. 468.2 Aproximacion de la distribution binomial a la hipergeometrica. 488.3 Comentarios adicionales. 508.4 Ejercicios propuestos. 52

BIBLIOGRAFiA. 54

a p £ n d ic e .

1. REVISION DE CONCEPTOS BASICOS.

1.1 Espacio Muestral

En el estudio de la estadistica interesa, basicamente, la presentation e interpretation de resultados aleatorios que se dan en un estudio planeado o en una investigation cientifica. Por ejemplo, es posible registrar el numero de accidentes que ocurren mensualmente en el crucero de dos calles, con el proposito de justificar la instalacion de un semaforo; inspeccionar una lampara electrica para determinar si es un producto “defectuoso” o “no defectuoso"; o bien, registrar la temperatura diaria de cierta ciudad con el proposito de estudiar el comportamiento de esta. De aqul que frecuentemente se manejen, ya sea datos experimentales que representen conteos o mediciones, o tal vez datos categoricos que pueden clasificarse de acuerdo con algun criterio.

Cualquier registro de information, sea este numerico o categorico; se denominara observacion. Asi, los numeros 0, 1, 2, 0 y 1, que representan respectivamente, el numero de accidentes mensuales de enero a mayo del presente ano en el crucero de dos calles, constituyen un conjunto de observaciones. De manera similar, si se considera como tales los datos categbricos N, D, N, N y D, que representan el estado de las lamparas defectuosas D y no defectuosas N cuando se inspeccionan a cinco de ellas.

Antes de presentar el concepto de espacio muestral, examinaremos primero el concepto de experimento: un experimento es un proceso mediante el cual se obtiene una observacion (o medicion). En estos terminos, advertimos que en la naturaleza, los experimentos pueden clasificarse en dos clases: aquellos que presentan siempre un solo resultado, y aquellos que presentan dos o mbs resultados posibles. Los experimentos que presentan un solo resultado son conocidos como deterministas, mientras que aquellos que presentan dos o mas resultados posibles son conocidos como aleatorios. La probabilidad se enfoca al estudio de esta ultima clase de experimentos. Asi, un experimento aleatorio es aquel experimento en el que no se puede predecir con exactitud el resultado.

Un espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Generalmente se denota por la letra S; a cada resultado de un espacio muestral, se le llama elemento simple del espacio muestral o punto muestral.

Los espacios muestrales asociados a un experimento pueden clasificarse como finitos, infinites contables e infinites no contables. Los espacios muestrales finitos e infinitos contables son discretos y los espacios muestrales infinitos no contables son continuos. En este trabajo, s6lo se hard mencibn de conceptos que involucren espacios muestrales discretos.

i

Ejemplo 1.1

Supongase que se seleccionan en forma aleatoria tres articulos de un proceso de manufactura. Se examina cada uno de ellos y se clasifica como defectuoso, D, o no defectuoso, N. Un espacio muestral para el experimento es el siguiente.

S = {(N.N.N); (N.N.D); (N.D.N); (D.N.N); (N.D.D); (D.N.D); (D.D.N); (D,D,D)}

Donde (N,N,N) representa el elemento del espacio muestral en el que los tres articulos resultaron no defectuosos, (N.N.D) un elemento del espacio muestral en el que los primeros dos articulos resultaron no defectuosos y el tercero defectuoso.

Ejemplo 1.2

Supongase que un servicio de pruebas de productos evalua el funcionamiento de una podadora de cesped como f£cil de operar ( At), de dificultad medians (A2)o diflcil (A,); como cara (5 j) o barata (B2) y como de reparacion costosa (R:)t regular (R2) o barata (R3). Para enlistar los etementos del espacio muestral, es util dibujar un diagrams de arbol como se ilustra en la figuraH

De la figura 1.1 se tiene que un espacio muestral para el experimento es el siguiente:

S*.(■4»Bx * R\)»(-^i»Bx, R2), (j4( , Bx, R3), , B2, Rx), ,B2,R2\ (Ax , B2, i?3)(A 2, Bx, Rx), (A2 ,BxjR2\ (Aj , Bx, R3), (A2 ,B2,Rl\ (A2 ,B2,R2), (A2, B2, R3) (A3 ,Bx,Rx\ (A3 ,Bx,R2\ (A3 ,Bl9R3X {A ,B2,Rx\ {A3 ,B2,R2\ (A3 ,B2»R3)

1.2 Eventos.

Un evento es un subconjunto del espacio muestral. Asi, a cada evento se le asigna una coleccibn de puntos muestrales, que constituyen un subconjunto del espacio muestral. En relacibn con el experimento presentado en el ejemplo 1.1, se podrla estar interesado en un evento A definido como: “que dos articulos resulten defectuosos”. En tal caso, el evento A est£ dado por

A = {(NtD,D), (D.N.D), (D,D,N)}

2

Un evento que conste de un elemento de S, se llama evento elemental. Ei espacio muestral S es un evento, y recibe el nombre de evento seguro. El conjunto vacio <|> es tambten un evento, y recibe el nombre de evento imposible.

1.3 Probabilidad de un Evento.

En el estudio de la probabilidad existen diferentes interpretaciones de la definicion de £sta. Por ahora s6lo se hace mencion de la definicibn clasica de probabilidad que dice lo siguiente: si un experimento que estd sujeto al azar, resulta de n formas igualmente probables y mutuamente excluyentes, y si nA de estos resultados tienen cierto atributo A, la probabilidad de A este dada por:

P(A) = Numero de casos favorables al evento ‘A’Numero total de casos posibles

3

comunmente denotada por:

P(A) = — ■ n

Asi, mediante la definicion clasica de probabilidad podemos encontrar la probabilidad del evento A, dado en la seccion 1 como:

A = {(N,D,D), (D,N,D)P (D.D.N)}

obteniendose:

p(A) = | .

1.4 Concepto de Variable Aleatoria.

En la seccion anterior se definio el concepto de experimento aieatorio y, asociado a el, se menciond el concepto de espacio muestral. Usando ambos se puede describir la mayoria de las situaciones en que se conducen los experimentos aleatorios con el proposito de adquirir information sobre algun fenomeno que pueda interesarnos. Una vez especificado el espacio muestral, tenemos una description exhaustiva de todos los resultados posibles del experimento. Sin embargo, en el estudio de la probabilidad tiene especial importancia el proceso de asignacion de cantidades numericas a los elementos de un espacio muestral. Esto en general facilita a los desarrollos de los modelos y permite el uso de herramientas matematicas para su tratamiento formal. Para ejemplificar esto, retomemos el experimento descrito previamente, consistente en la inspeccidn de tres articulos manufacturados y clasificarlos como defectuosos o no defectuosos. El espacio muestral obtenido fue el siguiente:

S = {(N.N.N); (N,N,D); (N.D.N); (D.N.N); (N.D.D); (D,N,D); (D,D,N); (D.D.D)}

Supongase que ahora solo interesa el numero de articulos defectuosos. Entonces los resultados del experimento pueden representarse por los numeros 0, 1, 2 y 3. Si se consideran a esos numeros como los valores que puede tomar la variable aleatoria X, entonces esta variable toma valores de acuerdo a los resultados de un experimento aieatorio, y se puede dectr que X es una variable aleatoria, que en este caso, represents el numero de articulos defectuosos de un total de tres. En este experimento, X toma el valor cero si ocurre el evento (N,N,N); el valor uno si ocurre cualquiera de los tres eventos (D,N,N), (N,D,N), (N,N,D); el valor 2 si ocurre cualquiera de los eventos (N,D,D), (D,N,D), (D.D.N); y el valor 3 si ocurre el evento (D,D,D). En general, una variable aleatoria toma un valor definido para cada resultado posible de un experimento aieatorio.

4

De acuerdo a lo mencionado previamente, diremos que. una variable aleatoria es una funcion que a cada resultado posible de un experimento aleatorio le asocia un numero real. Es decir, es una funcion definida sobre un espacio muestral.

Retomando lo mencionado en la seccion 1.1, en lo referente a que por ahora, solo se hara mencion de conceptos que involucran espacios muestrales discretos. A continuacion se presenta el concepto de variable aleatoria discreta.

Diremos que una variable aleatoria es discreta si puede tomar cuando mas un numero infinito contable de valores.

1.5 Distribucion de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta.

Una variable aleatoria discreta asume cada uno de sus valores con una cierta probabilidad. En el caso del experimento de inspeccionar tres, articulos manufacturados y clasificarlos como defectuoso o no defectuosos; la variable X, que representa el numero de articulos defectuosos, puede tomar los valores 0, 1, 2 y 3 con cierta probabilidad. La tabla 1.1 presenta los posibles valores de la variable aleatoria X y la probabilidad con la que puede tomar cada uno de estos valores.

X 0 1 2 3P(X = x) 1 3 3 1

8 8 8 8Tabla 1.1 Distribution de probabilidad para el numero de art culos defectuosos.

Observese que los valores de X agotan todos los casos posibles y de aqui que fas probabilidades sumen 1.

Frecuentemente es conveniente representar con una fbrmula todas las probabilidades de una variable aleatoria X. Dicha formula, necesariamente, debe ser una funcion de los valores numericos x, y que se expresa con frecuencia por f(x). Por lo tanto, se escribe f(x) = P(X=x); esto es, f(2) = P(X=2). Al conjunto de pares ordenados (x, f(x)) se le llama funcibn de probabilidad o distribucion de probabilidad de la variable aleatoria discreta X.

Toda funcion de probabilidad debe satisfacer las siguientes propiedades:

1. / ( * ) * Q.. 2. £ / ( x ) - l

5

Asi, la funcion de probabilidad f{x) = P(X = x) correspondiente al experimento de inspeccionartres artlculos, es:

donde( 3

(3s

f(x) = para * = 0,1,2,3O

representa las combinaciones para los posibles valores de x.

1.6 Grafica de una Funcion de Probabilidad.

Frecuentemente es conveniente representar graficamente las funciones de probabilidad. La forma mas usual para la representacion grafica de estas funciones es el histograma de tineas de probabilidades. La figura 1.2 presenta graficamente la funcion de probabilidad de fa variable aleatoria X, definida previamente como el numero de artlculos defectuosos.

Figura 1.2 Histograma de Hneas verticales de la funcidn de probabilidad para el nUmero de artlculos defectuosos.

Esta representacion mediante Hneas verticales tiene explicacion porque la variable X solo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3. La longitud de la linea representa el valor de la probabilidad.

1.7 Media y Varianza de una Variable Aleatoria Discreta.

En las dos secciones previas se ha introducido la idea de usar distribuciones teoricas como modelos para las distribuciones empiricas generadas a partir de los datos recolectados al estudiar un fenomeno dado. Se han estudiado tambien representaciones graficas de estas distribuciones tebricas. De manera semejante a lo expuesto en las distribuciones empiricas, es conveniente disponer de medidas que describan de manera breve los aspectos mbs sobresalientes de las distribuciones teoricas. Dos medidas que estudiaremos de manera breve son: la media y la varianza.

6

Media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X.

Sea X una variable aleatoria discreta con distribucion de probabilidad f(x). La media o valor esperado de X esta dado por:

M = E(X) = '£xf(x)X

Varianza de una variable aleatoria discreta X.

Sea X una variable aleatoria discreta con distribucion de probabilidad f(x) y media p. La varianza de X esta dada por:

<r2 = var(X) = E ( X - M)2 = ' £ ( x - M)2f(x)

Ejemplo 1.3

Calcular ju y cr2 de la variable aleatoria X definida como el numero de artlculos defectuosos.

Solucion:

En la tabla 1.1 se presento la distribucion de probabilidad de la variable aleatoria X, misma que se transcribe a continuacion;

X 0 1 2 3f ix ) 1 3 3 1

8 8 8 8

Por tanto, ei valor esperado de X es:

/ i = £(Jf) = 2 V W = 0 . i + l - | + 2 - | + 3 . i = 1.5

y la varianza de X es:

n , ) J ° - L 5>’ t 3(1- | s)a . f e y ) : V , 0 , ; 5

7

1.8 Ejercicios propuestos

1. Un experimento consta de cuatro lanzamientos de una moneda. Denotando los resultados por AABA, BABB,..., y suponiendo que los 16 resultados sean igualmente probables, determine la distribucion de probabilidad del numero total de las A.

2. Determinese si las siguientes funciones pueden ser distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria que puede tomar solamente los valores 1, 2, 3 y 4:a) f ( l ) = 0.26, /(2 ) = 0.26 , /(3 ) = 0.26 y /(4 ) = 0.26;b) /(1) = 0.15. /(2 ) = 0.28, /(3 ) - 0.29 y /(4 ) = 0.28;c) /(1) = 0.33, /(2 ) = 0.37, /(3 ) = -0.03 y /(4 ) = 0.33.

3. Verifiquese si las siguientes funciones pueden definir distribuciones de probabilidad y expliquense las respuestas:

b) m =

d) f ( x )=

X

15para x = 0,1,2,3,4,5;

5 - x 2para * = 0,1,2,3;

6

14

para x = 3,4,5,6;

jt + 1para x = 1,2,3,4,5;

25

4. Supongase que las probabilidades de que haya 0, 1, 2 o 3 fallas de energia electrica en cierta ciudad durante el mes de julio son, respectivamente, 0.4, 0.3, 0.2 y 0.1. Utillcense las formulas que definen // y a 1 para calculara) La media de esta distribucion de probabilidad;b) La varianza de esta distribucidn de probabilidad.

5. La tabla siguiente de las probabilidades de que cierta computadora falle 0, 1,2, 3, 4, 5 o 6 veces en un dia cualquiera:

Numero de Fallas: x 0 1 2 3 4 5 6Probabilidad: f{x) 0.17 0.29 0.27 0.16 0.07 0.03 0.01

Utilfcese las formulas que definen a ^ y <r2 para calculara) La media de esta distribucidn de probabilidad;b) La varianza de esta distribucidn de probabilidad.

8

2. LA DISTRIBUCION DISCRETA UNIFORME

2.1 Description.

La mas sencilla de todas las distribuciones discretas de probabilidad, es aquella en la cual la variable aleatoria toma solo un numero finito de valores posibles, cada uno con identica probabilidad. Con frecuencia, el interes recae en una variable aleatoria Xque toma los valores:jc(x2,...,xn con la misma probabilidad de ocurrencia de 1 Suimportancia es central en la rama de la estadistica conocida como Muestreo, y sirve como punto de partida para un gran numero de resultados teoricos.

2.2 Definicion.

Si la variable aleatoria X toma los valores x1x2,...,xrtcon identicas probabilidades, entonces la distribucion discreta uniforme estd dada por:

f(x;ri) = ~, x = x, jc2 n

Se utiliza la notacion f(x\n) para destacar que depende de n, que es el parametro de la distribucidn. Una vez especificado n, las probabilidades estan completamente determinadas.

2.3 Media y Varianza.

A continuacidn se presentan dos altemativas para calcular ia media y la varianza de una distribucion uniforme.

I. La media y la varianza de la distribucidn uniforme discreta /(x,n), estan dadas por:

// = £(X ) = - £ x, <t2 =var(X) = - ^ ( x , - / / )

II. Si x es una variable aleatoria discreta uniforme sobre los enteros consecutivos a, a+1, a+2,...,b, con a ^ b. La media y la varianza de x son respectivamente:

A = E{X) = a + b■ 2

<y - var(X) =12

9

2.4 Grafica de la distribucion.

A continuacion se presenta la forma que puede tomar la distribucion para n = 10.

Comportamiento de la distribucion para n = 10

X m

1 1/102 1/103 1/104 1/105 1/106 1/107 1/108 1/109 1/1010 1/10

Ejemplo2.1

Considere el experiment de lanzar un dado legal. El espacio muestral asociado al experiment es:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Cada resultado posible del experiment ocurre con una probabilidad de ^ . Entonces la

distribucion de probabilidad de X es la siguiente:

X 1 2 3 4 5 6

m 1 1 1 1 1 16 6 6 6 6 6

O', en forma de ecuacion:

/(x ;6) - 7 , x = 1,2,3,4,5,6o

10

Ejemplo 2.2

La variable aleatoria X tiene una distribucion discreta uniforme sobre los enteros 91 < x < 100. Determine la media y la varianza.

Solucion:

a) Alternativa I.

A = E(X) =91 + 92 + ... + 99 + 100

1095.5

a 1 = var(*) = ^[(91-95.5)2 + (92-95.5)2 +... + (l00-95.5)2]=8.25

b) Alternativa II.

A = E(X) =a + b

291 + 100

295.5

✓ = varW = = (100-91 + 1^-1 = g 2512 12

2.5 Ejercicios propuestos.

1. La variable aleatoria X tiene distribucion discreta uniforme sobre los enteros 1 < x < 4 calcule la media y la varianza de X.

2. En un proceso de recubrimiento se toman varias mediciones de espesor, hasta la centesima de milfmetro m^s cercana. Las mediciones estdn distribuidas de manera uniforme, con valores 0.15, 0.16, 0.17, 0.18 y 0.19. Para este proceso, calcule ia media y la varianza del recubrimiento.

3. Se mide la longitud de varias placas de vidrio, hasta la d€cima de milimetro mds cercana. Las longitudes est£n distribuidas de manera uniforme, con valores que estan espaciados una decima de milfmetro comenzando en 590.0 y continuando hasta 590.9. Calcule la media y la varianza de las longitudes.

l i

4. Se selecciona a un empleado de un grupo de 20 para supervisar un cierto proyecto, seleccionando aleatoriamente una placa de una caja que contiene 20 numeradas de 1 al 20. Encuentre la formula para la distribution de probabilidad de X que representa al numero de la placa que se saca. ^Cual es la probabilidad de que el numero sea mayor que 15?

5. Suponga que X tiene una distribucion discreta uniforme sobre los enteros desde 0 hasta 9. Determine la media, la varianza y la desviacion estandar de la variable aleatoria y = 5x, y compare los resultados con los que se obtienen para X.

6. Suponga que en una urna hemos colocado 4 fichas id6nticas excepto por el color. Las fichas son de colores amarillo (A), verde (V), bianco (B) y rojo (B). Realizamos el experimento consistente en hacer que un niho elija una ficha al azar. De acuerdo con el resultado del experimento se le entregar£n al niho tantos pesos como letras tenga el color de la ficha eiegida. Defina la variable aleatoria X como el numero de pesos recibidos por el niho.a) Encuentre la funcion de probabilidades de X.b) Calcule p y cr2-c) ^Que valor tienen el parametro de la distribucidn?

7. Considere el experimento consistente en elegir un numero al azar del directorio telefonico y registrar el ultimo digito del numero en cuestion. Suponga que los diez digitos tienen la misma frecuencia relativa. Defina la variable aleatoria X como:X = digito obtenido + 1.a) Encuentre la funcion de probabilidades de X.b) Calcule E(X) y var(X).

8. Una caja contiene un foco de 40 watts, uno de 60, uno de 75, uno de 100 y uno de 500. Encuentre una formula para la distribucion de probabilidad X, que representa el numero de watts de una l£mpara seleccionada al azar

12

3. LA D IS T R IB U C IO N DE P R O B A B IL ID A D B IN OMIA L YMUL TINO MIAL

3.1 La distribucion binomial.

3.1.1 Descripcion

Algunos experimentos consisten en la observation de una serie de pruebas identicas e independientes, las cuales pueden generar uno de dos resultados posibles, los cuales por conveniencia se denotan como exito (e) o fracaso (f). La inspeccibn.de un producto manufacturado puede clasificarse como exito, si se inspecciona como bueno, o como fracaso si resulta defectuoso. La inspeccion de una planta de maiz puede clasificarse como exito, si no se encuentra infectada por cierto hongo, o como fracaso si se encuentra infectada. En una encuesta de opinion politics puede clasificarse como exito si el entrevistado esta a favor de cierto candidato o como fracaso si no lo estb.

Un experimento binomial es aquel que tiene las siguientes caractensticas:

1. El experimento consta de n pruebas identicas e independientes.2. Cada prueba tiene dos resultados posibles. A uno de ellos se le llamara exito y al

otro fracaso.3. La probabilidad de tener exito en una sola prueba es igual a P) y permanece

constante de prueba en prueba. La probabilidad de un fracaso es igual a q - i - p .4. La variable aleatoria bajo estudio es X, que represents el numero de exitos

observados en las n pruebas.

Para derivar una fbrmula que db la probabilidad de x exitos en n pruebas para un experimento binomial. Primero, consideremos la probabilidad de x exitos y n-x fracasos en un orden determinado. Dado que los intentos son independientes, pueden multiplicarse todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados. Cada exito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = \ - p .Por lo tanto, la probabilidad para el orden especificado es p x q n~x . Ahora debe considerarse el numero total de resultados posibles del experimento que tiene x exitos y n-x fracasos. Este numero es igual al numero de particiones de n resultados en dos

grupos, con x en un grupo y n-x en el otro, los cual se expresa por Debido a que

estas particiones son mutuamente excluyente, se suman las probabilidades de todas las diferentes particiones para obtener la fbrmula general de la distribucibn binomial, que se denota como:

b(x, n> p)\ xj

„ n-xP <1 x =

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3.1.2 Definicion.

Si repetidas pruebas identicas e independientes pueden resultar en un exito con una probabilidad p y en un fracaso con una probabilidad de q = \ - p , entonces la distribucion de probabilidad de la variable aleatoria X, que representa el numero de exitos observados en las n pruebas es:

b(x,n,p) =' n'

p q x - 0,1,..., n

Los parametros de la distribucion son n, el numero de pruebas identicas e independientes y p, la probabilidad de exito en cada prueba.

3.1.3 Media y Varianza.

La media y la varianza de la distribucion binomial b(x,n,p) estdn dadas por: p - E(X) = np a 2 - var(X) = npq

3.1.4 Grafica de la distribucion.

A continuacion se presentan algunas formas que puede tomar la distribucidn binomial para valores seleccionados de p.

a) Comportamiento de la distribucidn binomial con n - 5, ^ = 0.2 y ? = 0.8

X m0 0.32771 0.40962 0.20483 0.06124 0.00645 0.0003

Suma 1.000

14

b) Comportamiento de la distribution binomial con n - 5, p - 0.5 y q = 0.5

X m0 0.03131 0.15622 0.31253 0.31254 0.15625 0.0313

Suma 1.000

c) Comportamiento de la distribution binomial con n = 5, p = 0.8 y q = 0.2

X m0 0.00031 0.00642 0.05123 0.20484 0.40965 0.3277

.Suma 1.000

De los tres casos presentados previamente se deducen algunas caracteristicas de la distribucibn binomial que son ciertas en general. Siendo estas las siguientes:

a) Para valores pequefios de p (p<0.5), Iasi probabilidades mayores se presentan para valores pequefios de X. Esto es razonable con el modelo, ya que en este caso la probabilidad de bxito en cada repeticibn del experiment es menor que

. la probabilidad de fracaso. La distribution en este caso presenta una asimetria positiva.

b) Cuando p = 0.5, la distribucibn es simetrica y tiene maxima varianza.

c) Para valores grandes de p (p>0.5), las probabilidades mayores se presentan para valores grandes de X. Esto ocurre cuando la probabilidad de exito es mayor que la probabilidad de fracaso. La distribucibn en este caso presenta asimetria negativa.

15

Ejemplo 3.1

Utilice la tabla 1 para calcular las siguientes probabilidades:

a) A(6,15,0.5) * ' b) £>(*,8,0.7) |c) £>(*,8,0.7) d) £>(*,8,0.7)3=0 3=5 3=2

Solucion:

Utilizando la tabla 1, se tiene

6 5

a) 6(6,15,0.5)= £>(*,15,0.5)-£>(*,15,0.5) = 0.3036-01509 = 0.15273=0 3=0

3

b) £>(*,8,0.7) = 0.05803=0

8 8 4

c) £>(*,8,0.7) = £ ] 6(8,8,0.7) - £>(*,8,0.7) = 1-0.1941 = 0.80593=5 3=0 3=0

6 6 !

d) £ ] 6(*,8,0.7) = £ ] 6(*,8,0.7) - £ ] 6(*,8,0.7) = 0.7447 - 0.0013 = 0.74363=2 3=0 3=0

Ejemplo 3.2

En una fabrica, el departamento de control de calidad inspecciona por medio de un procedimiento de muestreo lotes de articulos. De un lote se seleccionan 15 articulos, se examinan y si resultan tres o mds articulos defectuosos el lote se rechaza. Si el lote contiene exactamente 10% de defectuosos, a^cual es la probabilidad de que el lote sea aceptado?, b)<*,cual es la probabilidad de que e! lote sea rechazado?

Solucion:Como la variable en estudio satisface las caracteristicas de una distribucion

binomial, se tiene

a) Si X denota el numero de articulos defectuosos, entonces el lote se acepta si X toma los valores x = 0,1,2. Con n = 15, p = 0 .1yq = 0.9, de la tabla 1 se tiene que

2P(aceptar el lote)=£>(*, 15,0.1) = 0.8159

3=0

b) Sabemos que: P(aceptar el lote) + P(rechazar el lote) = 1. Por tanto

P(rechazar el lote) = 1 - P (aceptar el lote)= 1 -0.8159 = 0.1841

16

Ejemplo 3.3

Un proceso de fabricacion de lamparas produce un 20% de unidades defectuosas. Si se eligen al azar 6 lamparas, ^Cual es la probabilidad de que

a) no se encuentren lamparas defectuosas en Ea muestra?b) se encuentren a lo mas dos lamparas defectuosas?c) se encuentre entre 3 y 5 lamparas defectuosas?d) se encuentran al menos cuatro lamparas defectuosas?e) se encuentran exactamente cuatro lamparas

Solution:Sea X la variable aleatoria que cuantifica el numero de lamparas

defectuosas (exitos) en la muestra. Entonces x tiene una distribucion binomial n=8, p=0.2 y q=0.8. Asi, la distribucion de X esta dada por la expresion:

b(x,6,0.2) =(0 .2 )'(0 .8 f';^ = 0,1,2, .,.,6

w

0. de otra forma

Las probabilidades para los valores de X son:

b(0,6,0.2)= (0 .2 )°(0 .8 )6 = 0.2621

b(1,6,0.2)= ( Q . 2 y ( 0 . S y = 0 .3 9 3 3

b(2,6,0.2)= (0.2)2(0.8)4 = 0.2457

/ 42 b(3,6,0.2)=

13,(O.?)3^ ) 3 = 0.0819

b (4 ,6 ,0 .2 )= (0.2)‘ (0.8)2 = 0.0154

17

b(5,6,0.2)='6 ',5 ,

(0.2)5 (0.8)f = 0.0015

fb(6,6,0.2)=

v,

6^

6,(0-. 2 )6 (0.8 )° 0.0001

La distribution de X en forma tabular es:

X b(x,8,0.2)■ 0 0.2621

1 0.39332 0.24573 0.08194 0.01545 0.00156 0.00012 1.0000

De aqui pueden contestarse las preguntas planteadas.

a) No se encuentran Idmparas defectuosas en la muestra si x - 0. b(0,6,0.2)=0.2621

b) Se encuentran a lo m£s dos Idmparas defectuosas si x - 0,1,2. b(0,6,0.2)+b(1,6,0.2)+b(2,6,0.2)=0.9011

c) Se encuentran entre 3 y 5 Idmparas defectuosas si x = 3,4,5. b(3,610.2)+b(4l6,0.2)+b(5,6r0.2)=0.0359

d) Se encuentran al menos cuatro temparas defectuosas si x = 4,5,6. b(4,6I0.2)+b(5,6l0.2)+b(6,6,0.2)=0.017

e ) Se encuentran exactamente cuatro Idmparas defectuosas si x = 4. b(4,6,0.2)=0.0154

18

3.2 La distribucion multinomial.

3.2.1 Descripcion.

Un experimento binomial cambia a ser un experimento multinomial cuando cada prueba del experimento tiene mas de dos resultados posibles. Esto ocurre, por ejemplo, cuando un articulo se clasifica en cuanto a su calidad como alta, media o baja; e! registro de accidentes en el crucero de dos calles segun el dla de la semana o bien cuando el aprovechamiento de un estudiante se evalua, asignandole calificaciones de A, B, C o D. Para tratar de manera general esta clase de problema consideremos que si una prueba dada puede resultar en cualquiera de k posibilidades Et,E2,...,EK con probabilidades Pn P2,...,PK respectivamente, entonces la distribucion multinomial da la probabilidad de que £, ocurra x, veces; E2 ocurra, x2 veces;...; Ek ocurra xk veces en n pruebas independientes, donde:

yx, + x2 + ... + xk - n

P\ +P2+ - + Pk =1

Esta distribucion de probabilidad conjunta se representa generalmente por:

f ( x l,x2,...xk; p ^ p 2,...,pk;n)

3.2.2 Definicion.

Si una prueba determinada puede resultar en cualquiera de los k resultados con probabilidades . entonces la distribucion de

probabilidad de las variables aleatorias X l,X 2,...,Xk , que representan el numero de ocurrencias para EltE2,...,EK en n pruebas independientes es:

f ( x ],x2,...xk\ p ]ip 2,...,pk;n) =f n '

■> x2 JP?'P?~Pf'

conK K

Z x , = « . Z p , =1 y/=! /=!n\

19

El nombre de la distribution multinomial se debe al hecho de que losterminos del desarrollo multinomial de (p, + p2 + ... + pky corresponde a todos los valores posibles de:

. f ( x x,x2,..jck;px,p 2,...,pk;n)

3.2.3 Media y varianza.

Si X x,X 2,...,Xn tienen una distribucibn multinomial, la distribution de probabilidad marginal de X i es binomial con:

p = E(X) = np{ y <r2 = \ai(X) = n ^ q .

Ejemplo 3.4

Las probabilidades de que un foco de cierto proyector de acetatos dure menos de 30 horas de uso continuo, entre 30 y 60 horas de uso continuo o mas de 60 horas de uso ininterrumpido son 0.30,0.50,y 0.20, respectivamente. Encuentre la probabilidad de que en una muestra.de n=10 focos, tres duren menos de 40 horas, cinco duren entre 40 y 60 horas y dos duren mbs de 60 horas.

Solution:

Sean Ex,E2yE3 los siguientes resultados posibles:

Ex = Que el foco dure menos de 30 horas.E2 ~ Que el foco dure entre 30 y 60 horas.£*3 = Que el foco dure mbs de 60 horas.

Las probabilidades correspondientes para cada repeticibn dada son Pi = y Pi =Y$- Estos valores se conservan constantes para las10 repeticiones. La probabilidad de que la muestra de 10 focos estb compuesta por xx = 3 focos que duren menos de 30 horas, por x2 ~ 5 focos que duren entre 30 y 60 horas y por * 3 = 2 focos que duren mbs de 60 horas, es:

3 1 1/(3,5,2;— ,-,-,1 0 ) = 10 2 5

A ° 'j 3r n 5 r n1,3,5,2 Ju o j U j U J

10' 3J I- 1 0.085053!5!2! 103 2s 52

20

3.3 Ejercicios Propuestos:

1. En una cierta area de la ciudad se da como una razon del 80% de los robos la necesidad de -dinero para comprar estupefacientes. Encuentre la probabilidad que dentro de los 5 proximos asaltos reportados en esa area:a) Exactamente 2 se debieran a la necesidad de dinero para comprar drogas;b) Cuando mucho 3 se debieran a la misma razon arriba indicada

2. Un agricultor que siembra fruta afirma que el 70% de su cosecha de duraznos ha sido contaminada por la mosca del mediterraneo. Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar4 duraznosa) Los 4 est6n contaminados por la mosca del mediterraneo;b) Cualquier cantidad entre 1 y 3 este contaminada.

3. Al probar una cierta clase de neumatico para camion en un terreno escabroso se encontro que 30% de los camiones terminaban la prueba con los neumaticos dafiados. De los siguientes 15 camiones probados, encuentre la probabilidad de quea) De 3 a 6 tengan ponchaduras;b) Menos de 4 tengan ponchaduras;c) Mas de 5 tengan ponchaduras.

4. Un reporte publicado revelb que casi el 70% de los estudiantes del ultimo ano desaprueban las medidas para controlar e! habito de fumar mariguana todos los dias. Si 12 de estos estudiantes se seleccionan al azar y se les pregunta su opinion, encuentre la probabilidad de que el numero que desaprueba dicha medida seaa) Cualquier cantidad entre 7 y 9;b) Cuando mucho 5;c) No menos de 8.

5. La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operation de corazon es 0.9. ^Cu£l es la probabilidad de que exactamente 5 de los proximos 7 pacientes que se sometan a esta intervention sobrevivan?

6. Un ingeniero de control d tr£fico reporta que 80% de los vehiculos que pasan por un punto de verificacidn tienen matriculas del estado. ^Cual es la probabilidad de que mas de 4 de los siguientes 9 vehiculos no sean del estado?

7. Suponga que los motores de un aeroplano operan en forma independiente y de que fallan con una probabilidad de 0.4. Suponiendo que uno de estos artefactos realiza un vuelo seguro en tanto se mantenga funcionando cuando menos la mitad de uno de los motores, determine que aeroplano, uno de 4 motores o uno de 2, tiene mayor probabilidad de terminar su vuelo exitosamente.

21

8. Repita el ejercicio anterior cuando la probabilidad de falla es de 0.2.

9. Un fabricante de lavadoras asegura que solamente el 10% de sus lavadoras requiere reparation dentro del periodo de garantia que es de 12 meses. Si cinco de 20 de sus lavadoras requieren reparation durante el primer ano, ^contribuye esto a apoyar o a refutar su afirmacion?

f. _

10. Si la probabilidad de que un retraso en un proceso automatizado de production exceda 2 minutos es 0.20, calcula la probabilidad de que tres de ocho retrasos de este proceso duren mas de 2 minutos si usasa) La formula para la distribucion binomial;b) La tabla 1.

11. Una cooperativa agrfcola asegura que el 90% de los melones embarcados esfen maduros, carnosos y listos para comer. Encuentra la probabilidad de que entre 18 melones embarcadosa) Los 18 melones estan maduros, carnosos y listos para comer;b) Al menos 16 esfen maduros, carnosos y listos para comer;c) A lo mbs 14 esten maduros, carnosos y listos para comer.

12. Un empresario de la industria alimenticia asegura que a lo sumo 10% de sus frascos de cafe instanfeneo contiene menos cafe del que se garantiza en la etiqueta. Para probar esta afirmacion, 16 frascos de su cafe instantaneo son aleatoriamente escogidos y se pesa el contenido; su afirmacibn es aceptada si menos de 3 frascos contienen menos cafe del que se garantiza en la etiqueta. Encuentre las probabilidades de que la afirmacion del empresario sea aceptada cuando el porcentaje real de sus frascos que contienen menos cafe del que se indtca en la etiqueta esa) 5%; b) 10%; c) 15%; d) 20%.

13. ^Gual es la probabilidad de que una auditora de Hacienda detecte solamente 2 declaraciones de impuestos con deducciones ilegales, si selecciona aleatoriamente 6 de 18 declaraciones 8 de las cuales contienen deducciones ilegales?

14. Un ingeniero de control de cafidad inspecciona una muestra aleatoria de 3 acumuladores de cada lote de 24 que esfen listos para ser embarcados. S i un lote contiene 6 acumuladores con defectos ligeros, ^cuales son las probabilidades de que la muestra del inspector contengaa) Ninguna de las batenas con defectos;b) Solamente una de las batenas defectuosa;c) Al menos dos.de las batenas con defectos leves?

22

15. En un tablero para dardos circular se tiene un pequeno circulo que se llama centra y 20 areas numeradas del 1 al 20. Cada una de eStas areas se divide a su vez en tres partes, de tal forma que una persona que lanza un dado y que acierta en un numero determinado obtiene un marcador sencillo, doble o triple del numero, dependiendo de en cual de las tres partes acerto. Si una persona atina en el centra con una probabilidad de 0.01, de que sea doble con una probabilidad de 0.10, triple con 0.05 y de que no atine al tablero con 0.02, ^Cual es la probabilidad de que de 7 lanzamientos no atine ninguno al centra, no haga triples, haga un doble dos veces, y una de que no atine al tablero?

16. De acuerdo con la teoria de la genetica, un cierto cruce de conejillos de indias resultara en una descendencia roja, negra y blanca en la relacion 8: 4: 4. Encuentre la probabilidad de que de 8 descendientes, 5 sean rojos, 2 negros y 1 bianco.

17. Las probabilidades son de 0.4, 0.2, 0.3, y 0.1, respectivamente, de que un delegado llegue por aire a una cierta convencion, llegue en autobus, en automovil o en tren. ^Cual es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convencion, 3 hayan llegado por aire, 3 en autobus, 1 en automovil y 2 en tren?

18. En una ciudad la proporcion de famiiias que consumen un determinado artfculo es del 40%. Se toma una muestra aleatoria de 9 famiiias. Calcular la probabilidad de que en la muestra haya como minimo 3 famiiias que no consuman dicho articulo.

19. Una persona contesta at azar un test que consta de 10 preguntas, cada una de las cuales tiene asociada cuatro respuestas, una de las cuales es la correcta. La prueba se considera aprobada con siete respuestas correctas. Calcular la probabilidad de que la persona apruebe. Supongamos ahora que la persona que contesta conoce tres respuestas correctas; el resto de las respuestas las marca al azar. Indicar la probabilidad de que tal persona apruebe.

20.Supongase que un examen en la administration publica estd disenado en forma tal que el 70% de las personas con un Cl de 90 lo aprueben. Encontrar las probabilidades de que entre 15 personas con un Cl de 90, que presentan el examen,

a) al menos 12 lo aprueben;b) a lo mas 6 lo aprueben;c) 10 aprueben.

21. En cierta ciudad, se da por hecho que los gastos medicos son la causa del 75% de todas fas quiebras personates. Calcular la probabilidad que los gastos medicos sean la causa para dos de las cuatro proximas quiebras personales registradas en tal ciudad.

23

4. LA DISTRIBUCION GEOMETRICA

4.1 Descripcion.

La variable aleatoria que tiene distribucion geometrica se define para un experimento que es muy similar al experimento binomial. Tambien se refiere a una serie de pruebas identicas e independientes, y cada una puede tener dos resultados posibles, exito y fracaso. La probabilidad de obtener un exito es igual a p y es constante en cada prueba. La probabilidad de fracaso es q = 1-p. Sin embargo, la variable aleatoria geometrica X representa el numero de pruebas necesarias hasta obtener por primera vez un exito, en lugar del numero de exitos observados en las n pruebas, que es el caso de la variable aleatoria X binomial. Entonces el experimento consiste de una serie de pruebas que termina al obtener el primer exito. Por consiguiente, el experimento podria terminar en la primera prueba al obtener un exito o podria continuar infinitamente.

La distribucidn geometrica se aplica en situaciones como las siguientes:a) Se inspeccionan sucesivamente articulos manufacturados hasta obtener un

artfculo defectuoso.b) Un explorador de petroleo perfora una serie de pozos hasta encontrar un pozo

productive.c) Un vendedor de seguros para autos ofrece sucesivamente un seguro hasta

realizar una venta.

Los tres experimentos descritos previamente tienen propiedades similares en el sentido de que las pruebas repetidas son independientes y la probabilidad de exito permanece constante en cada prueba.

Ei espacio muestral S para el experimento contiene el siguiente conjunto

Exito en la primera prueba.Fracaso en la primera, exito en la segunda. Fracaso en la primera y segunda, 6xito en la tercera.

Fracaso en las k-1 pruebas, exito en la k-esima prueba.

infinito contable de elementos.

Er .S = {e}E2 :S - { f ,e)E3 :S = { f , f , e )

Ek = S = { / J , f . . . J r e}

24

De este modo, la probabilidad de la intersection de los eventos independientesf f f f...fe con p la probabilidad de exito y q = 1-p la de fracaso, da lugar a la

distribution de probabilidad geometrica.

g(xfn) = qx-{p, x = 1,2,3,...

4.2 Definicion.

Si una serie de pruebas identicas e independientes pueden resultar en un exito con una probabilidad p y en un fracaso con una probabilidad q = 1-p, entonces la distribucibn de probabilidad de la variable aleatoria X que representa el numero de pruebas necesarias hasta obtener por primera vez un exito es:

g(x,n) = qx-'p, x = 1,2,3, ...

El parametro de la distribucibn es p, la probabilidad de exito en cada prueba.

Una variante de esta distribucibn de probabilidad estb dada por:

g(X > x,p) = qx

que da la probabilidad de que se requiera un determinado numero de pruebas para que se obtenga por primera vez un exito.


La media y la varianza de la variable aleatoria que sigue, la distribucibn geometrica, estbn dadas por:

ft = E (X ) = - a 2 =vai(X) = ^ -P P

4.4 Grafica de la distribucibn.

A continuacibn se presentan algunas formas que puede tomar la distribucibn geombtrica para valores seleccionados de p.

25

a) Comportamiento de la distribucion geometrica con p = 0.2, q = 0.8

X / w1 0.202 0.163 0.134 0.105 0.086 0.07

b) Comportamiento de la distribucibn geometrica con p = 0.5, q = 0.5

X /(* )1 0.502 0.253 0.134 0.065 0.036 0.02

c) Comportamiento de la distribucion geometrica con p = 0.8, q = 0.2

X / (* )1 0.8 02 0.163 0.034 0.015 0.0016 0.0002

Ejemplo4.1

Un matrimonio decide tener hijos hasta que obtenga un vardn en la familia. Si se reporta que el 40% de los recibn nacidos son varones, encuentre, a) La probabilidad de que hasta el tercer hijo logren el vardn, b) La probabilidad de que el matrimonio necesite tener mbs de cuatro hijos.

26

Solucion.

a) Utilizando la distribucion geometries con x = 3, /? = 0.4 y q = 0.6. se tiene que la probabilidad de que el matrimonio logre el varan hasta el tercer hijo es:

g(x,p) = pq*g(3,0.4) = (0.4X0.6)2 =0.144

b) Utilizando la distribucibn geometrica con x - 3,p = 0.4 y q = 0.6. se tiene que la probabilidad de que el matrimonio requiere tener mbs de cuatro hijos para que obtengan un varan es:

g(X>x,p) = qxg(X> 4,0.4)= (0.6)4 = 0.1296

Ejemplo 4.2

La probabilidad de que un estudiante de aviacion apruebe el examen escrito para obtener su licencia de piloto es 0.7. Encuentre la probabilidad de que una persona apruebe el examen:

a) en el tercer intento;b) Antes del cuarto intento.

Solucion:

a) Sustituyendo x = 3,p = 0.7 y q = 0.3 en la formula de la distribucion geometries, obtenemos:

g(x,p) = pqx-'g(3,0.7) = (0.7X0.3)2 = 0.063

b) Se pide la probabilidad para los valores de x = ^2,3 con p = o.7 y q = 0.7, por lo tanto:

Z 2(*.°'7) = g(l>°-7) + g( 2.0.7) + g( 3,0.7)x=l

= (0.7)(0.3)° + (0.7)(0.3)1 +(0.7)(0.3)2 =0.973

27

Ejemplo 4.3

Un conmutador telefonico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo de ocupado se refiere, de tal forma que las personas no pueden encontrar una linea desocupada para sus llamadas. Suponga que la probabilidad de tener tinea durante ia mayor congestion de llamadas es p = 0.05. Encuentre el numero esperado de intentos necesarios para realizar una llamada y la varianza del numero de intentos necesarios.

Solucion.

El numero esperado de intentos necesarios para realizar una llamada es:

^ = £(*) = — = 20 0.05

La varianza del numero de intentos necesarios es:

<j2 = var(x) =1- 0.05(0 .05)2

= 380

Ejercicios propuestos:

1. - Se supone que el 30% de los aspirantes para cierto trabajo industrial tiene un entrenamiento avanzado en programacidn computacional. Los aspirantes son entrevistados, uno tras otro, y son seleccionados al azar del conjunto de aspirantes. Determine la probabilidad de que se encuentre el primer aspirante con un entrenamiento avanzado en programacion en la quinta entrevista.

2. - Un explorador de petrbleo perforar£ una serie de pozos en cierta area para encontrar un pozo productivo. La probabilidad de que tenga exito en una prueba es de 0.2.a) ^Cual es la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado?

b) i,Cual es la probabilidad de que el explorador no vaya a encontrar un pozo productivo si solamente puede perforar a lo m&s 10 pozos?

3. - Un contador publico titulado (CPT) ha encontrado que 9 de 10 auditorias de companfas contienen errores importantes. Si el CPT revisa la contabilidad de una serie de compafiias, £cu&l es la probabilidad de que:a) la primera contabilidad con errores sustanciaies sea la tercera contabilidad

revisada?b) la primera contabilidad con errores importantes fuera encontrada despues

de revisar la tercera?

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4-.- La probabilidad de que un cliente acuda al mostrador de una tienda de abarrotes en cualquier periodo de un segundo, es igual a 0.1. Supongase que los clientes llegan de manera aleatoria y por lo tanto las llegadas en cada intervalo de un segundo son independientes.a) Encuentre. la probabilidad de que la primera llegada ocurra durante el tercer

intervalo de un segundo.b) Encuentre la probabilidad de que la primera llegada no ocurra hasta al

menos el tercer intervalo de un segundo.

5. - Se estima que el 60% de una poblacion de consumidores prefiere una marca particular de pasta de dientes A. ^Cual es la probabilidad, al entrevistar a un grupo de consumidores, de que se tenga que entrevistar a exactamente cinco personas, para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca A? ^Al menos cinco personas?

6. Un tirador experto da en el bianco el 95% de las veces. ^Cual es la probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto disparo?

7. En una “prueba de resistencia” el interrupter de una lampara es puesto en encendido y apagado hasta que falla. Si la probabilidad de que falle en cualquier ocasibn que es puesto en encendido o en apagado es de 0.001, i,cual sera la probabilidad de que falle despubs de que fue puesto en encendido y en apagado 1200 veces. Supbngase que las condiciones fundamentales de la distribucibn geometries se satisfacen. (sugerencia: utilice la formula para el valor de una serie geombtrica y logaritmica).

8. Los expedientes de una compafiia de alberca indican que la probabilidad de que una de sus nuevas albercas requiera reparacibn en el plazo de un arte es0.20. ^Cubl sera la probabilidad de que la sexta alberca construida en un arte determinado sea la primera en requerir reparacibn en ese lapso?

9. La detemninacibn de probabitidades con la distribucibn geometries se simplifies utilizando la identidad

g (x :p ) = - ( x : \ , p )X

y buscando b(x;\,p) en una tabla de probabilidades de fa distribucibn binomial. Verfiquese la identidad dada y utilfeese la tabla 1 para calcular

a) g(12;0.10); b) g(10;0.30).

29

5. LA DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA

5.1 Descripcion.

En este apartado se considera un experimento en el cual las propiedades son las mismas que las indicadas para un experimento binomial, con la excepcion de que las pruebas, se repetiran hasta que ocurra un numero determinado de exitos. Por lo tanto, en lugar de encontrar la probabilidad de x exitos en n pruebas, donde n es fijo, ahora se esta interesado en la probabilidad de que el k-6simo exito ocurra en el x-esimo intento.

El numero de pruebas identicas e independientes necesarias hasta obtener k exitos recibe el nombre de variable aleatoria binomial negativa. La distribucion de probabilidad de esta variable aleatoria discreta se representan por b*(x; k, p), dado que sus probabilidades dependen del numero de Exitos deseados y de la probabilidad de exito en una prueba dada.

Para obtener la formula general para b*(x; k, p), consid^rese la probabilidad de un exito en la prueba x precedido por k-1 Exitos y x-k fracasos en algun orden especifico. Dado que los intentos son independientes, se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a cada resultado deseado. Cada exito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1-p. Por io tanto, la probabilidad para el orden especificado, que finaliza en un exito, es:

El numero total de resultados posibles en el experimento que termina en un exito, despu£s de que ocurren k-1 exitos y x-k fracasos en cualquier orden es igual al numero de particiones de x-1 intentos en dos grupos con k-1 exitos correspondientes al grupo 1 y x-k fracasos correspondientes al grupo 2. Este numero lo da el termino:

donde cada uno es mutuamente excluyente y ocurre con igual probabilidad

5.2 Definicion

Si en una serie de pruebas identicas e independientes pueden resultar en un exito con una probabilidad p y en un fracaso con una probabilidad q = 1-p, entonces la distribucidn de probabilidad de la variable aleatoria X, que represents el numero de pruebas necesarias hasta obtener k exitos es:

p k . qx~k . La fdrmula general se obtiene multiplicand© p kq x~kpor

30

b'(x;k,p) =Kk ~ b

p kq x k,x = k,k + \,k + 2,...

donde k es el numero de exitos que se desean, p es la probabilidad de exito en cada prueba y q = 1-p.


Si X es una variable aleatoria binomial negativa con parametros p y k, entonces la media y la varianza de X son:

H = E {X )= - y cr2 = var(X) =P P

5.4 Graficas de la distribucion.

A continuacion se presentan algunas formas que puede tomar la distribution binomial negativa con el mismo pardmetro k y diferentes valores de p.

a) Comportamiento de la distribution binomial negativa con k = 3, p = 0.5, q = 0.5

X m

3 0.134 0.195 0.196 0.167 0.128 0.08

b) Comportamiento de la distribution binomial negativa con k = 3, p = 0.2

X m

3 0.014 0.025 0.036 0.047 0.058 0.06

31

C) Comportamiento de la distribution binomial negativa con k = 3, p = 0.8

X m3 0.514 0.315 0.126 0.047 0.018 0.003

Ejemplo 5.1

En un proceso de manufacture se sabe que el 2% de las piezas producidas son defectuosas. <j,Cual es la probabilidad de que la sexta pieza inspeccionada sea la segunda pieza defectuosa?

Solution:

Utilizando la distribution binomial negativa con x = 6,k = 2 y p = 0.02, setiene:

b*(x\k,p) =' x - l '

vk ~ bPkr k

b*(6; 2, 0.02) = (0.02)2(0.98)4 =0.0018

Ejemplo 5.2

Un cientifico inocula varios ratones, uno a la vez, con un germen de una enfermedad hasta que obtiene 3 que la han contraido. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es 0.2, ^Cual es la probabilidad de que se requieran 7 ratones?

Solution:

tieneUtilizando la distribution binomial negativa con x = l ,k = 3 y p = 0.2

b*(x;k,p) =x -1k - \ Pkr k,x k,k +1,...

se

6 *(7,3,0.2)'7-1

,3-1

\(0.2)3(0.8)4 =0.049152

J

32

5.5 Ejercicios propuestos

1. Suponga que la probabilidad de que una persona determinada crea una historia acerca de los atentados a una famosa actriz es 0.7. ^Cual es la probabilidad de que la quinta persona que escucha tal historia sea la tercera que lo crea?

2. Los registros indican que una cierta vendedora tiene exito en formalizar una venta en 40% de sus entrevistas. ^Cual es la probabilidad de que esta vendedora tenga que tratar 8 personas para que realice dos ventas?

3. Si la probabilidad de que cierto instrumento de medicion sufra una desviacion excesiva es 0.03, ^cual es la probabilidad de que el octavo de los instrumentos probados sea el segundo en mostrar esa desviacion?

4. Un tirador experto da en el bianco el 90% de las veces. ^Cual es la probabilidad de que fade por tercera ocasion en su decimo tiro?

5. Los expedientes de una compama de albercas indican que la probabilidad de que una de sus nuevas albercas requiera reparacion en el plazo de un aho es de 0.10. <j,Cual es la probabilidad de que la novena alberca construida en un aho determinado sea la segunda en requerir reparacion en ese lapso?

6. La probabilidad de que una persona que vive en una cierta ciudad tenga antena parabolica en su casa se estima en 0.10. Encuentre la probabilidad de que la octava persona entrevistada aleatoriamente en esta ciudad sea la cuarta persona que tenga antena parabolica en su domicilio.

7. Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza un dado equilibrado obtenga el tercer seis en un decimo lanzamiento.

8. En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas que provienen de una linea de ensamble. Se piensa que la proporcion de unidades defectuosas es de 0.05.

a) 6Cual es la probabilidad de que la vigesima unidad inspeccionada sea la segunda que se encuentre defectuosa?

b) Supongase que la decimoquinta unidad inspeccionada es la segunda que se encuentra defectuosa. <j,Cual es la probabilidad de este hecho bajo condiciones determinadas?

33

6. LA DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

6.1 Descripcion.

Supongase que se quiere conocer el numero de articulos defectuosos presentes en una muestra de tamaho n, extraida de un lote que contiene en total N articulos de los cuales k estan defectuosos. Si la muestra es extraida de tal forma que, en cada extraccion sucesiva, cualquier articulo que se haya quedado en el lote tenga la misma oportunidad de ser elegido. La probabilidad de que en la primera extraccion haya un articulo defectuoso es k / N , pero en la segunda

extraccion es ——- o — dependiendo de que en la primera extraccion se

haya obtenido o no un articulo defectuoso.

En general, el interes que se tiene es en la probabilidad de seleccionar x exitos de los k posibles resultados o articulos tambien considerados exitos y n - x fracasos de los N - k posibles resultados o articulos tambien considerados fracasos, cuando una muestra aleatoria de tamaho n se selecciona de N resultados o articulos totales. Asi, los x exitos pueden ser elegidos de los k

posibles resultados de maneras. Los n - x fracasos pueden ser elegidos de

los N - k posibles resultados de

n - x fracasos pueden elegirse de

N - k\ n ~ x J

formas y, en consecuencia,* exitos y

formas. Asimismo, n objetos puedenKn - x j

rN'elegirse de un conjunto de N objetos de maneras; lo cual da origen a la

formula general de la distribucibn hipergeometrica.

h(x; N, n, k) =*

(N-k>

Kn - x J/ N\

x = 0,1,2, ...n

\ n J

Un experimento con distribucion hipergeometrica es aquel que posee lassiguientes caracteristicas:1. Una muestra aleatoria de tamaho n se selecciona sin reemplazo de un total de

N resultados u objetos totales.2. k resultados u objetos del total N pueden clasificarse como exitos y N - k

como fracasos.

34

6.2 Definicion.

La distributor) de probabilidad de ia variable aleatoria hipergeometrica X, que representa el numero de exitos en una muestra aleatoria de tamano n seleccionada de N resultados posibles, de los cuales k son considerados como exitos y N - k como fracasos es:

h(x; N, n,k) =( k )

( N - k \

w [ n - x )f xAN

, x = 0,1,2,..., n

Los parametros de la distribucion son el tamano de la muestra n, el tamano de la poblacion N y el numero de exitos en la poblacion k .


Si X es una variable aleatoria hipergeometrica con parametros N, k y n, entonces la media y la varianza de X son:

a 1 = var(X) = n- — - n

N - kN

\r N - n \N - \ )


A continuacion se presentan algunas formas que puede tomar la distribucion hipergeometrica para diferentes valores de k .

a) Comportamiento de la distribucion hipergeometrica para N = 15, n = 5, k = 7

X / «0 0.01861 0.16322 0.39163 0.32634 0.09325 0.0070

35

b) Comportamiento de la distribution hipergeometrica para N = 15, n = 5, k =6

X m0 0.4120 ■1 0.25172 0.41963 0.23984 0.04505 0.0020

c) Comportamiento de la distribucion hipergeometrica para N = 15, n = 5,k = 5

X / w0 0.08391 0.34972 0.39963 0.14994 0.01675 0.0003

Ejemplo 6.1

En una planta industrial se emplea una regia de aceptacion para los articulos producidos antes de ser embarcados. Para lotes de 30 articulos que son preparados para su embarque, se selections una muestra de 4 articulos para su revision. Si se encuentra alguno defectuoso el lote se regresa para inspeccionar los 30 articulos, en caso contrario el lote se embarca.

a) i,Cual es la probabilidad de embarcar un lote que contenga dos articulos defectuosos?

b) i,Cual es la probabilidad de regresar un lote que contiene solo un articulo defectuoso?

Solution:Como el muestreo satisface las caracterlsticas de una distribucion

hipergeometrica, entonces:

36

a) Sustituimos x = 0,N = 30 y k = 2 en la formula • de la distribucion hipergeometrica y obtenemos que la probabilidad de embarcar un lote con dos artlculos defectuosos es:

h(0,30,4,2)=

'28',0,

^30^

V^y

= 0.01379

b) Sustituyendo * = 1,7V = 30 y k = 1, se tiene que la probabilidad de regresar un lote que contiene solo un defectuosos es:

h(1,30,4,1)=

fn f29iu

'30^v 4 y

= 0.1333

Ejemplo 6.2

En una fabrica se emplea un proceso de aceptacion para cajas de 40 artlculos. La regia consiste en examinar una muestra de 5 artlculos y aceptarla si ninguno resulta defectuoso. Para una caja con 6 defectuosos, hallar la probabilidad de:a) Que la muestra contenga exactamente 3 artlculos defectuosos.b) Que la muestra contenga exactamente 3 artlculos buenos.c) Que la muestra contenga mas artlculos buenos que defectuosos.d) Aceptar una caja.e) Rechazar una caja.

Solucion:

Si distinguimos un artlculo defectuoso como exito y a uno buenos como fracaso, entonces el problema satisface las caracterlsticas de una distribucion hipergeometrica con 7V = 40,£ = 6,« = 5 y X que denota el numero de artlculos defectuosos en la muestra, puede tomar los valores x = 0,1,2,3,4,5. Por lo tanto

a) La probabilidad buscada es para cuando x = 3, es

37

h(3,40,5,6)=

f35lb>bJ

'40^

y

= 0.0090

b) Lo que se pide en este inciso, equivale a tener 2 articulos defectuosos en la muestra, esto es * = 2, asf

h(2,40,5,6)=f 5 l f 35 )b J b J

'40^

y

= 0.0995

c) La muestra contiene mas articulos buenos que defectuosos si X toma los valores x = 3,4,5, por tanto

X > (*. 40,5,6) =

( 35' f 5 l f 3 5 ] r 5 l f 3 5 lb J b ) b J b J y J b J*=3 f 4 0 ^

b ) b ) V

40= 0.00927

d) El lote se acepta si ninguno es defectuoso, esto es si x = 0, por lo tanto

h(0,40,5,6)=

W S S '

f i h y^40^

y

= 0.4934

e) Sabemos que: P(aceptar una caja)+P(rechazar una caja)=1, de donde

P(rechazar una caja)=1-P(aceptar una caja)

= 1-

'35'

A y ,^40^

y

= 1-0.4936 = 0.5066

38

6.5 Ejercicios propuestos:

1. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcotico en una botella que contiene 9 pildoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, ^cual es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesion ilegal de narcoticos?

2. De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotaran, ^cual es la probabilidad de quea) los 4 exploten?b) a lo mas 2 no exploten?

3. Un comite de 3 integrantes se forma aleatoriamente seleccionando de entre 4 doctores y 2 enfermeras. Escriba una formula para la distribucion de probabilidad de la variable aleatoria X que representa el numero de doctores en el comite. Encuentre p(2<X<3)

4. i,Cual es la probabilidad de que una mesera se rehuse a servir bebidas alcoholicas unicamente a 2 menores de edad, si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?

5. Una compahia esta interesada en evaluar sus actuates procedimientos de inspeccion en el embarque de 50 articulos identicos. El procedimiento es tomar una muestra de 5 piezas y autorizar el embarque si se encuentra que no mas de 2 estan defectuosas. ^Que proportion del 20% de embarques defectuosos seran autorizados?

6. Una compahia manufacturer utiiiza un esquema para aceptacion de los articulos producidos antes de ser embarcados. El plan es de 2 etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tiene algun articulo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningun articulo defectuoso, la caja se embarca.a) i,Cual es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3

articulos defectuosos?b) i,Cual es la probabilidad de que una caja que contiene solo un articulo

defectuoso se regrese para verification?

7. Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona un comite de 4 estudiantes aleatoriamente, encuentre la probabilidad de quea) Esten representadas todas las nacionalidades;b) Esten representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana.

39

8. En 15 experimented que estudian las caracteristicas electricas de celdas fotoelectricas, 11 usan microelectrodos de metal y los otros 4 emplean microelectrodos de vidrio. Si dos de los experimentos son cancelados por razones financieras y si esta cancelacion se realizo al azar, ^cuales son las probabilidades de que

a) Ninguno de los dos experimentos cancelados empleasen microelectrodos de vidrio:

b) Solamente uno de los que empleaban microelectrodos de vidrio fue cancelado;

c) Ambos experimentos cancelados utilizaban microelectrodos de vidrio?

9. Un cargamento de 120 alarmas contra robo contienen 5 defectuosas. Si tres de ellas son seleccionadas aleatoriamente y embarcadas para un cliente, encuentra la probabilidad de que al cliente le toque una defectuosa, utilizando a) La formula de la distribucion hipergeometrica;La formula de la distribucion binomial como una aproximacion.

10. Una empresa compra lotes grandes de pina que vienen en rejas que contiene 30 pinas. El criterio empleado para comprar el lote es el siguiente: se revisan al azar 3 pinas de una caja; si las tres pinas estan en buenas condiciones se compra el lote. En caso contrario no se compra. Si se sabe que el 10% de la produccion no esta en buenas condiciones, calcular la probabilidad de que se compre el lote.

H.Entre los 12 colectores solares en exhibicion es una feria comercial, 9 son colectores pianos y los otros son colectores de concentration. Si una persona que visita la feria selecciona aleatoriamente cuatro de los colectores para examinarlos, ^cual es la probabilidad de que tres de ellos sean colectores pianos?.

12. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra aleatoria de 3 acumuladores de cada lote de 24 que est£n listos para ser embarcados. Si un lote contiene seis acumuladores con pequenos defectos., ^cuales son las probabilidades de que la muestra del inspector contenga

a) ninguna de las baterias con defectos;b) solamente una de las baterias defectuosa;c) al menos dos de las baterias con defectos leves?

40

LA DISTRIBUCION POISSON

7.1 Descripcion.

Los experimentos que resultan en valores numericos de una variable aleatoria X, que representa el numero de resultados durante un intervalo de tiempo dado o en una region especifica, son conocidos como experimentos de Poisson. El intervalo de tiempo dado puede ser de cualquier duracion, por ejemplo un minuto, un dia, una semana, un mes, o inclusive un afio. Algunos ejemplos tipicos en este tipo de experimentos son el numero de personas que llegan a una tienda de autoservicio en un tiempo determinado, el numero de llamadas telefonicas por hora que reciben en una oficina, o el numero de huracanes al afio que afectan cierta area de la republica mexicana. La region especifica podria ser un segmento de linea, un area, un volumen o bien un pedazo de material. En este caso algunos ejemplos tipicos son el numero de defectos en piezas similares de un material, el numero de errores por pagina que presentan ciertos libros, o el numero de bacterias en un determinado cultivo. La distribucion Poisson es el principal modelo de probabilidad empleado para analizar problemas de lineas de espera.

Un experimento de Poisson tiene las siguientes caracteristicas:

1. El numero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o region especifica es independiente del numero que ocurren en cualquier otro intervalo de tiempo o region especifica.

2. El numero de resultados del experimento en un intervalo de tiempo o region especifica no tiene influencia alguna sobre el numero de ocurrencias del experimento en otro intervalo de tiempo o region especifica diferente al anterior.

3. La probabilidad de dos o mas resultados en un intervalo de tiempo tan corto o en una region especifica tan pequena es despreciable o aproximadamente cero.

7.2 Definicion.

La distribucion de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, que representa el numero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en una region especifica es:

P{x,X) = ^ - , x = 0,1,2,...x\

donde /les el parametro de la distribucion y representa el numero promedio de resultados por unidad de tiempo o region especifica y e = 2.72

41


Si X es una variable aleatoria Poisson con parametro/l, entonces la media y la varianza de Xson:

ju - E(X) = X y a 2 = vai(X) = X


A continuacion se presentan algunas formas que puede tomar la distribucion Poisson para diferentes valores de X .

a) Comportamiento de la distribucion Poisson para X -1

X / m. 0 0.3679

1 0.36792 0.18393 0.06134 0.01535 0.0031

b) Comportamiento de la distribucion Poisson para X = 2

X / m3 0.13534 0.27075 0.27076 0.18047 0.09028 0.0361

42

c) Comportamiento de la distribution Poisson para X = 3

X / m3 0.04984 0.14935 0.22416 0.22407 0.16818 0.1008

Ejemplo7.1

En un estudio de un inventario se determino que, en promedio, la demanda de un articulo en particular en una bodega era de 5 veces al dia. ^Cual es la probabilidad de que en un determinado dia este articulo sea requerido?

a) Ni una sola vez. b) Mas de tres veces.

Solution:

a) Utilizando la distribution Poisson con x = 0 y X = 5, se tiene que,

P{x,X) = ^ - , x = 0,1,2,... x!

e“55°P(0,5) = = 0.00670!

b) Utilizando la distribution Poisson con x > 3 y ^ = 5,se tiene que

P (Una vez) + P (2 veces) + P (3 veces) + P (mas de 3 veces) = 1 P (mas de 3 veces) = 1 - P (una vez) - P (2 veces) - P (3 veces)p { x > i ) = \ - P i x < y >

= 1 -X > (* ,5 )A'=0

= 1-0.2650 = 0.735

43

Ejemplo 7.2

Si un banco recibe en promedio 3 cheques falsos al dia, ^Cuales son las probabilidades de que recibaa) dos cheques falsos en un dia cualquiera?b) Siete cheques falsos en dos dias consecutivos cualesquiera?

Solucion:

a) Utilizando la distribucion Poisson con x = 2 y X = 3, se tiene que:

P(x,;1) = ^ ^ - , * = o,i,2,... . x\

e~332P(2,3) = ——— = 0.4232

b) Utilizando la distribucion Poisson con x = 7 y X = 6, se tiene que:-6 f-1

P(l,6) = = 0.7440

7.5 Ejercicios propuestos.

1. Una secretaria comete en promedio 2 errores por pagina. ^Cual es la probabilidad de que en la siguiente paginaa) cometa 4 o mas errores?b) no cometa errores?

2. Una cierta area del este de Estados Unidos es afectada en promedio por 6 huracanes al aho. Encuentre la probabilidad de que en un determinado ano esta area sea afectada pora) menos de 4 huracanes;b) cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes.

3. En un estudio de un inventario se determino que, en promedio, la demanda por un articulo en particular en una bodega era de 5 veces al dia. ^Cual es la

• probabilidad de que en un determinado dia este articulo sea requeridoa) mas de 5 veces?b) ni una sola vez?

4. La probabilidad de que una persona muera debido a cierta infeccion respiratoria es 0.002. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de las proximas 2000 personas infectadas.

44

5. Suponga que en promedio una persona de cada 1000 comete un error numerico al preparar su declaracion de impuestos. Si se seleccionan al azar 10,000 formas y se examinan, encuentre la probabilidad de que 6, 7 u 8 formas tengan error.

6. La probabilidad de que un estudiante presente problemas de escoliosis (desviacion lateral sufrida por la columna vertebral) en una escuela de la localidad es de 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes revisados, encuentre la probabilidad de quea) menos de 5 presenten este problema;b) 8, 9 6 10 presenten este problema.

7. Los empleados de cierta oficina llegan al reloj checador a una tasa media de1.5 por minuto. Calculese las probabilidades de que

a) a lo mas cuatro lleguen en un minuto cualquiera;b) al menos tres lleguen durante un intervalo de 2 minutos;c) a lo mas 15 lleguen durante un intervalo de 6 minutos.

8. Suponiendo que el conmutador de una oficina de asesoria recibe un promedio de 0.6 llamadas por minuto, calculese las probabilidades de que

a) en un minuto cualquiera haya al menos una llamada;b) en un intervalo de cuatro minutos hay al menos tres llamadas.

9. El numero de rayos gamma que emite por segundo cierta sustancia radiactiva es una variable aleatoria que tiene distribucibn Poisson con X = 5.8. Si un detector deja de operar cuando hay mas de 12 rayos por segundo, ^cual es la probabilidad de que este instrumento deje de funcionar durante un segundo cualquiera?

45

8. APROXIMACION DE ALGUNAS DISTRIBUCIONES.

8.1 Aproximacion de la distribucion Poisson la binomial.

En ocasiorreses conveniente utilizar la distribucion de Poisson en forma de limite de la distribucion binomial cuando n tiende a infinito, p tiende a cero y np, la media de la distribucion, permanece constante. Asi, si n es grande y p es cercano a cero, la distribucion de Poisson puede utilizarse, con p = np, para aproximar distribuciones binomiales. El ejemplo siguiente ilustra la aproximacion mencionada.

Ejemplo 8.1

Suponga que una variable aleatoria X tiene distribucion binomial b{x\n,p) = 6O;100,0.01). La tabla siguiente presents algunas probabilidades de la distribucion y su aproximacion a la distribucion Poisson:

X 0 1 2 3b(x,\ 00,0.0l) 0.366 0.370 0.185 0.0610

P{x,l) 0.368 0.368 0.184 0.0613

Ejemplo 8.2

Suponga que una variable aleatoria X tiene distribucion binomial b(x;n,p) = b(x;l00,0.001). La tabla siguiente presents algunas probabilidades de la distribucion binomial y su aproximacion por la distribucion Poisson:

X 0 1 2 3b{x;l 00,0.001) 0.90479 0.09057 0.00449 0.00015

P(*,l) 0.90483 0.09048 0.00452 0.00015

Observese que en ejemplo 8.1, las diferencias de aproximacibn son mas notables que en el ejemplo 8.2, esto se debe a que p es mas pequeno en el segundo ejemplo.

Ejemplo 8.3

La probabilidad de que una persona muera debido a cierta infeccion respiratoria es 0.002. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de las proximas 2000 personas infectadas.

46

Solucion:Como n es relativamente grande y es pequeno, se puede utilizar la

distribucion Poisson como aproximacion a la binomial. Con x = 0,1,2,3,4; p = 0.002, n - 2000 y 2 = np = 4, se tiene de la tabla 2 que:

«,/?) = £ /> (* ,/I)*=0 _r=0

4 4

£b(x;2000,0.002) = £/>(>:,4)*=0 x=0

= 0.6288

Ejemplo 8.4

Suponga que en promedio una persona de cada 1000 comete un error numerico la preparar su declaration de impuestos. Si se selecciona al azar 10,000 formas y se examinan, encuentre la probabilidad de que 6, 7 u 8 formas tengan error.

Solucion:

Como n es relativamente grande y p es pequeno, se puede utilizar en distribucion Poisson como aproximacion a la binomial. Con x = 6,7,8, p = 0.001, n = 10,000 y X = np = 10, se tiene de la tabla 2 que:

8 8 Y^b{x\n,p) = Y j P{x,X)x=6 X“6

8 8

^ b(x;l 0000,0.001) s j> (;r,10)jc=6 • x=6

= f jP(x-,l0) = '£P(x,l0)x=0 x=0

= 0.3328-0.0671 = 0.2657

47

8 .2 Aproximacion de la distribucion binomial a la hipergeometrica.

Cuando n es relativamente pequefio respecto a N, la probabilidad para cada prueba cambia solo ligeramente. En este caso puede decirse que se tiene un experimento binomial que puede aproximarse a la distribucion hipergeometrica

k N - kutilizando la distribucion binomial con p = — y q = ------- .F N 3 H N

Note se que, en una distribucion hipergeometrica, E{X)e s similar al resultado correspondiente a la de una distribucion binomial, esto es

E (X ) = np = n

Ademas, var(^f) difiere del resultado que se obtiene para una distribucion

binomial solo en el termino f N - n ' N - 1

que se conoce como factor de correccion por

poblacion finita, el cual es despreciable cuando n es pequena en relacion con N, esto es

k ( N - k ' l( N - n \N l N JU - i J

Ejemplo 8.5

Un cargamento de 100 grabadoras contiene 25 defectuosas. Si 10 de ellas son aleatoriamente elegidas para revision, ^cual es la probabilidad de que la muestra obtenga 2 grabadoras defectuosas?

a) utilice la distribucidn hipergeometrica;b) utilice la distribucion binomial.

Solucion:

a) Utilizando la distribucion hipergeometrica con x = 2,« = 10, A = 25 y TV = 100 se tiene

( N - k )

h(x;N,n,mk) = ' *x = 0,1,2,...,wKn - x j

\ n j

48

/i(2;l 00,10,25) =

25"jf75l2 Jl*Joo

0 °;

0.292

k 25b) Utilizando la distribution binomial con x = 2,n = \0,p = — = — = 0.25 y q - 0.75n 100

se tiene:

b(x’,n,p) = Pxqn-x

K2;l 0,0.25) =. 2 ,

(0.25)2(0.75)8 =0.2816

Ejemplo 8.6

Se estima que 4,000 de los 10,000 residentes que votan en un pueblo estan en contra del nuevo impuesto sobre las ventas. Si se seleccionan aleatoriamente 15 votantes y se les pregunta su opinion, <j,cual es la probabilidad de que a lo mas 7 esten a favor del nuevo impuesto?

Solution:

Dado que iV = 10,000 es un valor relativamente grande con respecto al tamano de la muestra « = 15, se puede utilizar la distribution binomial como aproximacion de la distribution hipergeom^trica. Por lo tanto, con N = 10,000,« = 15,£ = 6,000,p = 0.6,? = 0.4 y X que puede tomar los valores x : 0,1,2,3,4,5,6,7; se tiene, empleando la tabla 1, que la probabilidad de que a lo mas 7 esten a favor del nuevo impuesto es

X h(x\ N, n, k) = £ />(*; n, p)x=0 J=0

7 7

£ h(x-\0000,15,6000) = £*(;c;l 5,0.6) = 0.2131*=0 .*=0

49

8.3 Comentarios adicionales.

Las distribuciones discretas de probabilidad que se estudian en el presente trabajo han demostrado ser modelos adecuados para muchos fenomenos interesantes y utifes de manera practica. A pesar de que estas distribuciones son similares entre si, cada una de ellas posee caracteristicas distintas que brindan al estudiante la informacion necesaria para una selection apropiada. Tambien debe tomarse en cuenta que si un fenomeno no presenta todas las propiedades de una distribucion determinada es suficiente para excluirla como modelo de probabilidad adecuado para ese fenomeno aleatoric.

Las distribuciones binomial, de Poisson, geometrica y binomial negativa involucran una serie de pruebas identicas e independientes, las cuales pueden generar uno de dos resultados en el muestreo que se Neva a cabo con reemplazo. En la distribucion binomial, el muestreo se Neva a cabo con un numero fijo de pruebas que tienen una probabilidad de exito o fracaso constante. En la distribucion de Poisson el numero de pruebas es de tal manera infinito que la ocurrencia o no de un evento es constante en un periodo de tiempo o region especifica. En la distribucion geometrica, el muestreo se continua hasta observar el primer exito y el numero de pruebas puede ser infinito. En la distribucion binomial negativa, al igual que en la distribucion geometrica, el muestreo se continua hasta obtener un numero determinado de bxitos y el numero de pruebas puede ser tambien infinito. Por lo tanto, esta distribucion es una alternativa factible de la distribucion Poisson cuando la frecuencia de ocurrencia no es constante en un periodo de tiempo o region especifica. En la distribucion hipergeometrica las pruebas no son independientes puesto que el muestreo se lleva a cabo sin reemplazo. No solo el tamaho de la muestra es fijo, sino que se supone que la poblacion es fmita y, muchas veces relativamente pequeha.

La distribucion de probabilidad binomial tiene muchas aplicaciones, ya que el experimento binomial ocurre en el muestreo de productos defectuosos en el control de calidad industrial, en el muestreo de preferencias del consumidor o poblaciones de votantes y en otras muchas situaciones de problemas de la vida real.

La distribucion de probabilidad geometrica, se usa frecuentemente como modelo para las distribuciones de la longitud de tiempo de espera. Por ejemplo, supongamos que se da mantenimiento periodico al motor de un avion comercial de tal manera que sus diferentes partes se cambian en distintos momentos y por eso tiene tiempos de servicio diferentes. Entonces, puede ser razonable suponer que la probabilidad p , de falla del motor durante cualquier intervalo de una hora de operation, es igual para cualquier otro intervalo de una hora. El tiempo hasta la falla del motor es entonces igual al numero de intervalos de una hora, hasta el primer mal funcionamiento o descompostura del motor.

50

La aplicacion primaria de la distribution binomial negativa es una altemativa adecuada para el modelo de Poisson cuando la frecuencia de ocurrencia no es constante sobre el tiempo o en una region especifica. Tambien se emplea de manera frecuente para modelar las estadisticas de accidentes, datos psicologicos, compras del consumidor y otras situaciones similares en donde la frecuencia de ocurrencia entre grupos o individuos no se espera que sea la misma. Por ejemplo, las estadisticas de accidentes automovilisticos indican de manera consistente que los conductores jovenes tienen mas accidentes que los de mas edad, y que los hombres tienen un mayor numero de accidentes que las mujeres. Desde este punto de vista no debe tomarse la distribution binomial negativa en terminos de cuantos ensayos se necesitan para alcanzar un determinado numero de exitos. Mas bien, debe considerarse como el numero de ocurrencias en el tiempo o en una region especifica cuando la frecuencia de estas no es constante.

Un area muy fructifera en aplicaciones para la distribution hipergeometrica es el control estadistico de calidad y la aceptacion de muestreo. Por ejemplo, puede utilizarse para calcular la probabilidad de que tres de 12 amas de casa prefieran al detergente marca A al de marca B si se las selecciona entre 200 amas de casa, 40 de las cuales actualmente prefieren la marca A a la marca B. Puede emplearse asimismo con respecto al problema de seleccionar diamantes industrials, algunos de los cuales tienen cualidades superiores y otros no, en el problema de muestrear declaraciones de impuestos, donde entre N declaraciones registradas, k contienen deducciones discutibles, etc.

La distribution de Poisson se emplea para modelar el numero de eventos aleatorios independientes que ocurren a una rapidez constante ya sea en un periodo de tiempo o en una regibn especifica. Se ha empleado de manera extensa para el estudio de linea de espera, confiabilidad y control de calidad. Es tambien una forma limite de la distribucibn binomial y la aproxima de manera adecuada para valores grandes de n y pequenos de p. Sin embargo, debe aplicarse cuidadosamente la distribucibn de Poisson a situaciones en las que las condiciones de independencia y rapidez constante de ocurrencia son dudosas. Por ejemplo, considerese la distribution del numero de infracciones recibidas por los automovilistas en un periodo de diez anos. Puede argumentarse que la distribution de Poisson es el modelo de probabilidad adecuado, pues la probabilidad de retibir una infraccibn en un dia cualquiera es pequeha y hay muchos dias en diez afios. Sin embargo, no es comun que las condiciones de independencia y rapidez constante sean vblidas. La independencia es dudosa debido a que si un automovilista en particular recibe una infraction, es razonable pensar que manejara de manera mas cuidadosa. En grupos de distinta edad esta frecuencia puede variar, ya que las compaflias aseguradoras sostienen que los conductores de mayor edad respetan mas los limites de velocidad que los conductores jovenes.

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8.4Ejercicios propuestos.

1. Use la distribucion Poisson para aproximar la probabilidad binomial 6(3;100,0.03)

2. Sea X una variable aleatoria binomial. Para n = 20, calcular las probabilidades puntuales binomiafes y comparelas con las correspondientes probabilidades de Poisson para p = 0.5,0.3,0.1 y 0.01.

3. En una ciudad especlfica, el 6% de todos los conductores obtienen al menos un boleto de estacionamiento por ano. Empleese la aproximacion de Poisson a la distribucion binomial para determinar la probabilidad de que entre 80 conductores (escogidos aleatoriamente en esa ciudad)

a) cuatro obtengan al menos un boleto de estacionamiento en un ano cualquiera;

b) al menos tres obtengan como minirno un boleto de estacionamiento en un ano cualquiera;

c) 3, 4, 5 o 6 de ellos obtengan at menos un boleto de estacionamiento en un ano cualquiera.

4. Si el 0.8% de los fusibles depositados en un lote estan defectuosos, usese la aproximacion de Poisson para determinar la probabilidad de que cuatro fusibles estbn defectuosos en una muestra aleatoria de 400.

5. La probabilidad de que un estudiante presente problemas de escoliosis (desviacibn lateral sufrida por la columna vertebral) en una escuela de la localidad es de 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes revisados, encuentre la probabilidad de que.

a) menos de 5 presenten este problema;b) 8, 9, o 10 presenten este problema.

6. Una ciudad vecina estb considerando la peticibn de anexibn de 1200 residencias contra una subdivisibn del condado. Si los ocupantes de la mitad de las residencias objetan ser anexados, <j,cual es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 10, al menos 3 esten a favor de la anexibn?

7. Un cargamento de 120 alarmas contra robo contiene 5 defectuosas. Si tres de ellas son seleccionadas aleatoriamente y embarcadas para un cliente, encuentrese la probabilidad de que al cliente le toque una defectuosa, utilizando

a) la formula de la distribucion hipergeometrica;b) la formula de la distribucion binomial como una aproximacion.

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8. Entre los 300 empleados de una compafiia, 240 estan sindicalizados mientras que los otros no. Si se escogen ocho por sorteo para integrar un comite que administre el fondo de pensiones, calculese la probabilidad de que cinco esten sindicalizadosmientras que los otros no, utilizando

a) la formula para la distribucion hipergeometrica;b) la formula para la distribucion binomial como una aproximacion.

9. Una investigation revela que de 17,000 estudiantes de ultimo ano, casi el 70% desaprueba las medidas tomadas para el control del consumo de cierta droga. Si 18 de estos estudiantes se seleccionan al azar y se les pregunta su opinion, i,cual es la probabilidad de que mas de 9 pero menos de 14 desaprueben estas medidas?

10. De las distribuciones binomial, Poisson, hipergeometrica y binomial negativa, <-,cuales no consideraria si alguien le dijera, de una distribucion en particular que:

a) ^La media es igual a la varianza?b) <J,l_a media es mas grande que la varianza?c) ^La media es menor que la varianza?d) El tercer momento, alrededor de la media, ^es negativo?e) c El fenomeno aleatorio de interes constituye un grupo de ensayos

independientes?f) i El muestreo se lleva a cabo con reemplazo?g) i,EI muestreo se lleva a cabo sin reemplazo?

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BIBLIOGRAFIA

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2. Infante Said. (1986). M6todos Estadisticos. Trillas. Mexico.

3. Levin R. (1989). Estadlstica para Administradores. Prentice Hall. Mexico.

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5. Mendenhall William. (1993). Estadlstica Matematica con aplicaciones. Grupo Editorial iberoamerica. Mexico.

6. Miller-Freud-Jonhson. (1992). Probabilidad y Estadlstica para ingenieros. Prentice Hall. Mexico.

7. Montgomery C., Runer C. (1996). Probabilidad y Estadlstica aplicados a la ingenierla. McGraw Hill. Mexico.

54

A P E N D I C E I

TECNICAS DE CONTEO:

Debido a que en ocasiones puede ser muy diffcil, o al menos laborioso determinar el numero de elementos de un espacio muestral finito por medio de la enumeracion directa; se presentan en este apendice algunas tecnicas que permiten resolver dicho problema. Asimismo, se presenta para cada tecnica, algunos ejemplos con el proposito de ilustrar los calculos requeridos, cuando el uso de las tablas que se presentan en el apendice II no son de utilidad.

Principio fundamental de conteo.

Si cierto experimento Ex, puede ocurrir de nlt maneras diferentes y si continuamos el procedimiento, un segundo experimento E2> puede acontecer de n2 modos diferentes y si extendemos el procedimiento, un tercer experimento E3 puede suceder de «3 maneras diferentes y asi sucesivamente, entonces el numero de maneras diferentes en que los experimentos EX,E2,E3,... pueden ocurrir simultaneamente nt • n2 ■ n3

Ejemplo 1.

Un cuestionario enviado por correo en un estudio de mercado consta de 8 preguntas, cada una de las cuales puede responderse en tres formas distintas. i,En cuantas formas diferentes puede una persona contestar las 8 preguntas del cuestionario?

Solucion:

Sea Ex el experimento de responder la pregunta t, E2 la de responder la pregunta 2, E3 la de responder la pregunta 3, y asi sucesivamente. Como la pregunta 1 puede responderse de «, = 3 formas, la pregunta 2 de n2 = 3 modos, la pregunta 3 de n3 - 3 maneras y asi sucesivamente, entonces el numero de formas diferentes que una persona puede contestar las 8 preguntas del cuestionario es:

(« ,X « J -k ) = (3X3>..(3) = (3)8 =6561 formas

Ejemplo 2.

En un estuche de instrumentos de optica hay seis lentes concavos, cuatro convexos y tres prismas. ^En cuantas formas diferentes puedes elegir uno de los lentes concavos, uno de los convexos y uno de los prismas?

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Solucion:

Sea Ex el experimento de elegir un juego de lentes concavos, E2 el de elegir uno convexo y E3 el de seleccionar uno prisma. El numero de formas de elegir un lente concavo es =6, n2 = 4 el de elegir uno convexo y «3 =3 el de elegir uno prisma; por tanto, el numero de formas diferentes que puede elegirse uno de los tres tipos de lentes es:

(», X«2 X«3) = (6X4X3) = 72 formas

Permutaciones.

Otra tecnica util para determinar el numero de elementos de un espacio muestral finito, esta asociado con los ordenamientos o permutaciones. Una permutacion es un arreglo en un orden en particular de los elementos que forman un conjunto. Por ejemplo, consideremos las distintas palabras que podemos formar con las letras de la palabra mes. En la primera posicion se pueden colocar cualquiera de las tres letras. En la segunda posicion podemos colocar cualquiera de las letras restantes; en la tercera posicion, colocar la letra restante. Asi, podemos formar (3X2X1)= 6 palabras diferentes con las letras m, e y s. Las seis palabras (arreglos o permutaciones) son: mes, mse, ems, esm, sme, sem.

En general, el numero de permutaciones de N elementos esta dado por N!.

Si de los N elementos de un conjunto elegimos a n de ellos, entonces un ordenamiento dado de los N elementos, con n < N, se llama permutacion de los N elementos tornados n a la vez.

El numero de permutaciones de N elementos tornados n a la vez esta dado por:

P ( N , n ) = N { N - \ \ N - 2 U N - n + \) = ^ - ^

OBSERVACIONES.

a) P {N , „ ) = = A X V - lX A ^ H v - K + l X ^ ) ! = N(N_ l X N _ 2 U N _ n + l )(N~n)\ (N-n) \

b) Notese que si n = N, obtenemos P(N, N) = N! que es el numero de permutaciones tornados todos a la vez.

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Ejemplo 3.

cDe cuantas maneras diferentes puede un director de television programar seis anuncios durante seis pausas asignadas a comerciales en la transmision de un juego de futbol?

Solucion:

Como se plantea programar n = 6 anuncios en N = 6 pausas; entonces se tiene que n = N, por lo que el numero de maneras diferentes en que un director de television puede programar seis anuncios durante seis pausas asignadas a comerciales durante la transmision de un juego de futbol

p (n ,n ) = n \

P(6,6) = 6! =720

Ejemplo 4.

Si nueve autos participan en una carrera, ^en cuantas formas diferentes pueden ocupar el primero, segundo y tercer lugar?

Solucion:

Se tienen N = 9 autos y n = 3 lugares; por lo tanto, el numero de maneras diferentes en que 9 autos pueden ocupar el primero, el segundo y el tercer lugar es:

P(N,n) = N\(N-n)\

P(9,3) = 9!(9 -3 )!

= 504

Combinaciones.

Otra tecnica disponible, con el mismo proposito que las anteriores, es conocida como combinaciones. Una combinacion de los elementos de un conjunto es una seleccion de estos sin importar el orden. La diferencia entre una permutacion y una combinacion, es que en la primera el interes se centra en contar todas las posibles selecciones y todos los arreglos de estas, mientras que en la segunda, el interes se centra en contar el numero de selecciones diferentes. De esta manera, abc y abd son diferentes combinaciones de tres letras, mientras que abc y cab son diferentes permutaciones de la misma combinacion.

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El numero de combinaciones de N elementos tornados n de ellos, esta dadopor:

C„N =n \

Kn J (N -n)\n\

Ejemplo 5.

^De cuantas formas diferentes se pueden seleccionar 3 candidatos de un total de 10 recien graduados y con la misma capacidad para ocupar tres puestos vacantes de una companla?

Solucion:

Se tienen N = 10 candidatos y n = 3 vacantes; por lo tanto, el numero de maneras diferentes que se pueden elegir 3 candidatos de un total de 10 es:

(\0^C j° =

3 3v J )= — — — = 120

(10-3)3!

Ejemplo 6.

Un estudiante tiene que contestar 8 de 12 preguntas en un examen. <j,De cuantas maneras diferentes puede dicho estudiante contestar el examen?

Solucion:

Se tiene un examen de N = 12 preguntas y n = 8 posibles elecciones. Por lo tanto, el numero de maneras diferentes en que se puede contestar el examen es:

12 f 12 l =

yy\= = 4 9 5

(1 2 - 8 ) ! 8 !

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A P E N D I C E II

Fabla 1. Probabilidades acumuladas de la distribucion binomial.

pe 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 0 .2 0 0 .25 0.30 0 .3 5 0 .4 0 0.45 0.50

n — 1 0 0 .9 5 0 0 0 .9 0 0 0 0 .8 5 0 0 0 .8000 0 .7 50 0 0 .7 0 0 0 0 .6 5 0 0 0 .6 0 0 0 0 .5 50 0 0.50001 1 .0000 1.0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1.0000

n = 2 0 0 .9 0 2 5 0 .8 1 0 0 0 .7 2 2 5 0 .6 4 0 0 0 .5625 0 .4 9 0 0 0 .4 2 2 5 0 .3 6 0 0 0.3025 0 .25001 0 .9 9 7 5 0 .9 9 0 0 0 .9 7 7 5 0 .9600 0 .9 37 5 0 .9 1 0 0 0 .8 7 7 5 0 .8400 0 .7975 0 .75002 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1.0000

n = 3 0 0 .8 5 7 4 0 .7 2 9 0 0.6141 0 .5120 0 .4 21 9 0 .3 4 3 0 ' 0 .2 7 4 6 0 .2160 0 .1664 0.12501 0 .9 9 2 8 0 .9 72 0 0 .9 3 9 3 0 .8 9 6 0 0 .8 43 8 0 .7 8 4 0 0 .7 1 8 2 0 .6480 0 .5748 0 .50002 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 0 0 .9 9 6 6 0 .9 92 0 0 .9844 0 .9 7 3 0 0.9571 0 .9 3 6 0 0 .9089 0 .87503 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1.0000

n = 4 0 0 .8 1 4 5 0.6561 0 .5 2 2 0 0 .4 0 9 6 0 .3164 0.2401 0 .1 7 8 5 0 .1296 0 .0915 0.06251 0 .9 8 6 0 0 .9477 0 .8 9 0 5 0 .8 19 2 0 .7 3 8 3 0 .6 5 1 7 0 .5 6 3 0 0 .4 7 5 2 0 .3 91 0 0 .31252 0 .9 9 9 5 0 .9 9 6 3 0 .9 8 8 0 0 .9 7 2 8 0 .9 49 2 0 .9 1 6 3 0 .8 7 3 5 0 .8 2 0 8 0 .7 58 5 0 .6 87 53 1 .0 00 0 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 5 0 .9 9 8 4 0.9961 0 .9 9 1 9 0 .9 8 5 0 0 .9 7 4 4 0 .9590 0 .93754 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000

/» = 5 0 0 .7 7 3 8 0 .5 9 0 5 0 .4 4 3 7 0 .3277 0 .2 3 7 3 0.1681 0 .1 1 6 0 0 .0 7 7 8 0 .0 50 3 0 .0 31 31 0 .9 7 7 4 0 .9 1 8 5 0 .8 3 5 2 0 .7 3 7 3 0 .6 3 2 8 0 .5 2 8 2 0 .4 2 8 4 0 .3 3 7 0 0 .2562 0 .18752 0 .9 9 8 8 0 .9 9 1 4 0 .9 7 3 4 0.9421 0 .8 9 6 5 0 .8 3 6 9 0 .7 6 4 8 0 .6 8 2 6 0.5931 0 .50003 1 .0000 0 .9 9 9 5 0 .9 9 7 8 0 .9 9 3 3 0 .9 84 4 0 .9 6 9 2 0 .9 4 6 0 0 .9 1 3 0 0 .8 68 8 0 .8 12 54 1 .0 00 0 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 99 7 0 .9 99 0 0 .9 9 7 6 0 .9 9 4 7 0 .9 89 8 0 .9815 0.96875 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 0 0 0 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1.0000

n — 6 0 0.7351 0 .5 3 1 4 0 .3771 0.2621 0 .1 7 8 0 0 .1 1 7 6 0 .0 7 5 4 0 .0467 0 .0277 0 .0 15 61 0 .9 6 7 2 0 .8857 0 .7 7 6 5 0 .6 55 4 0 .5 3 3 9 0 .4 2 0 2 0.3191 0 .2 3 3 3 0 .1636 0.10942 0 .9 9 7 8 0.9841 0 .9 5 2 7 0.9011 0 .8 30 6 0 .7 4 4 3 0 .6471 0 .5 4 4 3 0 .4415 0 .3 43 83 0 .9 9 9 9 0 .9 98 7 0.9941 0 .9 83 0 0 .9624 0 .9 2 9 5 0 .8 8 2 6 0 .8 2 0 8 0.7447 0 .6 56 34 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 6 0 .9 9 8 4 0 .9 95 4 0.9891 0 .9 7 7 7 0 .9 5 9 0 0 .9308 0 .8 90 65 1 .0000 1 .0000 1 .0 0 0 0 0 .9 9 9 9 0 .9 99 8 0 .9 9 9 3 0 .9 9 8 2 0 .9 9 5 9 0.9917 0 .98446 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1.0000

n = 7 0 0 .6 9 8 3 0 .4 7 8 3 0 .3 2 0 6 0 .2 09 7 0 .1 33 5 0 .0 8 2 4 0 .0 4 9 0 0 .0 2 8 0 0 .0152 0 .00781 0 .9 5 5 6 0 .8 5 0 3 0 .7 1 6 6 0 .5 76 7 0 .4 4 4 9 0 .3 2 9 4 0 .2 3 3 8 0 .1 5 8 6 0 .1 02 4 0 .0 6 2 52 0 .9 9 6 2 0 .9 7 4 3 0 .9 2 6 2 0 .8 5 2 0 0 .7 56 4 0.6471 0 .5 3 2 3 0 .4 1 9 9 0 .3164 0 .2 26 63 0 .9 9 9 8 0 .9 9 7 3 0 .9 8 7 9 0 .9 6 6 7 0 .9 29 4 0 .8 7 4 0 0 .8 0 0 2 0 .7 1 0 2 0 .6083 0 .50004 1 .0 0 0 0 0 .9 9 9 8 0 .9 9 8 8 0 .9 9 5 3 0.9871 0 .9 7 1 2 0 .9 4 4 4 0 .9 0 3 7 0.8471 0 .77345 1 .0000 1 .0 00 0 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 6 0 .9987 0 .9 9 6 2 0 .9 9 1 0 0 .9 8 1 2 0 .9 64 3 0 .93756 1 .0000 1 .0000 1 .0 0 0 0 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 8 0 .9 9 9 4 0 .9 9 8 4 0 .9 96 3 0 .99227 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 0 0 0 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1.0000 1.0000

n = 8 0 0 .6 6 3 4 0 .4 3 0 5 0 .2 7 2 5 0 .1 6 7 8 0.1001 0 .0 5 7 6 0 .0 3 1 9 0 .0 1 6 8 0 .0084 0 .0 03 9

0 .9 4 2 8 0.8131 0 .6 5 7 2 0 .5 0 3 3 0.3671 0 .2 5 5 3 0 .1691 0 .1 0 6 4 0 .0632 0 .03522 0 .9 94 2 0 .9 6 1 9 0 .8 9 4 8 0 .7 9 6 9 0 .6 78 5 0 .5 5 1 8 0 .4 2 7 8 0 .3 1 5 4 0.2201 0 .14453 0 .9 9 9 6 0 .9 9 5 0 0 .9 7 8 6 0 .9 4 3 7 0 .8862 0 .8 0 5 9 0 .7 0 6 4 0.5941 0 .4770 0 .36334 1 .0 0 0 0 0 .9 9 9 6 0.9971 0 .9 8 9 6 0 .9 72 7 0 .9 4 2 0 . 0 .8 9 3 9 0 .8 2 6 3 0 .7396 0 .6367

5 1 .0000 1 .0000 0 .9 9 9 8 0 .9 9 8 8 0 .9 95 8 0 .9 8 8 7 0 .9 7 4 7 0 .9 5 0 2 0 .9115 0 .8555

6 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 0 0 0 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 6 0 .9 98 7 0 .9 9 6 4 0 .9 9 1 5 0 .9819 0 .9648

7 1 .0000 1 .0000 1 .0 0 0 0 1 .0 00 0 1.0000 0 .9 99 9 0 .9 9 9 8 0 .9 9 9 3 0 .9983 0.9961

8 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0 0 0 0 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1.0000

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Tabla 1. (Continuacion)

pc 0.55 0 .6 0 0 .6 5 0.70 0.75 0 .8 0 0 .8 5 0 .9 0 0 .9 5

n — 1 0 0 .4 50 0 0 .4 0 0 0 0 .3 5 0 0 0 .3 0 0 0 0 .2500 0 .2 0 0 0 0 .1 5 0 0 0 .1 00 0 0 .0500

1 1.0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0 00 0 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000

n = 2 ◦ 0 .2 02 5 0 .1 6 0 0 0 '1 2 2 5 0 .0 9 0 0 0 .0625 0 .0 4 0 0 0 .0 2 2 5 0 .0 1 0 0 0 .00251 0 .6 97 5 0 .6 4 0 0 0 .5 7 7 5 0 .5 1 0 0 0 .4375 0 .3 6 0 0 0 .2 7 7 5 0 .1 9 0 0 0 .0 97 52 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000

n = 3 0 0.0911 0 .0 6 4 0 0 .0 4 2 9 0 .0 27 0 0 .0156 0 .0 0 8 0 0 .0 0 3 4 0 .0 0 1 0 0.0001

1 0 .4 25 3 0 .3 5 2 0 0 .2 8 1 8 0 .2 1 6 0 0 .1 56 3 0 .1 0 4 0 0 .0 6 0 8 0 .0 2 8 0 0 .0 0 7 3

2 0 .8 33 6 0 .7 8 4 0 0 .7 2 5 4 0 .6 5 7 0 0.5781 0 .4 8 8 0 0 .3 8 5 9 0 .2 7 1 0 0 .1 4 2 6

3 1.0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000

o = 4 0 0 .0 41 0 0 .0 2 5 6 0 . 0150 0.0081 0 .0 03 9 0 .0 0 1 6 0 .0 0 0 5 0.0001 0 .0 0 0 01 0 .2 41 5 0 .1 7 9 2 0 .1 2 6 5 0 .0 83 7 0 .0 50 8 0 .0 27 2 0 .0 1 2 0 0 .0037 0 .0 0 0 52 0 .6 0 9 0 0 .5 2 4 8 0 .4 3 7 0 0 .3 4 8 3 0 .2617 0 .1 8 0 8 0 .1 0 9 5 0 .0 5 2 3 0 .0 1 4 0

3 0 .9 08 5 0 .8 7 0 4 0 .8 2 1 5 0 .7 59 9 0 .6 83 6 0 .5 9 0 4 0 .4 7 8 0 0 .3 4 3 9 0 .1 8 5 54 1.0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000

o = 5 0 0 .0 1 8 5 0 .0 1 0 2 0 .0 0 5 3 0 .0 0 2 4 0 .0010 0 .0 0 0 3 0 .0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 01 0 .1312 0 .0 8 7 0 0 .0 5 4 0 0 .0 30 8 0 .0156 0 .0 0 6 7 0 .0 0 2 2 0 .0 0 0 5 0 .0 0 0 0

2 0 .4 0 6 9 0.31 74 0 .2 3 5 2 0.1631 0 .1035 0 .0 5 7 9 0 .0 2 6 6 0 .0 0 8 6 0 .0 0 1 2

3 0 .7 43 8 0 .6 6 3 0 0 .5 7 1 6 0 .4 7 1 8 0 .3672 0 .2 62 7 0 .1 6 4 8 0 .0 8 1 5 0 .0 2 2 64 0 .9 49 7 0 .9 2 2 2 0 .8 8 4 0 . 0 .8 31 9 0 .7627 0 .6 7 2 3 0 .5 5 6 3 0 .4 0 9 5 0 .2 2 6 2

5 1.0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000

o = 6 0 0 .0 0 8 3 0.0041 0 .0 0 1 8 0 .0 00 7 0 .0002 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0

1 0 .0 69 2 0 .0 4 1 0 0 .0 2 2 3 0 .0 10 9 0 .0 04 6 0 .0 0 1 6 0 .0 0 0 4 0.0001 0 .0 0 0 0

2 0 .2 55 3 0 .1 7 9 2 0 .1 1 7 4 0 .0 7 0 5 0 .0376 0 .0 1 7 0 0 .0 0 5 9 0 .0 01 3 0.0001

3 0 .5 58 5 0 .4 5 5 7 0 .3 5 2 9 0 .2557 0 .1 69 4 0 .0 9 8 9 0 .0 4 7 3 0 .0 1 5 9 0 .0 0 2 24 0 .8 3 6 4 0 .7 6 6 7 0 .6 8 0 9 0 .5 7 9 8 0.4661 0 .3 4 4 6 0 .2 2 3 5 0 .1 1 4 3 0 .0 3 2 8

5 0 .9 7 2 3 0 .9 5 3 3 0 .9 2 4 6 0 .8 8 2 4 0 .8220 0 .7 3 7 9 0 .6 2 2 9 0 .4 6 8 6 0 .2 6 4 9

6 1.0000 1 .0 0 0 0 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0 0 0 0 1 .0000 1 .0 00 0

o = 7 0 0 .0 03 7 0 .0 0 1 6 0 .0 0 0 6 0 .0 0 0 2 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 01 0 .0 35 7 0 .0 1 8 8 0 .0 0 9 0 0 .0 0 3 8 0 .0 01 3 0 .0 0 0 4 0.0001 0 .0 00 0 0 .0 0 0 02 0 .1 52 9 0 .0 9 6 3 0 .0 5 5 6 0 .0 2 8 8 0 .0 12 9 0 .0 04 7 0 .0 0 1 2 0 .0 00 2 0 .0 0 0 03 0 .3 91 7 0 .2 8 9 8 0 .1 9 9 8 0.1260 0 .0 7 0 6 0 .0 3 3 3 0 .0 12 1 0 .0 0 2 7 0 .0 0 0 24 0 .6 8 3 6 0.5801 0 .4677 0 .3 5 2 9 0 .2 43 6 0 .1 4 8 0 0 .0 7 3 8 0 .0257 0 .0 0 3 85 0 .8 9 7 6 0 .8 4 1 4 0 .7 6 6 2 0 .6 7 0 6 0.5551 0 .4 2 3 3 0 .2 8 3 4 0 .1 49 7 0 .0 4 4 4

6 0 .9 84 8 0 .9 7 2 0 0 .9 5 1 0 0 .9 1 7 6 0 .8665 0 .7 9 0 3 0 .6 7 9 4 0 .5 21 7 0 .3 01 77 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0

o = 8 0 0 .0017 0 .0 00 7 0 .0 0 0 2 0.0001 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 01 0.0181 0 .0 0 8 5 0 .0 0 3 6 0 .0 0 1 3 0 .0004 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 02 0 .0 8 8 5 0 .0 4 9 8 0 .0 2 5 3 0 .0 1 1 3 0 .0042 0 .0 0 1 2 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 03 0 .2 6 0 4 0 .1 73 7 0.1061 0 .0 5 8 0 0 .0 27 3 0 .0 1 0 4 0 .0 0 2 9 0 .0 0 0 4 0 .0 0 0 04 0 .5 2 3 0 0 .4 0 5 9 0 .2 9 3 6 0.1941 0 .1 13 8 0 .0 5 6 3 0 .0 2 1 4 0 .0 0 5 0 0 .0 0 0 4

5 0 .7 7 9 9 0 .6 8 4 6 0 .5 7 2 2 0 .4 48 2 0 .3 21 5 0 .2031 0 .1 0 5 2 0.0381 0 .0 0 5 86 0 .9 3 6 8 0 .8 9 3 6 0 .8 3 0 9 0 .7447 0 .6 32 9 0 .4967 0 .3 4 2 8 0 .1 8 6 9 0 .0 5 7 27 0 .9 9 1 6 0 .9 8 3 2 0.9681 0 .9 4 2 4 0 .8 99 9 0 .8 3 2 2 0 .7 2 7 5 0 .5 6 9 5 0 .3 3 6 68 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1.0000 1.0000 1 .0 00 0 1 .0 0 0 0 1 .0000 1 .0 00 0

60


n = 9

n = 10

n = 11

n = 12

n - 13

Pc 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 0.20 0 .2 5 0 .3 0 0 .3 5 0.40 0 .45

0 0 .6 3 0 2 0 .3 8 7 4 0 .2 3 1 6 0 .1 34 2 0.0751 0 .0 4 0 4 0 .0 2 0 7 0.0101 0 .0 04 61 0 .9 2 8 8 0 .7 7 4 8 0 .5 9 9 5 0 .4 3 6 2 0 .3 0 0 3 0 .1 9 6 0 0.1211 0 .0 70 5 0 .0 38 52 0 .9 9 1 6 0 .9 4 7 0 0.8591 0 .7 38 2 0 .6 00 7 0 .4 6 2 8 0 .3 3 7 3 0 .2 3 1 8 0 .1 4 9 53 0 .9 9 9 4 0 .9 91 7 0.9661 0 .9 14 4 0 .8 3 4 3 0 .7 29 7 0 .6 0 8 9 0 .4826 0 .36144 1 .0000 0.9991 0 .9944 0 .9 80 4 0.9511 0 .9 0 1 2 0 .8 2 8 3 0 .7 3 3 4 0 .6 21 45 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 99 4 0 .9 9 6 9 0 .9900 0 .9 7 4 7 0 .9 4 6 4 0 .9 0 0 6 0 .8 34 26 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 0 .9997 0 .9987 0 .9 9 5 7 0 .9 8 8 8 0 .9 7 5 0 0 .9 50 27 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 6 0 .9 9 8 6 0 .9 9 6 2 0 .9 90 98 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 0 .9 9 9 9 0 .9 99 7 0 .9 99 29 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1.0000

0 0 .5 98 7 0 .3487 0 .1 9 6 9 0 .1 07 4 0 .0 5 6 3 0 .0 2 8 2 0 .0 1 3 5 0 .0 0 6 0 0 .0 0 2 51 0 .9 1 3 9 0.7361 0 .5 4 4 3 0 .3 75 8 0 .2440 0 .1 4 9 3 0 .0 8 6 0 0 .0464 0 .0 2 3 32 0 .9 8 8 5 0 .9 2 9 8 0 .8 2 0 2 0 .6 77 8 0 .5 2 5 6 0 .3 8 2 8 0 .2 6 1 6 0 .1 6 7 3 0 .0 9 9 63 0 .9 9 9 0 0 .9872 0 .9 5 0 0 0.8791 0 .7 7 5 9 0 .6 4 9 6 0 .5 1 3 8 0 .3 8 2 3 0 .2 6 6 04 0 .9 9 9 9 0 .9 98 4 0.9901 0 .9 67 2 0 .9 2 1 9 0 .8 4 9 7 0 .7 5 1 5 0.6331 0 .5 04 45 1 .0 00 0 0 .9 9 9 9 0 .9 98 6 0 .9 93 6 0 .9 8 0 3 0 .9 5 2 7 0.9051 0 .8 3 3 8 0 .7 38 46 1 .0 00 0 1 .0000 0 .9 9 9 9 0.9991 0 .9 9 6 5 0 .9 8 9 4 0 .9 7 4 0 0 .9 4 5 2 0 .8 98 07 1 .0000 1 .0000 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 6 0 .9 9 8 4 0 .9 95 2 0 .9877 0 .9 72 68 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 5 0 .9 9 8 3 0 .9 95 59 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 0 .9 9 9 9 0 .9997

10 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000

0 0 .5 6 8 8 0 .3 1 3 8 0 .1 6 7 3 0 .0 85 9 0 .0 42 2 0 .0 1 9 8 0 .0 0 8 8 0 .0 0 3 6 0 .0 01 41 0.8981 0 .6 97 4 0 .4 92 2 0.3221 0.1971 0 .1 1 3 0 0 .0 6 0 6 0 .0 3 0 2 0 .0 13 92 0 .9 8 4 8 0 .9 1 0 4 0 .7 7 8 8 0 .6174 0 .4 55 2 0 .3 12 7 0.2001 0 .1 1 8 9 0 .0 6 5 23 0 .9 9 8 4 0 .9 8 1 5 0 .9 3 0 6 0 .8 38 9 0 .7 1 3 3 0 .5 6 9 6 0 .4 2 5 6 0 .2 9 6 3 0.19114 0 .9 9 9 9 0 .9 9 7 2 0.9841 0 .9 49 6 0 .8 8 5 4 0 .7 8 9 7 0 .6 6 8 3 0 .5 3 2 8 0.39715 1 .0000 0 .9 99 7 0 .9 9 7 3 0 .9 8 8 3 0 .9 65 7 0 .9 2 1 8 0 .8 5 1 3 0 .7 5 3 5 0.63316 1 .0 00 0 1 .0000 0 .9 9 9 7 0 .9 9 8 0 0 .9 92 4 0 .9 7 8 4 0 .9 4 9 9 0 .9 0 0 6 0 .8 26 27 1 .0 00 0 1.0000 1 .0000 0 .9 9 9 8 0 .9 9 8 8 0 .9 95 7 0 .9 8 7 8 0 .9707 0 .9 39 08 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 4 0 .9 9 8 0 0.9941 0 .9 85 29 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 0 .9 9 9 8 0 .9 9 9 3 0 .9 97 8

10 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 0 .9 9 9 811 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1.0000

0 0 .5 4 0 4 0 .2 8 2 4 0 .1 4 2 2 0 .0687 0 .0 31 7 0 .0 1 3 8 0 .0 0 5 7 0 .0 0 2 2 0 .0 00 81 0 .8 8 1 6 0 .6 5 9 0 0 .4 4 3 5 0 .2 7 4 9 0 .1 58 4 0 .0 8 5 0 0 .0 4 2 4 0 .0 1 9 6 0 .0 08 32 0 .9 8 0 4 0.8891 0 .7 3 5 8 0 .5 5 8 3 0 .3 90 7 0 .2 5 2 8 0 .1 5 1 3 0 .0 8 3 4 0.04213 0 .9 9 7 8 0 .9 7 4 4 0 .9 0 7 8 0 .7 9 4 6 0 .6 4 8 8 0 .4 9 2 5 0 .3 4 6 7 0 .2 2 5 3 0 .1 34 54 0 .9 9 9 8 0 .9 95 7 0.9761 0 .9 2 7 4 0 .8 4 2 4 0 .7 2 3 7 0 .5 8 3 3 0 .4 3 8 2 0 .3 0 4 4

5 1 .0000 0 .9 9 9 5 0 .9954 0 .9 8 0 6 0 .9 4 5 6 0 .8 8 2 2 0 .7 8 7 3 0 .6 6 5 2 0-52696 1 .0 00 0 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 3 0.9961 0 .9 85 7 0 .9 6 1 4 0 .9 1 5 4 0 .8 4 1 8 0 .7393

7 1 .0 00 0 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9994 0 .9 9 7 2 0 .9 9 0 5 0 .9 7 4 5 0 .9 4 2 7 0 .8 8 8 3

8 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 6 0 .9 9 8 3 0 .9 9 4 4 0 .9 8 4 7 0 .9 6 4 4

9 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000 0 .9 9 9 8 0 .9 9 9 2 0 .9 9 7 2 0.9921

10 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 7 0 .9 9 8 9

11 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 0 .9 9 9 9

12 1 .0 0 0 0 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1.0000

0 0 .5 1 3 3 0 .2 5 4 2 0 .1 2 0 9 0 .0 5 5 0 0 .0 2 3 8 0 .0 0 9 7 0 .0 0 3 7 0 .0 0 1 3 0 .0004

1 0 .8 6 4 6 0 .6 2 1 3 0 .3 9 8 3 0 .2 3 3 6 0 .1 26 7 0 .0 6 3 7 0 .0 2 9 6 0 .0 1 2 6 0 .0 0 4 9

2 0 .9 7 5 5 0.8661 0 .6 9 2 0 0 .5 01 7 0 .3 3 2 6 0 .2 0 2 5 0 .1 1 3 2 0 .0 5 7 9 0 .0 2 6 9

3 0 .9 9 6 9 0 .9 6 5 8 0 .8 8 2 0 0 .7 4 7 3 0 .5 8 4 3 0 .4 2 0 6 0 .2 7 8 3 0 .1 6 8 6 0 .0 9 2 94 0 .9 9 9 7 0 .9 9 3 5 0 .9 6 5 8 0 .9 0 0 9 0 .7 9 4 0 0 .6 5 4 3 0 .5 0 0 5 0 .3 5 3 0 0 .2 2 7 9

0 .50

0.0020 0 .0 19 5 0 .0 8 9 8 0 .2539 0 .5000 0.7461 0 .9102 0 .9805 0 .99801.0000

0.0010 0.0107 0 .0547 0 .1719 0 .3770 0 .6230 0.8281 0 .9453 0 .9893 0 .9 99 01.0000

0 .0005 0 .0 05 9 0 .0327 0 .1133 0 .2744 0 .5000 0 .7256 0 .8867 0 .9673 0.9941 0 .9995 1.0000

0.0002 0 .0032 0 .0193 0 .0730

• 0 .1938 0 .3872 0 .6128 0 .8062 0 .9 27 0 0.9807 0 .9968 0 .99981.0000

0.00010.00170.01120.04610 .1334

61


n = 9

n = 10

n = 11

n = 12

n = 13

Pc 0 .5 5 0 .6 0 0 .6 5 0 .7 0 0.75 0 .80 0 .8 5 0 .90 0 .9 5

0 0 .0 0 0 8 0 .0 0 0 3 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 01 0.0091 0 .0 0 3 8 0 .0 0 1 4 0 .0 0 0 4 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 00 02 0 .0 4 9 8 0 .0 2 5 0 0 .0 1 1 2 0 .0 0 4 3 0 .0 01 3 0 .0 0 0 3 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 03 0 .1 6 5 8 0 .0 9 9 4 0 .0 5 3 6 0 .0 2 5 3 0 .0100 0.0031 0 .0 0 0 6 0.0001 0 .0 00 04 0 .3 7 8 6 0 .2 6 6 6 0 .1717 0 .0 9 8 8 0 .0 4 8 9 0 .0 1 9 6 0 .0 0 5 6 0 .0 0 0 9 0 .0 00 05 0 .6 3 8 6 0 .5 1 7 4 0.3911 0 .2 7 0 3 0.1657 0 .0 8 5 6 0 .0 3 3 9 0 .0 0 8 3 0 .0 0 0 66 0 .8 5 0 5 0 .7 6 8 2 0 .6 62 7 0 .5 3 7 2 0 .3 9 9 3 0 .2 61 8 0 .1 4 0 9 0 .0 5 3 0 0 .0 08 47 0 .9 61 5 0 .9 2 9 5 0 .8 7 8 9 0 .8 0 4 0 0 .6997 0 .5 6 3 8 0 .4 0 0 5 0 .2 2 5 2 0 .0 71 28 0 .9 95 4 0 .9 8 9 9 0 .9 7 9 3 0 .9 5 9 6 0 .9 24 9 0 .8 6 5 8 0 .7 6 8 4 0 .6 1 2 6 0 .3 6 9 89 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000

0 0 .0 0 0 3 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 01 0 .0 0 4 5 0 .0 0 1 7 0 .0 0 0 5 0.0001 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 02 0 .0 2 7 4 0 .0 1 2 3 0 .0 0 4 8 0 .0 0 1 6 0 .0 00 4 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 03 0 .1 0 2 0 0 .0 5 4 8 0 .0 2 6 0 0 .0 1 0 6 0 .0 08 5 0 .0 0 0 9 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 04 0 .2 6 1 6 0 .1 6 6 2 0 .0 9 4 9 0 .0 4 7 3 0 .0197 0 .0 0 6 4 0 .0 0 1 4 0.0001 0 .0 0 0 05 0 .4 9 5 6 0 .3 6 6 9 0 .2 4 8 5 0 .1 5 0 3 0.0781 0 .0 3 2 8 0 .0 0 9 9 0 .0 0 1 6 0.00016 0 .7 3 4 0 0 .6177 0 .4 8 6 2 0 .3 5 0 4 0.2241 0 .1 2 0 9 0 .0 5 0 0 0 .0 1 2 8 0 .0 0 1 07 0 .9 0 0 4 0 .8 3 2 7 0 .7 38 4 0 .6172 0 .4 74 4 0 .3 22 2 0 .1 7 9 8 0 .0 7 0 2 0 .0 1 1 58 0 .9 7 6 7 0 .9 5 3 6 0 .9 1 4 0 0 .8 50 7 0 .7 56 0 0 .6 24 2 0 .4 5 5 7 0 .2 6 3 9 0.08619 0 .9 9 7 5 0 .9 9 4 0 0 .9 86 5 0 .9 7 1 8 0 .9437 0 .8 9 2 6 0.8031 0 .6 5 1 3 0 .4 0 1 3

10 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0 00 0 1.0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000

0 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 01 0 .0 0 2 2 0 .0 0 0 7 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 02 0 .0 1 4 8 0 .0 0 5 9 0 .0 0 2 0 0 .0 0 0 6 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 03 0 .0 6 1 0 0 .0 2 9 3 0 .0 12 2 0 .0 0 4 3 0 .0012 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 04 0 .1 7 3 8 0 .0 9 9 4 0.0501 0 .0 2 1 6 0 .0076 0 .0 0 2 0 0 .0 0 0 3 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 05 0 .3 6 6 9 0 .2 4 6 5 0 .1 4 8 7 0 .0 7 8 2 0 .0 3 4 3 0 .0 1 1 7 0 .0 0 2 7 0 .0 0 0 3 0 .0 0 0 06 0 .6 0 2 9 0 .4 6 7 2 0 .3 3 1 7 0 .2 1 0 3 0 .1146 0 .0 5 0 4 0 .0 1 5 9 0 .0 0 2 8 0.00017 0 .8 0 8 9 0 .7 03 7 0 .5 7 4 4 0 .4 3 0 4 0 .2867 0.1611 0 .0 6 9 4 0 .0 1 8 5 0 .0 0 1 68 0 .9 3 4 8 0.8811 0 .7 9 9 9 0 .6 8 7 3 0 .5 44 8 0 .3 8 2 6 0 .2 2 1 2 0 .0 8 9 6 0 .01529 0.9861 0 .9 6 9 8 0 .9 3 9 4 0 .8 8 7 0 0 .8 02 9 0 .6 77 9 0 .5 0 7 8 0 .3 0 2 6 0 .1019

10 0 .9 9 8 6 0 .9 9 6 4 0 .9 91 2 0 .9 8 0 2 0 .9 5 7 8 0.9141 0 .8 3 2 7 0 .6 8 6 2 0 .4 3 1 211 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1.0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1.0000

0 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 01 0.0011 0 .0 0 0 3 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 02 0 .0 0 7 9 0 .0 0 2 8 0 .0 0 0 8 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 03 0 .0 3 5 6 0 .0 1 5 3 0 .0 0 5 6 0 .0 0 1 7 0 .0004 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 04 0 .1 1 1 7 0 .0 5 7 3 0 .0 2 5 5 0 .0 0 9 5 0 .0 0 2 8 0 .0 0 0 6 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 05 0 .2 6 0 7 0 .1 5 8 2 0 .0 8 4 6 0 .0 3 8 6 0 .0143 0 .0 0 3 9 0 .0 0 0 7 0.0001 0 .0 0 0 06 0.4731 0 .3 3 4 8 0 .2 12 7 0 .1 1 7 8 0 .0544 0 .0 1 9 4 0 .0 0 4 6 0 .0 0 0 5 0 .0 0 0 07 0 .6 9 5 6 0 .5 6 1 8 0 .4 16 7 0 .2 7 6 3 0 .1576 0 .0 7 2 6 0 .0 2 3 9 0 .0 0 4 3 0 .0 00 28 0 .8 6 5 5 0 .7 7 4 7 0 .6 5 3 3 0 .5 0 7 5 0 .3512 0 .2 0 5 4 0 .0 9 2 2 0 .0 2 5 6 0 .0 02 29 0 .9 5 7 9 0 .9 1 6 6 0 .8 4 8 7 0 .7 4 7 2 0 .6093 0 .4 4 1 7 0 .2 6 4 2 0 .1 1 0 9 0 .0 1 9 6

10 0 .9 91 7 0 .9 8 0 4 0 .9 5 7 6 0 .9 1 5 0 0 .8416 0.7251 0 .5 5 6 5 0 .3 4 1 0 0 .1 1 8 411 0 .9 9 9 2 0 .9 9 7 8 0 .9 9 4 3 0 .9 8 6 2 0 .9683 0 .9 3 1 3 0 .8 5 7 8 0 .7 1 7 6 0 .4 5 9 612 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000

0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 01 0 .0 0 0 5 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 02 0.0041 0 .0 0 1 3 0 .0 0 0 3 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 03 0 .0 2 0 3 0 .0 0 7 8 0 .0 0 2 5 0 .0 0 0 7 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 04 0 .0 6 9 8 0.0321 0 .0 1 2 6 0 .0 0 4 0 0 .0 01 0 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0

62

Tabla 1. (Continuaci6n)

n = 13

n = 14

n = 15

n = 16

Pc 0 .05 0.10 0.15 0 .2 0 0 .2 5 0 .3 0 0.35 0 .40 0 .4 5

5 1.0000 0.9991 0 .9925 0 .9 70 0 0 .9 1 9 8 0 .8 3 4 6 0 .7159 0 .5 74 4 0 .4 2 6 86 1.0000 0 .9 9 9 9 0 .9987 0 .9 93 0 0 .9 7 5 7 0 .9 3 7 6 0 .8 70 5 0 .7 71 2 0 .64377 1.0000 1 .0000 0 .9998 0 .9 9 8 8 0 .9 9 4 4 0 .9 8 1 8 0 .9 5 3 8 0 .9 0 2 3 0 .8 2 1 28 1.0000 1 .0000 1.0000 0 .9 9 9 8 0 .9 9 9 0 0 .9 9 6 0 0 .9874 0 .9 6 7 9 0 .9 3 0 29 1.0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 3 0 .9 97 5 0 .9 92 2 0 .9 7 9 7

10 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1 .0 00 0 0 .9 9 9 9 0 .9997 0 .9 98 7 0 .9 9 5 911 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 512 1.0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .000013 1.0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000

0 0 .4877 0 .2 2 8 8 0 .1 02 8 0 .0 44 0 0 .0 1 7 8 0 .0 0 6 8 0 .0024 0 .0 0 0 8 0 .0 00 21 0 .8470 0 .5 8 4 6 0 .3567 0 .1 97 9 0 .1 0 1 0 0 .0 4 7 5 0 .0 20 5 0.0081 0 .0 0 2 92 0 .9 6 9 9 0 .8 4 1 6 0 .6479 0.4481 0.2811 0 .1 6 0 8 0 .0 83 9 0 .0 3 9 8 0 .0 1 7 03 0 .9 9 5 8 0 .9 55 9 0 .8535 0 .6 9 8 2 0 .5 2 1 3 0 .3 55 2 0 .2 20 5 0 .1 2 4 3 0 .0 63 24 0 .9996 0 .9 9 0 8 0 .9 5 3 3 0 .8 7 0 2 0 .7 4 1 5 0 .5 8 4 2 0 .4 22 7 0 .2 7 9 3 0 .1 6 7 25 1.0000 0 .9 9 8 5 0 .9885 0.9561 0 .8 8 8 3 0 .7 8 0 5 0 .6 40 5 0 .4 8 5 9 0 .3 3 7 36 1.0000 0 .9 9 9 8 0 .9978 0 .9 88 4 0 .9 6 1 7 0 .9 0 6 7 0 .8 16 4 0 .6 9 2 5 0.54617 1 .0000 1 .0000 0 .9997 0 .9 97 6 0 .9897 0 .9 6 8 5 0 .9 24 7 0 .8 4 9 9 0 .7 4 1 48 1 .0000 1 .0000 1.0000 0 .9 99 6 0 .9 9 7 8 0 .9 91 7 0 .9757 0 .9 4 1 7 0.88119 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000 0 .9 9 9 7 0 .9 9 8 3 0 .9 94 0 0 .9 8 2 5 0 .9 5 7 4

10 1.0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0 00 0 0 .9 9 9 8 0 .9989 0.9961 0 .9 8 8 611 1.0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0 00 0 1 .0000 0 .9 99 9 0 .9 9 9 4 0 .9 9 7 812 1.0000 1 .0 00 0 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 0 .9 99 9 0 .9 99 713 1.0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0 00 014 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0

0 0 .4 6 3 3 0 .2 0 5 9 0 .0874 0 .0 35 2 0 .0 1 3 4 0 .0 04 7 0 .0 01 6 0 .0 0 0 5 0.00011 0 .8 2 9 0 0 .5 4 9 0 0 . 3186 0.1671 0 .0 8 0 2 0 .0 3 5 3 0 .0 14 2 0 .0 0 5 2 0 .0 0 1 72 0 .9 63 8 0 .8 15 9 0 .6042 0 .3 9 8 0 0.2361 0 .1 2 6 8 0 .0 61 7 0.0271 0 .01073 0 .9 9 4 5 0 .9 4 4 4 0 .8227 0 .6 48 2 0 .4 6 1 3 0 .2 9 6 9 0 .1727 0 .0 9 0 5 0 .0 4 2 44 0 .9 9 9 4 0 .9 8 7 3 0 .9 3 8 3 0 .8 3 5 8 0 .6 8 6 5 0 .5 1 5 5 0 .3 51 9 0 .2 1 7 3 0 .1 2 0 45 0 .9 99 9 0 .9 9 7 8 0 .9832 0 .9 38 9 0 .8 5 1 6 0 .7 2 1 6 0 .5 64 3 0 .4 0 3 2 ' 0 .2 6 0 86 1.0000 0 .9 9 9 7 0 .9 96 4 0 .9 8 1 9 0 .9 4 3 4 0 .8 6 8 9 0 .7 54 8 0 .6 0 9 8 0 .4 5 2 27 1 .0000 1 .0 00 0 0 .9 99 4 0 .9 9 5 8 0 .9827 0 .9 5 0 0 0 .8 86 8 0 .7 8 6 9 0 .6 5 3 58 1.0000 1 .0000 0 .9 99 9 0 .9 9 9 2 0 .9 9 5 8 0 .9 8 4 8 0 .9 57 8 0 .9 0 5 0 0 .8 1 8 29 1 .0000 1 .0000 1.0000 0 .9 99 9 0 .9 9 9 2 0 .9 9 6 3 0 .9876 0 .9 6 6 2 0.9231

10 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 3 0 .9 97 2 0 .9 9 0 7 0 .9 7 4 511 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 0 .9 9 9 9 0 .9 99 5 0 .9981 0.993712 1 .0000 1 .0 00 0 1.0000 1.0000 1 .0 00 0 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 7 0 .9 9 8 9

13 1 .0000 1 .0 00 0 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1.0000 1 .0000 0 .9 9 9 9

14 1.0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0

15 1.0000 1 .0 00 0 1.0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1.0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0

0 0.4401 0 .1 8 5 3 0 .0 74 3 0.0281 0 .0 1 0 0 0 .0 0 3 3 0 .0 01 0 0 .0 0 0 3 0.0001

1 0 .8 1 0 8 0 .5 1 4 7 0 .2 83 9 0 .1407 0 .0 6 3 5 0.0261 0 .0 09 8 0 .0 0 3 3 0 .0 0 1 0

2 0.9571 0 .7 8 9 2 0 .5 61 4 0 .3 5 1 8 0.1971 0 .0 9 9 4 0.0451 0 .0 1 8 3 0 .0 0 6 6

3 0 .9 9 3 0 0 .9 3 1 6 0 .7 8 9 9 0.5981 0 .4 0 5 0 0 .2 4 5 9 0 .1 33 9 0 .0651 0 .0281

4 0.9991 0 .9 8 3 0 0 .9 20 9 0 .7 98 2 0 .6 3 0 2 0 .4 4 9 9 0 .2 89 2 0 .1 6 6 6 0 .0 8 5 3

5 0 .9 9 9 9 0 .9967 0 .9 76 5 0 .9 1 8 3 0 .8 1 0 3 0 .6 5 9 8 0 .4 9 0 0 0 .3 2 8 8 0 .1 9 7 6

6 1 .0000 0 .9 9 9 5 0 .9 94 4 0 .9 7 3 3 0 .9 2 0 4 0 .8247 0.6881 0 .5 2 7 2 0 .3 6 6 0

7 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 8 9 0 .9 9 3 0 0 .9 7 2 9 0 .9 2 5 6 0 .8 4 0 6 0 .7161 0 .5 6 2 9

8 1 .0000 1 .0000 0 .9 99 8 0 .9 9 8 5 0 .9 9 2 5 0 .9 7 4 3 0 .9 32 9 0 .8 5 7 7 0.7441

9 1 .0000 1 .0000 1.0000 0 .9 9 9 8 0 .9 9 8 4 0 .9 9 2 9 0.9771 0 .9 4 1 7 0 .8 7 5 9

10 1.0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 0 .9 99 7 0 .9 9 8 4 0 .9 9 3 8 0 .9 8 0 9 0 .9 5 1 4

0.50

0.2905 0.5000 0.7095 0.8666 0.9539 0.9888 0.9983 0.99991.0000

0.0001 0.0009 0.0065 0.0287 0 .0898 0.2120 0.3953 0.6047 0 .7880 0 .9102 0 .9713 0 .9935 0.9991 0 .99991.0000

0.0000 0 .0005 0 .0037 0 .0176 0 .0592 0.1509 0 .3036 0 .5000 0.6964 0.8491 0.9408 0 .9824 0 .9963 0.99951.00001.0000

0.00000 .00030.00210 .0 10 60.03840.10510.22720.40180.59820 .77280.8949

6 3

Tabla 1. (Continuaci6n)

pc 0 .5 5 0 .60 0.65 0 .70 0 .7 5 0 .8 0 0 .8 5 0 .9 0 0.95

5 0 .1 7 8 8 0 .0 97 7 0 .0462 0 .0182 0 .0 0 5 6 0 .0 01 2 0 .0 0 0 2 0 .0 00 0 0 .00006 0 .3 5 6 3 0.2288 0 .1295 0 .0624 0 .0 2 4 3 0 .0 0 7 0 0 .0 0 1 3 0.0001 0 .00007 0 .5 7 3 2 0 .4 2 5 6 0.2841 0.1654 0 .0 80 2 0 .0 3 0 0 0 .0 0 7 5 0 .0 0 0 9 0.00008 0 .7721 0 .6 4 7 0 0 .4995 0.3457 0 .2 0 6 0 0.0991 0 .0 3 4 2 0 .0 06 5 0 .00039 0.9071 0 .8 3 1 4 0 .7217 0 .5794 0 .4 15 7 0 .2527 0 .1 1 8 0 0 .0 3 4 2 0.0031

10 0 .9731 0.9421 0 .8868 0 .7 97 5 0 .6 67 4 0 .4 9 8 3 0 .3 0 8 0 0 .1 3 3 9 0 .024511 0 .9951 0 .9 8 7 4 0 .9704 0 .9 3 6 3 0 .8 73 3 0 .7 66 4 0 .6 01 7 0 .3 78 7 0 .135412 0 .9 9 9 6 0 .9 9 8 7 0 .9 96 3 0 .9 90 3 0 .9 76 2 0 .9 45 0 0.8791 0 .7 4 5 8 0 .486713 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1.0000 1.0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000

0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0.0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 01 0 .0 0 0 3 0.0001 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0000

2 0 .0 0 2 2 0 .0 0 0 6 0.0001 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 03 0 .0 1 1 4 0.0039 0.0011 0 .0 00 2 0.0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 00 04 0 .0 4 2 6 0 .0 1 7 5 0 .0060 0 .0017 0 .0 0 0 3 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 05 0 .1 1 8 9 0 .0 5 8 3 0 .0243 0 .0 08 3 0 .0 0 2 2 0 .0 00 4 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .00006 0 .2 5 8 6 0.1501 0 .0 75 3 0 .0315 0 .0 1 0 3 0 .0024 0 .0 0 0 3 0 .0 0 0 0 0 .0 00 07 0 .4 5 3 9 0 .3 0 7 5 0 .1 83 6 0 .0933 0 .0 3 8 3 0 .0 11 6 0 .0 0 2 2 0 .0 00 2 0 .0 00 08 0 .6 6 2 7 0.5141 0 .3 59 5 0 .2195 0 .1 11 7 0 .0 4 3 9 0 .0 1 1 5 0 .0 0 1 5 0 .0 00 09 0 .8 3 2 8 0 .7 2 0 7 0 .5 7 7 3 0 .4158 0 .2 5 8 5 0 .1 2 9 8 0 .0 4 6 7 0 .0 0 9 2 0 .0004

10 0 .9 3 6 8 0 .8757 0 .7 79 5 0 .6448 0 .4 7 8 7 0 .3 0 1 8 0 .1 4 6 5 0.0441 0 .004211 0 .9 8 3 0 0 .9 6 0 2 0.9161 0 .8392 0 .7 1 8 9 0 .5 5 1 9 0.3521 0 .1 5 8 4 0.030112 0 .9971 0 .9 9 1 9 0 .9795 0 .9525 0 .8 9 9 0 0.8021 0 .6 4 3 3 0 .4 15 4 0 .153013 0 .9 9 9 8 0 .9 9 9 2 0 .9976 0 .9932 0 .9 8 2 2 0 .9 5 6 0 0 .8 9 7 2 0 .7 7 1 2 0 .5 1 2 314 1 .0 0 0 0 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000

0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .00001 0 .0001 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 - 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .00002 0 .0011 0 .0 0 0 3 0.0001 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 03 0 .0 0 6 3 0 .0 0 1 9 0 .0005 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .00004 0 .0 2 5 5 0 .0 0 9 3 0 .0 02 8 0 .0007 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .00005 0 .0 7 6 9 0 .0 3 3 8 0 .0124 0 .0037 0 .0 0 0 8 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .00006 0 .1 8 1 8 0 .0 9 5 0 0 .0422 0 .0 15 2 0 .0 0 4 2 0 .0 0 0 8 0 .0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 07 0 .3 4 6 5 0 .2131 0 .1132 0 .0 5 0 0 0.01 73 0 .0 04 2 0 .0 0 0 6 0 .0 00 0 0 .00008 0 .5 4 7 8 0 .3 9 0 2 0 .2 45 2 0.1311 0 .0 5 6 6 0.0181 0 .0 0 3 6 0 .0 0 0 3 0 .0 0 0 09 0 .7 3 9 2 0 .5 9 6 8 0 .4357 0 .2 7 8 4 0 .1 4 8 4 0 .0611 0 .0 1 6 8 0 .0 0 2 2 0.0001

10 0 .8 7 9 6 0 .7 82 7 0.6481 0 .4 8 4 5 0 .3 1 3 5 0 .1 6 4 2 0 .0 6 1 7 0 .0 12 7 0 .0 00 611 0 .9 5 7 6 0 .9 0 9 5 0 .8 27 3 0.7031 0 .5 38 7 0 .3 5 1 8 0 .1 7 7 3 0 .0 5 5 6 0 .0 0 5 512 0 .9 8 9 3 0 .9 7 2 9 0 .9 38 3 0 .8 7 3 2 0 .7 6 3 9 0 .6 0 2 0 0 .3 9 5 8 0.1841 0 .0 3 6 213 0 .9 9 8 3 0 .9 9 4 8 0 .9 85 8 0 .9 64 7 0 .9 1 9 8 0 .8 3 2 9 0 .6 8 1 4 0 .4 5 1 0 0 .1 71 014 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 5 0 .9 98 4 0 .9 9 5 3 0 .9 8 6 6 0 .9 6 4 8 0 .9 1 2 6 0.7941 0 .536715 1 .0 0 0 0 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000

0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 01 0 .0 00 1 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 02 0 .0 0 0 6 0.0001 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 03 0 .0 0 3 5 0 .0 0 0 9 0 .0 00 2 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 04 0 .0 1 4 9 0 .0 0 4 9 0 .0 01 3 0 .0 0 0 3 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 05 0 .0 4 8 6 0 .0191 0 .0062 0 .0 0 1 6 0 .0 0 0 3 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 06 0 .1241 0 .0 5 8 3 0 .0 22 9 0.0071 0 .0 0 1 6 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 07 0 .2 5 5 9 0 .1 4 2 3 0.0671 0 .0257 0 .0 0 7 5 0 .0 0 1 5 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 08 0 .4 37 1 0 .2 8 3 9 0 .1 59 4 0 .0 7 4 4 0.0271 0 .0 0 7 0 0 .0011 0.0001 0 .0 0 0 09 0 .6 3 4 0 0 .4 7 2 8 0 .3 11 9 0 .1 7 5 3 0 .0 7 9 6 0 .0 26 7 0 .0 0 5 6 0 .0 0 0 5 0 .0 00 0

10 0 .8 0 2 4 0 .6 7 1 2 0 .5 10 0 0 .3 4 0 2 0 .1 89 7 0 .0 8 1 7 0 .0 2 3 5 0 .0 0 3 3 0.0001

64

Tabla 1. (Continuacibn)

n = 16

0 = 17

o = 18

o = 19

pc 0 .05 0 .1 0 0 .1 5 0.20 0 .25 0 .3 0 0.35 0.40 0 .4 5

11 1 .0000 1.0000 1.0000 1.0000 1 .0000 0 .9 9 9 7 0 .9987 0.9951 0.985112 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 0 .9 99 8 0.9991 0 .9 9 6 513 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 0 .9 9 9 9 0 .9 99 414 1.0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 0 .9 9 9 915 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .000016 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000

0 0.4181 0 .1 6 6 8 0.0631 0 .0225 0 .0 0 7 5 0 .0 0 2 3 0 .0 00 7 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0 01 0 .7 92 2 0 .4 8 1 8 0 .2525 0 .1 18 2 0.0501 0 .0 1 9 3 0.0067 0.0021 0 .0 0 0 62 0 .9 49 7 0 .7 6 1 8 0 .5198 0 .3 09 6 0 .1 63 7 0 .0 7 7 4 0 .0 32 7 0 .0 12 3 0.00413 0 .9 91 2 0 .9 1 7 4 0 .7556 0 .5 48 9 0 .3 5 3 0 0 .2 0 1 9 0 .1 0 2 8 0 .0 46 4 0 .0 1 8 44 0 .9 9 8 8 0 .9 7 7 9 0 .9013 0 .7 58 2 0 .5 7 3 9 0 .3 88 7 0 .2348 0 .1 26 0 0 .0 5 9 65 0 .9 9 9 9 0 .9 9 5 3 0.9681 0 .8 94 3 0 .7 6 5 3 0 .5 9 6 8 0 .4197 0 .2 6 3 9 0.14716 1 .0000 0 .9 99 2 0 .9917 0 .9 62 3 0 .8 9 2 9 0 .7 7 5 2 0 .6 1 8 8 0 .4 4 7 8 0 .2 9 0 27 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9983 0.9891 0 .9 5 9 8 0 .8 9 5 4 0 .7872 0 .6 4 0 5 0 .4 7 4 38 1 .0000 1 .0000 0 .9997 0 .9974 0 .9 8 7 6 0 .9 5 9 7 0 .9006 0.8011 0 .6 6 2 69 1 .0000 1 .0000 1 .0000 0 .9 99 5 0 .9 9 6 9 0 .9 8 7 3 0 .9617 0.9081 0 .8 1 6 6

10 1 .0000 1 .0000 1.0000 0 .9 99 9 0 .9 9 9 4 0 .9 9 6 8 0 .9 8 8 C 0 .9 65 2 0 .9 1 7 411 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1.0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 3 0 .9970 0 .9 89 4 0 .9 6 9 912 1 .0000 1.0000 1.0000 1.0000 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9994 0 .9 9 7 5 0 .9 9 1 413 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 0 .9999 0 .9 9 9 5 0.993114 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 0 .9 9 9 9 0 .999715 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1 .000016 1 .0000 1 .0 00 0 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1.0000 1.0000 1 .000017 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1 .0000

0 0 .3 9 7 2 0.1501 0 .0 53 6 0 .0 18 0 0 .0 0 5 6 0 .0 0 1 6 g .0004 0.0001 0 .0 0 0 01 0 .7 7 3 5 0 .4 5 0 3 0.2241 0.0991 0 .0 3 9 5 0 .0 1 4 2 0 .0 04 6 0 .0 0 1 3 0 .0 0 0 32 0 .9 4 1 9 0 .7 3 3 8 0.4797 0 .2 7 1 3 0 ,1 3 5 3 0 .0 6 0 0 0 .0 23 6 0 .0 08 2 0 .0 0 2 53 0.9891 0 .9 0 1 8 0 .7202 0 .5 0 1 0 0 .3 0 5 7 0 .1 6 4 6 0 .0 78 3 0 .0 3 2 8 0 .0 12 04 0 .9 9 8 5 0 .9 7 1 8 0 .8794 0 .7164 0 .5 18 7 0 .3 3 2 7 0 .1 88 6 0 .0 94 2 0.04115 0 .9 9 9 8 0 .9 9 3 6 0.9581 0.8671 0 .7 1 7 5 0 .5 3 4 4 0 .3 5 5 0 0 .2 0 8 8 0 .1 07 76 1 .0 00 0 0 .9 9 8 8 0 .9882 0 .9487 0 .8 6 1 0 0 .7 2 1 7 0.5491 0 .3 7 4 3 0 .2 2 5 87 1 .0 00 0 0 .9 9 9 8 0 .9 97 3 0 .9837 0.9431 0 .8 5 9 3 0 .7 28 3 0 .5 63 4 0 .3 9 1 58 1 .0 00 0 1 .0 00 0 0 .9 9 9 5 0 .9957 0 .9 8 0 7 0 .9 4 0 4 0 .8 6 0 9 0 .7 3 6 8 0 .5 7 7 89 1 .0 00 0 1 .0 00 0 0 .9999 0.9991 0 .9 9 4 6 0 .9 7 9 0 0 .9 4 0 3 0 .8 6 5 3 0 .7 4 7 3

10 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1.0000 0 .9 9 9 8 0 .9 9 8 8 0 .9 9 3 9 0 .9 7 8 8 0 .9 4 2 4 0 .8 7 2 011 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1.0000 1 .0000 0 .9 9 9 8 0 .9 9 8 6 0 .9 9 3 8 0 .9 79 7 0 .9 4 6 312 1 .0 00 0 1 .0 0 0 0 1.0000 1 .0000 1 .0000 0 .9 9 9 7 0 .9 9 8 6 0 .9 9 4 2 0 .9 81 713 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 0 .9 99 7 0 .9 9 8 7 0.995114 1 .0 0 0 0 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 0 .9 9 9 8 0 .9 99 015 1 .0 00 0 1 .0 0 0 0 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 0 .9 9 9 916 1 .0 0 0 0 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1 .000017 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1 .000018 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000

0 0 .3 7 7 4 0.1351 0 .0456 0 .0144 0 .0 0 4 2 0.0011 0 .0 0 0 3 0.0001 0 .0 0 0 01 0 .7 5 4 7 0 .4 2 0 3 0 .1 98 5 0 .0829 0 .0 3 1 0 0 .0 1 0 4 0.0031 0 .0 0 0 8 0 .0 00 2

2 0 .9 3 3 5 0 .7 0 5 4 0 .4413 0 .2369 0 .1 1 1 3 0 .0 4 6 2 0 .0 17 0 0 .0 0 5 5 0 .0 0 1 53 0 .9 8 6 8 0 .8 8 5 0 0.6841 0.4551 0 .2631 0 .1 3 3 2 0.0591 0 .0 2 3 0 0 .0 07 74 0 .9 9 8 0 0 .9 6 4 8 0 .8 5 5 6 0 .6 7 3 3 0 .4 6 5 4 0 .2 8 2 2 0 .1 5 0 0 0 .0 6 9 6 0 .0 2 8 0

5 0 .9 9 9 8 0 .9 9 1 4 0 .9463 0 .8369 0 .6 6 7 8 0 .4 7 3 9 0 .2 9 6 8 0 .1 6 2 9 0 .0 7 7 7

6 1 .0 0 0 0 0 .9 9 8 3 0.9837 0 .9324 0.8251 0 .6 6 5 5 0 .4 8 1 2 0.3081 0 .1 72 7

7 1 .0 0 0 0 0 .9 9 9 7 0 .9959 0 .9767 0 .9 2 2 5 0 .8 1 8 0 0 .6 6 5 6 0 .4 8 7 8 0 .3 16 9

0.50

0.9616 0.9894 0.9979 0.99971.00001.0000

0.0000 0.0001 0.0012 0 .0064 0 .0245 0.0717 0 .1662 0.3145 0.5000 0 .6855 0 .8338 0 .9283 0 .9755 0 .9936 0 .9988 0 .9999 1.00001.0000

0.0000 0.0001 0.0007 0 .0038 0 .0154 0.0481 0 .1189 0 .2403 0 .4073 0 .5927 0 .7597 0.8811 0 .9519 0 .9846 0 .9962 0 .9993 0 .99991.00001.0000

0.00000.00000.00040.00220 .00960 .03180 .08350 .1796

65

Tabla 1. {Continuation)

n = 16

n = 17

n * 18

n = 19

Pc 0 .55 0 .6 0 0.65 0.70 0 .75 0.80 0 .85 0.90 0 .9 5

11 0 .9147 0 .8 3 3 4 0 .7 1 0 8 0.5501 0 .3 6 9 8 0.2018 0.0797 0 .0 7 7 0 0 .0009

12 0 .9 71 9 0 .9 3 4 9 0.8661 0.7541 0 .5 9 5 0 0 .4 0 1 9 0.2101 0 .0 68 4 0 .0070

13 0 .9 9 3 4 0 .9 81 7 0 .9549 0 .9 00 6 0 .8 02 9 0 .6 4 8 2 0 .4 3 8 6 0 .2108 0 .042914 0 .9 9 9 0 0 .9 96 7 0 .9902 0 .9739 0 .9 3 6 5 0 .8 5 9 3 0.7161 0 .4853 0 .1 89 2

15 0 .9 99 9 0 .9997 0 .9 99 0 0 .9967 0 .9 90 0 0 .9 7 1 9 0 .9 25 7 0 .8 1 4 7 0 .5 59 9

16 1.0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000

0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 . - 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0

J 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0000

2 0 .0 0 0 3 0.0001 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0

3 0 .0 01 9 0 .0 0 0 5 0.0001 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 04 0 .0 0 8 6 0 .0 0 2 5 0 .0 00 6 0.0001 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0

5 0.0301 0 .0 1 0 6 0 .0 0 3 0 0 .0007 0.0001 0.0000 0.0000 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0

6 0 .0 8 2 6 0 .0 3 4 8 0 .0 12 0 0 .0032 0 .0 0 0 6 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 07 0 .1 83 4 0 .0 9 1 9 0 .0 38 3 0.0127 0.0031 0 .0005 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0

8 0 .3 37 4 0 .1 9 8 9 0 .0 99 4 0 .0 40 3 0 .0 12 4 0 .0 0 2 6 0 .0 0 0 3 0 .0 0 0 0 0 .0 00 09 0 .5 25 7 0 .3 5 9 5 0 .2 12 8 0 .1046 0 .0 4 0 2 0 .0 1 0 9 0 .0 0 1 7 0.0001 0.0000

10 0 .7 09 8 0 .5 5 2 2 0 .3 81 2 0 .2248 0.1071 0 .0377 0 .0 0 8 3 0 .0 0 0 8 0 .0 00 011 0 .8 5 2 9 0.7361 0 .5 8 0 3 0 .4032 0 .2347 0 .1057 0 .0 3 1 9 0 .0 04 7 0.000112 0 .9 40 4 0 .8 7 4 0 0 .7652 0 .6 11 3 0.4261 0 .2 4 1 8 0 .0 98 7 0.0221 0 .0 01 213 0 .9 81 6 0 .9 5 3 6 0 .8 97 2 0.7981 0 .6 47 0 0.4511 0 .2 44 4 0 .0 8 2 6 0 .0 08 814 0 .9 95 9 0 .9 87 7 0 .9 6 7 3 0 .9226 0 .8 3 6 3 0 .6904 0 .4 8 0 2 0 .2 3 8 2 0 .0 50 315 0 .9 9 9 4 0 .9979 0 .9 93 3 0 .9807 0 .9 49 9 0 .8 8 1 8 0 .7 4 7 5 0 .5 1 8 2 0 .207816 1 .0000 0 .9 9 9 8 0 .9 9 9 3 0 .9977 0 .9 92 5 0 .9 7 7 5 0 .9 3 6 9 0 .8 3 3 2 0 .581917 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000

0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .00001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 02 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 03 0 .0 0 1 0 0 .0 0 0 2 0 .0000 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .00004 0 .0 0 4 9 0 .0 0 1 3 0 .0 0 0 3 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .00005 0 .0 1 8 3 0 .0 0 5 8 0 .0 01 4 0 .0 0 0 3 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 06 0 .0 5 3 7 0 .0 2 0 3 0 .0 0 6 2 0 .0 0 1 4 0 .0 0 0 2 0.0000 0.0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 07 0 .1 2 8 0 0 .0 5 7 6 0 .0 21 2 0.0061 0 .0 0 1 2 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 08 0 .2527 0 .1 3 4 7 0 .0597 0 .0 2 1 0 0 .0 0 5 4 0 .0 0 0 9 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 09 0 .4 2 2 2 0 .2 63 2 0.1391 0 .0 5 9 6 0 .0 1 9 3 0 .0 0 4 3 0 .0 0 0 5 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0

10 0 .6 0 8 5 0 .4 3 6 6 0 .2 71 7 0 .1 4 0 7 0 .0 5 6 9 0.0163 0 .0 0 2 7 0.0002 0 .0 0 0 011 0 .7742 0 .6 25 7 0 .4 50 9 0 .2 7 8 3 0 .1 39 0 0 .0 5 1 3 0 .0 1 1 8 0 .0 0 1 2 0 .0 00 012 0 .8 9 2 3 0 .7 9 1 2 0 .6 45 0 0 .4 6 5 6 0 .2 82 5 0 .1 3 2 9 0 .0 4 1 9 0 .0 0 6 4 0 .0 00 213 0 .9 5 8 9 0 .9 0 5 8 0 .8114 0 .6 6 7 3 0 .4 8 1 3 0 .2 8 3 6 0 .1 2 0 6 0 .0 2 8 2 0 .0 0 1 514 0 .9 8 8 0 0 .9 6 7 2 0 .9217 0 .8 3 5 4 0 .6 94 3 0 .4 9 9 0 0 .2 7 9 8 0 .0 9 8 2 0 .0 1 0 915 0 .9 9 7 5 0 .9 9 1 8 0 .9 76 4 0 .9400 0 .8 64 7 0 .7 28 7 0 .5 2 0 3 0 .2 6 6 2 0.058116 0 .9997 0 .9 9 8 7 0 .9 95 4 0 .9 8 5 8 0 .9 6 0 5 0 .9 0 0 9 0 .7 7 5 9 0 .5 4 9 7 0 .2 2 6 517 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 99 6 0 .9984 0 .9 9 4 4 0 .9 82 0 0 .9 4 6 4 0 .8 4 9 9 0 .6 02 818 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000

0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 01 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 02 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .00003 0 .0 0 0 5 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 04 0 .0 0 2 8 0 .0 0 0 6 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .00005 0 .0 1 0 9 0 .0031 0 .0007 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .00006 0 .0 3 4 2 0 .0 1 1 6 0.0031 0 .0 0 0 6 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0.0000 0.00007 0.0871 0 .0 3 5 2 0 .0 1 1 4 0 .0 0 2 8 0 .0 0 0 5 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0000

66


n ~ 1 9

n = 20

n = 21

Pc 0 .05 0.10 0 .15 0 .2 0 0.25 0 .3 0 0 .3 5 0 .4 0 0 .4 5 0.50

8 1.0000 1.0000 0 .9 99 2 0 .9 93 3 0 .9713 0.9161 0 .8 14 5 0 .6 67 5 0 .4 9 4 0 0.32389 1.0000 T .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 98 4 0.9911 0 .9 6 7 4 0 .9 1 2 5 0 .8 1 3 9 0 .6 7 1 0 0.5000

10 1.0000 1 .0000 1 .0000 0 .9997 0.9977 0 .9 89 5 0 .9 6 5 3 0 .9 1 1 5 0 .8 1 5 9 0.676211 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 0 .9995 0 .9 97 2 0 .9 88 6 0 .9 6 4 8 0 .9 1 2 9 0.820412 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 0 .9999 0 .9 9 9 4 0 .9 9 6 9 0 .9 8 8 4 0 .9 6 5 8 0.916513 1.0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0 .9 9 9 3 0 .9 9 6 9 0 .9891 0 .968214 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 4 0 .9 97 2 0.990415 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 5 0.997816 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 0 .9 99 9 0.999617 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.000018 1.0000 r.o o o o 1 .0000 1.0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.000019 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000

0 0 .3 58 5 0 .1 2 1 6 0 .0 3 8 8 0 .0 1 1 5 0 .0032 0 .0 0 0 8 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .00001 0 ,7 3 5 8 0 .3 91 7 0 .1 7 5 6 0 .0 69 2 0 .0 24 3 0 .0 0 7 6 0.0021 0 .0 0 0 5 0.0001 0.00002 0 .9245 0 .6 7 6 9 0 .4 0 4 9 0.2061 0 .0913 0 .0 35 5 0.0121 0 .0 0 3 6 0 .0 0 0 9 0.00023 0.9841 0 .8 6 7 0 0 .6 47 7 0 .4 11 4 0.2252 0.1071 0 .0 4 4 4 0 .0 1 6 0 0 .0049 0.00134 0 .9974 0 .9 5 6 8 0 .8 2 9 8 0 .6 2 9 6 0 .4148 0 .2 3 7 5 0 .1 1 8 2 0 .0 5 1 0 0 .0 1 8 9 0.00595 0 .9997 0 .9887 0 .9 3 2 7 0 .8 04 2 0 .6172 0 .4 16 4 0 .2 4 5 4 0 .1 2 5 6 0 .0 5 5 3 0.02076 1.0000 0 .9 9 7 6 0.9781 0 .9 1 3 3 0 .7 85 8 0 .6 0 8 0 0 .4 1 6 6 0 .2 5 0 0 0 .1 2 9 9 0.05777 1.0000 0 .9 9 9 6 0.9941 0 .9 67 9 0 .8982 0 .7 7 2 3 0 .6 01 0 0 .4 1 5 9 0 .2 5 2 0 0.13168 1.0000 0 .9 9 9 9 0 .9 98 7 0 .9 90 0 0.9591 0 .8867 0 .7 6 2 4 0 .5 9 5 6 0 .4 1 4 3 0.25179 1.0000 1 .0000 0 .9 9 9 8 0 .9 97 4 0.9861 0 .9 5 2 0 0 .8 7 8 2 0 .7 5 5 3 0 .5 9 1 4 0.4119

10 . 1.0000 1.0000 1 .0 00 0 0 .9 99 4 0.9961 0 .9 82 9 0 .9 4 6 8 0 .8 7 2 5 0 .7 50 7 0.588111 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 0 .9 9 9 9 0.9991 0 .9 94 9 0 .9 8 0 4 0 .9 4 3 5 0 .8 6 9 2 0.748312 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1.0000 0 .9 99 8 0 .9 98 7 0 .9 9 4 0 0 .9 7 9 0 0 .9 4 2 0 0.8684T 3 1.0000 1.0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 0 .9 9 9 7 0 .9 9 8 5 0 .9 9 3 5 0 .9 7 8 6 0 .942314 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1.0000 1 .0000 0 .9 99 7 0 .9 9 8 4 0 .9 9 3 6 0 .979315 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 0 .9 99 7 0 .9 9 8 5 0.994116 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 0 .9 9 9 7 0.998717 1.0000 1.0000 1 ,0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 0 .999818 1.0000 1.0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.000019 ■ 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.000020 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1.0000 1.0000 1.0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1.0000

0 0 .3 4 0 6 0 .1 09 4 0 .0 3 2 9 0 .0 09 2 0 .0 02 4 0 .0 0 0 6 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .00001 0 .7 17 0 0 .3 64 7 0 .1 5 5 0 0 .0 5 7 6 0 .0 19 0 0 .0 0 5 6 0 .0 0 1 4 0 .0 0 0 3 0.0001 0.0000

2 0.9151 0 .6 4 8 4 0 .3 7 0 5 0 .1 78 7 0 .0745 0.0271 0 .0 0 8 6 0 .0 0 2 4 0 .0 0 0 6 0.0001

3 0.9811 0 .8 4 8 0 0 .6 1 1 3 0 .3 70 4 0 .1917 0 .0 8 5 6 0.0331 0 .0 1 1 0 0.0031 0.0007

4 0.9968 0.9478 0.8025 0 .5 8 6 0 0.3674 0.1984 0.0924 0.0370 O. O J26 0 .0036

5 0 .9 9 9 6 0 .9 8 5 6 0 .9 1 7 3 0 .7 6 9 3 0 .5 66 6 0 .3627 0 .2 0 0 9 0 .0 95 7 0 .0 3 8 9 0.0133

6 1.0000 0 .9 9 6 7 0 .9 7 1 3 0 .8 9 1 5 0 .7 43 6 0 .5 50 5 0 .3 5 6 7 0 .2 0 0 2 0 .0 96 4 0.0392

7 1 .0000 0 .9 9 9 4 0 .9 9 1 7 0 .9 5 6 9 0.8701 0 .7 2 3 0 0 .5 3 6 5 0 .3 4 9 5 0.1971 0.0946

8 1.0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 8 0 0 .9 8 5 6 0 .9 4 3 9 0 .8 5 2 3 0 .7 0 5 9 0 .5 2 3 7 0 .3 4 1 3 0.1917

9 1 .0000 1 .0 00 0 0 .9 9 9 6 0 .9 9 5 9 0 .9 79 4 0 .9 32 4 0 .8 37 7 0 .6 9 1 4 0 .5117 0.3318

10 1.0000 1 .0 00 0 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 0 0 .9 93 6 0 .9 73 6 0 .9 2 2 8 0 .8 2 5 6 0 .6 7 9 0 0.5000

11 1.0000 1 .0 00 0 1 .0 0 0 0 0 .9 9 9 8 0 .9 9 8 3 0 .9 9 1 3 0 .9687 0.9151 0.81 59 0.6682

12 1.0000 1 .0000 1 .0 0 0 0 1 .0000 0.9996 0 .9 9 7 6 0 .9 8 9 2 0 .9 6 4 8 0 .9 09 2 0 .8083

13 1.0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0 00 0 0 .9 99 9 0 .9 9 9 4 0 .9 9 6 9 0 .9 8 7 7 0.9621 0.9054

14 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 0 0 0 1 .0 00 0 1.0000 0 .9 99 9 0 .9 9 9 3 0 .9 9 6 4 0 .9 8 6 8 0.9608

15 1.0000 1 .0 0 0 0 1 .0 0 0 0 1 .0000 1.0000 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 2 0 .9 96 3 0.9867

16 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 0 .9 9 9 8 0 .9 99 2 0.9964

17 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 0 0 0 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 00 0 0 .9 9 9 9 0.9993

18 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0 0 0 0 1 .0 00 0 1.0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 0.9999

67

Tabta 1. (Continuacion)

p

c 0 .5 5 0 .6 0 0 .6 5 0.70 0 .75 0 .8 0 0 .85 0.90 0 .9 5

8 0.1841 0 .0 8 8 5 0 .0347 0 .0 10 5 0 .0 0 2 3 0 .0 0 0 3 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 0 0 09 0 .3 29 0 0.1861 0 .0875 0 .0 32 6 0 .0 0 8 9 0 .0 0 1 6 0.0001 0 .0000 0 .0 0 0 0

10 0 .5 0 6 0 0 .3 3 2 5 0 .1 8 5 5 0 .0 83 9 0 .0287 0 .0067 0 .0 0 0 8 0 .0000 0 .0 00 011 0.6831 0 .5 1 2 2 0 .3344 0 .1820 0 .0 77 5 0 .0 23 3 0.0041 0 .0003 0 .0 0 0 012 0 .8 2 7 3 0 .6 9 1 9 0 .5188 0 .3345 0 .1 74 9 0 .0 67 6 0 .0 1 6 3 0 .0017 0 .0 00 013 0 .9 2 2 3 0.8371 0 .7032 0.5261 0 .3 32 2 0.1631 0 .0537 0 .0086 0 .0 00 214 0 .9 7 2 0 0 .9 30 4 0 .8 5 0 0 0 .7 17 8 0 .5 3 4 6 0 .3 26 7 0 .1 44 4 0 .0352 0 .0 02 015 0 .9 9 2 3 0 .9 7 7 0 0 .9409 0 .8 66 8 0 .7 36 9 0 .5 4 4 9 0 .3 1 5 9 0 .1150 0 .0 1 3 216 0 .9 98 5 0 .9 9 4 5 0 .9 83 0 0 .9 53 8 0 .8887 0.7631 0 .5 5 8 7 0 .2946 0 .0 6 6 517 0 .9 9 9 8 0 .9 9 9 2 0 .9969 0 .9 89 6 0 .9 6 9 0 0.9171 0 .8 0 1 5 0.5797 0 .2 4 5 318 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9997 0 .9 98 9 0 .9 95 8 0 .9 8 5 6 0 .9 54 4 0 .8649 0 .6 2 2 619 1.0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000

0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 01 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 02 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0.0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 03 0 .0 0 0 3 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 00 04 0 .0 0 1 5 0 .0 0 0 3 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 05 0 .0 0 6 4 0 .0 0 1 6 0 .0 00 3 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 06 0 .0 2 1 4 0 .0 0 6 5 0 .0 01 5 0 .0 00 3 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 00 07 0 .0 5 8 0 0 .0 2 1 0 0 .0 0 6 0 0.0013 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0

8 0 .1 3 0 8 0 .0 5 6 5 0 .0196 0.0051 0 .0 0 0 9 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 09 0 .2 4 9 3 0 .1 2 7 5 0 .0 53 2 0.0171 0 .0 0 3 9 0 .0 0 0 6 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0

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0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 01 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 02 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 03 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 04 0 .0 0 0 8 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 05 0 .0 0 3 7 0 .0 0 0 8 0.0001 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 06 0 .0 1 3 2 0 .0 0 3 6 0 .0 0 0 7 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 07 0 .0 3 7 9 0 .0 1 2 3 0.0031 0 .0 0 0 6 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 08 0 .0 9 0 8 0 .0 3 5 2 0 .0 10 8 0 .0024 0 .0 0 0 4 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 09 0.1841 0 .0 8 4 9 0 .0 3 1 3 0.0087 0 .0 0 1 7 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 0 0 0

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18 0 .9 9 9 4 0 .9 9 7 6 0 .9914 0 .9729 0 .9 2 5 5 0 .8 2 1 3 0 .6 2 9 5 0 .3516 0 .0 8 4 9

68


n = 21

n = 22

n = 23

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10 1 .0000 1.0000 0 .9 9 9 9 0 .9 98 4 0 .9 9 0 0 0 .9 61 3 0 .8 9 3 0 0 .7 7 2 0 0 .6037 0 .4 15 911 1.0000 1.0000 1.0000 0 .9 99 7 0.9971 0 .9 8 6 0 0 .9 5 2 6 0 .8 7 9 3 0 .7 54 3 0.584112 1 .0000 1.0000 1 .0 00 0 0 .9 99 9 0 .9 9 9 3 0 .9957 0 .9 8 2 0 0 .9 4 4 9 0 .8672 0 .7 38 313 ! .0000 t .0000 1 .0000 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 98 9 0 .9 9 4 2 0 .9 7 8 5 0 .9 3 8 3 0 .8 5 6 914 1 .0000 1.0000 1.0000 1.0000 1 .0000 0 .9 99 8 0 .9984 0 .9 9 3 0 0 .9757 0.933115 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 0 .9997 0.9981 0 .9 92 0 0 .973816 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 6 0 .9 97 9 0 .991517 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9 99 5 0 .9 97 818 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 0 .9 99 9 0 .9 99 619 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1.0000 0 .999920 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.000021 1 .0 00 0 1.0000 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.000022 1 .0 00 0 1.0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000

0 0 .3 07 4 0 .0886 0 .0 2 3 8 0 .0 05 9 0 .0 0 1 3 0 .0 00 3 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 00 01 0 .6 7 9 4 0.3151 0 .1 2 0 4 0 .0 3 9 8 0 .0 1 1 6 0 .0 03 0 0 .0 0 0 7 0.0001 0 .0 00 0 0 .0 00 02 0 .8 9 4 8 0 .5920 0 .3 0 8 0 0 .1 33 2 0 .0 4 9 2 0 .0 15 7 0 .0 0 4 3 0 .0 0 1 0 0 .0 00 2 0 .0 00 03 0 .9 7 4 2 0 .8073 0 .5 3 9 6 0 .2 9 6 5 0 .1 3 7 0 0 .0 5 3 8 0.0181 0 .0 05 2 0 .0 01 2 0 .00024 0.9951 0 .9269 0 .7 4 4 0 0 .5 00 7 0 .2 83 2 0 .1 35 6 0.0551 0 .0 1 9 0 0 .0055 0 .0 01 35 0 .9 99 2 0.9774 0.8811 0 .6 94 7 0 .4 6 8 5 0 .2 68 8 0 .1 3 0 9 0 .0 5 4 0 0 .0 18 6 0 .0 05 36 0 .9 9 9 9 0 .9942 0 .9 53 7 0 .8 4 0 2 0 .6 53 7 * 0 .4 39 9 0 .2 53 4 0 .1240 0 .0 51 0 0 .0 17 37 1 .0000 0.9988 0 .9 8 4 8 0 .9 2 8 5 0 .8 03 7 0.6181 0 .4 1 3 6 0 .2 3 7 3 0 .1152 0 .0466

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19 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1.0000 0 .9998

20 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1 .0000 1.0000 1.0000

21 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1.0000

22 1 .0000 1* 1000 . 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0 00 0 1.0000 1.0000

23 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1.0000 1.0000

69


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' 19 0 .9 9 9 9 0 .9997 0 .9 98 6 0 .9944 0 .9810 0 .9424 0 .8 45 0 0 .6353 0 .283020 1 .0000 1.0000 0 .9 9 9 9 0 .9994 0 .9 97 6 0 .9908 0.9671 0 .8 9 0 6 0 .659421 1 .0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 01 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 00 02 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 00 03 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .00004 0 .0 0 0 5 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 05 0.0021 0 .0 00 4 0.0001 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .00006 0 .0 0 8 0 0 .0 0 1 9 0 .0 0 0 3 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .00007 0 .0 2 4 3 0 .0 07 0 0 .0 0 1 6 0 .0 00 2 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 08 0 .0 6 1 7 0 .0 21 5 0 .0058 0.0011 0.0001 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 09 0 .1 3 2 8 0.0551 0 .0180 0 .0 04 3 0 .0007 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0

10 0 .2 45 7 0 .1207 0 .0 4 7 4 0 .0 14 0 0 .0 02 9 0 .0 0 0 3 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 011 0 .3 9 6 3 0 .2 28 0 0 .1 07 0 0 .0387 0 .0 1 0 0 0 .0 0 1 6 0.0001 0 .0 00 0 0 .0 0 0 012 0 .5 6 5 0 0 .3 7 5 6 0 .2 08 4 0 .0 91 6 0 .0 29 5 0.0061 0 .0007 0 .0 00 0 0 .0 0 0 013 0 .7 2 3 6 0 .5 46 0 0 .3 5 3 4 0 .1865 0 .0 7 4 6 0.0201 0 .0 0 3 0 0.0001 0 .000014 0 .8 4 8 2 0 .7 10 2 0 .5 26 4 0 .3287 0 .1 6 1 5 0.0561 0 .0 11 4 0 .0 00 9 0 .000015 0 .9 2 9 5 0 .8 4 1 6 0 .6 9 7 8 0 .5 05 8 0 .3 0 0 6 0 .1 3 3 0 0 .0 3 6 8 0 .0 04 4 0.000116 0 .9 7 2 9 0 .9 27 8 0.8371 0 .6 86 6 0 .4 8 3 2 0 .2 6 7 4 0 .0 99 9 0 .0 18 2 0 .0 0 0 617 0 .9 91 7 0 .9 73 4 0 .9 28 4 0 .8 35 5 0 .6 7 6 5 0.4571 0 .2 26 2 0.0621 0 .0 0 4 018 0 .9 9 8 0 0 .9 9 2 4 0 .9 7 5 5 0 .9 31 9 0 .8 3 7 6 0 .6 68 0 0 .4 24 8 0 .1 71 9 0 .0 22 219 0 .9 99 7 0 .9 98 4 0 .9 9 3 9 0 .9 79 3 0 .9 39 4 0 .8 4 5 5 0 .6 6 1 8 0 .3 8 0 0 0 .0 9 4 820 1 .0000 0 .9 99 8 0 .9 9 9 0 0 .9 95 9 0.9851 0 .9 5 2 0 0 .8 63 3 0 .6 6 0 8 0 .3 0 1 821 1 .0 0 0 0 1 .0000 0 .9 9 9 9 0 .9996 0 .9 98 2 0 .9 92 6 0 .9 72 0 0 .9015 0 .6 7 6 522 1 .0 00 0 1.0000 1 .0000 1 0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000

0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 01 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 0 0 02 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 03 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 04 0 .0 0 0 2 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 0 0 05 0 .0 0 1 2 0 .0002 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 06 0 .0 0 4 8 0 .0 0 1 0 0 .0 0 0 2 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 07 0 .0 1 5 3 0 .0 0 4 0 0 .0 0 0 8 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 08 0 .0411 0 .0 1 2 8 0 .0 0 3 0 0 .0 0 0 5 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 09 0 .0 93 7 0 .0349 0 .0 1 0 0 0.0021 0 .0 0 0 3 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0

10 0 .1 8 3 6 0 .0 8 1 3 0 .0 2 8 3 0 .0072 0 .0 01 2 0.0001 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 011 0 .3 1 3 5 0 .1 6 3 6 0 .0 6 8 2 0 .0 2 1 4 0 .0 0 4 6 0 .0 00 6 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 012 0 .4 7 2 2 0.2871 0 .1 4 2 5 0 .0 54 6 0 .0 1 4 9 0 .0 0 2 5 0 .0 00 2 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 013 0 .6 3 6 4 0 .4 4 3 8 0 .2 5 9 2 0.1201 0 .0 4 0 8 0 .0 08 9 0 .0 0 1 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 014 0 .7 7 9 7 0 .6 1 1 6 0 .4 1 4 0 0.2291 0 .0 9 6 3 0 .0 2 7 3 0 .0 04 2 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0 015 0 .8 8 4 8 0 .7 62 7 0 .5 8 6 4 0 .3 8 1 9 0 .1 9 6 3 0 .0 7 1 5 0 .0 1 5 2 0 .0 01 2 0 .0 0 0 016 0 .9 4 9 0 0 .8 7 6 0 0 .7 4 6 6 0.5601 0 .3 4 6 3 0 .1 5 9 8 0 .0 4 6 3 0 .0 0 5 8 0.000117 0 .9 8 1 4 0 .9460 0.8691 0 .7 31 2 0 .5 3 1 5 0 .3 0 5 3 0 .1 1 8 9 0 .0 2 2 6 0 .0 0 0 818 0 .9 9 4 5 0 .9 8 1 0 0 .9 4 4 9 0 .8 64 4 0 .7 1 6 8 0 .4 9 9 3 0 .2 5 6 0 0.0731 0 .0 0 4 919 0 .9 9 8 8 0 .9 9 4 8 0 .9 8 1 9 0 .9 46 2 0 .8 6 3 0 0 .7 0 3 5 0 .4 6 0 4 0 .1927 0 .0 2 5 820 0 .9 9 9 8 0 .9 9 9 0 0 .9 9 5 7 0 .9 84 3 0 .9 5 0 8 0 .8 6 6 8 0 .6 9 2 0 0 .4 0 8 0 0 .1 0 5 221 1 .0 00 0 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 3 0 .9 97 0 0 .9 8 8 4 0 .9 6 0 2 0 .8 7 9 6 0 .6 8 4 9 0 .3 2 0 622 1 .0 00 0 1 .0 00 0 1 .0000 0.9997 0 .9 98 7 0.9941 0 .9 7 6 2 0 .9 1 1 4 0 .6 9 2 623 1 .0 00 0 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0 00 0

70

Tabla 1. (Continuation)

n = 24

n ==25

c 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 035 0.40 0.45 0.50

0 0.2920 0.0798 0.0202 0.0047 0.0010 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.00001 0.6608 0.2925 0.1059 0.0331 0.0090 0.0022 0.0005 0.0001 0.0000 0.00002 0.8841 0.5643 0.2798 0.1145 0.0398 0.0119 0.0030 0.0007 0.0001 0.00003 0.9702 0.7857 0.5049 0.2639 0.1150 0.0424 0.0133 0.0035 0.0008 0.00014 0.9940 0.9149 0.7134 0.4599 0.2466 0.1111 ■ 0.0422 0.0134 0.0036 0.00085 0.9990 0.9723 0.8606 0.6559 0.4222 0.2288 0.1044 0.0400 0.0127 0.00336 0.9999 0.9925 0.9428 0.8111 0.6074 0.3886 0.2106 0.0960 0.0364 0.01137 1.0000 0.9983 0.9801 0.9108 0.7662 0.5647 0.3575 0.1919 0.0863 0.03208 1.0000 0.9997 0.9941 0.9638 0.8787 0.7250 0.5257 0.3279 0.1730 0.07589 1.0000 0.9999 0.9985 0.9874 0.9453 0.8472 0.6866 0.4891 0.2991 0.1537

10 1.0000 1.0000 0.9997 0.9962 0.9787 0.9258 0.8167 0.6502 0.4539 0.270611 1.0000 1.0000 0.9999 0.9990 0.9928 0.9686 0.9058 0.7870 0.6151 0.419412 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9979 0.9885 0.9577 0.8857 0.7580 0.580613 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9964 0.9836 0.9465 0.8659 0.7294T4 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9990 0.9945 0.9783 0.9352 0.846315 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9984 0.9925 0.9731 0.924216 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9996 0.9978 0.9905 0.968017 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9995 0.9972 0.988718 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9993 0.996719 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.999220 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.999921 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 T.0000 1.0000 1.000022 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.000023 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1,0000 1.0000 1.000024 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.2774 0.0718 0.0172 0.0038 0.0008 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.00001 0.6424 0.2712 0.0931 0.0274 0.0070 0.0016 0.0003 0.0001 0.0000 0.00002 0.8729 0.5371 0.2537 0.0982 0.0321 0.0090 0.0021 0.0004 0.0001 0.00003 0.9659 0.7636 0.4711 0.2340 0.0962 0.0332 0.0097 0.0024 0.0005 0.00014 0.9928 0.9020 0.6821 0.4207 0.2137 0.0905 0.0320 0.0095 0.0023 0.00055 0.9988 0.9666 0.8385 0.6167 0.3783 0.1935 0.0826 0.0294 0.0086 0.00206 0.9998 0.9905 0.9305 0.7800 0.5611 0.3407 0.1734 0.0736 0.0258 0.00737 1.0000 0.9977 0.9745 0.8909 0.7265 0.5118 0.3061 0.1536 0.0639 0.02168 1.0000 0.9995 0.9920 0.9532 0.8506 0.6769 0.4668 0.2735 0.1340 0.05399 1.0000 0.9999 0.9979 0.9827 0.9287 0.8106 0.6303 0.4246 0.2424 0.1148

10 1.0000 1.0000 0.9995 0.9944 0.9703 0.9022 0.7712 0.5858 0.3843 0.212211 1.0000 1.0000 0.9999 0.9985 0.9893 0.9558 0.8746 0.7323 0.5426 0.345012 1.0000 1.0000 1.0000 0.9996 0.9966 0.9825 0.9396 0.8462 0.6937 0.500013 ' 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9991 0.9940 0.9745 0.9222 0.8173 0.655014 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9982 0.9907 0.9656 0.9040 0.787815 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9971 0.9868 0.9560 0.885216 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9992 0.9957 0.9826 0.946117 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9988 0.9942 0.9784

18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9984 0.992719 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.998020 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1 :oooo 1.0000 1.0000 0.9999 0.999521 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.999922 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

23 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

24 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

25 1.0000 1 .oooc 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

71


pc 0 .5 5 0 .60 0 .65 0 .7 0 0 .7 5 0 .80 0.85 0.90 0 .95

0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0.0000 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0

1 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0.0000 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0000

2 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0000

3 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .00004 0.0001 0 .0 0 0 0 0.0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0000

5 0 .0007 0.0001 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0

6 0 .0 0 2 8 0 .0 00 5 0.0001 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0

7 0 .0 09 5 0 .0 02 2 0 .0004 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0

8 0 .0 26 9 0 .0075 0 .0016 0 .0002 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0

9 0 .0 6 4 8 0 .0217 0 .0055 0 .0 01 0 0.0001 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0

10 0.1341 0 .0 53 5 0 .0164 0 .0 0 3 6 0 .0 0 0 5 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0000

11 0 .2 42 0 0 .1 1 4 3 0 .0423 0 .0 11 5 0.0021 0 .0002 .0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 00 0

12 0 .3 84 9 0 .2130 0:0942 0 .0 31 4 0 .0072 0 .0 01 0 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0

13 0.5461 0 .3 49 8 0 .1833 0 .0 74 2 0 .0 2 1 3 0 .0 0 3 8 0 .0 00 3 0 .0 0 0 0 0 .0 00 014 0 .7 00 9 0 .5 10 9 0.3134 0 .1 52 8 0 .0547 0 .0 12 6 0 .0 01 5 0.0001 0 .0 00 0

15 0 .8270 0.6721 0 .4743 0 .2 75 0 0 .1 2 1 3 0 .0 36 2 0 .0 0 5 9 0 .0 0 0 3 0 .0 00 0

16 0 .9 13 7 0 .8081 0 .6425 0.4353 0 .2 33 8 0 .0 8 9 2 0 .0 1 9 9 0 .0017 0 .0 00 017 0 .9 63 6 0 .9 04 0 0 .7894 0 .6 11 4 0 .3 92 6 0 .1 88 9 0 .0572 0 .0 0 7 5 0.0001

18 0 .9 8 7 3 0 .9 60 0 0 .8956 0 .7 71 2 0 .5 7 7 8 0.3441 0 .1 39 4 0 .0277 0 .0 0 1 0

19 0 .9 96 4 0 .9 8 6 6 0 .9578 0 .8 88 9 0 .7534 0.5401 0 .2 8 6 6 0.0851 0 .0 0 6 020 0 .9992 0 .9 96 5 0.9867 0 .9 57 6 0 .8 85 0 0.7361 0.4951 0 .2 1 4 3 0 .0 2 9 821 0 .9 99 9 0 .9 99 3 0 .9970 0.9881 0 .9 60 2 0 .8 8 5 5 0 .7 20 2 0 .4357 0 .1 15 922 1.0000 0 .9 99 9 0 .9995 0 .9978 0 .9910 0 .9 66 9 0.8941 0 .7 0 7 5 0 .3 39 223 1 .0000 1 .0000 1.0000 0 .9 9 9 8 0 .9 99 0 0 .9 9 5 3 0 .9 7 9 8 0 .9 2 0 2 0 .7 0 8 024 1.0000 1 .0000 1.0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000

0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 • 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 01 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0.00002 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 00 03 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 04 0.0001 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .00005 0 .0 0 0 4 0.0001 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 06 0 .0 0 1 6 0 .0 0 0 3 0 .0000 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 07 0 .0 0 5 8 0 .0 01 2 0 .0002 0 .0 00 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 08 0 .0 1 7 4 0 .0 0 4 3 0 .0 00 8 0.0001 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0.0000 0.0000 0.00009 0 .0 4 4 0 0 .0 1 3 2 0 .0 02 9 0 .0 0 0 5 0 .0 00 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0

10 0 .0 9 6 0 0 .0 34 4 0 .0093 0 .0 0 1 8 0 .0 00 2 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .000011 0 .1 82 7 0 .0 77 8 0 .0255 0 .0 06 0 0 .0 0 0 9 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 012 0 .3 0 6 3 0 .1 5 3 8 0 .0 60 4 0 .0 1 7 5 0 .0034 0 .0 0 0 4 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 013 0 .4 5 7 4 0 .2 67 7 0 .1254 0 .0442 0 .0107 0 .0 01 5 0.0001 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 014 0 .6157 0 .4 14 2 0 .2288 0 .0 97 8 0 .0297 0 .0 0 5 6 0 .0 0 0 5 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 015 0 .7 5 7 6 0 .5 75 4 0 .3 69 7 0 .1 89 4 0 .0 7 1 3 0 .0 1 7 3 0.0021 0.0001 0.000016 0 .8 6 6 0 0 .7 2 6 5 0 .5 33 2 0.3231 0 .1 49 4 0 .0 4 6 8 0 .0 0 8 0 0 .0 0 0 5 0 .0 0 0 017 0.9361 0 .8 4 6 4 0 .6939 0 .4 88 2 0 .2735 0.1091 0 .0 2 5 5 0 .0 0 2 3 0 .0 0 0 018 0 .9 74 2 0 .9 2 6 4 6 .8 2 6 6 0 .6 5 9 3 0 .4389 0 .2 2 0 0 0 .0 6 9 5 0 .0 0 9 5 0 .0 0 0 219 0 .9 91 4 0 .9 7 0 6 0 .9 17 4 0 .8 06 5 0 .6217 0 .3 8 3 3 0 .1 6 1 5 0 .0 3 3 4 0 .0 0 1 220 0 .9977 0 .9 9 0 5 0 .9680 0 .9 09 5 0 .7863 0 .5 7 9 3 0 .3 1 7 9 0 .0 9 8 0 0 .0 0 7 221 0 .9 99 5 0 .9 9 7 6 0 .9903 0 .9 6 6 8 0 .9 0 3 8 0 .7 6 6 0 0 .5 2 8 9 0 .2 3 6 4 0.034122 0 .9 9 9 9 0 .9 9 9 6 0 .9 97 9 0 .9 91 0 0 .9 6 7 9 0 .9 0 1 8 0 .7 4 6 3 0 .4 62 9 0.127123 1 .0000 0 .9 99 9 0 .9997 0 .9 98 4 0 .9 93 0 0 .9 7 2 6 0 .9069 0 .7 2 8 8 0 .3 5 7 624 1.0000 1 .0000 1.0000 0 .9 9 9 9 0 .9 99 2 0 .9 9 6 2 0 .9 8 2 8 0 .9 2 8 2 0 .7 2 2 625 1 .0000 1 .0000 1.0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000

72

Tabla 2. Probabilidades acumuladas de la distribucidn de Poisson.

c 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0X

3.5 4.0 4.5 5.0 5.5

0 0.3679 0.2231 0.1353 0.0821 0.0498 0.0302 0.0183 0.0111 0.0067 0.0041

1 0.7358 0.5578 0.4060 0.2873 0.1991 0.1359 0.0916 0.0611 0.0404 0.0266

2 0.9197 0.8088 0.6767 0.5438 0.4232 0.3208 0.2381 0.1736 0.1247 0.0884

3 0.9810 0 9344 0.8571 0.7576 0.64 72 0.5366 0.4335 0.3423 0.2650 0.2017

4 0.9963 0.9814 0.9473 0 8 9 1 2 0.8153 0.7254 0.6288 0.5321 0.4405 0.3575

5 0.9994 0.9955 0.9834 0.9580 0.9161 0.8576 0.7851 0.7029 0.6160 0.5289

6 0.9999 0.9991 0.9955 0.9858 0.9665 0.9347 0.8893 0.8311 0.7622 0.6860

7 1.0000 0.9998 0.9989 0.9958 0.9881 0.9733 0.9489 0.9134 0.8666 0.8095

B 1.0000 1.0000 0.9998 0.9989 0.9962 0.9901 0.9786 0.9597 0.9319 0.8944

9 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9989 0.9967 0.9919 0.9829 0.9682 0.9462

10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9990 0.9972 0.9933 0.9863 0.9747

11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9991 0.9976 0.9945 0.9890

12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9992 0.9980 0.9955

13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9993 0.9983

14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9994

15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998

16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999

17 1.0000 1.0000 1.0000 r.oooo 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

c 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0X

13.5 14.0 14.5 15.0 15.5

0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.0012 0.0008 0.0005 0.0003 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000

3 0.0049 0.0034 0.0023 0.0016 0.0011 0.0007 0.0005 0.0003 0.0002 0.00014 0.0151 0.0107 0.0076 0.0053 0.0037 0.0026 0.0018 0.0012 0.0009 0.0006

5 0.0375 0.0277 0.0203 0.0148 0.0107 0.0077 0.0055 0.0039 0.0028 0.0020

6 0.0786 0.0603 0.0458 0.0346 0.0259 0.0193 0.0142 0.0105 0.0076 0.00557 0.1432 0.1137 0.0895 0.0698 0.0540 0.0415 0.0316 0.0239 0.0180 0.0135

8 0.2320 0.1906 0.1550 0.1249 0.0998 0.0790 0.0621 0.0484 0.0374 0.02889 0.3405 0.2888 0.2424 0.2014 0.1658 0.1353 0.1094 0.0878 0.0699 0.0552

10 0.4599 0.4017 0.3472 0.2971 0.2517 0.2112 0.1757 0.1449 0.1185 0.096111 0.5793 0.5198 0.4616 0.4058 0.3532 0.3045 0.2600 0.2201 0.1848 0.1538

12 0.6887 0 .6329 0 5760 0.5190 0.4631 0.4093 0.3585 0.3111 0.2676 0.228313 0.7813 0 .7330 0.6815 0.6278 0.5730 0.5182 0.4644 0.4125 0.3632 0.3171

14 0.8540 0 .8153 0.7720 0.7250 0.6751 0.6233 0.5704 0.5176 0.4657 0.4154

15 0.9074 0 .8783 0.8444 0.8060 0.7636 0.7178 0.6694 0.6192 0.5681 0.5170

16 0.9441 0.9236 0.8987 0.8693 0.8355 0.7975 0.7559 0.7112 0.6641 0.615417 0.9678 0.9542 0.9370 0.9158 0.8905 0.8609 0.8272 0.7897 0.7489 0.7052

18 0.9823 0 .9738 0.9626 0.9481 0.9302 0.9084 0.8826 0.8530 0.8195 0.782519 0.9907 0.9857 0.9787 0.9694 0.9573 0.9421 0,9235 0.9012 0.8752 0.845520 0.9953 0.9925 0.9884 0.9827 0.9750 0.9649 0.9521 0.9362 0.9170 0.8944

74


c 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0X

8.5 9 0 9 5 10.0 10.5

0 0.0025 0.0015 0.0009 0.0006 0.0003 0.0002 0 0001 0.0001 0 .0000 0.0000

1 0.0174 0.0113 0.0073 0.0047 0.0030 0.0019 0 0012 0.0008 0.0005 0.0003

2 0.0620 0.0430 0.0296 0.0203 0.0138 0.0093 0 0062 0 0 0 4 2 0.0028 0.0018

3 0.1512 0.1118 0.0818 0.0591 0.0424 0.0301 0.0212 0.0149 0.0103 0.0071

4 0.2851 0.2237 0 . 1 /30 0.1321 0.0996 0.0744 0 0550 0.0403 0.0293 0.0211

5 0.4457 0.3690 0.3007 0.2414 0 1912 0.1496 0 1 1 5 7 0.0885 0.0671 0.0504

6 0.6063 0 .5265 0.4497 0.3782 0.3134 0.2562 0 2068 0.1649 0.1301 0.1016

7 0.7440 0.6728 0.5987 0.5246 0.4530 0.3856 0 3239 0.2687 0.2202 0.1785

8 0.84 72 0.7916 0.7291 0.6620 0.5925 0.5231 0 4557 0.3918 0.3328 0.2794

9 0.9161 0.8774 0.8305 0.7764 0.7166 0 6 5 3 0 0 5874 0.5218 0.4579 0.3971

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FACULTAD DE ESTADISTICA E INFORMATICA

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