(Versión preliminar)

Departamento de Matemática

FactorizacióFactorizaciónn

Máximo común divisor de dos Máximo común divisor de dos o más númeroso más números

30 45 3

10

Calcular el máximo común divisor (mcd) de 30 y 45.

Menor divisor primo común de 30 y 45

15 Menor divisor primo común de 10 y 15

5

2 3

Termina aquí, porque 2 y 3 no tienen un divisor primo común.

3 5 15 Es el máximo común divisor de 30 y 45

Factor común de dos o más Factor común de dos o más términostérminos

El factor común de dos o más términos es el término formado por el mcd de los coeficientes numéricos de los términos y las potencias de menor exponen-te de las literales comunes a todos ellos.

La factorización de un polinomio con términos que tienen un factor común, es el producto de dicho factor por un polinomio, cuyos términos son los coicientes que resultan al dividir los términos del polinomio original entre el factor común.

Factorizar el polinomio:

3 2 2 312 30a b a b

3 2 2 312 30a b a b 2 26a b

Factor común de los términos

3 2

2 2

12

6

a b

a b

2a

2 3

2 2

30

6

a b

a b

5b

Factorización de un trinomio Factorización de un trinomio cuadrado perfectocuadrado perfecto

2 ,ax bx c 2 ;ax bx c

, y a b c

Un trinomio es trinomio cuadrado perfecto (TCP), si es de la forma:

o bien

en donde 2 4 0.b ac son tales que

Ejemplo 2 6 9x x es TCP porque:

26 4 1 9 0

Ejemplo 2 26 9m mn n es TCP porque:

2 26 4 1 9 0n n

Un trinomio cuadrado perfecto de la forma 2 ,ax bx c

se factoriza así:

2ax bx c ax c ax c

2

ax c

Un trinomio cuadrado perfecto de la forma 2 ,ax bx c

se factoriza así:

2ax bx c ax c ax c

2

ax c

Ejemplo Factorizar el trinomio

2 8 16.a a

2 8 16a a es un TCP, porque:

Solución

Entonces se factoriza así:

28 4 1 16 0

2 8 16 1 16 1 16a a a a

4 4a a

24a

Ejemplo Factorizar el trinomio2 24 4 1.m n mn

es un TCP, porque:

Solución

Entonces se factoriza así:

2 24 4 4 1 0m m

2 2 2 24 4 1 4 1 4 1m n mn m n m n

2 1 2 1mn mn

22 1mn

2 24 4 1m n mn

Procedimiento para completar a TCP un binomio de la forma 2x bx

Para completar a trinomio cuadrado perfecto (TCP) un binomio de la forma 2 ,x bxse suma al binomio el cuadrado de la mitad del coeficiente del término de primer grado.

Ejemplo Convertir a TCP el binomio2 8 .a aEl término de primer grado del binomio es

Solución

8 .aSumando al binomio el cuadrado de la mitad de 8, se tiene el TCP deseado:

2 8 16a a

Factorización de una diferencia de cuadrados

La factorización de una diferencia de cuadrados es un producto de binomios conjugados, en los cuales el término común es la raíz cuadrada del minuendo y los términos simétricos se obtienen mediante la raíz cuadrada del sustraendo.

Ejemplo Factorizar la diferencia

2 1.

4 9

x

el minuendo es

Solución

1.

9

Extrayendo raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo, se obtiene la factorización deseada. Observe:

2 1 1 1

4 9 2 3 2 3

x x x

y el sustraendo es

En2

,4

x2 1

4 9

x

Factorización de trinomios de la forma2x bx c

Un trinomio de la forma

2x bx c se fatoriza así:

2x bx c x m x n siempre que mn cm n b

Ejemplo La factorización del trinomio

2 2 3,x x es así:

2 2 3 3 1x x x x porque:

3 1 33 1 2

Fin