FACTORIZACION

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

DEFINICIÓN: Ciencia que estudia las cantidades en su forma más ge-neralizada posible, utilizando para esto números y letras.

Se dice de manera generalizada ya que a diferencia del Aritmética; en el Álgebra las cantidades se representan por letras y estas pueden representar a todos los valores (generalización).

SÍMBOLOS: Los símbolos que se utilizan en Álgebra son los números y las letras.

Los números se emplean para representar a las cantida-des conocidas.Las letras se emplean para representar a las cantidades tanto conocidas como desconocidas así:

– Para las cantidades conocidas emplearemos gene-ralmente las primeras letras del alfabeto: a, b, c, ...

– Para las cantidades desconocidas emplearemos ge-neralmente las últimas letras del alfabeto: ..., x, y, z.,

Si una letra representa diferentes valores; entonces se emplea la misma letra afectada de comillas o subíndices.

a’, a’’ , .... se lee “ a prima ” , “ a segunda ”,... a1 , a2 , .... se lee “ a sub uno” , “ a sub dos ”,...

NOTACIÓN MATEMÁTICA: Es una representación simbólica de una expresión mate-mática que nos permite diferenciar las variables y las constantes.

Variables:Son aquellas expresiones que para cada problema cam-bian de valor; se les representa mediante las últimas le-tras: ...x,y,z.

Constantes: Son aquellas expresiones que tienen un valor fijo para to-do problema.

Ejemplo:

NOTA: Dentro de las constantes; algunas son:

I) Constantes absolutas: ; 4.3II) Constantes relativas: g (aceleración de la gravedad;

depende del radio de la tierra)

Ejercicios para el lector: Indicar las variables y constantes en:

P(x,y) =

Q(x,y) =

TÉRMINO ALGEBRAICO:

Mínima expresión algebraica, donde no participan las operaciones de adición ni sustracción.Ejemplos:

NOTA: 2x + 1 no es un término algebraico

PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO:

TÉRMINOS SEMEJANTES:

Son aquellos términos algebraicos que presentan las mismas variables afectadas del mismo exponente.Son semejantes los siguientes:

177

342533 zyx20

Signo Exponentes

Coeficientes(Constante)

Parte literal(Variables)

Nota: Los términos que son semejantes, se pueden su-mar o restar; operando los coeficientes y colocando las mismas variables con sus mismos exponentes.Ejemplo:

=

EXPRESIÓN ALGEBRAICA:

Conjunto de números y letras unidos entre si por las dife-rentes operaciones aritméticas (adición, sustracción, mul-tiplicación, división, potenciación o raíz aritmética); en un número limitado de veces.

CLASIFICACIÓN:

De acuerdo al exponente:

Se clasifican en:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL

Es cuando la parte literal se caracteriza por tener EXPO-NENTES ENTEROS o también porque el sub radical no tiene letras.Ejemplos:

Se subdivide en:– EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL ENTERA

(E.A.R.E.): Es cuando la parte literal se caracteriza por tener EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS o no tiene le-tras en el denominador.Ejemplos:

…

(E.A.R.E.)

…

(E.A.R.E.)– EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL FRACCIO-

NARIA (E.A.R.F.) Es cuando la parte literal se caracteriza por tener algún EXPONENTE ENTERO NEGATIVO o tiene letras en el denominador.

Ejemplos:

Q(x,y,z) = …(E.A.R.F.)

Q(x,y,z) = …(E.A.R.F.)

…

(E.A.R.F.)

– EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL

Es cuando la parte literal se caracteriza por tener expo-nentes FRACCIONARIOS o también porque el sub radi-cal tiene letras.

Ejemplos:

…

(E.A.I.)

…(E.A.I.)

De acuerdo al número de términos: (Polinomios: Expresiones algebraicas racionales en-teras).

Atendiendo al número de términos que posea la ex-presión algebraica; esta se puede clasificar en:

Monomio 1 término. Binomio 2 términos. Trinomio 3 términos. Cuatrinomio 4término. Polinomio de cinco términos 5 términos.

Polinomio de n términos n términos.

EXPRESIONES TRASCENDENTES:

Llamadas también “ no algebraicas”, conjunto de núme-ros y letras unidos entre si por las diferentes operaciones aritméticas ; en un número ilimitado de veces ; se tie-nen:

a) Trigonométricas :

b) Exponenciales :

c) Logarítmicas : d) Circulares :

178

Racional (Exp. Entero)

Racional (Exp. Entero)

Irracional (Exp. fraccionario)

Irracional (Exp. fraccionario)

Entero (Exp. Entero–positivo) Fraccionario (Exp. Entero–negativo)

Entero (Exp. Entero–positivo) Fraccionario (Exp. Entero–negativo)

Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas

e) Hiperbólicas :

f) Expresiones de infinitos términos :

179

Teoría de exponentes

TEORÍA DE EXPONENTES

Tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos.

La operación que permite la presencia del exponente es la potenciación.

EXPONENTE NATURAL: Es el exponente entero y positivo que nos indica el núme-ro de veces que se repite una expresión como factor.En general: Ejemplos:

1)

2) ; 6n – 1 N

3) no tiene sentido

ya que no es un número natural.

EXPONENTE CEROTodo número diferente de cero elevado al exponente ce-ro es la unidad.

Ejemplo:1) (5 – )0 = 1

2) = 00 (indeterminado)

EXPONENTE NEGATIVOLa expresión diferente de cero elevada a un exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es uno y cuyo denominador es igual a la misma expresión pero con exponente positivo.

Ejemplos:

1)

2)

EXPONENTE FRACCIONARIOTodo exponente fraccionario se puede convertir en raíz; numerador al exponente y denominador al índice.

Ejemplo:

1

POTENCIACIÓN

Operación que consiste en repetir como factor un numero llamado base; tantas veces lo indica otro llamado expo-nente.

Además:

1) P: Potencia.2) b : Base.3) e : Exponente.

LEYES DE LOS EXPONENTES

1) Producto de bases iguales:Se escribe la misma base y los exponentes se su-man.

Ejemplos:

a)

b)

2) División de bases iguales:

Se escribe la misma base y los exponentes se res-tan.

Ejemplos:

a)

b)

3) Potencia de potencia:

Se escribe la misma base y por exponente se pone

180

el producto de los exponentes.

Ejemplo:

a)

4) Potencia de producto:Para efectuar esta operación se eleva a cada factor al mismo exponente.Ejemplo:a) G

5) Potencia de cociente:

Para efectuar esta operación se eleva tanto al nume-rador como al denominador al mismo exponente.

Ejemplos:

a)

6) Exponente de exponente:

Se reconoce por la ausencia del signo de colección; para efectuar esta operación se toma de dos en dos de arriba hacia abajo.

Donde:

Ejemplo:

a)

RADICACIÓN

DEFINICIÓN:Dados un número real “a” y un número natural “n” mayor que uno; “b” se llama raíz n–ésima principal de a y se de-

nota por si y solo si donde a y b R y n N – {1} bajo la condición de que si n es par; entonces

a, b

Así tenemos:

1 ya que 24 = 16 (2 raíz principal).

2 puesto que (–2)3 = 8 (única en R).

IDENTIDAD FUNDAMENTAL:

7) Raíz de raíz:Se coloca un solo índice resultado del producto de todos los índices.

Ejemplo:

8) Raíz de producto:Esta operación se realiza extrayendo la raíz a cada

factor.

Ejemplo:

9) Raíz de cociente:Esta operación se realiza extrayendo la raíz tanto del numerador como del denominador.

Ejemplo:

INTRODUCIR UN FACTOR DENTRO DE UN RADICAL:Para introducir un factor a un radical se multiplica el ex-ponente del factor por el índice del radical y a esta se afecta del radical.

Ejemplo:

RADICALES SUCESIVOS:

1)

Ejemplo:

1262136.7.37.333 7 6 9.4.59.4.59.4.5

2) p.n.m tp.sp.n.rm n p tsr z.y.xzyx

3)

Regla de: Flechita – flechón ( x + x + x + ...)

4)

Regla de: Flechita – flechón (x – x + x – ... alternado)

181

Ejercicios de aplicación

Nivel A1) Reduzca :

a) 1 b) 4 c) 2n d) 23 e) 2n

2) Simplifique:

nZ+ – {1}

a) 0 b) n c) n2 d) 1 e) 2n

3) Reducir:

a) 8 b) 6 c) 3 d) 9 e) 5

4) Calcular el valor de :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 10

5) La simplificación de la expresión

es :

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

6) Al simplificar

Se obtiene:a) 25 b) 50 c) 75 d) 150 e) 225

7) Simplificar: ; x R

a) x3 b) x7 c) x–2 d) x–5 e) x–20

8) Al simplificar la expresión:

; se obtiene :

a) b) c) d) e) a

9) Si:

Hallar:

a) 16 b) 8 c) 4 d) 64 e) 32

10) Calcular el valor de :

Si:

a) 4 b) 8 c) 16 d) 64 e) 128

Nivel B

11) Si la expresión:

Se reduce a uno. Hallar “n”.a) –4/3 b) –4/5 c) –1/3d) –2/3 e) No existe

12) Hallar “n” de:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

13) Hallar la relación entre “a” y ”b” si se tiene:

182

a) b =2a b) a = 4b c) a = 2b d) a = b e) a = 3b

14) Si: ; la simplificación de

E =

Es:

a) b) c) d) e)

15) Indique el equivalente reducido de :

a) 80 b) 96 c) 100 d) 125 e) 1

16) El valor mas simple de:

a) b) 9 c) 3 d) 1 e)

17) Si x R+ – {1}Halle el valor de “n” que verifica la igualdad:

Y otorgue como respuesta de: (2n + 3) 7

a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 1


Se obtiene:a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

19) Calcular el valor de:

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 3 e) 1/3

20) De las afirmaciones:

I) a Q, se tiene = a

II) a Q, r R; existe ar

III) a Q, r R, existe ar, entonces existe ra

Se puede decir que:

a) I , II , III son falsas.b) Solo II es verdadero.c) Solo II y III son falsas.d) Solo II y III son verdaderas.e) Solo II es falsa.

Nivel C

21) Dar el valor de verdad de las siguientes proporcio-nes:I)

II)

III) Si:

a) VVF b) FFF c) FVF d) VVV e) FFV

22) Indique el exponente final de Z en:

a) 9/100 b) 11/81 c) 10/81 d) 14/91 e) 1/9

23) Sean {a, b, c} N, tales que:

Halle el reducido de:

a) 2 b) 1 c) 16 d) 32 e) 128

24) El valor mas simple de:

Es:

a) b) 3 c) 9 d) 1 e)

25) Simplificar la expresión:

a) aa b) a–a c) a d) e)

26) Calcular:

Sabiendo que:

a) b) c) d) e)

27) Determine el valor de:

Cuando: x=2–100

a) 0 b) 1 c) –1 d) 1/64 e) 2–200

28) Indicar el signo de la siguiente expresión:

183

a) Positivo b) Negativo c) A y bd) Ninguno e) 0

29) Señale el valor numérico de :

;

; m Z m > 9

a) m b) 1 c) mm d) e) 1/m

30) Calcular:

Tal que:

n R – {0,–1}

a) 4 b) c) 2 d) 3 e) 4

ECUACIONES EXPONENCIALES

ECUACIONES EXPONENCIALES

Llamadas también trascendentes; se denomina ecuación exponencial a toda igualdad condicional (ecuación) que se caracteriza por presentar a su incógnita o incógnitas formando parte de algún exponente.

FORMA GENERAL: Sea a > 0 y P(x) y Q(x) funciones arbitrarias de la varia-ble “x”

Nótese que: como

Tener en cuenta los siguientes teoremas:

Teorema: Sea a > 0 .Si “x” es una variable real , en-tonces la expresión ax es siempre positiva ; para to-do x REs decir: Si a > 0 entonces ax > 0; x R

Teorema : Sea a > 0 a 1, entonces

Ejemplo:

Se verifica para: x = 7/17.

CRITERIOS DE RESOLUCIÓN:

Las ecuaciones exponenciales se transforman en ecua-ciones algebraicas aplicando ciertas técnicas que descri-biremos enseguida.

I) BASES IGUALES: (A bases iguales; exponentes iguales).

Se debe expresar a la ecuación exponencial, de tal manera que las potencias tengan bases iguales, lue-go se igualan los exponentes de las potencias y se resuelve la ecuación obtenida; es decir:

II) Para los casos donde existan términos de la forma

kx; se hace un cambio de variable de la forma kx = y; mediante el cual se tiene una ecuación algebraica respecto a y Ejemplo: Resolver

Rpta : x = 3

III) EXPONENTES IGUALES: (A exponentes iguales; bases iguales).

IV) POR ANALOGÍA, COMPARACIÓN, SEMEJANZA O PARECIDO: (Simplemente por comparación de ba-ses y exponentes).

Si:

NOTA: Esta última, no siempre podemos concluir que x = a.

V) Una de las propiedades de mayor utilidad es la si-guiente:

184

Que resulta de aplicar la propiedad:

ADICIONALES

Nivel A

1) Si: y

Halle el valor de “z”

a) 2 b) 2/3 c) 3/2 d) 1/2 e) 5/8

2) Si.

Calcule: E = .

a) 4 b) 40 c) 93 d) 100 e) 120

3) Si se cumple que:

Calcule: E =

a) 21 b) 25 c) 37 d) 42 e) 28

4) Resolver:

e indicar la suma de sus raíces.

a) 3 b) 4 c) 7 d) 10 e) 8

5) Al resolver: , el valor de “x” es:

a) 2 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/16

6) Resolver la ecuación exponencial:

a) 7 b) 5 c) 7/5 d) e)

7) Si:

Calcule: x18

a) 0 b) 1 c) 3 d) 6 e) 9

8) Hallar “x” en:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

9) Hallar “n”:

a) 1/3 b) 33 c) 3 d) 13 e) 9

10) Del sistema:

Hallar “x”.a) 1/2 b) 2/3 c) 3/2 d) 2 e) 4

Nivel B

11) Hallar “a”:

a) 1 b) c)

d) e) 2

12) Si:

Entonces el valor de: ; es:

a) 32 b) 29 c) 76 d) 23 e) 37

13) Si se cumple:

Calcular “n”:

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

14) Al reducir:

Se obtiene x10, calcular “n”:a) 9 b) 6 c) 3 d) 12 e) 15

15) Si se cumple:

Calcular n2:

a) 10 b) 1000 c) 150 d) 100 e) 50

185

16) Calcular: , si

a) 3 b) 6 c) 9 d) 15 e) 27

17) Señale un valor de “x” tal que cumpla la relación:

a) 5 b) c) 3 d) 15 e) 3/5

18) Indicar un valor positivo de “x” aumentando en 1/2

que resulta de:

a) 1/2 b)5/2 c) 3/2 d) 9/3 e) 9/2

19) Si: Calcular: x2

a) 1/9 b) 1/18 c) 1/81 d) 9 e) 81

20) Halle “x” en:

a) b) 9 c) 15 d) 159 e) 195

Nivel C

21) Luego de resolver la ecuación exponencial:

Señale “M” si: M=

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


Donde “x” satisface la ecuación:

a) 1 b) 2 c) 3 d) e)

23) Calcular la suma de las raíces de la ecuación:

a) 20 b) 12 c) 18 d) 15 e) 10


Donde “x” satisface la ecuación:

; es:

a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3


Donde el valor de “x” satisface:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

26) La relación que deben cumplir “x” e “y” para que se verifique la ecuación:

es :

a) y = 2x b) x = 2y c) y = 3xd) x = 3y e) x = y


Si se cumple que:

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

28) Determinar el valor de:

Si se sabe que:

a) 3 b) –2 c) –1 d) 2 e) 1

29) Calcular el valor de “x” en la ecuación:

a) 3 b) 5 c) 1/3 d) 1/5 e) 2

30) Si:

A qué es equivalente:

a) 1 b) c) xx+1 d) x2 e) x

186

EXPRESIONES AL INFINITO

EXPRESIONES AL INFINITO

(n) (n+1)

(n)(n+1)(n+2)

(Solo para “+” y se escoge el del medio).

k N m N – {1}

187


Nivel A1) Calcule el valor aproximado de :

a) –10 b) 12 c) 20 d) 50 e) 62

2) Resolver:

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

3) Si:

Calcule: n + m – 2p

a) 0 b) 1 c) 3 d) 5 e) 6

4) Calcule el valor aproximado de:

a) 0 b) 1 c) 5 d) 6 e) 10

5) Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6) Después de operar el exponente de x:

a) 1/5 b) 1/2 c) 1/3 d) 1/7 e) 1/21

7) Indique el exponente de x:

a) b) c)

d) e)

8) Hallar el valor numérico de la expresión para: a = 32

a) 4 b) 16 c) 32 d) 8 e) 2

9) Reducir:

a) a5b3 b) a5b6 c) a3b5 d) a6b2 e) a6b3

10) Si:

Calcular:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4

Nivel B11) Hallar la suma de los exponentes de ‘a’ y ‘y’ luego de

efectuar:

a) 5/3 b) 5/22 c) 5/11 d) 6/5 e) 3/2

12) Después de resolver:

; ;

Hallar:

a) 1 b) 1/6 c) 1/3 d) 1/8 e) 1/16

13) Calcular:

a) 10 b) 12 c) 2 d) 1/8 e) 10/7

14) Calcular “n” en la igualdad:

a) b) c) d) e) 3

15) Hallar P = nm–1 – 1 si se cumple que:

a) 2 b) 1 c) d) e) 1/2

16) Resolver:

a) 2 b) 4 c) 16 d) 32 e) 64

17) Efectuar:

188

a) b) c)

d) e) N.A.

18) Efectuar:

a) x b) xn c) x2n d) x1/2 e) x2

19) El equivalente de:

Se encuentra en el intervalo:a) ]1 ,3[ b) ]5/2 , 3[ c) ]1/2 , 7/2[d) ]3 , 5[ e) ]4, 7[

20) Calcular el exponente final de x en:

S(x) =

a) 3n – 1/2n b) 3n – 1/3n c) 3n – 1/2

d) 3n/2n e)

Nivel C21) Reducir:

a) 2 b) c)

d) e) 18

22) Si:

Hallar: A Ba) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

23) Determinar el valor de:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

24) Hallar el valor de E en:

a) b) c) d) e) 2

25) Si:

Indicar:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

26) Si n es un numero impar de “n” radicales

; de “n” radicales

n radi-

calesEntonces: A B es:a) 4 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) 1/4

27) Indicar el exponente final de x en:

a) b) c) 1 d) 3 e)

28) Calcular aproximadamente:

a) 2 b) c) d) 16 e)

29) Calcular el exponente final de “x” en:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/4

30) Dada la siguiente sucesión:

; ; ; …

Calcular:

a) 2 b) 4 c) 5 d) 1/2 e) 1/4

189

Polinomios

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS:

Es una expresión algebraica, cuyos términos son todos racionales enteros, cuando los coeficientes son reales, se dice que es un polinomio en R.

NOTACIÓN POLINOMICA:

Si el polinomio tiene una sola variable “x” su notación se-rá:

Donde:

; “n” grado del polinomio.

a0 = Coeficiente principal no nulo. an = Término independiente.

Indicándose que “n” es un entero o , es llamada un POLINOMIO DE GRADO n en la variable “x” y siempre que el coeficiente an llamado COEFICIENTE PRINCIPAL sea diferente de cero .Se denota en las formas P(x); Q(x); R(x), etc.

NOTA: Un polinomio de grado cero es cualquier núme-ro constante distinto de cero. El número CERO es el úni-co polinomio para el cual el grado NO ESTA DEFINIDO.

RAÍCES DE UN POLINOMIO:

Por el teorema del factor sabemos que dado un polino-mio P(x) con grado mayor o igual que 1; un número “r” se llama raíz o cero del polinomio P(x) si P(r) = 0 (o sea se anula para x = r )

Ejemplos: P(x) = 2x2 – 3x + 1 tiene por raíces a x = 1 y x = 1/2

Porque P(1) = P(1/2) = 0 O sea se anula para x = 1 y x = 1/2

P(x) = x2 + 1 ; x R ; no tiene ninguna raíz real porque todo x2 0En cambio si consideramos al polinomio P(x) sobre el campo C entonces si existirán dos raíces imagina-rias para P(x).Entonces: P(x) = x2 – ( –1 ) = x2 – ( i2 ) = (x + i)(x – i). Luego: x = i ; x = – i Así resulta que el polinomio tiene dos raíces comple-jas.

Recordar que:

Observación: Si observamos los ejemplos anteriores tienen como raíces a racionales, reales y complejas además ocurre que todo polinomio con coeficiente en R y C tiene sus raíces en C necesariamente.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA:

Todo polinomio de grado positivo n:

con grado

1 y a0 0 definido sobre el campo de los números comple-jos; tiene por lo menos una raíz; ya sea real o compleja.

NÚMERO DE RAÍCES DE UN POLINOMIO Todo polinomio de la forma

; a0 0 tie-

ne exactamente “n” raíces.

REPRESENTACIÓN DE ACUERDO AL GRADO. De primer grado : ax + b. De segundo grado : ax2 + bx + c De tercer grado : ax3 + bx2 + cx + d

TÉRMINOS SEMEJANTES:Son aquellos que se caracterizan por tener las mismas partes literales, afectada de los mismos exponentes, dos o mas términos se pueden sumar o restar solo si son se-mejantes. Ejemplo: Reduciendo

No son semejantes

190

RacionalRacional

IrracionalIrracional

Monomio (1 término)Monomio (1 término)

EnteroEntero

FraccionarioFraccionario

Binomio (2 términos)Binomio

(2 términos)

Trinomio(3 términos)Trinomio

(3 términos)

Cuatrinomio(4 términos)Cuatrinomio(4 términos)

PolinomioPolinomio

Según el Número

de Términos

Según el Número

de Términos

Según la Naturaleza

del Exponente

Según la Naturaleza

del Exponente

EXPRESIONES ALGEBRAICASEXPRESIONES ALGEBRAICAS

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Definición: Es el resultado que se obtiene al reemplazar la variable o las variables de una expresión por valores determina-dos tal que al reemplazar en la expresión original se ob-tenga una cantidad determinada.

Ejemplo:

Si:

Los valores numéricos serán: Para.

x = 2

x = –1

x = a + 1

x = x – 2

TEOREMAS:

1) Sumatoria de coeficientes :

En todo polinomio, la suma de los coeficientes, se obtiene reemplazando a su(s) variable(s) por la uni-dad.

Ejemplo:

Sea:

Corolario: En un polinomio de más de una variable; la suma de co-eficientes se halla reemplazando cada una de las varia-bles por el número 1.

En P(x, y) =

2) Término Independiente:

En todo polinomio el término independiente (T.I.) se obtiene reemplazando a su(s) variable(s) por cero.

Ejemplo:

Sea:

Corolario: En un polinomio de mas de una variable; el término inde-pendiente se halla reemplazando cada una de las varia-bles por el número 0.En P(x,y) =

CAMBIO DE VARIABLE

Consiste en reemplazar la variable de la expresión o poli-nomio; por una nueva variable o por un nuevo polinomio de tal manera que el polinomio resultante dependa (o quede en función) de dicho cambio.

Ejemplos: Si P(x) = 6x – 7

Para: x = 5z entonces P(5z) = 6(5z) – 7 = 30z – 7 .

Si P(x – 2) = x + 12 calcular P(5).

Primer método: P(x – 2) = (x – 2) + 14 desdoblando para buscar que se parezcan.Ahora : P(y) = y + 14Finalmente : P(5) = 5 + 14 = 19

Segundo método: Para x – 2 = 5 entonces x = 7.Ahora: P(5) = 7 + 12 = 19

Recomendación: Es mas practico utilizar el segundo método por la facilidad de la manipulación de las cantida-des.

191


Nivel A1) Si: P(x – 3) = 5x – 7; P[F(x) + 2 ] = 10x – 17;

El valor de F (x – 2) es:a) 2x + 11 b) 11x – 2 c) 11x + 2 d) 12 e) 2x – 11

2) Si el polinomio: P (1 – x) = 4x2 – 2x – 5 El valor numérico de: P(1) + P(3) es:a) 10 b) 12 c) 18 d) 20 e) 5

3) Si : P(x) = ax2 + b yP(P(x)) = 8x4 + 24x2 + c .El valor de a + b + c es:a) 28 b) 32 c) 30 d) 31 e) 26

4) Si : Tn = 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) Hallar el valor de:R = (T10 – T9)+(T8 – T7)+(T6 – T5)+(T4 –T3)+(T2 – T1)a) 57 b) 53 c) 51 d) 55 e) 59

5) Dado :

Calcule f(f(–4))a) –4 b) 8/5 c) 4 d) 0 e) –8/5

6) Si: P(x) = 3x2 – 2x – 1

Entonces:

a) 5 b) 4 c) 1/2 d) 1/4 e) 1

7) Si: P(x) = xn – xn–1 + xn–2 – … + x2 – x + 1; n es par

Calcular el valor de:

a) n b) 2n c) n + 1 d) n – 1 e) n/2

8) Dado: ;

a) x b) 2x c) x/2 d) 3x e) 4x

9) Suponiendo que: f[f(x)] = 4x + 27 Calcular: f(3).

a) 14 b) 15 c) 16 d) 13 e) 17

10) Se define en R+: f(x2 – 6x) = x + 8Calcular: f(a)a) b) c)

d) 11+ e) a + 8.

Nivel B11) Si : F(x) = F(x – 1) + F(x – 2);

Además: F(1) = 3 ; F(2) = 4.Calcular el valor de: F{F[F(0)]}a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7

12) Señale el valor de x(11) .Sabiendo que: x(2a – 1) = x(2a + 1) – a + 1;Además: x(3) = 1a) 8 b) 9 c) 10 d) 1 e) 11

13) Si: ;

Además: F [F(x)] = 2

Hallar el valor de:

a) 80 b) 81 c) 8 d) 83 e) 84

14) Si: H[H(x) – 1 ] = H(x – 2) + H(x + 1) + 2 H(2) = 1 Calcule: H(3).a) –4 b) –2 c) 0 d) 2 e) 3

15) Dado el polinomio:

Hallar “n”; tal que el término independiente del poli-nomio sea igual al doble de la suma de coeficientes del mismo.a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 4

16) Si se cumple: P( x + 1 ) = P( x – 1 ) + xCalcule: P(7) si P(1) = –2a) 0 b) 1 c) 10 d) 15 e) 20

17) Sean:M(x) = 2x + 4M[A(x) + 2B(x)] = 5x + 11M[A(x) – 2B(x)] = 3x – 7Calcule: A(3) + B(1)a) –7 b) 4 c) 8 d) 1/2 e) 15/2

18) Si: P(x) = x – 3 P( f2(x) + g2(x) ) = x2 + 1 Además: P(f(x) + g(x) ) = x + 1Entonces el polinomio: P(f(x) g(x) ) es.a) 6x + 4 b) 4x – 2 c) 4x + 3d) 3x – 4 e) 3x + 2

19) Sea el polinomio P(x) ; el cual verifica:

; a 0

Calcular el valor de P(2).a) 3 b) –3 c) 2 d) –2 e) 0

20) Sean los polinomios :P(x) = 2x2 – 15Q(x,y) = 2x + 3y – 2Halle el término independiente del polinomio H(t) .Si : H(t) = Q[ P(3),3t – 1 ]a) –5 b) –15 c) –2 d) 1 e) 7

192

Nivel C21) Si :

Calcular:

a) 1/3 b) 1/5 c) 1/4 d) 1/6 e) 1/2


Hallar: F(1 – y)a) 1/y b) 2y c) 3y d) y e) 2 – y

23) Sea f(x) = ax + b

Halle:

a) an b) an+1 c) 1 d) a – 1 e) (a – 1)n

24) Dado: F(F(F(x))) + 2 F(F(x)) + 3F(x) = 6xCalcule: F(a + b) + F(a – b).a) 2b b) a c) 2a d) b e) –a

25) Sea una expresión:

Tal que:

.

Halle el mínimo valor de f. Además f(0) = 1a) –2 b)–1 c) 2 d) 1 e) 0

26) Se tiene:

Calcule:

a) b) c)

d) e)

27)

Halle f(1/2).a) 6 b) 4 c) 2 d) 1 e) Infinito

28) Sea:

Donde: nZ+;

Determine: ; m N.

a) b) c)

d) e)

29) Sean los polinomios idénticos:

,

Calcular:

a) 1/3 b) 2 c) 3 d) 10 e) 33

30) De la expresión:

Hallar el valor de:

a) 128 b) 256 c) 1280 d) 2 e) 4

193

Grado de expresión algebraica

GRADO DE EXPRESIÓN ALGEBRAICAS

Se denomina grado a la característica relacionada con los exponentes de las variables de una expresión alge-braica; este grado es un número natural. Se distinguen dos tipos. GA: Grado absoluto. GR: Grado relativo.

1) GRADO ABSOLUTO (GA): Esta referido al conjunto de todas las variables.

a) EN UN MONOMIO: El grado absoluto es la suma de los exponentes de las variables.

Ejemplo:

M(x, y, z) =

GAM = 4 + 3 + 8 = 15 (Solo se suman los exponentes de las varia-bles).

M(x, y, z) =

GAM = 3 + 1 + 1 = 5

Observa que el monomio tiene como variables a “x”; “y”; “z” y no así a “w” el cual se considera constante; desde luego tiene grado cero.

b) EN UN POLINOMIO: El grado absoluto es la ma-yor suma de exponentes de variables obtenida en uno de sus términos.

Ejemplo:

Entonces como grado absoluto escogemos el mayor de entre los tres que es: GAP = 12.

2) GRADO RELATIVO (GR): Esta referido a una sola variable.

a) DE UN MONOMIO: El grado relativo de una varia-ble es el exponente de dicha variable.

Ejemplo:

M(x, y, z) =

Luego: Grado relativo respecto a “x”: GRx = 3Grado relativo respecto a “y”: GRy = 8Grado relativo respecto a “z”: GRz = 1

b) DE UN POLINOMIO: El grado relativo de una va-riable es el mayor exponente que presenta dicha variable en uno de los términos del polinomio.

Ejemplo:

P(x, y, z) =

Luego: Grado relativo respecto a “x”: El mayor de (2, 1, 5) GRx = 5Grado relativo respecto a “y”: El mayor de (1, 1, 3) GRy = 3Grado relativo respecto a “z”: El mayor de (1, 3, 4) GRz = 4

RECUERDA: Que solo se consideran variables aquellas que se encuentran dentro de la notación polinómica.

P(x, y) =

Solo son variables “x” e “y”; y no así “z” que es una cons-tante con grado cero.

GRADO DE LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS

OPERACIÓN PROCEDIMIENTOGRADO RE-SULTANTE

Adición : El grado de la suma o sustracción es el del polinomio de

mayor gradoSustracción:

Multiplicación: El grado del produc-to es la suma de los grados de los poli-

nomios

m + n

División: El grado de la divi-sión es la resta de los grados de los

polinomios

m – n

Potenciación: El grado de la po-

tenciación es el pro-ducto de los expo-

nentes

m n

Radicación: El grado de la radi-cación es el cocien-te de transformación

con m 0

Constante: K

El grado de toda constante o término independiente siem-

pre es cero

0

¡NOTA! Si solamente nos indican “grado”; se refiere ex-clusivamente al Grado Absoluto.

194


Nivel A1) A continuación se muestran términos semejantes:

; ;

Luego de sumar los tres términos indicar cu coefi-ciente.a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

2) Si A; B y C son polinomios de grados 25; 30 y 22 res-pectivamente.

Cuál es el grado de:

a) 1 b) 11 c) 12 d) 14 e) 15

3) Hallar el coeficiente de:

M(x, y) =

Cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a “x” es 14.

a) b) c) 8/9 d) 9/16 e) 81/16

4) Hallar “n” si la expresión es de sexto grado:

M =

a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 11

5) Si el grado absoluto del polinomio:

Es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables. El grado relativo a y es.a) 3 b) 5 c) 2 d) 4 e) 7

6) Dados los polinomios:

;

;

; Si el grado del producto de los tres polinomios es 25; entonces el valor de n es:a) 9 b) 5 c) 2 d) 4 e) 3

7) Dados los polinomios: P(x); Q(x) tal que los grados de:

Son 22 y 12 respectivamente.Halle el grado de:

a) 12 b) 18 c) 22 d) 24 e) 30

8) Sabiendo que el grado relativo a “y” en el monomio.

es

mínimoCalcular “n”.a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

9) Hallar el grado de:

a) b) c)

d) e)

10) Hallar a y b si el siguiente monomio tiene grado ab-soluto igual a 19 i el grado relativo respecto a “y” es igual a 7.

P(x,y) =

a) 1,2 b) 1,5 c) 2,2 d) 2,0 e) 2,5

Nivel B

11) Si : P es un polinomio definido por :

Tal que si le restamos ;

Su grado absoluto disminuye; Entonces el grado relativo respecto a “x” es:a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

12) Determinar el valor de m si el grado del polinomio es 3410.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 20 e) 19

13) Si P es un polinomio definido por :

Tal que su grado absoluto es 63; entonces el valor de:

; es:

a) b) c)

d) e)

14) Si P y Q son dos polinomios tal que: gr(P) = 5 gr(Q)=3 ,

Entonces indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:I) Grado (P2 + Q2) = 12

195

II) Grado (P3 + Q2) = 10III) Grado (P + Q2)2 = 12a) FFV b) VFV c) FVV d) VFF e) FFF

15) Si P es un polinomio definido por:

Dato I : GA(P) = 24Dato II : GR(x) = GR(y)Entonces; para hallar la suma de coeficientes del po-linomio P.a) El dato I es suficiente y no el dato II.b) El dato II es suficiente y no el dato I.c) Es necesario utilizar los datos I y II conjuntamente.d) Cada uno de los datos, por separado es suficien-

te.e) Se necesitan más datos.

16) Si el gr(P) = m ; gr(Q) = p ; gr(R) = r Con m, n, p, r Z+; m n p rIndicar el valor de verdad de las siguientes proposi-ciones:I) gr(P Q) = m + p

II) gr

III) gr (P + Q + R) = max {m, p, r}

IV) gr ; (m + r) es divisible por n.

a) VVFV b) VFVV c) VVVF d) VVVV e) VVFF17) Cuantas letras se debe tomar para que el grado ab-

soluto del monomio:

sea 1120.

a) 18 b) 12 c) 13 d) 11 e) 14

18) Hallar “m + n” Si el polinomio

Es de GA=41 y Además el GR(x) es al GR(y) como 5 es a 2.a) 8 b) 9 c) 12 d) 7 e) 10

19) Hallar el termino independiente de un polinomio de tercer grado P(x) tal que:P(4) = P(3) = P(7) = 0 P(–1)=1760. a) 924 b) –924 c) 923 d) –923 e) N.A.


Entonces el número de valores enteros que admite “n” es:a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Nivel C

21) Si la suma de los grados absolutos de los términos del polinomio

Es .

Entonces el valor de “n” es:a) 17 b) 15 c) 14 d) 16 e) 18

22) Sea P un polinomio definido por:

Si la suma de coeficientes excede en 23 al término independiente; entonces indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:I) El polinomio es de grado 2II) La suma de coeficientes es 25III) El término cuadrático del polinomio P(x) es 12x2

a) VVV b) VFV c) VVF d) FVV e) FFV

23) Indicar el valor de verdad de las siguientes afirma-ciones:

I) Si:

Entonces P es un polinomio de grado 3 sobre R.

II) Si:

Entonces Q es un polinomio de cuarto grado so-bre Q.

III) Si:

Entonces H(x) es un polinomio factorizable so-bre C

a) FVF b) FFV c) FVV d) FFF e) VVF

24) Sea un polinomio:

Determinar el valor de verdad de las siguientes pro-posiciones:I) El mínimo valor de “n” es par.II) El máximo valor de “n” es impar.III) El máximo grado absoluto que admite P(x, y) es

9.a) FVV b) VFF c) VFV d) FFF e) VVV

25) Determinar el valor de “m” si el grado del polinomio.

es 3410.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 20 e) 19

26) Siendo la expresión:

Es de quinto grado.¿Cual será el grado de este otro polinomio?

a) 16 b) 18 c) 4 d) 6 e) n

27) En la expresión:

Los grados relativos a “x” e “y” son respectivamente 7 y 4 según esto.

Calcular el grado de:

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) N.A.

28) Si el grado del monomio:

196

Es 729.¿Cuál será el grado de esta otra expresión?

a) 9 b) 3 c) 7 d) 21 e) 10

29) Si el monomio:

Es de grado 9. Calcular “n”

a) 3 b) 24 c) 9 d) 72 e) 3

30) Cuál es el grado de:

Rpta.:

POLINOMIOS ESPECIALES

POLINOMIOS ESPECIALES

Existen una variedad de polinomios, de entre los cuales tenemos los más importantes; que obedecen a ciertas características y de acuerdo a ello son:

1) POLINOMIO ORDENADO COMPLETO :

Los exponentes de una de las variables llamado va-riable ordenatriz están ordenados y completos de manera que aumentan o disminuyen (creciente o de-creciente).

Ejemplos:

P(y) =

(Decreciente)

(Creciente).

(No es ordenado ni completo)

(Ordenado en forma decreciente respecto a “x” )

OBSERVACIONES: Dado un polinomio completo en una variable, el núme-

ro de términos es igual a su grado aumentado en 1.

(Es de grado cuarto; entonces tiene 5 términos).

Si un polinomio es completo y ordenado respecto a una variable, se tiene que los grados relativos a esa variable de dos términos consecutivos difieren en la unidad.

Observa que los términos independientes contienen a “x” con exponente cero.

2) POLINOMIO ORDENADO INCOMPLETO :Los exponentes están ordenados pero también in-completos.Ejemplo:

P(x) =

3) POLINOMIO HOMOGÉNEO :

Un polinomio de dos o más términos y dos o más va-riables es homogéneo si cada término tiene el mis-mo grado absoluto.Ejemplo:

P(x, y) =

GA = 7 (3 términos). Entonces es homogéneo de grado “7” o tiene grado de homogeneidad “7”.

TÉRMINOS SEMEJANTES:

197

# de términos P(x)= GAP + 1

1 1

Dos o más términos serán semejantes si presentan la misma variable afectada del mismo exponente.

Ejemplo:

4 ; –7 ; 12 (son semejantes)

Se pueden sumar o restar:

4 – 7 + 12 = 9

4) POLINOMIOS IDÉNTICOS O IGUALES :

Dos polinomios reducidos serán idénticos cuando los coeficientes que afectan a sus términos semejantes son iguales.

Luego:

Son idénticos si y solo si:

; ; ; ..... ;

Ejemplo:

A = m, B = n, C = q.

m = –5, b = –5, D = 3

5) POLINOMIOS EQUIVALENTES:

Son aquellos polinomios que teniendo formas dife-rentes aceptan igual valor numérico para un mismo sistema de valores asignados a sus variables.

Ejemplo:

;

Hagamos: x = 2; y = 1;

En P(x, y) = P(2, 1) =

Hagamos: x = 2 ; y = 1 En Q(x,y) = Q(2,1) = 4(2)(1) =8Entonces: P(2,1) = Q(2,1)En consecuencia P(x,y) Q(x,y) son polinomios equivalentes y se les podrá representar así:

P(x, y) < > Q(x, y)

6) POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO:

Un polinomio es idénticamente nulo, si sus valores numéricos para cualquier valor o valores asignados a las variables resulta ser siempre cero:

Se denota por P(x,y) 0.

También:

Si:

Es idénticamente nulo; entonces todos sus coeficien-tes son cero.

Luego:

Ejemplo:

es idénticamente nulo

A = B = C = 0

7) POLINOMIO ENTERO EN X:

Es aquel que depende únicamente de la variable “x” siendo sus coeficientes números enteros.Ejemplo:

(es un polinomio entero en

“x” de tercer grado).

8) POLINOMIO MÓNICO:

Es aquel polinomio entero en “x” que se caracteriza por ser su coeficiente principal igual a la unidad.

Ejemplo:

(polinomio mónico de segundo

grado)

¡NOTA! Se llama coeficiente principal al coeficiente del término de mayor grado.

198


Nivel A

1) Si P es un polinomio homogéneo definido por :

Entonces la suma de coeficientes de polinomio P es:a) 820 b) 500 c) 452 d) 405 e) 331

2) En la siguiente identidad:

Determinar el valor de (2B+3C)a) 2/11 b) 6/11 c) 7/11 d) 3 e) 6

3) Hallar el valor de m y n para que el polinomio sea homogéneo.

P(X,Y)=

a) 10 b) 20 c) 5 d) 4 e) 15

4) Calcular:

Si:

Es idénticamente nulo:a) 4 b) 6 c) 8 d) 1 e) 2

5) Cuál es la suma de coeficientes del polinomio homo-géneo:

a) 12 b) 13 c) 10 d) 18 e) 9

6) Hallar “c”. Si:

a) –1/2 b) 13 c) 10 d) 18 e) 9

7) Hallar : “A + B”

Si:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 9

8) Dadas las proposiciones:I) Todo polinomio completo es homogéneo.II) Un polinomio completo de quinto grado tiene

cinco términos.III) Un polinomio completo d quince términos es de

grado 14.Son falsas:a) I y III b) II y III c) Solo I d) I y II e) Todas

9) Si la regla polinomial siguiente:

P(x) =

Es idénticamente nulo. Calcular: a + b + ma) 27 b) 37 c) 17 d) 20 e) 18

10) A partir de la identidad :P(x)=

Calcular: a + b + ca) 288 b) 289 c) 290 d) 291 e) 292

Nivel B

11) P es un polinomio completo definido por :

Entonces la suma de coeficientes del polinomio P es:a) 16 b) 20 c) 22 d) 24 e) 28

12) Si a , b y c pertenecen al conjunto de los naturales y

el desarrollo de:

Es un polinomio completo de 85 términos cuyo tér-mino independiente es 72 y su coeficiente principal es 243.Entonces el valor de (a+b+c) es:a) 19 b) 21 c) 23 d) 24 e) 81

13) Hallar: a + b + c ;

Si:

Es independiente de “x”.a) 16 b) 17 c) 18 d) 15 e) 19

14) En el siguiente polinomio homogéneo .Hallar la suma de coeficientes.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

15) Hallar el número de términos del polinomio ordenado y completo.

a) 4 b) 6 c) 5 d) n – 7 e) n – 316) Hallar : a + b + c ;

Si el polinomio es homogéneo

199

a) 22 b) 24 c) 21 d) 26 e) 25

17) Calcular “ab” en el siguiente polinomio homogéneo.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

18) Si P es un polinomio homogéneo definido por :

Entonces el valor de: T = GR(x) – GR(y) esa) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19) Si P es un polinomio homogéneo definido por:

Entonces el valor de: T = GR(x) – GR(y), es:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

20) Si se cumple que: mx + my + nx – ny – 15x – 7y = 0Para todo valor real de x e y; entonces el valor de:M = m n; es:a) 16 b) 36 c) 44 d) 70 e) 121

21) Si P es un polinomio idénticamente nulo definido por:

Entonces el valor de: ; es:

a) –2 b) –1 c) 1 d) 2 e) 3

Nivel C

22) De un polinomio P(x, y) completo , homogéneo de grado 8 y ordenado en forma creciente con respecto a “x” se han tomado tres términos consecutivos m1(x,y) ; m2(x,y) ; m3(x,y) tales que :El GR (x) en m1 es a; GR (y) en m1 es b + 2;

GR (x) en m3 es b ; El GR (y) en m3 es a + 2 .Entonces el grado relativo de m2 con respecto a “y” es:a) 5 b) 8 c) 3 d) 9 e) 6

23) Indicar el valor de verdad de las siguientes proposi-ciones:I) Si P(x,y) es un polinomio homogéneo ; entonces

P(–x,–y) es también homogéneo.II) Si Q(x,y) es un polinomio homogéneo de grado

3 y Q(1,2) = 5; entonces Q(–2,–4) = –40III) Si R(x,y) es un polinomio homogéneo ; entonces

R(1,1) es la suma de coeficientes del polinomio R.

a) VVF b) FVV c) VFV d) VVV e) VFF24) Si P es un polinomio completo definido por:

Con respecto al polinomio:

Indicar los valores de verdad de las siguientes propo-siciones:I) Q(x,y) es un polinomio homogéneo.II) El grado del polinomio Q es un número impar.III) El valor de Q(1,1) = 0

a) VFV b) FVV c) VVF d) FVF e) VVV

25) Sean P y Q dos polinomios definidos por :

Si P Q entonces el valor de T = A + B es:a) 2 b) 1 c) 0 d) –1 e) –2

26) Si P y Q son dos polinomios definidos por:

Tal que P(x, y, z) kQ(x, y, z) .Entonces el valor de k es:a) –2 b) –1 c) ½ d) 2 e) 1

27) Si P es un polinomio completo y ordenado por :

Con n N.

Entonces el valor de: es:

a) –n b) n – 1 c) n d) n + 1 e) n2

28) Sean P y Q dos polinomios definidos por:

Si P Q entonces el valor de T = A + B es:

a) 2 b) 1 c) 0 d) –1 e) –2

200

Productos notables

PRODUCTOS NOTABLES:

Se les da este nombre por ser el resultado de multiplicaciones indicadas, con el agregado de ser notables porque estos resultados tienen formas que resultan fáciles de identificar y que pueden ser escritas en forma directa, sin necesidad de efectuar todos los pasos de la multiplicación.

Se presentan los siguientes casos:

1) BINOMIO AL CUADRADO:

(suma)

(diferencia)

2) BINOMIO AL CUBO:

(desarrollado)

(semidesarrollado; equi. de Cauchy)

(desarrollado)

(semidesarrollado; equi. de Cauchy)

3) DIFERENCIA DE CUADRADOS:

(General.)

4) SUMA DE CUBOS:

5) DIFERENCIA DE CUBOS:

6) TRINOMIO AL CUADRADO :

(desarrollado)

(semidesarrollado)

7) TRINOMIO AL CUBO:

(semidesarrollada).

8) EQUIVALENCIA DE GAUSS:

9) PRODUCTO DE BINOMIOS:

201

10) IDENTIDADES DE LEGENDRE:

11) EQUIVALENCIAS DE ARGAND :

12) IDENTIDADES DE LAGRANGE:

IDENTIDADES CONDICIONALES

Si: a + b + c = 0 ; se muestra que:

IDENTIDADES AUXILIARES:

CASOS ESPECIALES

Si :

Si :

Si :

202


Nivel A1) Reducir : E=

a) b) – c) d) – e) 0

2) Sabiendo que :

Reducir:

a) 1 b)–1 c) 2 d) –2 e) 0

3) Calcular: ab + ac + bc si :

a + b + c = 5 ;

a) 10 b)18 c) 9 d) 11 e) 12

4) Si: ; a, b, c R.

Calcular: E =

a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) N.A.

5) Si : . Calcular la raíz cuadrada de:

E =

a) 9 b)3 c) 16 d) 4 e) 7

6) Si :

Calcular: E =

a) 9 b) 12 c) 18 d) 18 e) 21

7) Si :

Calcular: E =

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 69

8) Sabiendo que :

Donde: x Z+. Calcular: E =

a) 4 b) 6 c) 10 d) 5 e) 1

9) Si:

,

Hallar:

a) 3/4 b) 4/3 c) 5/2 d) 2 e) 3

10) Si: ; entonces: E = es:

a) –2 b) 4 c) 2 d) –4 e) 3

Nivel B11) Si:

;

Hallar:

a) 34 b) 35 c) 36 d) 37 e) 38

12) Si:

Entonces el valor de:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 1/3

13) Si:

Hallar:

a) 21 b) 4 c) 21/4 d) 4/21 e) 21414) Efectuar:

203

a) 4(a + b) b) 4(a + d)(b – c) c) 4(b – c)d) (a + d)(b – c) e) (a + b)/(c + d)

15) Sabiendo que: ;


a) 2 b) 13/6 c) 6/13 d) 7/12 e) 12/7

16) Efectuar:

a) x b) 1 c) –1 d) x – 1 e) –x

17) Sabiendo que: ;

Hallar:

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 18

18) Si: ; Hallar:

a) 5 b) 10 c) 15 d) 32 e) 20


Hallar: ; para:

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 3/4 e) 3/2

20) Sabiendo que: ;

El valor de la expresión:

a) b) 4 c) d) 5 e)

Nivel C21) Si: x + y + z=0 . Reducir:

a) xyz b) –xyz c) 2xyzd) 5xyz e) –5/2xyz

22) Si :

a + b + c = 3abc = 4

Hallar:

a) 0.5 b) 2 c) 0.2 d) 0.25 e) 1

23) Simplificar:

a) 1/3 b) 3 c) 2/3 d) 3/2 e) NA.

24) Si se verifica que:

Encontrar el equivalente de:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12

25) Se sabe que:

Además: . Cuanto vale “d”:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 0

26) Si:


a) 1 b) 2 c) –2 d) –1 e) 3

27) Si: ;Calcular el valor de:

a) 6 b) 3 c) 18 d) 9 e) 27

28) Si se cumple que: ;


a) 856 b) 794 c) 868 d) 784 e) 486

29) Dadas las condiciones:

y


a) 33 b) 4 c) –33 d) –4 e)33/4

30) Siendo: a, b , c, x; números reales que verifican:

…(I)

…(II)

Donde: ,

Halle el valor de:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

204

División algebraica

DIVISIÓN ALGEBRAICA

Definición: Es la operación que consiste en hallar una expresión denominada cociente dadas otras dos denomi-nadas dividendo y divisor.Cumpliéndose:

(Exacta)

(Inexacta)

Donde: D: dividendo. d: divisor. q: cociente. r: resto o residuo.

CASOS QUE SE PRESENTAN:

A) DIVISIÓN DE MONOMIOS: Para dividir monomios primero se dividen los coefi-cientes de acuerdo a la ley de signos, luego las par-tes literales de acuerdo a las leyes de exponentes.Ejemplos:

;

B) DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONO-MIO: Se divide cada uno de los términos del polino-mio entre el monomio dado.Ejemplo:

Resolución: La división puede escribirse:

C) DIVISIÓN DE POLINOMIOS:

C.1) Método Clásico:

Se enseña y estudia este método, para deducir las propiedades.

Procedimiento:

Se ordenan y completan los polinomios en forma des-cendente con respecto a una sola letra o variable .En caso existan dos o mas letras, se asume a una de ellas como variable y las demás harán el papel de nú-meros o constantes; si faltaran uno o más términos, estos se completarán con ceros.

Se divide el primer término del dividendo entre el pri-mero del divisor, obteniéndose el primero del cociente, luego este resultado se multiplica por cada uno de los términos del divisor y lo que se obtiene se resta del di-videndo.

Se baja el término siguiente del dividendo y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el residuo sea a los mas de un grado menos que el grado del divisor o en todo caso si la división es exacta el resto será u polinomio idénticamente nulo.

Ejemplo ilustrativo:

Dividir:

Resolución: Completando y ordenando el dividendo.

Propiedades:

Al dividir dos polinomios homogéneos el cociente re-sultará también otro polinomio homogéneo.

205

4 - 8x 4 0 2 3 4 x x x

2 3 4 x x x - - 8x 3 - 2 3 x x

x 2 3 x x

4 - 9x 4 2 x 4 - 4x - 4 -

2 x

r(x)

8 - 5x

1 x 2 x

q(x)

4 x 2 x

Si : x = 1 D(1) = d(1).q(1) + R(1)Se obtiene la suma de coeficientes.

Si : x = 0 D(0) = d(0).q(0) + R(0)Se obtiene el término independiente

C.2) Método de Coeficientes Separados: El procedi-miento es análogo al anterior, solo que se trabaja con los coeficientes.Utilizando el ejemplo anterior.

DIVISIÓN SINTÉTICA

C.3) MÉTODO DE GUILLERMO HORNER:

En un método de coeficientes separados que permi-te encontrar el cociente y el resto de dividir del poli-nomio, para esto dividendo y divisor deben estar completos y ordenados descendentemente respecto a una variable.

Esquema:

Procedimiento: Los dos polinomios deben estar completos y ordena-

dos respecto a una variable; si faltara algún término se completará con CERO.

En caso existan dos o mas variables se asume a una de ellas como tal y las demás harán el papel de núme-ros o constantes.

Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primero del divisor, obteniéndose el primer coeficiente del cociente.

Este resultado se multiplica por los demás coeficientes del divisor (que han cambiado de signo) obteniéndose la primera fila de resultados parciales .Estos resulta-dos se escriben a partir de la segunda columna.

Se reduce la segunda columna y el resultado se divide entre el primero del divisor, obteniéndose el segundo coeficiente del cociente.

Se repite este proceso a partir del paso “c”; hasta que los resultados parciales lleguen a la última columna del dividendo.

Para obtener los grados del cociente (q) y el residuo (r) nos basamos en las propiedades vistas en el méto-do clásico.


Dividir:

Resolución: Verificando, los polinomios están ordenados y completos, luego: utilizando el método de Horner

De donde:

r(x) = –2x

C.4) MÉTODO DE PAOLO RUFFINI:

Se considera como un caso particular del método de Horner se utiliza cuando el divisor es de primer grado o transformable a esta forma (ax ± b).

P(x) = (ax ± b) q(x)

Esquema:

CASO I: Cuando el divisor es de la forma (x b)

Ejemplo ilustrativo: Dividir:

Resolución: Ordenando y extrayendo coeficientes.

206

4 - 8 4 0 1 1- 1- 1

8 3 -1 1 1 1

4 - 9 4 4 - 4- -4

r(x)

8 - 5

1 1 1

q(x)

4 1 1

8x5)x(r

4xx)x(q 2

D I V I D E N D O

C O C I E N T E

CA

MB

IO D

E S

IGN

O

Resto

divisor

2 8 –6 –13 19 –27 –16 33

–1 –4 12

3 5 –15

–1 3

–2 6

11 –33

4 –5 2 1 –11 –2 0

D I V I D E N D O

C O C I E N T E

X =

3 –5 2 –7 11

–2 22 –48–6 110

3 –11 24 –55 121

De donde:

x + 2 = 0 x = –2

CASO II: Cuando el divisor es de la forma (ax b)


Dividir:

Resolución: Ordenando y extrayendo coeficientes.

Ahora esos cocientes no son verdaderos son falsos; por eso dividimos entre 3:De donde:

R(x) = 15


Nivel A1) Dividir :

Da

r como respuesta el restoa)1 b)–1 c)0 d)4 e)3

2) En la siguiente división indicada:

y el resto R(x) = x + 2

Indique el valor de aba) 36 b) 25 c) 30 d) 50 e) 154

3) Dividir:

Calcular el resto.a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

4) Calcular el valor numérico de: si la división

es exacta.

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5

5) Dividir: 3x20 + x19 + 6x2 – x – 1 entre 3x+1 y dar como respuesta el término independiente del cociente.a) 1 b) –2 c) 3 d) –1 e) 2

6) La siguiente división es exacta.

Hallar a y b. .

a) 4,–5 b) –4,–5 c) 4,2 d) 5,4 e) –4,–5

7) Si en la siguiente división

el residuo no es de primer grado. Calcular dicho residuo.a) 10 b) 11 c) 22 d) 21 e) 15

8) En el esquema de HORNER, encontrar:(a + b + c + d + n)5 20 6a (–3b) (–17c) 9d

7

–2

(n–4) n (n+4) 34 3

a) 10 b) 11 c) 9 d) 8 e) –10

9) Hallar (p + a) para que el polinomio:X4 + pX2 + a, sea divisible entre: X2 + 2X + 5.a)30 b)41 c)8 d)31 e)15

10) Determinar los valores de m , n y p respectivamente de manera que el polinomio:P(x) = X5 – 2X4 – +6X3 + mX2 + nX + p; sea divisible por

207

27 0 –6 1 15

1/3 3 –19 0

27 9 3 0 15

9 3 –1 0 15 3

Q(x) = (X – 3)(x + 1)(X – 1).a) 3, 1, 1 b) 8, 5, –6 c) 1, 5, 6 d) 1, 2, 3 e) 5, 16

Nivel B11) El residuo de la división:

Es igual a (–16) cuando Y es igual a:a) –3 b) 0 c) 2 d) 3 e) 5

12) En la siguiente división exacta:

Hallar el valor de:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7

13) Obtener el resto de la división siguiente:

Sabiendo que el dividendo es completo y ordenado.a) 10 b) 18 c) 20 d) 15 e) 6

14) Para que la división sea exacta. ¿Cuál debe ser el valor de “n”?.

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e )5


Tal que al dividir P por un polinomio de segundo gra-

do; se obtiene como cociente a y como re-

siduo (2x + 1). Establecer la relación correcta entre los valores de A y B.a) AB > 0 b) AB < 0 c) 2A > B d) A = B e) B > A

16) Si la siguiente división:

es exacta; enton-

ces indicar el valor de verdad de las siguientes pro-posiciones :I) A + B = 12II) A = 3 B = 6III) A2 + B2 = 45

a) FVV b) VFV c) VVV d) FVF e) FFV

17) Si la siguiente división es inexacta:

; y tiene como residuo a

Entonces indicar el valor de las siguientes proposi-ciones:I) m + n > p II) m = 20 y n + p = 7

III) m + 4n + p = 0

a) FVF b) VVV c) FVV d) VVF e) FFV

18) Si la siguiente división :

Es inexacta y tiene como resto (2x + 5) entonces el valor de (B – A) es:a) –24 b) –22 c) 22 d) 124 e) 46

19) Si la división:

Tiene como resto : entonces

el valor de (a + b + c) es:a) 12 b) 15 c) 18 d) 24 e) 30

20) Si el polinomio

Es divisible por : ;

Entonces la relación correcta entre loscoeficientes a, b, c y d es:a) a – b + 2c = d b) b – a = 5c + dc) d = 3a + 2b d) 3a + 2b + c = 0e) a + b + c + d = 1

Nivel C21) Al efectuar la división indicada :

El coeficiente de x; en el residuo; tiene un desarrollo cuyo penúltimo término es 1280.Calcular el valor de n.a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 9

22) Dividir por Ruffini: y da como respuesta

la suma de coeficientes del cocientea) n2 b) (n–1) c) (n2–1) d) (n–2) e) n3

23) Calcular A – B si la división:

Es exacta.a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

24) Calcular: M + N + P si la división:

Es exacta:a) 3 b) 1 c) 0 d) 7 e) 9

25) ¿Cuál es el valor de “a” si al dividir el polinomio

entre: x – 1;

La suma de los coeficientes del cociente es 161 y el residuo es 16?a) 1 b) –1 c) 3 d) 2 e) –3

208

26) En una división efectuada por Horner, se obtuvo el siguiente esquema:

a 6 e f g h i

bc

2 –2 4

3 –3 6

d 1 –1 2

2 3 1 –4 –2 5

El valor de (a + d + f + g) es:a) 5 b) 0 c) 4 d) 1 e) 2

27) Si la división es exacta.

Hallar una relación entre los coeficientes:a) D + E = C + A b) AC = E c) AD = EC d) A + D = C e) AC = DE

28) Calcular la suma de coeficientes del polinomio co-ciente que se obtiene de la siguiente división:

a) –69 b) –65 c) –63 d) 63 e) 69

29) Hallar el valor de a + b + c, si el resto de la división indicada e s

es:

a) 21 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

30) Hallar el valor de “a“ si al dividir:

Entre x – 1, se observa que la suma de los coeficien-tes del cociente es igual a 90 veces su resto. a) 13 b) 155 c) 160 d) 163 e) 165

Teorema del resto

TEOREMA DEL RESTO O DE RENATUS DESCARTES

Se emplea para hallar directamente el resto en la división, sin necesidad de efectuar toda la operación.El divisor debe de ser de la forma “ax + b “ ó transforma-ble a ella.

Se tiene:

Procedimiento:1) Igualar el divisor a cero, despejar “x”.

2) Este valor reemplazar en P(x) y el valor obtenido es el resto.

Demostración: Utilizando el algoritmo de la división que se puede expre-sar así:

D(x) = d(x).q(x) + RP(x) = ( ax + b ).q(x) + R

Despejando de: ax + b = 0

Para x = en la identidad.

P( ) =

P( ) = R l.q.q.d

RESIDUOS ESPECIALES

Son divisiones que requieren de ciertas transformaciones y /o adecuaciones de modo tal que se pueda emplear el teorema del resto en forma coherente.

Sea:

1)

Luego

209

2)

Luego

Simplemente: Si al inicio multiplicas por una cantidad al final tienes que dividir entre la misma cantidad y viceversa.


Nivel A1) El polinomio:

se anula para las valores y x = 5 otro valor de "x" que también se anula es:

a) 1 b) 2 c) –3 d) –2 e) –1

2) Hallar el residuo de:

a) 0 b) 4 c) 3 d) 5 e) –4

3) Encontrar el residuo de la división :

Para n perteneciente a los naturales.a) –1 b) 3 c) 4 d) 5 e) –4

4)

Hallar el resto.a) –8X b) 16 c) –8x + 16d) 30 e) –80

5) Hallar el residuo en:

a) 11X + 1 b) 11X – 1 c) X – 1

d) X + 1 e) 0

6) Hallar el resto en:

a) 3x b) 4x c) x d) –x2 e) x2

7) Calcular el resto de dividir :

entre

a) 2x + 1 b) 2x – 5 c) 2x d) 2x – 1 e) 3x – 1

8) Hallar el resto de:

a) 1 – x b) 2 – x c) 4 – x d) 6 – x e) 3 – x

9) Calcular el resto en la división:

a) x b) x – 1 c) x + 1 d) x + 2 e) x – 2

10) Determine el resto de la división:

a) x – 2 b) 2x + 1 c) x + 2d) 2x – 1 e) 1 – 2x

210

Cocientes notables

COCIENTES NOTABLES

Definición: Son aquellos cocientes cuyo desarrollo se pue-den escribir en forma directa sin necesidad de efectuar la operación indicada.

Forma General:

Donde: n N; n 2

Notas: Las bases tomadas verticalmente son iguales. Los exponentes en el numerador deben ser iguales.

CASOS: Se consideran C.N. aquellos cuyo resto o residuo sean iguales a cero, por combinación de los signos encontramos cua-tro casos.

CASOS DESARROLLO RESIDUO

Nulo.Es C.N. si “n” es impar

DIVISIÓN INEXACTA

Nulo.Siempre es C.N

Nulo.Es C.N. si “n” es par

PROPIEDADES:a. El desarrollo de un C.N tiene “n” términos.

b. El grado del desarrollo de un C.N es “n – 1”y es un poli-nomio homogéneo, completo y ordenado.

c. Si el divisor es de la forma “x–a” todos los términos de su desarrollo son positivos.

d. Si el divisor es de la forma “x+a” los términos de sus desarrollo tienen signos en forma alternada ;

lugar impar (+), lugar par (–).

FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL:

Donde:

: Término buscado.

n : número de términos del cociente. x : Primera Base. a : Segunda Base.FÓRMULAS ADICIONALES

a) Término Central. (Solo si el número de términos es impar.)

211

b) Término contado a partir del último:

Observación: Si se tiene Da lugar a un C.N. si

se cumple: # de términos.

Además se tiene en un C.N. que: Los exponentes de la variable “x” disminuye de r en r; mien-tras que los de la variable “y” aumentan de s en s.


Nivel A

1) En el siguiente cociente notable: ;

El valor numérico del tercer término de su desarrollo para: x = 2 y = 1/4 es:a) 32 b) 64 c) 8 d) 1 e) 16

2) En el cociente notable:

El número de términos de dicho cociente es:a) 9 b) 6 c) 8 d) 7 e) 12

3) En el cociente notable:

Su coeficiente del término x24 es:a) 7 b) 8 c) 10 d) 9 e) 6

4) Calcular “a + b” si el segundo término en el desarrollo del siguiente cociente notable :

es:

a) 65 b) 55 c) 75 d) 45 e) 70

5) Si el grado absoluto del octavo término del cociente notable:

; es 12.

El número de términos de su desarrollo es:a) 12 b) 36 c) 8 d) 10 e) 24

6) El desarrollo del cociente notable:

Tiene 10 términos.

El valor de (n – m) es:a) 10 b) 30 c) 50 d) 80 e) 20

7) Si el cociente notable:

Tiene 10 términos.Hallar el valor de (m + n)a) 23 b) 21 c) 25 d) 35 e) 50

8) Si la expresión es un C.N. .

Hallar el valor de “m”.a) 3 b) 6 c) 8 d) 5 e) 7

9) Indicar el número de términos del siguiente C.N.:

a) 7 b) 10 c) 3 d) 18 e) 15

10) Dadas las siguientes expresiones:

;

Determinar: P – Q.

a) x b) c) d) e) 0

Nivel B

11) Que lugar ocupa en el desarrollo del C.N.

El término que tiene como grado absoluto 34.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12) Si el desarrollo del siguiente C.N.

212

Tiene un término que contiene a

Determinar (n + p).a) 10 b) 5 c) 15 d) 20 e) 25

13) Indicar el número y el lugar que ocupa el término que

contiene a: en el C.N.

a) 60 y 8 b) 12 y 10 c) 60 y 10d) 12 y 8 e) 10 y 8

14) Suponiendo que: se encuentra contenido en

el desarrollo del siguiente C.N.

Hallar “n”.a) 13 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21

15) Calcular : “m n” si el del cociente notable:

; es :

a) 6 b) 12 c) 15 d) 24 e) 18

16) En el CN:

Calcular el GA del término central de su desarrollo.a) 55 b) 60 c) 66 d) 70 e) 80

17) Calcular “m” si el grado absoluto del en el C.N.

; es 309.

a) 40 b) 48 c) 50 d) 45 e) 60

18) Qué lugar ocupa en el desarrollo del C.N.

El término que tiene grado absoluto igual a 252.a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

19) Hallar el grado del término de lugar 6 del siguiente C.N.

.

a) 9 b) 10 c) 18 d) 19 e) 21

20) Hallar el término 26 del C.N. ,

Luego dar la suma de sus exponentes.a) 55 b) 45 c) 65 d) 75 e) 85

Nivel C21) Hallar el coeficiente del tercer término del desarrollo

de :

a) 2 b) –4 c) –2 d) 8 e) 4

22) Simplificar:

a)

b)

c)

d)

e)

23) Dadas las siguientes expresiones:

;

Determinar: P – Q.

a) x b) c) d) e) 0

24) Simplificar:

a) b) c)

d) e)

25) Si: ; es una división notable exacta, calcule el

valor numérico de:

a) 22 b) 61 c) 79 d) 100 e) 452

26) Sabiendo el término quinto del cociente notable:

Es .

Calcular el número de términos.a) 10 b) 16 c) 25 d) 30 e) 64

27) En el C.N.: .

Calcular : “m”,el término 10 y el número de términos.

a) 12 , ,25 b) 12 , ,25

c) 12 , ,24 d) 12 , ,22

e) 12 , ,25

28) Hallar el término 21, en el siguiente C.N.

a) a b) a + 1 c) a + 2 d) a – 1 e) 2a

29) Efectuar:

213

a) b)

c) d)

e)

30) Si T es el penúltimo término del cociente:

Señale el término que sigue en el siguiente desarro-llo:

a) b) c)

d) e)

Divisibilidad polinómica

DIVISIBILIDAD POLINÓMICA

La divisibilidad algebraica tiene por objetivo determinar polinomios que no se conocen y calcular restos en divi-siones donde el teorema del resto no se puede aplicar di-rectamente.

Se dice que un polinomio D(x) es divisible entre el polino-

mio d(x) si y sólo si la división es exacta además

se dice que d(x) es un factor del polinomio P(x).

Para estudiar la divisibilidad algebraica; necesitaremos conocer los siguientes criterios o principios fundamenta-les:

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD:

Cuando dos polinomios son divisibles; entonces el res-to es nulo (cero) R(x) = 0.

Si un polinomio P(x) se anula para x = a; entonces P(x) es divisible entre (x – a).

Si un polinomio es divisible por separado entre varias expresiones será divisible por el producto de ellas.

Sea:

Entonces:

Si un polinomio es divisible entre el producto de varios factores, será divisible por cada una de ellas respecti-vamente.Si: Entonces

Si al dividir un polinomio P(x) entre varias expresiones por separado nos da un mismo resto, entonces al divi-dir dicho polinomio entre el producto de ellas nos arro-jara como resto dicho resto común.

Así: sea P(x) un polinomio cualquiera y:

Entonces:

Si: P(x) es divisible entre (x – a) entonces x = a; Luego P(a) = 0

Además: x = a; es un cero o raíz de P(x).

Recuerde que para determinar la sumatoria de coefi-cientes de un polinomio entero en “x” por decir P(x):

Término independiente de dicho polinomio:

214

D(x) es divisible entre d(x) D(x) d(x) q(x)


Nivel A

1) Hallar la suma de los coeficientes del polinomio

a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49

2) Un divisor del polinomio

es

a) x + 1 b) x – 2 c) x – 1 d) x + 2 e) x – 3

3) Que valor debe de tener “a” para que sea divi-

sor del polinomio

a) 0 b) –1 c) 2 d) 1 e) 6

4) Un divisor de : es:

a) x + a b) x – a c) a – 2x d) a + 2x e) x – 2a

5) Calcular “n” si el término independiente de:P(x) es –36 donde P(x) es:

a) 9 b) 12 c) 18 d) 24 e) 60

6) Si un polinomio de tercer grado cuyo primer coefi-ciente es uno es divisible por (x – 2) y (x – 1) y al ser dividido por (x–3) da como resto 20.Hallar la suma de coeficientes.a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 4

7) Al dividir un polinomio P(x) entre el producto (x + 1)(x – 2)(x + 3) el resto obtenido es x2 – 5x + 1 Encontrar cuales son los restos que se obtienen al dividir P(x) entre: (x + 1); (x – 2) y (x + 3)a) 5 ; 7 ; 52 b) 2 ; 5 ; 20 c) 7 ; –5 ; 25d) 7 ; 4 ; 21 e) 7 ; 5 ; 25

8) Al dividir un polinomio P(x) entre (x + 3) se obtuvo por residuo –5 y un cociente cuya suma de coeficien-tes es igual a 3.Encontrar el residuo de dividir P(x) entre (x – 1).a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

9) Determinar un polinomio P(x) de 5º grado que sea di-

visible entre (2x4 – 3) y que al dividirlo separadamen-te entre (x + 1) y (x – 2) los restos obtenidos sean respectivamente 7 y 232.a) 12x5 – 3x4 – 15x + 6 b) 10x5 – 4x4 – 15x + 6 c) 10x5 – 4x4 – 15x + 7 d) 10x5 – 4x4 – 15x + 6e) 10x5 – 3x4 – 15x + 6

10) Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado sabien-

do que al dividirlo separadamente entre (x + 3); (x + 2) y (x – 5) , se obtenga siempre el mismo resi-duo (–6) y al dividirlo entre (x + 1) el resto sea –42a) 3x3 – 57x – 95 b) –3x3 + 57x – 95 c) x3 + 57x – 96 d) 3x3 – 57x – 96 e) –3x3 + 57x – 59

Nivel B 11) Determinar el termino independiente de un polino-

mio de quinto grado que sea divisible entre

y que al dividirlo entre (x + 1) y (x – 2)

los restos obtenidos sean respectivamente 7 y 232.a) 6 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4

12) Un polinomio de sexto grado tiene raíz cuadrada exacta es divisible separadamente por (x2 + 1) y (x + 3) y si se le divide entre (x + 2) el resto es 225.Hallar la suma de los coeficientes del polinomio.a) 575 b) 576 c) 577 d) 578 e) 579

13) Encontrar el resto de la división de un polinomio en P(x) entre (x – 6) si se sabe que el término indepen-diente del cociente es 2 y del polinomio es –11.a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 0

215

14) Encontrar la sumatoria de coeficientes del polinomio de tercer grado sabiendo que al dividirlo separada-mente entre (x+3); (x+2) y (x – 5) se obtiene siempre el mismo residuo igual a –6 y al dividirlo entre (x + 1) el resto sea –42.a) 150 b) 140 c) –140 d) –150 e) 160

15) Si se divide un polinomio entre (x – 1) se obtiene un resto que es 3 y al dividirlo entre (x + 2) el resto es 9.Hallar el resto de dividirlo entre el producto:(x – 1)(x + 2)a) 2x + 5 b) 4x + 5 c) 3x + 5 d) –2x + 5 e) –2x – 5

16) El valor que debe tener “m” para que el polinomio:

sea divisible por el trinomio:

a) 6 b) –6 c) 5 d) –5 e) 3 17) Al dividir P(x) entre (x–1)(x–2) se halla por resto:

2x + 1 ¿Qué resto encontrará si se divide P(x) entre:(x – 2)?.a) 5 b) 4 c) –4 d) –5 e) 3

18) Un polinomio de cuarto grado en “x” ; cuyo primer

coeficiente es la unidad , es divisible por y

por (x – 4) y al dividirlo por (x +3) da como residuo 56. Calcular cuanto dará el residuo al dividir por:(x – 2).a) –24 b) 24 c) –42 d) 42 e) 30

19) Hallar el coeficiente principal de un polinomio P(x)

que cumpla:I) Sea de tercer grado.II) Sea divisible por (x–2).III) Se anule para x=–1.IV) Su término independiente sea –8.V) Al dividirlo entre (x–3) se tenga 28 como resto.a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

20) Se sabe que un polinomio entero en “x” de tercer grado cuyo primer coeficiente es la unidad, se anula para: x = 2 y para x = 3 Determinar dicho polinomio si la suma de sus coefi-cientes es igual a 10.a) (x + 2)(x – 3)(x + 4)b) (x – 2)(x – 3)(x + 4)c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)d) (x + 2)(x – 3)(x – 4)e) NA.

Nivel C

21) Al dividir el polinomio F(x) entre los binomios (x – 4) y (x – 2) se obtiene como residuo 9 y 5 respectiva-mente. Calcular el residuo de dividir F(x) entre el pro-ducto: (x – 4)(x – 2).a) 2x + 5 b) 2x + 4 c) 2x + 1 d) –2x + 5 e) –2x – 5

22) Hallar el resto de dividir:

entre (x + 1);

Sabiendo que al dividir P(x) entre (x – 2) el resto es 40.a) 50 b) –8 c) 40 d) 30 e) 60

23) Un polinomio P(x) de tercer grado es tal que al ser di-vidido separadamente entre los binomios (x – 2); (x + 3) y (x – 1) da de resto (–4), si se le divide entre (x + 1) da de resto 44.Señala el término independiente de dicho polinomio.a) 10 b) 100 c) 40 d) 20 e) 60

24) Al dividir un polinomio P(x) separadamente por (x – 1) y (x – 2) se obtiene como restos 6 y 18 res-pectivamente. Determinar el resto que se obtendrá al dividir el poli-nomio P(x) por el producto (x – 1)(x – 2).a) 12x + 5 b) 12x –5 c) 12x – 6 d) 12x + 6 e) –x – 5

25) Al dividir un polinomio P(x) entre (x+2) se obtiene co-mo resto –6 y un cociente cuya suma de coeficientes en igual a 3. El resto de dividir dicho polinomio entre (x – 1) es:a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 6

26) Al dividir un polinomio P(x) de 3er grado separada-mente entre (x – 1); (x + 2) y (x – 3) resulta como re-siduo en los 3 casos igual a 3. Si al dividir P(x) entre (x + 1) se obtiene como residuo 19 .Calcular el resi-duo de dividir P(x) entre (x – 2).a) 5 b) –5 c) 4 d) –4 e) 7

27) Un polinomio de cuarto grado es divisible entre (x + 2) tiene raíz cuadrada exacta .Al dividirlo entre (x – 2) y (x + 1) los restos obtenidos son iguales a 16.Calcular la suma de sus coeficientes.a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40

28) Un polinomio entero en “x” de tercer grado se anula para x = 7 y para x = –3 y al dividirlo entre (x – 10) da como residuo 39 si el primer coeficiente del polino-mio es 3.Hallar el resto de dividirlo entre (x – 8)a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56

29) Al dividir un polinomio P(x) separadamente entre (x – a) y (x – b) los restos obtenidos son (2b + a) y (2a + b) respectivamente. Hallar el residuo de dividir entre: x2 – (a+b)x + ab.a) –x + 2(a + b) b) x + 2(a + b) c) –x + 2(a – b) d) x –2(a + b) e) –x + 2(a2 + b)

30) Un polinomio de grado “n” y variable “x” es divisible entre (xn–1 + xn–2 + 1) y tiene por término independien-te 2 .Además dicho polinomio disminuido en 9 es di-visible entre (x – 1) y disminuido en 388 es divisible entre (x – 2). Calcular el valor de “n”a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

216

factorización

FACTORIZACIÓN

DEFINICIÓN: Es la transformación de un polinomio en un producto indi-cado de sus factores primos, dentro de un determinado campo numérico.

Así:

Teorema: La representación factorizada de un polinomio es única; salvo el orden de los factores.

POLINOMIO SOBRE UN CAMPO: Un polinomio esta definido sobre un campo cuando sus coeficientes pertenecen a ese campo.

Así:

(Esta definido sobre los racionales puesto que sus co-eficientes son racionales).

( no es racional pero si real; entonces P (x,y) esta sobre los reales).

; i =

(2i no es racional ni real pero si complejo entonces R(x) esta sobre los complejos).

FACTOR DE UN POLINOMIO:

Un polinomio f(x) de grado no nulo es considerado fac-tor de otro polinomio P(x) si existe un único polinomio q(x) tal que:

Ejemplo 1:

(x + 2) es factor de

Puesto que:

Ejemplo 2:En P(x) = x (x + 3)2(x – 2)Sus factores son: x; (x + 3); (x – 2); (x + 3)2 ; ............... ; x(x + 3)2(x – 2).

POLINOMIO IRREDUCTIBLE:

Es aquel que no admite ser expresado como la multipli-cación de dos o más factores sobre el mismo campo.

Ejemplo: P(x) = 16x4 – 1 no es irreductible en los Q puesto que

16x4 – 1 = (4x2 + 1) (4x2 – 1)

217

Multiplicación

Factorización

Los conjuntos numéricos considerados como campo son los racionales (Q),los reales (R) y los complejos (C)

Los conjuntos numéricos considerados como campo son los racionales (Q),los reales (R) y los complejos (C)

¡Importante! : todo polinomio que esta sobre los racionales es-

tará también sobre los reales y complejos ; pero que este en los reales o complejos , no implica necesariamente que este en los racionales.

Todo polinomio que esta sobre los reales, esta también sobre los complejos.

P(x) = f(x) q(x)

P(x) = (4x2 + 1) (4x2 – 1) es irreductible en los Q pero no en los R puesto que : P(x) = (4x2 + 1) (2x + 1) (2x – 1)

P(x) = (4x2 + 1) (2x + 1) (2x – 1) es irreductible en los R pero no en los complejos puesto que: P(x) = (2x + i) (2x – i) (2x + 1) (2x – 1)

Factor Primo: Es el factor irreductible de un polinomio sobre un determinado campo.

Ejemplo:

Factorizando en el conjunto Q:

(Posee 2 factores primos

en Q).

Factorizando en el conjunto R:

(Posee 3 factores primos en R).

Factorizando en el conjunto C :

(Posee 4 factores primos en C).

NOTA: Al factor de un polinomio también se le llama divi-sor que no necesariamente es primo.

OBSERVACIÓN: Generalmente el campo en el que se ha de trabajar es en de los RACIONALES (Q) salvo se indique lo contrario.

NÚMERO DE FACTORES:

a) El número de factores primos depende sobre que campo numérico en que se factorice.Ejemplos.

(Dos factores primos en Q)

(Tres factores primos en R)

(Cuatro factores primos en R)

CONTEO DE FACTORES PRIMOS:

El número de factores primos de un polinomio se obtiene contando el número de factores básales; es decir; los factores que se encuentran como base de una potencia y que contenga a la variable.

NOTA: Para realizar el conteo no se debe considerar el número de veces que actúa un determinado factor.

Ejemplos:

Número de factores primos es 3

Número de factores primos es 2.

Número de factores primos es 4.

NUMERO DE FACTORES TOTALES:

Sea: donde: a; b y c son primos entre si:

Ejemplo: Determinar el número de factores totales de:

# Factores totales: (2 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 36

NUMERO DE FACTORES ALGEBRAICOS O DIVISO-RES ALGEBRAICOS:

Un polinomio factorizado presenta una cantidad determi-nada de factores algebraicos es decir expresiones que los dividen en forma exacta en el cual no se considera a ninguna constante; es decir en el conteo de los factores algebraicos no se considera a la unidad.

Sea: donde: a; b y c son primos entre si

Ejemplo:

Por fórmula: # Factores algebraicos = (1 + 1)(2 + 1) – 1# Factores algebraicos = (2)(3) – 1 = 5

NUMERO DE FACTORES COMPUESTOS O DIVISO-RES COMPUESTOS:

218

# factores totales : (+1)(+1)(+1)

# factores algebraicos : ( + 1)( + 1)( + 1) – 1

Teorema: Todo polinomio de primer grado es irreductible en cualquier campo numérico.

F.C. = F.A.T – F.P

FAC

TO

RE

S A

LGE

BR

AIC

OS

1

2xy

x

y

xy

y2

xy2

FAC

TO

RE

S T

OTA

LES

Donde: FC : factores compuestosFAT : factores algebraicos totalesFP : factores primos

NOTA: Un polinomio siempre se factorizará en el campo de

los números racionales (coeficiente enteros o fraccio-narios) salvo se indique lo contrario.

Normalmente se pedirá calcular el número de factores algebraicos o divisores algebraicos; el número de fac-

tores primos; factores lineales, factores cuadráticos; etc.

Ejemplo:

Factores primos: 2 Factores totales: 12 Factores algebraicos: 11 Factores compuestos: 11 – 2 = 9

IMPORTANTE: Si en un ejercicio nos piden el número de factores; se sobreentiende que nos piden el número de factores primos.


1) Marque la alternativa correcta donde haya un polino-mio que este factorizado.a) (x + 2)2 + x b) x(x + 1) + 2 c) x – (x + 1)2

d) x(x + 1) + x + 2 e) (x + 3)(x + 4)2) Marque la alternativa donde esté un polinomio defini-

do sobre Q.

a) b) c)

d) e)

3) Sea P(x) = x(x + 2)(x + 1)

¿En cuál de las alternativas no es un factor algebrai-co de P(x) ?a) x2 + 2x b) x2 – 2x c) x2 + xd) x + 2 e) x2 + 3x + 2

4) Sea P(x) = x3 – 4x ¿En cuál de las alternativas hay un factor algebraico de P(x)?.a) x2 + 2 b) x2 – 2 c) x2 + 2xd) x2 + 4x e) x2 + 4

5) Respecto al polinomio: P(x) = 3(x + 2)(x + 9) Indique verdadero (V) o falso (F).I) 3 no es factor de P(x).II) (x + 2) es factor de P(x).III) P(x) tiene 3 factores algebraicos.IV) (x2 + 7x + 10) no es factor de P(x).a) VFVF b) FVVF c) VVVF d) VVVV e) VFVV

6) ¿Cuántos factores algebraicos tiene el polinomio? P(x) = x(x + 2)(x + 1).a) 9 b) 3 c) 10 d) 7 e) 8

7) Sea P(x) = x96 – 1

Marque la alternativa donde no hay un factor alge-braico de P(x).a) x16 + 1 b) x48 + 1 c) x24 – 1 d) x12 – 1 e) x32 + 1

8) Si (x +3) es factor de x2 + bx – 3 indique el otro factor.a) x + 2 b) x + 1 c) x – 1 d) 2x + 1 e) 2x – 1

9) Si: x2 + x + 2 es factor de x4 +3x2 + 2x + ax + b

Halle: E =

a) 1/2 b) 3/4 c) – 1/4 d) –3/2 e) 2

10) Si: (x2 + x + 1) y (x2 + ax + b) Son factores de (x4 + mx2 + n)Halle: E = a + b + m + n a) 4 b) 2 c) –3 d) 0 e) –1

11) Marque la alternativa donde haya un polinomio primo y uno no primo respectivamente.a) x2 – 4 ; x2 + 1 b) 2x2 – 2 ; 2x2 + 3c) 4x2 – 1 ; x2 – 4. d) x2 + 1 ; x2 + 2e) x2 + 3 ; x2

12) Sea P(x) = ( x4 – 1)( x2 + 2x – 3 ) ¿Cuántos factores primos tiene?a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 6

13) Sea P(x) = x2 (x2 + 3x + 2)Indique el número de sus factores primos.a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 4

14) Marque la alternativa donde no hay un factor primo de P(x,y) = xy ( x + 1)( y + 1 )a) x b) y c) xy d) x + 1 e) y + 1

219

15) Sea : P(x) = x3 + 3x2 + 2x + 1De las siguientes proposiciones.I) P(x) es primo.II) P(x) no es primo.III) P(x) tiene un factor lineal.Son verdaderas.a) I y II b) II y III c) solo I d) solo II e) I y III

16) Si (x – 2) es un factor de: P(x) = x2 + 3mx – 2.Calcule: E = (2m + 3)2 – (2m – 3)2

a) 12 b) –12 c) 8/3 d) –8 e) 8

CRITERIOS DE factorización

CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN

Son técnicas a utilizar, de acuerdo a la forma que presen-ta al ejercicio.

I) FACTOR COMÚN – AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

a) FACTOR COMÚN: Cuando uno o varias cantidades se repiten.– Se extrae el valor que se repite, el cual constituye

el factor común.– El siguiente factor se hallará, dividiendo cada uno

de los términos del polinomio entre el factor co-mún.

a.1) Factor Común Monomio: Cuando el factor co-mún es un monomio.

Ejemplo1:

Factorizar:

El factor común es:

Luego: Rpta.

Ejemplo 2:

Factorizar:

El factor común es:

Luego Rpta.

a.2) Factor Común Polinomio: Cuando el factor común es un polinomio.

Ejemplo 1:

Factorizar

Factor común: (a + b).

Luego: (Rpta).

Ejemplo 2: Factorizar

Factor común: (a –1).Luego:

Factor común: (a – 3).Luego:

Rp-

ta.b) AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS:

Se procede a agrupar los términos buscando facto-res comunes (monomio o polinomio) para luego fac-torizar.

NOTA: Para agrupar correctamente, contar el núme-ro de elementos del polinomio para así saber de cuanto en cuanto agrupar.

Ejemplo 1:

Factorizar:

Agrupando de dos en dos.

Factor común:

Rpta.

Ejemplo 2:

220

Factorizar:

Efectuando:

Agrupando:

Factor común:

Finalmente: Rp-

ta.

1) Factorizar el polinomio: P(x,y) = 3(x – y)2(x + y) – (x + y)2(x – y) – (x2 – y2) e indicar algún factor primo.a) x + y b) x+ 2y c) x d) x + 3y e) N.A.

2) Factorizar: P(x,y) = y(x2 + x + 1) + x(y2 + y + 1) + x2 + y2 e indicar el número de factores primos:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3) Factorizar: Q(x,y) = ab(x2 – y2) + xy(a2 – b2) E indicar un factor primo.a) ay – bx b) ax + by c) ax – by d) ax + bx e) ay + by

4) Expresar el polinomio: P(x, y)=x3y – xyz2 + x2y2 – y2z2 – x2yz + yz3 – zx3 + xz3

Como factores e indicar la suma de estos a) 2x +2y – z b) 2x +2y – 3z c) 2x +2y – 2z d) 2x +2y + 2z e) 2x +2y + z

5) Factorizar: P(x,y,z) = x( x2 – y2 + xz ) – y2z E indicar un factor.a) x + 2y b) x + y c) x – 2yd) x e) x + y + z

6) Factorizar: Q(x,y) = mn(x + y)2 + xy(m – n)2 E indicar la suma de los coeficientes de los factores primos.a) m + n b) m – n c) 2n + 2n d) m + 2n e) m – 2n

7) Factorizar: k(x,y) = x5y3 + x2(x2y6 + x4y3) E indicar el número de factores primos lineales a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

8) Factorizar e indicar un factor primo en N(b,c,x) = bcx2 + xb2 + bc +c2x a) cx + b2 b) bx2 + c c) bx + c d) x + bc e) x

9) Al factorizar : P(x) = x4 + x3 – 8x – 8 Indicar un factor.a) x2 + 2x + 4 b) x2 – 2x – 4 c) x2 – 4x + 2d) x2 – 2x + 2 e) x2 – x + 4

10) Indicar la suma de los términos independientes de los factores primos obtenidos en:P(x,y) = x2y + xy2 –2xy – x2 + xy(1–y) a) 1 b) 0 c) –2 d) 2 e) –1

11) Al factorizar :P(x,y,z) = 9xz + 3x2 + 3yz + xyEs posible afirmar:a) Se obtienen 3 factores primos.b) Se obtienen 2 factores cuya suma de coeficientes

es la misma.

c) Un término en uno de los factores es 2x.d) El mayor coeficiente obtenido en uno de los facto-

res es 9.e) Hay 2 correctas.

II) MÉTODO DE LAS IDENTIDADES:

En este caso utilizaremos los productos notables pe-ro en sentido inverso.

Cabe recordar:

a) Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P.).

Tener en cuenta que: En un T.C.P. el doble producto de las raíces cuadradas de los términos extremos es igual al término central.

Es decir:

b) Diferencia de Cuadrados:

Ejemplos:

c) Suma o Diferencia de Cubos:

d) Entre otros:

221

Extremos Término central

Nivel A1) Después de factorizar :

P(x,y,z) = x4yz – 3x2yz – 2xyzIndique el número de factores primos.a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

2) Factorizar :

a) b)

c)

d) e)

3) Factorizar e indicar la suma de coeficientes de un factor primo:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

4) Factorizar e indicar la suma de coeficientes de un factor primo :

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 6

5) Factorizar e indicar el número de factores primos.

a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9

6) Factorizar y señalar un factor primo.

a) b) c)

d) e)

7) Factorizar:

a)

b)

c)

d)

e)

8) Factorizar e indicar un término de un factor:

a) xy b) xy3 c) z2x d) xyz e) 2xyz

9) Si Q es un polinomio factorizable definido por:Q(x,y) = 2x2 + 1 – (4x3y + 6x2y2 + 4xy3+y4) Entonces un factor primo es:a) 3xy – y + 1 b) 2xy – 2 c) x + y – y2

d) 1 – 2xy – y2 e) x – y – x2

10) Factorizar sobre Q:

E indicar la suma de coeficientes de uno de sus fac-tores primos.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Nivel B11) Si: (x + 1) y (2x2 – 3x – 2) son dos factores del polino-

mio:

Entonces el otro factor es:a) x + 7 b) x – 3 c) 2x + 1 d) x – 1 e) 3x – 2

12) Factorizar : P(x) = x6 + 4x3 + x2 + 2x+5 +2(x3+2)(x+1)E indicar el término independiente de un factor primoa) 3 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12

13) Indicar aquel polinomio que no es factor de:Q(x, y) = x3 + 2x2y – 4xy2 – 8y3 – x + 2ya) x – 2y b) x + 2y + 1 c) x – 1 + 2yd) x + 2y e) x + y

14) Descomponer en factores : P(x) = (2x6 + 1)3 + (x + 1)3(x – 1)3(x4 + x2 + 1)3

E indicar el número de factores primos.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15) Un factor de:

;

es:

a) b) c)

d) e)

16) Factorizar: R(x) = x3(x19 – 2) – (x2 + 1)(x4 – x2 + 1)E indicar uno de los términos obtenidos en los facto-res primos.a) – x3 b) x5 c) x6 d) x2 e) –x2

17) Señalar un factor primo que tiene el siguiente polino-mio: P(z) = z(z+1)2 – 9z5

a) z – 1 b) z2 – z – 1 c) 3z2 + z + 1 d) z + 1 e) z2 + z + 1

18) Factorice :

Indique el factor de mayor grado obtenido.a) x6 – x3 + 1 b) x6 + x2 + 1 c) x4 – x2 + 1d) x6 + x5 + 1 e) x6 + x3 + 1

19) Hallar la suma de factores primos de: P(x) = x4 + 9x2 + 25a) 2x2 – 10 b) 2x2 + 8 2x2 – 8d) 2x2 + 10 e) 2x2 + 6

20) Si al factorizar :H(x,y) = x36 + 81y4 + 2(x9y)2

Se evalúa cada factor primo para: x = y = 1 Hallar el producto de los valores obtenidosa) 42 b) 84 c) 82 d) 96 e) 21

III) ASPA SIMPLE

Se emplea para factorizar expresiones de la forma:

222

PROCEDIMIENTO:

Se descomponen los extremos, cuidando los signos.

Se efectúa el producto en aspa y se suman los resul-tados, si este coincide con el término central, enton-ces los factores serán las sumas horizontales.

1) Factorizar:

Resolución: 3x2+10xy+3y2

3x +y = xy

x +3y = 9xy

10xy

Los factores se toman horizontalmente.

Entonces: (3x + y)(x + 3y)

2) Factorizar:

Resolución:

x2+2ax+(a2–b2)

x (a + b) = x(a + b)

x (a – b) = x(a – b)

2ax

Tomando horizontalmente.

Entonces: (x + a + b) (x + a – b)

Nivel A1) Factorice: P(x,y,z) = z2 +2xy – (x2 + y2)

E indique un factor primo.a) x + y b) z + x + y c) z + x – yd) z – x – y e) z + x

2) Factorice: P(x,y) = x4 – 6y2 + x2y E indique el factor de menor suma de coeficientes.a) x + 3y b) x2 – 2y c) x2 + 3y d) x + 6y e) x2 + y

3) Factorice: P(x) = x3 (x3 – 1) – 2; e indique algún factor primoa) x – 2 b) x2 – x + 1 c) x2 + 1 d) x –1 e) x2 + x –1

4) Si: x + m nx + 2 son factores de 3x2 + 5x + 2 ; Halle: m – n; m, n Z+

a) 2 b) –2 c) 0 d) 1 e) 3

5) Factorice: P(x) = x2 + ( x – 2 )2 – ( x + 2)2 – 9E indique la suma de factores primos.a) 2x – 6 b) 2x + 1 c) 2x – 8 d) 2x + 8 e) 2x

6) Factorice: P(x) = ax(bx + a) + b2(x – 1) + a2

E indique un factor primo.a) ax + b b) ax + a – b c) bx + a + b

d) ax + a + b e) bx – a +b

7) Factorice: P(x )= (x2 –1)2 + (x + 1)(x – 1) – 12E indique el factor primo de mayor suma de coefi-cientes.a) x + 3 b) x2 + 3 c) x – 2 d) x + 2 e) x + 1

8) Factorizar e indicar un factor primo:

a) 3x + y b) 3x – y c) 7y + 6xd) 7x + 6y e ) xy

9) Factorice sobre Q

E indicar la suma de sus factores primos linealesa) x b) 2x c) 3x d) 4x e) 5x

Nivel B10) Factorizar el polinomio:

Y dar como respuesta la suma de coeficientes del factor de grado 3.a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

11) Factorice:

E indique uno de sus factores primos.a) ax + a – 2b b) ax + a c) ax – 2bd) ax + 1 e) ax – 1

12) Factorizar e indicar el factor primo cúbico de:P(x) = x5 – x4 + 2x2 – 2x + 1.a) x3 + x + 1 b) x3 + x2 + 1 c) x3 + x2 + x – 1d) x3 – x + 1 e) x3 – x2 + 1

13) Factorizar: F(a, b, c) = (a + b + c)2 + (a + b – c)2+4c(a+b)– 5(a+b+c)+2 E indique el factor primo de mayor término indepen-dientea) 2a + 2b + 2c + 1 b) a + b + c – 2 c) 2a + 2b + c – 1 d) a + b + c + 2 e) 2a + 2b + 2c – 1

14) Factorizar:H(a,b,c) = 144a11b2 – 436a9b4 + 100a7b6

E indicar el número de factores primos.a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

15) Factorizar: P(x) = x12 – 6x8 + 5x4 + 2x6 – 6x2 + 1E indicar el número de factores totales:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

16) Factorizar:M(x,y) = (x–y)(x–3y)(x+4y)(x+6y) + 40y4

E indique el número de factores algebraicos.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

17) Factorizar: G(x,y,z,w) = (3x + 2y + 3z)(9x + 6y + 7z + 4w) + 8z(w – 2z)E indicar el número de factores primos.a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

18) Qué polinomio no es factorizable?

223

a) x2 + 11x + 28 b) x2 + 4x – 5 c) x2 – 4x + 3d) x2 + 7x + 8 e ) x2 – 7x + 6

19) Si la expresión : P(x) = 6x2 + px + b Se factoriza así: (ax – 5 )(2x – 1)Hallar: a – p + b.a) 8 b) 7 c) 6 d) 21 e) 13

20) Sean : A = x2(x+ 3) – y B = x(4 –x – x2 )C = y + x + 2Indicar el número de factores primos lineales que ori-gina: A + B + C.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

IV) ASPA DOBLE:

Nos permite factorizar polinomios de la forma:

Consiste en descomponer los términos en x2 e y2, in-dependientemente en dos factores cada uno de ellos, para luego efectuar los productos en aspa de dichos factores, la suma algebraica de estos térmi-nos obtenidos debe verificar los tres términos restan-tes, cuando esto ocurra los factores serán los que aparezcan en la 1era y 2da línea.

Esquema General:

Factorizar:

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f

mx py r

nx qy s

(i) (ii) (iii)

Donde debe cumplir:

i y ii : mqxy + npxy = bxy

ii y iii : psy + qry = ye

i y iii : msx+ nrx = dx

Los factores serán:

(mx + py + r)(nx + qy + s).

1) Factorizar: 6x2 + xy – 2y2 + 9x – y + 3.Resolución:

6x2 + xy – 2y2 +9x – y + 3

3x 2y 3

2x –y 1

(i) (ii) (iii)

Entonces: (3x + 2y + 3)(2x – y + 1)

2) Factorizar: 2x2 + xy – 15y2 –4x +10 y.Resolución: Completando.

2x2 + xy –15y2 –4x +10y + 0

2x –5y 0

x 3y –2

(i) (ii) (iii)

Entonces: (2x–5y)(x+3y–2)

Nivel A1) Factorice:

P(x,y) = 2x2 + 3y2 + 5xy + 13y + 9x + 4E indique la resta de sus factores primos.a) x + 2y – 3 b) 2x + y + 1 c) x + y d) x + y – 2 e) x + 3y + 1

2) Factorice :P(x, y) = (x + 2y)( x – 2y) + 12y – 9E indique la suma de sus factores primos.a) 2x b) 2x + 4y + 6 c) 2y – 6 d) 2x + 6 e) 2x + 2y – 6

3) Factorice :P(x,y) = x4 – 3y2 – 2x2y + 2x2 – 2y + 1E indique la suma de coeficientes de un factor primo.a) 3 b) 2 c) –2 d) 1 e) –4

4) Factorice : P(x,y,z) = x2 + 3xy +2y2 + 4xz + 7yz + 3z2

E indique el factor primo de mayor suma de coefi-cientes.a) x + 2y + z b) x + y + 2z c) x + 2y + 3z d) x + y + 3z e) x + 2y + 2z

5) Después de factorizar el polinomio :P(x,y)=(x2+2x+1) + 3(x+1)y + 2y2 + 4(x+1)+3y–5.Indique la mayor suma de coeficientes de un factor primo.a) 8 b) 4 c) 9 d) 2 e) 11

6) Factorizar e indicar la suma de coeficientes de uno de los factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7) Factorizar e indicar un factor primo :

a) 4y – 5 b) 4y + 5 c) 2y + 3d) 2y – 3 e) x + y

8) Si P es un polinomio factorizable definido por:

Entonces un factor primo es.a) x + y + 7 b) 5x – 2y + 1 c) x – y – 7 d) 5x + 2y – 1 e) x – y + 7

224

9) Indicar el valor de verdad de cada una de las propo-siciones con respecto a este polinomio.P(x) = x5 – 5x4 – x3 + 16x2 – 11x + 2I) Un factor primo es cúbico de término indepen-

diente 2.II) –5x es un término de un factor primo.III) –3x es un término de un factor primo cuadrático.a) VVV b) VFF c) VVF d) FVF e) FVV

10) Señale un factor primo del polinomio :

; si

los coeficientes a, b, c, d, e y f en ese orden son nú-meros enteros consecutivos cuya suma es 27.a) 2x – 3y+ 4z b) x + y + z c) x + 2y + 3zd) x – 2y + z e) 2x+4y+3z

Nivel B11) Señale un factor primo del polinomio

A(x,y,z) = ax2 + by2 + cz2 + dxy +exz +fyzSi los coeficientes: a, b, c, d, e, f; en ese orden son números enteros consecutivos cuya suma es 27.a) 2x – 3y + 4z b) x + y + z c) x + 2y + 3zd) x – 2y + z e ) 2x + 4y + 3z

12) Indicar la suma de coeficientes de un factor primo de: F(x) = x6 + 5x5 + 6x4 + 11x3 +26x2 +28

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

13) Si uno de los factores primos de: E(x,y)=6x2 – 7xy – 5y2 + 17x – 11y+12 Adopta la forma: (ax + by +c ) Donde: a, b, c; son naturales obtener: E = a + b + c.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

14) Factorizar :P(x,y,z) = 6x2 – 20y2 – 14z2 + 7xy + 38yz – 17xzDar un factor primo:a) 3x + 4y – 2z b) 2x + 5y – 7z c) 3x + 4y + zd) 2x + 5y – z e) 3x + 5y + z

15) Después de factorizar:F(x, y) = 2x(4x + 7y) – 3y(5y + 12) + 48xIndique el término independiente de uno de los factores primos.a) 6 b) 15 c) 8 d) 12 e) 16

16) Indicar un factor primo de:F(x,y) = x2 + (a + 3)xy + 3ay2 + x + (2a – 3)y – 2 a) x – 3y + 1 b) x + 3y + 2 c) x – y + 4d) x – 3y – 1 e ) x + 3y + 1

17) El área de un terreno rectangular; esta dada por:A(x,y) =x(x+2y) + y2 + 4(x+y) + 3Donde: x > 0; y > 0Hallar : ySi el largo mide 20m . Cuando x = 7a) 8 b) 10 c) 6 d) 12 e) 5

V) ASPA DOBLE ESPECIAL: Se usa para factorizar polinomios de la forma:

Se adecua el polinomio a la forma general, en caso falte uno o más términos, estos se completarán con ceros.

Se descomponen convenientemente los extremos, se efectúa el producto en aspa y se suman los resul-tados.

Se compara el resultado anterior con el término cen-tral de la expresión (cx2) y lo que falte o sobre para que sea igual a este, será la expresión que se tenga que descomponer en las partes centrales de los futu-ros nuevos dos factores.

Cumplidos los pasos anteriores, se concluye que los factores serán las sumas horizontales.

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Factorizar: x4 – 4x3 + 11x2 – 14x + 10.Resolución: El polinomio esta completo y ordenado, entonces seguiremos los pasos indicados.

x4 – 4x3 + 11x2 – 14x + 10

X2 5

X2 2

Se tiene: 7x2

Se debe tener: 11x2

Se necesita: 4x2

Luego: 4x2 = (–2x) (–2x)

Adecuando:

x4 – 4x3 + 11x2 – 14x + 10

X2 –2x 5

X2 –2x 2

Al paso (ii) comprueba:

(x2)(–2x) + (x2)(–2x) = –4x3

(iii) (–2x)(2) + (–2x)(5) = –14x

Entonces: (x2–2x+5) (x2–2x+2) (Rpta).

Nivel A1) Factorice :

P(x) = x4 + 3x3 + 7x2 + 8x + 6E indique un factor primo.a) x2 + 2x + 3 b) x2 + x + 6 c) x2 + x + 2 d) x2 –x + 3 e) x2 + 2x + 2

2) Factorice P(x) = (x2 + 2x – 3)(x2 + 2x + 2) – 6E indique el coeficiente del término lineal de alguno de sus factores primos.a) 2 b) 3 c) –4 d) 1 e) –2

3) Factorice:P(x) = x4 + 16x – 12

225

(i)(ii) (iii)

E indique como respuesta la mayor suma de coefi-cientes de alguno de sus factores primos.a) 1 b) 5 c) 3 d) 7 e) 4

4) Factorice en Q.P(x) = x4 – 6x2 + x + 6E indique la suma de sus factores primos.a) 2x2 – 5 b) 2x2 c) 2x2 + 5 d) 2x2 + 2x e) 2x2 – 4

5) Factorizar e indicar el número de factores algebrai-cos.

a) 1 b)2 c) 3 d) 4 e) 5

6) Factorizar e indicar el número de factores primos :

a) 1 b)2 c) 3 d) 4 e) 5

7) Si P es un polinomio factorizable definido por :

Entonces un factor primo es:a) ax + 1 b) ax + a – 1 c) x – a + 1 d) x + a – 1 e) ax – 1

8) Factorizar el polinomio :

E indicar uno de sus factores primos.a) x + y b) x + 2y c) x – 2y d) 2x + y e) 3x – y2

9) Factorizar: F(x) = x3(x + 1) + 2x2 + 5(x – 3)E indicar el término independiente de uno de sus factores primos.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10) Considere el siguiente polinomio:

Determinar el valor de verdad de las siguientes pro-posiciones.I) P(x) es primo en el campo Q.II) P(x) tiene dos ipsores primos en Q.III) P(x) carece de raíces reales racionales.a) VFF b) VVV c) FFV d) FFF e) FVF

Nivel B

11) Factorizar:P(m) = m4 – 4m3 + 11m2 – 14m + 10

B(k) = 2k4 + 5k3 + 10k2 + 9k + 6

12) Factorizar: P(x) = x12 – 3x9 – 7x6 + 27x3 – 18Indicar el valor numérico de uno de los factores pri-mos cúbicos cuando x = 1a) 8 b) –1 c) 4d) 3 e) Hay 2 correctas

13) Indique la suma de coeficientes de uno de los facto-res primos al descomponer :B(x) = 2x4 – x3 + 9x2 – x + 12a) 1 b) 2 c) 9 d) 7 e) 6

14) Calcular : E =

Sabiendo que “n” representa el número de factores pri-mos de: E(x) = x4 + 6x3 – 5x2 – 42x + 40

a) – 4 b) c) 2 d) –1 e)

15) Factorizar: F(x) = 2x8 + x6 – 16x4 +8x2 – 1Indicar un factor primo.a) x4 + 3x2 + 1 b) x4 + 8x2 + 1 c) 2x4 – 5x2 + 1d) x4 + 1 e) x4 + 3

VI) DIVISORES BINÓMICOS:

Se utiliza para factorizar polinomios que aceptan co-mo ipsores a binomios de la forma ax + b, basándose en el siguiente principio de la división algebraica.

Si el polinomio se anula para x=a entonces un factor será: (x – a)

Cero de un Polinomio: Es el valor o conjunto de valores que tienen la propiedad de anular (valor numérico cero) a un polinomio dado.Ejemplo: Para P(x)=x3–7x+6

– Si: x = 1 : P(x) = 1 – 7 + 6 = 0x = 1: es un cero de P(x).

– Si: x = 2 : P(x) = 23 – 14 + 6 = 0x = 2 : es un cero de P(x).

Forma de calcular los posibles ceros de un polino-mio: Se divide cada uno de los divisores del término indepen-diente entre los divisores del primer coeficiente (con su doble signo).

Ejemplos:

– P(x)=x3+3x–5Los posibles ceros seran : P.C:1; 5

– Q(x)=2x7+4x6–2x3–3Los posibles ceros seran:

: P.C: 1; 3; 1/2

1) Factorizar: E(x) = x3 – 11x2 + 31x – 21Resolución: P.C: 1; 3; 7; 21Para: x = 1 E(1) = 13 – 11(1) + 31(1) – 21 = 0 Se anula, luego tendrá un factor (x – 1) determinado el otro factor por Ruffini.

1 –11 31 –21

1 1 –10 21

1 –10 21 0

Luego: E(x) = (x – 1)(x2 – 10x + 21) x –7

x –3

Entonces: E(x) = (x – 1)(x – 7)(x – 3)

226

Nivel A

1) Si: x2 + mx + n es factor de x3 – x – 6 Calcule: m + n.a) 2 b) 7 c) 8 d) 3 e) 5

2) Factorice : P(x) = x5 – 2x4 – 3x3 – x2 + 2x + 3.E indique el número de factores primos.a) 2 b) 1 c) 4 d) 3 e) 5

3) Dado el polinomio: P(x) = 3x3 + 11x2 + 3x – 2 Si al factorizar se expresa como:P(x)= (ax2 + bx + c)(mx + n).

Calcule:

a) 1 b) 1/2 c) –1/2 d) 2 e) –2

4) Dado el polinomio:Q(x,y) = x3 + ax2y + bxy2 + cy3 Sabiendo que (x+y)2 es un factor de Q (x,y).Calcule: 2a – ba) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5) Obtener la suma de coeficientes de un factor primo del polinomio: H(x) = x3 – x2 – 17x + 33.a) –3 b) –6 c) –7 d) –5 e) –8

6) Factorizar:

Y dar como respuesta el término independiente del factor de mayor grado.a) 1 b) –1 c) 3 d) –3 e) 0

7) Factorizar e indicar el número de factores primos:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8) Factorizar e indicar el número de factores primos:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9) Los polinomios:

Tienen un factor común.Indicar la suma de coeficientes de dicho factor co-mún.a) –1 b) 0 c) 3 d) 4 e) 5

10) Factorizar:P(x) = 4x5 – 29x3 – 24x2 + 7x + 6E indicar el número de factores primos.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Nivel B11) Señalar un factor primo de:

P(x) = x3(3x + 1)3 – (6x + 1)2 – 15a) x – 1 b) x + 1 c) x + 2 d) x – 2 e) x + 3

12) Cuantos factores primos tiene el polinomio:P(x) = x7 – 2x5 – 1.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13) En base al polinomio : M(x) = x7 – 8x6 + 21x5 – 15x4 – 15x3 + 21x2 – 8x + 1Establecer el valor de verdad de las siguientes pro-posiciones.I) Tiene 4 factores primos.II) X3 – 2x + 1 es uno de sus ipsores.III) X2 – 3x + 1 es un factor primo.

a) FFV b) VVV c) VVF d) FVV e) FVF

14) Con respecto al polinomio P(z) = z6 – 9z4 + 16z3 – 9z2 + 1Indicar el valor de verdad de cada una de las propo-siciones:I) Un factor primo es z2 + 4z + 1II) Un factor algebraico es (z – 1)3

III) Tiene solo 2 factores primos mónicos.a) VVV b) FVF c) VVF d) VFV e) FFF

15) Factorizar: P(x)= x5 – 3x4 – 11x3 + 51x2 – 62x +24Indicar el factor que tiene mayor término indepen-diente.a) x + 6 b) x + 1 c) x + 4 d) x + 3 e) x + 8

16) Al factorizar: P(x) = 12x3 + 8x2 – 3x – 2 Se obtiene una suma de factores primos igual a: k1x + k2

Indicar :

a) 64 b) 81 c) 49 d) 8 e) 36

17) Factorizar:P(x) = x3 – 5x2 + 12x – 12 Dar como respuesta el valor numérico de un factor primo para x = 5.a) 7 b) 16 c) 24 d) 26 e) 12

VII) POLINOMIOS RECÍPROCOS O RECURRENTES

POLINOMIO RECIPROCO:

Reciben esta denominación aquellos que se caracterizan por que los coeficientes de los términos equidistantes son iguales (en valor absoluto). Así en:

Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E

Si es reciproco: A = E ; B = D.

Para factorizar a este tipo de polinomios deberá tenerse en cuenta:

Cuando el polinomio sea de grado par:Se extrae la parte literal del término central.

Se busca la expresión base: y se

procede a un cambio de variable y a partir de estas se deducen en función del cambio de variable:

227

Teniendo en consecuencia las siguientes equivalen-cias:

Si: , entonces tenemos:

Si: entonces tenemos:

Se escribe la expresión en función del cambio de va-riable y se factoriza la expresión por los métodos ya estudiados.

Cuando el polinomio es de grado impar: Estos polinomios tienen la propiedad de anularse

para x = 1; x = –1 en consecuencia admite un fac-tor (x – 1) o (x + 1) necesariamente.

Por Ruffini se deduce el otro factor que será tam-bién un polinomio reciproco de grado par, el cual se factorizara utilizando los criterios del caso A.

– 8x4 – 2x3 + 13x2 – 2x + 8– x6 – 4x5 + 3x4 – 8x3 + 3x2 – 4x + 1– 3x5 + 5x4 + 3x3 + 3x2 + 5x + 3– x7 + 8x6 + 17x5 + 9x4 + 9x3 + 17x2 + 8x + 1

VIII)ARTIFICIOS DE CALCULO:

Cambio de variable: Consiste en buscar expresiones iguales, directa o indirectamente (a través de ciertas transformaciones) para luego proceder a un camilo de variable, que permitirá transformar una expresión apa-rentemente compleja en otra mucho mas simple y sen-cilla.

– (x – 2)(x + 3)(x + 2)(x – 1) + 3– 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)– 40a4 + (x – a)(x – 3a)(x + 4a)(x + 6a)– (x2 + 7x + 5)2 + 3x2 + 21x + 5– (x2 + x)(x2 + 5x + 6)(x2 + 3x + 1)2 + 1– (m + n + 1)4 – 5(m + n)2 – 10(m + n) – 1– (3a + 2b)3 – (a + b)3 + (2a + b)2 –(3a + 2b)(3a + 3b)(2a + b)– El numero total de factores algebraicos y número

de factores primos de:P(x)=x3(x–1)3+3(x2+2x)(x2–4x+3)–40

QUITA Y PON O REDUCCIÓN A DIFERENCIA DE CUADRADOS Consiste en sumar y restar una misma expresión en forma conveniente de modo tal que al hacer agrupa-ciones, el objetivo, sea llegar a una diferencia de cua-drados.– 36x4 + 15x2 + 4– m4n4 + 64p4

– 49x4 + 25y4 – 11x2y2

– n4 + 2n2 + 9– 16x8 – 17x4 + 16– n4 + 324– 4a4 + 4ab2 – b4 + 1– a4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2

SUMAS Y RESTAS ESPECIALES:

Consiste en sumar y restar una expresión en forma conveniente de modo tal que se obtenga uno de los trinomios (x2 + x + 1) o (x2 – x + 1) ambos componen-tes de una diferencia o suma de cubos (x3 – 1 ó x3 + 1) u otra expresión conocida.– x5 + x + 1– x5 + x – 1– x7 + x5 + 1– x10 + x8 + 1– a5 + a4b + b5

FRACCIONES ALGEBRAICAS

FRACCIONES ALGEBRAICAS Fracción algebraica racional es la división indicada de dos polinomios, donde el denominador debe tener al me-nos una variable.

228

Ejemplo: ;

CLASIFICACIÓN:

1. FRACCIONES PROPIAS: Cuando el numerador es de menor grado que el denominador.

Ejemplo: ;

2. FRACCIONES IMPROPIAS: Cuando el numerador es de mayor o igual grado que el denominador.

Ejemplo: ;

3. FRACCIONES HOMOGÉNEAS: Cuando tienen iguales denominadores.

Ejemplo: ;

4. FRACCIONES EQUIVALENTES: Son aquellos que admiten el mismo valor numérico para cualquier sis-tema de valores atribuidos a sus variables, a excep-ción de aquellos que hagan cero su denominador.

Ejemplo:

Nótese que ‘x’ no puede tomar los valores de 2 y 3 porque haría cero a los denominadores.

5. FRACCIONES COMPLEJAS O COMPUESTAS. Cuando tienen como numerador y/o denominador otras fracciones algebraicas.

Ejemplo:

6. FRACCIONES IRREDUCTIBLES: Aquellas que no admiten simplificación, es decir sus componentes (en forma de factores) del numerador y denominador son primos entre si.

Ejemplo: ;

OBSERVACIÓN: En toda fracción, se van ha observar tres signos (del numerador, denominador y de la fracción propiamente dicha).

Ejemplo:

Sea:

PROPIEDAD:

Si la fracción: adopta siempre un valor

constante para cualquier sistema de valores permitidos de sus variables, o es independiente de sus variables se demuestra que:

OPERACIONES CON FRACCIONES:1) Para sumar o restar fracciones es necesario dar co-

mún denominador.

Ejemplo:

2) Para multiplicar fracciones, se multiplica numerado-res y denominadores entre si.

Ejemplo:

3) Para dividir fracciones, se invierte la fracción que ha-ce de divisor y se procede como en la multiplicación.Ejemplo:

O también se puede expresar:

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES: Simplificar una fracción es transformarla en otra equivalente e irreducti-ble, para ello se sugiere descomponer, tanto numerador y denominador en sus factores primos (factorizarlos) para luego eliminar sus factores comunes.

Ejemplo: Simplificar:

Factorizando numerador y denominador:

229

b

af

Del denominador

Del numerador

De la fracción


Nivel A

1) Efectuar:

a) x+3 b) 2(x+3) c) 2 d) 1 e) (x+3)/2

2) Simplificar:

a) b) c)

d) e)

3) Simplificar:

a) 4a b) a c)

d) e)

4) Efectuar:

a) b) c)

d) e)

5) Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6) Cual debe ser el valor de ‘a’ para que la fracción sea

reductible:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

7) Calcular:

a) 1 b) 5 c) 7 d) 10 e) 14

8) Efectuar:

a) 5 b) 1 – x c) x + 2 d) x + 1 e)

9) Reducir:

a) x b) 5x c) 7x d) 2x e) 4x

10) Efectuar:

a) a – 2 b) a + 2 c) 1/(a+2) d) 1/(a–2) e) 4a

Nivel B

11) Hallar: ”a b”; si:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4

12) Efectuar:

a) a + b b) ab c) x + bd) a + x e) x + b + a

13) Hallar “a b c”; si:

a)1/9 b)2/9 c)3/5 d)5/9 e)4/9

14) Efectuar:

a) 5x b) x c) 3x d) 2x e) 4x

15) Hallar: ‘a b c’ en:

a) 12 b) –13 c) –12 d) 24 e) –24

230

16) Reducir:

a) b) c)

d) e)

17) Simplificar:

a) b)

c) d)

e)

18) Hallar ‘a b’ si la fracción es independiente de ‘x’ e ‘y’:

a) 28 b) –28 c) 82 d) –82 e) 41

19) Simplificar:

a) b) c)

d) e)1

20) Si: ; Calcular:

a) 5a – 1 b) 1 – a c) 5a + 1d) a + 1 e) (5a–1)/(1–a)

NÍVEL C

21) Si: .

Calcular:

a) 2 b) –2 c) 0 d) 1 e) –1

22) Simplificar:

a) x + 4a b) a + 2x c) x + 2ad) x – 4a e) (x + 4a)/(x + 2a)

23) Simplificar:

a) x + y b) x – y c) xyd) (x + y)/(x – y) e)2x

24) Simplificar:

a) b) c)

d) e)

25) Efectuar:

a) 2 b) 4 c) 10 d) 8 e) 6

26) Simplificar:

a) 2xy b) c) d)

e)

27) Efectuar:

a) x – 4 b) x c) 1/(x–4) d) 4 e) 44

28) Efectuar:

a) a – b b) a c) b d) 2b e) b/(a–b)

29) Si la fracción:

toma un valor constante para todos los valores reales de “x” e y, entonces este valor constante es.a) 9 b) 1/9 c) –1/9 d) 1 e) 81

30) Simplificar:

Indi-

car el exponente finala) 3/2 b) 1/2 c) 4/5 d) –3/2 e) 5

231

Radicación

DEFINICIÓN: Es aquella operación matemática a través de la cual, da-dos dos números llamados radicando e índice, se busca encontrar un tercer elemento llamado raíz n–ésima del radicado de modo que cumpla con la siguiente identidad.

Es la operación inversa de la potenciación.

Elementos:

n : índice

: signo radical.a : radicando o cantidad sub–radicalb : raíz n–ésima

Ejemplo:

TEOREMAS DE RADICACIÓN:Provenientes de la “Teoría de exponentes”; tenemos:

1) Raíz de un Producto:

donde:

2) Raíz de un Cociente:

con :

3) Raíz de Raíz:

4) Potencia de una Raíz:

5) Además de:

RADICALES SEMEJANTES: Estos tienen la misma ex-presión sub–radical y el mismo índice.Ejemplo:

(son semejantes).

RADICALES HOMOGÉNEOS: Estos se caracterizan por tener el mismo índice.

Ejemplos:

(son homog. de índice 5)

(son homog. de índice 2).

HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES: Es la operación que consiste en transformar radicales con diferente índi-ce en radicales con igual índice .Se recomienda tener en cuenta las siguientes reglas.

1.° Se halla el MCM de los índices de los radicales, que será el índice común.

2.° Se divide el índice encontrado entre el índice original de cada radical y cada cociente se multiplica por el exponente también original de la cantidad sub–radi-cal.

Ejemplo: Homogenizar:

Resolución: Hallando MCM(3,4,5) = 60Luego:

INTRODUCCIÓN DE EXPRESIONES BAJO EL SIGNO RADICAL: Se eleva la expresión que está afuera del ra-dical, a una potencia igual al índice del radical.Ejemplos:

EXTRAER UN FACTOR EN UN RADICAL: Para extraer un factor radical, cada exponente del radicando se des-compone (si es posible) en la multiplicación de otras dos cantidades, uno de los cuales tiene por exponente al ma-

232

yor múltiplo del índice contenido en el exponente inicial y se divide entre el índice de dicha raíz.Ejemplo:

REDUCCIÓN DE RADICALES SEMEJANTES: Los radi-cales semejantes se reducen como si fueran términos se-mejantes.Ejemplos:

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES: Para efectuar estas operaciones los radicales deben ser ho-mogéneos o en caso contrario reducirlas a homogéneos. Ejemplos:

RAIZ ARITMÉTICA: Sea “a” un número real positivo y “n” un número natural mayor o igual que dos , se llama raíz n–ésima aritmética de “a” al número positivo “b” tal que

;la cual se denota por.

Ejemplo:

RAIZ ALGEBRAICA: Se llama raíz algebraica de

donde y n ; ; a cada una de las “n”

raíces diferentes de

Ejemplo:

SIGNO DE UN RADICAL:

Ejemplos:

1) Cual de las raíces es menor

Resolución: Simplificando para luego homogénizar.

Luego MCM(2,3,2)=6

Ahora:

Finalmente el menor es: (Rpta).

2) Simplificar:

Resolución: Reduciendo cada término.

(Rpta).

3) Efectúe y halle el valor de

Resolución: Transformando y simplificando.

4) Efectuar

Resolución:

5) Efectuar :

Resolución:

6) Simplificar:

233

Resolución:


Nivel A

1) Cual de las raíces es menor

a) b) c) d) todas e) N.A.

2) Efectuar :

a) 31 b) 31/7 c) 31/15 d) 31/16 e) 31/2

3) Efectuar :

a) 5/2 b) 7/2 c) 11/2 d) 1/2 e) 9/2

4) Simplificar:

a) b) c)

d) e)

5) Reducir :

a) b) c)

d) e) 1

6) La cuarta potencia de : E = es:

a) b) c)

d) e) 3

7) De la siguiente expresión:

Se obtiene:a) 20/12 b) 13/12 c) 13/20 d) 12/19 e) 19/12

8) Después de simplificar

a) b) c)

d) e)

9) Después de simplificar la expresión se tiene:

E =

a) b) c) d) e) x

10) Simplificar: E =

a) 1 b) 2 c) d) e) 5

Nivel B11) Simplificar:

a) 2 b) 4 c) 2x+3yd) x+y e)

12) Luego de extraer la raíz cuadrada de:

234

Dar la suma de los residuos:a) 5x + 3 b) –16x – 6 c) 5x + 1 d) 21x + 7 e) x + 12

13) Simplificar:

a) 2x b) x2 c) d) e) x+2

14) Simplificar:

E =

a) 2x+3 b) 8x c) –4x

d) e) x2 1

15) Reducir y dar A B C:

a) 4 b) 3 c) 1 d) 8 e)


Se obtiene:

a) b) c) d) e) 1

17) El valor de la siguiente expresión

E = ; es:

a) b) c) – d) – e) 1

18) Efectuar :

E =

Si: a) 2a b) 4a c) a2 d) 4a2 e) a4

19) De las siguientes afirmaciones :

I) ; para todo “x” R.

II) ; para todo “x” R.

III) ; para todo “x” R.

Podemos decir que:a) Solo I es verdadero.b) Solo II es verdadero.c) Solo III es verdadero.d) I y II son verdaderos.e) Todas son verdaderas.

20) Calcular el valor numérico de : x3 + 3x + 9 ;

Para:

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

Nivel C

21) Calcule el valor de:

a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 12 e) 1/4

22) Simplificar la siguiente expresión:

E =

a) 1 b) 2 c) d) /2 e) 323) Calcular el valor de:

si:

a) a b) a/b c) b/a d) a – b e) ab

24) Simplificar :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)

25) Hallar el valor de :

Si: x = 2a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

26) Hallar la raíz cuadrada de :

M = (a2 + ab + bc + ac)(b2 + ab + bc + ac)(c2 + ab + bc + ac)

a) (a + b)(a + c)(b+c) b) (a + b)(a + c)(b – c) c) (a – b)(a – c)(b – c) d) (a + b)(a – c)(b + c)e) (a – b)(a + c)(b – c)

27) Si : ; ;

El valor de: E =

es.a) 1/6 b) 4/5 c) 1 d) 2/3 e) 0

28) Hallar el resto que resulta de extraer la raíz cuadrada de: x4 – 5 + 6x2 + 4x3 –12x.a) –13x + 12 b) –6x – 16 c) 13x – 12d) –16x – 6 e) 5x

29) Si: con x > 0.

Calcular el valor de m de:

235

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

30) El valor mas simple de :

es :a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO

RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO

REGLA PRÁCTICA: Tener en cuenta que tienen raíz cuadrada los polino-

mios de grado par. El polinomio tiene que ser ordenado y completo en

caso de que este incompleto; completar con ceros. Agrupar el polinomio de dos en dos de derecha a iz-

quierda. Hallar la raíz cuadrada del primer termino luego

multiplicar por si misma con signo cambiado y se suma al polinomio, eliminando la primera columna.

Bajar los siguientes dos términos, se duplica la raíz hallada, dividir el primer termino del grupo con el du-plicado, el cociente es el segundo termino de la raíz escrito al lado del doble del primer termino, este bi-nomio multiplicar por el segundo termino con signo cambiado, luego sumar al bloque bajado eliminando siempre el primer término del grupo bajado.

Subir a la raíz hallada el cociente obtenido anterior-mente.

Se continúa el procedimiento anterior, hasta obtener el resto de grado menor en uno de la raíz o un po-linomio idénticamente nulo.

Ejemplo:

x2 – 5x +2 (x2) (–x2)

(2x2 – 5x)(5x) (2x2 – 10x + 2)(–2)

Raíz : x2 – 5x + 2Resto : 0

PRACTICANDO: Hallar las raíces de :

1) Hallar la raíz cuadrada de: 16x4 – 32ax3 + 24a2x2 – 8a3x + a4 a) 4x2 – 4ax + a2 b) 4x2 +4ax + a2 c) 4x2–4ax – a2 d) 4x2 – 2ax + a2 e) x2 – 4ax + a2

2) Hallar la raíz cuadrada de:4x6 – 12x5 + 25x4 – 44x3 + 5x2 – 3 e indicar el término independiente de esta.a) 1 b) –5 c) 5 d) 2 e) –2

3) Hallar la raíz cuadrada de:

9x6 + 30x5 + 25x4 – 12x3 + 3x + 5 e indicar la suma de coeficientes del resto.a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

4) Calcular el valor de m y n, para que la raíz cuadrada de: 16x4 – 32x3 + 24x2 + mx + n sea exacta. a) –8 ; 1 b) 8 ; 1 c) –6 ; 5 d) 6 ; 5 e) 0 ; 0

TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A SIMPLES.

Todo radical doble se puede descomponer en la suma o diferencia de dos radicales simples.

CASOS:

PRIMER CASO:

Donde:

Forma practica:

Donde m >n : B= m n A = m + n

Aplicación:

Transformar:

Resolución: Dando la forma:

236

-X4

0 -10x3+ 29x2 10x3 – 25x2

4x2 –20x + 4

–4x2 +20x – 4 0 0 0

Operando:

Calculo de c:

Reemplazando en propiedad:

Finalmente:

Aplicación:

Transformar por forma practica:

Ojo:

Siempre un dos delante del segundo radical

=

Recuerda: El mayor por delante

SEGUNDO CASO:

Donde: X + Y + Z = A

TERCER CASO:

Donde: X + Y + Z = A

Forma práctica: Transformar a radical simple:

Transformando el radical; recordando un dos por delante de cada radical.

Además: 24 =5 + 12 + 7

Aplicación:

Transformar:

El radical doble es equivalente a:

Observa: El orden 5.2 : 2.7 :7.5

CUARTO CASO:

Donde:


Nivel A1) Simplificar:

a)3 b)1 c)4 d)2 e)6

2) Transformar: E=

Es equivalente a:

a) b) c)

d) 2 e) N.A.

3) Calcular:

a)1 b)2 c)3 d)5 e)4

237

9+2

9x2

4) Reducir:

Rpta:

5) Transformar a radicales simples: ;

dar como respuesta la suma de los radicandos.a) x b) 2x c) 3x d) 9x e) Na.

6) Calcular: E=

a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) 1

7) Si: x > 1; transformar:

Y luego indicar el producto de los radicales simples obtenidos:

Rpta:

8) Transformar: E=

Rpta:

9) Transformar: E=

Rpta:

10) Transformar: E =

Rpta:

Nivel B

11) Calcular: x=

a) 4 b) –2 c) 3 d) 0 e) –1

12) Hallar la raíz cúbica de:

Rpta:

13) El binomio: equivale a:

a) b)

c) d)

e) N.A.

14) Determinar el valor de : a2 + x2

Si se sabe que:

a) 25 b) 61 c) 90 d) 85 e) 74

15) Si se sabe que se cumple la condición:

Calcular el valor de (M2 + N2).a) 10 b) 12 c) 17 d) 26 e) 37

16) Simplificar :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

17) Extraer la raíz cuadrada de :

Dar por respuesta la suma de los radicandos de los radicales simples.a) a + 3b + 4 b) a – 3b – 4 c) a – 3b + 4d) a + 3b + 2 e) a + 3b – 4

18) Hallar la raíz cuadrada de :

E indicar uno de los radicandos.a) x + 1 b) x + 3 c) xd) x + 4 e) x – 2

19) Transformar en radicales simples:

a) (1 + ) b) 2 + c) 4 +

d) 3 + e) (1 + )

20) Si el radical doble:

Se descomponen en radicales simples. Hallar el valor de c/(ab)a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3.5

Nivel C

21) Efectúe:

a) 1 b) 2 c) d) e)

22) Reduzca:

a) 8 b) 10 c) 20 d) 30 e) 18

23) Reduzca:

a) 80 b) 96 c) 100 d) 125 e) 4

24) Reduzca:

a) 80 b) 96 c) 100 d) 125 e) 4

25) Reduzca :

a) 8 b) 10 c) 20 d) 3 e) 18

26) Luego de transformar a radicales simples indique uno de los radicandos:

238

; donde x

> 1a) x + 1 b) x + 2 c) x2 – 1 d) x e) 2x – 1

27) Sabiendo que el radical doble:

Puede descomponerse en radicales sencillos; calcu-

lar el valor de:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 528) Calcular A y B de la igualdad

; (A, B) Q x Q ; e indi-

que el valor de

a) 3 b) c) 2 d) e)

29) Efectué :

a) 1 b) 2 c) d) e)

30) Transformar a radicales simples :

E indicar la suma de los términos independientes de los dos radicandos:

a) 1 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

5) Después de extraer la raíz cuadrada al polinomio :

¿Qué enunciado es correcto?a) El polinomio es un cuadrado perfecto.b) La suma de coeficientes de la raíz cuadrada es 13c) El coeficiente del término cuadrático de la raíz

cuadrada es 3d) El coeficiente del término lineal de la raíz cuadra-

da es (–3)e) En la raíz cuadrada existen dos términos que tie-

nen sus coeficientes iguales.

6) Si el polinomio ad-

mite raíz cuadrada exacta. Halle: ab (a, b R)a) 9 b) 64 c) –6 d) –48 e) 0

Racionalización

RACIONALIZACION

DEFINICIÓN:

Es el proceso que consiste en trasformar un denomina-dor (o numerador) irracional en otro racional a través de un factor denominado factor racionalizante.

FACTOR RACIONALIZANTE (Fr):

El factor racionalizante, es una expresión irracional tal que al multiplicar a otra también irracional la convierte en una expresión completamente racional.

CASOS DE RACIONALIZACIÓN:

I) CUANDO EL DENOMINADOR ES UNA MONOMIO:

239

En estos casos el factor racionalizante estará expre-sada por otro radical que tenga el mismo índice, pero cuyos exponentes del radicando estarán expresados por la diferencia existente entre el índice original de la raíz y los exponentes que afectan a sus letras.

Así: ;

Por Fr tenemos:

II) CUANDO EL DENOMINADOR PRESENTA RADI-

CALES DE LA FORMA :

Para este caso el factor racionalizante estará expre-sada por la conjugada del denominador que se em-pleará tantas veces hasta que el denominador quede transformada en una expresión algebraica racional.

Así:

Por Fr:

En forma general:

Y así sucesivamente.

III) CUANDO EL DENOMINADOR ES DE LA FORMA

:

Así:

Por Fr:

Entonces:

IV) CUANDO EL DENOMINADOR PRESENTE RADI-CALES DE ÍNDICE SUPERIOR.

Para estos casos debe tomarse en cuenta las siguien-tes equivalencias algebraicas.


Nivel A

1) Al racionalizar el denominador de :

se obtiene:

a) b) c)

d) e)

2) El denominador racional de :

240

a) x–1 b) 2x c) x d) –1 e) 2

3) Al racionalizar el denominador de la expresión :

El numerador resultante tiene la forma ; el valor de a + b es:

a) 48 b) 18 c) 46 d) 32 e) 20

4) Al denominador racionalizado y simplificado de :

, es:

a) 1 b) 4 c) 2 d) 2x e) x

5) Al racionalizar la expresión:

a) b) c)

d) e)

6) El denominador de la fracción:

Una vez racionalizado es:a) 12 b) 17 c) 15 d) 15 e) 9

7) El denominador racionalizado y simplificado tiene co-mo coeficiente:

es:

a) 1 b) 2 c) 15 d) 10 e) 5 8) Racionalizar e indicar el denominador de la expre-

sión:

a) x –1 b) x c) x + 1 d) 1 e)2

9) El denominador racionalizado de :

es:

a) 7 b) 5 c) 2 d) 6 e) 4

10) Al simplificar la expresión :

Se obtiene:a) 8 b) –16 c) –4 d) –8 e) 16

Nivel B

11) Racionalizar e indicar el denominador:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12) El valor de: es:

a) b)

c) d)

e)

13) Racionalizar :

a) b) c)

d) e)

14) Al racionalizar :

Calcular el valor que se obtiene cuando: x = 0.a) 1/2 b) 3/4 c) 2 d) 4/3 e) 1

15) Racionalizar la expresión :

e indicar el nuevo denominador entero.a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8


Se obtiene.

a) b) c)

d) e)

17) Racionalizar e indicar el denominador:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


; se obtiene.

a) b)

c)

d) e)

19) Sea:

Donde “a” es un número real positivo.Si x = 0 entonces M es un número real igual a.a) 1 b) a + 1 c) d) +1 e) –1

241

20) Al racionalizar la expresión y simplificar:

se obtiene :

a) b) c)

d) e) N.A.

Nivel C

21) Luego de racionalizar: indi-

car el denominador.a) x + 1 b) x + 2 c) 3x d) x – 1 e) x – 2

22) Al racionalizar :

a) b) c)

d) e)

23) Racionalizar: y luego indicar el

denominador.a) 110 b) 100 c) 200 d) 220 e) 300

24) Reducir:

Dando a continuación el denominador racionalizado.a) 10 b) 15 c) 18 d) 20 e) 24

25) Proporcionar el valor de si el radical doble:

puede descomponerse en

dos radicales simples.a) 1 b)3 c) 1/3 d) 2 e) 1/2

26) Al racionalizar y simplificar la fracción:

el denominador de la fracción resultante es :a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

27) A partir de la siguiente equivalencia :

;

determinar el valor de “ ”a) 10 b) 30 c) 20 d) 40 e) 50

28) Al efectuar :

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

29) Efectuar :

a) 1 b) 3 c) 11 d) 111 e) 121

30) Luego de racionalizar : indicar el

denominador :a) 243 b) 244 c) 245 d) 246 e) 247

242

FACTORIZACION

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