Factorizacion
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Factorización de polinomios
¿Por qué necesitamos saber factorizar?
¿Cuáles de los siguientes polinomios están factorizados?
• (x2-1)(x+2)• (x-2)(2x+3) + 1• 3x+5• 12(x2+9)(x-4)• (x3-5)
Polinomio primo o irreductible
• Es el que no se puede escribir como producto de dos o más polinomios de grado mayor o igual a uno.
• De primer grado: 2x+3 ; x-2 ; 3x+8 ; 4x+12
• De segundo grado: x2+1 ; x2+x+1 ; x2-2x+5
Conclusión
• En general, son polinomios primos:– Cualquier polinomio de primer grado, es decir de la
forma ax + b.– Cualquier polinomio de segundo grado, de la forma
ax2 + bx + c, de discriminante (∆ = b2 – 4ac) negativo. Es decir, si ax2 + bx + c = 0 no tiene solución real.
Factorización de polinomios
• Factorizar un polinomio es el proceso mediante el cual el polinomio se transforma en un producto de polinomios primos, (factores primos).
x2 + x - 6 = (x + 3) (x - 2)
FACTORIZACIÓN
MULTIPLICACIÓN
Métodos de factorización
Factor común
3a2b2 – 6a2b = 3a2b(b – 2)
(3x-y)(x–y-1)+(x+y)(x–y-1)–(2z-3y)(x–y-1) =
(3x-y)(x–y-1)+(x+y)(x–y-1)–(2z-3y)(x–y-1) =
(x–y-1) (4x+3y-2z)
1.
2.
2x(x – 1) + y(1 - x) + 2(x - 1) =
2x(x – 1) + y(1 - x) + 2(x - 1) =
2x(x – 1) - y(x - 1) + 2(x - 1) =
(x – 1)(2x - y + 2)
Factor común polinomio
1.
Factor común por agrupación de términos
x3 + x2 + x + 1 =
Forma 3
Forma 2
Forma 1 x3 + x2 + x + 1 =
x3 + x2 + x + 1 =
x3 + x2 + x + 1 =
Aspa simple: P(x) = ax2m+bxmyn+cy2n
2x2 + 13xy – 15y2
2x
x
+15y
-1y
= (2x + 15y)(x - y)
-2xy
15xy
Reconstruir el proceso:
4
3
2
1 (x2 – 1)(x+2)
(x2 – 1)(x+2)(x – 1)(x+1)(x+2)
(x – 1)(x+1)(x+2)
x(x2 – 1) + 2(x2-1) x(x2 – 1) + 2(x2-1)
x3 – x +2x2 - 2
x3 – x +2x2 - 2
1
2
4
3
Forma Factorización Productos notables
• x2 - y2 =
• x2 + 2xy + y2 =
• x3 + y3 =
• x3 – y3 =
• x3 + 3x2y+3xy2 + y3=
(x + y)(x - y)(x + y)2
(x + y)(x2 -xy+y2)
(x - y)(x2 + xy + y2) (x + y)3
Completando cuadrados
Recordemos el desarrollo del producto notable se denomina trinomio cuadrado perfecto:
222 ))()(2()( bbaaba +±=±
24122 ++ xx
2466)6)()(2( 222 +−++ xx
•Cualquier trinomio de la forma
•Se puede escribir como un trinomio cuadrado perfecto, sumanando y restando un mismo número
12)6( 2 −+x•Remplazando el trinomio por el binomio al cuadrado, queda:•Finalmente se factoriza como una diferencia de cuadrados
)326)(326( −+++ xx
Ejemplo 1:
Ejemplo 2. P(x) = x2 + 5x + 1
−−
+−=
2215-x
2215-x
12
252
25
x25
(2)x 2 +
−
+
+=
12
5
2
522
+
−
+= x
421
25
2
−
+= x
22
221
25
−
+= x
1. Este coeficiente se descompone en el doble producto de x por 5/2
1. Se sume y se reste el cuadrado de este número
1. Factorice el trinomio cuadrado perfecto
1. Factorice esta diferencia de cuadrados
Ejemplo 3 P(x) = 2x2 - 43x + 221
= (x – 13)(2x -17)
)2
221243
(2 2 +−= xx
Primero factorice 2 y luego dentro de los paréntesis, siga como en los casos anteriores.
Sume y reste el cuadrado de (43/4), factorice el trinomio cuadrado perfecto, simplifique y factorice una diferencia de cuadrados si es posible.
Nota:
Si despues de factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar no qued una diferencia sono una suma, esto quiere decir que no es posible factorizar el trinomio.
Aplicaciones de factorización de polinomios: Resolución de ecuaciones polinómicas
Determinar los valores de x y escribir el conjunto solución.
Igualar cada uno de los factores a cero
Factorizar el polinomio
Ecuación
EjemploProcedimiento
x3 + 2x2 – x – 2 = 0
(x–1)(x+1)(x+2)=0
x–1=0 ó x+1=0ó x+2=0
x =1 ó x =-1 ó x =-2C.S. = {1; -1; -2}
Reconstruir el proceso:
Haciendo a = 5x + 4y 7
(5x+4y)3 + (10x +8y)2 + 15x + 12y 6
a (a2 +4a +3) 5
(5x+4y).(5x+4y+3).(5x+4y+1) 4
a (a+3) (a+1) 3
a3 + 4a2 + 3a 2
(5x+4y)3 + [ 2(5x+4y)]2 + 3(5x+4y) 1
6
1
7
2
5
3
4
Se muestran siete pasos en un proceso para factorizar una expresión. Identifique el orden secuencial del proceso de factorización
Métodos de factorización
• Factor común (por agrupación de términos)• Factorizar trinomios:
– Aspa simple.– PN: (x+y)2 ; (x-y)2
– Completando cuadrados• Factorizar binomios:
– PN: x2 - y2 ; x3 – y3 ; x3 + y3