Exponentes fraccionarios

Instrucciones:

Leer con atención cada uno de los enunciados y seleccionar la opción correcta,

inmediatamente el sistema proporcionará una realimentación que hay que atender.

Exponentes fraccionarios

1.- Después de efectuar las operaciones se

obtiene

  

Correcto

Revisar suma de fracciones y obtención del común denominador.

Revisar suma de fracciones y obtención del común denominador.

Revisar suma de fracciones y obtención del común denominador.

2.- Después de efectuar las operaciones y simplificar

se obtiene

  

Revisar regla de los signos en la multiplicación y operaciones

algebraicas.

Revisar regla de los signos en la multiplicación y operaciones

algebraicas.

Revisar regla de los signos en la multiplicación y operaciones

algebraicas.

Correcto

3.- Después de simplificar se obtiene

  

Revisar leyes de los exponentes y los radicales. Revisar exponentes

fraccionarios.

Revisar leyes de los exponentes y los radicales. Revisar exponentes

fraccionarios.

Correcto

Revisar leyes de los exponentes y los radicales. Revisar exponentes

fraccionarios.

4.- Después de multiplicar y simplificar se obtiene

  

Correcto

Revisar leyes de los exponentes y los radicales. Revisar exponentes

fraccionarios.

Revisar leyes de los exponentes y los radicales. Revisar exponentes

fraccionarios.

Revisar leyes de los exponentes y los radicales. Revisar exponentes

fraccionarios.

5.- Después de simplificar la expresión se obtiene

  

Correcto

Revisar suma de fracciones y determinación del común denominador.

Revisar suma de fracciones y determinación del común denominador.

Revisar suma de fracciones y determinación del común denominador.

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Facultad de Ingeniería-UNAM

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Exponentes fraccionarios

Publicado por wgs84 en Lunes, 24 septiembre, 2007

Un radical se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario en la que el númerador es el exponente del radicando y el denominador el índice:

Vamos a demostarlo:

Si . Por definición de radical tenemos que .

Tomamoso raíces de orden n a cada lado de la igualdad:

Simplificamos ambos radicales dividiendo índice y exponente por n:

Ejemplos:

Escribe como exponente fraccionario:

1.

2.

3.

Escribe en forma de radical

1.

2.

3.

Exponentes fraccionarios

También se llaman "radicales"

Exponentes

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Exponentes fraccionarios: ½

En el ejemplo de arriba, el exponente es "2", ¿pero y si fuera "½"? ¿Cómo funcionaría?

Pregunta: ¿Qué es x½ ?Respuesta: x½ = la raíz cuadrada de x (o sea x½ = √x)

¿Por qué?

Porque si calculas el cuadrado de x½ tienes: (x½)2 = x1 = x

Para entenderlo, sigue esta explicación de dos pasos:

1 Primero, hay una regla general: (xm)n = xm×n

(Porque primero multiplicas x "m" veces, después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces)

Ejemplo: (x2)3 = (xx)3 = (xx)(xx)(xx) = xxxxxx = x6

Así que (x2)3 = x2×3 = x6

2 Ahora, vemos qué pasa cuando hacemos el cuadrado de x½:

(x½)2 = x½×2 = x1 = x

Cuando hacemos el cuadrado de x½ sale x, así x½ tiene que ser la raíz cuadrada de x

Probamos con otra fracción

Vamos a probar otra vez, pero con un exponente de un cuarto (1/4):

¿Qué es x¼?

(x¼)4 = x¼×4 = x1 = x

Entonces, ¿qué valor se puede multiplicar 4 veces para tener x? Respuesta: La raíz cuarta de x.

Así que x¼ = la raíz cuarta de x

Regla general

De hecho podemos hacer una regla general:

Un exponente fraccionario como 1/n significa hacer la raíz n-ésima:

Ejemplo: ¿Cuánto es 271/3 ?

Respuesta: 271/3 = 27 = 3

¿Qué pasa con fracciones más complicadas?

Las fracciones más complicadas se pueden separar en dos partes:

una parte con un número entero, y una parte con una fracción del tipo 1/n

Para entender eso, sólo recuerda que m/n = m × (1/n):

Así que tenemos esto:

Un exponente fraccionario como m/n significa haz la potencia m-ésima, después haz la raíz n-ésima

Ejemplo: ¿Cuánto es 43/2 ?

Respuesta: 43/2 = 43×(1/2) = √(43) = √(4×4×4) = √(64) = 8

Ahora... ¡Juega con el gráfico!

Mira cómo la curva cambia suavemente cuando juegas con las fracciones en esta animación, esto te indica que la idea de exponentes fraccionarios funciona bien. Cosas que probar:

Empieza con m=1 y n=1, después aumenta la n poco a poco para que veas 1/2, 1/3 y 1/4 Después prueba m=2 y mueve la n para ver fracciones como 2/3 etc. Ahora haz que el exponente sea -1 Finalmente prueba a hacer m más grande, después n más pequeño, después m más

pequeño, después n más grande: la curva debería dar vueltas

Leyes de los exponentes

Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Todo lo que necesitas saber...

Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:

El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces

Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir

Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima:

Si entiendes esto, ¡entonces entiendes todos los exponentes!

Y todas las reglas que siguen se basan en esas ideas.

Leyes de los exponentes

Aquí están las leyes (las explicaciones están después):

Ley Ejemplo

x1 = x 61 = 6

x0 = 1 70 = 1

x-1 = 1/x 4-1 = 1/4

xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5

xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2

(xm)n = xmn (x2)3 = x2×3 = x6

(xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3

(x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2

x-n = 1/xn x-3 = 1/x3

Explicaciones de las leyes

Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5

... etc...

52 1 × 5 × 5 25

51 1 × 5 5

50 1 1

5-1 1 ÷ 5 0.2

5-2 1 ÷ 5 ÷ 5 0.04

... etc...

verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).

La ley que dice que xmxn = xm+n

En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5

Así que x2x3 = x(2+3) = x5

La ley que dice que xm/xn = xm-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x0=1 :

Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1

La ley que dice que (xm)n = xmn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12

Así que (x3)4 = x3×4 = x12

La ley que dice que (xy)n = xnyn

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:

Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3

La ley que dice que (x/y)n = xn/yn

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3

La ley que dice que

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo:

Y eso es todo

Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página.

Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?Exponente positivo (n>0) 0n = 0

Exponente negativo (n<0) ¡No definido! (Porque dividimos entre 0)

Exponente = 0 Ummm ... ¡lee más abajo!

El extraño caso de 00

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":

x0 = 1, así que ... 00 = 1

0n = 0, así que ... 00 = 0

Cuando dudes... 00 = "indeterminado"