Examen 1ra Fase (Sol)
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Universidad Católica de Santa María Facultad de Ciencias e Ingenierías Físicas y Formales EXAMEN PRIMERA FASE Apellidos y Nombres: Programa Profesional: Sección: Fecha: 26/01/15 Aula: Tiempo: 120 minutos Tema: A 1. Probar que la función () xt definida por: ( ) 1 2 0 2 2 () dx xt x t = + ∫ , satisface la ecuación diferencial ( ) 2 2 1 3() 0 1 tx xt t ′+ + = + . (4 puntos) SOLUCIÓN: ( ) 1 2 0 2 2 () dx xt x t = + ∫ , integramos haciendo: () x tTg θ = 2 sec ( ) dx t d θ θ = 2 2 2 2 sec ( ) x t t θ + = [ ] [ ] 2 2 1 1 2 4 4 0 0 2 2 2 1 1 3 3 0 0 1 1 3 3 0 0 sec ( ) sec ( ) () sec ( ) sec ( ) 1 cos(2 ) cos ( ) 1 2 1 (2 ) 1 = ( )cos( ) 2 2 2 t d t d xt t t d d t t sen sen t t θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = = + = = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ Se sabe: () x tg t θ = De donde: 1 3 2 2 0 3 2 3 2 1 () ( /) 2 1 () (1/ ) 2 1 2 () (1/ ) 1 xt xt Arctg x t t x t t xt Arctg t t t t txt Arctg t t = + + = + + = + + NOTA: θ
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Universidad Catlica de Santa Mara Facultad de Ciencias e Ingenieras Fsicas y Formales
EXAMEN PRIMERA FASE
Apellidos y Nombres: Programa Profesional: Seccin: Fecha: 26/01/15 Aula: Tiempo: 120 minutos Tema: A
1. Probar que la funcin ( )x t definida por: ( )1
20 2 2( ) dxx t
x t=
+ , satisface la ecuacin diferencial
( )2213 ( ) 0
1tx x t
t + + =
+ . (4 puntos)
SOLUCIN:
( )1
20 2 2( ) dxx t
x t=
+ , integramos haciendo: ( )x tTg =
2sec ( )dx t d = 2 2 2 2sec ( )x t t + =
[ ]
[ ]
2 21 1
2 4 40 02 2
21 1
3 30 0
1 1
3 300
sec ( ) sec ( )( )sec ( )sec ( )
1 cos(2 )cos ( ) 1
21 (2 ) 1
= ( ) cos( )2 2 2
t d t dx t
tt
ddt t
sensen
t t
= =
+= =
+ = +
Se sabe:
( ) xtgt
=
De donde:
1
3 2 20
3 2
32
1( ) ( / )21( ) (1/ )
2 1
2 ( ) (1/ )1
xtx t Arctg x t
t x t
tx t Arctg t
t t
tt x t Arctg t
t
= + +
= + +
= ++
NOTA:
-
Derivando respecto a t :
( )
( )( )
( )
2 2 22 3
2 2 2
22 3
2 2 2
2 22 3
22
22 3
22
22
22
1 26 ( ) 2 ( )1 (1 )
1 16 ( ) 2 ( )1 (1 )1 16 ( ) 2 ( )
1
26 ( ) 2 ( )1
13 ( ) ( )1
13 ( ) ( ) 01
t t tt x t t x t
t t
tt x t t x t
t t
t tt x t t x t
t
tt x t t x t
t
x t tx tt
x t tx tt
+ + = +
+ +
+ = ++ +
+ =+
+ =+
+ =+
+ + =+
-
2. Encontrar la solucin de la ecuacin diferencial dada. 2( ) x yyy sen x e + = . (4 puntos)
SOLUCIN: Separamos variables:
2 2( ) ( )x y y xdyy sen x e e ye dy e sen x dxdx
= =
Integrando: 2 ( )y xye dy e sen x dx =
Integracin por partes en la primera integral:
2
2 2 ;
2
yy y eu y du dy dv e dy v e dy
= = = = = Integracin circular en la segunda integral:
[ ]
( ) ; ( ) cos( )
cos( ) cos( ) ; cos( ) ( )
( ) cos( ) ( )
2 ( ) cos( ) (2
x
x x
x x
x x
x x x
xx
I e sen x dx
u e du e dx v sen x dx x
I e x e x dx
u e du e dx v x dx sen x
I e sen x e x e sen x dx
eI e sen x x I sen x
=
= = = =
= +
= = = =
=
= =
[ ]) cos( )x
Luego:
[ ][ ]
[ ]
2
2 2
2 2
2
( )
( ) cos( )2 2 2
( ) cos( )2 4 2
2 1 2 cos( ) ( )
y x
y y x
y y x
x y
ye dy e sen x dx
ye e edy sen x x k
ye e esen x x k
y e x sen x k
+
=
+ = +
= +
+ = +
-
3. Una poblacin ( )P t de un suburbio de una gran ciudad en un instante cualquiera se rige por:
( )1 710 10(0) 500
dP P PdtP
=
=
En donde " "t se mide en meses. Cul es el valor lmite de la poblacin? En qu momento ser la poblacin igual a la mitad de su valor lmite? (4 puntos)
-
4. Un reactor transforma plutonio 239 en uranio 238 que es relativamente estable para uso industrial. Despus de 15 aos se determina que el 0.0043 por ciento de la cantidad inicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determina la semivida de este istopo si la rapidez de desintegracin es proporcional a la cantidad restante. (4 puntos)
-
5. Dadas dos funciones ,f g derivables, sabemos que la identidad ( ). .f g f g = es falsa en general. Si fijamos
3 2( ) x xf x e += , determina las funciones " "g que verifican dicha identidad. (4 puntos)
