EVALUACIÓN SENSORIAL UTILIZANDO DISEÑO DE BLOQUES COMPLETO – INCOMPLETO COMPUESTOS

INTRODUCCIÓN :

En experimentos sensoriales donde el objetivo es la comparación de preferencias de diferentes muestras o tratamientos expresados por un panel o jurados, el diseño estadístico frecuentemente ha estado seleccionado de las clases de diseños de bloques causales. (Amerine et al, 1965). Cuando cada panelista o jurado puede efectivamente estimar cada muestra o tratamiento, los bloques son completos, esto es, cada panelista o bloque evalúan cada tratamiento. Si por otro lado el número de tratamientos es mucho más amplio que puede ser efectivamente estimado por un panelista, entonces es usado un diseño de bloque incompleto. Con ambos diseños, una medida de las diferencias en preferencias por las muestras así como algunas medidas de diferencia entre los panelistas pueden ser obtenidos. Cuando el número “t” de tratamiento es pequeño, o sea t 5, podría ser factible de incrementar el tamaño del bloque tanto que además de contener las primeras reproducciones de cada uno de los tratamientos, cada bloque contiene segundas reproducciones de k de los tratamientos (1 k t). La construcción de estos bloques podrían ser visualizados como bloques completos en combinación del tamaño “t” con los bloques incompletos balanceados de tamaño k para formar bloques completo – incompleto compuestos de tamaño t + k. Un ejemplo con t = 3 y k = 2 es el diseño de tres bloques presentados en la figura 1, donde A, B y C denotan los 3 tratamientos.

Bloque Completo

Bloque incompleto

Fig.1.- Un diseño de bloque compuesto consiste de tres tratamientos de cinco unidades cada uno.

En la construcción de los diseños de bloques completo – incompleto compuesto, solamente requerimos la parte del bloque incompleto de los bloques compuestos a ser balanceados. Es decir, no hay “b” bloques incompletos de tamaño k en el cual asignan “t” tratamientos. (t k) al azar, luego cada tratamiento aparecerá en (bk)/t de los bloques incompletos (así como en todos los bloques completos “b”) y cada par de tratamientos ocurrirán juntos en bloques incompletos bk(k-1) / t (t-1). Así, los números (bk) / t y bk(k-1) / t (t-1); ambos deben ser completos o íntegros en cada tratamiento para aparecer “r” veces, donde: r = b(k+t) / t, en los bloques b de tamaño k + 1. por ejemplo en la figura 1, cada tratamiento aparece en bloques incompletos 3(2) / 3 = 2 y cada par de tratamiento es reproducido junto con el bloque incompleto 3(2)(2-1) / 3 (2) = 1.

La ventaja principal en el uso de los bloques incompletos de t + k unidades es que una estimación del error experimental puro o simple de la reproducción de bk puede ser obtenido separadamente de un estimado de la interacción bloque – tratamiento. El traslado o cambio de la variación de interacción (Sin embargo pequeño) de la variación residual en el análisis de varianza resuelta en un procedimiento de prueba

ABCBC

ABC

ABC

AB

AC

más eficiente cuando comparamos los efectos del tratamiento. Estos separan las fuentes de variación (interacción y error) que no pueden ser estimados por separado cuando son usados solamente los bloques completos de tamaño t o los bloques incompletos de tamaño k.

En todas partes haremos referencia a los efectos arreglados y casuales tal como los efectos de tratamiento arreglado y los efectos de los bloques arreglados o casuales. La distinción entre los efectos arreglados y causales es decir, es decir con el primero, una repetición del experimento traería los mismo efectos al nuevo experimento y nuestra atención está enfocado sobre estos efectos y nada más. Por otro lado con los efectos casuales, una repetición introduciría en un nuevo grupo de efectos pero de la misma población, y así pues estamos interesados en la variabilidad entre todos los efectos antes que los efectos particulares usados en el experimento. Con los efectos de tratamiento arreglados, sacamos inferencias del grupo seleccionado específicamente de los efectos; con los efectos casuales, nuestra inferencia es sobre la variabilidad de la población.

Un experimento diseñado para comparar dos tratamientos usando bloques de medida 3 fue introducido por John (1962). Al siguiente años, John) extendió el análisis de inducir bloques de medida t + k unidades, donde 1 k t. Usando fórmulas similares a las fórmulas en el análisis de los diseños de bloque incompleto balanceado, John presentó el análisis dentro de los bloques (Bloques casuales), los análisis dentro de los bloques (bloques arreglados), los análisis dentro de los bloques (bloques casuales), así como el restablecimiento o recuperación de información de interbloques por combinación dentro e interbloque estimados de los efectos del tratamiento. El caso especial donde k = 1 fue presentado en detalle.

Aunque brevemente mencionaremos sobre como obtener un estimado de la interacción bloque – tratamiento fue realizado por John (1963), en el análisis dentro de bloque (interbloque), él asumió que no existe interacciones en el análisis interbloque. Con frecuencia en un modelo de análisis combinado donde los efectos de tratamiento son arreglados pero los bloques son asumidos para ser representativos de una población mucho más amplia de bloques, los efectos arreglados y casuales no son aditivos pero más bien está presente una interacción. Un estimado de la variación de interacción, aún si los pequeños en magnitud, es necesitado en la fórmula de estimación para los componentes de los bloques casuales de varianza.

De interés particular para nosotros es la aplicación de los diseños de bloques completo – incompleto compuestos producido en los experimentos sensoriales donde un número pequeño de diferentes muestras o tratamientos son comparados subjetivamente por varios panelistas (bloques). Para conseguir panelistas para este tipo de pruebas con frecuencia es difícil y/o costoso. Por lo tanto una vez que los panelistas son seleccionados, si pueden efectivamente evaluar t + k muestras en un lugar (sitio) antes que solo t muestras en un lugar (sitio) antes que solo t muestras, un ahorro en costo puede ser hecho (el tiempo de los panelistas, recompensa monetaria, etc).

Ahora revisamos la notación a ser usados a lo largo de este documento y discutiremos brevemente los análisis intrabloques, donde tanto los tratamientos y los bloques (panelistas) son considerados efectos arreglados. En una sección más

adelante ilustraremos los análisis intrabloques con un ejemplo y discutiremos la eficiencia de los diseños de bloques completo – incompleto compuestos comparados a los diseños de bloques completo ortogonales. También presentaremos el análisis del modelo combinado donde los panelistas son asumidos a representar una muestra casual de una población amplia de panelistas (bloques casuales).

ANÁLISIS DENTRO DE BLOQUES (INTRABLOQUES)

En los análisis de intrabloques, solo nos interesará los tratamientos bajo investigación así como retirar a os panelistas de las comparaciones de tratamiento y así los tratamientos y panelistas son considerados como efectos arreglados. El modelo estadístico es representado por:

Yijl = u + Ti + Pj + Iij + eijl (2.1)

i = 1,2, ... tj = 1,2, ... bl = 1 ó 2

Donde: Yijl es la respuesta “l” a los tratamientos “i” por los panelistas “j”. Los otros términos en el modelo (2.1) son u, el término total; Ti, el efecto de los tratamientos “i”; Pj, el efecto debido a los panelistas “j”; Iij, el parámetro de interacción asociado con la respuesta a los tratamientos “i” por los panelistas “j” y eijl, el error casual asociado con Yijl. Es asumido que los errores eijl son probadas casualmente de una

población normal con término cero y varianza .

Permítanos denotar el tratamiento ajustado total para los tratamientos “i” como Qi.

Qi = Ti - (2.2)

Donde: Ti, es el total de respuestas a los tratamientos “i”; nij, es el número de veces de los tratamientos “i” estimado por los panelistas “j” y Pj, es el total de las respuestas, sobre todo de los tratamientos, por los panelistas “j”. Como un chequeo,

. Utilizando la restricción que los estimados de los efectos de

tratamiento suman a cero, tenemos para el estimado del efecto de los tratamientos suman a cero, tenemos para el estimado del efecto de los tratamientos “j”.

Qi (2.3)

Donde: “” denota lo estimado. Mas adelante, bajo la noción o idea de los errores eijl

no son correlacionados con las varianzas homogéneas , para la varianza de

y la covarianza de ( ), i i, tenemos:

Var( ) = (2.4)

Cov( ) = - Var ( ) , i i' (2.5)

Un estimado de la diferencia entre los 2 efectos de tratamientos, es decir el tratamiento i e i', es calculado usando:

- = Qi - Qi' (2.6)

Y la varianza de la diferencia (2.6) es,

Var( - ) = (2.7)

Donde: es estimado (si es desconocido) usando el término de error cuadrado en

el análisis de varianza (Tabla 1a). También, el estimado del término ajustado del tratamiento “i” es,

m + , m = ´ (2.8)

Donde m, es el término total del experimento. El error Estándar (raíz cuadrada de la varianza) del término ajustado (2.8) es:

(2.9)

Observa que cuando comparamos dos tratamientos, uno puede usar los efectos de

tratamiento (2.6) o los términos de tratamiento (m+ ) – (m+ '). Estas

comparaciones son idénticas como pueden ser vistos de sus varianzas idénticas, la expresión (2.7) y la cantidad en (4.2).

En los análisis intrabloques, el interés de experimentar está principalmente en determinar si los efectos de tratamiento son diferentes. Usualmente la estimación de los efectos de los panelistas no es de interés excepto cuando estos estimados son

usados en prejuicios alejados o apartados entre los panelistas previo a comparar los tratamientos. Sin embargo, los tratamientos de la suma de cuadrados entre panelistas, ajustados para tratamientos, permite un chequeo a ser hecho en el cálculo de la suma de cuadrados entre tratamientos, ajustados para panelistas, el cual es de interés. El chequeo es hecho considerando la identidad.

S.S. panelista (Ajustado) + t

= S.S. tratamiento (Ajustado) + (2.10)

S.S. = Suma de cuadrados

Donde las fórmulas para S.S. panelistas (ajustados) y S.S. tratamiento (ajustados) son proporcionados en (2.14) y (2.13) respectivamente. También, una razón o proporción “F” significante involucra las cantidades.

(2.11)

S.S. = Suma de cuadrados

Indica que los panelistas son diferentes en sus evaluaciones y de aquí en adelante el alejamiento de estas diferencias entre los panelistas de la medición del error experimental ha resuelto en un análisis más eficiente.

Para obtener un estimado de la variación del error experimental a ser usados en pruebas de efecto de tratamiento, así como las pruebas en (2.11), permite que d ij

denota la escala de las observaciones de los “i” tratamientos a los “j” panelistas así que si nij = 1, entonces dij = 0. La suma de cuadrados del dij da una estimación

imparcial de 2 bk . La parte que permanece de la suma residual de cuadrados

asociados con los panelistas por la intervención del tratamiento 1ij en el modelo (2.1). La interacción de la suma de cuadrados puede ser calculado por la sustracción de la suma de error de cuadrados de la suma residual de cuadrados o por alguna de las tantas fórmulas, del cual es,

S.S. interacción =

- S.S. tratamiento (ajustados) (2.12)

S.S. = Suma de cuadrados

Donde Yij, es el total de las observaciones de los tratamientos “i” a los panelistas “j” y S.S. tratamiento (ajustados), es calculado por,

S.S. tratamiento (ajustados) = (2.13)

S.S. = Suma de cuadrados

Para calcular la suma de cuadrados entre los panelistas ajustados por tratamiento, invertiremos la ecuación (2.12) para obtener,

S.S. panelistas (ajustados) =

t - S.S. interacción (2.14)

S.S. = suma de cuadrados

Los análisis intrabloques de varianza es presentado en la tabla 1a donde tanto los tratamientos y panelistas son ajustados.

Tabla 1a. Análisis intrabloques de varianza

FuenteGrados de

libertadTérmino

cuadradoTérmino cuadrado

esperado

Tratamiento (ajustados)

Panelistas (ajustados)

Interacción P x T

Error

t – 1

b – 1

(t – 1)(b – 1)

bk

P x T = Panelistas por tratamientos

Tabla 1b. Análisis intrabloques de varianza (Ejemplo)

FuenteGrados de

libertadTérmino cuadrado F

Tratamientos

Panelistas (Ajustados)

Interacción P x T

Error

2

2

4

3

25.315

2.065

2.405

0.833

30.38

02.48

02.89

P x T = Panelistas por tratamiento

Ahora les ilustraremos brevemente el análisis interbloque con un pequeño ejemplo numérico. Más adelante discutiremos la eficiencia del diseño de bloque compuesto relativo al diseño de bloque completo, donde los tratamientos aparecen una vez y solamente una vez en cada bloque.

UN EJEMPLO DEL ANÁLISIS INTRABLOQUES

Tres panelistas (1, 2 y 3) fueron consultados para evaluar 3 tratamientos (A, B y C). Fue utilizado una escala el cual involucra valores numéricos asignados del 1 al 9 de acuerdo al grado de preferencia para los tratamientos. Aunque solamente fueron comparados tres tratamientos, hubo suficiente tiempo para permitir a cada panelista evaluar 4 muestras, y así uno de los tratamientos fue reproducido con cada panelista. La selección del tratamiento a ser reproducido con cada panelista fue hecho al azar, resultando el tratamiento “B” para ser reproducido con el primer panelista, el tratamiento “A” con el segundo y el C con el tercer panelista. Los datos y los cálculos correspondientes son:

Tratamiento A B C PjPanelista

123

6.05.33.0

7.87.09.0

2.01.04.4

231620

TiQi

17.00-1.75

-0.467

31.0010.50

2.800

11.00-8.75

-2.333

59

Los totales ajustados Qi y las estimaciones de los efectos del tratamiento son

calculados usando (2.2) y (2.3) respectivamente.

Para el tratamiento A, tenemos:

QA =

La suma de cuadrados de los tratamientos, ajustados para panelistas, es computado usando (2.13),

S.S. Tratamiento (ajustados) =

Para calcular la interacción S.S. P x T referimos a (2.12),

Interacción S.S. P x T =

S.S. tratamientos (Aju) = 356.50 – 296.25 – 50.63 = 9.62

La suma de cuadrados de los panelistas, ajustados para tratamientos, de (2.14) es,

S.S. Panelista (Aju) =

Y la diferencia de cuadrados entre las reproducciones, el error S.S. es:

Error S.S. =

Como un chequeo en los cálculos, el total S.S. (corregidos por el término) debe ser igual a la sumatoria de las sumas siguientes de cuadrados. Los tratamientos (ajustados), la interacción, el error y los panelistas (ajustados) donde lo último es computado como:

S.S. Panelista (no ajustados) =

Numéricamente tenemos:

Total S.S. = 62 + 72 + ... + 42 - = 68.92

= 50.63 + 9.62 + 6.17 + 2.5 + = 68.92Probar por significancia, los términos de tratamientos cuadrados (Ajustado), los términos cuadrados de panelistas (ajustados) y los términos cuadrados de la interacción son comparados usando el término de error cuadrado “F” razón o proporción. En este ejemplo, la prueba para los efectos de tratamiento es altamente significante (P 0.025) como la razón 25.315/0.833 = 30.38 es mucho más amplio

que le valor F correspondiente con 2 y 3 grados de libertad, respectivamente (ver tabla 1b)

Antes de proseguir, tal vez un breve comentario sobre la variación de la interacción es apropiado. Aunque en este ejemplo numérico pequeño la variación de la interacción (2.405/0.833 = 2.89), no es mucho más significativamente que la variación de error experimental, los autores con frecuencia han experimentado la variación de la interacción significante particularmente cuando son evaluados por panelistas sin capacitación o sin experiencia. Los panelistas con experiencia con frecuencia son inconsistentes en sus preferencias o grado de preferencia para un tratamiento o tratamiento particulares. Para ilustrar con ejemplos numéricos interiormente discutido, supongamos que las evaluaciones han aparecido como:

Tratamiento A B C

Panelista 123

8 5.3

3

7.674

21

9.9

Donde ahora el tratamiento A es preferido un poco por el panelista 1, B por el panelista 2 y el tratamiento C por el panelista 3. la falta de consistencia o acuerdos entre los panelistas en sus preferencias para los tratamientos resultaría en una intervención significante. Cuando confrontamos con una interacción significante podríamos repetir el experimento con los mismos panelistas y chuequear la validez de la interacción o podríamos seleccionar nuevos panelistas y decidir combinar los datos de los dos experimentos o descartar las opiniones de los panelistas.

Ahora discutiremos la eficiencia de los diseños de bloques Completo – Incompleto compuestos comparados a los diseños de bloques completos. Consideraremos primero el caso donde los errores eijl no son correlacionados y luego consideraremos el caso donde los errores asociados con las respuestas del primero y el segundo a un tratamiento particular por los mismos panelistas que son correlacionados.

EFICIENCIA

Como fue mostrado en las secciones anteriores, los diseños de bloques Completo – Incompleto compuesto permite la estimación separada de panelistas por la interacción de tratamientos y del error experimental. Estas fuentes de variación no pueden ser estimados por separado, cuando cada tratamiento aparece en más de una vez (nij=1) en cada bloque con los diseños de bloques completo o incompleto. El cambio de la estimación de la variación de interacción desde la variación residual

dejando solamente el error experimental como una estimación de resulta en una

comparación más eficiente entre los tratamientos aún por los valores pequeños (valores de “F” insignificantes), de la razón o proporción del término de interacción en la precisión por los tratamientos en comparación es mostrado por el cálculo de la eficiencia de diseños comparados a los diseños de bloques completos ortogonales para diferentes valores de la razón o proporción R=(M.S.Interacción P x T)/Error M.S

En un diseño de bloque completo ortogonal, la varianza de la estimación de la diferencia entre dos términos de tratamiento es,

V ( )CB = i i' (4.1)

Donde r, es el número de reproducciones de cada uno de los tratamientos t y residual, es la estimación de en el análisis de varianza. En el diseño compuesto con bloques de tamaño o medida k + t.

V ( )C-I = ; i i' (4.2)

Donde ahora , en la varianza del error (intrabloque) teniendo bk grados de

libertad. Si definimos la eficiencia de un diseño como el recíproco de varianza de la estimación de la diferencia entre dos términos de tratamiento e iguala el número de reproducciones de cada tratamiento con los dos diseños, para la razón o proporción de la eficiencia, tenemos:

EficienciaC-1 a CB =

= (4.3)

Donde el número de bloques completos de tamaño o medio de t es b* = b(k+t)/t mientras que el número de bloques compuestos de tamaño o medida (k+t) es b.

Para valores diferentes de t y k, la tabla 2 presenta los valores de la eficiencia

calculados usando (4.3) por valores conceptuales de la razón o proporción /

. De la tabla 2, vemos que cuando la hipótesis Ho: interacción = 0 es verdadero

resultando en R = 1, (lo que significa, R – 1 es una medida de /(b-1)(t+1)

, el diseño de bloque compuesto es un poco menos eficiente que el diseño de

bloque completo. Sin embargo, cuando el valor de R es más que 1, el diseño de bloque compuesto es un diseño más eficiente. La eficiencia es una función de incremento de R expresado por,

Eficiencia C – 1 a CB = R x eficiencia (Ho : Int = 0)

Donde la eficiencia (Ho : Int = 0) denota la eficiencia bajo la hipótesis de no interacción. En la tabla 2 solo los valores insignificantes de la razón o proporción R son considerados desde el criterio de eficiencia discutido que es útil solamente en

ausencia de un efecto de interacción significante. Por ejemplo, cuando t = 4, k = 1 y MSPT/MSE = 4 el diseño de bloque compuesto consiste de 4 bloques que es 3.84 veces tan eficiente como el diseño de bloque compuesto consistente de 5 bloques.

Otra manera de mostrar la superioridad de los diseños de bloques compuestos sobre los diseños de bloques compuestos cuando alguna medida de interacción esta presente para determinar cuántas b* de bloques completos de medida o tamaño t son necesarios para obtener la misma eficiencia, en términos de V ( ), como bloques compuestos b de medida o tamaño k + t. La tabla 3 presenta valores de d (donde b* = db) calculados usando la fórmula,

d =

Como con la eficiencia, el número b* de bloques completos es una función de incremento de R. Otra vez, con t = 4, k = 1, y MSPT/MSE = 4, aproximadamente son requeridos 19(4.8x4) bloques completos para obtener la misma eficiencia con solamente 4 bloques compuestos.

Para este punto hemos considerado los errores no correlacionados. La pregunta ahora surge ¿Qué efecto podrían estar relacionados estrechamente a las observaciones que tienen sobre la eficiencia de los diseños de bloques compuestos?. “Como un ejemplo, una respuesta de un panelista a la reproducción del tratamiento, particularmente en el caso de los panelistas capacitados. Más adelante la magnitud de correlación podría ser diferente para diferentes tratamientos. Aunque posteriormente este problema es de interés, por el momento consideraremos solamente el caso donde,

E(eij1eij2) = ; 0 1 (4.6)

Y como el grado de correlación ( ) afecta el valor de la eficiencia calculado como en (4.3).

Para el diseño de bloque completo, la fórmula para la varianza V ( ) mostrada en (4.1) no cambia de forma. Para el diseño de bloque compuesto con b bloques de tamaño o medida (k+1), antes de la forma (4.2), tenemos:

V ( )C-1

= (4.7)

Igualando el número de reproducciones de los tratamientos t con ambos diseños, tenemos para la eficiencia del diseño de bloque compuesto al diseño de bloque completo.

Eficiencia =

Donde de nuevo R = MSPT/MSE. La tabla 4 presenta los valores de eficiencia para diferentes valores de R donde ahora el valor de correlación no es cero, son considerados ( = 2, 5, 8).

De la tabla 4, observamos que con un diseño de bloque compuesto tienen bloques incompletos arreglados de medida o tamaño k, como 1.0, la eficiencia disminuye. De hecho el valor de k mucho más amplio (k t), la eficiencia mucho más rápido del diseño de bloque compuesto se aproxima ala mitad del diseño del bloque completo cuando 1. En otras palabras, cuando 0,

Eficiencia (ki) Eficiencia (kj), para ki kj (4.9)

Para todos los valores de R. Esto implica que si uno sospecha una correlación positiva para estar presentes entre las observaciones y sus reproducciones por los mismos panelistas, uno debería usar k = 1 para la eficiencia máxima.

Tabla 2: La eficiencia en bloques compuestos para el diseño de bloques compuestos a diferentes números de tratamientos (t), reproducciones intrabloques (k) y razón o proporción de MSPT/MSE(R).

Nº tratamientos

Valores de R

t 1 1.5 2 3 4 5 62

k = 1 0.889 1.333 1.778 2.556 3.556 4.444 5.3333

k = 1k = 2

0.9370.960

1.4061.440

1.8751.950

2.8132.880

3.7503.840

4.6874.800

5.6255.760

4k = 1k = 2k = 3

0.9600.9630.979

1.4401.4441.469

1.9201.9261.959

2.8802.8892.939

3.8403.8523.918

4.8004.8154.900

5k = 1k = 2k = 3

0.9720.9690.977

1.4581.4541.465

1.9441.9381.954

2.9172.9082.931

3.8893.8783.906

6k = 1k = 2

0.9080.975

1.4691.463

1.9591.950

2.9392.925

7k = 1k = 2

0.9840.979

1.4761.469

1.9691.959

2.9532.938

8k = 1k = 2

0.9880.983

1.9751.966

2.9632.949

Tabla 3: Valores de d necesitados para alcanzar la misma eficiencia donde el Nº de bloques completos = dk el Nº de bloques compuestos

R =M.S.P x T/M.S. Errort 1 1.5 2 3 4 5 6

2k = 1 1.33 2.0 2.67 4 5.33 6.67 8

3k = 1k = 2

1.251.60

1.882.40

2.53.2

3.754.80

5.06.4

6.258.00

7.59.60

4k = 1k = 2k = 3

1.201.441.71

1.802.162.57

2.402.893.43

3.604.335.14

4.805.786.86

6.007.228.57

5k = 1k = 2k = 3

1.171.361.56

1.752.042.34

2.332.713.13

3.504.074.69

4.675.436.25

6k = 1k = 2

1.141.30

1.711.95

2.292.60

3.433.90

7k = 1k = 2

1.131.26

1.691.89

2.252.52

3.383.78

8k = 1k = 2

1.111.23

1.671.85

2.222.46

3.332.46

Tabla 4: Efecto de las observaciones correlacionadas sobre la eficiencia del diseño de bloque compuesto para el diseño de bloque completo

R =M.S.P x T/M.S. Errort 1 1.5 2 3 4 5 6

3k = 1

p = 0 .2 .5 .8 1k = 2p = 0 .2 .5 .8 1

0.9380.5820.7500.6700.625

0.9600.8280.6860.5850.533

1.8751.7051.5001.3391.250

1.9201.6551.3711.1711.067

2.8132.5572.2502.0091.875

2.8802.4832.0571.7561.600

3.7503.4093.0002.6792.500

3.8403.3102.7432.3422.133

4.6884.2613.7503.3483.125

4.8004.1383.4292.9272.667

5.6255.1144.5004.0183.750

5.7604.9664.1143.5123.200

4k = 1p = 0 .2 .5 .8k = 2p = 0 .2 .5 .8k = 3p = 0 .2 .5 .8

0.9600.8890.8000.727

0.9630.8500.7220.628

0.9790.8360.6860.582

1.9201.7781.6001.455

1.9591.6991.4441.256

1.9591.6731.3711.162

2.8802.6672.4002.182

2.8892.5492.1671.884

2.9392.5092.0571.743

3.8403.5563.2002.909

3.8523.4002.8892.512

3.9183.3452.7432.325

4.8004.4444.0003.600

4.8154.2483.6113.140

4.8984.1813.4292.906

5k = 1p = 0 .2 .5 .8k = 2p = 0 .2 .5 .8

0.9720.9110.8330.767

0.9690.8700.7540.665

1.4581.3671.2501.151

1.4541.3051.1310.998

1.9441.8231.6671.535

1.9391.7401.5081.331

2.9172.7342.5002.303

2.9082.6102.2621.996

3.8893.6463.3333.070

3.8783.4803.0162.661

6k = 1p = 0 .2 .5 .8

0.9790.9270.8570.797

1.4691.3901.2861.196

1.9591.8531.7141.595

2.9392.7802.5712.392

4.675.436.25

7k = 1p = 0 .2 .5 .8

0.9840.9380.8750.820

1.9691.8751.7501.641

2.9532.8132.6252.461

Ahora discutiremos brevemente la estimación de los componentes de varianza en el análisis del modelo combinado donde los tratamientos son arreglados pero los bloques son considerados para ser una muestra casual tomada de la población amplia de bloques. Además comparar los efectos del tratamiento arreglado, es de

nuevo de interés para obtener un estimado de la varianza entre los panelistas. Las fórmulas de estimación corresponden exactamente a las fórmulas presentadas en el Método III de Henderson (9153). Los métodos de Henderson son discutidos de la misma forma por Jearle (1968, 1971)

ANÁLISIS DE LOS MODELOS COMBINADOS

Con referencia al modelo (2.1), ahora consideramos los términos Pj y Iij como representan las variables casuales, independientemente distribuidos, con el término

cero y varianza y , respectivamente. Asimismo también que los Iij son no

correlacionados.

El análisis de la tabla de varianza para el modelo combinado es presentado en la tabla 5. La tabla 5 difiere de los análisis intrabloques de la tabla de varianzas (Tabla 1) con al expectativa de los términos cuadrados de la reducción ajustada consiste en la reducción total de la variación debido a la prueba del modelo (2.1) omitiendo los términos y Ti, y es usado en la derivación de la ecuación de estimación para el

componente del bloque de varianza .

En el análisis del modelo combinado, hay básicamente tres preguntas para ser respondidas:

1. ¿Hay existencia de la interacción de panelistas por tratamiento , es decir, hay evidencia para indicar que los panelistas no son consistentes en sus evaluaciones de los tratamientos? ¿Rechazamos la hipótesis de la interacción no existente?

2. En caso de un interacción significante ¿cuál es la estimación de la magnitud del componente de interacción de varianza?

3. Si la interacción no es significante, ¿la diferencia esta entre los efectos de tratamientos pequeños o largos relativos a la magnitud de la interacción?

Probar la significancia de un efecto de interacción, la razón o proporción (M.S.P. x T interacción) / M.S. El error es comparado con el calor F con (b-1)(t-1) y los grados bk de libertad, respectivamente. Si hay evidencia de un efecto de interacción significante podríamos entonces responder a la pregunta (2) de arriba. El componente de varianza de interés principal es el componente de interacción, sin embargo, como la estimación de los panelistas entre el componente de varianza pierde alguna de sus utilidades en presencia de una interacción.

Para estimar los componentes de varianza y , tomemos de la tabla 5.

Término de la reducción cuadrada – término del error

cuadrado - (5.1)

Para el caso simple donde k = 1, b = t, los coeficientes y t (b-1) (k+t) / b (k+t)2 –

t (3k+t) en (5.1) son (t2-1) ( t3 + 3t2 – t -2 y (t+2) / (t + 1), respectivamente. Es de

interés observar que la estimación . Esta fórmula de estimación interbloques de

John (1963) para . Cuando la contribución de es cero, sin embargo, el

término de la reducción cuadrada es el término de bloques cuadrados (ajustados a

tratamiento) y en (5.1) reduce la estimación de , John (1963)

Término de bloques cuadrados (ajustados) – término del

error cuadrado (5.2)

Las fórmulas de estimación (5.1) aparecieron usando el método de los mínimos

cuadrados. Desafortunadamente no hay garantía de ambas estimaciones, y

siempre serán mucho mayor o igual a cero. En el caso que la estimación es

menor a cero uno puede aceptar el estimado negativo como evidencia que el valor verdadero es cero o evidencia una cantidad insuficiente de datos que han sido reunidos. Por otro lado podríamos reunir datos adicionales y analizarlos o combinarlos con los datos que proporcionaron estimaciones negativas. En este caso, si os análisis siguientes también proporcionan una estimación negativa, esta característica del valor verdadero a discutir del componente realmente es cero. Cuatro otras aproximaciones a ser tomados cuando la estimación negativa de los componentes de varianza son obtenidos y discutidos brevemente Searly (1971) páginas 407 – 408.

Probar la hipótesis de que las diferencias en los efectos del tratamiento son pequeñas relativas a la magnitud del efecto de interacción, una razón o proporción “F” puede ser colocado. El método es conocido como la aproximación de Satterthwaite (1946) y la razón o proporción “F” aproximada es la fórmula como,

F(aprox) = (5.3)

Donde están dados en la tabla 5. el valor obtenido (5.3) es comparado con un

valor F tabular con f' y los grados bk, donde f' es calculado usando:

f' = (5.4)

Con los valores grandes de la razón (5.3), deduciríamos que los efectos del tratamiento, de hecho, son diferentes y las diferencias son grandes relativa a la magnitud de la variación de interacción.

Una aproximación mucho más simple para probar las diferencias en los efectos del tratamiento es asumir que la variación de interacción sea nula (es decir, asumir que

= 0) si la prueba F inicial para la variación de interacción no es significante.

Entonces las expresiones de términos cuadrados en la tabla 5 no contendrán y

la suma de cuadrados para la interacción y para el error son combinados para formar una nueva suma de errores cuadrados con bk + (b – 1) (t – 1) grados de libertad. El término cuadrado para tratamientos (ajustados) es entonces comparado con el nuevo término de error cuadrado, usando de nuevo una razón o proporción F. Por supuesto los ajustes (5.2) para estimar los componentes de varianza entre lo casual y los panelistas también se hizo en este caso.

Tabla 5: Análisis de modelos combinados de las expresiones de varianza necesitadas para estimar los bloques casuales y los componentes de interacción de varianza.

FuenteGrados de

libertad (d.f.)Suma de

cuadrados S.S.Término cuadrado

esperado

Tratamiento (ajustados)

Producción (ajustados)

Interacción

Error

t – 1

t(b – 1)

(t – 1)(b – 1)

bk

(2.12)

CONCLUSIONES

En este documento hemos discutido algunas ventajas y combinaciones de bloques completos de tamaño o medida t con los bloques incompletos de tamaño o medida t+k. La principal ventaja para usar los diseños compuestos es que una medida de la

interacción bloque – tratamiento puede ser obtenido separando de una medida del error experimental. Por el cambio de la variación de interacción, de la variación residual, dejando solamente el error experimental como una medida de la variación dentro del tratamiento, mostramos como los diseños compuestos fueron más eficientes que los diseños de bloques completos para comparar los efectos del tratamiento en el análisis intrabloque. También se mostró como una estimación de la variación de interacción fue usado cuando la estimación de los componentes de los bloques casuales (panelistas) de varianza en el modelo combinado.

En todas partes hemos asumido que, después de hacer los tratamientos a los bloques, el comportamiento de los experimentos b(k+t) es acompañado en una reproducción. No hemos generalizado las fórmulas en el análisis para incluir más de una sola reproducción. Con frecuencia, sin embargo, para que todo tratamiento sea duplicado con todos los panelistas en una vez o más, son necesitados dos o mas reproducciones. Por ejemplo si nos referimos al ejemplo numérico en la sección sobre el análisis intrabloque, podríamos considerar tres días de experimentos así que cada panelista es preguntado por duplicado de cada tratamiento. El diseño podría parecer como,

Día1 Día2 Día3 Panelista 1 ABC B ABC A ABC C

2 ABC A ABC C ABC B3 ABC C ABC B ABC A

Este diseño es mucho más balanceado que el diseño para un día particular desde los tres días. Cada tratamiento es duplicado con cada panelista

En el análisis del diseño Completo –Incompleto compuesto reproducido arriba, el cambio de variación día por día es necesario.

En el resultante del presente documento /Cornell y Knapp, 1973), presentamos el análisis de los diseños compuestos reproducidos. Además varias aproximaciones para la interpretación de panelistas por las interacciones de tratamiento serán discutidos en más de una vez, utilizando situaciones de la vida real.

APENDICE

MS Tratamiento = Término de tratamiento estándar

MS Interacción = Término de interacción estándar

MS Error = Término del error standar