Estructuras04 (Momento de empotramiento y Cálculo de Rígidez)
Transcript of Estructuras04 (Momento de empotramiento y Cálculo de Rígidez)
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO.- Una viga restringida en sus extremos
de modo que no se produzca rotación en ellos por las cargas, se llama una viga empotrada;
los momentos en los extremos se llaman momentos de empotramiento. En realidad sería
muy difícil construir una viga con extremos que sean realmente empotrados ó fijos. No
obstante, el concepto de extremos empotrados es útil para determinar los momentos en
vigas y marcos rígidos continuos. Los momentos de empotramiento se pueden expresar
como el producto de un coeficiente WL, en donde W es la carga total sobre el claro L.
El coeficiente es independiente de las propiedades de los otros elementos de la
estructura. Por tanto, cualquier elemento de una viga o marco continuo se puede aislar del
resto de la estructura y calcular sus momentos de empotramiento. Después para encontrar
los momentos reales en la viga, se aplica una corrección a cada momento de
empotramiento.
Los momentos de empotramiento se pueden determinar en forma conveniente por el
método del área de momentos ó por el método de la viga conjugada (Sección 1-33)
Además, las curvas de la Fig. 1-70, permiten calcular con facilidad los momentos de
empotramiento para cualquier tipo de carga de una viga prismática. (Vigas con momento
constante de inercia)
RIGIDEZ EN EL EMPOTRAMIENTO: A fin de corregir un momento de
empotramiento para obtener el momento de extremo en las condiciones reales de restricción
de extremo en una estructura continua, se debe permitir que gire el extremo del elemento.
La cantidad que gire dependerá de su rigidez o resistencia a la rotación.
La rigidez en el extremo de una viga se define cono el momento requerido para
producir una rotación unitaria en el extremo en el cual se aplica, mientras el otro extremo
esta fijo en contra de la rotación, se representa por KFR.
Para vigas prismáticas doblemente empotradas, la rigidez para ambos extremos, es
igual a 4EI/L, donde: E es el módulo de elasticidad, I el momento de inercia de la sección
transversal con respecto al eje centroidal y L el claro (tomado por lo general de centro a
centro de los apoyos) Cuando no se necesita calcular las deformaciones, nada más se
necesita conocer los valores de KF para cada elemento por tanto, sólo se tiene que calcular
la relación entre I y L. (Para vigas prismáticas, con un extremo empotrado y el opuesto
libre, la rigidez de extremo es de 3 EI/L, o sea, ¾ partes de la rigidez con el extremo
opuesto empotrado)
FACTOR DE TRANSPORTE PARA EXTREMOS EMPOTRADOS.- Cuando
se aplica un momento en un extremo de una viga continua se induce un momento resistente
en el extremo opuesto, sí es que ese extremo esta restringido contra la rotación por otras
vigas ó columnas. La relación entre el momento resistente en un extremo empotrado y el
momento aplicado, se llama factor CF de transporte para extremos empotrados.
Para vigas prismáticas, el factor de transporte para extremos empotrado hacia
cualquier extremo es de 0.5. Se debe tener en cuenta que el momento aplicado y el
momento resistente tienen el mismo signo, es decir, si el momento aplicado actúa en el
sentido de las manecillas del reloj, el momento transportado también actúa en ese
sentido.
Para barras empotrada-apoyadas, el factor de transporte es cero. F =0. Para
un voladizo, el factor de transporte es cero.
ESFUERZOS EN MIEMBROS A FLEXION
En el análisis de vigas, la suposición general es que la viga está en posición
horizontal y lleva cargas verticales tendidas en un eje de simetría de la sección transversal
de la viga.
El Cortante Vertical V, en una sección dada, de la viga es la suma algebraica de
todas las fuerzas verticales a la izquierda de la sección. La dirección de la fuerza se toma
como positiva, cuando esta apunta hacia arriba y negativa cuando apunta hacia abajo. En
general, las pendientes para los diagramas de cortante están dados por dV/dx = -w, donde
w =carga unitaria en la sección dada; x = distancia del extremo izquierdo a la sección dada.
El momento flexionante M, en una sección dada de la viga es la suma algebraica de
los momentos de todos los momentos de todas las fuerzas a la izquierda de la sección con
respecto a esa sección. Un momento se considera positivo cuando gira en el sentido de las
manecillas del reloj. En general, los diagramas de momentos se encuentran aplicando la
ecuación de la pendiente dM/dx = V, donde V = denota el cortante en la sección dada. De
aquí que este cortante varíe linealmente entre cada una de las secciones significativas de la
viga. El diagrama de momentos flexionantes comprende una serie de arcos parabólicos.
Los diagramas de momentos también se pueden realizar por medio de la aplicación
del teorema del momento, el cual dice que si no existe un momento externamente aplicado
en el intervalo de la viga, la diferencia entre el momento flexionante es M2 – M1 = ∫12 V dx
= al área bajo el diagrama de cortantes a través del intervalo.
Sí los limites proporcionales del material de la viga no se exceden, el esfuerzo
flexionante (también llamado flexionado, fibra o esfuerzo), a una sección varia linealmente
a través de lo largo de la sección, siendo “cero” en el eje neutro. Un momento flexionante
positivo induce esfuerzos de compresión en las fibras que se encuentran por encima del eje
neutro y esfuerzos de tensión en las fibras que se encuentran por debajo de dicho eje.
Consecuentemente la curva elástica de la viga es cóncava hacia arriba donde los momentos
de flexión son positivos.
PROCEDIMIENTO GENERAL DE CÁLCULO POR EL MÉTODO DE CROSS
PARA UNA ESTRUCTURA.
1. Calcular las rigideces y factores de transporte para cada uno de los elementos
(piezas que intervienen en la estructura).
a. Sí estas son rectas y de sección constante:
i. K = 4EI/L Rigidez para barra doblemente empotrada.
ii. Factor de Transporte = 0.5
b. En cambio, sí son barras empotradas en un extremo y apoyadas en el otro
extremo:
i. K = 3EI/L Rigidez para barra empotrada-apoyada.
ii. Factor de Transporte = 0.
2. Sí son elementos acartelados ó curvas o ambos casos, habrá que recurrir a tablas y
gráficas especiales, para conocer su rigidez y su factor de transporte.
3. Calcular los coeficientes de distribución en cada nudo de la estructura y por cada
elemento que concurre a él.
4. Suponer un empotramiento artificial en cada nudo de la estructura que se calcula
excepto articulaciones extremas.
5. Colocar en cada tramo las cargas correspondientes que lo soliciten.
6. Calcular los momentos de empotramiento perfectos que ocasionan las cargas
anteriores en su tramo respectivo, para lo cual se recurre con comodidad al empleo
de formularios. En todo caso, dichos momentos irán con el signo de la convención
de nudo, mismo que se empleará en todo el proceso de distribución.
7. Saltar cada uno de los nudos de la estructura, permitiendo que tomen la rotación a
momentos no equilibrados y volver a sujetarlos inmediatamente después. El
momento de desequilibrio habrá quedado distribuido entre los elementos que se
reúnen en el nudo, en proporción a sus factores de distribución, con lo anterior se
completa el primer ciclo de distribución.
8. Cada uno de los momentos distribuidos en el paso anterior, produce en el
empotramiento de enfrente un momento de transporte, cuyo valor es igual al
producto del momento distribuido por el factor de transporte.
9. Los momentos transportados a un nudo nuevamente empotrado por todos los
elementos concurrentes, obligan a producir un momento no equilibrado que deberá
distribuirse en forma análoga como se dijo en el paso 7, completándose así el
segundo ciclo de distribución.
10. El transporte de los momentos distribuidos y la distribución consiguiente el
momento no equilibrado que resulta de una operación que deberá repetirse (3, 4, 5,
etc. Ciclos), hasta que los momentos de distribución sean despreciables o pequeños
en valor absoluto, a juicio del calculista y dependiendo del grado de aproximación
que se requieran, determinándose siempre después de una distribución, ya que
entonces todos los nudos estarán en equilibrio.
11. En cada extremo de los elementos de la estructura el momento final de continuidad
ó hiperestático será igual a la suma algebraica.
12. Por separado se calculan los momentos isostáticos para cada tramo, suponiéndolos
libremente apoyados en sus extremos, y con las cargas que lo solicitan.
13. Se traza el diagrama de momentos finales, que será la superposición de los
diagramas de momentos isostaticos e hiperestaticos. Habrá que tener presente que
este diagrama final debe hacerse con la convención de signos del elemento.
14. Se procede finalmente a calcular las fuerzas cortantes y las fuerzas normales, para lo
cual conviene generalmente, partir ó dividir la estructura en tantas partes iguales
como elementos tenga, haciendo de cada uno de ellos un diagrama de cuerpo libre,
aplicando las leyes de la estática, resultará fácil encontrar los valores de las fuerzas
cortantes y normales, así como también sus reacciones.
NOTAS COMPLEMENTARIAS.
Deberá tenerse presente:
Que una articulación no puede absorber momentos, ya que su posibilidad de
rotación es ilimitada, por lo que el momento en un apoyo articulado ó libre debe ser
cero.
Que en un apoyo extremo con el elemento prolongado en voladizo (Cantiliver), no
puede absorber otro momento que no sea el del empotramiento de la ménsula, ya
que su posibilidad de rotación se supone también ilimitada.
Que un extremo empotrado deberá de absorber todos los momentos que a él lleguen,
ya que su posibilidad de rotación es nula.
Que en un nudo cualquiera en una estructura continua, girará en el mismo sentido
que el momento no equilibrado, lo cual producirá un incremento de momento, en
los elementos que se oponen a la rotación y una disminución de momentos en los
elementos que favorecen la rotación.
Analizando ahora el marco, por el método de Cross se tiene:
1.- MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
2.- CALCULO DE RIGIDECES
NOTA: Una articulación, no puede absorber momentos, ya que su posibilidad de
rotación es ilimitada, por lo que el momento en un apoyo articulado ó libre debe de ser
cero. Siempre que se tenga una articulación la rigidez es cero.
Como la sección de la viga es de 20 cm X 40 cm, se tiene: b= 0.20; h = 0.40
I = [(b)(h)³]/12 = [(20)(40)³]/12 = [(20)(64000)]/12 = 106,667
Kab =0
.kba = (0.75)(I/L) = (0.75)(106,667 cm4/500 cm) = 160 cm³
.kbc = kcb = I/L = (106,667)/(115) = 927.15 cm³
Ahora, para calcular la rigidez en la columna: kbd = (I)/(L); pero I = [(b)(h)³]/(12)
Como la columna es cuadrada ( 30 X 30 ), no se tiene problema en cuanto a cuál es
“b” y cuál es “h”, pero se debe de tener cuidado, cuando las columnas no son cuadradas, el
peralte “h”, siempre será el lado mayor.
kbd = (I)/(L); pero I = [(b)(h)³]/(12) = [(30)(30)³]/(12) = 67,500 cm4
kbd = (I)/(L) = (67,500)/(250) = 270 cm³
.kbd = kce = kec = kdb= 270 cm³
3.- FACTORES DE DISTRIBUCIÓN.- Estos representan la rigidez proporcional del
elemento en cuestión, con la rigidez del nudo.
FD = - (ki)/(Σki)
Para ab se tiene que es una articulación: Fab = 1 (para articulaciones)
Fba = (kba)/(kba+kbc+kbd) = (160)/(160+927.5+270) = 160/1357.5= 0.12
Fbc = (kbc)/(kba+kbc+kbd) = (927.5)/(160+927.5+270) = 927.5/1357.5= 0.68
Fbd = (kbd)/(kba+kbc+kbd) = (270)/(160+927.5+270) = 270/1357.5= 0.20
ΣFd = 1 0.12+0.68+0.20 = 1
1 = 1 Por lo tanto está bien el cálculo
Ahora calculando los factores para las columnas, se tiene:
Fcb = (kcb)/(kcb+kce) = (927.5)/(927.5+270) = 0.77
Fce = (kce)/(kcb+kce) = (270)/(927.5+270) = 0.23
ΣFd = 1 0.77 + 0.23 = 1 ---------------------OK
Fdb = Fec = 0 (Siempre que se tenga empotramiento el factor valdrá 0)
Ahora, se realizará el cuadro operativo de los distintos factores y momentos.