ASIGNATURA ESTADISTICA EMPRESARIAL MDULO 4

PROBABILIDADES

INTRODUCCIN

Este mdulo si bien tiene como objetivo estudiar los elementos de probabilidades, est orientado a fortalecer la capacidad de anlisis y la abstraccin del alumno basado en elementos matemticos.

ESQUEMA GENERAL DEL MODULO 4

MODULO CUATRO

INTRODUCCIN A LAS PROBABILIDADES

PROBABILIDAD RELATIVA

Probabilidad Conjunta.

TIPOS DE PROBABILIDADES

PPOPIEDADES DE CONJUNTOS APLICADOS A PROBABILIDADES aplicados a Probabiliades

Definicin de Probabilidad

Conceptos Bsicos de Probabilidades

PERMUTAC. Y COMBINACION.

Probabilidad Marginal

Probabilidad Condicional

OBJETIVO GENERAL Dominar los conceptos relativos a probabilidades

CONTENIDOS

1.- Introduccin a las probabilidades 2.- Probabilidad relativa.

3.- Propiedades de conjuntos aplicadas a probabilidades

4.- Probabilidad conjunta, marginal y condicional

5.- Permutaciones y combinaciones

1.- INTRODUCCIN A LAS PROBABILIDADES 1.1.- CONCEPTO DE PROBABILIDAD

El desarrollo inicial se asocia a los juegos de azar. Ejemplo supongamos que lanzamos 2 dados, nuestro inters recaer en los nmeros que aparecen cuando se lanzan los dados La Imagen 1 representa todos los posibles resultados del lanzamiento de 2 dados POSIBLES RESULTADOS CUANDO SE LANZAN LOS DADOS Imagen 1

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1

1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2

1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3

1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6

DDEEFFIINNIICCIIOONN DDEE PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD

SSii uunn eexxppeerriimmeennttoo qquuee eessttaa ssuujjeettoo aall aazzaarr,, rreessuullttaa ddee nn ffoorrmmaass iigguuaallmmeennttee pprroobbaabblleess yy

mmuuttuuaammeennttee eexxcclluuyyeenntteess,, aaddeemmss ssii ddeeffiinniimmooss eell aattrriibbuuttoo AA yy ddeetteerrmmiinnaammooss llaa

ccaannttiiddaadd ddee vveecceess qquuee ssee pprroodduuzzccaa eell aattrriibbuuttoo AA rreessppeeccttoo aall uunniivveerrssoo,, hhaabbllaarreemmooss ddee

llaa pprroobbaabbiilliiddaadd ddee AA rreessppeeccttoo aa nn..

EEnn eell eejjeemmpplloo ddee llooss ddaaddooss ppooddrreemmooss eessttaabblleecceerr

AA== LLaa ccaannttiiddaadd ddee ppaarreess ddee nnmmeerrooss qquuee ssuummaann 77 eess 66 PPoorr lloo ttaannttoo PP((AA))==

1.2.- CONCEPTOS BSICOS DE PROBABILIDAD

EEssppaacciioo MMuueessttrraall

EEll ccoonnjjuunnttoo ddee ttooddooss llooss ppoossiibblleess rreessuullttaaddooss ddee uunn eexxppeerriimmeennttoo aalleeaattoorriioo

EEvveennttoo ddeell eessppaacciioo mmuueessttrraall

EEss uunn ggrruuppoo ddee rreessuullttaaddooss ccoonntteenniiddooss eenn ssttee,, ccuuyyooss mmiieemmbbrrooss ttiieenneenn uunnaa

ccaarraacctteerrssttiiccaa eenn ccoommnn

36

6

2.- PROBABILIDAD RELATIVA

EEnn uunnaa ffbbrriiccaa llaa pprroobbaabbiilliiddaadd ddee oobbsseerrvvaarr uunn aarrttccuulloo ddeeffeeccttuuoossoo eess mmuucchhoo mmss bbaajjaa

qquuee eennccoonnttrraarr uunnoo bbuueennoo.. EEnn ssttee eejjeemmpplloo nnoo eess ccoorrrreeccttoo uuttiilliizzaarr llaa ddeeffiinniicciinn ccllssiiccaa..

PPaarraa ddeetteerrmmiinnaarr llaa pprroobbaabbiilliiddaadd ddee eennccoonnttrraarr uunn aarrttccuulloo ddeeffeeccttuuoossoo,, ssee rreeaalliizz eell

ssiigguuiieennttee eejjeerrcciicciioo

VVeeaammooss llaa iimmaaggeenn aaddjjuunnttaa

AARRTTIICCUULLOOSS

MMUUEESSTTRREEAADDOOSS UUNNIIDDAADDEESS

DDEEFFEECCTTUUOOSSAASS

FFRREECCUUAANNCCIIAA

RREELLAATTIIVVAA

2200 22 00..11

5500 33 00..0066

110000 44 00..0044

220000 1122 00..0066

550000 2288 00..005566

110000 5544 00..005544

Estudiemos los resultados de nuestro ejercicio A medida que la cantidad de elementos muestreados aumenta la probabilidad de encontrar un artculo defectuoso tiende a un 5%.

3.- PROPIEDAD DE CONJUNTOS APLICADO A PROBABILIDADES

El evento formado por todos los posibles resultados en E1 o E2 o en ambos,

recibe el nombre de unin de E1 con E2 y se denota por : E1 U E2

El evento formado por todos los resultados comunes tanto a E1 como a E2, recibe el nombre de interseccin de E1 con E2 y se denota por:

Se dice que los eventos que son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen resultado en comn en otras palabras

Si cualquier resultado de E2, tambin es resultado de E1, se dice que el evento E2 est contenido en E1, s que es subconjunto.

El complemento de un evento E con respecto al espacio muestral S, es aquel que contiene todos los resultados de S que no se encuentran en E y se denota por :

Si A y B son sucesos cualesquiera asociados a un espacio muestral S. La probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B est dado por:

021 EE

E

)()()()( BAPBPAPAUBP

)(1)( APAP C

21 EE

4.- TIPOS DE PROBABILIDADES

Dada la siguiente imagen que refleja el resultado de un estudio de hombre y mujeres fumadoras y no fumadoras.

HOMBRES MUJERES

FUMADORES 5 15

NO FUMADORES

25 20

4.1.- PROBABILIDAD CONJUNTA

Supongamos de queremos encontrar la probabilidad conjunta de hombres fumadores (diremos que es conjunta por que tiene ambos atributos) ser 5/65. El valor 5 se obtiene porque esa es la cantidad de hombres fumadores y el 65 indica cantidad total de personas encuestadas. De acuerdo al esquema anterior diremos que la probabilidad conjunta es la probabilidad de encontrar un evento que cumpla con la interseccin ente la fila y la columna

4.2.- PROBABILIDAD MARGINAL Supongamos que en la tabla anterior queremos calcular la probabilidad de encontrar una persona que no fume independientemente de su sexo. Ser: (25+20)/65 La idea de la probabilidad marginal consiste en seleccionar un atributo que represente una fila o una columna respecto al total. Nuestro ejemplo consiste en seleccionar la segunda fila (no fumadores 25 +20) respecto al total (65).

4.3.- PROBABILIDAD CONDICIONAL

- Dado que seleccionamos una mujer Cual ser la posibilidad que ella fume? - 15/(15+20)

Este tipo de probabilidades consiste en seleccionar un atributo relacionado con una fila o columna lo que estar representado por el texto Dado Qu, En nuestro caso se pregunta: dado que es mujer, segunda columna ( 15 + 20 ) Despus que seleccionamos la fila o columna, definimos un atributo de la columna o fila, en el ejercicio se consulta si la mujer es fumadora (15 fumadoras respecto al total de mujeres)

5.- PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

PERMUTACIONES

Una permutacin es un arreglo en orden en particular. Ej. Supongamos que ordenaremos las letras a, b y c , los arreglos o permutaciones de 2 letras que sern ab, ba, ca, ac, cb y bc

n= cantidad de letras r = Tamao de la combinacin

Utilizaremos la siguiente formula Diremos que el factorial de un nmero es la sumatoria multiplicacin de los valores desde uno hasta el factorial que necesitamos calcular.

)!(

!),(

rn

nrnP

6)!23(

!3)2,3(

P

COMBINACIONES

Para nuestro ejercicio veamos las combinaciones: (a,b)(a,c)(b,c) Para calcularlo utilizaremos la siguiente frmula: En nuestro ejercicio:

(A,B)(A,C)(B,C)

!)!(

!

rrn

n

r

n

32

6

2

2*3

!2)!23(

!3

2

3

RESUMEN

En el mdulo cuatro se introdujeron elementos de probabilidades en la asignatura, profundizando en probabilidades relativas, conjunta, marginal y condicional. Adems se vieron elementos de conjuntos aplicados a probabilidades, finalmente se estudiaron elementos de permutaciones y combinaciones. Los conceptos citados en ste capitulo estn circunscritos al objetivo general de la asignatura de fortalecer la capacidad de anlisis de los alumnos.

GLOSARIO

Probabilidad

SSii uunn eexxppeerriimmeennttoo qquuee eessttaa ssuujjeettoo aall aazzaarr,, rreessuullttaa ddee nn ffoorrmmaass iigguuaallmmeennttee pprroobbaabblleess yy

mmuuttuuaammeennttee eexxcclluuyyeenntteess,, aaddeemmss ssii ddeeffiinniimmooss eell aattrriibbuuttoo AA yy ddeetteerrmmiinnaammooss llaa

ccaannttiiddaadd ddee vveecceess qquuee ssee pprroodduuzzccaa eell aattrriibbuuttoo AA rreessppeeccttoo aall uunniivveerrssoo,, hhaabbllaarreemmooss ddee

llaa pprroobbaabbiilliiddaadd ddee AA rreessppeeccttoo aa nn..

Probabilidad Relativa

DDeeppeennddee ddee llaa rreeppeettiibbiilliiddaadd ddee aallggnn eennssaayyoo

Probabilidad Conjunta

SSee pprroodduuccee ccuuaannddoo ddooss eevveennttooss ttiieenneenn uunn ccoommppoorrttaammiieennttoo ccoonnjjuunnttoo

Probabilidad Marginal

CCoommppoorrttaammiieennttoo ddee uunnaa vvaarriiaabbllee ssiinn ccoonnssiiddeerraarr llaa oottrraa

Probabilidad Condicional

PPeerrmmiittee rreevviissaarr llaa pprroobbaabbiilliiddaadd PP (( AA )) ccuuaannddoo ssee ssaabbee qquuee oottrroo ssuucceessoo BB hhaa ooccuurrrriiddoo..

Permutaciones

SSoonn ccaaddaa uunnaa ddee llaass ppoossiibblleess oorrddeennaacciioonneess ddee ttooddooss llooss eelleemmeennttooss ddee uunn ccoonnjjuunnttoo

Combinaciones

DDaaddaa uunnaa ccoolleecccciinn ddee oobbjjeettooss llllaammaarreemmooss ccoommbbiinnaacciinn aa ccuuaallqquuiieerr ssuubbccoolleecccciinn ddee llaa

ccoolleecccciinn ddaaddaa,, ssiinn qquuee ssee rreeppiittaann llooss eelleemmeennttooss aall iinntteerriioorr ddee llaa ssuubbccoolleecccciinn..