ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

RETROALIMENTADOS

Jorge Luis JaramilloTeoría del Control Automático

PIET EET UTPL marzo 2012

Créditos

Esta presentación fue preparada estrictamente como material de apoyo a la jornada presencial del curso de Teoría del Control Automático, del programa de Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones que se imparte en el Universidad Técnica Particular de Loja.

La secuencia de contenidos corresponde al plan docente de la asignatura, y, para la elaboración se han utilizado aportes propios del docente, y, una serie de materiales y recursos disponibles gratuitamente en la web.

Contenido

• Conceptos generales• Criterios de estabilidad• Estabilidad de los sistemas de control retroalimentados• Método del lugar de las raíces• Análisis y discusión

Contenido

• Conceptos generales

Conceptos generales

A menudo, los sistemas enfrentan acciones externas que modifican su estado estacionario.

Si al desaparecer la acción externa, el sistema vuelve al estado estacionario anterior (o a uno nuevo), entonces se dice que el sistema es estable.

Si se considera un sistema lineal e invariante en el tiempo, la inestabilidad del sistema supondrá una respuesta que aumenta o disminuye de forma exponencial, o, una oscilación cuya amplitud aumenta exponencialmente.

Con mayor profundización, el concepto de estabilidad se puede ampliar a estabilidad “en pequeño”, estabilidad “en grande”, y, estabilidad “completa”.

Conceptos generales

Dado que la influencia de una acción externa implica un cambio de estado estacionario, entonces existe una relación estrecha entre los procesos transitorios y la estabilidad del sistema.

Contenido

• Criterios de estabilidad

Criterios de estabilidad

La estabilidad del sistema se analiza de acuerdo a varios “criterios”:• Estabilidad BIBO• Criterio Routh-Hurwitz• Teorema Lyapunov• Criterio Nyquist• Criterio Jury

Algunos de estos criterios responden a conceptos geométricos, y, a conceptos analíticos.

Criterios de estabilidad

La estabilidad BIBO (bounded-input bounded-output) se fundamenta en una forma intuitiva de afrontar el problema de la estabilidad de un sistema: considerar que el sistema será estable si las distintas magnitudes que lo definen, no alcanzan valores infinitos

Un sistema, inicialmente en reposo, se dice estable si, ante cualquier señal de entrada acotada (es decir que no alcanza valores infinitos), responde con una señal de salida acotada.

Estabilidad BIBO

El criterio Routh-Hurwitz se clasifica en el grupo de métodos analíticos. Su reflexión parte de que para un SCA de lazo cerrado, se puede obtener la función de transferencia en la forma:

Entonces, el denominador de la función de transferencia del sistema se denomina ecuación característica del sistema

El criterio Routh-Hurwitz propone que la naturaleza del proceso transitorio y la estabilidad del sistema dependerá de las raíces de esta ecuación.

Criterio Routh-Hurwitz

Criterios de estabilidad

Las raíces de una ecuación a(s), en transformadas de Laplace, están distribuidas en el plano de coordenadas, definido por el eje de los números reales (abcisas) y el eje de los números imaginarios (ordenadas).

Un polinomio a(s), se dice polinomio de Hurwitz, si todas sus raíces tienen la parte real negativa.

Según el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, para que un sistema sea estable basta con que la ecuación característica del sistema, de lazo cerrado, sea un polinomio Hurwitz.

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Criterio Routh-Hurwitz

Criterios de estabilidad

Criterio Routh-Hurwitz

En la práctica, el principio de estabilidad de Routh-Hurwitz se basa en el análisis de los coeficientes de la ecuación característica

El sistema, cuya ecuación característica posee dos raíces conjugadas, representadas de color amarillo, es un sistema estable.

El sistema, cuya ecuación característica posee dos raíces conjugadas, representadas de color rojo, no es un sistema estable.

Criterios de estabilidad

Criterio Routh-Hurwitz

La validez del criterio de Routh-Hurwitz se fundamenta en que, dada una ecuación característica a(s) es posible encontrar su solución común en la forma: , en la que Si son las raíces de la ecuación característica.

De otra parte, los significados de las funciones originales y de las funciones imágenes están ligadas por la expresión:

De tal forma que para todo Si<0, todos los elementos de para t →∞ se aproximarán a cero, y, el sistema será estable.

Para todo si>0, los elementos se alejarán de cero, y, el sistema no será estable.

Criterios de estabilidad

Criterio Routh-Hurwitz

Criterios de estabilidad

Teorema Lyapunov

El teorema de Lyapunov permite juzgar sobre la estabilidad de un sistema “en grande”, conocido su comportamiento en “pequeño”.

Si la investigación de la estabilidad de un sistema en “pequeño” derivó en demostrar que la ecuación característica de la función de transferencia de un sistema, de lazo cerrado, es un polinomio Hurwitz, entonces el sistema es estable en “grande”.

Si la investigación de la estabilidad de un sistema en “pequeño” derivó en demostrar que la ecuación característica de la función de transferencia de un sistema de lazo cerrado no es un polinomio Hurwitz, entonces el sistema no es estable en “grande”.

Criterios de estabilidad

Criterio Nyquist

El criterio de estabilidad de Nyquist, para un sistema de lazo cerrado, se basa en el análisis de la representación gráfica de la función de transferencia.

En el plano de coordenadas s se define la curva cerrada C (o contorno de Nyquist), el mismo que rodea el semiplano de la parte real positiva del plano complejo. Si las raíces de la ecuación característica están fueran del contorno, entonces el sistema será estable.

Criterios de estabilidad

Criterio Nyquist

Criterios de estabilidad

Contorno de Nyquist para estudiar la estabilidad de un sistema de lazo cerrado

Diagrama polar y contorno de Nyquist para un sistema de primer grado

Criterio Jury

Criterios de estabilidad

De acuerdo al criterio de Jury, las raíces de la ecuación característica de un sistema de lazo cerrado estable, se encuentran dentro de la circunferencia unitaria centrada en el origen del plano de coordenadas complejas

DISCUSIÓN Y ANÁLISIS