Sistemas de Control - UNICEN · Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 12 Asignatura de...
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Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 1
Asignatura de Sistemas de Control-Facultad de Ingeniería-UNCPBA
SC ÁREA DE ELECTRÓNICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
U.N.C.P.B.A.
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Prof. Dr. Gerardo Acosta
Sistemas de Controlapuntes capítulo III
(estabilidad)
Facultad de Ingeniería -UNCPBA
Dto. de Ingeniería Electromecánica
Prof: Dr. Gerardo Acosta
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 2
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Estabilidad de Sistemas Lineales Continuos
y(t) = y (t)natural + y(t)forzada
Ø básicamente 4 posibilidades cuando se extingue la excitación:ü salida oscila alrededor de cierto valorü salida persiste en un valor constanteü salida crece sin más límite que la saturación
del sistemaü salida se extingue (se hace = 0)
Ø consideraremos estabilidad:
0=∞→ ny
tlim
y(t)r(t)
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PdhdhMty
dtrhdtrhty
Mr(t)r(t)
dtrhty
<⇒≤∴
−≤−=∴
≤⇒
−=
∫∫
∫∫
∫
∞∞
∞∞
∞
00
00
0
)( )()(
)()( )()()(
acotadaser debe
nconvolució de integral ; )()()(
Schwartz) de (Lema
ττττ
ττττττ
τττ
el área bajo la respuesta impulsional del sistema debe ser finita.
Estabilidad de Sistemas Lineales Continuos
Ø ¿Qué significa esto en el Dominio de Laplace?
ü Polos con parte real negativa en el plano (sq CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
)()(1)(
)(sHsG
sGsT
+=
-G(s)
H(s)
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Estabilidad de Sistemas Lineales Continuos
Ø es decir, analizar el comportamiento de la
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA (EC)
Ø que puede expresarse como:
Ø para analizar la estabilidad de los LTIS:
qCriterio de Routh-HurwitzqMétodo del lugar de las raíces (Evans)qDiagramas de Bode qDiagrama de Nyquist
0)()(1 =+ sHsG
0...)()(
1)(1 01
1 =+++=+=+ −− asasa
sqsp
KsF nn
nn
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Criterio de Routh-Hurwitz
ü indica si existen o no polos en el spl. derecho (estabilidad absoluta) q si bien contamos con la facilidad de µpq sin necesidad de calcular las raíces de ECq útil para parámetros desconocidos (k)
Ø a partir de la expresión de la EC:
ü la condición necesaria para que existan raíces con parte real negativa:q todos los coeficientes de esta ecuación tengan
el mismo signoq ninguno de estos coeficientes se anule
ü la condición suficiente:q todos los determinantes de Hurwitz
Dk ; k=1, 2, …,n
deben ser positivos
0... 011
1 =++++ −− asasasa n
nn
n
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Método de Routh-Hurwitz
Ø tabla de Routh:
üCRITERIO: habrá tantas raíces en el spl. derecho como inversiones de signo en la primera columna de la Tabla de Routh
...1
21311
1
5412
1
3211
bbaab
c
aaaaa
b
aaaaa
b
nn
n
nnnn
n
nnnn
−−
−
−−−
−
−−−
−=
−=
−=
n
nn
nnn
nnn
n
nn
nnn
nnn
nn
nnn
a
a
aaaaaaaa
D
aaaaaaaa
Daaaa
DaD
.000.....
00000000
;...0
; ;
0
31
42
531
31
42
531
32
31211
LOMMMLLL
−−
−−
−−−
−−
−−
−−−
−
−−−
=
===
üdonde los coeficientes de la expresión anterior con subíndice > n o <0 se reemplazan por 0.
sn a n a n-2 a n-4 ...
s n-1 a n-1 a n-3 a n-5 ...
s n-2 b 1 b 2 b 3 ...
s n-3 c 1 c 2 c 3 ...
... ... ... ... ...
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s 4 1 6 7
s 3 2 1 0 0
s 2 1 7 0
s 1 - 4 0
s 0 7
Método de Routh-Hurwitz
Ø Ejemplo 1:
ü 2 polos en el spl. derecho
Ø Ejemplo 2:
ü 2 inversiones y por lo tanto 2 polos en el spl. derecho
0322 :EC 234 =++++ ssss
071062 :EC 234 =++++ ssss
s0
s1
...30s2
021s3
321s4
3s0
00(2 ε-3)/ ε
s1
03εs2
021s3
321s4
0 pues 3
→−
≅ εε
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ØAplicación:
ØEstabilidad relativa:
q desplazar el eje imaginario una constante a q aplicar el criterio en esta nueva situación
Método de Routh-Hurwitz
k 12 4 63 2s s s s( )+ + +
R(s) C(s)-
kssssk
sT++++
=642
)( 234s 4 1 4 k
s 3 2 6 0
s 2 1 k
s 1 6-2k 0
s 0 k
k>0
6-2k>0
0<k<3
ass +=′-a σ
j sωj sω ′
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R(s) C(s)
-G(s)
H(s)
K
C sR s
G sG s H s
T L A F s G s H s
( )( )
( )( ) ( )
. . . ( ) ( ) ( )
=+
= =1
Método del Lugar de Raíces o Diagrama de Evans
ü se trazan las raíces de la EC en el plano (s variando un parámetro cualquiera, en general, una ganancia de lazo K.
ü 1+F(s)=0 debe poder escribirse con el parámetro a variar (K) como factor:q sino, se la lleva a esta forma.
ü A partir de 1+F(s)=0 surgen los puntos que pertenecen al LR, satisfaciendo las condiciones de módulo y fase:
por lo tanto, los polos de LC también satisfacen la [1].
0)()(
1 =+sqsp
K
[ ]
=+±==
,...2,1,0);12(º180)()(1)()(
1jjsHsG
sHsG
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Lugar de raíces
REGLAS CONSTRUCTIVAS� Ubicar los polos y ceros de F(s)
� Variando 0<K<infinito continuamente, las raíces se mueven desde los polos de F(s) hacia los ceros de F(s)
� Las porciones del eje real a la izquierda de un nº impar de singularidades de F(s) pertenecen al diagrama, lo cual se verifica fácilmente con puntos de prueba (s1):
°±°=−−−−−+−+−
−−−−
=
360180
)...)(()...)((
)(
2121
21
21
j...psps...zszs
pspszszs
sF
:fase de condiciónpor
los ángulos de los polos complejos conjugados son = y opuestos, luego se anulan. Sólo queda el de 180º que verifica la [1].
s1
p1
p2
p2*
z1
jω
σ
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Lugar de raíces
�Determinar las asíntotas:üEl LR tiene n ramas, donde n es el grado de la EC.üSi F(s) tiene un 0 de orden m en el infinito, habrá m
ramas del LR que se aproximen a infinito cuando Ktienda a infinito, y serán asintóticas a rectas de pendientes:
üestas rectas cortan al eje real en un punto σ0 dado por:
�Encontrar los puntos de ruptura de llegada y partida:üsabiendo que entre 2 polos será una partida y entre 2
ceros, una llegadaüson raíces múltiples de la EC, por lo tanto, se obtienen
derivando el parámetro respecto de s :
,...3,2,10,=j ;)12(
mj
j
πα
+=
m
zpi
ii
i ∑∑ −=0σ
0)(
)()()()(0)()()(1
2 =′−′
−=
=+=+
spsqspspsq
dsdK
sKpsqsF
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Lugar de raíces
� Determinar los ángulos de partida (llegada) para los polos (ceros) complejos:ü se consideran las contribuciones del resto de las
singularidades
� Encontrar los puntos en los que se corta al eje imaginario:ü criterio de Routhü hacer s = jω en la EC e igualar parte real e imaginaria a
0 y despejar K
� Utilizar la condición de módulo para:ü encontrar una ganancia K correspondiente a un dado
lugar de las singularidades sk del LRü encontrar la ubicación de las singularidades sk del LR
para un dado valor de K; sabiendo que:
∏∏
=
j y ze/sdistancias
i y pe/sdistancias
Kjk
ik
∑ ∑
∑ ∑
Θ=−−−+°∴
Θ=−+−−°∴
illegada
jji
ipartida
jji
zsps
zsps
180
180
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Lugar de raíces
Ø Ejemplo:
R(s) C(s))3)(2)(1( +++ sssk
-
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Sistemas con retardo
üAplicando la propiedad de traslación de una función de la TL:
üSea la FT para la figura:q construiremos su lugar de raíces
G(s)X(s) Y(s)
-
Circulación de aire
l
pt100Calefactor
l[=]m
v[=]m/segRetardo τ = l/v [=]seg y(t) = x (t-τ )
{ }{ }
{ } )()(
)()(
0);()(
sXsXe
txtx
retardo
sFetfs
s
//
=−
=∴
≥=−−
−
τ
α
τ
αα
LL
L
ske
sGs
+=
−
1)(
τ
Ec. Trascendente que da infinitas raíces
01
1.. =+
+=−
ske
CEsτ
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ωτ
ω
3,57º1801
:0
−±=+
==
s
p
Sistemas con retardo
ü la cantidad de ramas del L.R. será infinita y la pendiente = 0
ü la condición de ángulo establece que:
ü pero como τ es constante, la fase del retardo es función de ωq para
q para el resto de las ωi, se traza una recta que pasa por σ = -1 con pendiente 180º - 57,3 ωiτ . La intersección de esta recta con la horizontal jωi es un punto del L.R.§ si τ=1el punto de ruptura es -2
)12(º18013,57
(gra)3,57)(
sencos
,...2,1,0);12(º1801
+±=+−−∴
−=−=∴
−==∴
=
=+±=+−
−
−−
−−−
−
ps
radianese
jee
eepero
ppse
s
js
js
s
ωτ
ωτωτ
ωτωττ
ωττ
ωττστ
τ
= 0 (estado estacionario)
= 0
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Sistemas con retardo
ü Se verifica que si s tiende a infinito, la FT a LA tiende a menos infinito:q es también polo de L.A.
ü La E.C. tiene infinitas ramas al ir variando p:
ü interesa la rama primaria desde el punto de vista de la estabilidad
Ø CONCLUSIÓN: q el retardo introduce inestabilidadq aun en un primer orden
ωτπωτ −±=−±=+= 33,57º5401:1 si sp
−∞=s
-10 -5 0 5 10-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Real Axis
Imag
Axi
s
Lugar de raíces para 1er orden con retardo
-jπ
jπ
p=0
p=1
p=1
-j3π
j3π
kc=8kc=2
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Respuesta en Frecuencia
Ø ¿Cómo se encuentra la RF de un LTIS?ü se varía la frecuencia de una sinusoide a la
entrada y se registra cómo varía la salida
Ø Ventajasü sencillas y bastante exactasü determinación en forma experimental de la
FT de componentes complejos
ü sea un LTIS estable:
por lo tanto
G(s)G(s)X(s) Y(s)
tXsentx ω=)(
))...()(()(
)()(
)(21 nsssssssP
sQsP
sG+++
==
)()()(
)( sXsQsP
sY =
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Respuesta en Frecuencia
Ø Desarrollando en fracciones parciales:Y(s) = G(s) X(s) = G(s)
ü a y bi (i = 1,2,...n) son constantes y a* es el complejo conjugado de a.
ü Antitransformando:
y como el sistema es estable, en estado estacionario tendremos que:
ü Esto para polos distintos, si se incluyen polos sj de multiplicidad mj, y(t) incluirá términos como
n
n
ssb
ssb
ssb
jsa
jsa
sY+
+++
++
+−
++
= ...*
)(2
2
1
1
ωω
tsn
tststjtj nebebebeaaety −−−− +++++= ...*)( 2121
ωω
tjtjss eaaety ωω *)( += −
1,...,1,0con −=
−
ji
tsh
mhet ji
22 ωω+sX
Seno @ Laplace
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Respuesta en Frecuencia
ü luego
ü así se demuestra que LTIS ante una señal senoidal de entrada, una vez alcanzado el estado estacionario, posee una salida deigual frecuencia
ü en estado estacionario se puede reemplazar en la FT s por jω
jjXG
aj
jXGa
2)(
2)( * ωω
=−−
=
{ }{ }
=== −
)(Re)(Im
)(;)()( 1
ωω
ωθωω θ
jGjG
tgjGejGjG j
θθ ωωω jj ejGejGjG −− =−=− )()()(
)sen()(2
)()()()(
θωωωθωθω
+=−
=+−+
tjGXjee
jGXtytjtj
ss
)sen()( θω += tYty ss
ωω
ωω
jsjs
sX
sGa−=
++
= )()( 22
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Respuesta en Frecuencia
ü La amplitud de salida S esüEl desfasaje entre E y S esü de este modo módulo y fase de la función
de transferencia senoidal son:
ü ejemplo
si se puede hallar reemplazando s por jω
)( ωjGX
)()(
)(;)()(
)(ωω
ωωω
ωJXjY
jGJXjY
jG ==
)( ωjG
)( ωθ jG=
1+TskX(s) Y(s)
eetyttx )(sin)( →= ω
1)(
+=
Tjk
jGω
ω
221)(
T
kjG
ωω
−= ωθ Ttg 1−−=
)(1
)( 1
22ωω
ωTtgtsen
T
Xkty ee
−−+
=∴
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Relación con el mapacero - polar
; p y z son reales
ü elijo un punto de prueba P:
ü es posible obtener módulo y fase a partir del mapa cero-polar de la FT
)()(
)(psszsk
sG++
=
)()(
)(pjj
zjkjG
++
=∴ωω
ωω
21
11 90
θθϕ
ωω
−−=
−−= −−
ptg
ztg o
BPOP
APk
pjjzjk
jG =+
+=
ωωω
ω )(
pjjzjjG +−−+= ωωωω)(
O
ωj
σ2θ ϕ
AB
P
O XX 1θ
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Diagramas de Bode
Ø Se tienen dos gráficos:ü log vs. logü vs. log
ü normalización del módulo ü en (db), escala logarítmica de
q su ventaja es la sencillez
ü factores básicos:ganancia k:
20 log k = cte. (si k>1) ó k = -cte. (si k<1)q amplificación o atenuación
)( ωjG ω)( ωjG ω
)(log20 ωjG→ω
1 10 100
cte.
-cte.
[ ] db
ωlog
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Diagramas de Bode
ü factor integral:ü polo:
q ubicamos un puntoq la pendiente es -20 db/década
ü factor derivativo:ü cero:
ωω
log201
log20 −=j
ωj1 [ ]db
º901
−=ωj
1;0 =ωdb
( )ωj ωω log20log20 =jº90=ωj
[ ]db
ωlog
ϕ
ωlog1 10 100 1 10 100
20
-20
l l db
-90
ωlog ωlog
ϕ
1 10 100 1 10 100
l l db
9020
-20
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Diagramas de Bode
Ø En definitiva:ü si orden del sistema = n, entonces pendiente = -
20n y fase = -90nü Ejemplo: para un sistema de segundo orden:q pendiente = - 40 db/dec., fase = - 180
Ø Primer ordenüPolo en 1/T:
[db] 1log201
1log20 22T
Tjω
ω+−=
+
[ ]dbTT 01log201log201 22 =−≅+−∴<< ωω si
[ ]dbTTT ωωω log201log201 22 −≅+−∴>> si
1 0-3
1 0-2
1 0-1
1 00
1 01
-4 0
-2 0
0
F re q u e n c y ( r a d /s e c )
Gai
n dB
1 0-3
1 0-2
1 0-1
1 00
-2 0 0
-1 0 0
0
F re q u e n c y ( r a d /s e c )
Pha
se d
eg
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Diagramas de Bode
üCero en 1/T:
ü para ambos casos, error entre curva real y asíntotas= 3 db
Ø Factores cuadráticosü sistema de segundo orden
2
2
222
2
21
1)(
21
12
)(
++
=∴
++=
++=
nn
nn
nn
n
jjjG
sssssG
ωω
ωω
ξ
ω
ωωξωωξ
ω
10-3
10-2
10-1
100
101
0
20
40
Frequency (rad/sec)
Gai
n dB
10-3
10-2
10-1
100
0
100
200
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Tjω+1log20
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Diagramas de Bode
ümagnitud:
ü fase:
magnitud y fase dependen del amortiguamiento
222
2
21log20
21
1log20
2
+
−−=
+
+ nn
nn
jj ω
ξω
ωω
ωω
ωωξ
[ ]db
db
nnn
n
ωω
ωω
ωω
ωω
log40log20
][01log20
2
2
−=−→>>
=−→<<
si
si
( )
−
−= −2
1
1
/2
n
ntg
ωω
ωωξϕ
nωω
log
nωω
log
-40
-90
-180
2.0=ξ
1=ξ
7.0=ξ
db
ϕ
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 27
Asignatura de Sistemas de Control-Facultad de Ingeniería-UNCPBA
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Sistemas de no mínima fase
ü estos dos sistemas poseen = módulo, pero difieren en la fase
(Relación biunívoca fase y módulo)
11
21
1 011
)(11
)( TTTJTj
jGTJTj
jG <<+−
=++
=ωω
ωωω
ω
ωj
σσ
ωj
o x ox-1/T
-1/T1 -1/T1
1/T
Mínima fase No mínima fase
10-2 10-1 100 101-10
-5
0
Frequency (rad/sec)
Gai
n dB
10-2
10-1
100
101
-200
-100
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
10-2 10-1 100 101-10
-5
0
Frequency (rad/sec)
Gai
n dB
10-2
10-1
100
101
-200
-100
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 28
Asignatura de Sistemas de Control-Facultad de Ingeniería-UNCPBA
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Sistemas con retardo
ü Aunque los dos sistemas son estables (no poseen polos en el semiplano derecho), el de no mínima fase puede tornarse inestable
ü si es de mínima fase, entonces:
q los de no mínima fase se evitan por lentitud (debida a respuesta inversa)
Ø Sistemas con retardoq Análisis frecuencial:
ksbsbsasa
sG pp
pp
......
)( 11
11
−−
−−
++
=
−−→−−→
∴∞→ )(º90
/)(20pq
décadadbpqdependientedbω
−=−==−=
∴= −
][º3,57][)(1cos)(
)(TradTjG
TjsenTjGejG Tj
ωωωωωω
ω ω
-600º
-57.3º1 10ϕ
logωT
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 29
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ü Ejemplo:
ü Conclusión: el retardo no aporta al módulo, pero si a la fase, y tiende a inestabilizar al sistema
Sistemas con retardo
Tje
jGLj
ωω
ω
+=
−
1)(
Tjdb
TjeMagnitud Lj
ωωω
++=
++
11
log20)(01
1log20log20:
TtglTj
ejGFase Lj ωωω
ω ω 1
11
)(: −− −−=+
+=
-20
1 100
ωlog
l l db
ωlog
ϕ1 10
-90
-180
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 30
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Coeficientes de error
Ø Determinación de los coeficientes de errorü sistema tipo 0:
ü sistema tipo 1:
ü sistema tipo 2:
pkjG =)(lím ω0→ω ωlog
-20db/dc
-40db/dc
ll db20log kp
kp= coeficiente de error de posición
kv=coef. de error de velocidad
vk=1ω ωlog
-20db/dc
-40db/dc
1ω
ll db
ωlog1ω
ll db-40db/dc
-60db/dc
( ) ak=21ω
ka=coef.de error de aceleración
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 31
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)(
1
fcjGMG
ω=
)( ωjG
Análisis de estabilidad relativa mediante
margen de fase y margen de ganancia
ü Ganancia crítica: el o los puntos en que la amplitud de
ü Fase crítica:
Ø a partir de esta sintaxis definimos:
Margen de fase:cantidad de retraso de fase que se requiere añadir para llevar al sistema al borde de la inestabilidad, en el punto de ganancia crítica
Margen de ganancia:el recíproco dea la frecuencia de fase crítica
)(01)(1)( dbojGjG =⇒= ωω
°=180)( ωjG
ϕ+= º180MF )( ωϕ jG=
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 32
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Ø Sistema estable:
Ø Sistema inestable:
10-1
100
101
102
-100
0
100
Frequency (rad/sec)
Gai
n dB
10-1
100
101
102
-300
-200
-100
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
10-1
100
101
102
-100
-50
0
50
Frequency (rad/sec)
Gai
n dB
10-1
100
101
102
-300
-200
-100
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Análisis de estabilidad relativa mediante
margen de fase y margen de ganancia
0
ll db
MG NEGATIVO
ωlog
MF NEGATIVO
-90
-180
ϕωlog
ωlog0
ll db
MG POSITIVO
-90
-180MF POSITIVO
ϕωlog
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 33
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Análisis de estabilidad relativa mediante margen de fase y margen de ganancia
Ø CONCLUSIÓN:üPara que el sistema sea estable, MG y
MF, deben ser positivos (sistema de mínima fase)
Ø si el sistema es estable podemos estudiar qué tanto lo es (estabilidad relativa)
ØMF y MG se definen para distintos rangos de funcionamiento en frecuencia, para cubrirse por variaciones en componentes
Ø valores usuales: 30º<MF<60º y MG>6db
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 34
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Diagramas polares
üGraficar en un solo diagrama módulo y fase de la FT senoidal
Ø Factores básicos:ü Factor integral:
q el eje imaginario negativo
ü Factor derivativo:q el eje imaginario positivo
ü Factores de 1er. Orden:q POLO:
Im
ReIm[G(jω)]
Re[G(jω)]
)( ωjG
)( ωjG
º90111
)(ωωω
ω =−== jj
jG
ωω jjG =)(
TTTj
jG ωωω
ω 1
22tg
1
11
1)( −−
+=
+=
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 35
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Diagramas polares
§ Probamos con varios puntos:
q CERO:
ü Factores cuadráticos:q POLOS:
º900)(:
º452
1)/1(:/1
º01)0(:0
−=∞∞→
==
==
jG
TjGT
jG
ω
ω
ω
TjjG ωω += 1)(Im
Re
1/T
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-2 -1 0 1 2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
ζ crece
º1800)(
º01)(
0;)()(21
1)(
0
2
−=
=
>++
=
∞→
→
ω
ω
ξ
ωω
ωω
ξω
ω
ω
jGlim
jGlim
jjjG
nn
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 36
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Diagramas polares
º180)(
º01)(
0;21)()(21)(
0
2
22
−∞=
=
>+
−=++=
∞→
→
ω
ω
ξωω
ξωω
ωω
ωω
ξω
ω
ω
jGlim
jGlim
jjjjGnnnn
q CEROS:
Ø Principio del Argumentoümapeo de funciones analíticas de
variables complejasüSea F(s)=U(σ,ω) + jV(σ,ω), es analítica sii
verifica que para un dominio D, dF/ds es continua en D.
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 37
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Principio del argumento
ü es posible si se verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann en D:
ü Las FT de los sistemas físicos reales son analíticas en todo el plano (s, excepto en los polos
üCualquier punto del plano (s puede mapearse al plano (F
Ø Ej.:
σω
ωσ
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
VU
VU
35,095,0)(21;532
)( 11 jsFjsss
sF +=∴+=++
=
Función de mapeo
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 38
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Principio del argumento
ü Si F(s) es una función analítica en el plano (s, excepto para un # finito de polos dentro de una curva Cs, entonces con un recorrido alrededor de Cs , el contorno correspondiente Cf en el plano (F encerrará al origen (punto crítico) N veces.
N= z - p; z = # de ceros y p = # de polos de F(s)
dentro de Cs
üEj.1:
jω
σ1
jV
U
2
0.95
0.35
2)( += ssFjω
σ
jV
U-2
(s (F
C1s C1fC2s C2f
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 39
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Principio del argumento
üEj. 2:
Ø Caso N>0ü se encierran más ceros que polos en (süCf rodea al origen de (F en la misma
dirección que Cs
Ø Caso N=0ü se encierran igual cantidad de ceros que
de polos en (süCf no rodea al origen de (F
Ø Caso N<0ü se encierran más polos que ceros en (süCf rodea al origen de (F en la dirección
opuesta que Cs
2)(
+=
ss
sF
jω
σ
jV
U-2
(s (F
C1sC1f
C2s
C2f
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 40
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Criterio de estabilidad de Nyquist
Ø Introducción:q Sea
ü Interesa analizar la posición de polos y ceros de lazo abierto (G(s)H(s)) para determinar la estabilidad de lazo cerrado:q polos de LC = ceros de F(s) (raíces de la EC)q polos de LA = polos de F(s)q ¬∃ restricción en cuanto a la ubicación de los polos
de LA para que el sistema sea estable a LC
Ø Objetivo:ü determinar las raíces de F(s) en el spl.
derecho de (sq son los polos del sistema realimentado
ü emplea el principio del argumento
G
H
R C
)()...()()()...()(
)()(1)(1..
)()(1)(
)()(
21
21
n
m
pspspszszszs
sHsGsFCE
sHsGsG
sRsC
++++++++++
=+=+=
+=
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 41
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Criterio de estabilidad de Nyquist
qpara que el sistema sea estable, F(s) no debe tener ceros encerrados por la siguiente curva (paso de Nyquist)
qsi en lugar de transformar sobre (Flo hacemos sobre (G(s)H(s)(transferencia de lazo abierto), el punto crítico cambia del origen al -1+j0
jω
σ
R=∞
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 42
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Criterio de estabilidad de Nyquist
üde este modo, dado un sistema de control que tiene una EC = 1+G(s)H(s)=0, se siguen los siguientes pasos:
1. Dibujar la gráfica de G(s)H(s) en el plano
(GH2. Observar el # de rodeos al punto crítico -1+j0
(N = Z - P)
èZ = # de ceros de 1+ GH dentro del paso de Nyquist
èP = # de polos de 1+ GH dentro del paso de
Nyquist (los mismos que los de GH)
3. Analizar la condición de estabilidad a lazo cerrado (Z=0)
∴ N = - P
ENUNCIADO: Un sistema realimentado será estable si y sólo si el número de rodeos al punto - 1 + j0 en sentido anti-horario por parte del contorno de Nyquist en el plano GH(s), es igual al número de polos de GH(s) dentro paso de Nyquist en el plano (s
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 43
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Nociones de Compensación
Ø No siempre se consiguen las especificacionesü transitorias (@t; @f)ü permanentes (precisión)
Ø con sólo variar una ganancia de lazoØ Necesidad de:ü variar el mapa cero-polar
→→ COMPENSADORESCOMPENSADORESqmezcla de análisis (de lo que tengo) y síntesis
(de lo que quiero)q camino de baja potencia (señal)
§ en serie (cascada con el proceso)§ en paralelo (lazo de realimentación)
2
PlantaK 1
variables fijos
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 44
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Compensadores en serie
Ø su FT:
ü se requiere conocer el modelo de la planta ü las diferentes posiciones relativas de p y z
permiten variar módulo y faseü existen 3 tipos básicos:
q por avance de fase (derivadores)q por retraso de fase (integradores)q por avance-retraso
Ø Compensadores por avanceq se define
G s Ks zs pc c( )
( )( )
=++
σ
jω
p z
α τ
ωα
ωατωτ
= =−
∴ =++
∴ =+
+
pz p
G s Kz s zp s p
G jK j
j
c c
cc
;
( )( / )( / )
( )( )( )
1
11
11
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 45
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Compensador por avance de fase
ü cuyo diagrama de Bode es:
ωτ α
ϕα
α
ϕαα
m
max
max
=
=−
=−+
1 1
12
11
tg
sen
10-1
100
101
102
-20
-10
0
Frecuencia (rad/sec)
Mód
ulo
dB
10-1
100
101
102
-200
0
200
Fas
e [º
]
Frecuencia (rad/sec)
20 log α
ωm1/ατ 1/τ
ϕmax
8para que la fase sea máxima en el punto de interés se ubican polo y cero en la media geométrica (en el Bode).
8efecto deseado: aporte de fase
8efecto secundario: módulo, que se corrige con Kc .
8se lo emplea para corregir transitorios
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 46
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Compensador por retraso de fase
q se definen
q y valen las expresiones siguientes:σ
jω
pz
α τ= =−z
p z;
1
G s Kz s zp s p
G j Kj
j
c c
c c
( )( / )( / )
( )( )
( )
=++
=++
11
11
ω αωτ
ωατ
Frecuencia (rad/sec)
Mód
ulo
dBF
ase
[º]
Frecuencia (rad/sec)10
-110
010
110
2-200
-100
0
10-1
100
101
102
0
10
20
ωm1/ατ
1/τ
20 log α
ϕmax
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 47
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Compensador por retraso de fase
Ø El compensador por retraso de fase:ü efecto deseado: ganancia en un rango de
frecuenciaü efecto secundario: aporte de fase
negativaü se emplea para compensar errores de
precisión (vinculados al estado estacionario)
ØØConclusionesConclusionesüambos son los más simples de
proyectarüsensibles a variacionesüno aseguran estabilidad absolutaüsuelen usarse combinados (avance
y retraso)üsintetizados en el PID industrial
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 48
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Compensación en el lazo de realimentación
ürequieren menor información del modelo de la plantaüsistemas más robustosüno existe una técnica específica
(con los modelos vistos), sino varios casos
ØArquitectura general:
-
Hc(s)-
C(s)R(s)
k Gp(s)A(s)
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 49
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Compensación en el lazo de realimentación
Ø APLICACIONES:üCASO 1: (planta con polos conocidos)sea:
con lo que la EC es:
G sk
s s sA s A
G sGG H
C sR s
AGAG
AGG HAGG H
H k s
p
xp
p c
x
x
p
p c
p
p c
c d
( )( )( )
; ( )
( )( )( )
=+ +
=
=+
⇒ =+
=+
++
=
1 5
1 11
11
(amplificacion)
(taquigenerador)
0)5)(1()/(
1
0)/()5)(1(
0)5)(1(
0)5)(1()5)(1(
1
01
=++
++
=++++=++++
=++
+++
+
=++
ssskAskk
kAskksss
Akskkssssss
kAsk
sssk
AGHG
dd
dd
d
d
pcp
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 50
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Compensación en el lazo de realimentación
Ø graficando el lugar de raíces:
ü contamos con A, k, kd (grados de libertad) para hacer cumplir las especificaciones
q el taquigenerador ha “traído” un cero desde infinito-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-15
-10
-5
0
5
10
15
eje Real
eje
Im
agin
ario
cero en -3(-) y en -5,5(o)
___) (línea 5 para ooo); (línea 65 para
23
2/51
0
dd
d
dii
ii
kA
kA
kAkA
m
zp
≥<<∴
+−=+−−
=−
=∑∑
σ
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 51
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Compensación en el lazo de realimentación
üCASO 2: (planta con polos inciertos)q busco hacer dominantes las singularidades de Hcq las conozco y las puedo compensar
ü la incertidumbre está en b ó b’q no son dominantes frente a a
q el sistema se vuelve así más robusto, ya que el polo dominante pasa a ser c,
que es conocido por diseñoq ¿qué sucede si Hc=1?
log ω
| | db
1/Hc a
bb’
csas
sAasH c ++
=+= )();(
1 si
1 si 1
1
<<=
>>=
⇒+
=
c
cc
c
GHGT
GHH
T
GHG
T
Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 52
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Compensación en el lazo de realimentación
ØØConclusiones Conclusiones ü a favor...
q disminuye la sensibilidad a perturbaciones y variaciones de parámetros
qmejora las constantes de tiempoqmejora la estabilidad eligiendo apropiadamente
Hcqmejora la linealidad del amplificador
ü ...en contraq aumenta la cantidad de componentes
(complejidad)
q puede inestabilizar si Hc no se diseña correctamente