Est inferencial unidad2 distancia ams
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Estadística Inferencial Estadística Inferencial UNAM Facultad de Ciencias Políticas y Sociales. SUA. Modalidad a Distancia.Material de Apoyo didáctico para Probabilidades.Profesora Aura Mélida De la Selva Menéndez
Unidad 3:Unidad 3: ProbabilidadProbabilidad Definiciones de probabilidad, identificación de eventos, cálculo de probabilidades, métodos de conteo, la probabilidad condicional y el teorema de Bayes.
Profesora Aura Mélida De la Selva Menéndez3
Un panorama de conceptos probabilísticos1. Calcular probabilidades aplicando las reglas de
adición y multiplicación.2. Utilizar un diagrama de árbol para organizar y calcular
probabilidades.
3. Calcular una probabilidad utilizando el teorema de Bayes.
4. Calcular una probabilidad utilizando el teorema de Bayes.
5. Determine el número de permutaciones y el número de combinaciones.
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DefinicionesDefiniciones
Probabilidad: valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento.
Experimento: proceso que conduce a la ocurrencia de una de varias observaciones posibles.
Resultado: lo que resulta en particular de un experimento.
Evento: conjunto de uno o más resultados de un experimento.
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Enfoques de la probabilidadEnfoques de la probabilidad
Probabilidad clásica se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.
Utilizando el punto de vista clásico,
posibles resultados de totalnúmero
favorables resultados de número= eventoun de adProbabilid
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EJEMPLO 1EJEMPLO 1
Considere el experimento de lanzar dos monedas al mismo tiempo.
El espacio muestral S = {HH, HT, TH, TT}
Considere el evento de una cara.Probabilidad de una cara = 2/4 = 1/2.
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Eventos mutuamente Eventos mutuamente excluyentesexcluyentesEventos mutuamente excluyentes: la
ocurrencia de cualquier evento implica que ningún otro puede ocurrir al mismo tiempo.
En el EJEMPLO 1, los cuatro resultados posibles son mutuamente excluyentes.
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Eventos colectivamente Eventos colectivamente exhaustivosexhaustivosColectivamente exhaustivos: por lo
menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento.
En el EJEMPLO 1, los cuatro resultados posibles son colectivamente exhaustivos. En otras palabras, la suma de las probabilidades es = 1 (.25 + .25 + .25 + .25).
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Concepto de frecuencias Concepto de frecuencias relativasrelativasLa probabilidad de que un evento ocurra a
largo plazo se determina observando en qué fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado:
nesobservacio de totalnúmeroevento el ocurrió que vecesde número
= evento del adProbabilid
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EJEMPLO EJEMPLO 22
A lo largo de su carrera, la profesora Jones ha otorgado 186 calificaciones de A entre sus 1200 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de su clase en este semestre reciba una A?
Aplicando el concepto de frecuencias relativas, la probabilidad de una A es
186 /1200 = 0.155
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Probabilidad subjetivaProbabilidad subjetiva
Probabilidad subjetiva: la posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento específico que asigna una persona con base en cualquier información disponible.
Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar la probabilidad de que los Pumas ganen el Torneo de apertura el próximo año y estimar la probabilidad de que ocurra un terremoto en la Ciudad de México este año.
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Reglas básicas de probabilidadReglas básicas de probabilidad
Si los eventos son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de cualquier evento impide que otro eventos ocurra.
Reglas de adición: si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de adición indica que la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas:P(A o B) = P(A) + P(B)
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EJEMPLO 3EJEMPLO 3 Mexicana de Aviación acaba de proporcionar la
siguiente información de sus vuelos de Monterrey a la Ciudad de México:
Llegada Frecuencia
Antes de tiempo 100
A tiempo 800
Demorado 75
Cancelado 25
Total 1000
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EJEMPLO 3 EJEMPLO 3 continuacióncontinuación
Si A es el evento de que un vuelo llegue antes de tiempo, entoncesP(A) = 100 /1000 = 0.1.
Si B es el evento de que un vuelo llegue demorado, entonces P(B) = 75 /1000 = 0.075.
La probabilidad de que un vuelo llegue antes de tiempo o demorado esP(A o B) = P(A) + P(B) = .1 + .075 = 0.175.
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Regla del complementoRegla del complemento
La regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un evento restando del número 1 la probabilidad de que un evento no ocurra. Si P(A) es la probabilidad del evento A y P(~A) es el complemento de A, P(A) + P(~A) = 1 o P(A) = 1 - P(~A).
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Regla del complemento Regla del complemento continuacióncontinuación
Diagrama de Venn que ilustra la regla del complemento
~AA
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Regla general de adiciónRegla general de adición
Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula:
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)
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EJEMPLO 4EJEMPLO 4
Recuerde el EJEMPLO 3. Si C es el evento de que un vuelo llegue a
tiempo, entonces P(C) = 800 /1000 = 0.8. Si D es el evento de que un vuelo sea cancelado,
entonces P(D) = 25 /1000 = 0.025.
Utilice la regla del complemento para mostrar que la probabilidad de que el vuelo llegue antes de tiempo (A) o demorado (B) es 0.175.
EJEMPLO 4 EJEMPLO 4 continuacióncontinuación
P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [.8 + .025] = .175
C.8
D.025
~(C o D) = (A o B) .175
5-17
Profesora Aura Mélida De la Selva Menéndez20
Regla general de adiciónRegla general de adición
Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula:
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)
Regla general de adiciónRegla general de adición
Diagrama de Venn que ilustra esta regla
A y B
A
B
5-19
EJEMPLO 4EJEMPLO 4 Recuerde el EJEMPLO 3. Si C es el evento de que un vuelo llegue a tiempo,
entonces P(C) = 800 /1000 = 0.8. Si D es el evento de que un vuelo sea cancelado,
entonces P(D) = 25 /1000 = 0.025.
Utilice la regla del complemento para mostrar que la probabilidad de que el vuelo llegue antes de tiempo (A) o demorado (B) es 0.175.
5-16
EJEMPLO 4 EJEMPLO 4 continuacióncontinuación
P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [.8 + .025] = .175
C.8
D.025
~(C o D) = (A o B) .175
5-17
Regla general de adiciónRegla general de adición
Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula:
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)
5-18
Regla general de adiciónRegla general de adición
Diagrama de Venn que ilustra esta regla
A y B
A
B
5-19
EJEMPLOEJEMPLO 5 5
En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estéreo, 175 dijeron tener una TV y 100 dijeron tener ambos:
Estéreo 320
Ambos 100
TV175
5-20
EJEMPLO 5 EJEMPLO 5 continuacióncontinuación
Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga sólo un estéreo, sólo una TV y uno de cada uno?
P(S) = 320 /500 = .64.P(T) = 175 /500 = .35.P(S y T) = 100 /500 = .20.
5-21
EJEMPLO 5 EJEMPLO 5 continuacióncontinuación
Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un estéreo o una TV en su habitación?
P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S y T) = .64 +.35 - .20 = .79.
5-22
Probabilidad conjuntaProbabilidad conjunta
Probabilidad conjunta es una probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más eventos ocurran juntos. Un ejemplo sería el hecho de que un estudiante tenga tanto un estéreo como una TV en su habitación.
5-23
Regla especial de Regla especial de multiplicaciónmultiplicaciónLa regla especial de multiplicación
requiere que dos eventos A y B sean independientes.
Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de una no afecta la probabililidad de ocurrencia del otro.
La regla especial se escribe:P(A y B) = P(A) * P(B).
5-24
EJEMPLO 6EJEMPLO 6
Chris posee dos inventarios independientes uno de otro. La probabilidad de que el inventario A aumente su valor el próximo año es .5. La probabilidad de que el B aumente el suyo es .7.
¿Cuál es la probabilidad de que ambos aumenten su valor el próximo año?
P(A y B) = (.5)(.7) = .35.
5-25
EJEMPLO 6 EJEMPLO 6 continuaciòncontinuaciòn
¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno aumente su valor el próximo año (esto implica que cualquiera de los dos o ambos aumenten)?
Así, P(al menos uno) = (.5)(.3) + (.5)(.7) + (.7)(.5) = .85.
5-26
Probabilidad condicionalProbabilidad condicional
Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que ocurrió otro evento.
Nota: la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió B se denota como P(A|B).
5-27
Regla general de multiplicaciónRegla general de multiplicación
La regla general de multiplicación se utiliza para determina la probabilidad conjunta de que ocurran dos eventos y establece: para dos eventos A y B, la probabilidad conjunta que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de A por la probabilidad condicional de B dado que A ocurrió.
5-28
Regla general de multiplicaciónRegla general de multiplicación
La probabilidad conjunta, P(A y B) está dada por la siguiente fórmula: P(A y B) = P(A) * P(B|A) o
P(A y B) = P(B) * P(A|B)
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EJEMPLO 7EJEMPLO 7La directora de la escuela de administración
en Guadalajara recolectó la siguiente información acerca de los estudiantes de licenciatura del colegio:
Área Hombre Mujer Total
Contabilidad 170 110 280
Finanzas 120 100 220
Mercadotecnia 160 70 230
Administración 150 120 270
Total 600 400 1000
5-30
EJEMPLO 7 EJEMPLO 7 continuacióncontinuación
Si un estudiante se selecciona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante sea mujer del área de contabilidad? P(A y F) = 110 / 1000.
Dado que la estudiante es mujer, ¿cuál es la probabilidad que esté en el área de contabilidad? P(A|F) = [P(A y F)] / [P(F)] = [110 / 1000] /[400 / 1000] = .275.
5-31
Diagrama de árbolDiagrama de árbolEl diagrama de árbol es muy útil para
visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el análisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas.
EJEMPLO 8: una bolsa contiene 7 fichas rojas (R) y 5 azules (B), se escogen 2 fichas, una después de la otra sin reemplazo. Construya el diagrama de árbol con esta información.
5-32
EJEMPLO 8 EJEMPLO 8 continuacióncontinuación
R1
B1
R2
B2
R2
B2
7/12
5/12
6/11
5/11
7/11
4/11
5-33
Teorema de BayesTeorema de Bayes
El teorema de Bayes se representa con la fórmula:
)|(*)()|(*)()|(*)(
)|(2211
111
ABPAPABPAPABPAP
BAP
5-34
EJEMPLO 9EJEMPLO 9
La compañía AguaFon ha recibido varias quejas debido a que sus botellas no van bien llenas. Una queja fue recibida hoy pero el gerente de producción no puede identificar cuál de las dos plantas Tehuacán (A o B) llenó esta botella. ¿Cuál es la probabilidad de que la botella mal llenada haya salido de la planta A?
5-35
EJEMPLO 9 EJEMPLO 9 continuacióncontinuación
P(A |U) = [(.55)(.03)]/[(.55)(.03) + (.45)(.04)] = .4783.
% deproducción
total
% defaltante en
botellasA 55 3
B 45 4
5-36
Algunos principios de conteoAlgunos principios de conteo
Fórmula de la multiplicación: si hay m modos de hacer una cosa y n formas de hacer otra, existen m x n formas de hacer ambas.
EJEMPLO 10: el doctor Delong tiene 10 camisas y 8 corbatas. ¿Cuántos conjuntos de camisas /corbatas tiene? (10)(8) = 80.
5-37
Algunos principios de conteoAlgunos principios de conteo
Permutación: un arreglo de r objetos seleccionados a partir de un grupo único de n objetos posibles.
Nota: el orden del arreglo es importante en las permutaciones.
5-38
nn
n rP
!
( )r
!
Principios de conteoPrincipios de conteo
Combinación: el número de modos para elegir r objetos de un grupo de n objetos sin considerar el orden.
n rCn
r n r
!
!( ) !
5-39
EJEMPLO 11EJEMPLO 11
El entrenador Topete tiene que elegir 5 jugadores entre los doce del equipo para incluirlos en alineación. ¿Cuántos grupos diferentes se pueden formar? 12C5 = (12!)/[5!(12-5)!] =792
Suponga que el entrenador Topete debe clasificarlos en orden: 12P5 = (12!)/(12-5)! = 95,040.
5-40
Profesora Aura Mélida De la Selva Menéndez47
Hasta este momento: Hasta este momento:
Despues de repasar este material con relación a la Teoría de las probabilidades ahora es el momento de realizar las actividades de aprendizaje y evaluación principalmente busca en las lecturas ejercicios de aplicación por cada tipo de probabilidad, así como de permutaciones y combinaciones.