Escurrimiento de Fluidos Aplicaciones

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ESCURRIMIENTO DE FLUIDOSAplicaciones

ALEJANDRO REYES SALINAS

ESCURRIMIENTO DE FLUIDOSAplicaciones

Editorial Universidad de Santiago de ChileAv. Libertador Bernardo O`Higgins #2229

Santiago de Chile

Tel.: 56-2-7180080

www.editorial.usach.cl

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Alejandro Reyes Salinas

Inscripcin N: 194.968

I.S.B.N.: 978-956-303-100-3

Portada y diseo: Andrea Meza Vergara

Diagramacin: Andrea Meza Vergara

Primera edicin, septiembre de 2010

Impreso en Grfica LOM

Ninguna parte de esta publicacin puede ser reproducida, almacenada o transmitida en manera alguna ni por ningn medio, ya sea elctrico, qumico o mecnico, ptico, de grabacin o de fotocopia, sin permiso previo de la editorial.

Impreso en Chile.

NDICE

Prefacio 11

CAPTULO 1CONCEPTOS GENERALES DE FLUIDOS 151.1. Concepto de fluido 151.2. Propiedades de los fluidos 171.3. Hidrosttica 28Ejercicios 33

CAPTULO 2BALANCES MACROSCPICOS 372.1. Ecuacin de balance 372.2. Balance de masa 382.3. Balance de energa 42Ejercicios 48

CAPTULO 3 FLUJO DE FLUIDOS 513.1. Naturaleza del flujo de fluidos 513.2. Aplicaciones de la ecuacin de Bernoulli, en situaciones que la friccin es despreciable 543.3. Definicin de factor de friccin 633.4. Descripcin de caeras, vlvulas y accesorios 683.5. Evaluacin de prdidas en vlvulas y accesorios 713.6. Aplicaciones que involucran la evaluacin de factores de friccin 743.7. Evaluacin de prdidas en ductos no circulares 823.8. Dimetro ptimo econmico (DOE) 843.9. Situaciones complejas 883.10. Fluidos no newtonianos 99Ejercicios 104

CAPTULO 4MEDIDORES DE FLUJO 1114.1. Medidores que funcionan en base a principios fluido-dinmicos 116 Tubo de Pitot 116 Placa orificio, tobera y Venturi 120Ejercicios 148

CAPTULO 5TRANSPORTE DE LQUIDOS 151A.1 Bombas alternativas o recprocas 151A.2 Bombas rotatorias 156B.1 Bombas centrfugas 162 Teora de bombas centrfugas 170 Funcionamiento real de una bomba centrfuga 177 Determinacin del caudal de operacin 186 Seleccin de bombas centrfugas 194B.2 Bombas con efectos especiales 195Ejercicios 205

CAPTULO 6FLUJO DE GASES 2096.1. Flujo isotrmico 2106.2. Flujo adiabtico 2156.3. Equipos impulsores de gases 219Ejercicios 227

CAPTULO 7CARACTERIZACIN DE PARTCULAS SLIDAS 2297.1. Tamao de partculas 2297.2. Forma de las partculas 235Ejercicio 241

CAPTULO 8FACTORES DE FRICCIN EN MEDIOS POROSOS 2438.1. Teora del conjunto de tubos 2438.2. Teora del medio continuo 248Ejercicios 255

CAPTULO 9FILTRACIN 2579.1. Filtros de lecho profundo 2579.2. Filtros sobre superficies 2639.3. Teora de filtracin de lechos profundos 2759.4. Teora de filtracin sobre superficies 2799.5. Filtracin de tortas compresibles 3079.6. Auxiliares filtrantes 309Ejercicios 313

CAPTULO 10FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS SUMERGIDOS 31710.1. Velocidad Terminal 31910.2. Coeficientes de arrastre 320Ejercicios 323

CAPTULO 11FLUIDIZACIN 32511.1. Introduccin a la fluidizacin 32511.2. Aplicaciones industriales de la fluidizacin 33011.3. Calidad de la fluidizacin 33311.4. Equipos de fluidizacin 33511.5. Parmetros de diseo y de operacin de lechos fluidizados 336Ejercicios 343

CAPTULO 12SEDIMENTACIN 345 Sedimentacin libre 347 Sedimentacin retardada 348 Sedimentacin floculada 34912.1. Anlisis de sedimentadores con sedimentacin retardada 35012.2. Dimensionamiento de espesadores continuos 360Ejercicios 376

CAPTULO 13SEPARACIONES GAS-PARTCULA 37713.1. Separadores gravitatorios 38113.2. Separadores centrfugos (ciclones) 385Ejercicios 392

CAPTULO 14TRANSPORTE HIDRULICO DE SLIDOS EN TUBERAS 39514.1. Introduccin 39514.2. Modelos para predecir prdidas de carga 398 Modelo de Durand 398 Modelo de Newitt 401Ejercicios 411

Apndice 413

11

Captulo 1: Conceptos generales de fluidos

PREFACIO

Con el propsito de reunir los aspectos ms importantes, original-

mente con diversas nomenclaturas propias de cada autor, se presenta este

texto que pretende entregar en forma coherente y sencilla los temas ms

relevantes del Escurrimiento de Fluidos y sus aplicaciones. Este material ha

sido utilizado en cursos de Mecnica de Fluidos y de Separaciones Fluido-

partcula, de la carrera de Ingeniera Civil Qumica y de Fluidodinmica de

la carrera de Ingeniera en Biotecnologa de la Universidad de Santiago de

Chile, USACH, y en programas de Posttulo y cursos cerrados de formacin

profesional ofrecidos por el DIQ/USACH.

El autor agradece a los colegas del rea de Operaciones Unitarias del

Departamento de Ingeniera Qumica de la USACH por haberme facilitado

diversos apuntes de clases, en especial al Profesor Rolando Vega. Tambin

se agradece a los alumnos ayudantes de diversas promociones, que han co-

laborado revisando los ejercicios propuestos.

A mi esposa Elizabeth que me incentiv y apoy incondicional-mente en la preparacin de este texto, y a nuestros hijos Esteban, Alejandro y Daniela.

15


CAPTULO 1CONCEPTOS GENERALES DE FLUIDOS

1.1. Concepto de fluido

Previo a la definicin del trmino fluido, se aclarar el concepto de

esfuerzo de corte, el cual es fcil de comprender analizando las 3 situaciones

fsicas siguientes:

Figura 1.1. Tipos de fuerza ejercida por el peso P.

En la Figura 1.1.a, la cuerda est manteniendo al peso P, el que ejer-

ce una fuerza que tiende a estirar la cuerda. Por otro lado, una tensin es el

cuociente entre una fuerza y el rea sobre la cual se ejerce esta fuerza. La

fuerza que trata de estirar la cuerda se llama fuerza de traccin y la tensin

producida se llama tensin de traccin.

En Figura 1.1.b, una columna mantiene un peso P, el que ejerce una

fuerza que tiende a comprimir la columna. Esta clase de fuerza se llama

fuerza compresiva y la fuerza en la columna se llama tensin compresiva.

En Figura 1.1.c, un pegamento mantiene adherido a las paredes el

peso P, el que ejerce una fuerza que tiende a deslizarlo, bajando por las

paredes y as tensiona el pegamento. Esta fuerza, que tiende a deslizar una

16

Escurrimiento de fluidos USACH

superficie paralela a una superficie adyacente se denomina fuerza de corte y

la tensin en el pegamento, vale decir la fuerza dividida por el rea de pega-

mento se llama tensin de cortadura o esfuerzo de corte (). Luego,

(1.1)

Con el propsito de diferenciar fluidos y slidos, es posible esta-

blecer que los slidos son sustancias que pueden resistir permanentemente

grandes esfuerzos de corte. Al ser sometidos a una fuerza de corte pueden

moverse solamente una pequea distancia (por deformacin elstica) y en-

tonces dejarn de moverse. Si la fuerza de corte es an ms grande se corta-

rn, es decir se rompen (Figura 1.2).

Figura 1.2. Aplicacin de una fuerza de corte sobre un slido.

Los materiales que son fluidos no pueden resistir permanentemente

una fuerza de corte, no importando cuan pequea sea sta. Cuando son so-

metidos a dichas fuerzas ellos comienzan a moverse y continan en movi-

miento mientras se aplica la fuerza (es decir fluyen). Dentro de este contexto

el trmino fluido es general, incluyendo tanto a lquidos como a gases.

17


1.2. Propiedades de los fluidos

Entre las propiedades que caracterizan a los fluidos se tiene la den-

sidad, gravedad especfica, viscosidad, tensin superficial, presin de vapor,

conductividad trmica, etc. Definiremos a continuacin algunas de stas

propiedades fsicas y conceptos fundamentales en mecnica de fluidos:

A) Densidad (): Se define como el cuociente entre masa y volumen.

volumen

masa= (1.2)

Existen numerosas tcnicas experimentales e instrumentos que per-

miten evaluar la densidad de gases, lquidos y slidos, existiendo los dens-

metros, picnmetros de lquidos y gases. Frecuentemente los textos de mec-

nica de fluidos y manuales en general, incluyen tablas con valores de densi-

dad para diferentes lquidos y slidos, referidos a 1 atmsfera y temperatura

de 4 C o 20 C.

Para el caso de gases, dado que su densidad depende fuertemente

de la presin y temperatura, es prctica comn emplear relaciones P-V-T

(ecuaciones de estado) para tal efecto. Si las condiciones de presin no son

severas puede usarse la ecuacin de gas ideal:

p M

R T =

(1.3)

en que:

p = presin absoluta

M = peso molecular

T = temperatura absoluta

R = constante de los gases

18


Ejemplo 1.1

En un ducto de ventilacin circula aire a 20 C y P = 1.1 at. Cul es la den-

sidad del aire?

Solucin:

Considerando que el aire se comporta como gas ideal, usaremos la ecuacin

de gases ideales, ecuacin 1.3. Introduciendo los valores respectivos, se ob-

tiene = 1,33 (kg/m3).

Note que en esta situacin, si la presin aumenta al doble, la densidad del

aire tambin se duplica.

Ejemplo 1.2

Determine la densidad de metano a 50 C y 2.5 atmsferas.

Solucin:

B) Gravedad especfica (G.E.): Gravedad especfica se define como el cuo-

ciente entre la densidad del fluido y la densidad de un fluido de referencia,

en condiciones establecidas. Vale decir:

(1.4)

Esta definicin tiene el mrito de ser una razn, por lo tanto, es un nmero

puro, sin dimensin. Debe tenerse en cuenta el fluido de referencia y las

condiciones de presin y temperatura de ste. Normalmente el fluido de re-

ferencia es agua y la presin de referencia es 1 atmsfera. Como temperatura

de referencia para slidos y lquidos se utiliza 4 C (39 F) o 21.1 C (70 F).

19


Para gases suele utilizarse como fluido de referencia aire a 1 atmsfera, a las

temperaturas ya sealadas.

Algunos procesos industriales utilizan escalas especiales de densida-

des de fluidos, las que usualmente se refieren como gravedades. Algunas

de ellas son: gravedad API para aceites y petrleo, gravedad Brix para

industria del azcar y gravedad Baum para cido sulfrico. Cada una de

estas escalas es convertible en densidad, existiendo tablas y frmulas para

este efecto.

C) Viscosidad: La viscosidad es una medida de la resistencia a fluir. Por

ejemplo el agua es menos viscosa que la miel. Una definicin ms precisa

para viscosidad es posible en trminos del siguiente experimento:

Consideremos dos placas largas, separadas por un pequeo film de

lquido. Si se mueve la placa superior en la direccin X con velocidad Vo,

se requerir una fuerza para vencer la friccin en el fluido entre las placas.

Esta fuerza ser diferente para diferentes velocidades, diferentes fluidos y

diferentes separaciones entre placas. Midiendo la fuerza por unidad de rea

de la placa se obtiene el esfuerzo de corte ().

Figura 1.3. Experimento de la placa deslizante.

20


Experimentalmente se ha demostrado que a bajos valores de Vo el

perfil de velocidades en el fluido entre placas es lineal, es decir:

Tambin se ha demostrado experimentalmente que para la mayora

de los fluidos los resultados de este experimento pueden mostrarse en forma

ms conveniente graficando vs dV/dy. En la Figura 1.4 se describen los comportamientos ms frecuentes:

Figura 1.4. Comportamiento reolgico de diferentes fluidos, en funcin del esfuerzo de

corte () vs dV/dy.

El comportamiento ms comn es el representado por la lnea recta

que parte del origen, llamada newtoniana porque describe la ley de Newton

de la viscosidad:

yd

Vd = (1.5)

Aqu corresponde a la viscosidad o coeficiente de viscosidad.

21


Los gases como el aire, presentan bajos valores de la viscosidad,

quedando la recta vs dV/dy muy cerca del eje horizontal. Para fluidos ta-

les como jarabe de maz el valor de es muy grande, pasando la lnea recta

cercana al eje .

Los fluidos que siguen el comportamiento ya descrito son llamados

fluidos newtonianos. Todos los otros son llamados fluidos no-newtonianos.

Qu fluidos son no-newtonianos? Aquellos formados de molculas o par-

tculas mucho mayores que las molculas de agua, tales como suspensiones

concentradas y pastas en general.

Dimensiones y unidades de la viscosidad ().

Las dimensiones de la viscosidad se pueden deducir de la ley de Newton de

la viscosidad:

Utilizando dimensiones de masa, longitud, tiempo (es decir, un sistema ab-

soluto), tenemos:

En el sistema centmetro-gramo-segundo (CGS), la unidad de viscosidad es

el poise:

22


Por comodidad se emplea frecuentemente el centipoise.

1 centipoise = 0.01 poise = 0.001 [kg /(m s)]

Variacin de la viscosidad con la temperatura y presin

La variacin de la viscosidad con la temperatura es significativa, por lo que

se debe considerar este efecto en el diseo de equipos. La viscosidad de

lquidos disminuye al aumentar la temperatura, mientras que para gases el

efecto es inverso.

El efecto de la presin en la viscosidad de lquidos normalmente es

despreciable. Para gases a presiones elevadas, la viscosidad aumenta con la

presin.

En tablas y nomogramas se dispone de valores de la viscosidad de

lquidos y gases, normalmente referidos a 1 atmsfera. En literatura espe-

cializada se dispone de ecuaciones para determinar la viscosidad en funcin

de la presin.

Fluidos no newtonianos

Existen numerosos fluidos que no siguen el comportamiento newto-

niano, tales como suspensiones concentradas y pastas en general. Para estos

fluidos se han propuesto ecuaciones que representan su comportamiento es-

pecfico en trminos de la relacin entre esfuerzo de corte () y el gradiente

de velocidad. A continuacin se muestran las ecuaciones de dos modelos:

Modelo de Bingham

Toda sustancia que sigue este modelo de dos parmetros se denomina plsti-

co de Bingham; permanece rgida mientras el esfuerzo cortante es menor de

un determinado o, comportndose como fluido newtoniano para >

o.

23


(1.6)

y

(1.7)

Tabla 1.1. Parmetros para fluidos de Bingham (Levenspiel, 1993).

FluidoTensin de fluencia,

o

(Pascales)Viscosidad plstica,

(kg/m s)

Ketchup (30 C) 14 0.08

Mostaza (30 C) 38 0.25

Oleomargarina (30 C) 51 0.72

Mayonesa 85 0.63

Modelo de Ostwald de Waele (o ley de la potencia)

En este modelo, K es el ndice de consistencia de flujo y n es el ndice

de comportamiento de flujo. Si n1, el fluido es dilatante. En Tabla 1.2. se presentan par-

metros para algunos fluidos que siguen la ley de la potencia

(1.8)

24


Tabla 1.2. Parmetros de fluidos que siguen la ley de la potencia (Levenspiel,

1993).

Fluidon(-)

K(kg/ms2-n)

Compota de manzana (24 C) 0.41 0.66

Papilla de pltanos (24 C) 0.46 6.5

Sangre humana 0.89 0.00384

Sopas y salsas 0.51 3.6 - 5.6

Jugo de tomate (5.8% de slidos, 32 C) 0.59 0.22

Jugo de tomate (30% de slidos, 32 C) 0.40 18.7

Pasta de papel en agua (4%) 0.575 20.7

Cal en agua (33%) 0.171 7.16

Carboximetilcelulosa en agua (15%) 0.554 3.13

D) Presin: La fuerza normal que acta sobre un rea plana dividida por el

rea es la presin media. Si el rea tiende a cero, se habla de presin pun-

tual, la cual es la misma en todas las direcciones (x, y, z). En situaciones de

mecnica de fluidos es frecuente trabajar con escalas de presin absolutas y

escalas relativas como por ejemplo presiones manomtricas y presiones de

vaco. Las relaciones entre ellas son directas:

Pmanomtrica

= P absoluta

- Patmosfrica local

(1.9)

P de vaco

= Patmosfrica local

- Pabsoluta

(1.10)

En la Figura 1.5 se muestran grficamente estas relaciones. Debe

observarse que las presiones absolutas siempre sern positivas, no as las

manomtricas que podran ser negativas.

25


Figura 1.5. Escalas de presin (Absoluta y relativas).

Instrumentos para medir presin.

El manmetro Bourdon (Figura 1.6) es uno de los aparatos tpicos

que se usan para medir presiones manomtricas. El elemento que soporta la

presin es un tubo metlico curvado, cerrado por un extremo, y que por el

otro se conecta al recipiente que contiene el fluido cuya presin va a medir-

se. Cuando la presin interna aumenta, el tubo tiende a enderezarse, tirando

de un eslabn que acta sobre la aguja obligndola a moverse. En la esfera

se lee cero cuando en el interior y en el exterior del tubo reina la misma

presin, cualesquiera que sean sus valores particulares. La esfera puede ser

graduada con las unidades que se prefieran, tales como mm de mercurio o

metros de agua. Por su construccin, este manmetro sirve para medir pre-

siones relativas a la presin del medio que rodea al tubo, que suele ser la

presin atmosfrica local.

26


Figura 1.6. Instrumentos de medicin. a) manmetro de Bourdon, b) Vista interna del ma-

nmetro de Bourdon, c) Calibrador de peso muerto.

El manmetro de Bourdon, por ser un dispositivo de tipo mecnico

debera ser calibrado peridicamente utilizando, por ejemplo, un calibrador

de peso muerto (Figura 1.6.c).

Otros instrumentos para medir presin funcionan en base a diafrag-

mas (Figura 1.7), transductores piezoresistivos, transductores piezoelctri-

cos, columnas de lquidos manomtricos. Estos ltimos sern descritos ms

adelante.

Figura 1.7. Instrumentos para medir presin en base a diafragmas.

E) Presin de vapor: Los lquidos se evaporan porque las molculas se esca-

pan de su superficie. Cuando el espacio por encima del lquido est limitado,

las molculas de vapor ejercen una presin parcial en dicho espacio, llamada

27


presin de vapor. Despus de un tiempo suficiente, el nmero de molculas

de vapor que chocan contra la superficie del lquido y de nuevo se condensan

es justamente igual al nmero de las que escapan en un intervalo de tiempo,

existiendo un equilibrio. Como este fenmeno depende nicamente de la ac-

tividad molecular, la cual es funcin de la temperatura, la presin de vapor

de un fluido dado depende de la temperatura y aumenta con ella. Cuando la

presin encima del lquido se iguala a la presin del vapor del lquido, ste

hierve. La ebullicin del agua, por ejemplo, puede ocurrir a la temperatura

ambiente si la presin se reduce suficientemente. As a 20 C el agua tiene una

presin de vapor de 2337 (Pa), equivalente a 0.00000176 kgf/cm2.

En algunas situaciones que implican el movimiento de lquidos es

posible que se produzcan presiones muy bajas en determinados sectores del

sistema. Bajo tales circunstancias la presin puede llegar a ser igual o menor

que la presin del vapor. Cuando ocurre esto, el lquido se transforma en

vapor. Este es el fenmeno de cavitacin, en el cual se forman bolsas o cavi-

dades de vapor, que normalmente son sacadas de su punto hacia zonas donde

la presin es mayor que la presin del vapor, producindose el colapso de

estas cavidades o burbujas. Este crecimiento y decaimiento de las burbujas

de vapor afecta al rendimiento de funcionamiento de las bombas y turbinas

hidrulicas y puede dar como resultado erosiones en las partes metlicas de

la regin de cavitacin (Ver captulo 5).

F) Tensin superficial: En la superficie de contacto entre lquido y gas,

parece formarse en el lquido una pelcula o capa especial, debida en apa-

riencia a la atraccin de las molculas del lquido situadas por debajo de

la superficie. Esto se comprueba fcilmente al colocar una pequea aguja

en la superficie del agua en reposo y observando como es soportada por la

pelcula. Esta propiedad de la pelcula superficial de ejercer una tensin se

llama tensin superficial y es la fuerza necesaria para mantener la unidad de

longitud de la pelcula en equilibrio. La tensin superficial agua/aire dismi-

28


nuye desde 72.8 mili Newton/m (0,00745 kgf/cm) a 20 C hasta 58.9 mili

Newton/m (0,00596 kgf/m) a 100 C.

1.3. Hidrosttica

Un fluido se considera esttico si todos los elementos constituyentes

del fluido se encuentran en reposo o se mueven con velocidad uniforme, con

respecto a un sistema de referencia. Esto se cumple cuando existe un equili-

brio de las fuerzas que actan sobre el fluido.

En un fluido en reposo slo actan esfuerzos normales (presin) y

necesariamente los esfuerzos de corte () deben ser cero.

Para un fluido en reposo la presin es la misma en todas las direccio-

nes, pero vara con la altura, segn la ecuacin fundamental de la hidrostti-

ca (conocida tambin como ecuacin de Torricelli), es decir:

(1.11)

p = presin

= densidad del fluido

h = altura

g = aceleracin de gravedad

De acuerdo con la Figura 1.8, pa = p

b = p

c, siempre que entre a, b, y c exista

un medio continuo y homogneo.

Conociendo la presin en la aparte inferior del estanque, se puede evaluar la

presin en h = h1, integrando la ecuacin fundamental de la hidrosttica:

29


d p = - gdh

Considerando que el fluido es incompresible ( = constante) se obtiene:

pa = p

d g h

1 (1.12)

Esta ltima expresin se utiliza para evaluar cambios de presin en

estanques, columnas de lquido, etc.

Figura 1.8. Presiones en un estanque de lquido, de densidad .

30


Ejemplo 1.3

Deduzca una expresin que permita evaluar la presin en el fondo de un

tambor (px) que contiene en su parte inferior agua y en la parte superior

aceite:

Solucin:

p2 = p

atmosfrica

p1 = p

2+

aceite gh

2

px = p

1 +

agua gh

1

Luego: px = p

2 + g [

aceite h

2 +

agua h

1]

Ejemplo 1.4

Un manmetro en U consiste en una columna de vidrio curvada, que con-

tiene en su interior un lquido, inmiscible con el fluido del estanque al cual

se conecta. Al respecto, un manmetro en U se encuentra conectado a un

gasmetro que contiene 02. Si la presin atmosfrica es de 760 mm de Hg,

determine la presin absoluta y la presin manomtrica en el interior del es-

tanque, considerando que el lquido manomtrico es mercurio y que la rama

de la derecha est abierta a la atmsfera.

Solucin:

p1 = p

2; (puntos a igual nivel)

p3 p

4; (estn a un mismo nivel, pero entre ellos no existe un medio continuo

y homogneo)

31


Aplicando la ecuacin de la hidrosttica a la rama izquierda y luego a la rama derecha del manmetro:

p1 = p

O2 +

O2 g 0.5(m) +

O2 g 0.2(m)

p2 = p

atmosfrica +

Hg g 0.5(m) +

aire g 0.2(m)

Igualando estas expresiones:

pO2

= patmosfrica

+ Hg

g 0.5(m) + aire

g 0.2(m) O2

g 0.5(m) -

O2 g 0.2(m)

pO2

= Patmosfrica

+ g [Hg

0.5 + aire

0.2 O2

0.7]

pO2

= 760 mmHg + 9.8 m/s2 [13.600 kg/m3 0.5 m + 1.1 kg/m3 0.2 m 1.3 kg/m3 0.7]

pO2

= 760 mmHg + 66633.2 kg/s2m; pero: 1 kg/s2m = 0.0075 mmHg, luego:

pO2

= 1259.75 [mmHg] (presin absoluta)

Para obtener la presin manomtrica se debe restar a este valor la presin atmosfrica local:

pmanomtrica de O2

= 499.75 mm Hg

Ejemplo 1.5

Un manmetro Bourdon se encuentra conectado a una tubera por la cual cir-

cula agua, segn se muestra en la figura. Si el manmetro indica una presin

de 60 psig, Cul es la presin absoluta en la caera si en el lugar la presin

atmosfrica es de 14 psia (724 mm Hg)?

32


Solucin:

p1 (manomtrica)

= 60 psig = 3102.9 mm Hg

p1 (abs)

= 60 psi + 14 psia = 74 psia

= 3826.9 mm Hg

p1 = p

2 +

agua g 0.61 m

p2 = p

1

agua g 0.61 = 3826,9 mm Hg 1000 kg/m3 9.8 m/s2 0.6 m

p2 = 3826,9 mm Hg 5978 kg/ms2 0.0075 mm Hg/(kg/ms2) = 3782 mmHg

p2 = 73.13 psia (absoluta) = 58.4 psi (manomtrica)

33


EJERCICIOS

1.1. A nivel del mar se tiene una presin de 14,7 lbf/pulg2 y una tempe-

ratura de 20 C. Determine la presin atmosfrica a alturas de 300;

3.000 y 30.000 m. sobre el nivel del mar, considerando una atmsfera

isotrmica.

1.2. Grafique la viscosidad de aire, agua y cido sulfrico al 60%, a una

temperatura de 0; 50 y 75 C, a la presin atmosfrica. Qu conclu-

siones deduce de estos resultados?

1.3. Utilizando las propiedades crticas del N2, determine su viscosidad

a 1; 10; 50 y 100 at. y a una temperatura de 293 K.1.4. Determine la

densidad de flujo de cantidad de movimiento (esfuerzo de corte) en es-

tado estacionario, expresado en kgf/m2 y kg/m.s2, cuando la velocidad

V de la lmina superior es de 0,3 m/s. La distancia entre las lminas es

de 0,3 mm. y la viscosidad del fluido es 0,7 c.p.

1.4. Exprese una presin manomtrica de 0,6 kgf/cm2, cuando la presin

atmosfrica es de 750 mm de Hg, en:

a) metros de columna de agua.

b) psia.

c) kgf/cm2 (abs).

d) Newton/m2 (abs).

e) Kilo-Pascales (abs).

f) torr (abs).

34


1.5. El agua que se encuentra en un depsito cerrado est sometida a una

presin manomtrica de 0,3 kgf/cm2, ejercida por aire comprimido

introducido en la parte superior del depsito. En la pared lateral del

mismo hay un pequeo orificio, situado 5 m. por debajo del nivel del

agua. Calcular la velocidad con la cual sale el agua por este orificio.

1.6. El tubo de la figura est lleno de aceite. Determine la presin en A y B

en metros de columna de agua.

1.7. Una manera de determinar la densidad de un lquido, x, (con densidad

cercana pero menor que la del agua) es el sistema que se muestra en la

figura siguiente:

35


1.8. La prdida de presin a travs del accesorio X se mide utilizando un

manmetro de la forma indicada, con un aceite cuya densidad relativa

es 0,75. El lquido que fluye tiene una densidad relativa de 1,5.

a) Utilizando las medidas que se indican, calcular la diferencia de pre-

sin entre las dos conexiones piezomtricas en unidades MKS y en

columna de fluido circulante.

b) Determine qu densidad debe tener el lquido manomtrico para

que una diferencia de presin de 0,1 atmsferas produzca una diferen-

cia de 100 cm.

Captulo 2: Balances macroscpicos

37

CAPTULO 2BALANCES MACROSCPICOS

2.1. Ecuacin de balance

La expresin general para un balance tiene la forma siguiente:

(2.1)

Esta ecuacin de balance puede ser aplicada a cualquier propiedad

extensiva X, entendindose por propiedad extensiva aquella que se duplica

al duplicarse la masa del sistema, por ejemplo, energa, entalpa, masa, can-

tidad de movimiento, etc. Tambin es aplicable a unidades contables: dinero,

personas, rboles, etc.

Al aplicar la ecuacin de balance deben especificarse claramente los lmites

del sistema sobre el cual se aplica el balance. Los tipos de sistema son:

Un sistema abierto, aquel cuyos lmites permiten la entrada y salida de energa y masa.

Un sistema cerrado, aquel cuyos lmites slo permiten la entrada y salida de energa.

Un sistema aislado, aquel que no permite el intercambio de energa ni de masa.

Si se elige como sistema alguna regin arbitraria del espacio en la

cual puedan existir flujos de entrada y/o salida, entonces este sistema ser el

volumen de control.

USACH

38

Escurrimiento de fluidos

La ecuacin de balance no es aplicable a unidades incontables ni a propiedades

intensivas (temperaturas, presin, viscosidad, dureza, color, densidad, etc.).

2.2. Balance de masa

Como ya se seal, a la masa, propiedad extensiva, se le puede apli-

car la ecuacin de balance. Los trminos de creacin y destruccin de masa

son cero, por lo que el balance de masa ser:

(2.2)

La ecuacin de balance de masa se conoce tambin con los nombres

de: ecuacin de conservacin de masa, ecuacin de continuidad o principio

de continuidad.

Si el trmino de acumulacin de masa se hace despreciable, se habla

de balance de masa en estado estacionario. En este caso se obtiene:

{Flujo msico de entrada} = {Flujo msico de salida} (2.3)

Esta expresin se conoce como ecuacin de continuidad en estado estacio-

nario.


39

Ejemplo 2.1

Por una tubera circula agua en estado estacionario. En un sector de la tube-

ra de dimetro 0,1 m la velocidad es de 3 m/seg. Si luego el dimetro de la

tubera aumenta a 0,2 m, determine la nueva velocidad del agua.

agua

= 1000 (kg/m3)

V1 = 3 (m/s)

D1 = 0.1 (m)

D2 = 0.2 (m)

V2 = ?

Solucin:

El sistema ser el fluido comprendido entre 1 y 2.

Flujo msico = w1 =

1 (kg/m3) A

1 (m2) V

1 (m/s)

Pero, de acuerdo con el balance de masa:

w1 = w

2 =

2 A

2 V

2, de aqu:

Note que: w1 = w

2 =

1 A

1 V

1 =

2 A

2 V

2

Si el fluido es un lquido como en este caso (fluido incompresible):

2

2

112V

=

D

DV

Ejemplo 2.2

Un estanque cilndrico de dimetro 3 m posee una tubera de entrada de di-

metro 10 cm y una tubera de salida de dimetro 15 cm. En la primera entra

USACH

40


agua a una velocidad de 3 (m/seg) y en la segunda sale agua a una velocidad

de 1 (m/seg) El nivel de agua en el estanque sube o baja?

Esta situacin corresponde a un ba-lance de masa en estado no estacio-nario.

D1 = 0.1 m

V1 = 3 m/s

D2 = 0.2 m

V2 = 1 m/s

Dado que el fluido es incompresible 21 == = 1 = 2

El valor positivo de dv/dt nos indica que el nivel del estanque sube.

Ejemplo 2.3

Se desea saber en cunto tiempo se llenar el estanque del problema anterior,

considerando que cuando se abren las vlvulas de entrada y salida contiene

5 m3 de agua. La altura del estanque es de 2 metros.

Solucin:

El planteamiento del problema es similar al anterior, vale decir:

; luego


41

vinicial

= 5 m3, para t = 0

vfinal

= (/4) D2 L = (/4) 32 2 = 14.137 m3

vfinal

- vinicial

= 0.00589 t (min)9.25)(3.1551 == st t = 1551.3(s) = 25.9 (min)

Ejemplo 2.4

El estanque de la figura contiene aire que puede ser considerado como un

gas ideal. La bomba de vaco est extrayendo aire del estanque. Durante el

proceso los serpentines mantienen la temperatura constante en el interior del

estanque en 70 F. El flujo volumtrico de salida de aire es de 1 pie3/min,

independiente de la presin. Cunto tiempo emplea la bomba en disminuir

la presin desde 1 atm a 0.001 atm?

Solucin:

El estanque es el sistema en estudio:

Pi = 1 at

Pf = 0.001 at

Qsalida

= 1 (pie3/min)

La ecuacin general es:

= wentrada

wsalida

; pero: wentrada

= 0

USACH

42


= w

salida ; w

salida = Q

teconsvQtd

vdtan;

)(== =

Q ; v = constante

2.3. Balance de energa

Un sistema puede poseer diversas clases de energa: interna, cintica,

potencial, electrosttica, magntica, etc. Definiremos las tres primeras por

ser las ms importantes en el flujo de fluidos:

Energa interna (U). Es una propiedad intrnseca del fluido. El sistema a estudiar estar integrado por molculas orientadas segn una geome-

tra particular, en el caso de slidos, o bien siguiendo un movimiento

errtico en el de los fluidos.

Energa potencial ().Se debe a la posicin del fluido con respecto a un plano de referencia arbitrario.

Energa cintica (K). Est asociada al movimiento del fluido.

Para estas dos ltimas existen expresiones que permiten su evalua-

cin. El sistema a considerar ser abierto, siendo el sistema el fluido que

pasa por el circuito general mostrado a continuacin:


43

Figura 2.1. Circuito sobre el cual se realizar el balance de energa.

Consideremos que el sistema puede almacenar energa interna, po-

tencial y cintica y que pueden existir adems energa en trnsito como

calor (Q) y trabajo (W).

Usaremos la siguiente nomenclatura:

Energa (Energa/tiempo) (Energa/masa)

Energa interna U u u

Energa potencial

Energa cintica K k k

Aceptaremos adems la siguiente convencin de signos:

Figura 2.2. Convencin de signos.

USACH

44


En el sistema elegido puede entrar o salir cualquiera de los tipos acu-

mulables de energa (interna, potencial, cintica), al igual que las energas en

trnsito (calor y trabajo). Usando la ecuacin general de balance, aplicada al

sistema sealado en Figura 2.1, se obtiene:

(2.4)

En este balance no se han considerado trminos de generacin o de

destruccin de energa, ya que normalmente no se producen en situaciones

corrientes de escurrimiento de fluidos.

A continuacin, plantearemos expresiones para cada uno de los trminos

que aparecen en la ecuacin de balance, y luego los introduciremos en ella:

= gZg = aceleracin de gravedad

Z = altura respecto a un nivel de referenciau = (energa interna/masa)k = V2/ (energa cintica/masa)V = velocidad media en la tubera

= parmetro de correccin de la energa cintica. Se evala con Figura 2.3 para fluidos newtonianos.

Con respecto al trmino de trabajo, en un sistema como el mostrado

en Figura 2.1 existen dos formas de trabajo:

a) Un trabajo que debe realizarse para que la masa de fluido entre y

salga del sistema. Se le llama trabajo de flujo. En unidades de ener-

ga/masa, el trabajo de flujo = p/.b) Un trabajo relacionado con partes mviles (bomba, compresor, tur-

bina, etc.). Se denomina W en unidades de energa/tiempo y se llama

W cuando est en unidades de energa/masa.


45

Figura 2.3. Factor de correccin de energa cintica () vs Reynolds (Adaptado de Hicks T. Pump, selection and application, 1957).

Para fluidos no-newtonianos que siguen la ecuacin 2.5, puede ser evaluado con expresin 2.6, vlida en rgimen laminar.

(2.5)

(2.6)

Introduciendo cada uno de los trminos en la expresin general de

balance de energa, para un fluido incompresible, se obtiene:

(2.7)

Si el en sistema no hay acumulacin de masa, podemos considerar

w1 = w

2 = w. Adems si consideramos que el balance se realiza en estado

estacionario, el trmino de acumulacin de energa ser cero. Luego, divi-

diendo por w, se obtiene:

(2.8)

USACH

46


Reordenando esta expresin y multiplicando por -1 se llega a:

(2.9)

(2.10)

Introduciendo las expresiones para la energa cintica y potencial:

(2.11)

Reescribiendo esta ecuacin se obtiene:

(2.12)

En la mayora de las aplicaciones de inters prctico es posible con-

siderar = 1 [Rgimen turbulento].

De acuerdo con lo especificado anteriormente, el significado de cada

uno de estos trminos es:

p/ = energa de flujo por unidad de masa del fluidogZ = representa la energa potencial sobre un nivel de referencia por unidad

de masa del fluido.

2

2

1 V= energa cintica por unidad de masa del fluido.

= es el trabajo realizado por el fluido o el trabajo realizado sobre el fluido.

Es distinto al trabajo entregado por los equipos mecnicos, aunque se rela-

cionan a travs de la eficiencia de las unidades mecnicas.


47

= )( Qu corresponde a las prdidas por friccin al ir el fluido desde 1 a 2.

Llamaremos a vEQu )( =

Siempre se cumplir que vE > 0 (de lo contrario significara que es

posible enfriar un fluido mediante friccin).

De acuerdo con esto, la ecuacin de balance de energa ser:

(2.13)

(2.14)

Pero p/= v p ; siendo v = volumen especfico

(2.15)

Por definicin: entalpa: vpuH +=

Luego: )( vpuH += (2.16)

Introduciendo el trmino de entalpa en la ecuacin de balance:

(2.17)

Esta ecuacin es de gran utilidad para evaluar cambios energticos

en sistemas en que la temperatura vara considerablemente. Se conoce como

balance de energa total.

USACH

48


EJERCICIOS

2.1. Un estanque de agua tiene una tubera de entrada de 30 cm. de dime-

tro y dos tuberas de salida de 15 cm. y 10 cm., respectivamente. La

velocidad en la tubera de entrada es 1,5 m/s y en la salida de 15 cm. de

dimetro es 2 m/s. La masa del estanque aumenta a razn de 23,6 kg/s.

Cul es la velocidad, el flujo volumtrico y el flujo msico en la tubera

de 10 cm.? Si esta tubera se cierra cul ser la variacin de la masa del

estanque en el tiempo?

2.2. Gas Metano (M=16 kg/kgmol) circula por una caera en estado es-

tacionario a 25 C. En la seccin (1) de la caera, la velocidad es 2,2

(m/s) y la presin es 1,2 (at). En qu proporcin se debe disminuir

el dimetro de la caera para que en el punto (2) la velocidad del gas

aumente a 8,8 (m/s), considerando que la presin en esa seccin es de

1,1 (atm)? [Solucin: D1/D

2 = 1.9]


49

2.3. Dos estanques de grandes dimensiones conteniendo agua se encuen-

tran conectados con una tubera. El estanque A tiene una presin sobre

el agua de 1,2 (at), mientras que el estanque B se encuentra abierto a

la atmsfera. Es posible que fsicamente se d esta situacin? Justif-

quelo.

Captulo 3: Flujo de fluidos

51

CAPTULO 3FLUJO DE FLUIDOS

3.1. Naturaleza del flujo de fluidos

Antes de iniciar las aplicaciones de los balances de masa y energa

al flujo de fluidos, es fundamental considerar algunos aspectos del compor-

tamiento de los fluidos.

En 1883, Osborne Reynolds (1842-1912), un fsico britnico, con-

cluy que a bajas velocidades de agua, esta flua en lminas o capas parale-

las. En efecto, Reynolds en 1883 realiz el siguiente experimento: conect

un depsito de agua a un tubo de vidrio horizontal. En el extremo por donde

ingresa la corriente de agua instal una boquilla por la que se inyecta agua

coloreada, tal como se esquematiza en la Figura 3.1.

A bajas velocidades, a lo largo del tubo permanece el filamento de

tinta, ya que las partculas de tinta difunden lentamente y no tienen tiempo

de diseminarse. A este flujo se le llama laminar. Reynolds prob disminuir

y aumentar la viscosidad del fluido, calentando y enfriando el agua respec-

tivamente. El experimento mostr que en todos los casos existe una velo-

cidad crtica que vara en proporcin directa con la viscosidad del flujo. Al

aumentar la velocidad del agua encontr que a una velocidad determinada,

velocidad crtica, desapareca el chorro coloreado y la masa global de fluido

se coloreaba uniformemente, concluyendo que sobre la velocidad crtica las

partculas dejan de moverse en forma ordenada y paralela, movindose en

forma catica, mezclndose completamente.

USACH

52


Figura 3.1. Experimento de Reynolds.

Reynolds determin que la velocidad crtica dependa del dimetro del tubo

y de las propiedades fsicas del fluido: densidad () y viscosidad (). Poste-riormente, se concluy que estos parmetros se pueden agrupar en un nme-

ro adimensional, nmero de Reynolds, Re, definido de la forma siguiente:

(3.1)

=densidad del fluido. = viscosidad del fluido.

V = velocidad media del fluido.

L = longitud que caracteriza al ducto. Para tuberas circulares L = D (di-

metro).

Experimentalmente se determin que para el flujo en el interior de

tuberas, cuando Re 2100 el flujo es laminar y que cuando Re > 4000, el

rgimen de flujo es turbulento. En la zona comprendida entre 2100 y 4000

el flujo puede ser laminar o turbulento, dependiendo de las caractersticas

superficiales de la tubera, llamndose esta zona de rgimen de transicin.

En rgimen laminar es posible describir totalmente el comportamiento del

fluido en el interior de ductos, a partir de ecuaciones tericas. Por ejemplo,

para un fluido newtoniano, se ha demostrado que el perfil de velocidades en


53

el interior de un ducto circular es parablico, con la velocidad mxima en

el centro del ducto, cuando el flujo esta establecido (sin perturbaciones). La

expresin para el perfil de velocidades en esta situacin es:

(3.2)

en que:

v = velocidad puntual o local para cualquier r

mxv = velocidad en el centro del ductor = posicin dentro del ducto (radial)

R = radio del ducto

En problemas de escurrimiento de fluidos, normalmente interesa co-

nocer la velocidad media del fluido, V. Esta puede evaluarse utilizando la

definicin de velocidad media:

(3.3)

Al introducir en esta definicin general de velocidad media, el perfil

para rgimen laminar de un fluido newtoniano e integrar, se obtiene:

(3.4)

Por otro lado, existen instrumentos que permiten medir la velocidad

puntual o local mxv en funcin del radio. Si este instrumento, por ejemplo un tubo de Pitot, se coloca en el centro del ducto y el rgimen es laminar, es

posible conocer la velocidad media usando la expresin V = mxv /2.

Dado que en general, en rgimen turbulento no es posible descri-

bir tericamente el comportamiento del fluido, se han establecido relacio-

USACH

54


nes empricas, observndose que en rgimen altamente turbulento V/ mxv

~ 0.81. En la Figura 4.6 se presenta un grfico que relaciona el cuociente

V/ mxv con el nmero de Reynolds.

3.2. Aplicaciones de la ecuacin de Bernoulli, en situaciones que la friccin es despreciable

En la seccin 2.3. se obtuvo la ecuacin de Bernoulli, expresin que

corresponde a un balance de energa mecnica en estado estacionario:

(2.13)

Considerando que en algunas aplicaciones el trmino de prdidas por

friccin (v) es pequeo frente a los otros trminos, se obtiene una expresin

simplificada de la ecuacin 2.13:

(3.5)

Esta ltima expresin es aplicable slo en algunas situaciones particulares:

Ejemplo 3.1

Un estanque se encuentra lleno de agua y abierto en el tope. Posee un peque-

o orificio cerca del fondo, cuyo dimetro es pequeo comparado con el di-

metro del estanque, Cul es la velocidad del agua a la salida del orificio?

Solucin:

Aplicaremos el balance de energa mecnica (Bernoulli) entre la superficie

del estanque (Punto 1) y el fluido que sale por el orificio (Punto 2).


55

Debe observarse que las presiones absolutas siempre sern positivas, no as las manomtricas que podran ser negativas.

Consideraciones:

a. v1 = 0 (Velocidad de descenso del

agua en el estanque).b. P

1 = P

2 Presin atmosfrica.

c. Friccin despreciable 0

vE

d. No hay trabajo externo 0=

We. El flujo es estacionario, es decir el nivel del agua no baja. f. Z

2 = 0 (nivel de referencia).

g. 2 =1

Luego:

Simplificando:

Introduciendo valores numricos:

Nota: Si se consideran las prdidas por friccin debido a la expansin, dada

por V = K 2/2, con K=1, se obtiene:

Este ltimo valor es ms cercano a la realidad.

USACH

56


Ejemplo 3.2

El mismo estanque del ejemplo anterior se encuentra ahora sumergido en

otro estanque de mayor dimetro, que contiene gasolina. (G.E. = 0,72) Cul

ser el valor de la velocidad de salida del agua?

Solucin: Datos: H20

= 1000(kg/m3); gasolina

= 720(kg/m3)

De acuerdo con lo visto en hidrosttica *11 pp = .

Punto 2 se encuentra ubicado a la salida del estanque de agua.

p1 = p

0 +

gasolina g x

p2 = p

1 +

gasolina g h

Ntese que *22 pp , ya que si

*22 pp = , no se producira

la descarga de agua. Adems

2*2 pp > .

Z2 = 0 (nivel de referencia)

Aplicando un balance de energa mecnica (Bernoulli) entre 1* y 2

(el sistema es el agua) se obtiene:


57

Introduciendo los valores numricos:

v2 = 2,34(m/s)

Nota: Si se evalan las prdidas por friccin debido a la expansin, con la

expresin V = K 2/2, con K=1, se obtiene:

Este ltimo valor es razonable, ya que la prdida por expansin reduce la

energa disponible para la salida del agua.

Ejemplo 3.3

En la figura que se entrega a continuacin, se muestran dos estanques conec-

tados a travs de una tubera. El agua circula de A a B o a la inversa?

Solucin:

En esta situacin debe escribirse la ecuacin de Bernoulli con todos sus

trminos:

Debe suponerse una direccin de flujo y aplicar Bernoulli en esa di-

reccin. Si el valor que se obtiene para V es positivo, la direccin del flujo

supuesto es correcta, en caso contrario, la direccin ser opuesta.

USACH

58


Supondremos flujo de 1 a 2:

Luego:

101,318 (m2/s2) + 9,8 (m/s2) 8(m) = ( )2 222,9VE m s

=

( )2 222,9VE m s

== 22,9(m2/s2)

Dado que V > 0, la direccin de flujo supuesta es correcta y el fluido

va desde el estanque A al B.

Ejemplo 3.4

Un flujo volumtrico de 0,25(m3/s) de agua circula a travs de una turbina.

Cul es la potencia entregada por el fluido a la turbina, si a la entrada el

dimetro es de 30(cm) y la presin de 2,5(atm), mientras que en la salida el

dimetro es de 60(cm)y la presin de 0,8(atm)?


59

Solucin:Clculos de las velocidades:

Aplicando un balance de energa mecnica (Bernoulli) entre los pun-

tos 1 y 2:

Nivel de referencia: z2 = 0 ( )mzz 10 12 == z1 = 1(m)

Introduciendo estos valores en Bernoulli:

Pero: Potencia = w = Q

Potencia = 187,9(m2/s2) 0,25(m3/s) 1000(kg/m3)

Potencia =

USACH

60


Ejemplo 3.5

Una bomba centrfuga se utiliza para elevar petrleo N 6, desde un dep-

sito subterrneo hasta un estanque ubicado sobre la bomba. Manmetros

ubicados a la entrada y salida de la bomba sealan presiones de 10(psig) y

20(psig), respectivamente. Si los dimetros de succin y descarga son igua-

les y el flujo volumtrico transportado es de 300(l/min), Cul es la potencia

que entrega la bomba al fluido?

Solucin:

petrleo

= 910(kg/m3)

patmosfrica

= 14,696(psi)

pabs 1

= (14,696 10)(psi) = 4,696(psi)

pabs 1

= 4,696(psi) = 0,32(atm)

pabs 2

= (14,696 + 20)(psi) = 34,696(psi)

pabs 2

= 34,696(psi) = 2,36(atm)

Aplicando Bernoulli entre la entrada y salida de la bomba se obtiene:

Se ha considerado despreciable la diferencia de altura entre succin

y descarga de la bomba. Luego:


61

Luego: 227,13(m2/s2) =

= 227,13(m2/s2)

Potencia =

Potencia =

Nota 1:

El signo negativo indica que la energa es entregada por la bomba al fluido.

En el ejemplo 3.4 la potencia era positiva ya que la energa la suministraba

el fluido a la turbina.

Nota 2:

La potencia as calculada corresponde a la energa requerida por el fluido.

La potencia consumida por el grupo moto-bomba debe ser mayor, a fin de

compensar las diferentes prdidas que se producen: friccin del fluido en el

interior de la bomba, roce de las partes mecnicas de la bomba, flujo circu-

latorio, etc. Estas prdidas se consideran en la eficiencia o rendimiento del

grupo moto-bomba, definido como:

La eficiencia es un parmetro caracterstico de cada bomba, es fun-

cin del caudal y debera ser entregado por el fabricante del grupo moto-

bomba. Valores corrientes de eficiencia oscilan entre 0,55 y 0,75.

Ejemplo 3.6

Fren 12 circula en estado estacionario a travs de una vlvula reductora de

presin. A la entrada de la vlvula de presin es de 100(psia) y la tempera-

USACH

62


tura de 100 F. Si la presin a la salida de la vlvula es de 20(psia). Cul es

la temperatura a la salida de la vlvula?

Solucin:

El balance de energa mecnica (Bernoulli) entre los puntos 1 y 2 es:

Considerando sistema adiabtico

=

0Q , flujo horizontal y despre-

ciando la variacin de energa cintica, se obtiene:

21

= HH

Desde un diagrama presin v/s entalpa para Fren 12, se obtiene:

( )( ) ( )lbBtupsiaFH 5,88100,1001 =

(100 F, 100(psia)) = 88,5(Btu/lb)

Pero, por lo anterior:

( )( ) ( )lbBtupsiaTH 5,8820,22 =

(T2, 20(psia)) = 88,5(Btu/lb)

Del mismo diagrama citado se obtiene que la temperatura es aproxi-

madamente 75 F.


63

3.3. Definicin de factor de friccin

Para evaluar el trmino de prdidas por friccin (v) que aparece en

la ecuacin de Bernoulli, es necesario definir y luego evaluar factores de fric-

cin. Se considerar el flujo estacionario de un fluido incompresible (= cte.) que circula por un ducto recto de seccin uniforme. El fluido ejerce sobre la

superficie interna del ducto una fuerza F, que puede descomponerse en dos:

Fs y F

k, definidas de la siguiente forma:

Fs = fuerza esttica. Es la fuerza que ejerce el fluido, aunque est en reposo.

Fk = fuerza dinmica. Es la fuerza relacionada con el comportamiento ci-

ntico del fluido. Tiene la misma direccin que la velocidad media V en el

ducto.

El valor de la fuerza Fk puede expresarse como el producto entre un rea

caracterstica A, una energa cintica caracterstica por unidad de volumen

K y un nmero adimensional f, denominado factor de friccin:

FK = A K f (3.6)

Esta expresin no es una ley de mecnica de fluidos, sino una definicin de

f. Es evidente, que para un determinado sistema de flujo, f no est definido

mientras no se especifiquen A y K. Esta definicin es general, vlida incluso

para la situacin en que un fluido circula alrededor de un objeto sumergido.

Para el flujo en ductos A corresponde a la superficie mojada y K re-

presenta la energa cintica por unidad de volumen, dada por V2. Para tubos circulares de radio R y longitud L, f est definido por:

FK = (2RL) ( V2) f (3.7)

USACH

64


Dado que generalmente lo que se mide no es FK sino que la cada de

presin y la diferencia de altura, se buscar una expresin para FK aplicando

un balance de fuerzas al fluido que circula por la tubera mostrada en la Fi-

gura 3.2, entre 1 y 2:

Figura 3.2. Esquema para la aplicacin de fuerzas.

En estado estacionario se tiene que:

(3.8)

(3.9)

R2 p1 R2 p

2 F

K R2 L g sen = 0 (3.10)

Pero: L

ZZsen 12

=

R2 p1 R2 p

2 F

K R2 g (Z

2 Z

1) = 0 (3.11)

FK = R2 [(p

1 p

2) g (Z

2 Z

1)] (3.12)


65

Utilizando el concepto de potencial fluido-dinmico: P = p + g Z,

se obtiene:

FK = R2 (P) (3.13)

Reemplazando esta ltima expresin en la definicin de factor de

friccin, se obtiene:

(3.14)

Despejando f:

(3.15)

Este factor as definido, se denomina factor de friccin de Fanning. En

algunos textos de mecnica de fluidos en vez de utilizar el factor de Fanning,

definen un factor f* que equivale a 4f, denominado factor de Darcy.

Un anlisis del factor de friccin muestra que ste depende de carac-

tersticas, tanto del fluido como del sistema de escurrimiento.

Planteando un balance de energa mecnica al sistema mostrado en

Figura 3.2, se obtiene:

(3.16)

Introduciendo la definicin de potencial fluido-dinmico:

(3.17)

Reemplazando (P/) por v, en la definicin de factor de friccin,

se obtiene:

(3.18)

USACH

66


Esta ltima expresin es de gran utilidad ya que permite evaluar las

prdidas por friccin, v, si se conoce el valor de f. Si se utiliza el factor de

Darcy (f*), entonces:

(3.19)

La tcnica de anlisis dimensional, en unin con lo observado experi-

mentalmente, permite establecer de cuntos y cules grupos adimensionales

depende cualquier parmetro de naturaleza fsica. Para el factor de friccin

se encontr que f = f(Re, L/D, /D), donde es la rugosidad del material, definida como el promedio de altura de las irregularidades de la superficie

del material del ducto.

En los sistemas de flujo, habitualmente se considera que es un par-metro constante. Sin embargo, en ductos de grandes longitudes (L >> 1000),

pequeas variaciones en debido a corrosin y/o depsito de incrustaciones a lo largo del tiempo, pueden afectar significativamente los requerimientos

de potencia para una determinada exigencia de flujo, por su efecto en el

factor de friccin.

/D se conoce con el nombre de rugosidad relativa. En el apndice se muestra un grfico de /D vs D para diferentes materiales de ductos. Para ductos en que L/D >> 1 (como generalmente ocurre en las situaciones

prcticas), entonces el factor de friccin se hace independiente de L/D,

luego: f = f (Re, /D). Valores experimentales de f vs Re para diversos ti-pos de materiales y por ende diferentes /D, fueron graficados por Moody en un grfico que lleva su nombre, obtenindose resultados satisfactorios

(Figura 3.3).


67

Figura 3.3. Grfico de Moody. Factor de friccin de Fanning, f, versus rugosidad re-

lativa, /D.

Con respecto a este grfico hay que sealar que aparece una recta

para f (independiente de la rugosidad relativa) para la zona de flujo laminar.

La ecuacin de f en esta zona es:

f = 16/Re (3.20)

Pasada una cierta zona de nmero de Reynolds, las curvas se hacen

paralelas al eje de Reynolds, independizndose de ste, dependiendo slo de

/D. Se habla entonces de rgimen altamente turbulento.

Para las zonas de transicin y de rgimen turbulento, en la literatura

se encuentran varias ecuaciones, que ajustan en diferentes rangos de Rey-

nolds y condiciones de /D, los factores de friccin del grfico de Moody. En general, a medida que se complican estas ecuaciones, aumenta la exactitud

de sus predicciones.

USACH

68


Una de las ecuaciones ms sencillas indica que:

(3.21)

la cual tiene un error mximo de 0,75% para Re > 30000 y /D > 0,004.

Una ecuacin ms general es la ecuacin de Shacham (Ecuacin

3.22), la que presenta un error mximo de 1%, respecto a las curvas del gr-

fico de Moody. Esta ecuacin es vlida para Re > 4000 y 0.005 < 4f < 0.08

(3.22)

3.4. Descripcin de caeras, vlvulas y accesorios

Las tuberas pueden fabricarse con cualquier material de construc-

cin disponible, dependiendo de las propiedades corrosivas del fluido que se

maneja, su temperatura y presin. Entre los materiales se incluyen aceros,

cobre, polmeros, vidrio, concreto, etc. Sin embargo, los materiales de tube-

ra ms comunes en la industria son el acero (varias calidades), el cobre y el

bronce, seleccionndose el ms adecuado de acuerdo con la aplicacin espe-

cfica y los costos involucrados. Dado que los tubos se fabrican de diversos

dimetros y espesores de pared, existe una normalizacin establecida por la

American Standards Associations (ASA), la que establece las caractersticas

de las dimensiones de los tubos.

En el caso especfico de los tubos de acero (comn o comercial), se

ha establecido que el tamao de los tubos y de las conexiones asociadas se

realice en funcin del dimetro nominal y del espesor de pared. Por lo tanto,

el dimetro nominal no corresponde para los tubos de acero, ni al dimetro


69

exterior ni interior de los tubos. El espesor de pared se expresa por el nmero

de cdula, el cual es un cociente entre la presin interna y la tensin permi-

sible (# cdula 1000 presin interna/tensin permisible). Se utilizan diez nmeros de cdula, a saber: 10, 20, 30, 40, 60, 80, 100, 140 y 160. El espesor

de pared aumenta con el nmero de cdula. Para tubos de acero comercial,

la cdula 40 corresponde al tubo normal, para emplear en aplicaciones sin

mayores exigencias.

En las instalaciones es imprescindible el uso de diversas conexiones para

trasladar el fluido de un sector a otro. Una conexin cumple el papel de:

a) Juntar dos tuberas [coplas, unin americana]

b) Cambiar la direccin de la tubera [codos]

c) Cambiar la seccin de flujo [reducciones]

d) Terminar la tubera [tapones]

e) Unir o diversificar una corriente [tees, cruces e yes]

f) Control de flujo [vlvulas]

Figura 3.4. Conexiones.

USACH

70


Las vlvulas son conexiones que cumplen diversas funciones en un

circuito de escurrimiento de fluidos. Las vlvulas se utilizan para regular el

flujo o bien cerrar el paso completamente. Entre las vlvulas de mayor uso

se tienen las de compuerta, de globo y en los ltimos aos, la de bola.

La vlvula de compuerta consiste en un disco que se desliza perpen-

dicularmente al flujo. Su uso principal es para sellar o detener el flujo en

forma rpida, ya que pequeas variaciones en la altura del disco se traducen

en grandes cambios en el rea disponible al flujo. La vlvula de bola, am-

pliamente utilizada tanto a nivel domstico como industrial, sirve para los

mismos fines que la vlvula de compuerta. Su principal caracterstica es que

cuando est 100% abierta, prcticamente no produce ninguna obstruccin al

paso del fluido.

La vlvula de globo por su diseo es ms adecuada para regular el

paso de fluido. En esta vlvula, el fluido pasa a travs de una abertura cuya

rea se controla mediante un disco colocado en forma casi paralela a la di-

reccin del flujo.

Figura 3.5. Vlvulas. a) Compuerta, b y c) Bola.


71

Figura 3.6. Vlvula de globo: 1- Disco que interrumpe el paso del fluido. 2- Eje o husillo

(conduce y fija el obturador). 3- Asiento: Sector de la vlvula donde se realiza el cierre con

el disco. 4- Empaquetadura del eje. 5- Juntas de cierre. 6- Cuerpo de la vlvula. 7- Extre-

mos de la vlvula que permiten la conexin a la tubera. 8- Pernos de unin. 9- Manilla de

accionamiento.

3.5. Evaluacin de prdidas en vlvulas y accesorios

Las prdidas por friccin, provocadas por conexiones (vlvulas y

accesorios) pueden ser determinadas inicialmente en forma experimental,

para obtener un valor caracterstico para cada conexin en particular. A con-

tinuacin se describe el procedimiento para determinar la prdida provocada

por una vlvula.

Figura 3.7. Esquema de un sistema para determinar experimentalmente prdidas en una

vlvula.

USACH

72


De acuerdo con lo presentado en la seccin anterior, las prdidas en

los tramos de caera recta estn dados por:

(3.23)

(3.24)

Si D1 = D

2, entonces V

1= V

2 y f

1 = f

2, luego:

(3.25)

(3.26)

V total

se obtiene al aplicar Bernouilli entre 1 y 4:

(3.27)

Las presiones p4 y p

1 se leen en los manmetros ubicados en 1 y 4.

Luego, las prdidas por friccin en la vlvula quedan expresadas por:

(3.28)

De esta forma es posible evaluar, experimentalmente, las prdidas

provocadas por cada uno de los accesorios utilizados en las diferentes insta-

laciones de redes de flujo de fluidos.

Los valores de V de conexiones, obtenidos experimentalmente, pue-

den ser presentados en dos formas:


73

a) Mtodo del coeficiente de resistencia, K

En este mtodo las prdidas son presentadas en funcin de un parmetro K,

caracterstico de cada accesorio, el cual se considera constante, independien-

te del rgimen de flujo. Entonces:

(3.29)

El mtodo del coeficiente de resistencia K, se utiliza tambin para

evaluar las prdidas por expansiones o contracciones producidas al cambiar

de dimetro una tubera o en entradas y salidas de estanques. En este caso, la

velocidad V corresponde a la velocidad en la seccin de menor rea.

b) Mtodo de longitud equivalente

En este mtodo se caracteriza la friccin de un accesorio por una longitud

de tubera ficticia, la que producira la misma friccin que el accesorio. La

friccin provocada por esta longitud de tubera ficticia se evala como ya se

presento anteriormente, es decir:

(3.30)

Aunque el trmino (L/D) es adimensional, es costumbre denominar-

lo longitud equivalente.

USACH

74


Figura 3.8. Equipo para determinar prdidas en accesorios (LOPU/DIQ/USACH).

3.6. Aplicaciones que involucran la evaluacin de factores de friccin

Una vez que se han planteado las ecuaciones vlidas para un de-

terminado sistema de flujo, los problemas pueden ser resueltos en forma

directa (tipo 1), o se requerir iterar (tipo 2), aunque esta iteracin puede ser

obviada si se utilizan los llamados grficos de Von Krman. Finalmente, si

no se puede evitar la iteracin, se tiene un problema tipo 3. La tabla siguiente

muestra esta clasificacin:

Tipo de problema Datos Incgnita

1 D, , , , Q v, , potencia

2 D, , , , v

Q, w, V

3 , , , Q, v

D

Problemas tipo 1: La solucin de este tipo de problema es directa, no se

requiere iterar, como se muestra en el siguiente ejemplo.


75

Ejemplo 3.7

Dos estanques de agua son conectados mediante 200(m)de caera de 3" de

acero comercial tipo 40. Deben transportarse 12,5(l/s) desde uno a otro es-

tanque. Los niveles en los estanques son los mismos y ambos estn abiertos

a la atmsfera. En las prdidas deben incluirse un codo de 90, una vlvula

de globo totalmente abierta, una expansin y una contraccin. Cul es la

potencia de la bomba requerida?

Solucin:

Aplicando un balance de energa mecnica (Bernoulli) entre 1 y 2:

Considerando que:

p2= p

1 = presin atmosfrica

z2= z

1

v2= v

1 = 0

USACH

76


Se obtiene que:

= VEW

Determinar el trabajo,

W y luego la potencia de la bomba, debe eva-

luarse en primer lugar el trmino de prdidas por friccin, V:

De las tablas del apndice se obtienen los siguientes valores:

(L/D)vlvula

= 340; (L/D)codo

= 30; Kexpansin

= 1,0; Kcontraccin

= 0,5

agua

= 1000(kg/m3)

agua

= 1(cp) = 0,001(kg/m s)

di = 3,068(pulg) = 0,078(m); /D = 0,0006

Para evaluar el factor de friccin f f * = 4 f, debe evaluarse previa-

mente el nmero de Reynolds:

; Pero:


77

Luego: Re = 2,04 105 del grfico de Moody se lee f = 0,0049

Introduciendo estos valores en (*) se obtiene:

Entonces:

Potencia =

Potencia = 202(m2/s2) 0,0125(m3/s) 1000(kg/3)

Potencia =

Potencia = 3,4(hp)

Problemas tipo 2: En este tipo de problema, en que se conocen las prdidas

por friccin, pero se desconoce la velocidad del fluido, la solucin al proble-

ma se obtiene mediante una iteracin. Esta ltima puede evitarse si se utiliza

el grfico de Von Krman, en el cual se representa (4 f)-0,5 v/s Re (4 f)0,5,

donde:

(A)

(B)

El parmetro Re (4 f)0,5 se conoce como el nmero de Krman y

puede evaluarse sin conocer v. Con este grfico se evita la iteracin que

sera necesaria si se emplea el grfico de Moody. El procedimiento es el

siguiente:

USACH

78


De la ecuacin (B) se calcula Re (4 f)-0,5, con /D se lee f41 en el grfico de Von Krman y de la ecuacin (A) se despeja v.

Ejemplo 3.8

Petrleo a 70 F es transportado desde un lugar A al otro B, a travs de

4000(ft) de tubera de dimetro interno de 6" y = 0,0002(ft). El punto B est ubicado a 50,5(ft)sobre el punto A y la presin en A y B son de 123(psi)

y 48,6(psi) respectivamente. Cul es el flujo volumtrico, Q, del petrleo?

Solucin:

Datos:

(/) = = 4,12 10-5 (ft2/s)

= 854(kg/m3) = 53,3(lb/ft3)

di = 6(in) = 0,5(ft)

/D = 0,0004

Aplicando Bernoulli entre (1) y (2):

(*)


79

Considerando que:

v1 = v

2

z1 = 0; z

2 = 50,5(ft)

Reemplazando estos valores en (*):

4f v2 = 1,211

Una forma de resolver esta ecuacin sera suponerse un valor de f,

calcular v y con esta velocidad comprobar el valor de f supuesto, previo cl-

culo de Re. Otra forma de resolver es utilizar el mtodo de Von Krman:

Leyendo en el grfico de Von Krman, con /D = 0,0004 se obtiene que 741 =f , pero:

Problemas tipo 3: Como se muestra en el ejemplo 3.9, en este tipo de pro-

blemas, es inevitable la iteracin.

USACH

80


Ejemplo 3.9

Debe transportarse agua desde un estanque abierto a la atmsfera a travs

de 200(ft) de longitud equivalente (caera recta ms codos, expansin y

contraccin), para ser descargada a la atmsfera en un punto 12(ft) sobre el

estanque. Cul es el dimetro mnimo de caera requerido para asegurar

un flujo de 200(gal/min), si la bomba es de 2(hp), con una eficiencia de

60,7%?

Solucin:

Aplicando un balance de energa mecnica entre 1 y 2:

Reemplazando valores:


81

Pero:

Luego:

(*)

Como puede observarse, la ecuacin (*) debe resolverse en forma

iterativa: supondremos un dimetro, calcularemos Re, se leer f y se com-

probar la igualdad en la ecuacin (*). A continuacin se muestran algunos

valores de las iteraciones:

Dno min al

di (ft) Re /D 4f Igualdad en (*)

2" 0,1723 3 105 0,0009 0,021 4284

3" 0,256 2 105 0,0006 0,019 520,9

3" 0,296 1,8 105 0,0005 0,0185 242

El valor del dimetro que hace cumplir la igualdad en (*) est entre

valores de dimetro interno de 0,256(ft) y 0,296(ft), vale decir entre dime-

tros nominales de 3" y 3". Dado que no existen caeras entre 3" y 3" se

seleccionar la tubera de 3" para la instalacin propuesta.

USACH

82


3.7. Evaluacin de prdidas en ductos no circulares

Cuando la seccin del ducto no es circular, o cuando el fluido no

llena totalmente la tubera, se debe utilizar un parmetro emprico, que se ha

verificado entrega buenas predicciones cuando el rgimen es turbulento. Es

llamado radio hidrulico, RH. Este R

H debe relacionarse con el dimetro de

un ducto circular, a fin de emplear las frmulas habituales de ductos efec-

tivamente circulares. Para este fin se calcular el RH de un ducto circular,

obtenindose:

Esto ltimo es lo que se emplea como dimetro equivalente, Deq

, es decir:

Deq

= 4 RH.

Luego, una vez calculado Deq

, el problema se resuelve igual que

como si fuera un ducto circular, reemplazando en las ecuaciones que se re-

quiera el dimetro del ducto D por Deq

.

Ejemplo 3.10

Determine el dimetro equivalente de un canal de regado, abierto a la at-

msfera, con una geometra y dimensiones sealadas en la figura:


83

Solucin:

Ejemplo 3.11

Vapor saturado circula por el ducto anular de un intercambiador de calor

concntrico. Determine el Deq

, que se emplear para evaluar la cada de pre-

sin del fluido que circula por la seccin anular.

USACH

84


3.8. Dimetro ptimo econmico (DOE)

Con las ecuaciones anteriormente planteadas (balances de masa y

energa), es posible resolver numerosas situaciones de flujo de fluidos, aun-

que en aplicaciones de diseo se requiere una ecuacin o informacin adi-

cional. Por ejemplo, consideremos la necesidad de especificar el dimetro de

la tubera (D), junto con la potencia de la bomba necesaria para transportar

un flujo Q de agua desde un estanque a otro, segn muestra la Figura 3.9:

Figura 3.9. Transporte de agua desde un estanque a otro.

Para esta situacin, al plantear Bernoulli entre 1 y 2, se observa que

la potencia de la bomba requerida depende del dimetro de la tubera, exis-

tiendo infinitas soluciones. A medida que se disminuye D, aumenta el con-

sumo de energa (potencia de bombeo), para un mismo flujo Q:


85

En situaciones de este tipo la eleccin del dimetro se decide por alguna de

las consideraciones siguientes:

a) Stock en bodega de caeras de un determinado tamao.

b) Consideraciones de espacio disponible para el paso de la tubera.

c) Consideraciones econmicas.

En esta ltima consideracin, los costos a tomar en cuenta son:

i) Costos de energa para el transporte del fluido.

ii) Costos de mantencin de bomba, tubera y conexiones.

iii) Costos de inversin e instalacin de bomba y tubera.

Al disponer de ecuaciones para cada uno de estos costos, el dimetro

ptimo econmico (DOE) corresponde al dimetro que se obtiene al derivar

la expresin de costos totales, con respecto al dimetro de la tubera, despe-

jndose de la ecuacin resultante el dimetro:

Si bien es cierto en algunos textos se presentan expresiones anal-

ticas para cada uno de estos costos, el procedimiento aceptado es trabajar

con valores de DOE recomendados, en funcin del caudal y densidad del

fluido.

USACH

86


Figura 3.10. Dimetro econmico en funcin del flujo volumtrico y de la densidad del

fluido, vlido para tuberas de acero comercial, cdula 40 (Adaptado de Perry y Chilton,

Manual del Ingeniero Qumico,1973).


87

En vez de trabajar con el concepto de dimetro econmico, se puede

emplear el concepto de velocidad econmica, Veco

, dada la relacin entre

ambos trminos:

En la tabla siguiente se entregan algunos valores de velocidad econ-

mica en funcin de la densidad del fluido:

Tabla 3.1. Velocidades econmicas en funcin de la densidad del fluido.

Veco

(m/s) 1.7 1.9 3.1 6.0 11.9 24.0

(kg/m3) 1600 800 160 16 1.6 0.16

Ejemplo 3.12

Se desea transportar 200(gal/min) de agua a 60 F, a travs de una tubera de

acero comercial tipo 40 de 5000(ft) de longitud. Qu dimetro de tubera

especifica? Cul es la potencia que debera entregar la bomba al fluido?

Solucin:

Q = 200(gal/min) = 0,446(ft3/s)

H2O

= 62,4(lb/ft3)

H2O

= 7,4 10-4(lb/ft s)

USACH

88


Aplicando Bernoulli entre 1 y 2:

De la Figura 3.8 con Q = 200(gpm) y = 62,4(lb/ft3) se lee:

di = 3,5"

/D = 0,0006, usando grfico de Moody 0047,0= f f = 0,0047

Introduciendo valores se obtiene V = 7169(ft2/s2)

Luego ( )227169 sftW = = 7169(ft2/s2)

3.9. Situaciones complejas

En esta seccin se presentarn, a travs de ejemplos, diversas situa-

ciones que involucran la utilizacin del balance de energa mecnica (Ber-

noulli).


89

Ejemplo 3.13

En la figura se muestra un sifn por el cual circula agua. La caera tiene un

dimetro interno de 3(cm) y su longitud es de 16 m. Los codos instalados

son estndar de 90. La rugosidad relativa puede considerarse en 0,0005.

Suponiendo que el nivel del estanque permanece constante y que la tempe-

ratura del agua es de 20 C, Cul es el flujo volumtrico Q, que circula por

la tubera?

Solucin:Q = ?d

i = 0,03(m)

L = 15(m)

/D = 0,0005

Kcontraccin

= 0,78 0047,0= fL/D 35

Kexp ansin

= 1,0 0047,0= fL/D 45,6

Aplicando un balance de energa mecnica entre (1) y (2) se obtiene:

Considerando:

p2 = p

1 =1(atm)

z2 = 0 0047,0= fz

1 = 1,25(m)

v1 = 0

USACH

90


Introduciendo los valores en el balance de energa se obtiene:

Dado que f es funcin de v2, esta ltima ecuacin debe resolverse en

forma iterativa: Suponerse un f calcular v2 calcular Re y verificar el

valor supuesto de f.

Considerando rgimen turbulento 00425,0= f f = 0,00425, con este valor se ob-tiene v

2 = 1,46(m/s) y Re = 4,4 104. Del grfico de Moody se lee f = 0,006.

Con este nuevo valor de f se obtiene v2 = 1,19(m/s) y Re = 3,6 104.

Del grfico de Moody se obtiene f = 0,006, el cual coincide con el valor su-

puesto. Para este valor:

Ejemplo 3.14

Un depsito cilndrico de 1(m) de dimetro y 4(m) de altura est lleno de

agua a 20 C. El fondo del depsito est conectado a un tubo de 1,5" y 5" de

longitud, a travs del cual se vaca. Cul es el tiempo que tarda en descen-

der 1(m) el nivel del agua en el depsito?


91

Solucin:

p1 = p

2 = 1(atm)

v1 = 0

; (Incluye el Kcontraccin

= 0,6(m))

Dado que el nivel del estanque disminuye, disminuye tambin la pre-

sin a la entrada del tubo de descarga, por lo que la velocidad del agua a

travs del tubo vara en funcin del tiempo.

Considerando un punto del depsito a una altura h, al descender el

nivel dh en el tiempo dt, el caudal estar dado por:

(1)

En este instante, a travs del tubo de seccin A2, circular el mismo

caudal:

Q = A2 v

2 (2)

Tomando como nivel de referencia z2 = 0 y aplicando un balance de

energa mecnica (Bernoulli) entre (1) y (2), se obtiene:

USACH

92


z1 = h = variable

(3)

Igualando (1) y (2), habiendo introducido v2 en (2), se obtiene:

(*)

Para integrar la ecuacin * supondremos un valor promedio de f,

entre las condiciones iniciales y finales:

h = Tiempo de descarga del estanque.

El valor de finicial

debe evaluarse en forma iterativa, vale decir: Supo-

nerse una vinicial

Calcular Re Leer f y calcular v2 de la ecuacin (3). Si

v2 calculado coincide con el supuesto, se tendr el f

final.

Para el valor de ffinal

, el procedimiento iterativo es similar, solo que en

la ecuacin (3) el valor de h ser menor en 1(m) con respecto al considerado

en el clculo de finicial.

Con la rutina de clculo sealada se obtiene 4 finicial

= 0,0212 y 4 ffinal

=

0,021:

0211,04 = promediof4 fpromedio = 0,0211

Con este valor se obtiene que el tiempo de descarga es de 91(s).


93

Ejemplo 3.15

Por una tubera de 25(cm) de dimetro interno se transporta petrleo a lo

largo de una longitud total de 30(km), con un caudal de 1000(m3/da). Con el

objeto de aumentar el caudal, conservando las mismas presiones de entrada

y salida, se conecta a la tubera primitiva, 5(km) antes del lugar de descarga,

otra tubera del mismo dimetro y paralela a la primitiva. Si en las condicio-

nes de transporte la densidad del petrleo es 920(kg/m3) y su viscosidad es

de 5(poises), Cul es el aumento de caudal?

Solucin:

Calcularemos la friccin en la tubera antes de hacer la conexin adicional:

Una vez realizada la conexin, dado que se conservan las presiones

de entrada y salida, la carga de friccin total ha de ser la misma que en la

situacin original.

USACH

94


La friccin antes de hacer la conexin ser:

En que v1 es la nueva velocidad en la tubera, en el tramo 1-2.

Si v2 es la velocidad en el tramo final de 5(km), en cualquiera de las 2 tube-

ras, la fraccin en este tramo ser:

Por otro lado, el caudal antes de la ramificacin ha de ser igual a la

suma de los caudales a lo largo de las tuberas paralelas, es decir:

Luego:

Pero:

Despejando se obtiene v1 =0,276 (m/s) y el caudal ser 1171(m3/da).

En consecuencia se logra aumentar en un 17,1% al transporte de petrleo.

Nota: En tuberas en paralelo las prdidas de energa mecnica (friccin)

son las mismas en cualquiera de las ramas, y no son acumulativas.


95

Ejemplo 3.16

Como se muestra en la figura, desde un recipiente, fluye agua a travs de una

caera a un punto de bifurcacin, desde donde circula a otros recipientes

mediante caeras separadas. Las caeras son de acero comercial, catlogo

40. Calcular el flujo en (gal/min) de agua que llega a cada recipiente, supo-

niendo flujo estacionario.

Solucin:

Seccin 1 = 2000', caera de 6"



Para grandes lneas, el trmino cintico en la ecuacin de energa

mecnica (Bernoulli) se puede despreciar (comprobando al final su efecto),

y las presiones manomtricas en las superficies libres son cero. Por lo tanto,

las expresiones para la ecuacin de Bernoulli, para las tres secciones de tu-

bera son:

USACH

96


(1)

(2)

(3)

Sumando las ecuaciones (1) y (2) y luego las ecuaciones (1) y (3) se

obtienen:

(4)

(5)

Por otro lado, de un balance de masa se obtiene que:

v1 = v

2 (D

2/D

1)2 + v

3 (D

3/D

1)2 (6)

Despejando v2 de la ecuacin (4) y v

3 de la ecuacin (5) se obtiene:

(7)

(8)

Para evaluar los factores de friccin se puede emplear el grfico de

Moody, o bien alguna correlacin emprica, como la de Shacham:


97

En el siguiente diagrama de bloques se presenta un esquema de re-

solucin para evaluar Q1, Q

2 y Q

3. Los valores iniciales necesarios (v

2; v

3),

pueden estimarse empleando el concepto de dimetro ptimo econmico

(DOE).

Los valores finales son:

Q1 = 285(gal/min)

Q2 = 60(gal/min)

Q3 = 225(gal/min)

USACH

98


Diagrama de bloques para resolver ejemplo 3.10


99

3.10. Fluidos no newtonianos

Para fluidos no newtonianos sigue siendo vlida la ecuacin 2.13

(Ecuacin de Bernoulli), con la salvedad de que debe ser evaluado con la expresin correspondiente. Para fluidos que siguen la ley de la potencia

(o modelo de Ostwald de Waele), se dispone de la ecuacin 2.6, vlida en

rgimen laminar:

(2.6)

Si el rgimen de flujo es turbulento, se considera = 1.

El factor de friccin, f, necesario para evaluar v, debe leerse de fi-

guras de f vs Reynolds. Por ejemplo, para fluidos cuyo comportamiento se

puede representar por la ley de la potencia, debe usarse la Figura 3.11. Para

fluidos que siguen el comportamiento de Bingham (ec. 1.6) se debe utilizar

la Figura 3.12, la cual lleva como parmetro el nmero adimensional de

Hedstrom (He).

USACH

100


Figura 3.11. Grfico de f vs Re, para lquidos que siguen la ley de la potencia

(Adaptado de Levenspiel, Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor, 1993).

Si el fluido sigue el comportamiento de Bingham, entonces debe

usarse la Figura 3.12:

Figura 3.12. Grfico de f vs Re, para lquidos de Bingham [ ],

[ ] (Adaptado de Levenspiel, Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor, 1993).


101

Ejemplo 3.17

En la figura se muestra un sistema de tuberas, a travs del cual se trans-

porta, desde un estanque cocedor de dimetro 0,5(m) compota de manzana

hasta el sector de envases, la que sigue la ley de la potencia (n = 0,4; K =

0,6(kg/m s2-n)). Determine el tiempo que demora disminuir desde un nivel

inicial de 1(m) a un nivel final de 0,1(m). La longitud de la tubera de ace-

ro inoxidable es de 2,75(m) y su dimetro interno es de 25 (mm). El codo

indicado es de radio largo. La rugosidad del acero es = 0,001(mm).

Considerando la ecuacin de Bernoulli:

Igualando los caudales de (1) y (2) tenemos:

USACH

102


Reemplazando el factor de friccin en la ecuacin de Bernoulli se tiene:

Ordenando y despejando en funcin de v2 se tiene:

Para Regen

se tiene que:

Iterando:

INIC

IAL

Si v2 = 1(m/s) 00425,0= f Re

gen = 1168 00425,0= f f = 16/1168 = 0,0137 00425,0= fv

2= 1,89(m/s)

Si v2 = 2,4(m/s) 00425,0= f Re

gen = 4740 00425,0= f f 0,0054 00425,0= fv

2 = 3,2(m/s)

Si v2 = 3,2(m/s) 00425,0= f Re

gen = 7510 00425,0= f f = 0,0046 00425,0= fv

2 = 2,6(m/s)

Si v2 = 2,5(m/s) 00425,0= f Re

gen = 5060 00425,0= f f

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