Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y aplicaciones

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS EN LOS YACIMIENTOS PETROLEROS Y APLICACIONES

Propiedadesde los fluidos en los yacimientos petroleros y aplicaciones

Dr. Jorge Arvalo Villagrn2013-1

Dr. Jorge Arvalo Villagrn2013-1

Cap. 7Otras ecuacionesde estado

Copyright2012 Dr. Jorge Alberto Arvalo Villagrn Todos los derechos reservados. La preparacin de este documento fue coordinado por el Dr. Jorge Alberto Arvalo Villagrn Con la colaboracin de Ing. Priscila Estefania Ochoa Porchas Ing. Jos Francisco Guzmn Arvalo Ing. Mariel Prez Castillo Diseo grfico y editorial Lic. Ana Gisela Alejandro Fernndez Lic. Roxette Gonzlez Calixto La reproduccin, el uso y el aprovechamiento por cualquier medio de las imgenes e informacin plasmadas en esta obra han sido debidamente autorizados por el Dr. Jorge Alberto Arvalo Villagrn al cual se deber solicitar su autorizacin para divulgarse por cualquier otro medio. Ninguna parte de esta publicacin puede ser reproducida, archivada o transmitida en forma o medio alguno, ya sea electrnico, mecnico, fotocopiado o grabado, sin la debida autorizacin escrita del autor.

Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y Aplicacin

Pgina 1

Contenido 7.1 Introduccin. ........................................................................................................................ 2

7.2 Ecuacin de estado de van der waals (ede de vdw). ........................................................ 3

7.3 Ecuaciones de estado en el punto crtico. ........................................................................ 5

7.4 Ecuacin de estado cbica de van der waals de dos parmetros. ................................. 8

7. 5 Ecuacin de estado de redlich-kwong (ede de rk). ........................................................ 13

7.5.1 Reglas de mezclado para la ecuacin de estado de Redlich-Kwong. ............................ 16

7.6 Ecuacin de estado de soave-redlich-kwong (ede de srk). ........................................... 22

7.7 Ecuacin de estado de peng-robinson (ede de pr). ........................................................ 27

7.8 Reglas de mezclado para las ecuaciones de estado de soave-redlich-kwong, srk y peng-robinson, pr. ................................................................................................................ 28

Ejercicios resueltos................................................................................................................. 33

Dr. Jorge Arvalo Villagrn

Pgina 2

Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y

Aplicacin

Captulo 7 Otras ecuaciones de estado

7 . 1 I n t r o d u c c i n .

Una ecuacin de estado (EdE o EoS en Ingls) es una expresin analtica que relaciona la

presin respecto a la temperatura y el volumen. Una descripcin adecuada de una relacin

PVT para fluidos hidrocarburos reales es bsica para determinar los volmenes de los fluidos

y el comportamiento de fase de los fluidos petroleros, as como en el pronstico del

comportamiento de los fluidos para el diseo de las instalaciones de separacin en la

superficie.

La ecuacin de estado ms simple y mejor conocida para un peso molecular de cualquier gas

ideal es la ecuacin de los gases ideales, la cual se expresa matemticamente como:

RTpVM .............................................................................................................(6.21)

en donde VM es el volumen molar de una unidad de peso molecular del gas en ft3/lbm-mol.

Para n moles de un gas ideal, la ecuacin 6.21 se transforma en,

nRTpV ...........................................................................................................................(6.22)

en donde V es el volumen en ft3 para n moles de gas. La ecuacin de los gases ideales se

emplea solamente para describir el comportamiento volumtrico de gases de hidrocarburos

reales a presiones cercanas a la presin atmosfrica, para las cuales fue derivada

experimentalmente. Similarmente, la ecuacin de estado para gases ideales (ecuacin 6.21)

se puede representar como la ecuacin de estado de la compresibilidad para gases reales, es

decir:

zRTpVM ............................................................................................................................(7.1)

en donde z es el factor de compresibilidad. Para n moles de un gas real, la ecuacin 7.1 se

transforma en,

znRTpV ..............................................................................................................(7.2)

Una de las limitaciones al emplear la ecuacin de estado de la compresibilidad para

caracterizar el comportamiento de gases es que el factor de compresibilidad no es constante.

Por lo que, se requieren tcnicas grficas o numricas para su clculo, debido a que no se

pueden realizar manipulaciones matemticas con esta ecuacin de estado.


Pgina 3

Se han derivado varias ecuaciones de estado con coeficientes que corrigen la ley de los

gases ideales en donde la no idealidad se considera constante. Esto permite que las

ecuaciones de estado se puedan emplear en clculos involucrando diferenciacin e

integracin. Es decir, las limitaciones extremas de la aplicacin de la ecuaciones 6.21 y 2.5.22

dieron el indicio para desarrollar numerosas ecuaciones de estado necesarias para describir

el comportamiento de fluidos reales que se aplique a un amplio rango de presiones y

temperaturas.

El objetivo principal de esta seccin es revisar algunos desarrollos y avances en el campo de

las ecuaciones cbicas empricas de estado as como demostrar su aplicacin en la ingeniera

petrolera.

7 . 2 E c u a c i n d e e s t a d o d e V a n d e r W a a l s ( E d E d e V D W ) .

Durante el desarrollo de la ecuacin de estado para gases ideales, por ejemplo en la ecuacin

6.21, se consideraron dos suposiciones, la primer suposicin considera que el volumen de las

molculas de gas es insignificante en comparacin con el volumen del contenedor (recipiente

que lo contiene) y la distancia entre las molculas, y la segunda suposicin considera la

inexistencia de fuerzas de atraccin o de repulsin entre las molculas del gas o entre el gas

y las paredes del recipiente que las contiene.

Una de las primeras ecuaciones de estado para representar el comportamiento de los gases

reales fue desarrollada por Van der Waals en 1873. Van der Waals se enfoc en tratar de

eliminar las dos suposiciones mencionadas anteriormente mediante su ecuacin de estado,

explicando que las molculas de gas ocupan una fraccin significante de volumen a presiones

altas.

Para contrarrestar la primera suposicin Van der Waals propuso que el volumen de las

molculas, representado por el parmetro b debe de restarse del volumen molar real VM en la

ecuacin 2.5.21; arreglando esta ltima ecuacin se tiene,

MV

RTp ......................................................................................................................(7.3)

aplicando el parmetro b,

bV

RTp

M ..................................................................................................................(7.4)

en donde el parmetro b representa el volumen de las molculas que se restan y VM es la

variable que representa el volumen molar real, ambos en ft3 por una unidad de lbm-mol.

Para eliminar la segunda suposicin, Van der Waals rest un trmino de correccin,

denominado a/V2M a la ecuacin 7.4 para tomar en cuenta las fuerzas de atraccin entre las

molculas. Van der Waals propuso la expresin matemtica siguiente:


Pgina 4

2

MM V

a

bV

RTp

......................................................................................................(7.5)

o bien,

RTbVV

ap M

M

2...........................................................................................(7.6)

en donde la ecuacin 7.6 representa la ecuacin de Van der Waals, la cual es diferente de la

ecuacin de los gases ideales (ecuacin 6.21) por la adicin del trmino a/V2M a la presin y

la sustraccin del parmetro b del volumen molar.

El trmino a/V2M representa un intento para corregir la presin debido a las fuerzas de

atraccin entre las molculas. Es decir, la presin real ejercida sobre las paredes del

recipiente que contiene al gas real es menor por la cantidad a /V2M que la presin ejercida en el mismo recipiente por un gas ideal.

El parmetro b representa un intento por corregir el volumen molar debido al volumen

ocupado por las molculas. Las constantes a y b dependen del tipo de gas. De las ecuaciones

7.4 a 7.6, R representa la constante universal de los gases e igual a 10.732 (lb/pg2abs-ft

3/lbm-

mol-oR), p es la presin del sistema en lb/pg

2abs, T es la temperatura del sistema en

oR y V

es el volumen molar en ft3/mol.

Los parmetros a y b representan constantes y caracterizan las propiedades moleculares de cada componente de la mezcla. La ecuacin 7.6 presenta las caractersticas importantes

siguientes:

1. A bajas presiones y grandes volmenes, el parmetro b es insignificante en comparacin

con VM y las fuerzas de atraccin representadas por a /V2M son insignificantes, por lo que

la ecuacin de Van der Waals se reduce a la ecuacin para gases ideales (ecuacin 2.23).

2. A presiones altas (por ejemplo cuando p), el volumen molar VM es muy pequeo aproximndose al valor del parmetro b que representa el volumen molar actual.

La ecuacin de Van der Waals representa una mejora a la ecuacin para gases ideales. Sin

embargo, la ecuacin de Van der Waals se limita a presiones bajas y representa las bases

semitericas en la cual varios investigadores se han respaldado para desarrollar ecuaciones

de estado a partir de la ecuacin de gases ideales.

A la ecuacin de Van der Waals (ecuacin 7.5) se le denomina ecuacin de estado de dos

constantes (aunque en realidad contiene tres constantes: a, b y R) ecuacin de estado cbica. Cualquier ecuacin de estado se puede representar en una forma general como:

atraccinrepulsin ppp ..............................................................................................(7.7)


Pgina 5

en donde,

)( bV

RTp

M

repulsin

.................................................................................................................(7.8)

y

V

ap

2

M

atraccin ..........................................................................................................(7.9)

7 . 3 E c u a c i o n e s d e e s t a d o e n e l p u n t o c r t i c o .

Van der Waals al tratar de determinar experimentalmente los valores de las constantes a y b para cualquier sustancia pura, en un diagrama de fase de presin contra volumen molar

observ que la isoterma crtica, representa una pendiente horizontal y un punto de inflexin en

el punto crtico (figura 7.1). Esta observacin para una sustancia pura se representa

matemticamente como:

0

CTMV

p.............................................................................................................(7.10)

02

2

CTMV

p.............................................................................................................(7.11)

Figura 7.1.- Diagrama de presin contra volumen molar para una sustancia pura mostrando las

condiciones en el punto crtico.

Volumen (ft3)

Tc

0,02

2

TcMTcMV

p

V

p

VMc

Pre

sin

(lb/p

g2abs)

pc


Pgina 6

Obteniendo la primera y segunda derivada de la ecuacin de Van der Waals (ecuacin 7.5)

con respecto al volumen al punto crtico, e igualando ambas ecuaciones a cero se obtiene

respectivamente:

0

232

CCCMM

c

TMV

a

bV

RT

V

p..........................................................................(7.12)

y

0

62432

2

CCCMM

c

TMV

a

bV

RT

V

p................................................................................(7.13)

Resolviendo las ecuaciones 7.12 y 7.13 simultneamente para los parmetros a y b, se obtiene:

RTVa cM C

8

9..........................................................................................................(7.14)

y,

CMVb

3

1............................................................................................................(7.15)

Ahora bien, expresando la ecuacin de estado de Van der Waals (ecuacin 7.6) en el punto

crtico, se tiene:

cM2M

c RTbVV

ap

C

C

....................................................................................(7.16)

combinando las ecuaciones 7.12, 7.13 y 7.16 se obtiene,

c

2

c

2

p64

TR27a ..............................................................................................................(7.17)

c

c

p8

RTb .............................................................................................................(7.18)


Pgina 7

Ejemplo 7.1.- Constantes de la ecuacin de estado de Van der Waals.

Calcular las constantes de Van der Waals para el 3-metil-hexano.

Solucin.

Para el 3-metil-hexano la Tc y pc se obtienen de la Tabla A-1 del Apndice A como 963.8oR y

408.1lb/pg2abs, respectivamente. Sustituyendo valores en la ecuacin 7.17,

2

232

2

2

232

)(

)()/(29.599,110

) 1408)(64(

)8.963( 73210)27(

mollbm

ftabspglb

abslb/pg.

RRmollbm

ftabslb/pg.

a

o

de igual manera, sustituyendo valores en la ecuacin 7.18,

mollbm

ft

abslb/pg

RRmollbm

ftabslb/pg.

b

3

2

32

168.3) (8)(408.1

) 8.963( 73210

De igual manera, se pueden determinar ecuaciones similares a las ecuaciones 7.17 y 7.18

para otras ecuaciones de estado. Esta metodologa se limita a sustancias puras.

La ecuacin 7.15 implica que el volumen de las molculas expresado por la constante b es

aproximadamente de 0.333 del volumen crtico de la sustancia. Estudios experimentales

indican que la constante b se encuentra en el rango de 0.24-0.28 del volumen crtico.

Combinando las ecuaciones 7.14, 7.15 y 7.16 se obtiene,

cMc RT)375.0(Vp C ..................................................................................................(7.19)

La ecuacin 7.19 implica que independientemente del tipo de sustancia, la ecuacin de Van

der Waals proporciona un factor universal de compresibilidad crtica del gas, zc, de 0.375.

Estudios experimentales indican que los valores de zc para diversas sustancias se encuentran

entre 0.23 y 0.31. Luego, la ecuacin 7.19 se combina con las ecuaciones 7.14 y 7.15 para

proporcionar expresiones ms convenientes para calcular los parmetros a y b, es decir,

c

2

c

2

ap

TRa .......................................................................................................................(7.20)

y

c

cb

p

RTb ........................................................................................................................(7.21)


Pgina 8

en donde R es la constante universal de los gases e igual a 10.732 (lb/pg2abs-ft

3/lbm-mol-

oR),

pc es la presin crtica en lb/pg2abs, Tc es la temperatura crtica en

oR, a es igual a 0.421875

y b es igual a 0.125.

7 . 4 E c u a c i n d e e s t a d o c b i c a d e V a n d e r W a a l s d e d o s p a r m e t r o s .

La ecuacin de estado de Van der Waals (ecuacin 2.6.6) en forma cbica y en trminos de

VM se expresa como:

023

p

abV

p

aV

p

RTbV MMM .......................................................(7.22)

la ecuacin 7.22 es la ecuacin de estado cbica de Van der Waals de dos parmetros. Los

dos parmetros se refieren a las constantes a y b.

El trmino de ecuacin de estado cbica implica una ecuacin que expandida contiene

trminos de volumen molar, VM, elevados a la primera, segunda y tercera potencia. Una de las

caractersticas de mayor importancia de la ecuacin 7.22, es la caracterizacin del fenmeno

condensacinlquido y del cambio de estado de la fase gas a la fase lquida conforme el gas

se comprime. La ecuacin de estado de Van der Waals se comporta de acuerdo a la figura

7.2.

Figura 7.2.- Diagrama de fase de p vs VM a T constante para un componente puro mostrando el

comportamiento volumtrico pronosticado por la ecuacin de estado de Van der Waals

(ecuacin 7.22).

De la ecuacin 7.22 se obtienen tres races reales (soluciones) o volmenes para cada valor

de presin especificado. La curva isotrmica ABCDE en la figura 7.2 representa el


Pgina 9

comportamiento grfico de la solucin de la ecuacin 2.6.22, para una temperatura constante

T1 a la presin p1.

Las tres soluciones de VM son las intersecciones A, C y E sobre la lnea horizontal

correspondiendo a la presin p1. La curva isotrmica calculada ABCDE proporciona

aparentemente una transicin continua de la fase gaseosa a la fase lquida. En realidad esta

transicin es discontinua y abrupta con las fases lquido y gas existiendo a lo largo de la lnea

horizontal AE. La raz ms grande (solucin) para VM es el punto E, correspondiendo al VM del

gas saturado (lnea de curva de roco), mientras que la raz ms pequea para VM es el punto

A, correspondiendo al VM del lquido saturado (lnea de curva de burbuja). La tercera raz para

VM representada por el punto C no tiene significado fsico. Las races para VM son idnticas

conforme la temperatura se aproxima a la Tc de la sustancia pura.

Expresando la ecuacin 7.22 en trminos del factor de compresibilidad z, es decir, de la

ecuacin 7.1 para gases reales, se tiene:

p

zRTVM ................................................................................................................(7.23)

Sustituyendo la ecuacin 7.23 en la ecuacin 7.22, y rearreglando la ecuacin resultante:

0)1( 23 ABAzzBz ..................................................................................................(7.24)

en donde,

22TR

apA .............................................................................................................................(7.25)

y

RT

bpB ...............................................................................................................................(7.26)

en donde z es el factor de compresibilidad, p es la presin absoluta del sistema en lb/pg2abs

y T es la temperatura del sistema en R.

La solucin de la ecuacin de estado 7.24 proporciona una raz real para z en la regin de

una fase (en algunas regiones sper crticas esta ecuacin proporcionan tres races reales

para z, seleccionando la mayor raz como el valor con significado fsico para el factor de

compresibilidad, z) o tres races reales en la regin de dos fases (en donde la presin del

sistema es igual a la presin de vapor de la sustancia). En este ltimo caso, la raz real con el

mayor valor numrico corresponde al factor de compresibilidad de la fase vapor (gas), zv,

mientras que la raz real con el menor valor numrico corresponde al factor de

compresibilidad de la fase lquida, zL.

La ecuacin 7.24 se aplica de forma prctica para determinar las densidades de las fases

lquida y vapor.


Pgina 10

Ejemplo 7.2.- Clculo de las densidades de fluidos con la ecuacin de estado Van der

Waals.

En un cilindro cerrado se encuentra propano puro a 100 F teniendo las fases lquido y vapor

presentes. Empleando la ecuacin cbica de estado de Van der Waals de dos parmetros,

calcular la densidad de las fases lquido y vapor (gas).

Solucin.

Etapa 1. Estimando la presin de vapor, pv, del propano puro a partir de las cartas de Cox

(recordar que esta pv es la presin a la cual las dos fases existen en equilibrio a esta

temperatura), luego la pv estimada es igual a 185 lb/pg2abs.

Etapa 2. Calculando los parmetros a y b a partir de las ecuaciones 7.20 y 7.21, respectivamente.

c

ca

p

TRa

22

........................................................................................................................(7.20)

es decir,

2

232

2

2

232

)(

)(/465.970,34

)/ (616.3

) 666(/

10.732

(0.421875)mollbm

ftabspglb

abspglb

RRmollbm

ftabspglb

a

y

c

cb

p

RTb ...........................................................................................................................(7.21)

es decir,

mollbm

ft

abspglb

RRmollbm

ftabspglb

b

3

2

32

4496.1)/ (616.3

) 666(/

10.732

(0.125)

Etapa 3. Calcular los coeficientes A y B aplicando las ecuaciones 7.25 y 7.26

22TR

apA ............................................................................................................................(7.25)


Pgina 11

luego,

17912.0

)560(/

10.732

)/185()(

)(/465.970,34

2

232

2

2

232

RRmollbm

ftabspglb

abspglbmollbm

ftabspglb

A

o

y

RT

bpB ............................................................................................................................(7.26)

por lo tanto,

04462.0

)560(/

10.732

)/185(4496.1

32

23

RRmollbm

ftabspglb

abspglbmollbm

ft

Bo

Etapa 4. Sustituyendo los valores de A y B dentro de la ecuacin 7.24, se tiene:

0)1( 23 ABAzzBz ........................................................................................(7.27)

y

0007993.017912.004462.1 23 zzz

Etapa 5. Resolviendo el polinomio de tercer grado de la ecuacin 7.27, obteniendo el mayor y

menor valores (races) del polinomio. Para resolver este polinomio se utilizan mtodos

directos o iterativos. Para la fase vapor se obtiene:

zv =0.84350,

y para la fase lquida:

zL =0.07534

Etapa 6. Calculando las densidades de las fases lquido y vapor. Para la fase vapor se tiene,

RTz

pM

V

Cv 3 ,..................................................................................................................(7.28)


Pgina 12

Sustituyendo valores,

332

2

606.1

)560(/

10.732)84350.0(

)/44)(/185(

ft

lbm

RRmollbm

ftabspglb

mollbmlbmabspglb

o

v

y para la fase lquida,

RTz

pM

L

CL 3 ..............................................................................................................(7.29)

por lo tanto,

332

2

978.17

)560(/

10.732)07534.0(

)/44)(/185(

ft

lbm

RRmollbm

ftabspglb

mollbmlbmabspglb

o

L

An con la simplicidad de la ecuacin de estado de Van der Waals, sta proporciona al

menos cualitativamente una descripcin correcta del comportamiento PVT de una sustancia

en los estados lquido y vapor (gas). Sin embargo, esta ecuacin no es muy precisa para

propsitos de diseo y estudios de ingeniera de yacimientos y produccin.

En la actualidad, se han desarrollado una gran cantidad de ecuaciones de estado con muy

buena precisin y aplicacin para el clculo de propiedades fsicas y de equilibrio de fases en

fluidos, apoyadas por eficientes equipos de cmputo. Varias de estas nuevas ecuaciones de

estado desarrolladas son modificaciones de la ecuacin de estado de Van der Waals,

teniendo ecuaciones simples desde dos o tres parmetros hasta ecuaciones ms complejas

de ms de 50 parmetros.

La complejidad de cualquier ecuacin de estado no presenta problema desde el punto de

vista computacional. Sin embargo, varios investigadores en ingeniera petrolera prefieren

trabajar con la simplicidad encontrada en la ecuacin cbica de estado de Van der Waals con

algunas modificaciones para mejorar su precisin.

En el inicio, todas las ecuaciones de estado se desarrollaron generalmente para sustancias

puras, posteriormente stas ecuaciones se extendieron para mezclas de fluidos mediante el

empleo de reglas de mezclado. Las reglas de mezclado implican simplemente el clculo de

parmetros de la mezcla equivalente a los calculados para las sustancias puras.


Pgina 13

7 . 5 E c u a c i n d e e s t a d o d e R e d l i c h - K w o n g ( E d E D E R K ) .

En 1948 Redlich y Kwong modificaron el trmino de fuerzas de atraccin (fuerzas de presin

a /V2) de la ecuacin de Van der Waals, lo cual mejora en forma considerable la prediccin de las propiedades fsicas y volumtricas de la fase gas. Redlich-Kwong sustituyeron el trmino

de fuerzas de atraccin de presin, con un trmino general de dependencia de la

temperatura. La ecuacin de Redlich-Kwong se expresa como:

RT)bV()bV(VT

ap M

MM

2/1

.....................................................................(7.30)

en donde T es la temperatura del sistema en R.

Al desarrollar su ecuacin, Redlich-Kwong observaron que conforme el sistema de presin es

muy grande, por ejemplo cuando p, el volumen molar de la sustancia, VM, se encoge casi

el 26% de su volumen crtico, independiente de la temperatura del sistema. Redlich y Kwong

encontraron que la ecuacin 7.30 satisface la condicin siguiente:

CMVb 259921.0 ...................................................................................................(7.31)

expresando la ecuacin de estado de Redlich-Kwong (ecuacin 7.30) a las condiciones en el

punto crtico,

cM

MMc

c RTbVbVVT

ap

C

CC

)(

)(2/1..................................................................(7.32)

Ahora bien, combinando y resolviendo simultneamente las ecuaciones 7.10, 7.11 y 7.32 se

obtiene,

c

ca

p

TRa

5.22

.............................................................................................(7.33)

y,

c

cb

p

RTb ..............................................................................................(7.34)

en donde a y b son constantes e iguales a 0.427481 y 0.08664, respectivamente. Igualando

la ecuacin 7.31 con la ecuacin 7.34, proporciona:

cMc RTVp C )333.0( ................................................................................................(7.35)

La ecuacin 7.35 muestra que la ecuacin de estado de Redlich-Kwong proporciona un factor

universal de compresibilidad crtica del gas, zc, de 0.333 para todas las sustancias. Estudios


Pgina 14

experimentales indican que para diversas sustancias el valor de zc se encuentra entre 0.23 y

0.31. Recordando la expresin para el volumen molar,

p

zRTVM ..............................................................................................................(7.23)

sustituyendo la ecuacin 7.23 en la ecuacin 7.30 y expresando la ecuacin resultante en una

ecuacin en forma cbica, se tiene que,

0)( 223 ABzBBAzz ............................................................................(7.36)

en donde,

522 .TR

apA ............................................................................................................(7.37)

y,

RT

bpB .................................................................................................................(7.38)

La ecuacin 7.36 proporciona una raz real para z en la regin de una fase (regin de fase

lquida o regin de fase vapor), y tres races reales en la regin de dos fases. Para la regin

de dos fases la raz de mayor valor corresponde al factor de compresibilidad de la fase gas,

zv, y la raz de menor valor corresponde a la de la fase lquida, z

L.

Ejemplo 7.3.- Clculo de las densidades de lquido y vapor con la ecuacin de Redlich-

Kwong.

Empleando la ecuacin de estado de Redlich-Kwong repetir el ejemplo 7.2.

Solucin.

Etapa 1. Calculando los parmetros a, b, A y B.

c

ca

p

TRa

5.22

................................................................................................................(7.33)


2

5.0232

2

5.2

232

)(

)()/(86.450,914

)/ (616.3

)666(/

10.732

(0.42747)mollbm

Rftabspglb

abspglb

RRmollbm

ftabspglb

a


Pgina 15

para b, se tiene:

c

cb

p

RTb .................................................................................................(7.34)


32

32

0048.1)/ (616.3

)666(/

10.732

(0.08664)ft

lbm

abspglb

RRmollbm

ftabspglb

b

Luego,

5.22TR

apA .......................................................................................................................(7.37)

sustituyendo valores,

19793.0

)560(/

10.732

)/185()(

)()/(863.450,914

5.2

232

2

2

5.0232

RRmollbm

ftabspglb

abspglbmollbm

Rftabspglb

A

o

y para B,

RT

bpB ............................................................................................................................(7.38)


03093.0

)560(/

10.732

)/185(0048.1

32

2

3

RRmollbm

ftabspglb

abspglbft

lbm

Bo


Pgina 16

Etapa 2. Sustituyendo los valores calculados de A y B en la ecuacin 7.36, se obtiene,

000612.016604.023 zzz

Etapa 3. Resolviendo el polinomio de tercer grado de la ecuacin 7.36 y, obteniendo los

valores mayor y menor se tiene:

zv =0.80263

y,

zL =0.05271

Etapa 4. Calculando las densidades de las fases vapor y lquido con las ecuaciones 7.28 y

7.29 respectivamente,

Para la fase vapor se tiene,

332

2

687.1

)560(/

10.732)80263.0(

)/44)(/185(3

ft

lbm

RRmollbm

ftabspglb

mollbmlbmabspglb

RTz

pM

o

v

Cv


332

2

3 696.25

)560(/

10.732)05271.0(

/44/185

ft

lbm

RRmollbm

ftabspglb

mollbmlbmabspglb

RTz

pM

o

L

CL

7 . 5 . 1 R e g l a s d e m e z c l a d o p a r a l a e c u a c i n d e e s t a d o d e R e d l i c h -K w o n g .

Para mezclas de hidrocarburos lquidos o gaseosos, Redlich y Kwong extendieron la

aplicacin de su ecuacin de estado empleando reglas de mezclado. Para una mezcla de

hidrocarburo lquido, se tiene:

2

1

0.5

n

j

jjm axa ...........................................................................................(7.39)

y,

1

n

j

jjm bxb .....................................................................................................(7.40)


Pgina 17

en donde n es el nmero de componentes en la mezcla, a es el parmetro a de la ecuacin

de Redlich Kwong para el componente calculado con la ecuacin 7.33, b es el parmetro b

de la ecuacin de RedlichKwong para el componente calculado con la ecuacin 7.34, am es

el parmetro a de la mezcla, bm es el parmetro b de la mezcla y x es la fraccin mol del

componente en la mezcla lquida en fraccin mol. Ahora bien, las reglas de mezclado para

una mezcla de vapores hidrocarburos son,

2

1

5.0

n

j

jjmaya .......................................................................................................(7.41)

y

n

j

jjmbyb

1 ...........................................................................................................(7.42)

en donde y es la fraccin mol del componente en la mezcla gaseosa en fraccin mol.

Los factores de compresibilidad de la fase gaseosa (vapor) o de la fase lquida se calculan

con los coeficientes A y B definidos por las ecuaciones siguientes, 7.43 y 7.44,

respectivamente; y con el empleo de la ecuacin cbica de estado representado por la

ecuacin 7.36, es decir:

5.22TR

paA m ................................................................................................................(7.43)

y,

RT

pbB m .............................................................................................................(7.44)

Ejemplo 7.4.- Clculo de la densidad de lquido de una mezcla de hidrocarburos con la

ecuacin de Redlich-Kwong.

Calcular la densidad de un hidrocarburo lquido cuya composicin se proporciona en la Tabla

7.1 y que se encuentra a 4,000 lb/pg2abs y 160 F. Emplear la ecuacin de estado de Redlich-

Kwong.


Pgina 18

Tabla 7.1.- Composicin del componente lquido de la mezcla de hidrocarburos para el ejemplo 7.4.

Componente xj

(fraccin mol)

Metano, C1H4 0.45

Etano, C2H6 0.05

Propano, C3H8 0.05

n-Butano, nC4H10 0.03

Pentano, C5H12 0.01

Hexano, C6H14 0.01

Heptano, C7H16+ 0.40

Peso molecular del C7H16+=215 lbm/lbm-mol

pc del C7H16+ = 285 lb/pg2 abs.

Tc del C7H16+ = 825 R.

Solucin.

Etapa 1. Calculando los parmetros a y b para cada componente con el empleo de las

ecuaciones 7.33 y 7.34, respectivamente.

Tabla 7.2.- Parmetros a y b para el ejemplo 7.4

Componente xj

(fraccin mol)

pcj (lb/pg2abs)

Tcj (R)

aj bj xjaj0.5 xjbj

Metano, C1H4 0.45 666.4 343.33 161,505.800 0.479 180.845 0.2156

Etano, C2H6 0.05 706.5 549.93 494,652.368 0.724 35.166 0.0362

Propano, C3H8 0.05 616 666.06 915,896.499 1.005 47.851 0.0503

n-Butano, n-C4H10

0.03 550.6 765.60 1,451,484.270 1.293 36.143 0.0388

Pentano, C5H12 0.01 490.4 829.10 1,988,889.042 1.572 14.103 0.0157

Hexano, C6H14 0.01 436.9 914.60 2,853,249.019 1.946 16.892 0.0195

Heptano, C7H16+ 0.4 285 825.00 3,380,132.619 2.692 735.405 1.0766

Total: 1,066.41 1.4526


Pgina 19

Etapa 2. Calculando los parmetros de mezclado am y bm con las ecuaciones 7.39 y 7.40,

respectivamente.

2

5.02322

7

1

5.0

)(

)()/( 926.219,137,1

mollbm

Rftabspglbaxa

j

jjm

y,

31

4526.1ft

lbmbxb

n

j

jjm

Etapa 3. Calculando los coeficientes A y B empleando las ecuaciones 7.43 y 7.44,

respectivamente,

126.4

)620(/

10.732

)/000,4()(

)()/( 926.219,137,1

5.2

232

2

2

5.0232

5.22

RRmollbm

ftabspglb

abspglbmollbm

Rftabspglb

TR

paA

o

m

y,

87326.0

)620(/

10.732

)/000,4(4526.1

32

2

3

RRmollbm

ftabspglb

abspglbft

lbm

RT

pbB

o

m

Etapa 4. Resolviendo la ecuacin 7.32 para encontrar la raz con el menor valor,

0)( 223 ABzBBAzz ..........................................................................................(7.36)

Sustituyendo valores se obtiene,

6001.34901.223 zzz

Luego, resolviendo para encontrar la raz con el menor valor,

zL = 1.27134

Etapa 5. Calculando el peso molecular aparente de la mezcla lquida se tiene,

M a =100.2547 lbm/lbm-mol


Pgina 20

Etapa 6. Calculando la densidad de la fase lquida con la ecuacin 7.45, considerando el peso

molecular aparente de la mezcla,

RTz

pML

aL ..........................................................................................................................(7.45)

es decir,

332

2

40547

620 10.732271341

25471000004

ft

lbm.

)R(Rmollbm

ftabspg/lb).(

mollbm/lbm.abspg/lb,

RTz

pM

o

L

aL

La densidad del lquido al emplear la correlacin de Standing y Katz proporciona un valor de

46.23 lbm/ft3.

Ejemplo 7.5.- Clculo de la densidad del gas de una mezcla de hidrocarburos con la

ecuacin de Redlich-Kwong.

Empleando la ecuacin de estado de Redlich-Kwong calcular la densidad de una mezcla de

gases a 4,000 lb/pg2abs y 160F. La composicin de la mezcla de gases se proporciona en la

tabla 7.3.

Tabla 7.3.- Composicin de los componentes gaseosos de la mezcla de hidrocarburos para el ejemplo 7.5

Componente yj

(fraccin mol)

Metano, C1H4 0.86

Propano, C2H6 0.05

Etano, C3H8 0.05

n-Butano, nC4H10 0.02

Pentano, C5H12 0.01

Hexano, C6H14 0.005

Heptano, C7H16+ 0.005

Peso molecular del C7H16+=215 lbm/lbm-mol

pc del C7H16+ = 285 lb/pg2 abs.

Tc del C7H16+ = 825 R.

Solucin.

Etapa 1. Obteniendo el peso molecular, la presin y temperatura crtica y los parmetros a y

b para cada componente de la mezcla. (Tabla 7.4)


Pgina 21

Tabla 7.4.- Datos para cada componente de la mezcla del ejemplo 7.5.

Componente xj

(fraccin mol) pcj

(lb/pg2abs) Tcj

(R) aj bj

Metano, C1H4 0.86 666.40 343.33 161,365.75 0.47904452

Etano, C2H6 0.05 706.50 549.93 494,214.45 0.72375436

Propano, C3H8 0.05 616.00 666.06 915,102.28 1.00538349

n-Butano, nC4H10 0.02 550.60 765.60 1,450,225.62 1.29289967

Pentano, C5H12 0.01 490.40 829.10 1,987,164.39 1.57201093

Hexano, C6H14 0.005 436.90 914.60 2,850,774.84 1.94647244

Heptano, C7H16+ 0.005 285.00 825.00 3,377,201.55 2.69158560

Etapa 2. Calculando los parmetros de mezclado am y bm con las ecuaciones 7.39 y 7.40,

respectivamente,

2

5.02322

7

1

5.0

)(

)()/(00.506,234

mollbm

Rftabspglbaxa

j

jjm

y,

3

7

1 563204.0

ft

lbmbxb

j

jjm

Etapa 3. Calculando los coeficientes A y B empleando las ecuaciones 7.43 y 7.44,

respectivamente:

85089.0

)620(/

10.732

)/000,4()(

)()/(00.506,234

5.2

232

2

2

5.0232

5.22

RRmollbm

ftabspglb

abspglbmollbm

Rftabspglb

TR

paA

o

m

y,

33857.0

)620(/

10.732

)/000,4( 563204.0

32

2

3

RRmollbm

ftabspglb

abspglbft

lbm

RT

pbB

o

m


Pgina 22

Etapa 4. Resolviendo la ecuacin 7.36 para encontrar la raz con el mayor valor,

0)( 223 ABzBBAzz .......................................................................................(7.36)

Sustituyendo valores, se obtiene,

28809.039769.023 zzz

luego entonces, la raz con el mayor valor es:

zv = 0.91068

Etapa 5. Calculando la densidad de la mezcla de gases con la ecuacin 7.46, y considerando

el peso molecular de la mezcla,

RTz

pMv

av .......................................................................................................................(7.46)

es decir,

332

2

789.13

)620(/

10.732)91068.0(

)/89.20)(/000,4(

ft

lbm

RRmollbm

ftabspglb

mollbmlbmabspglb

RTz

pM

o

v

av

7 . 6 E c u a c i n d e e s t a d o d e S o a v e - R e d l i c h - K w o n g ( E d E d e S R K ) .

Recordando la ecuacin de Redlich-Kwong se tiene:

)()(2/1

RTbVbVVT

ap M

MM

.........................................................................(7.30)

Soave en 1972 realiz una modificacin en la evaluacin del parmetro a en las presiones de

atraccin de la ecuacin de Redlich-Kwong. Soave reemplazo el trmino de a/T1/2

con un

trmino dependiente de la temperatura, aT, es decir,

RTbVbVV

ap M

MM

T

)(

)(.................................................................................(7.47)

en donde la ecuacin para aT es dada por,

cT aa ...............................................................................................................(7.48)

siendo un trmino adimensional y dependiente de la temperatura. Cuando la temperatura

del sistema es igual a la temperatura crtica (T=Tc), tiene el valor de una unidad y ac es el

valor de aT a la Tc.


Pgina 23

La modificacin realizada a la ecuacin 7.30 por Soave, origin la ecuacin de estado de

Soave-Redlich-Kwong, SRK, expresada por la ecuacin 7.47. A temperatura diferente a la

temperatura crtica, el parmetro se define por:

22/111 rTm ..................................................................................................(7.49)

en donde el parmetro m se correlaciona con el factor acntrico de Pitzer, , como:

2176.0574.1480.0 m .........................................................................(7.50)

siendo el factor acntrico de Pitzer, , definido a una Tr de 0.7, como:

)1(log vrp ................................................................................................(7.51)

en donde pvr es la presin de vapor reducida evaluada a una Tr de 0.7. El factor acntrico de

Pitzer, , es un valor constante para cada sustancia pura. La tabla A-1 en el Apndice A

presenta los valores del factor acntrico de Pitzer para diferentes sustancias.

Para cualquier sustancia pura, las constantes aT y b de las ecuaciones 7.47 y 7.48 se

calculan empleando las clsicas restricciones impuestas por Van der Waals en el punto crtico

(ecuaciones 7.10 y 7.11) a la ecuacin 7.47, es decir,

0

cTMV

p..............................................................................................................(7.10)

y,

02

2

cTMV

p...................................................................................................(7.11)

se puede demostrar que obteniendo de la ecuacin 7.47 la primera y segunda derivada

respecto al volumen molar en el punto crtico, e igualando ambas ecuaciones obtenidas de

acuerdo a las ecuaciones 7.10 y 7.11 y resolviendo simultneamente para los parmetros ac y

b se obtiene,

p

TRa

c

cac

22

................................................................................................(7.52)

y,

c

cb

p

RTb .....................................................................................................(7.53)

en donde a y b son los parmetros de las sustancias puras adimensionales de la ecuacin

de Soave-Redlich-Kwong, SRK, siendo stas igual a 0.42748 y 0.08664, respectivamente.

Las unidades de ac y b dependen de las unidades seleccionadas para la constante universal

de los gases reales, R.


Pgina 24

En 1984 Edmister y Lee demostraron que los dos parmetros ac y b se pueden calcular a

travs de un mejor mtodo. Para la isoterma crtica, se obtiene,

033)( 32233 cccc MMMMMMMM

VVVVVVVV ..........................................................(7.54)

luego, expresando la ecuacin 7.47 en forma cbica, se tiene,

0223

p

baVb

p

bRT

p

aV

p

RTV TM

TMM ....................................................(7.55)

en el punto crtico las ecuaciones 7.54 y 7.55 son idnticas y es igual a la unidad (at=ac).

Igualando las ecuaciones 7.54 y 7.55 se tiene,

c

cM

p

RTV

c3 ..............................................................................................(7.56)

y,

223 bp

bRT

p

aV

c

c

c

TMc

...............................................................................................(7.57)

y,

c

TM

p

baV

c3 ..................................................................................................................(7.58)

Resolviendo las ecuaciones anteriores para los parmetros ac y b se obtienen las ecuaciones

7.52 y 7.53. A partir de la ecuacin 7.56 se obtiene que la ecuacin de estado de Soave-

Redlich-Kwong, SRK, proporciona un factor de compresibilidad crtico universal de gas de

0.333. Combinando la ecuacin 7.53 con la ecuacin 7.56 se obtiene,

MVb 259921.0 .......................................................................................................(7.59)

Introduciendo el factor z dentro de la ecuacin 7.55 al reemplazar el volumen molar, MV , en la

ecuacin con (zRT/p) y arreglando,

0)( 223 ABzBBAzz ................................................................................(7.36)


Pgina 25

en donde,

2)(RT

paA T .............................................................................................................(7.60)

y,

RT

bpB ..............................................................................................................(7.61)

en donde p es la presin del sistema en lb/pg2abs, T es la temperatura del sistema en R, y R

es la constante universal de los gases e igual a 10.732 (lb/pg2abs-ft

3/lbm-mol-

oR).

Ejemplo 7.6.- Clculo de las densidades de las dos fases de una sustancia pura con la

ecuacin de Soave-Redlich-Kwong, SRK.

Empleando la ecuacin de Soave-Redlich-Kwong, SRK, calcular la densidad de las fases

vapor y lquido para el propano a las condiciones del ejemplo 7.2.

Solucin.

Etapa 1. Localizando la pc, Tc y a partir de la tabla A-1 del Apndice A. Se obtienen para el

propano: pc=616 lb/pg2abs, Tc=666.06 R y =0.1522.

Etapa 2. Calculando la Tr, se tiene:

8407.0 06.666

560

R

R

T

TT

c

r

Etapa 3. Calculando el parmetro m aplicando la ecuacin 7.50,

0.71549)1522.0(176.0)1522.0(574.1480.0m 2

Etapa 4. Calculando el parmetro con la ecuacin 7.49,

12245.18407.0171549.01 22/1

Etapa 5. Calculando los coeficientes aT y b con las ecuaciones 7.52 y 7.53, se obtiene:

2232

2

2

232

22)(/

35,441.465/ 3.616

06.666/

732.10

42748.0mollbm

ftabspglb

abspglb

RRmollbm

ftabspglb

p

TRa

o

c

cac


Pgina 26

luego,

2232

2

232 )(/272.3978112245.1

)(/465.35441

mollbm

ftabspglb

mollbm

ftabspglbaa cT

y,

lbm-molft

abspglb

RRmollbm

ftabspglb

p

RTb

o

c

cb

3

2

32

1.00471/ 3.616

06.666/

732.10

08664.0

Etapa 6. Calculando los coeficientes A y B con las ecuaciones 7.60 y 7.61,

20376.0

520/

732.10

/ 185)(/

272.39781

)( 232

2

2

232

2

RRmollbm

ftabspglb

abspglbmollbm

ftabspglb

RT

paA

o

T

0.03331

0.520/

732.10

/ 18500471.1

32

23

RRmollbm

ftabspglb

abspglblbm-mol

ft

RT

bpB

o

Etapa 7. Resolviendo la ecuacin 7.36 para zv y z

L,

0)( 223 ABzBBAzz ........................................................................................(7.36)

sustituyendo valores, se llega a:

00679.016934.023 zzz

Luego, las races son:

zv=0.79859

y

zL=0.06018


Pgina 27

Etapa 8. Calculando las densidades de las fases vapor y lquido con las ecuaciones 7.28 y

7.29, respectivamente:

Para la fase vapor se tiene,

332

2

69602.1

)560(/

732.10)79859.0(

)/44)(/185(3

ft

lbm

RRmollbm

ftabspglb

mollbmlbmabspglb

RTz

pM

o

o

V

Cv

y para la fase lquida, finalmente:

332

2

506.22

)560(/

732.10)06018.0(

)/44)(/185(3

ft

lbm

RRmollbm

ftabspglb

mollbmlbmabspglb

RTz

pM

o

o

L

CL

7 . 7 E c u a c i n d e e s t a d o d e p e n g - r o b i n s o n ( e d e d e p r ) .

Peng y Robinson, PR, en 1975 realizaron un exhaustivo estudio para evaluar el uso de la

ecuacin de estado de Soave-Redlich-Kwong, SRK, y predecir el comportamiento de los

hidrocarburos. Peng y Robinson, PR, mejoraron la ecuacin de estado de SRK para predecir

las densidades de lquidos y otras propiedades fsicas, principalmente en la vecindad de la

regin crtica (por ejemplo, muy apropiado para los fluidos petroleros en yacimientos cercanos

al punto crtico). Ellos propusieron un ligero cambio en el trmino de atraccin molecular de la

ecuacin 7.30, es decir,

RTbVbVbbVV

ap M

MMM

T

)(

)()(...........................................................(7.62)

en donde el trmino aT es dependiente de la temperatura tal como en la ecuacin de estado

de SRK. Sin embargo, manifiestan que aT no presenta los mismos valores en ambas

ecuaciones de estado. Los coeficientes ac y b se calculan como,

c

cac

p

TRa

22

.................................................................................................(7.52)

y,

c

cb

p

RTb ................................................................................................................(7.53)

en donde a y b son los parmetros de las sustancias puras adimensionales de la ecuacin

de Peng-Robinson, PR, siendo stas igual a 0.457234 y 0.077796, respectivamente. La

ecuacin para a se expresa como:

cT aa .........................................................................................................(7.48)


Pgina 28

para el parmetro dependiente de la temperatura se tiene,

)1(1 5.02/1 rTm ..................................................................................................(7.49)

siendo el parmetro m definido por,

2269920542261374640 .-..m ....................................................................(7.63)

esta ltima expresin para m fue expandida en 1978 por algunos investigadores dando,

32 0.016667 164404850313796420 .-..m ......................................................(7.64)

rearreglando la ecuacin 7.62 en la forma del factor de compresibilidad,

0)()32()1( 32223 BBABzBBAzBz ..................................................(7.65)

en donde A y B se dan para componentes puros mediante:

2)(RT

paA T ......................................................................................................(7.60)

y

RT

bpB .....................................................................................................................(7.61)

7 . 8 R e g l a s d e m e z c l a d o p a r a l a s e c u a c i o n e s d e e s t a d o d e S o a v e -R e d l i c h - K w o n g , S R K y P e n g - R o b i n s o n , P R .

Las reglas de mezclado siguientes se recomiendan para emplearse con las ecuaciones de

estado de Soave-Redlich-Kwong, SRK, y de Peng-Robinson, PR, es decir:

)()a(axxa ji/jTTijiT 21 1 ..............................................................................(7.66)

para la fase lquida, y

)()a(ayya ij/jTiTjiT 121 .........................................................................(7.67)

para la fase vapor, en donde

21 1

/

jTTijijiT)a)(a(a ........................................................................................(7.68)

siendo, para la fase lquida,

)( jjbxb ...........................................................................................................(7.69)

y para la fase vapor,


Pgina 29

)( jjbyb ..........................................................................................................(7.70)

El trmino representa los coeficientes de interaccin binarios y se consideran

independientes de la presin y temperatura. Estos coeficientes implican una correccin

determinada empricamente y caracterizan un sistema de dos componentes formado por el

componente y el componente en la mezcla de hidrocarburos. Los valores de los

coeficientes se obtienen ajustando la ecuacin de estado a partir de datos de equilibrio

lquido-vapor para cada mezcla binaria.

Los coeficientes de interaccin binaria tienen valores diferentes para cada par binario y toman

diferentes valores para cada ecuacin de estado. Los coeficientes se emplean para

modelar la interaccin molecular a travs de ajustes empricos del trmino aT (ecuaciones 7.66 y 7.67).

Los coeficientes dependen de la diferencia en el tamao molecular de los componentes en

un sistema binario y se caracterizan por las propiedades siguientes dadas por Slot-Peterson

en 1987:

1. La interaccin entre componentes hidrocarburos se incrementa en funcin de la

diferencia relativa entre el incremento de sus pesos moleculares, es decir ,+1>. 2. Los componentes hidrocarburos con el mismo peso molecular tienen un coeficiente de

interaccin binario nulo, es decir =0. 3. La matriz de coeficientes de interaccin binaria es simtrica, es decir , =,i.

Ejemplo 7.7.- Clculo de las densidades de las dos fases de una mezcla de

hidrocarburos con la ecuacin de Soave-Redlich-Kwong, SRK.

Una mezcla de hidrocarburos cuya composicin se muestra en la tabla 7.5 existe en equilibrio

en dos fases a 4,000 lb/pg2abs y 160 F. Calcular las densidades de las fases vapor y lquido

empleando la ecuacin de Soave-Redlich-Kwong, SRK. Considerar que no existe interaccin

binaria entre los componentes de la mezcla.


Pgina 30

Tabla 7.5.- Fracciones mol del lquido y gas para cada componente del ejemplo 7.7.

Componente xj

(fraccin mol lquido)

yj (fraccin mol

vapor)

Metano, C1H4 0.45 0.86

Etano, C2H6 0.05 0.05

Propano, C3H8 0.05 0.05

n-Butano, nC4H10 0.03 0.02

n-Pentano, nC5H12 0.01 0.01

n-Hexano, nC6H14 0.01 0.005

Heptano, C7H16+ 0.40 0.005

Peso molecular del C7H16+= 215 lbm/lbm-mol

pc del C7H16+= 285 lb/pg2abs,

Tc del C7H16+= 700 R y = 0.52

Solucin.

Etapa 1. Se calculan los parmetros (ecuacin 7.49), ac (ecuacin 7.52) y b (ecuacin 7.53)

Tabla 7.6.- Datos para cada componente de la mezcla del ejemplo 7.7.

Componente ac ati bi

Metano, C1H4 0.6878 8,708.74 5,990.22 0.4790

Etano, C2H6 0.9234 21,074.79 19,460.58 0.7238

Propano, C3H8 1.0510 35,457.90 37,264.63 1.0054

n-Butano, nC4H10 1.1636 52,415.21 60,990.89 1.2929

n-Pentano, nC5H12 1.2638 71,821.07 90,770.04 1.6037

n-Hexano, nC6H14 1.3564 94,058.30 127,576.63 1.9443

Heptano, C7H16+ 1.7844 232,454.57 414,799.03 3.7845

Etapa 2. Se obtienen los parmetros de mezclado: para la fase lquida jiTa (ecuacin 7.68) y

b (ecuacin 7.69), se obtiene,

jiTa =104,373.9

2

62/

mollbm

ftabspglb

y

b=1.8901mollbm

ft

3


Pgina 31

Para la fase vapor se calcula jiTa y b, y se obtiene,

jiTa =9,244.11

2

62/

mollbm

ftabspglb

y

b=0.56897mollbm

ft

3

Etapa 3. Se calculan los coeficientes A y B para cada fase.

Para la fase lquida,

4298.9

560/

732.10

/ 000,4/

9.373,104

2

232

22

2

232

2

RRmollbm

ftabspglb

abspglbmollbm

ftabspglb

(RT)

paA

o

jiT

y

136.1

)620(/

732.10

)/000,4(8901.1

32

23

RRmollbm

ftabspglb

abspglbmollbm

ft

RT

bpB

o

o

Para la fase vapor (gas).

8352.0

620/

732.10

/ 000,4/

11.9244

2

232

22

2

322

2

RRmollbm

ftabspglb

abspglbmollbm

ftabspglb

(RT)

paA

o

jiT

y

3420.0

) 620(/

732.10

)/000,4(56897.0

32

23

RRmollbm

ftabspglb

abspglbmollbm

ft

RT

bpB

o

o


Pgina 32

Etapa 4. Con la ecuacin 7.65 se obtiene el valor de zL,

0)136.14298.9()136.1136.14298.9( 223 xzzz

reduciendo trminos, se obtiene,

71225100033723 .z.zz

es decir,

zL =1.41221

Etapa 5. Con la ecuacin 7.65 se obtiene el valor de zv,

03420083520342003420083520 223 ).x.(z)...(zz

reduciendo trminos, se obtiene

28564037624023 .z.zz

es decir,

zv =0.92663

Etapa 6. Luego, se calcula el peso molecular aparente del lquido y del vapor a partir de la

composicin de la mezcla.

Para la fase lquida, se tiene:

Ma= 100.25 lbm/lbm-mol


Ma = 20.89 lbm/lbm-mol

Etapa 7. Finalmente, se calcula la densidad de cada fase, con las ecuaciones 7.45 para la

fase lquida y 7.46 para la fase vapor, para la fase lquida,

332

2

67492.42

)620(/

732.10)41221.1(

)/25.100)(/000,4(

ft

lbm

RRmollbm

ftabspglb

mollbmlbmabspglb

RTz

pM

o

o

L

aL


332

2

55251.13

)620(/

732.10)92663.0(

)/89.20)(/000,4(

ft

lbm

RRmollbm

ftabspglb

mollbmlbmabspglb

RTz

pM

o

o

v

av


Pgina 33

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 7.1.- Derivar la ecuacin 7.6 a partir de la ecuacin 7.5.

Solucin.

La ecuacin 7.6 describe la ecuacin ., y se representa por:

2

MM V

a

bV

RTp

........(7.5)

Sumando en ambos lados de la ecuacin 7.5 el trmino 2

MV

a, se obtiene,

bV

RTp

V

a

MM

2

Multiplicando por bVM la ecuacin anterior se tiene:

RTbVV

ap M

M

2.....(7.6)

que representa la ecuacin de estado de Van der Waals 7.6

Ejemplo 7.2.- Derivar las ecuaciones 7.14 y 7.15 a partir de la ecuacin 7.6 en el ejercicio

7.1.

RTV8

9a cMC

...........(7.14)

3

1CM

Vb

............(7.15)

Desarrollando la primera y segunda derivada de la ecuacin 7.6 del ejercicio 7.1 a

temperatura crtica constante en el punto crtico,

cMcMc

c RTbVV

ap

2


Pgina 34

Despejando la pc,

2McMcc

cV

a

bV

RTp

Luego, obteniendo la primera y segunda derivada de la ecuacin anterior,

1 derivada=

3232

22

CCCCCMM

c

MM

c

TMV

a

bV

RT

V

a

bV

RT

dV

dp

y,

2 derivada=

433422 62232

CCCCCMM

c

M

c

MTMV

a

bV

RT

bV

RT

V

a

dV

Pd

Como en el punto crtico la pendiente de la lnea recta es horizontal e igual a cero, se igualan

las expresiones para la primera y segunda derivada, es decir:

0

223

bV

RT

V

a

CC M

c

M

y

0

6243

CCMM

c

V

a

bV

RT

Resolviendo para a de la ecuacin de la primera derivada:

2

3

2

C

C

M

M

cV

bV

RTa

Sustituyendo a en la ecuacin de la segunda derivada:

0

2

623

243

C

CCC

M

M

c

MM

cV

bV

RT

VbV

RT

y

0

3223

bVV

RT

bV

RT

CCC MM

c

M

c


Pgina 35

Reacomodando trminos se llega a:

032

3

bVV

bVRTVRT

CC

CC

MM

McMc

032 bVRTVRTCC McMc

bVRTVRTCC McMc 32

bVVCC MM 32

bVVCC MM

3

2

bVCM

3

1

luego,

bVCM

3

1

Sustituyendo b en la ecuacin

2

3

2

C

C

M

M

cV

bV

RTa

2

3

1

3

2

C

CC

M

MM

cV

VV

RTa

y,

C

C

C

Mc

M

M

c VRTV

V

RTa

8

9

2

9

4

3

por lo que queda demostrado que :

3

1CM

Vb

............(7.14)

RTV8

9a cMC

............(7.15)


Pgina 36

Ejercicio 7.3.- Derivar las ecuaciones c

2

c

2

p64

TR27a

y c

c

p8

RTb a partir de las ecuaciones

7.12, 7.13 y 7.16 de la ecuacin de estado de Van der Waals en el punto crtico.

0

232

CCCMM

c

TMV

a

bV

RT

V

p...............................................................(7.12)

y,

0

62432

2

CCCMM

c

TMV

a

bV

RT

V

P.............................................................................(7.13)

y,

cM2M

c RTbVV

ap

C

C

....................................................................................(7.16)

Solucin.

De la ecuacin 7.12 y 7.13 se obtuvieron los trminos de a y b correspondientes a las

ecuaciones 7.14 y 7.15 (ejercicio 7.1), es decir:

RTV8

9a cMC

........................................................................................................(7.14)

y,

3

1CM

Vb

.......................................................................................................(7.15)

Sustituyendo los valores de a y b en la ecuacin 7.16, se tiene:

cMM

M

Mc

c RTVVV

VRT

pCC

C

C

3

18

9

2

y,

CC M

c

M

cc

V

RT

V

RTp

2

3

8

9


Pgina 37

Despejando la pc

CCC M

c

M

c

M

cc

V

RT

V

RT

V

RTp

8

3

8

9

2

3

Despejando VMc y sustituyndolo en las ecuaciones 7.14 y 7.15, se tiene:

c

cM

p

RTV

C 8

3

c

c

c

cc

p

TR

p

RTRTa

22

64

27

8

3

8

9

..........................................................................(7.17)

y,

c

c

c

c

p

RT

p

RTb

8

1

8

3

3

1

....................................................................................(7.18)

Ejercicio 7.4.- Calcular la zc de 0.375 combinando las ecuaciones 7.14, 7.15 y 7.16 de la ecuacin de estado de Van der Waals.

RTVa cM C

8

9..........................................................................................................(7.14)

CMVb

3

1............................................................................................................(7.15)

cM2M

c RTbVV

ap

C

C

........................................................................................(7.16)

Despejando la pc de la ecuacin 7.16

2CC MM

cc

V

a

bV

RTp

.......................................................................................(7.71)


Pgina 38

y sustituyendo las ecuaciones 7.14 y 7.15 en la ecuacin 7.16; se obtiene:

2

8

9

3

1C

C

CC

M

cM

MM

cc

V

RTV

VV

RTp

y,

CCC M

c

M

c

M

cc

V

RT

V

RT

V

RTp

8

3

8

9

2

3

por lo que la presin evaluada en el punto crtico es:

cMc RT.Vp C 3750 cM2M

c RTbVV

ap

C

C

...........................................................(7.19)

Ejercicio 7.5.- En una celda cilndrica cerrada se encuentra butano normal puro a 150F

teniendo las fases lquido y vapor presentes (regin de dos fases). Empleando la ecuacin

cbica de estado de Van der Waals de dos parmetros calcular la densidad de las fases

lquido y vapor.

Solucin.

Etapa 1. Se estima la pv del propano puro a partir de la cartas de Cox. La pv estimada es:

pv = 100 lb/pg2abs

Etapa 2. Se calculan los parmetros a y b a partir de las ecuaciones 7.20 y 7.21,

respectivamente.

2

232

2

2

232

22

)(

)(/162.729,51

)/ (550.6

) 62.765(/

10.732

0.421875mollbm

ftabspglb

abspglb

RRmollbm

ftabspglb

p

TRa

c

ca

y,

mollbm

ft

abspglb

RRmollbm

ftabspglb

P

RTb

c

cb

3

2

32

86538.1)/ (550.6

) 32.765(/

10.732

(0.125)


Pgina 39

Etapa 3. Se calculan los coeficientes A y B aplicando las ecuaciones 7.25 y 7.26

12070.0

) 610(/

10.732

)/100()(

)(/162.729,51

2

232

2

2

232

22

RRmollbm

ftabspglb

abspglbmollbm

ftabspglb

TR

apA

o

,

y,

02849.0

) 610(/

10.732

)/100)(/ 86538.1(32

23

RRmollbm

ftabspglb

abspglbmollbmft

RT

bpB

o

Etapa 4. Se sustituyen los valores de A y B dentro de la ecuacin 7.24,

0)1( 23 ABAzzBz ........................................................................................(7.24)

y,

000344.012061.002849.1 23 zzz

Etapa 5. Se resuelve el polinomio de tercer grado de la ecuacin 7.27, obteniendo el mayor y

menor valores (races) del polinomio. Para resolver este polinomio se utilizan mtodos

directos o iterativos. Para la fase vapor se obtiene,

zv = 0.89852


zL = 0.04512

Etapa 6. Se calculan las densidades de las fases lquido y vapor. Para la fase vapor se tiene,

RTz

pM

V

Cv 3 ......................................................................................................................(7.28)


332

2

98603.0

)610(/

10.732)89852.0(

)/58)(/100(

ft

lbm

RRmollbm

ftabspglb

mollbmlbmabspglb

o

v


Pgina 40


RTz

pM

L

CL 3 ...........................................................................................................(7.29)

y,

332

2

63579.19

)610(/

10.732)04512.0(

)/58)(/100(

ft

lbm

RRmollbm

ftabspglb

mollbmlbmabspglb

o

L

Ejercicio 7.6.- En un contenedor cerrado se tiene butano normal a 120F. Encontrar la

densidad de las fases lquido y vapor empleando la ecuacin de estado de Soave-Redlich-

Kwong (SRK). Comentar el resultado.

Solucin.

Etapa 1. Se determinan las propiedades crticas pc, Tc y el factor acntrico de Pitzer, , a

partir de la tabla A-1 del Apndice A. Se obtienen pc=550.6 lb/pg2abs, Tc=305.62 F,

M=58.123 lbm/lbm-mol y =0.1995

Etapa 2. Se calcula la presin de vapor, pv, de las cartas de Cox, obteniendo pv=70 lb/pg2abs.

Etapa 3. Se calcula la temperatura reducida, Tr, y se obtiene,

75756.062.765

0.580

0.46062.305

460120

R

R

T

TT

c

r

Etapa 4. Se calcula el parmetro m aplicando la ecuacin 7.50,

2176.0574.1480.0 m .........................................................................(7.50)

y,

0.78701).(.).(..m 21995017601995057414800

Etapa 5. Se calcula el parmetro con la ecuacin 7.53,

22/111 rTm ....................................................................................(7.49)

y,

21443175756017870101 221 ... /


Pgina 41

Etapa 6. Se calculan los coeficientes aT y b con las ecuaciones 7.52 y 7.53,

2232

2

2

232

22)(/

43.416,52/ 60.550

62.765/

732.10

42748.0mollbm

ftabspglb

abspglb

RRmollbm

ftabspglb

p

TRa

o

c

cac

luego,

2232

2

232 )(/209.656,6321443.1

)(/43.416,52

mollbm

ftabspglb

mollbm

ftabspglbaa cT

y,

lbm-molft

.abspglb

RRmollbm

ftabspglb

p

RTb

o

c

cb

3

2

32

292931/ 60.550

62.765/

732.10

08664.0

Etapa 7. Se calculan los coeficientes A y B con las ecuaciones 7.60 y 7.61,

115010

0.580/

732.10

/ 70)(/

209.656,63

)( 232

2

2

232

2.

RRmollbm

ftabspglb

abspglbmollbm

ftabspglb

RT

paA

o

T

y,

014540

0.580/

732.10

/ 70292931

32

23

.

RRmollbm

ftabspglb

abspglblbm-mol

ft.

RT

bpB

o

Etapa 8. Resolviendo la ecuacin 7.36 para z, se llega a:

0)( 223 ABzBBAzz ......................................................................(7.49)


0)01454.011501.0()01454.001454.011501.0( 223 xzzz


Pgina 42

y,

00167.010026.023 zzz

se obtiene,

zL = 0.02094

y

zv =0.88938

Etapa 9. Se calcula la densidad de cada fase, es decir:

Para la fase vapor, se obtiene:

RTz

pMv

av ..................................................................................................(7.28)


3

32

2

73494.0

)580(/

732.10)88938.0(

)/123.58)(/0.70(

ft

lbm

RRmollbm

ftabspglb

mollbmlbmabspglb

o

o

v

y para la fase lquida, se obtiene:

RTz

pML

aL ....................................................................................................(7.49)

sustituyendo valores, finalmente se obtiene:

332

2

2148.31

) 580(/

732.10)02094.0(

)/123.58)(/0.70(

ft

lbm

RRmollbm

ftabspglb

mollbmlbmabspglb

o

o

L

Ejercicio 7.7.- Una mezcla de hidrocarburos se encuentra en equilibrio a 4,200 lb/pg2abs y

200 F. El arreglo de la mezcla se presenta en la tabla 7.7, as como las propiedades del

C4H10+.


Pgina 43

Tabla 7.7.- Fracciones mol del lquido y gas para cada componente del ejercicio 7.7

Componente xj

(fraccin mol vapor)

yj (fraccin mol

lquido)

Metano, C1H4 0.55 0.86

Etano, C2H6 0.06 0.06

Propano, C3H8 0.03 0.02

Butano, nC4H10+ 0.36 0.06

Total

Propiedades del Butano+: Peso molecular del nC4H10+=215 lbm/lbm-mol

pc del nC4H10+ = 285 lb/pg2 abs

Tc del nC4H10+ = 700 F

=0.53

Considerar que no existe interaccin binaria entre los componentes de la mezcla. Calcular las

densidades de cada fase empleando la ecuacin de estado de Soave-Redlich-Kwong (SRK).

Solucin.

Etapa 1. Del Apndice A se obtiene, el peso molecular, propiedades crticas y factor

acntrico, para obtener la Tr y el peso molecular aparente para cada uno de los componentes

y por ltimo la masa aparente de la mezcla para el vapor y el lquido. La tabla 7.8 muestra los

datos y clculos obtenidos.

Tabla 7.8.- Datos y clculos para cada componente de la mezcla del ejercicio 7.7.

Componente Mj

(lbm/lbm-mol)

pcj (lb/pg2abs)

Tcj (R)

Factor acntrico

Trj

Ma vapor (lbm/lbm-

mol)

Ma lquido (lbm/lbm-mol)

Metano, C1H4 16.043 666.40 343.33 0.0104 1.9223 8.82 13.80

Etano, C2H6 30.070 706.50 549.93 0.0979 1.2002 1.80 1.80

Propano, C3H8 44.097 616.00 666.06 0.1522 0.9909 1.32 0.88

Butano+, nC4H10 215.00 285.00 1160.00 0.53 0.5690 77.40 12.90

89.35 29.38


Pgina 44

Etapa 2. Se calculan los parmetros (ecuacin 7.49), m (ecuacin 7.50), ac (ecuacin 7.52),

b (ecuacin 7.53) y Tia (ecuacin 7.48), se obtiene:

Tabla 7.8.- Datos y clculos para cada componente de la mezcla del ejercicio 7.7 (continuacin).

Componente m ac b ati

Metano, C1H4 0.6532 0.49631 8,708.74 0.4790 5,688.19

Etano, C2 H6 0.8829 0.63202 21,074.79 0.7238 18,607.05

Propano, C3 H8 1.0065 0.71488 35,457.90 1.0054 35,689.42

Butano+, nC4 H10 1.7167 1.26266 232,454.57 3.7845 399,060.52

Etapa 3. Se calculan los parmetros de mezclado: para la fase de vapor y lquido jiTa

(ecuacin 7.68) y b para vapor (ecuacin 7.70) y para lquido (ecuacin 7.69), es decir:

Tabla 7.8.- Datos y clculos para cada componente de la mezcla del ejercicio 7.7 (continuacin).

Componente atij

Vapor atij

Lquido biyi bixi

Metano, C1H4 11,728.75 7,441.33 0.2635 0.41198

Etano, C2H6 2,314.15 938.98 0.0434 0.04343

Propano, C3H8 1,602.48 433.48 0.0302 0.02011

Butano+, nC4H10 64,301.88 4,348.46 1.3624 0.22707

Total 79,947.2650 13,162.2469 1.6995 0.7026


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Etapa 4. Se calculan los coeficientes A y B para cada fase.

Para la fase vapor,

69274.6

660/

732.10

/ 200,4)(/

265.947,79

232

2

2

232

2

RRmollbm

ftabspglb

abspglbmollbm

ftabspglb

(RT)

paA

o

jiT

y,

00773.1

660/

732.10

/ 200,469951

32

2

3

RRmollbm

ftabspglb

abspglblbm-mol

ft.

RT

bpB

o

para la fase lquida,

101871

66073210

200,424616213

232

2

2

232

2

.

RRmollbm

ftabslb/pg.

abslb/pgmollbm

)(ftabslb/pg.,

(RT)

paA

o

jiT

y,

4166.0

0.660/

732.10

/ 420070258.0

32

23

RRmollbm

ftabspglb

abspglblbm-mol

ft

RT

bpB

o

Etapa 5. Con la ecuacin 7.36 se calcula el valor de zv

0)( 223 ABzBBAzz ..................................................................(7.36)


0)00773.169274.6()00773.100773.169274.6( 223 xzzz

y,

74447.666949.423 zzz

y,

zv= 1.32319


Pgina 46

Etapa 6. Con la ecuacin 7.36 se calcula el valor de zL

0)4166.010187.1()4166.04166.010187.1( 223 xzzz

y,

46188.051171.023 zzz

y,

zL=0.96550

Etapa 7. Se calcula la densidad de cada fase.

Para la fase vapor,

RTz

pMv

av .....................................................................................................(7.28)


332

2

04364.40

)660(/

732.10)32319.1(

)/35.89)(/200,4(

ft

lbm

RRmollbm

ftabspglb

mollbmlbmabspglb

o

o

v


RTz

pML

aL .................................................................................................(7.29)


332

2

04364.18

)660(/

732.10)96550.0(

)/38.29)(/200,4(

ft

lbm

RRmollbm

ftabspglb

mollbmlbmabspglb

o

o

L

Ejemplo 7.8.- Una celda de laboratorio con un volumen de 0.008829 ft3 (250 cm

3) contiene

0.007357 lbm/lbm-mol (79.28 gr) de gas. La composicin del gas es como se muestra en la

tabla 7.9.


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Tabla 7.9.- Composicin de la mezcla para el ejercicio 7.8 (continuacin).

Componente yj

(fraccin mol vapor)

Metano, C1H4 0.65

Etano, C2H6 0.25

n-Butano+, nC4H10 0.10

Total 1.00

La temperatura es de 709.6R (250F). Utilizar las ecuaciones de estado Soave-Redlich-

Kwong (SRK) para calcular la presin del sistema. Utilizar valores de coeficientes de

interaccin binaria de 0.02 entre metano y n-butano, 0.01 entre etano y n-butano, y 0.0 entre

metano y etano.

Solucin.

Etapa 1. Del Apndice A se obtiene el peso molecular, propiedades crticas y factor acntrico,

para obtener la Tr, para cada uno de los componentes. Los datos y clculos obtenidos para la

mezcla se presentan en la tabla 7.9.

Tabla 7.9.- Datos y clculos para cada componente de la mezcla para el ejercicio 7.8.

Componente yi

(fraccin mol vapor)

pci (lb/pg2abs)

Tci (R)

Factor acntrico

Tri

Metano, C1H4 0.65 666.40 342.90 0.0104 2.0694

Etano, C2H6 0.25 706.50 549.93 0.0979 1.2904

Butano+, nC4H10 0.10 550.60 765.00 0.1995 0.9276

Etapa 2. Se calculan los parmetros (ecuacin 7.49), m (ecuacin 7.56), ac (ecuacin

7.52), b (ecuacin 7.53) y aT (ecuacin 7.68).

Tabla 7.9.- Datos y clculos para cada componente de la mezcla para el ejemplo 7.8 (continuacin).

Componente m aci bi aTi bi

Metano, C1H4 0.4964 0.6120 8,686.94 0.4784 5,316.74 0.31099

Etano, C2H6 0.6325 0.8354 21,074.79 0.7238 17,606.72 0.18094

Butano+, nC4H10 0.7872 1.0589 52,330.35 1.2919 55,413.96 0.12919

78,337.41 0.62112


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Etapa 3. Se calcula las constantes para la mezcla aT y b, con las ecuaciones 7.67 y 7.70:

n

j

ij

/

jTiTji

n

i

T )()a(ayya1

21

1

1

i=1, =1 =B

es decir,

93.911,4

)02.01()96.55413*74.5316)(10.0)(65.0(

)0.01()72.17606*74.5316)(25.0)(65.0(

)0.01()74.5316*74.5316)(65.0)(65.0(

2/1

2/1

2/1

1

jT

a

122

133131

122121

11111111

1

1

1

yya

))(a(ayy

))(a(ayy

))(a(ayya

T

T

y,

73.445,3

)01.01()96.55413*72.17606)(10.0)(25.0(

)0.01()72.17606*72.17606)(25.0)(25.0(

)0.01()74.5316*72.17606)(65.0)(25.0(

2/1

2/1

2/1

2

jT

a

y,

321 TTTT aaaa

y,

2232 )(/

06.776,10mollbm

ftabspglbaT

y,

lbm-mol

ftbyb

jj

3

6211.0 )(

41.418,2

)0.01()96.55413*96.55413)(10.0)(10.0(

)01.01()72.17606*96.55413)(25.0)(10.0(

)02.01()74.5316*96.55413)(65.0)(10.0(

2/1

2/1

2/1

3

jT

a


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Luego se calcula el volumen molar, VM, de la mezcla, es decir:

mollbmlbm

ft

mollbmlbm

ftVm

/2.1

/ 007357.0

008829.0 33

De la ecuacin 2.6.47, RTbVbVV

ap M

MM

T

)(

)(, se despeja la presin, quedando:

)( bVV

a

bV

RTp

MM

T

M

sustituyendo datos:

lbm-mol

ft

mollbm

ft

mollbm

ft

mollbm

ftabspglb

lbm-mol

ft

mollbm

ft

RRmollbm

ftabspglb

p

o

333

2

232

33

32

6211.02.12.1

)(/06.776,10

6211.02.1

6.709/

732.10

finalmente,

abspglbp 2/ 83.223,8

Propiedades de los Fluidos en los Yacimientos Petroleros y aplicaciones

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