Energía mecánica en ondas estacionarias

Dada una onda estacionaria: )tcos()kx(senA)t,x(y ω=

las expresiones de las energías cinética y potencial elástica para un elemento de cuerda de longitud dx

son: ( )2

dK(x, t) 1 2Fdx y x= ∂ ∂ ( )2

dU(x, t) 1 2 dx y t= µ ∂ ∂

2 2dK(x, t) Csen (kx)sen ( t)dx= ω 2 2dU(x, t) Ccos (kx)cos ( t)dx= ω

donde 2 21C A

2= µ ω ; por lo que la energía mecánica está dada por

2 2 2 2dE(x, t) Csen (kx)sen ( t)dx Ccos (kx)cos ( t)dx= ω + ω

En esta expresión se nota rápidamente en general que, la energía mecánica no se conserva, excepto en

algunos puntos particulares determinados por la siguiente condición:

)kx(cos)kx(sen 22 =

2

n4

kxπ

+π

= (n entero)

4

n8

xλ

+λ

= (n entero)

Es decir que la energía mecánica se conserva sólo en los puntos ubicados a mitad de camino entre un

nodo y un antinodo. Para los demás no se conserva.

En un antinodo, la energía potencial es cero para cualquier instante, ya que el elemento de cuerda

ubicado en un antinodo es siempre un tramo horizontal, por lo que nunca se encuentra estirado (aquí

habría que resaltar que la longitud dx del elemento debe ser suficientemente chica para que ese

elemento de cuerda pueda considerarse recto, aún en la posición de máxima elongación de la cuerda

oscilante, que es en realidad donde la cuerda está más curvada).

Además se puede ver que la energía cinética varía entre cero, cuando la cuerda está en su máxima

elongación, y un valor máximo Kmáx=2 21

dx A2

µ ω , cuando la cuerda está en posición horizontal. Por lo

tanto la energía mecánica de este elemento también varía entre 0 y Kmáx.

Por otro lado, si se observa la situación para un nodo ocurre algo similar, ya que es claro que la energía

cinética del mismo es siempre cero, mientras que es la energía potencial la que varía entre cero (con la

cuerda horizontal) y un valor máximo Umáx = Kmáx (cuando la cuerda está en su máxima elongación).

¿Qué sucede si se calcula la energía mecánica de toda una cuerda de longitud L?

∫∫ ω+ω=L

0

22L

0

22 dx)t(cos)kx(cosCdx)t(sen)kx(senC)t(E

∫∫ ω+ω=L

0

22L

0

22 dx)kx(cos)t(cosCdx)kx(sen)t(senC)t(E

L

0

2L

0

2

k4

)kx2(sen

2

x)t(cosC

k4

)kx2(sen

2

x)t(senC)t(E

+ω+

−ω=

−−+ω+

+−−ω=

k4

)0(sen0

k4

)kL2(sen

2

L)t(cosC

k4

)0(sen0

k4

)kL2(sen

2

L)t(senC)t(E 22

[ ] [ ])t(sen)t(cos)kL2(senk4

C)t(cos)t(sen

2

LC)t(E 2222 ω−ω+ω+ω=

)t2cos()kL2(senk4

C

2

LC)t(E ω+=

Se puede ver que E resulta constante si sen (2kL)=0. Tomando un nodo en un extremo y un antinodo

en el otro se tiene : L = λ / 4, por lo que:

( )2π λ

sen 2 =sen π =0λ 4

De hecho, esta expresión indica que si se considera un tramo de cuerda cuya longitud sea algún

múltiplo entero de un cuarto de la longitud de onda, la energía mecánica se también conserva. Por

extensión, la energía mecánica de toda la onda estacionaria en una cuerda se conserva siempre, con

extremos están fijos o libres.

Esto era esperable, ya que la energía transportada por la onda estacionaria, es decir la potencia media

transmitida, puede calcularse fácilmente recordando que la onda estacionaria puede escribirse como

una superposición de dos ondas propagantes de igual amplitud y sentidos opuestos de propagación, por

lo que: ( )2 2 2 21 1P A v A v 0

2 2= µ ω + µ ω − =

Si se analiza lo que ocurre en un tramo general [a,b]:

∫∫ ω+ω=b

a

22b

a

22 dx)t(cos)kx(cosCdx)t(sen)kx(senC)t(E

b

a

2b

a

2

k4

)kx2(sen

2

x)t(cosC

k4

)kx2(sen

2

x)t(senC)t(E

+ω+

−ω=

−−+ω+

+−−ω=

k4

)ka2(sen

2

a

k4

)kb2(sen

2

b)t(cosC

k4

)ka2(sen

2

a

k4

)kb2(sen

2

b)t(senC)t(E 22

( ) [ ] [ ] )t2cos()ka2(sen)kb2(senk4

C)t(cos)t(sen

2

abC)t(E 22 ω−+ω+ω

−=

Se puede ver que E es cte si: )ka2(sen)kb2(sen =

λ

π=

λ

πa

22senb

22sen

La distancia entre a y b que cumple con esta condición está dada por

4 4b a 2n

π π= + π

λ λ (n entero)

b a n2

λ− = (n entero)

o sea que si se analizan tramos arbitrarios de cuerda, la energía se conserva para cualquier tramo que

sea algún múltiplo de media longitud de onda.