74

Unitatearen aurkezpena

•Ekuazioak ikastearen helburu nagusiaproblemak ebaztekoaplikatzeada.Horretarako,ikasleeknahitaezjakinbehardituzte,aurrekounitateanikasitakohizkuntzaaljebraikoazgain,lehenetabigarrenmailakoekuazioakebaztekoteknikak.Halaere,teknikahoriekikasiaurretik,ezinbestekoadaikasleekhonakokontzeptuhauekondoulertzea:ekuazioa,etaekuaziobatenetaekuaziobaliokideensoluzioa.Izanere,horiekdiraaplikatukoditugunprozedurenoinarria.

• Ikasleentzatzailaizanohidaulertzea«berdin»zeinuaktrataeradesberdinaduelaaritmetikanetaaljebran.Ekuazioen«berdin»zeinuan,eragiketaaritmetikoetanezbezala,biatalakbaterama-neiatubehardira.Ekuaziobatetikbesteekuaziobaliokidebateraigarotzekoaukeraematendigutentransformazioakbarneratze-ko,beharrezkoadaikasleekhonakohauulertzea:ekuazioba-tean,«berdin»zeinuakorekaegoerabatsortzenduela.

•Behinpausohoriemanda,askopraktikatubeharda,ekuazioba-tensoluzioalortzekoaukeraematendutenteknikaktrebetasunezerabiltzeko.

•Bigarrenmailakoekuazioetan,ebazpen-formulaaurkeztukodugu.Formulahorrenjustifikazioasaihestudugu;izanere,zailtasunhan-

diakdituikaslerikgehienentzat.Halaere,kontzeptuasakondunahiizanezgero,ikaslerikaurreratuenekzenbaitbaliabideaurkitukodi-tuzteAnayarenwebgunean.

•Halaber,diskriminatzailearenzeinuarenaraberakosoluzio-ko-puruariburuzkoeztabaidaereaintzathartudugu.Ekuazioosatu-gabeakprozedurazehatzekinlandukodira;horrela,ekuazioakebazteaprozesuzurrunaezdelaikusikodugu.

•Problemakplanteatzekoetaebaztekoorduan,ikasleektrebeta-sunakkonbinatuetaaplikatubeharkodituzte,enuntziatuakhi-zkuntzaaljebraikoankodifikatzeko.Halaber,problemaaritme-tikoakebaztekotrebetasunakerekontuanizanbeharkodituzte:ehunekoak,nahasteak…

Gutxienekoezaguerak

Unitateaamaituorduko,ikasleekezaguerahauekjakinbeharkodi-tuzte,gutxienez:

•Ekuazioarenkontzeptuaetaharensoluzioarenaulertzea.

•Ekuaziobatensoluzioabilatzea,haztamuzedobestezenbaitme-todoezalgoritmikoerabiliz.

•Lehenmailakoekuazioakebaztea.

6 Ekuazioak

74

Unitatearen eskema

EKUAZIOAK

a=0b≠00x=–b

Ezdaukasoluziorik.

a=0b=00x=0

Infinitusoluzioditu.

b2–4ac>0bada,bisoluzio.

b2–4ac=0bada,soluziobat.

b2–4ac<0,ezdaukasoluziorik.

Soluzioak

x= ±a

b b ac2

4– –2

ax2+c=0

x=± /c a–

ax2+bx=0x=0x=–b/a

Haudasoluzioa:

x=ab–

Ekuazioez-ohikoak

EZEZAGUNBATEKOEKUAZIOAK

HAINBATEZEZAGUNDITUZTENEKUAZIOAK

Lehenmailakoekuazioak

ax+b=0itxuradute,a≠0-rekin

Osoak:ax2+bx+c=0,a≠0,b≠0,c≠0

Osatugabeak:b=0oc=0

Haztamuzebaztea

Bigarrenmailakoekuazioak

Besteekuaziobatzuk

75

•Bigarrenmailakoekuazioosobatenelementuakidentifikatzea,etaebaztea.

•Bigarrenmailakoekuazioosatugabeakebaztea,erregelaoroko-rraaplikatugabe.

•Problemakplanteatzeaetaebaztea,ekuazioakerabiliz.

Osagarrigarrantzitsuak

•Bigarrenmailakoekuaziobatendiskriminatzailearenzeinuaikas-tea.Bigarrenmailakoekuaziobatensoluzio-kopurua.

•Soluziorikgabekoeta infinitusoluziodituzten lehenmailakoekuazioak.

Lanakaurreratu

•Eragiketenlehentasunarietaparentesiarenerabilerariburuzkoezaguerakberrikustea.

•Zatikiakzuzenerabiltzea:eragiketakegitekoprozedura.

•Zenbakizkoberdintzaetaberdintzaaljebraikoabereiztea.

•Eragiketakmonomioekinetapolinomioekin.

•Hizkuntzaaljebraikoarenoinarrizkoerabilera.

•Hitzezkoenuntziatuakeraaljebraikoanadieraztea.

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA

107.,108.eta111.or.PDhonetaniradokitakoariketa.

107.or.Orrialdearenalbobateanebatzitakoariketa.(*)

104.or.1.ariketa.(*)

115.or.«Praktikatu»atalosoa.(*) 108.or.Orrialdearenalbobateanebatzitakoariketa.(*)

108.or.1.ariketa(soluzioaknolakoakdirenerabakitzea).

109.or.2.ariketa.(*)

111.or.«Ariketaebatziak»

114.or.«Ariketaetaproblemaebatziak».(*)

DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA

104.or.1.ariketa.(*) 102.or.Informazioabilatzea

103.or.«Ebatzi». Ikaslearenliburuanproposatutakoproblemaguztiakatalhonidagozkio.Jarraian,interesbereziadutenbatzukadierazikoditugu.

105.or.4.ariketa.(*) 105.or.3.ariketa.(*) 112.eta113.or.«Ariketaebatziak».(*)

118.or.56.ariketa. 112.eta113.or.«Pentsatuetaegin».(*)

120.or.«Interpretatu,deskribatu,adierazi»

116.or.22.ariketa.(*)

117.or.29.(*),32.(*),37.(*)eta43.(*)ariketak.

118.or.51.(*)eta53.(*)ariketak.

121.or.«Trebatuproblemakebatziz».(*)

Jarraianaurkeztuduguntaulan,lankidetza,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,IKTak,ekimenaetaproblemenebazpenalantzekoariketa-sortabatproposatudugu.Horietakobatzukikaslearenliburuanpro-posatuditugu,etahemenadieraziditugubakoitzaridagozkionorrialdeaetaariketa.Besteariketabatzuk,ordea,Proposamendidaktikoanbertanjasoditugu.

Iradokizunhorienaukeraketabatikaslearenliburuandagoadierazita,ikonobatekin;hemen,izartxo(*)batekinadieraziditugu.

76

Unitatea hasteko•Historianzehar,aljebrarilotutakoprozedurekgeroetaeraginkortasuneta

orokortasungehiagoizanzuten;horinotazioarenlaguntzarieskerlortuzu-ten.Unitatearenhasierakoirakurgaietanideiahorinabarmendukodugu.

•Normaladenez,aljebrarenbultzatzailenagusiakagertukozaizkiguberriroere:AlejandriakoDiofanato,eta,batezere,Al-Jwarizmi(780-850).Azkenhorikalkulualjebraikoarenlehenarauenaitzindariaizanzen:ekuazioarengaiakekuazioarenatalbatetikbesterairaultzeaetabiataletakogaiberdi-nakezabatzea.Harenlanakmundumusulmanekolehenaljebra-liburuakdira.Izanere,ikerketakegiteko,hainbatlekubisitatuzituen,BabiloniatikIndiarainoetaGreziaraino.Halaere,oraindikezzuenezezagunagauregungoeranerabiltzen;hariburuzarizenean,«gauza»esatenzuen.

•Arabiarrek,besteakbeste,ososarrierabiliizanzituztenmetodogeome-trikoak(euskarrigrafikoaetaguzti)ekuazioakebazteko.Eskuinekoorrial-dean,metodohorietakobatazaltzenda,erraz-erraza,bigarrenmailakoekuazioakebaztekoaukeraematenduena.

IKT Honakoariketahauiradokitzendugu:

BilatuinformazioaInternetengaihoniburuz:antzinakoTxinanproblemakekuazioenbitartezebaztekoerabiltzenzituztenteknikak(Bederatzilibu-ruak;LiuHui;QuinJiu-shao…).

«Ebatzi» atalaren soluzioak

1 x+ x7=24→x=21

2 x+2x+4x=x2→x=7

3 x= x x x x6 12 7

52

+ + + + +4→x=84.

Diofanato84urtezituelahilzen.

4

x

2x

2x

2x 2x

2

2

x

2

AZALERA: x2 AZALERA: x2 + 8x(= 84) AZALERA: 84 + 4 · 4 = 100

2x4 4

4 4

2

2

x

2 2x

x2

aldea=10→x+4=10→x=6

x

5x

5x

5x 5x

5

5

x

5

AZALERA: x2 AZALERA: x2 + 20x(= 169) AZALERA: 169 + 4 · 25 = 269

5x25 25

25 25

5

5

x

5 5x

x2

aldea= 269 =16,4→x+10=16,4→x=6,4

103102

6 Ekuazioak

Ebatzi

1. Itzuli hizkuntza aljebraikora eta ebatzi haztamuz Egiptoko papiroko problema: Piloa gehi piloaren zazpirena…

2. Honako ekuazio hauen artean, hautatu elefanteen problemaren itzulpen aljebraikoa. Ebatzi problema, lehenengo, haztamuz eta, gero, saiatu ezagutzen duzun beste metodoren bat erabiliz.

I x + x 2 + x 4 = 2x II x + 2x + 4x = x 2 III x + 2x + 4x = (6x)2

3. Honako ekuazio hauetako zeinek ebazten du Diofantoren epitafioa?

I xx x x x12 5 2 4

6 7+ + + + =+ II x x x xx x6 12 7 25 4 1+ + + + + =

Zenbat urte zituen hil zenean?

4. Gorago azaldu den metodo geometrikoaren bidez, ebatzi honako ekuazio hauek:a) x 2 + 8x = 84 b) x 2 + 20x = 169

Diofantori buruzko problema

Kondairak dioenez, Diofanto hil zenean, dizipuluek hilobian, igar-kizun eran, epitafioa grabatu zuten; epitafio hori interpretatuz gero, maisuak zenbat urte izan zituen asma zitekeen. Honela zioen: Maisuaren gaztaroak bere bizitzaren seirena hartu zuen. Hurrengo hamabirenean, biloz estali zitzaion masaila. Beste zazpiren bat igaro zen ezkondu arte. Bost urte geroago, semea izan zuen. Aitaren adinaren erdia izan zuenean hil zen semea. Diofanto semea hil eta beste lau urtez bizi izan zen.

Baliabide geometrikoak

Arabiar aljebralariek metodo bitxiak asmatu zituzten ekuazio mota batzuk era geometrikoan ebazteko.Hartu kontuan nola ebazten zituzten x 2 + 12x = 64 erako bigarren mailako ekuazioak:

Azken karratuaren azalera 100 da.Ondorioz, aldea 10 da eta x = 4.

x

3x

3x

3x 3x

3

3

x

3

AZALERA: x2 AZALERA: x2 + 12x(= 64) AZALERA: 64 + 4 · 9 = 100

3x9 9

9 9

3

3

x

3 3x

x2

Ahmes-en (edo Rhind-en) papiroa. K.a. xvi. men-dean idatzi zen eta 84 matematika-problema ditu.

Al-Jwarizmi-ren omenezko Errusiako seilua.

Hasierako haztamuakAntzinaroko matematikariak ekuazioak ebazteko metodoak bilatzen ahale-gindu ziren. Lehenengo ahaleginak, berezkoa denez, zalantzatiak izan ziren eta ez zuten ondorio sendorik eman: haztamuzko edo kasu partikularreta-rako baina ez orokorretarako balio zuten ebazpenak-eta izan ziren.Esaterako, K.a. 1550. urteko Egiptoko papiro batean honako problema hau ageri da ebatzita:«Piloa gehi piloaren zazpirena 24 da. Zenbat daude piloan?».

Bide teorikoa abianEra zehatzean bide hori hartu zuena Greziako Diofanto izan zen, iii. mendean. Aritmetika liburuan, lehen mailako ekuazioen eta bigarren mai-lako batzuen ebazpenak landu zituen. Horrez gainera, proposatu zituen problemek mendeak geroago garatu zen ekuazioen teoria sendotzeko bidea prestatu zuten.

Diofantoren lanean, era honetako problemak ageri dira:«Ibaian edaten ari diren ele-fanteen kopuruari letagin kopurua eta hanka kopurua gehituz gero, kopuru horren karratua lortzen dut. Zenbat elefante dira?».

Aurrerabide nabarmenakBagdaden, ix. mendean, funtsezko pertsonaia agertu zen, Al-Jwarizmi arabiarra, eta oso garrantzi handiko pausoa eman zuen. Hark idatzi zuen Al-jabr wa-l-muqabala izeneko liburua funtsezkoa da aljebraren historian. Hurrengo mendeetan, hizkuntza guztietara itzuli eta landu zuten liburu hori. Tituluak «transposizioa eta ezeztatzea» esan nahi du eta ezezaguna bakantzeko koefizienteekin egiten diren mugimenduak aipatzen ditu. Liburuari, azkenean, Al-yabr, besterik gabe, esan zioten, eta hori adieraz-ten zuen zientzia (al-jabr ∼ aljebra) izendatzeko erabili zen atzenean.

OHARRAK

77

Iradokizunak•Ekuazioarenkontzeptuaaurkezteko,ikasleeiesangodieguekuazioagal-

derahonenerantzunadela:«x-renzerbaliorakogertatzendahori?».

•Ikasleekikasietaasimilatubeharkodutegalderahorrierantzutendiotenzenbakiakekuazioarensoluzioakdirela.Horrezgain,berdintzeagerta-tzekox-akezbadaukabaliorik,ekuazioaksoluziorikezduelaulertube-harkodute.Horregatikguztiarengatik,ekuazioaberdintze-proposamenbatdelaesangodugu.

•Ekuaziobatebazteariburuzarigarenean,gogoanizanbehardugupro-zesuhoriekuazioarensoluzioguztiakaurkitzeariburuzkoadela;bestela,ekuazioaksoluziorikezduelaondorioztadezakegu,adibidezx2+4=0ekuazioarenkasuan.

•Ekuazioaren,ezezagunarenetasoluzioarenkontzeptuakezinbestekoakdiraunitatehonetan.Osogarrantzitsuadaikasleekegiaztatzenjakiteazenbakibatekuaziobatensoluzioadenalaez,etaaurkakoariketaebaz-tea:ekuaziobatidaztea,soluzioadakigunean.

•Orrialdehauetan,hainbatekuaziomotalandukoditugu;horrela,ikasleekikusikodutemailahonetanezdutelaikasikozenbaitekuaziomotaebazten.Halaere,haztamuaizangodutebetibaliabidegisa,soluziorahurbiltzeko.

•Ekuaziobatensoluzioahaztamuzbilatzeaohikoprozedurakbezaininte-resgarriada;izanere,soluzioarenkontzeptuafinkatzenlaguntzendu.Halaber,mailahonetan(eztaaurreragoere)ebatziezindaitezkeenekua-zioekinerabiltzekomodukotresnada.

•Haztamuaerabiltzenhasteko,buruzkokalkuluarenbitartezebatzdai-tezkeenegoerakizangoditugukontuan.Prozesuapausozpausoazal-dukodugu,soluzioraheltzeko,adibidez:

( )x31 2+

–10=2

( )x31 2+

12izanbehardabalioa,zereneta12–10=2.

(x+1)236izanbehardu,zereneta36:3=12.

x+1izandaiteke6→x=5

x+1izandaiteke–6→x=–7

Betezenbaitkasutan,problemakebazteko,kalkulagailuaerabilibeharkodugu.Hasierakohausnarketa,haztamuahastekoerabilibeharrekozenba-kiariburuzkoa,ariketaegokiadasoluzioagutxigorabeherakalkulatzeko.

Indartu eta sakondu Honakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko2.koadernotik:

Indartzeko:10.eta12.orrialdeetako1.eta4.ariketak.

Sakontzeko:11.eta12.orrialdeetako2.,3.eta5.ariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTUizenekofotokopia-tzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko1.eta2.ariketak.

Sakontzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)Bai b)Bai c)Ez d)Ez e)Bai f) Bai

g)Bai h)Ez i) Bai j) Ez k)Ez l)Bai

2 a)1.mailakoekuaziopolinomikoa.

b)4.mailakoekuaziopolinomikoa.

c)2.mailakoekuaziopolinomikoa.

e)2.mailakoekuaziopolinomikoa.

3 a)x=50 b)x=2 c)x=4 d)x=15 e)x=8 f) x=31

g)x=5 h)x=7 i) x=6 j) x=11 k)x=5 l) x=16

4 a)x=31,6 b)x=4,6 c) x=4,3 d)x=3,4 e) x=16,6

f) x=2,4 g)x=5,5 h)x=6,2 i) x=5,5 j) x=3,4

105104

Ekuazioak haztamuz kalkulatzea

Aurreko ikasturteetan, ekuazioak metodo algoritmikoz ebazten ikasi zenuen; hau da, soluziora segurtasunez eramaten gaituzten pauso jakin batzuk emanez. Unitate honetako hurrengo ataletan, metodo horiek erabiliko ditugu lehen eta bigarren mailako ekuazioak ebazteko.

Ekuazioaren soluzioa haztamuz lortzeko bidea guztiz baliagarria da, hala ere.

Kasu batzuetan, haztamuz jotzea erabakitzen dugu, buruz edo kalkulagailua erabiliz, soluzioa «ikustea» errazago izango dela uste izaten dugunez gero. Alabaina, kasu batzuetan ekuazioa haztamuz baino ezin izango dugu ebatzi. Soluzioa osoa baldin bada, erraz aurkituko dugu, beharbada. Baina, osoa izan ezik, haztamuz jo beharko dugu behin eta berriz soluziorako hurbiltze hamartar egokia lortzeko.

Adibide batzuk ikusiko ditugu.

Honako ekuazio hauek haztamuz ebaztea:

a) x x = 3 125 b) x 6 = 1 200

a) Zenbaki osoekin haztamuz jota, laster aurkituko dugu x  = 5 soluzioa, 55 = 3 125 denez gero.

b) x-ri balio osoak emanez, honako hau ageri da:

3 7294 4 096

6

6==

4 Ondorioz, x 3 baino handiago eta 4 baino txikiago da.

Hau da, x = 3,…

x-ri 3,1; 3,2; 3,3; … balioak eman eta honako hau ageri da:

, ,, ,

3 2 1073 12003 3 1291 1200

……

<>

6

6==

4 Ondorioz, x = 3,2…

Beraz, hamarrenetara biribilduz, ekuazioaren soluzioa x = 3,2 dela esan dezakegu.

Ariketa ebatzia

Hiru zuhaitzen altuerak ondoz ondoko zenbaki osoak dira eta horien batura 33 da. Kalkulatu zenbat den zuhaitzik txikienaren altuera.

Enuntziatua hizkuntza aljebraikoan idatziz gero, honako ekuazio hau lortuko dugu:

x + (x + 1) + (x + 2) = 33

Esanahia honako hau da: «x + (x + 1) + (x + 2) berdin 33 izatea nahi dugu. x-ren zer baliorekin gertatuko da?».

Ekuazioa ebaztea galdera horri erantzutea da. x = 10 esatea honako hau esatea da: «x-k 10 balioz gero», orduan egia da «x + (x + 1)  + + (x + 2) berdin 33 dela».

Ekuazioa, berdintza baino gehiago, ezezagun deritzogun letrak parte hartzen duen berdintzarako proposamena da.Ekuazioaren soluzioa berdintza egia bihurtzen duen ezezagunaren balio bat da.Ekuazioa ebaztea horren soluzioa edo soluzioak aurkitzea edo soluziorik ez duela ondorioztatzea da.

Ekuazio motak

Era askotako ekuazioak aurki ditzakezu. Adibidez:

•Ekuazio polinomikoak. Horietan, ezezaguna adierazpen polinomikoetan bakarrik agertzen da. Honako ekuazio hauek:

3(x – 5) + x2

3– = 15 x 2 – 2 = 2(x + 3) x 3 – 9x = (x + 1)2 + 3

lehen, bigarren eta hirugarren mailako polinomikoak dira, hurrenez hurren.

•Errotzaileekin. x 17+ + 2 = x – 1

•Izendatzailean x dutenak. xxx

32

13

81– – =+

+

•Berretzailean x dutenak. 2x = 64; 3x = 81; x x = 3 125

Unitate honetan, lehen eta bigarren mailako ekuazioak landuko ditugu bereziki.

1 Ekuazioak. Ekuazioaren soluzioak

1. Honako ekuazio hauetako baten soluzio al da 5? Justifikatu erantzuna:

a) 8x + 3 = 11x – 12 b) x 4 – x 3 = 500

c) 3x – 7 = x 2 – 10 d) 1x = 5

e) x 2 – 12 = 4x – 7 f ) 2x – 1 = 16

g) x 3 + x 2 + 2x + 1 = 161 h) 10x + 25 = x 3

i) x 2 – 20 = 2x – 5 j) x3 1+ = 16

k) (2x – 3)2 = 144 l) 3(x 2 + 3) – 84 = 0

2. Aurreko ariketan, hainbat ekuazio polinomiko daude. Idatzi ekuazio horiek eta adierazi zer maila duten.

Pentsatu eta egin

3. Haztamuz, kalkulatu zenbat den honako ekuazio hauetako bakoitzaren soluzio osoa:

a) 2x 2 = 50 b) 2x 3 + x 2 = 20

c) 4 · 10x = 40 000 d) (x – 12)4 = 81

e) (3 + x)(x – 6) = 121 f ) x 23–3 = 2

g) x 3 + x 2 = 150 h) 3x = 2 187

i) x x = 46 656 j) x7 4+ = 9

k) 5 x + 1 = 15 625 l) x 12– = x – 8

4. Hamarrenetara arte biribilduz, kalkulatu zein den honako ekuazio hauetako bakoitzaren soluzioa. Egizu haztamuz, kalkulagailuaren laguntzaz.

a) x 2 = 1 000 b) x 3 + 1 = 100

c) x 5 = 1 500 d) x 6 – 40 = 1 460

e) (x – 3)4 = 35 027 f ) x 4 + x 2 = 40

g) x 3 + x 2 = 200 h) x 3 – x 2 = 200

i) x x–2 = 5 j) x x + 1 = 250

Pentsatu eta egin

Nomenklatura

= zeinuaren bi aldeetan dauden adie-razpenei atal esaten zaie. Eskuinean ageri den ekuazioan, x + (x + 1) + + (x + 2) lehenengo atala da eta 33, bigarren atala.

Irakasleak daki

Ekuazioak haztamuz ebaztea probe-txu handiko ariketa da; kalkulagailua erabiliz ebatzi arren, buruz kalkula-tzeko gaitasuna garatzen du.Hala ere, irakasleak esango dizu metodo hori noiz erabiltzea komeni den. Zalantzarik gabe, berak jakingo du ondoen une bakoitzean zer kome-niko zaizun.

78

Iradokizunak

•Lehengradukoekuazioak,ax+b=0,(a≠0-rekin)gisalaburtudaite-keenak,ondoriohonetaragaramatza:0·x=bedo0·x=0adierazpe-nakezdiralehenmailakoekuazioak,ezbaitutea≠0baldintzabete-tzen.

Ikasleekerrazulertukodute0 · x = 0kasuaninfinitusoluziodaudela,eta0·x=bkasuanezdagoelabateresoluziorik.Gureproposamenaadie-razpenhoriekekuaziogisahartzeada;izanere,normaleanaurkeztendi-reneran,sinplifikatuaurretikezdagojakiterikzeindenx-renkoefizien-tea.

•Ekuaziobaliokideenkontzeptuaebazpen-prozesuaulertzekooinarriada.Halaber,kontzeptuhorrekhonakohauegitekobaliokodigu:ebaz-pen-prozesuarenpausoetakobakoitzaekuaziobatbesteekuaziobalio-kidebatbihurtzekoprozesuarekinlotzeko.

•Komenidaikasleek,hasieran,zenbaitkasuebaztea,etapausozpausoegindakotransformazioaazaltzea;horrela,xbakantzealortukodute.Horialderditeorikoeiburuzkohausnarketaonaizangoda,etageroagomoduautomatikoanaplikatukodenerregelapraktikoraheldukodira.

•Komenigarriairuditzenzaiguikasleengaitasun-mailazeindenikertzea,lehenmailakoekuazioakebaztearidagokionez.Horrela,irakasleakuni-tateanzeharlandukodirenariketenkopuruaetazailtasunazehaztukodu.

Eskuinekoorrialdekomarjinandagoenariketaebatziaulertzeko,ikas-leekhonakoezaguerahauekgogoratubeharkodituzte:izendatzaileko-munetakotxikieneralaburtzea,izendatzaileakezabatzea,etazatikiba-tenaurrekominuszeinuarenesanahia.

•Ikasleeksistematikokiegiaztatukodutesoluzioa.Prozesuhorieraginko-rragoaizateko,ikasleekparentesiakaiseerabiltzenjakinbeharkodute,baitazatikiarenteklakalkulagailuanerabiltzenere.

Lankidetzan ikasi Ekuazioakebaztekoteknikakindartzerabideratutakoorrialdehauetarako,honakometodologiakooperatibohauiradokitzendugu:

•Ikasleaktaldetxikitanjarrikodira(bikoedohirukotaldeak).

•Zenbaitadierazpenebatzikodituzte,banaka;gero,prozesuaketaso-luzioakegiaztatukodituzte.

•Desadostasunikbadago,akatsakadierazibeharkodituzte.

•Zalantzakargitzekogaiezbadiraedoadosjartzenezbadira,irakasleakpartehartukodu.

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko2.koadernotik:

Indartzeko:13.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.15.eta16.orrialdeetako8tik11rakoariketak.

Sakontzeko:14.orrialdeko5.,6.eta7.ariketak.17.orrialdeko12tik15erakoariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko3.ariketa.

Sakontzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko2.ariketakoa)etab)atalak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)x=9 b)x=1 c)x=–3 d)x=–1

e)x=5 f) x=6 g)x=5 h)x=–4

i) x=1/2 j) x=13 k)x=0 l) x=1/2

m)x=–5 n)x=2

107106

Lehen mailako ekuazioak ebazteko pausoak

Aurreko ikasturtean, seguru asko, ikasi zenuen lehen mailako ekuazio errazak ebazten. Orain, lehen mailako ekuazio korapilatsuagoak ebazten trebatuko gara.

Sarri, ebatzi behar ditugun ekuazioek itxura korapilatsua izaten dute. Adibidez:

( )x x x 5203 1

52 3

154 2– –– =+ +

Gutxika-gutxika, x bakantzeko zer pauso eman beharko diren ikusiko dugu (bazterrean, adibideko ekuazioa nola ebatzi dugun ikus dezakezu, ondoren deskribatzen diren pausoak emanez):

1. Izendatzaileak kentzea, halakorik egonez gero. Horretarako, ekuazioaren lehenengo bi atalak izendatzaileen multiplo komunetako batekin biderka-tzen dira; ahal izanez gero, multiplo komunetako txikienarekin.

2. Parentesia kentzea, halakorik egonez gero.

3. x duten gaiak ataletako batera pasatzea eta zenbakiak, beste atalera.

4. Ataletako bakoitza sinplifikatzea.

5. x bakantzea.

6. Baieztatzea: hasierako ekuazioko ataletako bakoitzean soluzioa ordeztea emaitzak bat datozela baieztatzeko.

Segida hori ez da beti zorrotz bete behar izaten; kasu batzuetan, parentesiak ken-duz, sinplifikatuz… hasi beharko da. Trebakuntza eta zentzuak orientatuko du noiz komeni den gauza bat edo beste egitea.

Lehen mailako ekuazio polinomikoei lehen mailako ekuazio esaten zaie, beste-rik gabe. Ekuazio horietan, x 1era jasota baino ez da ageri (x 1 = x ).

•Lehen mailakoak dira: 4x + 7 = 8; 32 x – 2,5 = 9; 3x + 17 = 4 – 2x

•Ez dira lehen mailakoak: (6x + 5)2 = 8; x8 = 5x + 3; x6 + 1 = 5x

Lehen mailako ekuazioek soluzio bakarra dute eta soluzioa ezezaguna askatuz lortzen da.

Lehen mailako ekuazioa honako forma honetara laburtu daitekeen adieraz-pena da: ax + b = 0, a ≠ 0 izanik. Soluzio bakarra du: x = – a

b

■ ekuazio baliokideak

Bi ekuazio baliokideak dira soluzio bera izanez gero edo biek soluziorik izan ezik. Hortaz, 5x – 9 = 51 eta 3x – 7 = 89 – 5x ekuazioak baliokideak dira bien soluzioa x = 12 denez gero.

■ ekuazioen baliokidetasuna gordetzen duten transformazioak

Ekuazioa ebazteko, x hainbat pauso emanez bakandu behar dugu. Pausoetako bakoitzean, ekuazioa beste baliokide bat lortzeko transformatu behar da, x bakantzetik gero eta hurbilago egon gaitezen. Arau batzuk gogoratuko ditugu:

transformazioa erregela praktikoa

Berdintzako bi ataletan adierazpen bera batzea edo kentzea. ➧

Atal batean batzen ari dena kentzen pasatzen da beste atalera, eta alderan-tziz.

Bi atalak zero ez den zenbaki bera-rekin biderkatzea edo zatitzea. ➧

Atal batean biderkatzen ari dena zatitzen pasatzen da beste atalera, eta alderantziz.

■ ekuazio ez-ohikoak

Adierazpen batzuek lehen mailako ekuazioaren itxura izan arren, ez dute soluziorik edo infinitu soluzio dituzte. Adibidez:

•4x – 6 = 4(x + 3) → 4x – 6 = 4x + 12 → 0 · x = 18

Ezin daiteke izan 0 · x = 18. Ondorioz, ekuazioak ez du soluziorik.

•4x – 6 = 4(x – 2) + 2 → 4x – 6 = 4x – 6 → 0 · x = 0

0 · x = 0 egia da x edozein izanda ere, 0 = 0 denez gero. Ondorioz, ekua-zioak infinitu soluzio ditu.

Egia esan, berdintza horiek ez dira ekuazioak, x-n gairik ez dutenez gero. Hala ere, sinplifikatu baino lehen zer bihurtuko diren ez dakigunez, lehen mailako ekuazioak balira legez erabiliko ditugu.

2 Lehen mailako ekuazioak

Soluzioa ≡ erroa

Ekuazioaren soluzioari erro ere esa-ten zaio.

Kasu bereziak

• 0x = b, b ≠ 0 izanik Ekuazioak ez du soluziorik.• 0x = 0 Ekuazioak infinitu soluzio ditu.

Identitatea da.

Pausoak

batuz pasatzen da

• 15x – 5 = 2x + 4 → → 15x – 2x = 4 + 5 zatituz pasatzen da

• 3 (x + 4) = 8 → x + 4 = 38

Adibidea

Honako ekuazio hau ebatziko dugu:

3x – 120

– 2(x + 3)5

= 4x + 215

– 5

1 mkt (20, 5, 15) = 60Bi atalak 60rekin biderkatzen dira.

3(3x – 1) – 24(x + 3) == 4(4x + 2) – 60 · 5

2

9x – 3 – 24x – 72 = 16x + 8 – 300

3

9x – 24x – 16x = 8 – 300 + 3 + 72

4

–31x = –217

5

x = –217–31

. Soluzioa: x = 7

6

·

· ( ) 3

4 7 2 5 2 5 3

203 7 1

52 7 3

15

– –

– – –

– =

+ = =

+_

`

a

bb

bb

Bat datoz. Soluzioa zuzena da.

1. Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) xx x515

333 9– –= + b) xx x x

273 9 274 11

9– –+ =

c) x x x x12 8

36

2 22

2– –+ + + = d) x x x x13 520 2 5

1010

1 12– –+ = + +

e) x x34

3 13– + = f ) x x4 24

4– –+ =

g) ( )x x x2 7

2 24

3– –=+ h) x x x x125 6 9

752

153– –– =+ +

i) ( ) xx x25

15

2 45 5

122=+ + + + j) x xx x4

25 88 12

94

2 7– – –– –+ + =

k) ( )x xx 959 5 –+ =+ l) ( )( ) ( )x x x x

42 1 2 1

123 4 1– –

2+ = +

m) (x – 3)(x + 3) = ( )x2

3 1– + x 2 n) ( )( ) xx x x 74

73

25 24

5 3525 –– – = ++ +

Pentsatu eta egin

Hastapenak. Izendatzaile eta guztiko oso ekuazio sinpleak ebaztea.

Webgunean

kenduz pasatzen da

79

Iradokizunak

•Ikasleakaurrekoikasturteanhasizirenbigarrenmailakoekuazioaklan-tzen;halaere,kontuanizanbehardaax2+bx+c=0notazioorokorrakduenzailtasuna,ebazpen-formulana,betackoefizienteakidenti-fikatzeko,baita±zeinuaformulahorretanerabiltzekoere.

•Formulaaplikatuaurretik,motahonetakoadibideerrazekinhasgai-tezke:(x–2)2=0;(x+3)2=2;x2+4=0.Izanere,adibidehorienso-luzioaburuzlordezakete.Horrela,errazulertukodutebigarrenmailakoekuaziobateksoluziobatedobiizanditzakeela,edobatereez.

•Ikasleenmailarenarabera,irakasleakebazpen-formularendemostrazioaegingodu.

•Ekuaziohauekebaztekoprozeduraorokorraezagutuondoren,proze-duraerrazagoakaplikatukoditugugairenbatfaltadutenekuazioakebazteko.

b=0bada,ezezagunazailtasunikgabebakandukodugu;c =0bada,faktorekomunaateratzeakerrazeramangogaitusoluziora.Halaber,in-teresgarriadaikasleekondoriohauateratzea:ax2+bx=0ekuazioakbetiditubisoluzio,etahorietakobatx=0da.Eraberean,ax2+c=0ezdaukasoluziorik,aetaczeinuberekoakbadira.

Komenidaikasleekulertzeaprozedurazehatzhoriekeraginkorragoakdirela,etahoriekinakatsgutxiagoegitendirela.

Lankidetzan ikasi

Ikasketakooperatiborabideratutakometodologiahauiradokitzendugu:

•Ikasleaktaldetxikitanjarrikodira(bikoedohirukotaldeak).

•Zenbaitadierazpenebatzikodituzte,banaka;gero,prozesuaketaso-luzioakegiaztatukodituzte.

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko2.koadernotik:

Indartzeko:19.eta20.orrialdeetako1etik5erakoariketak.21.orrialdeko6.ariketakoa),b),c),d)etaf)atalak.

Sakontzeko:23.eta24.Orrialdeetako1etik4rakoariketak.21.orrialdeko6.Ariketakog),h),i)etaj)atalak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko4.ariketa.

Sakontzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko3.ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)x1=3,x2=2 b)x=–1/3,soluziobikoitza

c)x=1/3,soluziobikoitza d)x= ±2

7 11–,soluziorikgabe

e)x1=21 ,x2=–3 f) x1=

21 ,x2=

31

g)x= ±2

3 51–,soluziorikgabe h)x= , ± ,

20 1 0 79–

,ez dauka so-luziorik

2 a)x1=2,x2=–2 b)x2=728– =–4,ezdaukasoluziorik

c)x1=23 ,x2=

23– d)x1=0,x2=–14

e)x1=0,x2=14 f) x1=0,x2=1137

g)Ezdaukasoluziorik. h)x1=9,x2=–9

109108

Bigarren mailako ekuazio osatugabeak

ax 2 + bx + c = 0 erako bigarren mailako ekuazioei, b edo c koefizienteak zero izanik, osatugabe esaten zaie: ax 2 + c = 0 eta ax 2 + bx = 0.

Formula orokorra erabiliz ebatz daitezkeen arren, soluzioak era askoz errazagoan aurki daitezke. Adibidez:

•3x 2 – 75 = 0 → x 2 = 375 = 25 → x = ± 25 = ±5

•7x 2 + 11x = 0 → x (7x + 11) = 0 → x 0

711

=

8x x7 11 0 –+ = =*

ax 2 + c = 0 motako ekuazioak

ax 2 + c = 0 motako ekuazioak ebazteko, ez da beharrezkoa formula orokorra erabiltzea, x oso erraz bakandu daitekeenez gero:

x 2 = – ac → x = ± a

c–

ax 2 + bx = 0 motako ekuazioak

ax 2 + bx = 0 motako ekuazioak ebazteko, ez da beharrekoa formula orokorra erabiltzea; x faktore komun gisa atera eta bi faktoreetako bakoitza zerora berdindu daiteke:

x · (ax + b) = 0 → Soluzioak: x1 = 0, x2 = – ab

Bigarren mailako ekuazioek honako forma hau dute:ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 izanik

x bakantzeko, hemen ikusiko ez dugun prozesu luzea eta korapilatsua bete behar da. Azken emaitza honako formula hau da:

Bigarren mailako ekuazio baten soluzioak

x = ±a

b b ac2

4– –2

(±) zeinu bikoitzak bi soluzio egon daitezkeela esan nahi du:

x1 = ab b ac

24– –2+ x2 = a

b b ac2

4– –– 2

Bi soluzio horiek soluzio batera laburtu daitezke edo batera ere ez, kasuen arabera.

Soluzio kopurua

Bigarren mailako ekuazio baten soluzioetan erroaren barruan dagoen adierazpe-nari, Δ = b 2 – 4ac, ekuazioaren diskriminatzaile esaten zaio. Soluzio kopurua Δ zeinuaren mende dago:

•Δ > 0, izanez gero, ekuazioak bi soluzio ditu:

x1 = Da

b2

– + eta x2 = Da

b2

– –

•Δ = 0 izanez gero, soluzio bat baino ez dago: x = ab2– . Soluzio bikoitza dela

esaten da.•Δ < 0 izanez gero, D -k ez du zentzurik. Ekuazioak ez du soluziorik.

3 Bigarren mailako ekuazioak

Adibidea

3x 2 – 5x – 2 = 0bigarren mailako ekuazioa da, eta horretan:

a = 3, b = –5, c = –2

x = ·± ( ) · · ( )

2 35 5 4 3 2– – –2

=

= 56

5 76

49± ±= = 2

31–

Δ = (–5)2 – 4 · 3 · (–2) = 49 > 0Horregatik, ekuazio horrek bi soluzio ditu.

Hartu kontuan

• x 2 = 25 izanez gero, orduan, x = ±5; 25ek bi erro karratu ditue-lako, 5 eta –5.

• Bi faktoreren biderkadura zero izan dadin, faktore horietako batek 0 izan behar du:

x · (7x + 11) = 0

x = 0 edo 7x + 11 = 0

Ariketa ebatzia

Honako ekuazio hauek ebaz-tea:

a) x 2 – 6x + 5 = 0

b) 4x 2 + 4x + 1 = 0

c) 3x 2 + 2x + 7 = 0

a) x = ·± ( ) · ·

26

26

26 4

16 6 4 1 5

236 20 16± ± ±– – –2

= = = xx

51

1

2

==

b) x = ·

± · ·2

4 04

4 4 4 4 18 2

1– – ± ––2= = Soluzio bikoitza.

c) x = 2 32 2 4 3 7

62 80

·– ± – · · – ± –2

= Ez du soluziorik.

Ariketa ebatzia

Ebaztea:

a) 2x 2 – 98 = 0

b) 2x 2 + 98 = 0

c) 5x 2 + 95x = 0

a) 2x 2 – 98 = 0 → 2x 2 = 98 → x 2 = 298 = 49 → x = ± 49 = ±7

Soluzioak x1 = 7, x2 = –7 dira.

b) 2x 2 + 98 = 0 → 2x 2 = –98 → x 2 = – 298 = –49

Ez du soluziorik, zenbaki baten karratua ezin daitekeelako negatiboa izan.

Hau da, 49– -k ez du zentzurik.

c) 5x 2 + 95x = 0 → x (5x + 95) = 0 → 8

x

xx

0

195 95 0 595– –

1

2

=

= =+ =*

1. Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) x 2 – 5x + 6 = 0 b) 9x 2 + 6x + 1 = 0 c) 9x 2 – 6x + 1 = 0 d) 5x 2 – 7x + 3 = 0

e) 2x 2 + 5x – 3 = 0 f ) 6x 2 – 5x + 1 = 0 g) x 2 – 3x + 15 = 0 h) x 2 – 0,1x + 0,2 = 0

Pentsatu eta egin

2. Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) 7x 2 – 28 = 0 b) 7x 2 + 28 = 0 c) 4x 2 – 9 = 0 d) 3x 2 + 42x = 0

e) 3x 2 = 42x f ) 11x 2 – 37x = 0 g) 2(x + 5)2 + (x – 3)2 = 14(x + 4) h) 7x 2 + 5 = 68

Pentsatu eta egin

• Arrazoibiderako laguntza. Bigarren mailako ekuazioa ebazten duen formu-la lortzea.

• Bigarren mailako ekuazioak ebazteko laguntza.

Webgunean

Bigarren mailako ekuazioak sailkatzea.

Webgunean

• Ebatzi ekuazio osatugabeak, b = 0 izanik.

• Ebatzi ekuazio osatugabeak, c = 0 izanik.

Webgunean

80

Iradokizunak

•Ikasturtehonetanikasleekebatzikodituztenbigarrenmailakoekuazioek,orohar,ohikodefinizioanerabiltzenduguna(ax2+bx+c=0)bainoitxurakonplikatuagoaizangodute.

Ekuaziohorieksinplifikatzekoetaarauorokorraaplikatzekoaukeraema-tendigunadierazpeneraheltzekoemanbeharrekourratsak,lehenmai-lakoekuazioakebaztekoerabiliditugunberdinakdira:izendatzaileaketaparentesiakezabatzea,binomioenberreketakgaratzea,biderkadu-rakegitea,antzekogaiaklaburtzea,gaiakiraultzea…

Halaere,badaezberdintasunhandibatbatetikbestera.Izanere,lehenmailakoekuazioetan,honakohaudasoluzioalortuaurrekopausoa:eze-zagunalehenataleanuztea,etazenbakiakbigarrenatalean;bigarrenmailakoekuazioetan,ordea,gaiguztiaklehenatalerapasatzendira,bi-garrenatala0rekinberdintzeko.

•Proposatutakoariketaksinplifikatzean,osoohikoadalehenmailakoekuazioakedobigarrenmailakoekuazioosoedoosatugabeaklortzea.Horiekebatziaurretik,ondopentsatubeharkoduguzeindenjokatzekoerarikegokiena.

•Ariketaebatzietan,izendatzaileanxduenekuaziobatagerida;ekuaziohoriaurrekokasuenprozeduraberdinakerabilizebaztenda.Kasuhone-tan,osoerrazadaikusteaizendatzaileenmultiplokomunetakotxikiena2xdela.Ekuaziomotahorihurrengomailanikasikoduguzehatzago.

Lankidetzan ikasi

Ekuazioakebaztekoteknikakindartzerabideratutakoorrialdehauetarako,honakometodologiakooperatibohauiradokitzendugu:

•Ikasleaktaldetxikitanjarrikodira(bikoedohirukotaldeak).

•Zenbaitadierazpenebatzikodituzte,banaka;gero,prozesuaketaso-luzioakegiaztatukodituzte.

•Desadostasunikbadago,akatsakadierazibeharkodituzte.

•Zalantzakargitzekogaiezbadiraedoadosjartzenezbadira,irakasleakpartehartukodu..

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko2.koadernotik:

Indartzeko:22.orrialdeko7.ariketakoa),b),c)etad)atalak.

Sakontzeko:22.orrialdeko7.ariketakoe),f),g)etah)atalak.38.eta39.orrialdeetako5.,8.eta9.ariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko5.ariketa.

Sakontzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko2.Ariketakoc)etad)atalak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

3 a)2x2–8x=0→x1=0,x2=4

b)11x2–29x–130=0→x1=0,x2=–1126

c)x2+29x+54=0→x1=–2,x2=–27

d)87x2+63x=0→x1=0,x2=–2921

4 a)3x2+10x–32=0→x1=2,x2=–316

b)8x2+7x–1=0→x1=81 ,x2=–1

c)3x2–3x–2=0→x1=6

3 33+,x2=

63 33–

d)x2–6x+5=0→x1=5,x2=1

111110

Bigarren mailako ekuazioak ebazteko erregelak

•Bigarren mailako ekuazioa osoa baldin bada (gai guztiak izanez gero), erabili formula.

•Ekuazio osatugabea izanez gero, aurreko atalean ikusi dugunez, erraz ebatzi ahal izango duzu formula erabili gabe.

•Fisionomia korapilatsua izanez gero, konpondu ezazu: kendu izendatzaileak, kendu parentesiak, taldekatu gaiak eta pasatu guztiak lehenengo atalera.

Sinplifikatuta dagoenean, ordua bakarrik, erabili aurreko aholkuetako bat.

•Egiaztatu soluzioak. Ekuazioa enuntziatua duen problema batetik etorriz gero, egizu egiaztapena bertan, soluzioetako bat benetako zentzurik ez izatea gerta daitekeelako, 112. orrialdean ikusiko dugunez.

Hasierako ekuazioak izendatzailean x izanez gero, saiatu izendatzailearen baliorik ezeztatuko duen soluziorik ez ematen. Kasu hori gertatuz gero, soluzio hori baztertu egin beharko da.

Hartu kontuan

• ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0) → Erabili formula:

x = ±a

b b ac2

4– –2

• ax 2 + c = 0 → Bakandu x 2…• ax 2 + bx = 0 → Atera x faktore

komun…

Ariketa ebatziak

1. Honako ekuazio hau ebaz-tea:

(2x – 1)(3x – 2) + (2x – 3) 2 =

= 3(4x – 4) – (x – 2)2 + 3

(2x – 1)(3x – 2) + (2x – 3)2 = 3(4x – 4) – (x – 2)2 + 3

•Karratuak garatu eta biderketak egingo ditugu:

6x 2 – 4x – 3x + 2 + 4x 2 – 12x + 9 = 12x – 12 – (x 2 – 4x + 4) + 3

•Parentesiak kenduko ditugu:

6x 2 – 4x – 3x + 2 + 4x 2 – 12x + 9 = 12x – 12 – x 2 + 4x – 4 + 3

•Gaiak taldekatuko ditugu, aurretiaz ekuazioko lehenengo atalera pasatuz:

6x 2 – 4x – 3x + 2 + 4x 2 – 12x + 9 – 12x + 12 + x 2 – 4x + 4 – 3 = 0 →

→ 6x 2 + 4x 2 + x 2 – 4x – 3x – 12x – 12x – 4x + 2 + 9 + 12 + 4 – 3 = 0 →

→ 11x 2 – 35x + 24 = 0

•Formula aplikatuko dugu, kontuan hartuz a = 11, b = –35, c = 24:

x = ·± ( ) · ·

2 1135

2235 1335 35 4 11 24

22169± ±– –2

= = x

x1124

11

2

=

=

•Honako hau egiaztatuko dugu: x = 1124 zein x = 1erako, hasierako ekuazioko

lehenengo atalak hartzen duen balioa bat datorrela bigarren atalak hartzen duen balioarekin.

3. Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) 3x 2 – 2(x + 5) = (x + 3)2 – 19 b) (3x + 4)(5x – 7) = (2x + 7)2 + 53

c) (2x + 4)(x – 1) + (3x + 5)2 = 3(2x + 5)2 + x d) (x – 2)(4x + 2) + (3 – 3x)2 = 4(5x + 1)2 – (x – 1)

Pentsatu eta egin4. Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) 3x (x + 1) – ( )x2

2– 2 = (x + 1)(x – 1) + 15 b) ( ) ( ) ( )x x x x

21

43 1

23 1

23– –2+ + =+

c) xx2 2

3 1 3– = d) xx

x1 1 13 32– –+ =

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziak

2. Honako ekuazio hau ebaz-tea:

x x6

34

7–2 2+ + =

( )x x2

412

1 9– –2= +

( )x x x x6

34

72

412

1 9– – –2 2 2+ + = + mkt (6, 4, 2, 12) = 12

•Izendatzaileak kenduko ditugu 12rekin biderkatuz:

2(x 2 + 3) + 3(x 2 – 7) = 6(x + 4)2 – (1 – 9x)

•Karratuak garatu, sinplifikatu eta parentesiak kenduko ditugu:

2x 2 + 6 + 3x 2 – 21 = 6(x 2 + 8x + 16) – 1 + 9x →

→ 2x 2 + 6 + 3x 2 – 21 = 6x 2 + 48x + 96 – 1 + 9x

•Gaiak taldekatuko ditugu, guztiak lehenengo atalera pasatuz:

2x 2 + 3x 2 – 6x 2 – 48x – 9x + 6 – 21 – 96 + 1 = 0 →

→ –x 2 – 57x – 110 = 0 → x 2 + 57x + 110 = 0

•Formula aplikatuko dugu:

x = 2 157 57 4 1 110

257 2 809

257 53

·– ± – · · – ± – ±2

= = x

x

2

55

–

–1

2

=

=

•Soluzioak hasierako ekuazioan frogatuko ditugu.

3. Honako ekuazio hau ebaz-tea:

xx x

xxx

23 1 3

27– – – 2+ = +

xx x

xxx

23 1 3

27– – – 2

=+ + mkt (2, x, 2x) = 2x

•Izendatzaileak kentzeko, 2x-rekin biderkatuko dugu:

2x xx x x

xxx

23 1 2 3

27– – – 2+ = +c em o →

→ x (x + 3) – 2 = 2(x – 3) + (7 – x 2)

•Parentesiak kendu eta guztia lehenengo atalera pasatuko dugu:

x 2 + 3x – 2 = 2x – 6 + 7 – x 2 → 2x 2 + x – 3 = 0

•Formula aplikatuko dugu:

x = ( )2 2

1 1 4 2 34

1 254

1 5·

– ± – · · – – ± – ±2= =

/

x

x

1

3 2–1

2

=

=

•Soluzioak hasierako ekuazioan frogatuko ditugu (soluzio x = 0 lortuz gero, baztertu egin beharko da, izendatzaileetako batzuk ezeztatuko lituzkeenez gero).

Bigarren mailako ekuazioak ebazteko laguntza.

Webgunean

Ebatzi bigarren mailako ekuazioak.Webgunean

81

Iradokizunak

•Unitatehonetanlandukoditugunproblemaaljebraikoetan,hainbatpau-sorijarraitubehardiegu.Horiektestuanageridira,modulaburetaze-hatzean.

Pausohoriezgain,honahemenbestezenbaitxehetasun:

– Leheniketabehin,enuntziatuazehatzirakurrikodugu,harenzentzuaulertzeko.Honakohauekbilatukoditugu:

• Informazioesplizituaetainplizitua.

• Daturikaipagarrienak.

• Zerkalkulatunahidugun.

• Ezezagunazuzenaukeratzea.

– Bigarrenez,ekuazioraheltzeko,enuntziatuarenhitzezkoenuntziatuahizkuntzaaljebraikoraitzulibehardugu.

Horretarako,hainbatteknikaerabilditzakegu:

– Taulabategitea,informazioaantolatzeko.

– Problemarendatuguztiakbiltzendituenmarrazki,grafikoedodiagra-mabategitea.

– Kasuerrazagoakplanteatzeaetaebaztea.

•Unitatehonetanebatzikoditugunproblemaaskorenenuntziatuetan,hainbategoeraageridira;horietan,zatikiak,proportzionaltasuna,ehu-nekoaketaazkenhorrekinlotutakokontzeptuakaurkitukoditugu:ba-naketak,nahasketak,abiadurak,interesa…Horiekaritmetikakounita-teetanebatziziren,zenbakiakerabiliz.

Unehartan,ebazteanerabilibeharrekogako-ideiakikasigenituen.Ideiahoriekhizkuntzaaljebraikoraitzultzekoaukeraemangodigute.

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko2.koadernotik:

Indartzeko:36.eta37.orrialdeetako1etik9rakoariketak.44.orrialdeko1.eta2.ariketak.

Sakontzeko:38.eta39.orrialdeetako12tik18rakoariketak.44.orrialde-ko3.eta4.ariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Aplikatu»ataleko1.eta2.ariketak.

Sakontzeko:Bfitxako«Aplikatu»ataleko1.eta2.ariketak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 Altuera16cmdira,etaoinarria,25cm.

2 Lursailhandiagotuarendiametroa120cmdira,gutxigorabehera.

3 Bigarrenlingotearenpurutasuna%28koada.

4 Kamioiarenbidaldiosoak7hiraungoditu.

5 Igeltseroetakobatek1000€jasobeharkodu,etabesteak,400€.

6 Iturrietakobatek12ordubeharkoditu,etabesteak,24ordu.

113112

Problema batean oinarri hartuta ekuazioa planteatzea dakiguna jakin nahi dugu-narekin lotzen duten baldintzak hizkuntza aljebraikora itzultzea da. Zeregina antolatzea komeni da; erabilgarri izango da, beraz, honako pauso hauek ematea:

1. Ezagutzen ditugun datuak eta ezagutu nahi ditugunak identifikatzea. Ezeza-gunari izena ematea.

2. Berdintza (ekuazio) baten bidez, ezagutzen duguna eta ezagutzen ez duguna erlazioan jartzea.

3. Ekuazioa ebaztea.4. Soluzioa interpretatzea enuntziatura doituz.

4 Problemak ekuazioen bidez ebaztea

Oharra

Hurrengo unitatean, ekuazio-siste-mak ikasten ditugunean, ezezagun bat baino gehiago erabili ahal izango dituzu. Horrela, enuntziatua ekuazio bihurtzeko zeregina sinplifikatu egi-ten dela ikusiko duzu.

Problema ebatziak

3. Gozogile batek 1,10 €/ kg-ko 12 kg azukre 4,20 €/kg-ko ezti kantitate batekin nahasi du. Nahastea 2,34 €/kg-ko prezioan atera da. Zenbat ezti ipini du?

kantitatea (kg) prezioa (€/kg) kostua (€)

azukrea 12 1,10 1,10 · 12 = 13,20eztia x 4,20 4,20xnahastea 12 + x 2,34 2,34(12 + x)

Erlazioa: azukrearen kostua + eztiaren kostua = nahastearen kostua13,20 + 4,20x = 2,34(12 + x) → 13,20 + 4,20x = 28,08 + 2,34x →→ 1,86x = 14,88 → x = 14,88/1,86 = 8 kg ezti.

4. A eta B hirien artean, 280 km daude. Trena A-tik B-rantz atera da 80 km/h-ko abia-duran. Ordu erdi beran-duago, autoa atera da B-tik A-rantz eta 1,2 ordu behar izan du trenarekin guru-tzatzeko. Zer abiadura darama autoak?

Trena ordu erdi lehenago atera denez, trenak 40 km egin ditu autoa martxan hasi denerako. 240 km-ko distantzian daude, beraz.Autoaren abiadurari x esango diogu. Autoa eta trena (x + 80) km/h-ko abiadu-ran hurbiltzen dira eta 1,2 orduan 240 km egiten dituzte. Hori honela itzultzen da:

Abiadura = Espa ioaDenbora

z → x + 80 = ,1 2240 → 1,2x + 96 = 240 → x = 120

Autoak 120 km/h-ko abiadura darama.

5. Hiru adiskidek 20, 30 eta 50 egunean egin dute lan nego-zio batean. Hiru hilabete ondoren, etekinak banatu dituzte eta hirugarrenari bigarrenari baino 300 € gehiago egokitu zaizkio. Zer kantitate banatu dute?

30 eguneko lana egin duenari etekinen x kantitatea dagokio eta 50 eguneko lana egin duenari x + 300 €. Hori honela itzultzen da:

x x50300

30=+ → 30x + 9 000 = 50x → x = 450 €

Orain, lehenengoari, l, zenbat dagokion kalkulatuko dugu:l

30450

20= → l = 300 €

Ondorioz, banatu den kantitatea 300 + 450 + 750 = 1 500 €.

6. Bi txorrotak andela 3 orduan betetzen dute. Bietako bat bakarrik irekiz gero, 5 orduan beteko luke. Zenbat denbora beharko luke beste txorrotak andela betetzeko?

Txorrotak 5 orduan betetzen du andela; ondorioz, andelaren 1/5 betetzen du orduko. Beste txorrotak andelaren x zati beteko ditu orduko. Biek batera, andelaren x + 1/5 betetzen dute orduko; hau da, andelaren 1/3 orduko. Beraz:

x 51

31+ = → 15x + 3 = 5 → x = 15

2

Beste txorrotak ordu bakoitzean andelaren 2/15 betetzen duenez, 15/2 = 7,5 ordu beharko ditu, hau da: 7 ordu eta 30 minutu.

1. Laukizuzen baten oinarria altuera baino 9 cm handia-goa da. Azalera 400 cm2 da. Kalkulatu zenbat diren laukizuzen horren dimentsioak.

2. Erradioa 10 m handiago eginez, lursail zirkular baten azalera 3 456 m2 handiagoa da. Zenbat da lursail han-diagotuaren diametroa?

Pentsatu eta egin

3. 3 kg-ko pisua eta % 80ko purutasuna duen urrezko lingotea 1 kg-eko pisua duen beste lingo-te batekin urtu da. Zenbat da bigarren lingotearen purutasuna, atera den nahastearena % 67 izanez gero?

4. Autoak 5 h beharko ditu A-tik B-rako bidea egiteko. Kamioia ordu berean atera da B-tik A-rako bidea egi-teko eta 2 h eta 55 min barru gurutzatuko da autoa-rekin. Zenbat iraungo du kamioiaren bidaldi osoak?

5. Bi igeltserok elkartuta egiten dute lan eta 1 400  ja-so dituzte lan bat egiteagatik. Zenbat jaso beharko du bakoitzak, kontuan hartuz lehenengoak bigarrenaren lanaren bi bosten egin duela?

6. Iturri batek beste batek behar duen denbora bi halako behar du depositu bat betetzeko. Bi iturriak batera betez gero, 8 orduan beteko dute. Zenbat denbora beharko du bakoitzak depositua bereiz betetzeko?

Pentsatu eta egin

Problema ebatziak

1. Triangelu zuzen batean, kateto bat hipotenusa baino 2 cm txikiago eta beste kate-toa baino 14 cm handiago da. Hiru aldeen luzerak zenbat diren kalkulatzea.

Hiru luzerak erlazioan jartzeko, Pitagorasen teorema aplikatuko dugu:

(x – 14)2 + x 2 = (x + 2)2

x + 2x – 14

x

Garatuz: x 2 – 28x + 196 + x 2 = x 2 + 4x + 4Sinplifikatuz: x 2 – 32x + 192 = 0Ekuazioa ebatziko dugu:

x = 232 32 4 192

232 256

232 16± – · ± ±2

= = x

x

24

81

2

=

=•x1 = 24. Soluzioa: aldeen neurriak 10 cm, 24 cm eta 26 cm dira.•x2 = 8. Soluzio baliogabea da, aldeetako batek neurri negatiboa izango lukee-

nez gero.

2. 14 m estraberekin, gela angeluzuzen osoan zehar ipin dezaket zokaloa. Gela 12 m2-koa dela dakigu. Zer dimentsio ditu?

14 m-ko perimetroko gela angeluzuzena dugu. Dimen-tsioak, ondorioz, irudian ageri direnak izango dira:

Gelak 12 m2-ko azalera du, ondorioz:

x · (7 – x) = 12 → 7x – x 2 = 12 → x 2 – 7x + 12 = 0

Ebatzi egingo dugu ekuazioa:

x = ( )2

41

7 7 1 122

7 12

7 1·

± – · · ± ±– 2= =

x

x

4

31

2

=

=• x1 = 4. Soluzioa: aldeak 4 m eta 3 m-koak dira.

•x2 = 3. Soluzioa: aldeak 3 m eta 4 m-koak dira; hau da, soluzio bera da.

x

14 – 2x— = 7 – x 2

Indartu problemak ekuazioen bidez ebazteko prozedura.Webgunean Ebatzi «Txoriak» izeneko problema.Webgunean

OHARRAK

82

«Zeuk egin» atalaren soluzioak

4 Bisoluziodaude:x1=1;x2=5

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

1 a)x=6 b)x=4

c)x=3 d)x1=5,x2=–7

e)x=5 f) x=11

2 a)x=8 b)x=160

c)x=5 d)x=3

3 a)x≈7,25 b)x≈2,8

c)x≈3 d)x≈–4

e)x≈–0,7 f) x≈44

4 a)x=1 b)x=–1

c)x=0 d)x=–13

5 a)x=8 b)x=0

c)x=2 d)x=4

e)x=2

6 a)x=0 b)x=0

c)x=–3 d)x=31

7 a)45x=45→x=1

b)9=3x→x=3

c)8x–1=6x+1→x=1

8 a)0x=5→Ezdaukasoluziorik.

b)0x=0→Infinitusoluzioditu.

c)x=1

d)x=–45

9 a)0x=3→Ezdaukasoluziorik.

b)0x=0→Infinitusoluzioditu.

c)x=0

d)0x=0→Infinitusoluzioditu.

10 a)0x=51→Ezdaukasoluziorik.

b)x=31 c)x=–4 d)x=

34

Ariketak eta problemak

115

Ariketa eta problema ebatziak

114

Egin Buruz eta haztamuz ebaztea

1. Ebatzi buruz eta azaldu prozesua hitzen bidez.

a) (x + 2)2 = 64 b) 7 – x3

2+ = 5

c) x8

5 1+ = 2 d) ( )x31 2+ – 10 = 2

e) 3 – 2x – 5 = 2 f ) x 7– = 2

2. Bilatu haztamuz honako ekuazio hauetako bakoitzaren soluzio zehatza:

a) 3x – 5 = 27 b) x 9+ = 13

c) (x + 1)3 = 216 d) x 3 – x 2 – x = 15

3. Bilatu haztamuz honako ekuazio hauetako bakoitzaren gutxi gorabeherako soluzioa:

a) x 3 = 381 b) x 4 – x 2 = 54

c) x – x 5+ = 0 d) 3x – 1 = 0,005

e) 5x = 0,32 f ) x 0,75 = 17

Lehen mailako soluzioak

4. Ebatzi honako ekuazio hauek eta egiaztatu bakoitzaren soluzioa:

a) 3x – 2(x + 3) = x – 3(x + 1)

b) 4 + x – 4(1 – x) + 5(2 + x) = 0

c) 2x + 7 – 2(x – 1) = 3(x + 3)

d) 4(2x – 7) – 3(3x + 1) = 2 – (7 – x)

5. Ebatzi honako soluzio hauek:

a) x x5

3 1 23– –= +

b) 1 = x x3

32–+

c) x x5 2

23 4 = ++

d) x x x6

5 1612

83

1– –= + + +

e) x x3 32 4

24–– = +

6. Ebatzi, eta egiaztatu honako ekuazio hauetako bakoitzaren soluzioa:

a) x x xx 352

23 4

4 5– – – –= ++ +

b) xx x x5

3 210

4 18

5 24

1– – –+ =+ +

c) x x xx5

524

510

660

4– = ++ + + +

d) 2x – 21 (1 + 3x) – 5

3 (x – 2) = 14

(3 – x)

7. Egiaztatu honako ekuazio hauek lehen mailakoak direla eta ebatzi ekuazioak:a) (4x – 3)(4x + 3) – 4(3 – 2x)2 = 3xb) 2x (x + 3) + (3 – x)2 = 3x (x + 1)

c) ( )( ) xx x x2 12

18 4

3 181– –– 2

=+ +

8. Honako ekuazio hauetako batzuek ez dute soluziorik eta beste batzuek infinitu soluzio dituzte. Ebatzi ekuazioak eta egiaztatu emaitzak.a) 4(2x + 1) – 3(x + 3) = 5(x – 2)b) 2(x – 3) + 1 = 3(x – 1) – (2 + x)

c) x x x2

3 1 2 21– –+ =

d) x x x x4

2 7 2 21– –+ = +

9. Honako ekuazio hauetako batek baino ez du so-luzio bakarra. Ebatzi eta egiaztatu.

a) x x2

1 24

2 3–+ = +

b) x x x x12

4 34

2 13

16

3 1– – – –+ = +

c) x x x1 23

15

35

26 4– –=+ + +

d) ( ) ( )x x x x216

1 116

14

2– ––2 2=+ + +

10. Ebatzi.

a) ( ) ( )x x x x3 5 32

32

51

53

154– –+ = + +c m

b) ( )x x x x4

3 1 2 88 7 3 1– – – – –=

c) ( ) ( )x x xx2 2 1 21

34

43 4 7

43– – – – ––= c m

d) x (8x – 1) – (3x – 4)2 = x (7 – x) – 2(x – 4)

1. Zenbat bazkide dira?

Kirol talde bateko bazkideen 2/5 futbolean jolasten dira; besteen 1/3, saskibaloian; 28, eskubaloian eta oraindik atle-tismoan ari diren 1/6 geratzen da.

Zenbat bazkide dira?

Bazkideen kopuru osoari x esango diogu.

x futbolean jolasten dira → geratzen da: 53 x

· x x131

53

5= saskibaloian ari dira → geratzen da: 52 x

Horiei eskubaloian jolasten diren 28ak kenduz gero, atletismoan ari direnak

geratzen zaizkigu: x x52 28

61– =

Ebatzi egingo dugu: 12x – 840 = 5x → x = 120 dira kirol taldeko bazkideak.

2. Zer adin du bakoitzak?

Aitaren gaurko adina semea-rena hiru halako da eta, 14 urte barru, bi halako izango da. Zer adin du bakoitzak?

adina gaur 14 urte barru

semea x x + 14aita 3x 3x + 14

14 urte barru, aitaren adina semearena bi halako izango da:3x + 14 = 2(x + 14) → 3x + 14 = 2x + 28 → x = 14

Semeak 14 urte ditu eta aitak, 42.

3. Interes konposatua

Kantitate jakin bat 3 urtean urteko % 4an jartzearen eta kantitate hori urtebete eta erdian, hileroko kapitaliza-zioko aldiekin, % 6an jartzea-ren arteko aldea 618 eurokoa da. Kantitate hori zenbat den kalkulatzea.

Lehenengo aukeraren bidez, x kantitatea 1,043x bihurtzen da.

Bigarren aukeraren bidez, urteko % 6 hilean 126 = % 0,5 da. Urtebete eta erdi

18 hilabete direnez, aukera horren bidez x kantitatea honako hau bihurtzen da:

x ,1 1000 5 18

+c m = 1,00518 x

Ondorioz: 1,043x – 1,00518x = 618 → 0,0309x = 618 → x = 20 000Jarri den kantitatea 20 000 € da.

4. Karratua

6 cm-ko aldea duen ABCD karratuan, P, Q, R eta S pun-tuak seinalatu ditugu. Zenbat balio beharko du x-k PQRS laukiaren azalera 20  cm2-koa izan dadin?

B

A

C

RP

Q

S D

xx

xx

PQRS laukiaren azalera zenbat den kalkulatuko dugu hasierako karratuaren azalerari erpinetako bakoitzean sortu diren eta x eta 6 – x katetoak dituzten triangelu zuzenen azalera kenduz.

36 – 4 ( )x x2

6 – = 20 → 36 – 12x + 2x 2 = 20 → x 2 – 6x + 8 = 0

x = 26 36 32

26

26 24± – ± ±= =

x

x

2

41

2

=

=Bi soluzio daude: x-ren balioa 2 cm edo 4 cm izan daiteke.

Zeuk egin. Irudi berorretan, kalkulatu zenbat balio duen x-k koloreztatuta dagoen karratuaren aldea 26 cm-koa izan dadin.

OHARRAK

83

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

11 a)x1=0,x2=4 b)x1=0,x2=31

c)x1=0,x2=25 d)x1=2,x2=–2

e)x1=35 ,x2=–

35 f) Ezdaukasoluziorik.

g)x1=25 ,x2=–

25 h)x1= 2 ,x2=– 2

12 a)x1=3,x2=–7 b)x1=–4,x2=–5

c)x=32 d)Ezdaukasoluziorik.

e)x=–27 f) Ezdaukasoluziorik.

g)x=25 h)x1=–

21 ,x2=2

13 a)x=0,x=31 b)x=0,x=–2

c)x=–1,x=–3 d)x=5,x=–5

e)x=5 f) x=25

14 a)x1=0,x2=–3 b)x=–3

c)x1=–1,x2=4 d)x1=–2,x2=27

15 a)x1=3,x2=2 b)x=2

c)x1=1,x2=–2 d)Ezdaukasoluziorik.

16 a)x1=0,x2=–712 b)x=2

c)x1=1,x2=–2 d)Ezdaukasoluziorik.

e)x1=1,x2=–1

17 a)x1=6,x2=1650

825= b)x1=1,x2=10

c)Ezdaukasoluziorik. d)x1=0,x2=4

18 a)x1=1,x2=–108

54–=

b)x=52 .x=0soluzioabaztertubehardugu,zenbaitizendatzaile

baliogabetzenbaititu.

c)x=21– .x=0soluzioabaztertubehardugu,zenbaitizendatzaile

baliogabetzenbaititu.

d)x1=6,x2=3

19 Zenbakiak7,8eta9dira.

20 Zenbakia20da.

21 Zenbakiak37,39eta41dira.

22 Boligrafoak1,10€baliodu;koadernoak,2,20€,etakarpetak,11€.

23 Zuhaitzakmetrobatekoaltueradu.

24 Hasierakoprezioa87€ziren.

116 117

Ariketak eta problemak

Bigarren mailako ekuazioak11. Ebazteko formula erabili gabe, ebatzi bigarren

mailako honako ekuazio hauek:a) 3x 2 – 12x = 0 b) x – 3x 2 = 0c) 2x 2 – 5x = 0 d) 2x 2 – 8 = 0e) 9x 2 – 25 = 0 f ) 4x 2 + 100 = 0g) 16x 2 = 100 h) 3x 2 – 6 = 0

12. Ebatzi.a) x 2 + 4x – 21 = 0 b) x 2 + 9x + 20 = 0c) 9x 2 – 12x + 4 = 0 d) x 2 + x + 3 = 0e) 4x 2 + 28x + 49 = 0 f ) x 2 – 2x + 3 = 0g) 4x 2 – 20x + 25 = 0 h) –2x 2 + 3x + 2 = 0

13. Ebatzi faktoreetako bakoitza zerora berdinduz:a) x (3x – 1) = 0 b) 3x (x + 2) = 0c) (x + 1)(x + 3) = 0 d) (x – 5)(x + 5) = 0e) (x – 5)2 = 0 f ) (2x – 5)2 = 0

14. Eragin eta ebatzi.a) (x – 2)(3x + 2) = (x – 4)(2x + 1)b) (x – 1)2 + (1 – x)(x + 2) = 0c) (x + 1)2 = (x + 1)(2x – 3)d) 5(x + 2)2 – (7x + 3)(x + 2) = 0

15. Ebatzi honako ekuazio hauek:a) (2x + 1)(x – 3) = (x + 1)(x – 1) – 8b) (2x – 3)(2x + 3) – x (x + 1) – 5 = 0c) (2x + 1)2 = 4 + (x + 2)(x – 2)d) (x + 4)2 – (2x – 1)2 = 8x

16. Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) ( )( ) ( )x x x24

5 4 5 4 3 1 9– – –2+ =

b) ( ) ( )x x xx x3 1 1 0

4 123 4– – + + =+

c) ( )( ) ( )( ) xx x x x 1 312

1 26

1 23– – –– – =+ +

d) ( )x x x 0151 3 1

51– –2

=+ + +

e) ( ) ( )x xx x22

14

13 6

261– –– –2 2+ + + =

17. Ebatzi.

a) ( ) ( )x x x x87 5 2 2

9 1– – –+ = +c m

b) ( )x x3

39

431– – 2+ =

c) ( )( )x x x x x3 1 2321

37

3 2–2 2+ =+ + + +

d) ( )x x x3

48

2 212

7 10– – –2 2 2+ =

18. Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) x x xx5 3 1– = +

b) x xx x x

x3

32 12

4– – – 2+ = +

c) x xx

xx

112 4– –2

= ++

d) x xx 215

272 6–

2= +

Erabili ikasi duzuna19. Ondoz ondoko hiru zenbaki arrunten batura txi-

kiena bost halako ken 11 da. Zer zenbaki dira horiek?

20. Kalkulatu zenbaki bat; zenbaki horren erdia batu zein zenbaki berorren 9/5-i 6 kendu emaitza bera ateratzen da.

21. Kalkulatu ondoz ondoko hiru zenbaki bakoiti; horien baturak 117 izan behar du.

Edozein zenbaki bakoiti idatz daiteke honela: 2x + 1.

22. Boligrafoa, koadernoa eta karpeta 14,30 € ordaindu ditut. Karpetaren prezioa koadernoarena 5 halako da eta koadernoa, boligrafoarena bi halako. Zenbat balio du gauza bakoitzak?

23. Kalkulatu zer altuera duen zuhaitz batek, jakinik zuhaitza bi halako den postea baino metro bat labu-rrago dela.

24. Zapaten prezioa % 15 igo da abenduan eta % 20 jaitsi da urtarrilean. Horrela, hasierako prezioa 6,96 € jaitsi da. Zenbat zen hasierako prezioa?

25. Dudan dirua gehi 3,50 € gehiago izango banu, nire taldearen kamiseta erosi ahal izango nuke. Bi halako izanez gero, 7,25 € izango nituzke sobera. Zenbat diru dut?

26. Zenbaki baten karratuari zenbaki hori hiru halako kenduz gero, 130 lortzen da. Zer zenbaki da?

27. Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu; zenbaki horien karratuen batura 145 da. Zer zenbaki dira?

28. Zenbaki arrunt baten eta hurrengoaren arteko biderkadurari 31 kenduz gero, bi zenbakien batura bost halako lortuko da. Zer zenbaki da hori?

Ebatzi problemak29. Bankuko kontuan izan dugun diruaren

1/7 atera dugu; gero, geratu denaren 2/15 sartu dugu eta 12 € falta dira oraindik hasierako kantitatea iza-teko. Zenbat diru zegoen kontuan?

30. 43 urte dituen aitak 9 eta 11 urteko seme-alabak ditu. Zenbat urte igaroko dira seme-alaben adinak batuta aitaren adinaren parera iristeko?

31. Txorizo ogitartekoak egiten ari gara ibilaldirako. Ogitarteko bakoitzean 4 xerra ipiniz gero, 12 egongo dira sobera eta 5 ipiniz gero, 8 faltako dira. Zenbat ogitarteko prestatu behar ditugu?

32. Jatetxe jakin bateko bazkarian, honako hau atera dute: zigalak (plater bat bi pertsonako), txirlak (plater bat hiru pertsonako), eta lanpernak (plater bat lau pertsonako). Guztira, 65 plater atera dira. Zenbat pertsona ari dira bazkaltzen?

33. 1,60 €/l-ko oliba-patsaren zenbat litro olio nahasi behar ditugu 2,80 €/l-ko 60 l oliba-oliorekin 2,50 €/l-ko nahastea lortzeko?

34. 30 kg pintura kalitate eskasagoko pinturaren 50 kg-rekin nahasita, 3,30 €/kg-ko nahastea atera da. Pintura merkearen prezioa pintura garestiaren prezioaren erdia izanez gero, zenbat da pintura mota bakoitzaren prezioa?

35. 14,15 €/kg-ko kafe-marka batean honako nahas-te hau dago: % 30, 18 €/kg balio duen Kolonbiako kafea da eta gainerakoa, beste kafe mota batekoa. Zenbat balio du beste kafe horrek?

36. Ikastetxe batek autobusa hartu du irtenaldi bate-rako. Jarleku guztiak hartuz gero, billetearen prezioa 12 € da; baina 4 jarleku geratu dira libre eta, ondo-rioz, 13,5 € ordaindu behar izan dute. Zenbat jarle-ku ditu autobusak?

37. Lagun talde batek sari bat banatu behar du eta bakoitzak 15 € hartuko lituzke, baina beste lau lagunen artean banatuko dute saria eta, horrela, bakoitzak 3 € gutxiago hartuko ditu. Zenbat lagun izango dira guztira?

38. Zenbaki bat % 10 handiago eginez gero, % 5 txi-kituz gero baino 42 unitate handiago da. Zer zenbaki da hori?

39. Inbertitzaile batek 28 000 € ditu; diru horren zati bat banku batean sartu du % 4an, eta gainerakoa, beste banku batean, % 3,5ean. Lehenengo zatiak urtean bigarrenak baino 220 € gehiago emanez gero, zenbat diru jarri du banku bakoitzean?

40. Bi hiri, A eta B, 250 km-ko distantzian daude. Kamioi bat atera da A-tik B-rantz 90 km/h-ko abia-duran. Ordu berean, automobil bat atera da B-tik A-rantz eta ordubete eta laurden barru elkartu dira. Zer abiadura darama automobilak?

41. 21 km/h-ko abiaduran doan txirrindulariak hiru ordu laurden behar izan ditu 2,25 km-ko aurrea izan duen beste bat harrapatzeko. Zer abiadura zeraman aurreko txirrindulariak?

42. Ane 80 km/h-ko abiaduran atera da automobi-lean. 15 minutuko geldialdia egin du gasolina hartze-ko eta, gero, 100 km/h-ko abiaduran joan da denbora batean. Helmugara iritsi denean, 3 orduan 250 km egin dituela konturatu da, kontuan hartuta geldialdia. Zenbat denbora eman du 80 km/h-ko abiaduran?

43. Kalkulatu zer neurri duten laukizuzen baten aldeek, jakinik diagonala 10 cm-koa dela eta oinarria altuera baino 2 cm luzeagoa dela.

44. Triangelu zuzen baten katetoen batura 18 cm da eta azalera, 40 cm2. Zer neurri dute triangelu horren katetoek?

45. Laukizuzen baten oinarria altuera baino 5 cm lu-zeagoa da. Altuera 2 cm txikiagoa izanez gero, lau-kizuzenaren azalera 60 cm2-koa izango litzateke. Zer neurri dute triangeluaren aldeek?

OHARRAK

84

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

25 10,75€ditut.

26 Zenbakia13edo–10izandaiteke.

27 8edo9dira;edo,bestela,–9eta–8.

28 Zenbakia12edo–3izandaiteke.

29 Kontuan420€zeuden.

30 3uteigarokodira.

31 20ogitartekoprestatubeharditugu.

32 60pertsonazeuden.

33 20litronahasibeharditugu.

34 Pinturagarestiak4,80€/kgbaliodu,etapinturamerkeak,2,40€/kg.

35 Bestekafeak12,50€/kgbaliodu.

36 Autobusak36jarlekuditu.

37 Guztira20lagunizangodira.

38 280dazenbakia.

39 14072,30€jarriditubankubatean,eta13927,70€bestebatean.

40 Automobilak110km/h-koabiaduradarama.

41 18km/h-koabiadurazeraman.

42 1,25hemandu80km/h-koabiaduran.

43 Altuera6cmdira,etaoinarria,8cm.

44 Katetoek8cmeta10cmdituzte.

45 Altuerak7cmditu,etaoinarriak,12cm.

116 117

Ariketak eta problemak

Bigarren mailako ekuazioak11. Ebazteko formula erabili gabe, ebatzi bigarren

mailako honako ekuazio hauek:a) 3x 2 – 12x = 0 b) x – 3x 2 = 0c) 2x 2 – 5x = 0 d) 2x 2 – 8 = 0e) 9x 2 – 25 = 0 f ) 4x 2 + 100 = 0g) 16x 2 = 100 h) 3x 2 – 6 = 0

12. Ebatzi.a) x 2 + 4x – 21 = 0 b) x 2 + 9x + 20 = 0c) 9x 2 – 12x + 4 = 0 d) x 2 + x + 3 = 0e) 4x 2 + 28x + 49 = 0 f ) x 2 – 2x + 3 = 0g) 4x 2 – 20x + 25 = 0 h) –2x 2 + 3x + 2 = 0

13. Ebatzi faktoreetako bakoitza zerora berdinduz:a) x (3x – 1) = 0 b) 3x (x + 2) = 0c) (x + 1)(x + 3) = 0 d) (x – 5)(x + 5) = 0e) (x – 5)2 = 0 f ) (2x – 5)2 = 0

14. Eragin eta ebatzi.a) (x – 2)(3x + 2) = (x – 4)(2x + 1)b) (x – 1)2 + (1 – x)(x + 2) = 0c) (x + 1)2 = (x + 1)(2x – 3)d) 5(x + 2)2 – (7x + 3)(x + 2) = 0

15. Ebatzi honako ekuazio hauek:a) (2x + 1)(x – 3) = (x + 1)(x – 1) – 8b) (2x – 3)(2x + 3) – x (x + 1) – 5 = 0c) (2x + 1)2 = 4 + (x + 2)(x – 2)d) (x + 4)2 – (2x – 1)2 = 8x

16. Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) ( )( ) ( )x x x24

5 4 5 4 3 1 9– – –2+ =

b) ( ) ( )x x xx x3 1 1 0

4 123 4– – + + =+

c) ( )( ) ( )( ) xx x x x 1 312

1 26

1 23– – –– – =+ +

d) ( )x x x 0151 3 1

51– –2

=+ + +

e) ( ) ( )x xx x22

14

13 6

261– –– –2 2+ + + =

17. Ebatzi.

a) ( ) ( )x x x x87 5 2 2

9 1– – –+ = +c m

b) ( )x x3

39

431– – 2+ =

c) ( )( )x x x x x3 1 2321

37

3 2–2 2+ =+ + + +

d) ( )x x x3

48

2 212

7 10– – –2 2 2+ =

18. Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) x x xx5 3 1– = +

b) x xx x x

x3

32 12

4– – – 2+ = +

c) x xx

xx

112 4– –2

= ++

d) x xx 215

272 6–

2= +

Erabili ikasi duzuna19. Ondoz ondoko hiru zenbaki arrunten batura txi-

kiena bost halako ken 11 da. Zer zenbaki dira horiek?

20. Kalkulatu zenbaki bat; zenbaki horren erdia batu zein zenbaki berorren 9/5-i 6 kendu emaitza bera ateratzen da.

21. Kalkulatu ondoz ondoko hiru zenbaki bakoiti; horien baturak 117 izan behar du.

Edozein zenbaki bakoiti idatz daiteke honela: 2x + 1.

22. Boligrafoa, koadernoa eta karpeta 14,30 € ordaindu ditut. Karpetaren prezioa koadernoarena 5 halako da eta koadernoa, boligrafoarena bi halako. Zenbat balio du gauza bakoitzak?

23. Kalkulatu zer altuera duen zuhaitz batek, jakinik zuhaitza bi halako den postea baino metro bat labu-rrago dela.

24. Zapaten prezioa % 15 igo da abenduan eta % 20 jaitsi da urtarrilean. Horrela, hasierako prezioa 6,96 € jaitsi da. Zenbat zen hasierako prezioa?

25. Dudan dirua gehi 3,50 € gehiago izango banu, nire taldearen kamiseta erosi ahal izango nuke. Bi halako izanez gero, 7,25 € izango nituzke sobera. Zenbat diru dut?

26. Zenbaki baten karratuari zenbaki hori hiru halako kenduz gero, 130 lortzen da. Zer zenbaki da?

27. Ondoz ondoko bi zenbaki ditugu; zenbaki horien karratuen batura 145 da. Zer zenbaki dira?

28. Zenbaki arrunt baten eta hurrengoaren arteko biderkadurari 31 kenduz gero, bi zenbakien batura bost halako lortuko da. Zer zenbaki da hori?

Ebatzi problemak29. Bankuko kontuan izan dugun diruaren

1/7 atera dugu; gero, geratu denaren 2/15 sartu dugu eta 12 € falta dira oraindik hasierako kantitatea iza-teko. Zenbat diru zegoen kontuan?

30. 43 urte dituen aitak 9 eta 11 urteko seme-alabak ditu. Zenbat urte igaroko dira seme-alaben adinak batuta aitaren adinaren parera iristeko?

31. Txorizo ogitartekoak egiten ari gara ibilaldirako. Ogitarteko bakoitzean 4 xerra ipiniz gero, 12 egongo dira sobera eta 5 ipiniz gero, 8 faltako dira. Zenbat ogitarteko prestatu behar ditugu?

32. Jatetxe jakin bateko bazkarian, honako hau atera dute: zigalak (plater bat bi pertsonako), txirlak (plater bat hiru pertsonako), eta lanpernak (plater bat lau pertsonako). Guztira, 65 plater atera dira. Zenbat pertsona ari dira bazkaltzen?

33. 1,60 €/l-ko oliba-patsaren zenbat litro olio nahasi behar ditugu 2,80 €/l-ko 60 l oliba-oliorekin 2,50 €/l-ko nahastea lortzeko?

34. 30 kg pintura kalitate eskasagoko pinturaren 50 kg-rekin nahasita, 3,30 €/kg-ko nahastea atera da. Pintura merkearen prezioa pintura garestiaren prezioaren erdia izanez gero, zenbat da pintura mota bakoitzaren prezioa?

35. 14,15 €/kg-ko kafe-marka batean honako nahas-te hau dago: % 30, 18 €/kg balio duen Kolonbiako kafea da eta gainerakoa, beste kafe mota batekoa. Zenbat balio du beste kafe horrek?

36. Ikastetxe batek autobusa hartu du irtenaldi bate-rako. Jarleku guztiak hartuz gero, billetearen prezioa 12 € da; baina 4 jarleku geratu dira libre eta, ondo-rioz, 13,5 € ordaindu behar izan dute. Zenbat jarle-ku ditu autobusak?

37. Lagun talde batek sari bat banatu behar du eta bakoitzak 15 € hartuko lituzke, baina beste lau lagunen artean banatuko dute saria eta, horrela, bakoitzak 3 € gutxiago hartuko ditu. Zenbat lagun izango dira guztira?

38. Zenbaki bat % 10 handiago eginez gero, % 5 txi-kituz gero baino 42 unitate handiago da. Zer zenbaki da hori?

39. Inbertitzaile batek 28 000 € ditu; diru horren zati bat banku batean sartu du % 4an, eta gainerakoa, beste banku batean, % 3,5ean. Lehenengo zatiak urtean bigarrenak baino 220 € gehiago emanez gero, zenbat diru jarri du banku bakoitzean?

40. Bi hiri, A eta B, 250 km-ko distantzian daude. Kamioi bat atera da A-tik B-rantz 90 km/h-ko abia-duran. Ordu berean, automobil bat atera da B-tik A-rantz eta ordubete eta laurden barru elkartu dira. Zer abiadura darama automobilak?

41. 21 km/h-ko abiaduran doan txirrindulariak hiru ordu laurden behar izan ditu 2,25 km-ko aurrea izan duen beste bat harrapatzeko. Zer abiadura zeraman aurreko txirrindulariak?

42. Ane 80 km/h-ko abiaduran atera da automobi-lean. 15 minutuko geldialdia egin du gasolina hartze-ko eta, gero, 100 km/h-ko abiaduran joan da denbora batean. Helmugara iritsi denean, 3 orduan 250 km egin dituela konturatu da, kontuan hartuta geldialdia. Zenbat denbora eman du 80 km/h-ko abiaduran?

43. Kalkulatu zer neurri duten laukizuzen baten aldeek, jakinik diagonala 10 cm-koa dela eta oinarria altuera baino 2 cm luzeagoa dela.

44. Triangelu zuzen baten katetoen batura 18 cm da eta azalera, 40 cm2. Zer neurri dute triangelu horren katetoek?

45. Laukizuzen baten oinarria altuera baino 5 cm lu-zeagoa da. Altuera 2 cm txikiagoa izanez gero, lau-kizuzenaren azalera 60 cm2-koa izango litzateke. Zer neurri dute triangeluaren aldeek?

OHARRAK

85

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

46 Patioa→20mluzeeta12mzabal.

Urmaela→16mluzeeta8mzabal.

47 x=4cm(x-kizanbehardu10bainotxikiagoa).

48 Zenbakiak25eta60dira.

49 Zenbakia42da.

50 12hbeharditu.

51 Txorrotetakobatek12hbeharkoditu,etabesteak,24h.

52 Infinitusoluzio.

1.adibidea:Lehenengoigeltseroak10lauzajartzendituorduko;biga-rrenak,9.Lehenengosukaldeak90lauzaditu,etabigarrenak65.

2.adibidea:Lehenengoigeltseroak20lauzajartzendituorduko;biga-rrenak,18.Lehenengosukaldeak180lauzaditu,etabigarrenak160.

53 Ikastetxera5kmdaude.Bai,ordu-orduanbainolehentxeagoiritsida.

54 a=18cm;b=12cm,c=9cm

55 6kmegindituzte.Bizikletaorduerdiegondageldirik.

56 a)x=500m

b)A→Lursailarenazalera:237500m2;Lorategiarenazalera:235000m2

B→Lursailarenazalera:242500m2;Lorategiarenazalera:240000m2

57 Arrainapalmondorikhandienetik20m-raagertuzen.

58 Karmelek140€gastatuzituenguztira:frakak,20€;kutxatila,10€;oinetakoak,20€;alkandora,26€;poltsa,21€;berokia,63€.

59 a)–2dasoluzioa. b)3dasoluzioa.

c)3dasoluzioa. d)3dasoluzioa.

60 a)G b)E c) G d)G e) G

61 Lehenengobiak,bai,soluzioberabaitute:x=2.Azkenengoakezdi-rabaliokideak.

62 5t2–t=0

a)Ezezagunatda. b)a=5,b=–5,c=0

c)2t+2 d)Osatugabea.

63 3x–ax+2a=b

a)a=3,b=6

b)a=3,b=ezdenbesteedozeinzenbaki.

65 a)(x+2)(x–3)=0 b)(x–3) x32+e o=0

c)x(x+5)=0 d)(x–4)2=0

e)x2+100=0

66 Δ=5bada,ekuazioakbisoluzioditu.

Δ=0bada,ekuazioakbisoluzioditu.

67 a)m=49

b)m≠49etam<49

c)m>49

68 a=7

118 119

Ariketak eta problemak57. Ibai baten bi ertzetan, bi palmondo dau-

de. Handiena 30 besokoa da; bestea, 20 besokoa, eta bien arteko distantzia 50 besokoa da. Palmondo bakoitzaren buruan txori bat dago. Bi txoriek ibaia-ren azalean arraina ikusi eta berehala atera dira eta arraina une berean harrapatu dute.

Palmondo handiaren enborretik zer distantzia dago arraina agertu den tokira?

58. Karmele egin dituen erosketen kontuak egiten ari da eta berokiak poltsak hiru halako balio duela kon-turatu da; poltsak, alkandorak baino 5 € gutxiago; alkandorak, oinetakoek baino 6 € gehiago; oine-takoek, kutxatilak bi halako; kutxatilak, fraken erdia, eta frakek, beste gauza guztiek batera baino 120 € gutxiago. Kalkulatu zenbat balio duen gauza bakoi-tzak eta zenbat diru gastatu duen Karmelek guztira.

Hausnartu teoriari buruz59. 3 edo –2 al da honako ekuazio hauetako baten

soluzio? Egiaztatu.

a) x x35 3 3

1– + =

b) 2x + 2x – 1 – 2x + 1 = – 4

c) x14 4– =

d) (2 – x)3 + 3x = x 2 – 1

60. Egia ala gezurra? Arrazoitu erantzunak.

a) 5x = 0 ekuazioak ez du soluziorik.

b) Ekuazio baten atalak –3rekin biderkatuz gero, soluzioa ez da aldatzen.

c) 0x = 4 ekuazioak infinitu soluzio ditu.

d) Bigarren mailako ekuazioaren diskriminatzailea –b2 + 4ac da.

e) ax 2 + c = 0 ekuazioak ez du soluziorik c > 0 iza-nez gero.

61. Baliokideak al dira honako ekuazio hauek?

2(x – 1) + x + 1 = 2x + 1

2x – 1 – (x – 1) = 2(3x – 5)

Eta x 2 – 2x = 0 eta 2x – 4 = 0?

Justifikatu erantzunak.

62. 5t 2 – 3t + 2 = 2t + 2 ekuazioan, adierazi:a) Zein den ezezaguna.b) Zenbat diren a, b eta c-ren balioak.c) Zein den bigarren atala.d) Ekuazio osoa ala osatugabea den.

63. 3x – a (x – 2) = b ekuazioan.a) Zenbat balio behar dute a-k eta b-k infinitu

soluzio izan ditzan?b) Eta soluziorik izan ez dezan?

64. Ariketa ebatzia

x = 21 eta x = –1 soluzioak dituen bigarren

mailako ekuazioa asmatzea.

Ebazpena:

Soluzioak x = 21 eta x = –1 izatea nahi izanez

gero, honako hau egingo dugu:

x 21–c m(x + 1) = 0 → x 2 + 2

1 x – 21 = 0 →

→ 2x 2 + x – 1 = 0

65. Asmatu bigarren mailako ekuazioak:a) Bi soluziorekin: x = –2 eta x = 3

b) Bi soluziorekin: x = 3 eta x = – 32

c) Bi soluziorekin: x = 0 eta x = –5d) Soluzio batekin: x = 4e) Soluziorik gabe.

66. Bigarren mailako diskriminatzailea Δ = 5 izanez gero, zer esan dezakegu ekuazioaren soluzio kopurua-ri buruz? Eta Δ = 0 izanez gero?

67. x 2 – 14x + m = 0 ekuazioan:a) Zer balio hartu behar du m-k bi soluzio berdin

izateko?b) Eta desberdinak izateko?c) Eta soluziorik ez izateko?

68. Zenbat balio behar du a-k, (x – 3)2 – x 3 + a = 0 ekuazioaren soluzioa x = 2 izan dadin?Justifikatu erantzuna.

46. Patio angeluzuzen batek 8 m gutxiago ditu zabaleran luzeran baino, eta erdian urmael angeluzu-zena dago, 2 m-ko zabalerako igarobidez inguratuta. Azken zona horren azalera 112 m2-koa da. Zenbat dira patioaren eta urmaelaren dimentsioak?

x

2

2

47. Zenbat izango da x-ren balioa, honako irudi honen azalera 82 cm2-koa izan dadin?

x

x

10

10

48. Kalkulatu batura 85 duten bi zenbaki arrunt; nagusiaren karratua zati txikiaren karratua eginez zatidura 5 da eta hondarra, 475.

49. Bi zifrako zenbaki bati zifren ordena alderan-tzikatuz lortzen den zenbakia kenduz, emaitza 18 da. Kalkulatu zer zenbaki den, unitateetako zifra 2 izanik.

50. Ureztatzeko ura duen andel batek hornitzeko txorrota eta hustubidea ditu. Hornitzeko txorrotak 9 orduan betetzen du andela. Txorrota eta hustubi-dea irekiz gero, 36 ordu behar dira andela betetzeko. Kalkulatu zenbat denbora behar den beterik dagoen andela husteko, txorrota itxita dagoela.

51. Txorrota batek beste batek behar duen denbora bi halako behar du andela betetzeko. Biak batera irekiz gero, 8 orduan betetzen dute. Zenbat denbora beharko du bakoitzak andela betetzeko?

52. Igeltseroak 9 ordu behar ditu sukalde bateko lau-zak jartzeko eta beste batek, 10 ordu. Batera lan egi-nez gero, banan eginda baino 6 lauza gutxiago jartzen dituzte. Behin, biek batera egin zuten lan beste sukal-de batean, eta 5 orduan amaitu zuten lana. Zenbat lauza ipini behar ziren sukalde bakoitzean?

Problema korapilatsuagoak53. Ane, ikastetxerako bidean doala, honetaz

jabetu da: oinez 4 km/h-ko abiaduran joanez gero, 5 minutu berandu iristen da; bizkorrago joanez gero, 5 km/h-ko abiaduran, ordua baino 10 minutu lehena-go iristen da. Zer bide dago etxetik ikastetxera? Ordu-orduan iritsiko al da bidearen erdia 4 km/h-ko abiadu-ran egin eta beste erdia 5 km/h-koan eginez gero?

54. Prisma angeluzuzenaren forma duten hiru mo-tatako tetrabrikak ditugu; oinarriak 4 cm × 6 cm, 3 cm × 6 cm eta 2 cm × 6 cm-koak dira eta altuerak, hurrenez hurren, a, b eta c. Lehenengoaren edu-kiera bigarrena bi halako da; eta bigarrenarena, hiru-garrenarena bi halako. Altueren batura 39 cm da; zer neurri du bakoitzak?

55. Koldo eta Mikel aitona-amonak bisitatzera joan dira. Bizikleta bat baino ez dutenez, honako hau erabaki dute: Mikelek bidearen erdia egingo du bi-zikletan eta han utziko du harik eta Koldok, bi-dea oinez hasita, bilduko duen arte. Bigarren erdia Mikelek oinez egingo du eta Koldok, bi-zikletan. Horrela, ordubetean egingo dute bidea. Oinez doana 4 km/h-ko abiaduran doa eta bi-zikletan doana, 12 km/-koan. Zer distantzia egin dute? Zenbat denbora eman zuen geldirik bizikletak?

56. Enpresa bat lorategi eta guztiko bi motatako banakako bizitetxeak, A eta B, egiten ari da.A motakoak: Zabaleran luzeran baino 25 metro labu-rragoa den lursail angeluzuzena. Lursailaren barruan, etxeak 50 m-ko aldeko karratua okupatzen du.B motakoak: A-ko tamainako bizitetxea eta A-ko luzerako eta 20 m gutxiagoko zabalerako lorategia.a) Kalkulatu zenbat den bi lursailen oinarriaren x

neurria lorategiaren azalera bera izan dadin.b) x-ren balio horretarako, kalkulatu zenbat den lur-

sail bakoitzaren azalera eta lursail horri dagokion lorategiarena.

x x

ETXEA

ETXEA

86

120 121

Taller de matemáticas

Jo informazio bilaBa al zenekien…?Ekuazio latineko aequatio hitzetik dator eta hitz hori, aequare (berdindu) edo aequus (berdin) hitzetik.Eskuinean erro bereko beste hitz batzuk dituzu.•Bilatu ekuazio hitzaren erro bera duten beste zenbait hitz.

Matematika-lantegia

120

Jokatu zuhurOreka osoan

Bola bakoitzaren pisua kilo batekoa izanez gero, zer pisu du kaxa bakoitzak?

Erabili ixaOsatu taula ondoz ondoko bi laukitxotako zenbakiak batuz, hurrengo laukitxokoa lortzeko eran:

5 81

Konpondu zaitez……honako ekuazio honen soluzioren bat aurkitzeko:

x = 813 +30 –7 + 1 + 5 –

Interpretatu, deskribatu, adieraziIdatzi hiru zifrako zenbaki bat: abcIdatzi zenbaki bera alderantziz: cbaKendu txikiena handienari eta batu lortu duzun kenduraren zifrak.

Batura hori beti da 18!a) Egiaztatu, adibideak erabiliz, beti betetzen dela aurreko baiezta-

pena. Ba al dakizu zergatik gertatzen den hori?b) Analizatu eta azaldu ondoren azaltzen den prozesua.

abc hiru zifrako zenbakia da. a > c dela joko dugu. 1. pausoa 2. pausoa 3. pausoa

–

a b c

c b a

c – a < 0

– a b – 1 c + 10

c b a

10 + c – a

– a – 1 10 + b – 1 c + 10

c b a

a – 1 – c 9 10 + c – a

Kendurako zifrak batu eta…

ekuatore: poloetatik distantzia berean dagoen zirkunferentzia handiena.

ekilatero: alde berdinak dituena.

1 kg

Trebatu problemak ebatziz •Baserritarra, arrautzak otarrean batu ondoren, pentsa-

tzen ari da:— Dozenaka ontziratuz gero, 5 izango ditut sobera.— Bat gehiago izanez gero, zehatz ontziratuko nituzke

10eko kaxak erabiliz.— Ia 100 arrautza batu ditut.Zenbat arrautza batu ditu baserritarrak?

• Dorreko erlojuak 15 segundo behar ditu seiak jotzeko. Zenbat denbora beharko du hamabiak jotzeko?

•Kalkulatu zer azalera duen karratu berdeak.

6 m

1. Ebatzi buruz honako ekuazio hauek eta azaldu buru-tu duzun prozesua:

a) (x + 13)2 = 25 b) x 15 82 + =

2. Haztamuz jota, ebatzi kalkulagailuaren laguntzaz.

a) (x – 14)3 = x + 10 b) x x 5–4 2 =

3. Ebatzi.

a) )(x x x5

3 210

134

3109–– – –+ =

b) xx x2

14

2 3–=+ +

c) x x x2 1 3

36

–+ =+

4. Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) 25 x 2 – 2x = 0

b) 4x 2 + 25 = 0c) (x + 3)(x – 3) – 25x = 9x – 298

c) ( )( ) ( ) xx x x4

26

2 3 1 –– – – – 2=

5. 1,30 €/kg-ko 6 kg irin 0,70 €/kg-ko beste irin mota batekin nahasiko ditugu 1,10 €/kg-ko nahastea lortzeko. Bigarren motako zenbat irin ipini beharko dugu nahastean?

6. Trena A-tik B-rantz atera da 135 km/h-ko abiaduran. Ordubete beranduago, beste tren bat atera da B-tik A-rantz 115 km/h-koan. A-tik B-rako distantzia 485 km-koa da. Zenbat denbora barru gurutzatuko dira?

7. Hiru lagunek 540 € jasotzen dituzte lan bat egitea-gatik. Lehenengoak 12 ordu egin zituen eta biga-rrenak, hirugarrenak baino 2 ordu gehiago eginda, 180 € hartu ditu. Zenbat ordu eta zenbat diru dago-zkio hiruretako bakoitzari?

8. 24 m luze den soka batekin, triangelu zuzena egin dugu eta katetoetako bat 6 m-koa da. Zer neurri izango dute beste katetoak eta hipotenusak?

9. 48 m2-ko azalera duen egongela lauzatzeko, 375 bal-dosa angeluzuzen erabili dira; baldosen alde bat bes-tea baino 8 cm laburragoa da. Kalkulatu zer dimen-tsio dituzten baldosek.

Autoebaluazioa

eta ikasiizan ekimenaHonako ariketa hauen ebazpenak.Webgunean

Jo informazio bila

Ba al zenekien…

Atalhonetanesatendenariburuzhausnartuzgero,egunerokotasuneanerabiltzenditugunzenbaitkontzepturenjatorriaezagutukodugu.

Soluzioak:Honahemengaztelaniazkozenbaithitz:equitativo,ecuánime,equilibrio,equinocio.

Jokatu zuhur

Oreka osoan

Soluzioamodugrafikoanlandudaiteke,balantzaketengabemarraztuz.Horrela,balantzahoriekhasierakoasinplifikatuzjoangodira,eta,moduparaleloan,gauzaberaegindezakeguhizkuntzaaljebraikoarekin.Horrela,balantzarenedukiaekuaziobatekinadierazi,etageroebatziegingodugu.

Soluzioak:Kaxagorribakoitzak2kg-kopisuadu.

Erabili ixa

Izenburuakproblemaberaebaztekogakoaemangodigu.Bigarrenlauki-txoanjarrizgero,eta,hortikaurrera,bilaukitxox-renaraberabatuzgero,ekuazioerrazbatebatzikodugu.

Soluzioak: 5 7 12 19 31 50 81

Konpondu zaitez…

Ekuaziohauebazteko,ikasleeiproposatukodieguunitatehonenhasieranaurkeztutakohaztamu-metodoaerabiltzeko.Kasuhonetan,hainbaterroki-zunetasoluzioaditugunez,jarraitubeharrekobideaerrazagoaurkitukodugu.

Soluzioak: x=144

Interpretatu, deskribatu, adierazi Komenidaikasleekhainbatadibideegitea,hariketahonakohauondo-rioztatzendutenarte:hamarrekoenzifrabetidela9,etaunitateenetaehu-nekoenzifrenbaturaerebetidela9.

Halaere,gehienentzatezdaerrazaproposatzenzaienprozedurariberenkabuzjarraitzea.Laguntzekoasmoz,gurezenbakikuntza-sistemarenezau-garriakgogoratukodizkiegu(hamarrekoaetaposizionala).Horrela,hama-rrekotikunitateraedoehunekotikhamarrekoraigarotzeakzenbakiarenzi-freinolaeragitendienikusikodute.

Soluzioak:

824–428=396,3+9+6=18;351–153=198,1+9+8=18

OHARRAK

87

120 121

Taller de matemáticas

Jo informazio bilaBa al zenekien…?Ekuazio latineko aequatio hitzetik dator eta hitz hori, aequare (berdindu) edo aequus (berdin) hitzetik.Eskuinean erro bereko beste hitz batzuk dituzu.•Bilatu ekuazio hitzaren erro bera duten beste zenbait hitz.

Matematika-lantegia

120

Jokatu zuhurOreka osoan

Bola bakoitzaren pisua kilo batekoa izanez gero, zer pisu du kaxa bakoitzak?

Erabili ixaOsatu taula ondoz ondoko bi laukitxotako zenbakiak batuz, hurrengo laukitxokoa lortzeko eran:

5 81

Konpondu zaitez……honako ekuazio honen soluzioren bat aurkitzeko:

x = 813 +30 –7 + 1 + 5 –

Interpretatu, deskribatu, adieraziIdatzi hiru zifrako zenbaki bat: abcIdatzi zenbaki bera alderantziz: cbaKendu txikiena handienari eta batu lortu duzun kenduraren zifrak.

Batura hori beti da 18!a) Egiaztatu, adibideak erabiliz, beti betetzen dela aurreko baiezta-

pena. Ba al dakizu zergatik gertatzen den hori?b) Analizatu eta azaldu ondoren azaltzen den prozesua.

abc hiru zifrako zenbakia da. a > c dela joko dugu. 1. pausoa 2. pausoa 3. pausoa

–

a b c

c b a

c – a < 0

– a b – 1 c + 10

c b a

10 + c – a

– a – 1 10 + b – 1 c + 10

c b a

a – 1 – c 9 10 + c – a

Kendurako zifrak batu eta…

ekuatore: poloetatik distantzia berean dagoen zirkunferentzia handiena.

ekilatero: alde berdinak dituena.

1 kg

Trebatu problemak ebatziz •Baserritarra, arrautzak otarrean batu ondoren, pentsa-

tzen ari da:— Dozenaka ontziratuz gero, 5 izango ditut sobera.— Bat gehiago izanez gero, zehatz ontziratuko nituzke

10eko kaxak erabiliz.— Ia 100 arrautza batu ditut.Zenbat arrautza batu ditu baserritarrak?

• Dorreko erlojuak 15 segundo behar ditu seiak jotzeko. Zenbat denbora beharko du hamabiak jotzeko?

•Kalkulatu zer azalera duen karratu berdeak.

6 m

1. Ebatzi buruz honako ekuazio hauek eta azaldu buru-tu duzun prozesua:

a) (x + 13)2 = 25 b) x 15 82 + =

2. Haztamuz jota, ebatzi kalkulagailuaren laguntzaz.

a) (x – 14)3 = x + 10 b) x x 5–4 2 =

3. Ebatzi.

a) )(x x x5

3 210

134

3109–– – –+ =

b) xx x2

14

2 3–=+ +

c) x x x2 1 3

36

–+ =+

4. Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) 25 x 2 – 2x = 0

b) 4x 2 + 25 = 0c) (x + 3)(x – 3) – 25x = 9x – 298

c) ( )( ) ( ) xx x x4

26

2 3 1 –– – – – 2=

5. 1,30 €/kg-ko 6 kg irin 0,70 €/kg-ko beste irin mota batekin nahasiko ditugu 1,10 €/kg-ko nahastea lortzeko. Bigarren motako zenbat irin ipini beharko dugu nahastean?

6. Trena A-tik B-rantz atera da 135 km/h-ko abiaduran. Ordubete beranduago, beste tren bat atera da B-tik A-rantz 115 km/h-koan. A-tik B-rako distantzia 485 km-koa da. Zenbat denbora barru gurutzatuko dira?

7. Hiru lagunek 540 € jasotzen dituzte lan bat egitea-gatik. Lehenengoak 12 ordu egin zituen eta biga-rrenak, hirugarrenak baino 2 ordu gehiago eginda, 180 € hartu ditu. Zenbat ordu eta zenbat diru dago-zkio hiruretako bakoitzari?

8. 24 m luze den soka batekin, triangelu zuzena egin dugu eta katetoetako bat 6 m-koa da. Zer neurri izango dute beste katetoak eta hipotenusak?

9. 48 m2-ko azalera duen egongela lauzatzeko, 375 bal-dosa angeluzuzen erabili dira; baldosen alde bat bes-tea baino 8 cm laburragoa da. Kalkulatu zer dimen-tsio dituzten baldosek.

Autoebaluazioa

eta ikasiizan ekimenaHonako ariketa hauen ebazpenak.Webgunean

Trebatu problemak ebatziz

Soluzioak:

• Baserritarrak89arrautzabatuditu.

• 33segundobeharkodituhamabiakjotzeko.

• Karratuberdeak7,2m2-koazaleradu.

Diziplinartekotasuna

Honakoariketahauiradokitzendugu:

Idatzizientziarenhiruegoeraedoalderdi(matematikaezdirenak),nonekuazioakerabilgarriakizandaitezkeen.Gero,eztabaidatuhorriburuzzureikaskideekin.

Autoebaluazioaren soluzioakn

1 a)x=–8 b)x=7

2 a)x=17 b)x≈2,37

3 a)x=1 b)0x=–5.Ezdaukasoluziorik.

c)x=3

4 a)x1=0,x2=54 b)4x2=–25.Ezdaukasoluziorik.

c)x=17 d)x1=5,x2=3

5 3kgirinjarribeharditugu.

6 2,4hbarrugurutzatukodira.

7 12,10eta8ordueginzituzten,hurrenezhurren.

Lehenengoari216€dagozkio,etahirugarrenari,144€.

8 Bestekatetoak8mizangodu,etahipotenusak10m.

9 Baldosekneurrihaudute:0,4m×0,32m.

OHARRAK