Ejercicios 0.1-2

1. Demuestre con todo detalle cada una de las siguientes afirmaciones:

a) A ∪ A = A y A ∩ A = A para cada conjunto A.

b) A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅ para cada conjunto A.

c) A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A para todo conjunto A y todoconjunto B.

d) A ∪B = A si y solo si B ⊂ A.

e) A ∩B = A si y solo si A ⊂ B.

f ) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C para A, B y C conjuntos arbitrarios.

g) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C para A, B y C conjuntos arbitrarios.

h) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) para A, B y C conjuntosarbitrarios.

i) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) para A, B y C conjuntosarbitrarios.

j ) Si A y B son subconjuntos de X entonces (A ∪B)c = Ac ∩Bc.

k) Si A y B son subconjuntos de X entonces (A ∩B)c = Ac ∪Bc.

2. Escriba los siguientes conjuntos en terminos de uniones e interseccionesde los conjuntos A, B y C.

a) {x : x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C)}.b) {x : x ∈ A o (x ∈ B y x ∈ C)}.c) {x : (x ∈ A y x ∈ B) o x ∈ C}.d) {x : (x ∈ A o x ∈ B) y x ∈ C}.

3. En los siguientes literales de una demostracion de las afirmaciones queconsidere verdaderas o ejemplos que muestren que determinadas afir-maciones son falsas. En caso de que una igualdad no se satisfaga veri-fique si por lo menos una de las contenencias es cierta.

a) A \ (A \B) = B.

b) A \ (B \ A) = A \B.

1

c) A ∩ (B \ C) = (A ∩B) \ (A ∩ C).

d) A ∪ (B \ C) = (A ∪B) \ (A ∪ C).

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Ejercicios 0.3

1. Demuestre las leyes de De Morgan:

a)(⋃

A∈A A)c

=⋂

A∈A Ac.

b)(⋂

A∈A A)c

=⋃

A∈A Ac.

2. Justifique cuidadosamente cada una de las siguientes afirmaciones:

a) Si A es una familia vacıa de conjuntos entonces⋃

A∈A A = ∅.b) SiA es una familia vacıa de subconjuntos de X entonces

⋂A∈A A =

X.

3. Para cada n ∈ N sea An = {x ∈ R :−1

n< x <

1

n}. Calcule

⋂n∈N An.

4. Para cada n ∈ N sea An = [1

n, 2− 1

n]. Calcule

⋃n∈N An.

5. En los siguientes literales de una demostracion de las afirmaciones queconsidere verdaderas o ejemplos que muestren que determinadas afir-maciones son falsas.

a) Si x ∈⋃

A∈A A entonces x ∈ A para al menos un elemento A ∈ A.

b) Si x ∈ A para al menos un elemento A ∈ A entonces x ∈⋃

A∈A A.

c) Si x ∈⋃

A∈A A entonces x ∈ A para cada elemento A ∈ A.

d) Si x ∈ A para cada elemento A ∈ A entonces x ∈⋃

A∈A A.

e) Si x ∈⋂

A∈A A entonces x ∈ A para al menos un elemento A ∈ A.

f ) Si x ∈ A para al menos un elemento A ∈ A entonces x ∈⋂

A∈A A.

g) Si x ∈⋂

A∈A A entonces x ∈ A para cada elemento A ∈ A.

h) Si x ∈ A para cada elemento A ∈ A entonces x ∈⋂

A∈A A.

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Ejercicios 0.4

1. Muestre con un ejemplo que si A y B son conjuntos arbitrarios entoncesno es siempre cierto que A×B = B×A. Bajo que condiciones es ciertaesta igualdad?

2. Determine cuales de los siguientes subconjuntos de R se pueden expre-sar como el producto cartesiano de dos subconjuntos de R.

a) {(x, y) : y es un entero }.b) {(x, y) : x es un natural par y y ∈ Q}.c) {(x, y) : y < x}.d) {(x, y) : x es un multiplo entero de π}.e) {(x, y) : x2 − y2 < 1}.

3. Determine cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cualesson falsas. En cada caso de una demostracion o un contraejemplo indi-cando ademas si por lo menos es cierta una contenencia.

a) A× (A \B) = (A× A) \ (A×B).

b) A× (B \ A) = (A×B) \ (A× A).

c) A× (B \ C) = (A×B) \ (A× C).

d) A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C).

e) A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C).

f ) (A ∪B)× (C ∪D) = (A× C) ∪ (B ×D).

g) (A ∩B)× (C ∩D) = (A× C) ∩ (B ×D).

h) (A \B)× (C \D) = (A× C) \ (B ×D).

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Ejercicios 0.5

1. De un ejemplo de una funcion de R en R uno a uno pero no sobreyectiva.

2. De un ejemplo de una funcion de R en R sobreyectiva pero no uno auno.

3. de un ejemplo de una funcion biyectiva de N en Q.

4. Sea f : X −→ Y una funcion. Si A y B son subconjuntos de X yA ⊂ B entonces f(A) ⊂ f(B).

5. Sea f : X −→ Y una funcion. Si C y D son subconjuntos de Y yC ⊂ D entonces f−1(C) ⊂ f−1(D).

6. Sea f : X −→ Y una funcion. Si A y B son subconjuntos de X pruebeque f(A∪B) = f(A)∪f(B). Si A es una familia cualquiera de subcon-juntos de X se puede afirmar que f(

⋃A∈A A) =

⋃A∈A f(A)? Justifique

completamente su respuesta.

7. Sea f : X −→ Y una funcion. Si A y B son subconjuntos de X muestrecon un contraejemplo que no siempre se satisface la igualdad f(A∩B) =f(A) ∩ f(B).

8. Sea f : X −→ Y una funcion. Si C y D son subconjuntos de Y pruebeque f−1(C ∪ D) = f−1(C) ∪ f−1(D) y que f−1(C ∩ D) = f−1(C) ∩f−1(D). Mas aun, pruebe que si C es una familia cualquiera de subcon-juntos de Y entonces f−1(

⋃C∈C C) =

⋃C∈C f−1(C) y f−1(

⋂C∈C C) =⋂

C∈C f−1(C).

9. Determine cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas, en cualesse satisface solo una inclusion y en cuales las dos inclusiones resultanser falsas. En cada caso justifique completamente su respuesta con unademostracion o con un contraejemplo.

a) Sea f : X −→ Y una funcion. Si A y B son subconjuntos de Xentonces f(A \B) = f(A) \ f(B).

b) Sea f : X −→ Y una funcion. Si A y B son subconjuntos de Xentonces f((A \B) ∪ (B \ A)) = (f(A) \ f(B)) ∪ (f(B) \ f(A)).

5

c) Sea f : X −→ Y una funcion. Si C y D son subconjuntos de Yentonces f−1(C \D) = f−1(C) \ f−1(D).

10. Consideremos f1 : X1 −→ Y1 y f2 : X2 −→ Y2 dos funciones y defi-namos la funcion g : X1×X2 −→ Y1×Y2 por g(x1, x2) = (f1(x1), f2(x2)).Pruebe o refute cada una de las siguientes afirmaciones:

a) g es uno a uno si y solo si f1 y f2 lo son.

b) g es sobreyectiva si y solo si f1 y f2 lo son.

11. Sean f : X −→ Y una funcion, A ⊂ X y B ⊂ Y .

a) Demuestre que A ⊂ f−1(f(A)).

b) De un contraejemplo que muestre que no siempre se tiene quef−1(f(A)) ⊂ A.

c) Bajo que condiciones es cierta la igualdad f−1(f(A)) = A?

d) Demuestre que f(f−1(B)) ⊂ B.

e) De un contraejemplo que muestre que no siempre se tiene queB ⊂ f(f−1(B)).

f ) Bajo que condiciones es cierta la igualdad B = f(f−1(B))?

12. Consideremos f : X −→ Y y g : Y −→ Z dos funciones. Demuestre lassiguientes afirmaciones:

a) Si M ⊂ Z,entonces (g ◦ f)−1(M) = f−1(g−1(M)).

b) Si f y g son uno a uno, tambien lo es g ◦ f .

c) Si f y g son sobreyectivas, tambien lo es g ◦ f .

d) Si g ◦ f es uno a uno, entonces f es uno a uno pero g podrıa noserlo.

e) Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva pero f podrıano serlo.

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Ejercicios 0.6

1. Sea (Xi)i∈I una familia de conjuntos. Muestre que si Xi = ∅ para alguni ∈ I entonces

∏i∈I Xi = ∅.

2. Muestre que si n > 1 y X1, ..., Xn son conjuntos, entonces existe unafuncion biyectiva definida del conjunto X1 × ... × Xn en el conjunto(X1 × ...×Xn−1)×Xn.

3. Muestre que si (Xi)i∈I una familia de conjuntos y si J y K son sub-conjuntos de I no vacıos y disyuntos, tales que I = J ∪ K, entoncesexiste una funcion biyectiva definida del producto

∏i∈I Xi en el con-

junto (∏

j∈J Xj)× (∏

k∈K Xk) en el conjunto.

4. Con frecuencia se denota al conjunto RN con el sımbolo Rω. Determinecuales de los siguientes subconjuntos de Rω se pueden expresar comoproducto cartesiano de subconjuntos de R.

a) {x : xn ∈ Z para todo n}.b) {x : xn ≥ n para todo n}.c) {x : xn = xn+1 para todo n primo}.d) {x : xn ∈ Z para todo n ≥ 1000}.

5. Sean (Xi)i∈I y (Yi)i∈I dos familias de conjuntos. Determine cuales delas siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales son falsas. En cadacaso de una demostracion o un contraejemplo indicando ademas si porlo menos es cierta una contenencia.

a)∏

i∈I(Xi \ Yi) =∏

i∈I Xi \∏

i∈I Yi.

b)∏

i∈I(Xi ∪ Yi) =∏

i∈I Xi ∪∏

i∈I Yi.

c)∏

i∈I(Xi ∩ Yi) =∏

i∈I Xi ∩∏

i∈I Yi.

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Ejercicios 0.7

1. Determine cuales de las siguientes relaciones definidas sobre R son rela-ciones de equivalencia. Para cada relacion de equivalencia que encuentredetermine las clase de equivalencia de cada x ∈ R.

a) x ∼ y sii x− y ∈ Z.

b) x ∼ y sii x− y ∈ Q.

c) x ∼ y sii x− y ∈ R.

d) x ∼ y sii xy ∈ Z.

e) x ∼ y sii xy ∈ Q.

f ) x ∼ y sii x ≤ y.

g) x ∼ y sii |x| = |y|.h) x ∼ y sii x = 2y.

2. Determine cuales de las siguientes relaciones definidas sobre R2 sonrelaciones de equivalencia. Para cada relacion de equivalencia que en-cuentre determine las clase de equivalencia de cada (x, y) ∈ R2.

a) (x1, y1) ∼ (x2, y2) sii x1 − y2 ∈ Z.

b) (x1, y1) ∼ (x2, y2) sii x2 − y1 ∈ Q.

c) (x1, y1) ∼ (x2, y2) sii x1 − y2 ∈ R.

d) (x1, y1) ∼ (x2, y2) sii x1y2 ∈ Z.

e) (x1, y1) ∼ (x2, y2) sii x1y2 ∈ Q.

f ) (x1, y1) ∼ (x2, y2) sii y1 ≤ x2.

g) (x1, y1) ∼ (x2, y2) sii√

x21 + y2

1 =√

x22 + y2

2.

h) (x1, y1) ∼ (x2, y2) sii x1 = x2.

3. Consideremos f : X −→ Y una funcion y definamos la relacion ∼ sobreX por a ∼ b sii f(a) = f(b).

a) Demuestre que ∼ es una relacion de equivalencia.

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b) Demuestre que si f es sobreyectiva y si X/∼ es el conjunto declases de equvalencia, entonces existe una correspondencia biyec-tiva entre X/∼ y el conjunto Y .

c) Si X = Y = R describa un metodo geometrico que permita visu-alizar la clase de equivalencia de un numero real.

4. Demuestre que dada una coleccion de relaciones de equivalencia sobreun conjunto X, la interseccion de la coleccion tambien es una relacionde equivalencia sobre X.

5. Es la union de relaciones de equivalencia sobre un conjunto X unarelacion de equivalencia sobre X?

6. Determine cuales de las siguientes relaciones definidas sobre R2 sonrelaciones de orden.

a) (x1, y1) ≤ (x2, y2) sii ((x1, y1) = (x2, y2)) o (x1 − y2 ∈ N).

b) (x1, y1) ≤ (x2, y2) sii ((x1, y1) = (x2, y2)) o (x2 ≤ y2).

c) (x1, y1) ≤ (x2, y2) sii ((x1, y1) = (x2, y2)) o (x1 − y2 ∈ Z).

d) (x1, y1) ≤ (x2, y2) sii ((x1, y1) = (x2, y2)) o (x1y2 ∈ Z).

e) (x1, y1) ≤ (x2, y2) sii ((x1, y1) = (x2, y2)) o (x1y1 ∈ Q).

f ) (x1, y1) ≤ (x2, y2) sii ((x1, y1) = (x2, y2)) o (x1 < x2 o (x1 = x2 yy1 < y2)).

g) (x1, y1) ≤ (x2, y2) sii ((x1, y1) = (x2, y2)) o (√

x21 + y2

1 <√

x22 + y2

2).

h) (x1, y1) ≤ (x2, y2) sii ((x1, y1) = (x2, y2)) o (x1 < x2 y y1 < y2).

7. Demuestre que un elemento en un conjunto ordenado tiene a lo mas unpredecesor inmediato y a lomas un sucesor inmediato.

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Ejercicios 0.8

1. Demuestre que Q es un conjunto contable.

2. Demuestre que una union contable de conjuntos contables es contable.Que ocurre con la union no contable de conjuntos contables?

3. Demuestre que un producto finito de conjuntos contables es contable.Que ocurre con el producto infinito de conjuntos contables?

4. Muestre que el Axioma de Eleccion es equivalente a la siguiente afirma-cion: Para cualquier familia (Ai)i∈I de conjuntos no vacıos, con I 6= ∅,el producto cartesiano

∏i∈I Ai es no vacıo.

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