TOPOLOGIA

TOPOLOGIA

ESTUDIA LAS PROPIEDADES CUALITATIVAS O INVARIANTES TOPOLOGICAS (CONTINUIDAD/DISCON TINUIDAD, ABIERTO/CERRADO, PERFORACIONES, INTERSECCIONES, ETC.) DE LOS OBJETOS O ELEMENTOS GEOMETRICOS SOMETIDOS A TRANFORMACIONES TOPOLOGICAS, ELASTICAS, CONTINUAS (ENCOGER, ESTIRAR, TORCER, DOBLAR, COMPRIMIR, ETC.)

DEFINICIONES:

1. DIMENSIONES.2. PUNTO.3. RECTA TOPOLOGICA.4. POLIGONO TOPOLOGICO.5. POLIEDRO TOPOLOGICO.6. SUPERFICIE TOPOLOGICA

1. DIMENSIONES BAJAS:

1. PUNTO:

- ES EL ELEMENTO QUE EN EL ESPACIO QUE DENOTA POSICION.

- TIENE DIMENSION CERO.- PUEDE SER: PUNTO INTERIOR, PUNTO

EXTERIOR, PUNTO FRONTERA, PUNTO ADHERENCIA.

2. RECTA TOPOLOGICA:

- ELEMENTO UNIDIMESIONAL (DIMENSION 1).- TIENE DIRECCION.- TIENE EXTREMOS.- TIENE FRONTERAS QUE SON PUNTOS.

3. POLIGONO TOPOLOGICO:

- ELEMENTO BIDIMESIONAL (DIMENSION 2).- ES UN CONJUNTO DE LADOS QUE SON

ARCOS O RECTAS.- TIENE UNA REGION INTERIOR.- GENERATRIZ: SOBRE UNA CIRCUNFERENCIA

CUALQUIERA SE UBICAN CIERTO NUMERO DE PUNTOS DE MODO QUE N>1.

- TALES PUNTOS SE CONVIERTEN EN PUNTOS DE ADHERENCIA.

- LOS ARCOS ENTRE LOS PUNTOS DE ADHERENCIA SON LOS LADOS DEL POLIGONO.

- EN CONSECUENCIA SON COMPONENTES DE LOS POLIGONOS: LADOS Y PUNTOS DE ADHERENCIA.

4. POLIEDRO TOPOLOGICO:

- ELEMENTO TRIDIMESIONAL (DIMENSION 3).- SISTEMA FORMADO POR UN NUMERO FINITO

DE POLIGONOS, DE MODO QUE LOS POLIGONOS NO TIENEN PUNTOS INTERIORES COMUNES.

- TIENE COMO FRONTERAS A POLIGONOS O CARAS.

- TODO POLIEDRO ES DESPLEGABLE.- TIENE COMO COMPONENTES:

CARAS,ARISTAS,VERTICES

TIPOS DE POLIEDROS: I. POLIEDRO CONVEXO: TODAS SUS CARAS SE PUEDEN APOYAR SOBRE EL

PLANO UNA RECTA QUE SE TRACE ENTRE DOS PUNTOS

INTERIORES DE CUALQUIERA DE SUS CARAS, ESTARA SIEMPRE INTERIOR AL POLIEDRO.

TIPOS DE POLIEDROS: II. POLIEDRO CONCAVO: NO TODAS SUS CARAS SE PUEDEN APOYAR SOBRE EL

PLANO UNA RECTA QUE SE TRACE ENTRE DOS PUNTOS

INTERIORES DE CUALQUIERA DE SUS CARAS, PUEDE SER EXTERIOR AL POLIEDRO.

FORMULA O CARACTERISTICA DE

EULER PARA POLIEDROS CONVEXOS:

ES UNA INVARIANTE O CARACTERISTICA TOPOLOGICA QUE DESCRIBE UN DETERMINADO ESPACIO:

C + V – A = 2 C + V = A + 2

C = CARASV = VERTICESA = ARISTAS

C + V – A = 2 C + V = A + 2

C V A

4 6

6 12

9 8

7 11

HOMOMORFISMO

HOMEOMORFISMO

- ES UNA INVARIANTE TOPOLOGICA.- CUANDO LOS OBJETOS TOPOLOGICOS

CONSERVAN SUS PROPIEDADES, LUEGO DE HABER SUFRIDO TRANSFOMACIONES.

- OSEA, DOS O MAS ELEMENTOS SON HOMOMORFOS O HOMEOMORFOS, CUANDO ESTOS CONSERVAN SUS PROPIEDADES LUEGO DE SOMETERSE A TRANFORMACIONES.

HOMEOMORFISMOHOMOMORFISMO

SUPERFICIE TOPOLOGICA

1.DEFINICION.2.COMPONENTES.3.PROPIEDADES.4.TIPOS

SUPERFICIES TOPOLOGICAS

1. DEFINICION

- LA SUPERFICIE ES UNA VARIEDAD TOPOLOGICA DE DIMENSION 2, QUE ESTA INMERSA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL. ES INCLUSIVA RESPECTO A OTROS COMPONENTES.

- COMPONENTES:CARAS.BORDES U ORILLASPERFORACIONES

2. COMPONENTES:Definiciones

I. CARAS: SON LOS COMPONENTES 2D DE UNA SUPERFICIE, LA

CUAL PUEDE TENER UNA O DOS CARAS.LAS CARAS PUEDEN DIVIDIR EL ESPACIO EN REGIONES: UNA INTERIOR Y UNA EXTERIOR.

II. BORDES U ORILLAS: SON LAS FRONTERAS QUE PUEDE TENER UNA SUPERFICIE, ESTOS PUEDEN LIMITAR LOS ESPACIOS 2D DE LA SUPERFICIE Y PUEDEN EXISTIR O NO.

III. PERFORACIONES: SON LAS ABERTURAS QUE PUEDE TENER UNA SUPERFICIE Y QUE PUEDE O NO GENERAR BORDES.

3. PROPIEDADES DE LAS

SUPERFICIES:

I. GENERO.

II. ORIENTABILIDAD.

II. GENERO DE UNA SUPERFICIEGÉNERO HACE REFERENCIA A UNA PROPIEDAD DE INVARIANZA DE LOS OBJETOS CONSIDERADOS COMO SUPERFICIES; QUE EN TÉRMINOS MUY GENERALES, PUEDE INTERPRETARSE COMO EL NÚMERO DE AGUJEROS DE UNA SUPERFICIE.

Es una propiedad o invariante topológica definida como el máximo número de curvas cerradas simples que no se intersecan, y que se pueden dibujar sobre la superficie sin separarla. Más formalmente, es un invariante birracional numérico de una variedad algebraica bidimensional definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K.

3

II. ORIENTABILIDAD

a. SUPERFICIES ORIENTABLESUNA SUPERFICIE ORIENTABLE PUEDE DEFINIRSE SIMPLEMENTE COMO UNA VARIEDAD ORIENTABLE DE DIMENSIÓN DOS, DONDE TODA CURVA CERRADA SIMPLE CONTENIDA, TIENE UNA VECINDAD REGULAR HOMEOMORFA A UN CILINDRO ABIERTO O A UNA ESFERA.

- SE PUEDE ESTABLECER UN SISTEMA ORTOGONAL DE COORDENADAS A PARTIR DE UN PUNTO, DE MODO QUE SE ESTABLECE UN CAMINO CERRADO, VOLVIENDO AL PUNTO DE PARTIDA.

- ES HOMOMORFA A LA ESFERA.

LA ESFERA

EL TORUS

b. SUPERFICIES NO ORIENTABLESCUALQUIER VARIEDAD DE DIMENSIÓN DOS QUE NO ES ORIENTABLE ES UNA SUPERFICIE NO-ORIENTABLE. ESTO ES, EXISTE AL MENOS UNA CURVA CERRADA SIMPLE CONTENIDA, QUE TIENE UNA VECINDAD REGULAR HOMEOMORFA A UNA BANDA DE MÖBIUS.

- NO ES POSIBLE ESTABLECER UN SISTEMA ORTOGONAL DE COORDENADAS A PARTIR DE UN PUNTO, DE MODO QUE SE ESTABLEZCA UN CAMINO CERRADO, VOLVIENDO AL PUNTO DE PARTIDA.

- ES HOMORFA A LA BANDA DE MOEBIUS.

BANDA DE MOBIUS

Botella de Klein

BOTELLA DE KLEIN

SUPERFICIE DE BOY

SUPERFICIE DE BOY

4. TIPOS DE SUPERFICIES:

I. SUPERFICIES ABIERTAS.

II. SUPERFICIES CERRADAS.

I. SUPERFICIES ABIERTAS

 UNA SUPERFICE ABIERTA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL ES CUALQUIER SUPERFICIE QUE NO ENCIERRA UN VOLUMEN, NO DIVIDE A DICHO ESPACIOES UNA VARIEDAD DE SUPERFICIE QUE TIENE BORDES U ORILLAS, CONSECUENTREMENTE FRONTERAS.

II. SUPERFICIES CERRADAS

 EJEMPLOS DE ELLO SON ESPACIOS COMO LA ESFERA , EL TORO Y LA BOTELLA DE KLEIN .

 UNA SUPERFICE CERRADA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL ES CUALQUIER SUPERFICE QUE ENCIERRA UN VOLUMEN, DIVIDIENDO A DICHO ESPACIO EN UNA REGIÓN “INTERIOR" Y UNA REGIÓN "NO INTERIOR“- SON AQUELLAS QUE NO TIENEN BORDES.- ES CUALQUIER ESPACIO TOPOLOGICO QUE ENCIERRA UN

VOLUMEN- UNA SUPERFICIE CERRADA ES UNA SUPERFICIE QUE NO

TIENE FRONTERA

BANDA DE MOEBIUS- LA BANDA DE MÖBIUS ES, TOPOLÓGICAMENTE, UNA SUPERFICIE NO ORIENTABLE - LA PROPIEDAD MÁS IMPORTANTE DE LA

BANDA DE MÖBIUS ES QUE TIENE UNA ÚNICA CARA Y UN UNICO BORDE

. FUE CO-DESCUBIERTA EN FORMA INDEPENDIENTE POR LOS MATEMÁTICOS ALEMANES AUGUST FERDINAND MÖBIUS Y JOHANN BENEDICT LISTING EN 1858.

BANDA DE MOEBIUS• Es una superficie que sólo posee una cara: Si se colorea la superficie

de una cinta de Möbius, comenzando por la «aparentemente» cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.

• Tiene sólo un borde: Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad del borde.

• Es una superficie no orientable: Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.

• Otras propiedades: Si se corta una cinta de Möbius longitudinalmente, se obtienen resultados diferentes, según dónde se efectúe el corte.

BANDA DE MOEBIUS• Una forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un

subconjunto de es mediante la parametrización:

donde

• En coordenadas cilíndricas , se puede representar una versión sin frontera (abierta) de la banda de Möbius mediante la ecuación: