UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE CIENCIAS Y SISTEMAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

TAREA DE MATEMATICA I

UNIDAD: LIMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

I. DEFINICION DE LIMITE.

1. En los siguientes ejercicios se da f(x), L, a y limx→af ( x ) = L

. Determinar un número

para la dada tal que | f ( x ) − L |< ε siempre que 0 < | x − a | < δ .

a) limx → 3

(2x + 4 ) = 10 , ε= 0.001 b)

limx →−1

( 3− 4 x ) = 7 , ε = 0 .02

c) lim x2x → 3

= 9 , ε = 0.005

2. Demostrar que el límite es el valor especificado:

a)limx → 1

(5x − 3) = 2 . b)

limt → 6

tt − 3 c)

limr → 2

r2 = 4

II. TEOREMAS SOBRE LIMITES.Hacer uso de los teoremas para evaluar los siguientes límites:

1. limx → 3

√x + 1x −4 2.

limx →−1

x2 − 2xx 3.

limx → 1

x2 + x −2x2 −1 4.

limh → 0

( x + h )3 − x3

h

5. limx → 2

x2 − 2xx2 − 6x + 8 6.

limx → 1

x3 − 3 x + 2x 4 − 4 x + 3 7.

limx → 2

√x − √2x − 2 8.

limx → 1

3√x − 1x −1

9. limx → 7

2 − √ x − 3x2 − 49 10.

limx → 0

√1 + x − √1− xx 11.

limh → 0

√x + h − √ xh

12. lima → 0

3√x + a− 3√xa 13.

limx → 0

√1 + x − 13√1+ x − 1 14.

limx → 3

√x + 1 − 2x −3 15.

limx → 0

12 + x

− 12

x

16. limx → 2

x5 − 32x −2 17.

limx →−3

x3 + x2− 5x + 3x2 −2x − 15 18.

limx → 0

x3 − 6 x2 + 8xx2 + x

RESPUESTAS.

1) -2 2) -3 3) 3/2 4) 3x2 5) -1 6) ½ 7)

√24 8)

13 9)

− 156 10) 1 11)

12)

1

33√ x2 13)

32 14)

14 15)

−14 16) 80 17) – 2 18) 8

III. LIMITES LATERALES

Evaluar los siguientes límites:

1. limx→5+

x − 5x2 − 25 2.

limx→2−

2− x

x2 − 4 3. limx→4−

√ x − 2x − 4 4.

limx → 3+

| x − 3 |x − 3

RESPUESTAS: 1)

110 2)

−14 3)

14 4) 1

En los ejercicios siguientes, trazar la gráfica y encontrar si el límite indicado existe, si no existe, explicar la razón por lo cual no existe.

1.

f ( x ) = ¿ { 2 ; x < 1 ¿ {−1 ; x = 1 limx → 1

f ( x )¿ ¿¿ 2.

g( s ) = ¿ { s + 3 ; s ≤ 2 ¿ ¿¿

3.

h(r ) = ¿ { 2 r + 3 ; r < 1 ¿ { 2 ; r = 1 limr → 1

h /r ) ¿¿¿ 4.

g( t ) = ¿ { 3 + t2 ; t < − 2 ¿ { 0 ; t = −2 limt → −2

g ( t )¿ ¿¿

5. f ( x ) = | x − 3 | ; lim

x → 3f ( x )

6. f ( x ) =

| x |x; limx → 0

f ( x )

RESPUESTAS.

1) No existe 2) No existe 3) 5 4) 7 5) 0 6) No existe

Pregunta al estudiante: ¿Es igual la función del ejercicio 6 a la función signo? Explique su respuesta.

IV. LIMITES AL INFINITO

Calcular los siguientes límites:

1) limx → +∞

3x + 42x + 9 2)

limx →− ∞

5 x3+ 7 x2 + 8 x + 42 x3 − 4 x 3)

limy →+ ∞

3√ y2 + 4y + 4 4)

limx →− ∞

√ x2 + 4x + 4

5) limx →− ∞ √ x2 + 9

x2 − 9 6) limx → +∞

(2 x+3 )3 (3x −2)2

x5 + 5 7) limx →− ∞

2 x + 3

x + 3√x

8) limx → +∞

√x + √x + √x√x + 1 9)

limr → +∞

√r√r + √r+ √r 10)

limx → +∞

( √x2 + 1 − x )

11) limx → +∞

( √x2 + 1 − √ x2 − 1 ) 12)

limx → +∞

(3√x3 + x −

3√x3 + 1 )

13) limx → +∞

x ( √ x2 + 1 − x ) 14)

limx →− ∞

( x + √x2 + 3 )

RESPUESTAS.

1)

32 2)

52 3) 0 4) -1 5) 1 6) 72 7) 2 8) 1 9) 1 10) 0 11) 0 12) 0 13) 1 14) 0

V. LIMITES INFINITOS.

Calcular los siguientes límites:

1) limx →3

xx − 3 2)

lims → 9

4 s2

s2 − 81 3) limx → 0

√3 + x2

x 4) limx → − ∞

5 x3 − 12 x + 74 x2 − 1

5) limx → −∞

x (√ x2 + 1 − x ) 6)

limx → 0 [ 1x −

1

x2 ] 7) limx → 4+

x2

x2 − 16

8) limx → 0 [ x2 − 1

x ] 9) limx → 1

x2 − xx3 − x2 + x − 1

10) Sean f ( x ) = 1

( x − 4 )2, g ( x ) = x2 − 5 x

, calcular el límite que se indica:

a)limx →4

f ( x ) b)

limx →4

g (x ) c)

limx →4

[ f ( x ) + g (x )] d)

limx →4

[ f ( x ) . g ( x )]

e) limx → 4

f (x )g( x ) f)

limx → 4

g ( x )f ( x )

11) Hallar funciones f y g tales que limx → c

f ( x ) = ∞, limx → c

g( x ) = ∞ pero

limx → c

[ f ( x ) − g( x ) ] ≠ 0.

RESPUESTAS.1) 2) 3) 4) - 5) + 6) - 7) + 8) 9) 10 a) + 10b) -4 10c) + 10d) - 10e) - 10f) 0

VI. INFINITESIMOS E INFINITOS.

1) Determinar el orden infinitesimal respecto a “x” cuando x 0 de las funciones siguientes:

a)

2 x1+ x b) √ x + √ x c)

3√ x2 − √ x3 d) 1 - cos x e) tan x - sen x

2) Pruebe que cuando x 1 los infinitesimales 1 – x y 1 − 3√ x son del mismo orden. ¿Son equivalentes?

3) Demuestre que cuando x 0 los infinitesimales

x2 y son equivalentes.

Empleando este resultado, muestre que cuando | x |es pequeño, se verifica que:

√1 + x = 1 + x2 .

4) Usando la fórmula anterior, calcule aproximadamente √1.06 , √0 .97 y √105) Demostrar que cuando x 0 se verifican las igualdades aproximadas siguientes:

a)

11 + x

= 1 − x b)

√a2 + x = a + x2a c) (1 + x )n≈ 1 + nx , donde n es un

número natural.

6) Partiendo de las fórmulas anteriores, calcular aproximadamente: 11.02

,11.05

, √15 , 0.934

VII. CONTINUIDAD EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO.

1. Dadas las funciones siguientes, trazar la gráfica, determinar los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y demostrar por qué no se satisface la continuidad.

a)f ( x ) = x2+ x −6

x + 3 b)g( x ) = x2− 4

x4 − 16 c)f ( x ) = ¿ {− 1 ; x < 0¿ { 0 ; x = 0 ¿ ¿¿

d)

h( x ) = ¿ { x − 3| x − 3 |

; x≠ 3 ¿¿¿ e)

g( x ) = ¿ { 1 + x ; x ≤ −2¿ { 2 − x ; − 2 < x ≤ 2 ¿¿¿2. Analizar la continuidad de cada función en el intervalo que se indica:

a) g( x ) = √ 25 − x2 , [−5 , 5 ] b) f ( t ) = 3 − √9 − t2 , [ −3 , 3 ]

c) f ( x ) = ¿ { 3 − x ; x≤ 0 ¿¿¿

d) g( x ) = √2− x ; (− ∞ , 2 ]

e)

H ( x ) = ¿ {x3 − 1x − 1; x≠ 1¿ ¿¿

f) G( x ) = √x2 − 16 ; [3 . + ∞)

3. En los ejercicios siguientes, encontrar el valor de la constante “a” o las constantes “a” y “b” para que la función sea continua en toda la recta real.

a)f ( x ) = ¿ {x3 ; x ≤ 2¿ ¿¿

b)g( x ) = ¿ { 2 ; x ≤ 1¿ {ax + b ; −1 < x < 3 ¿ ¿¿

c)

h( x ) = ¿ { x2 − a2x −a; x ≠ a ¿ ¿¿

4. Analizar la continuidad de la función compuesta h( x ) = f ( g( x ) )

a) f(x) = x2, g(x) = x – 1 b) f ( x )= 1

√ x, g( x ) = x − 1

c) f ( x )= 1

x −6, g( x )= x2 + 5

VIII. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS.

1. Explicar por qué las funciones siguientes tienen un cero en el intervalo dado:

a) f ( x ) = x4

16− x3 +3 ; [1 , 2 ]

b) f ( x ) = x3 + 3 x − 2 ; [0 , 1 ] 2. Verificar que el teorema del valor intermedio es aplicable en cada una de las siguientes funciones en el intervalo indicado y encontrar el valor de “c” garantizado por el teorema.

a) f ( x ) = x2 + x − 1 ; [0 , 5 ] f ( c ) = 11 b) g( x ) = x2 − 6 x +8 ; [0 , 3 ] ; g(c ) = 0

c) h( x ) = x3 − x2 + x − 2 ; [0 , 3 ] ; h (c )= 4 d)F ( x ) = x2 + x

x − 1; [ 52 , 4 ] ; F (c ) = 6

3. Utilizar el teorema del valor intermedio para demostrar que entre todas las esferas

cuyos radios pertenecen al intervalo [1 , 5 ] hay una con volumen de 275 centímetros cúbicos.

IX. TIPOS DE DISCONTINUIDAD.

En los ejercicios que siguen demostrar que la función es discontinua en el número “a”, luego clasificar el tipo de discontinuidad que posee. Si la discontinuad es removible, redefinir f(a) de manera que la función se vuelva continua en “a”.

1. f ( x ) = 9x2 − 4

3x − 2; a = 2

3 2. g( x ) = ¿ {| x − 3 | ; x ≠ 3 ¿¿¿

3. f ( x ) = √ 2 + 3√x − 2

x − 8; a = 8

4. f ( t ) = ¿ { t2 − 4 ; t ≤ 2 ¿¿¿

5. f ( y ) = √ y + 5 − √5

y; a = 0

6. f ( x ) =

3√x + 1 − 1x

; a = 0

7. f ( x ) = x + 2

x + 1; a = 1

8. g( x ) = x − 7

x3 − x2 − 11 x + 3; a = − 3

¿Qué valor debe asignarse a la función f ( x ) = √ 5 + x − 3

x − 4 para que la discontinuidad

que posee en x = 4 sea evitable? Respuesta.

16 .

X. ASINTOTAS DE UNA FUNCION.

Encontrar las asíntotas horizontales, verticales u oblicuas si las hay y trazar la gráfica de cada función.

a) f ( x ) = 2

x−3 b) g( x ) = −3

( x + 2 )2 c) h( x ) = 2x

6 x2 + 11 x − 10

d) f ( x ) = 1

x2 + 5 x − 6 e) h( x ) = x2

4 − x2 f) f ( x ) = 2

√ x2 − 4

g) g( x ) = x

√x2 − 9 h) h( x ) = 4 x2

√ x2 − 2 i) y3 = 6 x2 + x3

x3

j) f ( x ) = x2

1 + x k) 2y (x + 1)2 = x3 l) y3 = a3 - x3

XI. LIMITES DE FUNCIONES TRASCENDENTALES.

Calcular los siguientes límites:

1) limx → 0

sen 5xsen 2x 2)

limx → −2

tan π xx + 2 3)

limx → 0

1 − cos x

x2 4) limh → 0

sen ( x + h ) − sen xh

5)

limx → π

3

1 − 2 cos xπ − 3 x

6) limx → 0

tan x − sen x

x3 7) limx → 0

x − sen 2 xx + sen 3 x 8)

limx → 1

cosπ x2

1− √x

9) limx → 0

1 − √cos xx2 10)

limx → 0

√ 1 + sen x − √ 1 − sen xx 11)

limx → ∞

( 1 + 2x

) x

12) limx → ∞ ( x − 1

x + 3 ) x + 2

13) limx → 0

( 1 + sen x )1x

14) limx → ∞ ( x2 + 2

2 x2 + 1 ) x 2 15)

limx → 0

( 1x ln √ 1 + x1 − x )

16) limx → 0

ln ( cos x )x2 17)

limx → 0

eax − ebx

x

18) limx → 0

1 − e− x

sen x 19)

limx → 0+

1

1 + e1x 20)

limx → 0

sen hxx 21)

limx → +∞

tan hx

22) lim

x → − ∞tan hx

23) limx → a

sen x − sen ax − a 24)

limx → a

cos x − cos ax − a

RESPUESTAS

1)

12 2) π 3)

12 4) cos x 5)

−1√3 6)

12 7)

−14 8) π 9)

14 10) 1 11) e2

12) e-4 13) e 14) 0 15) 1 16)

−12 17) a – b 18) 1 19) 0 20) 1 21) 1 22)- 1

23) cos a 24) - sen a

Utilizando infinitesimales o infinitos, evaluar los siguientes límites:

1) limx → 0

3 x2 tan x( sen 3 x )3 2)

limx → 0

tan (sen 2x )sen ( tan 3 x ) 3)

limx ← 0

sen 2 x √ x tan x2 x2 √1 − cos x

4) limx → 0

( sen 3x ) ( sen 5x )( x − x3 )2 5)

limx → 0

ln x1− x 6)

limx → 0

cos x − cos 2x1 − cos x

RESPUESTAS. 1)

19 2)

23 3)

1

√2 4) 15 5) -1 6) 3

Determine los puntos de discontinuidad de las funciones siguientes:

a) f ( x ) = tan

1x b) g( x ) = 1 + 2

1x

Determine si las funciones siguientes poseen al menos una raíz en el intervalo indicado:

a) f ( x ) = x + sen x en [ −π2,π2 ] b) g( x ) = e x − x en [ 0 , 1 ]

c) h( x ) = cos x + x en [ 0 ,π2 ] d) f ( x ) = ln x − x2 en [ 1 , 3 ]

ELABORADO POR: MSC. ROGER GARCIA GUEVARA24 de mayo de 2013−−