Ejercicios Resueltos[1]
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Problemas resueltosFACTORIAL 2.1. Calcular 4!, 5!, 6!, 7! Y 8!4! 5! 6! l' 2' 3' 4 12'3'45
=
24
7! 5'4! 524 120 8! 720
=
7' 6! 8' 7!
=
= 5040 8 5040 = 40.3207' 720
=
l' 2 34 5 6
=
6' 5!
=
6' 120
=
2.2.
Calcular:(i)
C) 13!1
11!'
C) 7! 11 I l '
m=or7! lO!
13!
m=
13' 12 11 10 9 8 7 6' 5 4 3 2 1 11'10'9'8'7'6'5'4'3'2'1 13 '12'11! 13! 13 '12 156 11!
=
13 '12
=
156
=
=
n11
7! 10' 9 8 71
=
1 10' 9 8
=
1 720
2.3. Simplificar:(i).. n!
(i)
n! (n-1)!'
(") (n11
+ 2) !n!
.
=_-
(n-1)1(n
n(n - l)(n - 2) .. 3' 2 1 (n l)(n - 2) ... 3' 2 1 (n
=
n
o, simplemente,
n! (n-1)!
n(n-1)! (n-1)!
=
n
+ 2)!n! .
+ 2)(n + l)n(n. n(n-1)(n (n+2)! n! _
- l)(n
(11)
~ 2) .. '3' 2 1 2)"'3'2'~
=
(n
+ 2)(n + 1)
=
n2
+ 3n + 2
o, simplemente,
(n+2)(n+1)'n! n!
=
(n+2}(n+1)
=
n2+3n+2
PERMUTACIONES, 2.4.
PRUEBAS
ORDENADAS
Si no se permiten repeticiones, (i) cuntos nmeros de 3 dgitos se pueden formar con los seis dgitos 2, 3, 5, 6, 7 Y 9? (ii) cuntos de stos son menores que 400? (iii) cuntos son pares? (iv) cuntos son impares? (v) cuntos son mltiplos de 5?En cada caso dibuje tres cajas
DDD
para representar un nmero arbitrario,
y luego escriba en ea-
da caja el nmero de dgitos que se pueden colocar all. (i) La caja de la izquierda se puede llenar de 6 maneras; luego, la caja del medio puede llenarse de 5 maneras; y, finalmente, la caja de la derecha puede llenarse de 4 maneras: meros. (ii)
0 0 0;
As hay 6' 5' 4
=
120 n-
La caja de la izquierda puece llenarse de dos maneras solamente, por 2 3, puesto que cada nmero debe ser menor que 400; la caja de la mitad puede llenarse de 5 maneras; y, finalmente, la caja de la derecha puede llenarse de 4 rnaneras:
0 0 0
As hay 2' 5' 4
=
40 nmeros.
(iii)
La caja de la derecha puede llenarse de dos maneras solamente, por 2 y 6, puesto que los nmeros deben ser pares; la caja de la izquierda puede llenarse de 5 maneras; y, finalmente, la caja de la mitad puede llenarse de 4 maneras:
o 0 0
Por consiguiente hay b' 4' 2
= =
40 nmeros.
(iv)
La caja de la derecha puede llenarse de slo 4 maneras, por 3, 5, 7 9, puesto que los nmeros deben ser impares; la caja de la izquierda puede llenarse por lo tanto de 5 maneras; y, finalmente, la caja de la mitad puede llenarse de 4 maneras:
0 0 0
As hay .5' 4' 4
80 nmeros.
(v)
La caja de la derecha puede llenarse de I manera solamente, por 5, puesto que los nmeros deben ser mltiplos de 5; la caja de la izquierda puede llenarse por lo tanto de 5 maneras; y, finalmente, la caja del medio puede llenarse de 4 maneras:
0 0 [2J.
O sea que hay
5 4 ~ 1
=
20 nmeros.
2.5. De cuntas maneras se puede acomodaralrededor de una mesa redonda?(i) (ii) Las siete personas pueden distribuirse
una reunin de 7 personas, (i) en una fila de 7 sillas? (ii)
en una fila de 7, 6' 5 4 3 2 1
=
7!
maneras. pueden acomodarse en un crculo de (n de 1)
Una persona puede sentarse en cualquier puesto en la mesa redonda. 6 5 4 3 2 1 6! maneras alrededor de la mesa.
=
Las otras seis personas pueden distribuirse
(n -
Este es un ejemplo de permutacion circular. 2) ... 3' 2, 1 (n I)! maneras.
=
En general, n objetos
2.6.
(i) De cuntas maneras 3 nios y 2 nias pueden sentarse en una fila? (ii) pe cuntas maneras pueden sentarse si los nios se sientan juntos y las nias tambin? (iii) De cuntas maneras pueden sentarse en fila si justamente las nias se sientan juntas?(i) (ii) Las cinco personas pueden sentarse en una lila de 5, 4 3 2 1
=
5!
= =
120 maneras
Hay 2 maneras para distribuirlos segn el sexo: HHHMM o MMHHH. 3 2 1 = 3! = 6 maneras, y las nias pueden sentarse de 2 1 2, 3! 2! = 2 6 2 = 24 maneras.
En cada caso los nios pueden sentarse de 2! = 2 maneras. As, en total hay
(iii)
Hay 4 maneras para distribuirlos segn el sexo: MMHHH, HMMHH, HHMMH, HHHMM. Obsrvese que cada manera corresponde al nmero O, 1, 2 3, de nios que se sientan a la izquierda de las nias. En cada caso los nios pueden sentarse de 3! maneras, y las nias de 2! maneras. As en total, hay 4' 3! 2! 4' 6 2 48 maneras.
=
=
2.7. Cuntas seales diferentes, cada una de 6 banderas colgadas marse con 4 banderas rojas idnticas y 2 azules idnticas?Este problema corresponde a permutaciones ras de las cuales 4 son rojas y 2 azules. con repeticin. Hay ~ 4. 2.
en una lnea vertical,
pueden for-
=
15
seales
puesto que hay 6 bande-
2.8. Cuntas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de cada una de las palabras: (i) tema, (ii) campana, (iii) estadsticas?(i) (ii) (iii) 4! = 24, puesto que hay 4 letras distintas. ~; = 840, puesto que hay 7 letras de las cuales 3 son a. _. _1.2! __ ., puesto que hay 12 letras de las cuales 3 son s, 2 son t, 2 son i y 2 son a.
2.9. (i) De cuntas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses y 2 italianos pueden sentarse en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? (ii) Resolver el mismo problema si se sientan en una mesa redonda.(i) Las cuatro nacionalidades pueden ordenarse en una lila de 4! maneras. En cada caso los 3 americanos pueden sentarse de 3! maneras; los 4 franceses, de 4! maneras; los 4 daneses, de 4' maneras; y los 2 italianos, de 2' maneras. As que, en total, hay 4!3'4!4!2' = 165.8880rdenaciones. Las 4 nacionalidades pueden distribuirse en un crculo de 3' maneras (ver problema 14.4 sobre permutaciones circulares). En cada caso los 3 americanos pueden sentarse de 3! maneras; los 4 franceses, de 4! maneras; los 4 daneses, de 4' maneras; y los 2 italianos de 2! maneras. O sea que, en total, hay 3'3'4!4'2' = 41.472 ordenaciones.
(ii)
26 "
TECNICAS
DE CONTAR
[CAP.
2
2.10. Su pngase que una urna contiene 8 bolas. Hallar el nmero de pruebas ordenadas(i) con sustitucin,(i)
de tamao
3,
(ii) sin sustitucin.ordenada puede escogerse de 8 maneras; entonces hay
Cada bola de la prueba con sustitucin.
8-8 -8
=
83
=
512 pruebas
(ii)
La primera bola de la prueba ordenada maneras. Por lo tanto hay 8 - 7 - 6
=
puede ser escogida de 8 maneras, 336 pruebas sin sustitucin.
la siguiente
de 7 maneras
y la ltima de 6
2.11. Hallar(i)
n si (i) P(n, 2)
= 72, (ii)=n' n;
P(n. 4)o sea
=
42P(n. 2), (iii) 2P(n, 2)n
+ 50=O
=o
P(2n. 2).(n 9)(n
P(n. 2)
=
n(n -
1)
n' -
=
72
o
n
! -
n -
72
+
8)
=
O.
Puesto que n debe ser positivo,
la nica respuesta y P(n,2)
es n = 9. - 1). O sea (n - 2)(n - 3) (n - 9)(n
(ii)
P(n,4)
= n(no
- l)(n
- 2)(n - 3)
= n(n5n -
n(n - l)(n
- 2)(n - 3) 5n
=
42n(n - 1)
o. si
n ~ O, ~ 1,
=
42
n2 -
+6 =n 2n y
42
o
n2 -
36
==
O
o
+ 4)
=
O
Puesto que n debe ser positivo,
la nica respuesta P(2n,2) o 2n2 -
es n = 9. 1) 4n2 - 2n. 2n o Entonces
(iii) P(n,2)
= n(n
- 1)
2(n2 - n)
+ 50
= n2 = 4n2
= 2n(2n2n
+ 50 =
4n2 -
50
=
2n2
o
n2
=
25
Puesto que n debe ser positivo,
la nica respuesta
es n = 5.
COEFICIENTE 2.12. Calcular:
DEL BINOMIO (i)
y TEOREMA (iii) (~5).
C3
6
),
(ii) (~2),
Recordemos
que hay tantos
factores en el numerador
(i)
(ii)
C C2)6
3
)
=
16 - 15 - 14 1-2-3
=
560
(iii)
e
como en el denominador.
5) 5
=
15-14-13-12-11 1-2-3-4-5
=
3003
4
=
12 - 11 - 10 - 9 1-2-3-4
=
495
2.13. Calcular:()
(i) (~),_ 8-7-6-5-4 - 1-2-3-4-5'que 8 -
(ii) (~),_ 56
C') 111
CO)6'calcular tam bin (:) como sigue:
(8) 5
Observamos
5 = 3; o sea que podramos
(:)(ii)Ahora 9 - 7
=
G)=
=
8-7-6 1- 2 - 3
=
56
= 2;=4;
entonces
7 (9)
= (9)2 = 9-8_ 2 1e40)
36.
(iii) Ahora 10 - 6
luego
(~O)=(2x1
10 - 9 - 8 - 7 1-2-3-4
=
210.
2.14. Desarrollar(2x
y simplificar:
+ y2)5.1-2.(2x)3(y2)2
+ y2)5
= =
(2X)5
5 5-4 + - (2X)4(y2) + -
5-4 + -
1-2
(2X)2(y2)3
5 + _(2X)(y2)4 + 1
(y2)5
32xs
+
80X4y2
+
80x3y4
+
40x2y6
+
10xy8
+
ylO
CAP. 2)
TECNICAS
DE CONTAR
27
2.15. Desarrollar y simplificar: (x2(x2 - 2y)8
-
2y)8.66 + __ 12(x2)4(-2y)2
=
(X2)8
6 + - (x2)~(-2y) 1
664 + --1"23
(x2)3(-2y)3 (-2y)8 192x2y~
=2.16. Probar:
66 6 + (X2)2(-2y)4 + - (x2)(-2y)~ + 1"2 1 xI2 - 12xlOy+ 60x8y2 - 160x8y3 + 240x4y4 -
+
64y8
24(1
16
(~)+(~)+(~)+(:) +(!).el teorema del binomio:
Desarrollamos
+
1)4 Y empleamos
24
=
(1+1)4
=
G)14 +
+ (:}311 + G)
+ G)1212 + +
+ (:)1113
+ (:)14
G) G)2"17. Probar el teorema 2.6:Ahora
G) G)n! r!"(n-r)!'Para obtener el mismo
(n;(n) r
1)
=
(r ~ron!
1)
+ (;) .+r.deno-
(n) r-1
+
=
n! (r-1)!"(n-r+1)!
. rmna d or en am b as fracci racciones,
. mu Iup l'icarnos la pnmera a nri
fr accion por -'. y Ia segun d a fraccion por r " r acci
n- r n -.r
+1 l'
E ntonces
(.,.:1)+(;)
+r
r : (r -
1)! " (n -
+ 1)!
(n-r+1)"n! r! " (n - r + 1) " (n - r)!
ron! r!(n-r+1)!
+
(n-r+1)"n! r!(n-r+1)! _
r"n!+(n-r+1)"n! r! (n - r + 1)!
-
[r+(n-r+1)]"n! r! (n - r + 1)!
=
(n + l)n! r!(n-r+1)!
_ -
(n + 1)! r!(n-r+1)!
_-
(n r
+ 1)
2.18. Probar el teorema del binomio 2.5: (aEl teorema es cierto para n = 1, puesto que
+ b)"
=
(;)an-r
br
r=OSuponemos
~ (1)r
al-r br
(!) al bO + G) aOb+ b)n y probamos
l
a
+
b = (a+ b)1+ b) n+l.
que el teorema
(a+b)n+l
se cumple para (o
(a+b)(a+b)" = (a+b)[an + (~)an-lb=que contiene b" se obtiene de
que es cierto para (o
+ ... + (r:1)an-r+lbr-l + .. , +
+ (;)an-rbrAhora el trmino del producto
(~)abn-l+
+
bn]
b[(.,.:l)a,,-r+lbr-l]
+
a[(;)an-rbr]
=
(".:1)an-r+1br
(:)an-r+1br
= [ (".:
1) + (:)]
an-r+l br
28
TECNICAS
DE CONTAR
[CAP.
2
Pero, por el teorema Observamos que (a
2.6, r _ 1
(n)
+ r
(11) = (n+1) rpolinomio
.
O sea el trmino
que contiene
b" es
(n+1) r
an-r+
1 br
+ b)(a + b)n es un(a+b)n+l
de grado n
+
l en b. En consecuencia,
=
(a+b)(a+b)n
=
n+l(n+1) ~r=O
r
an-r+1br
lo cual se quera demostrar.
2.19. Calcular
los coeficientes (i)
multinomiales
siguientes: (ii)
(3,~, 1)'8!
(4, 2~2,o),=60
(iii)
(5, 3~02, 2)
(i)
(3,:,1) 8) ( 4 , 2 , 2, O ,,( La expresin
=
6! 3! 2! 1!
1>'54'3'2'1 3'2'1,2'1'1
(i)
= 4! 2! 2! O! = 4' 3 2 1 2 1 2 1 110 ). no tiene senu 'd o puesto que 5 5,3,2,2
8'7'6'5'4'3'2'1
= 420~ 10.
(iii)
+3 +2 +2
COMBINACIONES 2.20. De cuntas maneras puede escogerse grupo de 7 hombres y 5 mujeres? un comit, compuesto de 3 hombres y 2 mujeres, de un
De los 7 hombres
se pueden escoger 3 de (;)
maneras,
y de las 5 mujeres se pueden escoger 2 de (:)
maneras.
Por consiguiente
el comit puede escogerse
de (7)(5) 2 3
= 7'6'52 3 54 2 = 350 maneras. 1 1
2.21. Una delegacin de 4 estudiantes de un colegio se selecciona todos los aos para asistir a la asamblea anual de la Asociacin de Estudiantes. (i) De cuntas maneras puede escogerse la delegacin si hay 12 estudiantes elegibles? (ii) De cuntas maneras si dos de los estudiantes elegibles no asisten al mismo tiempo? (iii) De cuntas maneras si dos de los estudiantes elegibles son casados y slo asistirn si van ambos?(i) (ii) Los 4 estudiantes pueden ser escogidos de los 12 de
12) ( 4
=
12' 11 10 9 l' 2' 3, 4
=
495 maneras.
Sean A y B los estudiantes
que no asisten juntos
a la asamblea.
Mtodo 1. '" SI no se Incluye a A ru a B. entonces maneras.
la delegacin
..
(puede escogerse de
10 4
)
= 10' 9 8' 74 = l' 2 3de 2' de 210
2100
Si uno de los dos A o B. pero no juntos,
es incluido, entonces
la delegacin
puede escogerse
=
10'9'8. 2 l' 2' 3
=
240 maneras.
Por lo tanto,
en total, la delegacin
puede ser escogida
+
(13 \ ) 240 = 450
maneras.
Mtodo 2. Si A y B son incluidos,
(10)entonces los otros 2 miembros de la delegacin pueden escogerse de 2
=
45
maneras. O sea que hay 495 - 45 = 450 maneras al tiempo. (iii) Llamemos
para que la delegacin
pueda escogerse
si A y B no se incluyen
e y D los estudiantes
casados. Si
e y D no van,
entonces
la delegacin
puede escogerse de (14 )
0
=
210
maneras. Si ambos e y D van, entonces la delegacin puede escogerse la delegacin puede escogerse de 210 + 45 = 255 maneras.
de
(10) 2
=
45 maneras.
En resumen,
~P. 2]
TECNICAS
DE CONTAR
29maneras de esco(iii) Cuntas, si
22. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. (i) Cuntas ger tiene? (ii) Cuntas maneras, si las 3 primeras preguntas son obligatorias? tiene que contestar 4 de las 5 primeras preguntas?(i) (ii) Las 8 preguntas Si contesta pueden seleccionarse preguntas,
.
de
(10)8
=
2
(10)~ =las otras
=
45 maneras. preguntas de (~)
10' 9
(7)2
7' = -- 6=1 2todas Por otra
las J primeras 21
entonces
puede escoger
5 de las 7 ltimas
=
maneras.
(iii)
Si contesta maneras.
las 5 primeras parte,
preguntas,
entonces
puede escoger
las otras
J de las 5 ltimas de (:)puede escogerlas de
si contesta
4 de las 5 primeras las otras de 6 5
preguntas,
enton~es de
(~) = 5consiguiente escoger.
maneras,
y puede
escoger
4 de las 5 ltimas
(4)
(!) =por para
=
10
= (~) =
6 maneras; diferentes
puede escoger las 8 preguntas
=
25 maneras.
O sea que tiene 35 maneras
.23. Hallar el nmero de subconjuntosMtodo l. El nmero de subconjuntos
de un conjunto X que contiene n elementos.( ) ; Por tanto, en resumen, hay est dado por
de X con r ~ n elementos
(~) + (;) + (;)subconjuntos Mtodo 2. Hay dos posibilidades para cada elemento de X. La suma anterior (problema
+ ... +
(n ~1) + (:)de X. o no pertenece; por consiguiente hay
2.51) es igual a 2", o sea que hay 2" subconjuntos
de X: o pertenece
al subconjunto
~maneras de formar un subconjunto
.n veces 2
2' 2
=
2"diferentes de X.
de X. o sea, hay 2" subconjuntos
:.24. De cuntas manerasMtodo 1.
puede un profesor escoger uno o ms estudiantes
de seis elegibles?
Segn el problema anterior, hay 26 = 64 subconjuntos del conjunto de seis estudiantes. Sin embargo, el conjunto vaco debe ser excluido puesto que se escogen uno o ms estudiantes. En consecuencia hay 28 - I = 64 - I = 63 maneras de escoger los estudiantes. Mtodo 2. Puesto que se escogen o uno, o dos, etc., o seis estudiantes; entonces, el nmero de maneras de escoger es
G) + (:) + G) + (!) + G) + G)fJARTICIONES ORDENADAS los otros recibe 2?Buscamos el nmero teorema 2.9, hay __ 7_1_ de particiones ordenadas
=
6
+
15
+
20
+
15
+
6
+
1
=
63
Y DESORDENADAS
US. De cuntas maneras se pueden repartir 7 juguetes entre 3 nios si el menor recibe 3 y cada uno dede 7 objetos en clulas de 3, 2 y 2 objetos respectivamente. Por el
~I 2! 21
= 210 de dichas
particiones
.
30
TECNICAS
DE CONTAR
[CAP.
2.26. En una clase hay 12 estudiantes. De cuntas maneras los 12 estudiantes bas diferentes si a cada prueba le corresponden 4 estudiantes?Mtodo l.Buscamos Por el teorema el nmero 2.9, hay de particiones ordenadas de 12 estudiantes
pueden presentar
3 pru
en clulas que constan
de 4 estudiantes
cada u
4/4 /4'
2
=
34.650 de tales particiones.
Mtodo 2.Hay
(~2)
maneras
de escoger que tomen
4 estudiantes la segunda
que tomen prueba.
la primera
prueba;
a continuacin la tercera presenten
hay prueba.
(!)
ma
ras de escoger por todas,
4 estudiantes
El resto de estudiantes para
toma
O sea q
2 hay (14 )
(!) =
49570
=
34.650 maneras
que los estudiantes
las pruebas.
2.27. De cuntas maneras 12 estudiantes cada equipo conste de 4 estudiantes.Mtodo l.Observamos una particin hay 34.650/6 que cada particin Puesto
pueden repartirse
en 3 equipos, Al' A2 Y A3' de suerte q
I Al,
A2, A31 de estudiantes anterior) hay
ordenada.
= 5775 particiones
que (ver problema (no ordenadas).
4,14 "4'. .
puede distribuirse 2
de 3! = 6 maneras
lo mismo ordenad
=
34.650 de tales particiones
.
Mtodo 2.Denotemos por A uno de los estudiantes. de A. Ahora denotemos entre los restantes, equipo. Entonces hay estn en el mismo equipo hay (~) maneras
(11) 3
maneras
de escoger
los otros
3 estudiantes
q
por B a un estudiante 3 estudiantes
que no sea del mismo equipo de A; enton equipo de B. Los 4 estudi:
d escoger,
que estn en el mismo hay
tes que quedan constituyen repartir los estudiantes.
el tercer
As, en total
(11).3
(7)3
=
16535
=
5775 maneras
2.28. Probar el teorema 2.9: Sea A compuesto de n elementos con n1 + n2 + ... + nr n. Entonces existen
=
y sean n1, ns, ....
n; enteros positiv
n! nd n2 !n3! ... nr!particiones ordenadas diferentes de A de la forma (Al, A2, , Ar) donde Al contiene ni elem tos, A2 contiene ns elementos, .. ,y Ar contiene n; elementos.Empezamos ~ n n1 elementos con los n elementos que sobran, de A; hay (:) A"1
maneras Al,ni
de seleccionar
la clula Al, hay
o sea, la diferencia
Y por consiguiente - n )1-1
e,
En seguida maneras
de esto, h de seleccion
n1)
A2. Similarmente,
para i = 3, ... , r, hay
n - n (
...
maneras
de seleccionar
Aj. As hay
(~)(n
:2n1)(n
-:~
- n2) ...
(n -
n1 - ~:.
- nr-1)
(t,
diferentes
particiones
ordenadas
de A. Ahora (*) es igual a
n'n1! (n-n1)!Pero esto es igual a tor del denominador
(n - n1)! n2! (n- n1 - n2)!puesto que cada numerador
(n-n1-
.,.
-nr-1)! -n )!T
nr! (n-n1-'"despus del primero
n1!~!
n! ...
nr!
se simplifica
con el segundo
faci
que le precede y como
(n - n1 - ... - nr)!
= O! = 1.
Entonces
el teorema
queda probad
p.2J
TECNICAS
DE CONTAR
31
IAGRAMAS DE ARBOL19. Construir el diagrama de rbol para el nmero de permutaciones de I a, b, el.
~.