EJERCICIOS DE AUTOVALORES Y AUTOVECTORES...

Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012

1

EJERCICIOS DE AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

EJERCICIO 1. MATRIZ DIAGONAL

La matriz de un endomorfismo en 2R es 3 1

2 0A

1. Calcular los autovalores y su multiplicidad algebraica

2. Calcular los autovectores y su multiplicidad geométrica

3. Indicar de forma razonada si es diagonalizable la matriz y hallar una base en

la que la matriz resulta diagonal. Expresar esta matriz diagonal.

SOLUCIÓN: La ecuación característica es 0A I .

23 1

3 2 02

,

2( 1)( 2) 0

1

Autovalor M.A. M.G.

2 1 1

1 1 1

Por tanto al tener las raíces reales y coincidir la multiplicidad algebraica y la

geométrica para cada autovalor la matriz SI es diagonalizable.

Para 1 1 0 1

2; 0 ;2 2 0 1

xx y u

y

vector propio

Para 2 1 0 1

1; 2 0 ;2 2 0 2

xx y v

y

vector propio

Tomando como nueva base la formada por los autovectores ' , :B u v

1 2

1 1

1 2u v e e

siendo la matriz de cambio de base

1 1

1 2P

Haciendo 1

2 1 3 1 1 1 2 0

1 1 2 0 1 2 0 1P AP

Los autovalores van situados en la diagonal principal.


2

EJERCICIO 2: MATRIZ DIAGONAL

1. Calcula los autovalores y autovectores de la matriz 1 1

1 1A

2. Calcula el núcleo y la imagen

3. ¿En qué base la matriz es diagonal? ¿Cuál es la matriz diagonal?

Solución

Expresión matricial

1 1

2 2

1 1

1 1

y x

y x

Como el ( ) 1rg A se verifica que dim(ker ) 2 1 1f n r .

La ecuación implícita del núcleo es 1 2 0x x

Las ecuaciones paramétricas del núcleo son 1

2

x

x

Una base del núcleo es ker

1

1f

u

B

1 2u e e

Una base del subespacio imagen: Im

1

1fB

que es una columna de la

matriz A . 1 2v e e

Se verifica

dim(ker ) dim(Im ) dim( )f f E

n r r n

Para calcular los autovalores

21 1

2 ( 2) 01 1

A I

Para los autovalores 1

2

0 ; (1, 1)

2 ; (1,1)

t

t

u

v

En una base formada por autovectores 11 1 0 0

;1 1 0 2

P P A P

Es posible diagonaluzar la matriz ya que coinciden M.A. y M.G.

Autovalor M.A. M.G.

0 1 1

2 1 1


3

EJERCICIO 3. NO DIAGONALIZABLE

En R2 se da el endomorfismo definido 1 2 2 1 2( , ) 2 , 2 4f x x x x x

Expresión matricial. Núcleo e Imagen. ¿Se puede diagonalizar la matriz?

SOLUCIÓN

La matriz del un endomorfismo en 2R es 0 2

2 4A



3. Indicar de forma razonada si es diagonalizable la matriz.


Por tanto el polinomio característico tiene la raíz real 2 de multiplicidad

algebraica 2.

Para 2 2 0 1

2; 0 ;2 2 0 1

xx y u

y

vector propio

Al calcular la multiplicidad geométrica para el autovalor 2 resulta

2 2

22 2

A I

con rango 1. Por tanto M.G.= 2 1 1n r que no

coincide con la M.A. luego NO es diagonalizable.

Autovalor M.A. M.G.

2 2 1

EJERCICIO 4. NO DIAGONALIZABLE

Sea el endomorfismo en 2R

1 2

1 2

( )2 1 ( )

0 1

1 0f e f e

f e eA

f e e

Indicar de forma razonada si es diagonalizable la matriz. Calcular Imagen y

núcleo.

2 22

4 4 0 ( 2) 02 4


4

SOLUCIÓN: La ecuación característica es 20 ; 1 0A I que no

tiene raíces reales por tanto NO es diagonalizable en .

La Imagen es 2 ya que dim(Im ) ( ) 2f rg A . Aplicación sobreyectiva

El núcleo es por tanto ker 0f Aplicación inyectiva

La aplicación es por tanto biyectiva

EJERCICIO 5. DIAGONALIZABLE

La matriz de un endomorfismo en 3R es

3 1 1

0 2 0

1 1 3

A



3. Indicar de forma razonada si es diagonalizable la matriz y hallar la base en la

que la matriz resulta diagonal. Expresar esta matriz diagonal.


2

3 1 13 1

0 2 0 2 2 6 8 01 3

1 1 3

A I

El polinomio característico es 3 2 28 20 16 ( 2) ( 4)

Por tanto el polinomio característico 2( 2) ( 4) 0 tiene las raíces:

2 de multiplicidad algebraica 2 ; 4 de multiplicidad algebraica 1

Para 4

1

1 2 3

2

2

3

3 4 1 1 00

0 2 4 0 00

1 1 3 4 0

xx x x

xx

x

1

2

3

0

x a

x

x a

Para 4 , M.A. =1. Autovector 1 (1,0,1)tu . M. G.= 3 2n r =1.

Para 2 1

2 1 2 3

3

3 2 1 1 0

0 2 2 0 0 0

1 1 3 2 0

x

x x x x

x

1

2

3

x

x

x


5

Para 2 , M.A.=2. Autovectores 2

3

(1,1,0)

(0,1,1)

t

t

u

u

M.G.= 3 1n r =2.

Autovalor M.A. M.G.

2 2 2

4 1 1

Por tanto como las raíces del polinomio característico están en R y la suma de

multiplicidades algebraicas coincide con la dimensión del espacio vectorial que

es 3, además para cada autovalor la multiplicidad algebraica y geométrica

coinciden, el endomorfismo es diagonalizable.

Tomando como matriz P de cambio de base la formada por los autovectores

escritas sus coordenadas por columnas, al hacer el cambio de base, resulta

una matriz diagonal, figurando en la diagonal principal los autovalores repetidos

tantas veces como indica su multiplicidad algebraica y en el orden en que se

eligieron los autovectores.

1 32

1

1 2 3 1 2 3

1 1 1

2 2 21 1 0 1 1 01 1 1

0 1 1 ; 0 1 1 ;2 2 2

1 0 1 1 0 11 1 1

2 2 2

u uu

u u u e e e P P

1

1 1 1

2 2 2 3 1 1 1 1 0 4 0 01 1 1

0 2 0 0 1 1 0 2 02 2 2

1 1 3 1 0 1 0 0 21 1 1

2 2 2

P A P

EJERCICIO 6:

La matriz de un endomorfismo de R3 es

4 2 1

2 0 1

1 1 1

A

Calcula los autovalores y autovectores. ¿Es diagonalizable la matriz?

SOLUCIÓN: La ecuación característica es 0A I


6

2

4 2 1

2 1 ( 1)( 2) 0

1 1 1

A I

Autovalores:1 ; de multiplicidad algebraica 1

2 ; de multiplicidad algebraica 2

1

1

1

3 2 1 0 10

2 1 1 0 ; 12 0

1 1 0 0 1

. . dim( ) 3 2 1

x xx y

A I y y B ux y z

z z

M G S n r

2

2

2

2 2 1 0 10

2 2 2 1 0 12 2 0

1 1 1 0 0 0

. . dim( ) 3 2 1

x xx y z

A I y y B ux y z

z z

M G S n r

Autovectores 1

2

1; ( 1,1,1) de multiplicidad geometrica 1

2 ; (1, 1,0) de multiplicidad geometrica 1

u

u

Autovalor M.A. M.G.

1 1 1

2 2 1

Como para el autovalor 2 , la multiplicidad geométrica es 1, no coincide

con la multiplicidad algebraica que es 2, la matriz A NO es diagonalizable. Si no es posible encontrar una base del espacio vectorial en la que la matriz del endomorfismo sea diagonal, al menos sí se puede conseguir una base en la que la matriz del endomorfismo sea triangular, figurando los autovalores en la diagonal principal de la matriz. La condición necesaria y suficiente es que las n raíces del polinomio característico pertenezcan al cuerpo K. Esto siempre es posible en el cuerpo de los números complejos. En este ejercicio si se elige como nueva base del endomorfismo los dos

vectores propios 1 2,u u y otro vector cualquiera la matriz asociada a esta nueva

base resulta triangular. Si se elige como tercer vector 3 (3, 1, 2)u La matriz

asociada a esta base 1 2 3, ,B u u u será A’ que tiene forma de Jordan

1 1 3

1 1 1

1 0 2

P

Se obtiene 1

1 0 0

' 0 2 1

0 0 2

A P A P

EJERCICIO 7


7

La matriz de un endomorfismo de R3 es

1 1 0

0 4 2

0 0 2

A

Calcula los autovalores y autovectores. ¿Es diagonalizable la matriz?

SOLUCIÓN:

La ecuación característica: 0A I

1 1 0

0 4 2 (1 )( 4 )( 2 ) 0

0 0 2

A I

El polinomio característico es ( 1)( 4)( 2) 0

Los 3 autovalores son de multiplicidad algebraica 1. Por tanto es

diagonalizable

1

1

0 1 0 0 1

0 5 2 0 0 0

0 0 3 0 0 0

. . ( ) 3 2 1

x x

A I y y B

z z

M G Dim S n r

2

1

3 1 0 0 1

2 0 2 2 0 3 3

0 0 0 0 3 3

. . ( ) 3 2 1

x x

A I y y B

z z

M G Dim S n r

4

1

5 1 0 0 1

4 0 0 2 0 5 5

0 0 2 0 0 0

. . ( ) 3 2 1

x x

A I y y B

z z

M G Dim S n r

1 (1,0,0) ; 2 (1,3,3) ; 4 (1,5,0)t t t


8

EJERCICIO 8.

Sea A es la matriz de un endomorfismo de R4 . ¿Es A diagonalizable?

2 0 0 0

0 0 0 0

0 2 2 3

0 0 0 1

A

SOLUCIÓN: La ecuación característica es 0A I

2

2 0 0 0

0 0 01 2 0

0 2 2 3

0 0 0 1

A I

El polinomio característico es 2( 1)( 2) 0

Los autovectores son:

11

22

3 30

ker4 4

1

02 0 0 0 0

0 0 0 0 1

0 2 2 3 1

0 0 0 1 00

. . dim( ) 4 3 1

f

xx

xxA B

x x

x x

M G S n r

11

22

3 31

4 4

1

03 0 0 0 0

00 1 0 0 0

0 2 3 3 1

0 0 0 0 1

. . dim( ) 4 3 1

xx

xxA I B

x x

x x

M G S n r

11

22

3 32

4 4

1

0 0 0 0 1 0

00 2 0 0 0 02

0 2 0 3 0 1

0 0 0 3 0 00

. . dim( ) 4 2 2

xx

xxA I B

x x

x x

M G S n r

1 (0,0, 1,1) ; 0 (0, 1,1,0)

2 (1,0,0,0) , (0,0,1,0)

t t

t t


9

Por tanto es diagonalizable ya que en el caso del autovalor 2 coinciden

la multiplicidad algebraica y la geométrica. Eligiendo como nueva base la

formada por los autovectores la matriz resulta diagonal con los autovalores

situados en la diagonal principal.

0 1 0 0

1 0 0 0

1 0 1 1

0 0 0 1

P

1

0 0 0 0

0 2 0 0

0 0 2 0

0 0 0 1

P A P

EJERCICIO 9: ENUNCIADO ESPECIAL

Se considera el endomorfismo de 4R referido a la base canónica 1 2 3 4, , ,e e e e

definido mediante

a) 0

ker : , , ,0

x y zf x y z t R

t

b) 4 4( )f e e

c) (1,1,1,0) (3,3,3,0)f

HALLAR:

1. Expresión matricial. Base del núcleo y de la Imagen.

2. Autovalores y Autovectores. ¿Es diagonalizable la matriz? ¿En qué base?

SOLUCIÓN

Expresión matricial

ker

1 0

0 1ker : ;

1 1

0 00

f

x

yf B

z

t

3 1 3

4 2 3

u e e

u e e

3 1 3 1 3 1 3( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )f u f e e f e f e f e f e

4 2 3 2 3 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )f u f e e f e f e f e f e

4 4( ) (0,0,0,1)f e e

1 2 3 1 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3(1,1,1,0)f e e e f e f e f e f e


10

1 2 3( ) ( ) ( ) 1,1,1,0f e f e f e ; 4 4( ) (0,0,0,1)f e e

Expresión matricial :

41 2 3 ( )( ) ( ) ( )

1 1 1 0'

1 1 1 0'

1 1 1 0'

0 0 0 1'f ef e f e f e

x x

y y

z z

t t

Base de la IMAGEN y NÚCLEO

Imagen: Im 1 2

1 0

1 0

1 0

0 1

fB u u

Núcleo: ker 3 4

1 0

0 1

1 1

0 0

fB u u

Autovalores y Autovectores. ¿Es diagonalizable la matriz? ¿En qué base?

2

1 1 1 0

1 1 1 00 1 3

1 1 1 0

0 0 0 1

A I

3 40 (1,0, 1,0) , =(0,1,-1,0) autovectores del núcleot tu u

21 (0,0,0,1) autovectoru ya que 4 4( )f e e

13 (1,1,1,0) autovectoru ya que (1,1,1,1) 3(1,1,1,1)f

1 0 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

0 1 0 0

P

; 1

3 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

P AP

Ejercicio 10. Propiedad Dos matrices semejantes tienen el mismo determinante que se denomina determinante del endomorfismo. Demostración

En efecto ya que si y 'A A son semejantes verifican 1'A P A P 1 1det( ') det( ) det( )det( )det( )A P AP P A P

Como el determinante de la inversa es el inverso del determinante se verifica

1det( ') det( )det( ) det( )

det( )A P A A

P


11

Ejercicio 11. En R3 referido a la base canónica se da el endomorfismo definido por la matriz

4 0 4

0 3 0

1 0 1

A

1. Expresión matricial. Calcula 2( )f e . ¿Es autovector 2e ?

2. Núcleo e Imagen 3. Calcula los autovalores y su multiplicidad algebraica 4. Calcula los autovectores y la multiplicidad geométrica 5. ¿En qué base la matriz es diagonal? ¿Cuál es la matriz diagonal? SOLUCIÓN

1. Expresión matricial:

11

22

3 3

4 0 4

0 3 0 ; , 0..3

1 0 1

i i

A

xy

xy y A x i

y x

0 4 0 4 0

3 0 3 0 1

0 1 0 1 0

Al calcular 2 2( ) 3f e e Por tanto el autovalor es 3.

2. Núcleo e Imagen Una base de la Imagen son las columnas de la matriz linealmente independientes

Im

4 0

0 3

1 0

fB

ya que 3 1C C

Para obtener una base del núcleo

11

1 3

2 2 ker

2

3 3

0 4 0 4 10

0 0 3 0 0 00

0 1 0 1 1

f

A

xxx x

x x Bx

x x

3. Calcula los autovalores y su multiplicidad algebraica

Ecuación característica: 0A I


12

4 0 44 4

0 3 0 (3 ) ( 3)(3 ) 01 1

1 0 1

2( 3) 0A I

Los autovalores son :

0 de multiplicidad algebraica 1 y 3 de multiplicidad algebraica 2. 4. Calcula los autovectores y la multiplicidad geométrica

Autovalores M. A. M.G.

1 0

1 1

2 3

2 2

Autovectores:

11

1 3

1 2 2Base

2Implícitas3 3

Paramétricas

4 0 4 0 10

0 : 0 3 0 0 0 00

1 0 1 0 1

x axx x

x x Bx

x x a

La multiplicidad geométrica es 0M.G. dim( ) 3 2 1S n r

11

2 2 1 3 2Base

Implícitas

3 3

Paramétricas

41 0 4 0 4 0

3: 0 0 0 0 4 0 0 , 1

1 0 4 0 1 0

xx

x x x x B

x x


Los autovectores son

1 1

2 2 3

1 4 00 ; (1,0,1)

0 0 13 ; (4,0,1) ; (0,1,0)

1 1 0

t

t t

uP

u u

La matriz diagonal es 1

0 0 0

0 3 0

0 0 3

P A P


13

EJERCICIO 12.

En el espacio vectorial R4 referido a la base canónica 1 2 3 4, , ,B e e e e se da

el endomorfismo 4 4:f R R definido por la matriz

2 1 0 0

0 2 1 0

0 0 2 0

0 0 0 0

A

a) Expresión matricial.

b) Calcula 4( )f e . ¿Es autovector 4e ? ¿Cuál es su autovalor?

c) Base del Núcleo y de la Imagen d) Calcula los autovalores y su multiplicidad algebraica e) Calcula los autovectores y la multiplicidad geométrica f) ¿En diagonalizable la matriz A? Justifica la respuesta. En caso afirmativo encuentra la matriz diagonal y una base en la que la matriz resulta diagonal.

g) Halla una base de ( )f V , imagen del subespacio 1 2 30 , 0V x x x e

interpreta el resultado obtenido. SOLUCIÓN

a) Expresión matricial

1 1

2 2

3 3

4 4

2 1 0 0

0 2 1 0

0 0 2 0

0 0 0 0

y x

y x

y x

y x

b) Calcula 4( )f e . ¿Es autovector 4e ? ¿Cuál es su autovalor?

0 2 1 0 0 0

0 0 2 1 0 0

0 0 0 2 0 0

0 0 0 0 0 1

Es por tanto 4e autovector ya que 4 4

0

0( ) 0

0

0

f e e

0


14

c) Base del Núcleo y de la Imagen La dimensión de la imagen es el rango de la matriz A. dim(Im ) ( ) 3f rg A r

1 2 3

Im

2 1 0

0 2 1

0 0 2

0 0 0

f

u u u

B

Las columnas de la matriz linealmente independientes

La dimensión del núcleo es:

dim( ) 4 3 1Kerf n r

11

1 2

22

2 3

3 3

3

4 4

00 2 1 0 0 02 0

00 0 2 1 0 02 0

00 0 0 2 0 02 0

0 0 0 0 0 1

Kerf

xxx x

xxx x B

x xx

x x t

d) Calcula los autovalores y su multiplicidad algebraica

3

2 1 0 0

0 2 1 0 0. simple(2 ) 0

0 0 2 0 2. triple

0 0 0

A I

e) Calcula los autovectores y la multiplicidad geométrica

Autovectores:

11

1 2

22

1 2 3 4Base

3 3

3Implícitas4 4

Paramétricas

02 1 0 0 0 02 0

00 2 1 0 0 00 : 2 0

00 0 2 0 0 02 0

0 0 0 0 0 1

xxx x

xxx x B e

x xx

x x t


Se trata del vector del núcleo

11

2

22

2 3 1Base

3 3

4Implícitas4 4

Paramétricas

0 1 0 0 0 10

00 0 1 0 0 02 : 0

00 0 0 0 0 02 0

0 0 0 2 0 00

xxx

xxx B e

x xx

x x



15

Autovalores M. A. M.G.

1 0

1 1

2 2

3 1

f) ¿En diagonalizable la matriz A? Justifica la respuesta. En caso afirmativo encuentra la matriz diagonal y una base en la que la matriz resulta diagonal. No es diagonalizable la matriz A porque no coincide la multiplicidad algebraica

con la geométrica en el caso del autovalor 2 2 .

g) Halla una base de ( )f V , imagen del subespacio 1 2 30 , 0V x x x

interpreta el resultado obtenido.

El subespacio V se puede expresar en ecuaciones paramétricas

1

2

Base3

4Paramétricas

1 0

1 0,

0 0 0

0 1

x

xV B

x

x

; Se halla la imagen de cada vector

2 1 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0

0 2 1 0 1 2 0 2 1 0 0 0;

0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

( )

1 1 2 1

2 2 0 2Im ya que

0 0 0 0

0 0 0 0

f VB f

El segundo vector al ser del núcleo tiene por imagen el vector nulo.


16

EJERCICIO 13.

Dada la matriz

2 0 1

0 1 0

1 0 0

A

asociada a un endomorfismo de 3R .

Obtener los autovalores y su multiplicidad algebraica. Obtener los autovectores y la multiplicidad geométrica. ¿Es diagonalizable la matriz? SOLUCIÓN

Ecuación característica 0A I

3

2 0 1

0 1 0 ( 1) 0

1 0

A I

. M.A.=3

Autovectores:

1 2

1 0 1 0 0 1

1; 0 0 0 0 0 ; 1 ; 0

1 0 1 0 0 1

x x a

y x z y b v v

z z a

1dim( ) 3 1 2S n r ; M.G.=2 (2 autovectores)

Como la multiplicidad algebraica. no coincide con la geométrica la matriz no es

diagonalizable.

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