EJERCICIO N° 4: HALLA LAS DERIVAS §i Y LOS DESPLAZAMIENTOS Δi EN CADA NIVEL. EN EL EDIFICIO DE LA FIGURA, SE CONOCEN LOS PESOS SISMICOS Wi DE LOS DIFERENTES NIVELES, Y EL CORTE VASAL Vo. SE EXIGE NIVEL DE DISEÑO 3. LA ESTRUCTURA ES METALICA TIPO I, DE TRES PISOS, Y APOYA SOBRE UN SUELO CON T* = 0.8. LA CONSTRUCCION ES DEL TIPO A, CON ELEMENTOS NO ESTRUCTURALES SUSCEPTIBLES DE SUFRIR DAÑOS POR DEFORMACIONES DE LA ESTRUCTURA. SE PIDE HALLAR LAS FUERZAS DE PISO Fi Y LAS DERIVAS Y DESPLAZAMIENTOS DE CADA NIVEL ANALIZANDO EL SISMO EN EL EJE X Inercia en vigas= 4,32 × 10−3𝑚4

Planos y detalle en columna

40 cm

5 cm

40 c

m

seccion transversal columnas

TERMINOS PARA CALCULOS DE DERIVAS Y DESPLAZAMIENTOS

W = PESO

Vo = CORTE VASAL

T* = APOYO ESTRUC. METALICA. = 0.8

Fi = FUERZA DE PISO

§i = DERIVAS

Δi = DESPLAZAMIENTO

Ft = FUERZA LATERAL

T = PERIODO FUNDAMENTAL DE LA ESTRUCTURA (TIEMPO EN

SEGUNDOS)

Σ = SUMATORIA

h = ALTURA

Kc = RIGIDES DE LAS COLUMNAS

Kv = RIGIDES DE LAS VIGAS

δe = DERIVA ELASTICA

OJO: SI NO DAN LA T* EN EL

ENUNCIADO NOS DARA LA FORMA

ESPECTRAL Y DE ALLI

ENTRAMOS ALA NORMA EN LA

PAG 35 PARA OPTENER T*

El periodo fundamental de la estructura resulta:

Tipo I = Si la estructuras es de concreto armado

Formula 𝑇 = 0,07 ℎ𝑛0,75 === Concreto Armado

𝑇 = 0,08 ℎ𝑛0,75 ===Metálico

En caso de ser tipo II, III, IV .Se usaría 𝑇 = 0,05 ℎ𝑛0,75

Y como es tipo I

𝑇 = 0,080 × ℎ𝑛0,075 = 0,08 × 100,75 = 0,45 seg

La fuerza lateral se calcula:

𝐹𝑡 = 0,06𝑇

𝑇∗= 0,02 𝑉𝑂 = 0,06

0.45

0,8− 0,02 124,8 = 1,72𝑡

Pero Ft debe estar acotado por los siguientes valores:

0,04 × 𝑉𝑜 ≤ 1,72 ≤ 0,1 × 𝑉𝑜

Donde: 0,04 × 124,8 ≤ 1,72 ≤ 0.10 × 124,8

5 ≤ 1,72 ≤ 12,48

No cumple, falla por debajo, debido a que el valor calculado de Ft=1,72

ton es menor que 5 ton, que seria el valor mínimo permitido por la

norma.

Por lo tanto se adopta: Ft = 5 ton.

Se realiza la tabla anterior para calcular las fuerzas de piso fi. En wi se

colocan los pesos correspondientes a cada nivel , hi la altura de entrepiso

de manera acumulada y en wi x hi, se multiplica cada peso de cada

entrepiso por la altura correspondiente a cada nivel.

NIVEL Wi hi Wi x hi fi vi

3 340 10 3400 57,62 57,62

2 380 4 2660 41,17 98,19

1 420 7 1680 26 124,79

∑ ∑ = 1140 ∑ = 7740

Para el nivel 3 (caso particular para la losa de techo)

𝐹𝑖 = 𝐹𝑡 − 𝑉𝑜 × 𝑤𝑖 𝑥 ℎ𝑖

∑𝑤𝑖 𝑥 ℎ𝑖+ 𝑓𝑡

𝐹3 = 124,8 − 5 × 3400

7740+ 5 = 57.62 𝑡𝑜𝑛

V3 = 𝐹3

V3= 57,62 ton.

Para el calculo de fi en los diferentes niveles:

𝐹𝑖 = 𝐹𝑡 − 𝑉𝑜 × 𝑤𝑖 𝑥 ℎ𝑖

∑𝑤𝑖 𝑥 ℎ𝑖

𝐹2 = 124,8 − 5 × 2660

7740= 41,17 𝑡𝑜𝑛

V2= 41,17 + 57,62 ton= 98,79 (se le suma el valor de vi del nivel superior)

Inercia en Vigas

𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 = 4,32 × 10−3 𝑚4

(Dato del ejercicio)

𝐼𝑥 ∶ 4,32 × 10−3𝑚4

𝐼𝑥 = 4,32 × 10−3𝑚4 × (100)4

𝑚4𝑐𝑚4

𝐼𝑥 = 432000 𝑐𝑚4

Inercia en columnas : (area hueca)

𝐹1 = 124,8 − 5 × 1680

7740= 26 𝑡𝑜𝑛

V1= 26 + 98,79 ton= 124,8 ton (se le suma el valor de vi del nivel superior)

40 cm

5 cm

40 c

m

seccion transversal columnas𝐼𝑦 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 =

40 3 × 40

12 − 30 3 × 30

12= 145833,33 𝑐𝑚4

𝑘𝑐1𝐴 = 145833,33 × 2

400= 729,17 𝑐𝑚3

𝐾𝐶1𝐵 = 𝐾𝐶1𝐶 = 729,17 𝑐𝑚3

Nivel 2 = Nivel 3 (Por se la misma altura de entrepiso de 3 m)

𝐾𝐶2𝐴 = 1458333,33 × 2

300= 972,22 𝑐𝑚3

Nivel 1 Rigideces de columnas

𝑘𝑐 = 𝐼𝑥 × 𝑁 º 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠

ℎ

𝐾𝐶2𝐵 = 𝐾𝐶2𝐶 = 729,17 𝑐𝑚3

𝐾𝑉 = 432000 × 1

600= 720 𝑐𝑚3

Caso # o2 de wuilburg

𝑅1 = 48 × 𝐸

ℎ14 × ℎ1 ∑ 𝑘𝑐1

+ℎ1 + ℎ2

∑𝑘𝑣 +∑𝑘𝑐112

𝑅𝐼𝐴 =48 × 2,1 × 106

4004 × 400729,17

+ (400 + 300)

720 +729,1712

𝑅𝐼𝐴 = 81531,41 𝑘𝑔/𝑐𝑚

𝑅𝐼𝐴 = 𝑅𝐼𝐵 = 𝑅𝐼𝐶 = 81531,41 𝑘𝑔/𝑐𝑚

𝑅1𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 81531,43 × 3 = 244594,23𝑘𝑔

𝑐𝑚

Rigideces de Vigas

𝐾𝑉 = 𝐼 × 𝑁º 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠

𝑙

Nivel # 02 caso# 03 de wuilburg

𝑅2𝐴 = 48 × 𝐸

ℎ24 × ℎ2 ∑ 𝑘𝑐2

+ℎ1 + ℎ2

∑𝑘𝑣 +∑𝑘𝑐112

+ℎ2 + ℎ3∑𝑘𝑣

𝑅2𝐴 =48 × 2,1 × 106

3004 × 300972,22

+(400 + 300)

720 +729,1712

+(300 + 300)720

𝑅2𝐴 = 113353,46 𝑘𝑔/𝑐𝑚

𝑅2𝐴 = 𝑅2𝐵 = 𝑅2𝐶 = 113353,46 𝑘𝑔/𝑐𝑚

𝑅2𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 113353,46 × 3 = 340060,33 𝑘𝑔/𝑐𝑚

Nivel #3 caso #5 de wuilburg

𝑅 =48 × 2,1 × 106

ℎ𝑖4 × ℎ𝑖∑ 𝑘𝑐𝑖+ℎ𝑖𝑛𝑓 + ℎ(𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙)

∑ 𝑘+ℎ𝑖 + ℎ(𝑠𝑢𝑝 )∑ 𝑘𝑣

𝑅3𝐴 = 48 × 2,1 × 106

3004 × 300972,22

+(300 + 300)720

+(300 + 0)720

𝑅3𝐴 = 1352449,99𝑘𝑔

𝑐𝑚

𝑅3𝐴 = 𝑅3𝐵 = 𝑅3𝐶 = 135249,99𝑘𝑔

𝑐𝑚

𝑅3𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 135249,99 × 3 = 405749,97𝑘𝑔

𝑐𝑚

Nivel Hi (m) Fi (ton) Vi (ton) Ri

(tn/m)

δei (cm) Δei (cm) δi (cm) Δi (cm) Ɛ

3 3 57,62 57,62 405,75 0,142 0,940 0,681 4,511 0,00226 2 3 41,17 98,19 340,06 0,288 0,798 1,382 3,83 0,0044 1 4 26 124,79 244,59 0,510 0,510 2,448 2,448 0,00616

Para obtener las rigideces en (Ri ton/m)

𝑅𝐼 = 244549,23𝑘𝑔

𝑐𝑚×(1 𝑡𝑜𝑛)

1000 𝑘𝑔= 244,59 𝑡𝑜𝑛/𝑚

𝑅2 = 340060,33𝑘𝑔

𝑐𝑚×1𝑡𝑜𝑛

1000𝑘𝑔= 340,06 𝑡𝑜𝑛/𝑚

𝑅3 = 405749,97𝑘𝑔

𝑐𝑚×1𝑡𝑜𝑛

100 𝑘𝑔= 405,75 𝑡𝑜𝑛/𝑚

𝛿𝑒 =𝑣𝑖

𝑅𝑖

𝛿𝑒1 =124,8

244,59= 0,510𝑐𝑚

𝛿𝑒2 =98,19

340,06= 0,288 𝑐𝑚

𝛿𝑒3 =57,62

405,75= 0,142 𝑐𝑚

Suma acumulada (Δei)= suma acumulada de 𝛿𝑒𝑖

(Δe1)= 0,510

(Δe2)= 0,510 + 0,288=0,798

(Δe3)= 0,798 + 0,142=0,94

Factor de reducción ND3 R= 6

Tipo I

Metálico

Acero

𝛿𝑖 = 0,8 × 𝑅 × 𝛿𝑒𝑖 (derivas totales)

Factor de reducción: se busca en la norma sismoresistente COVENIN

1756-2001 en la página 29, nos ubicamos en estructuras metálicas y

para la estructura seria Tipo I, se obtiene un R=6

𝛿3 = 0,8 × 6 × 0,142 = 2,448 𝑐𝑚

𝛿2 = 0,8 × 6 × 0,288 = 1,382 𝑐𝑚

𝛿1 = 0,8 × 6 × 0,510 = 0,681 𝑐𝑚

휀 =𝛿

ℎ

휀1 =2,511

400= 0,00628

휀2 =1,382

300= 0,00461

휀3 = 0,681

3000,00227

< 𝟎, 𝟎𝟏𝟐 𝒔𝒊 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆

Como el tipo de estructura es A y es susceptible de sufrir danos por

deformaciones el valor límite de la deriva máxima total (휀) se busca en la

siguiente tabla 10.1 de la Norma sismo resistente 1756-2001 (pag. 58)