CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PARA INGRESAR A CARRERAS UNIVERSITARIAS

TOMO I

Andrés Jesús Cutiño Reinaldo Lourdes Concha Yero

Alberto Rodríguez Rodríguez Raquel Vera Velázquez

Edwin Joao Merchán Carreño Karina Virginia Mero Suárez Jorge Willian Castro Guerra

Editorial Área de Innovación y Desarrollo,S.L.

Quedan todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, distribuida, comunicada públicamente o utilizada, total o parcialmente, sin previa autorización.

© del texto: los autores

ÁREA DE INNOVACIÓN Y DESARROLLO, S.L.

C/ Els Alzamora, 17 - 03802 - ALCOY (ALICANTE) info@3ciencias.com

Primera edición: junio 2018

ISBN: 978-84-948995-0-8

DOI: http://dx.doi.org/10.17993/CcyLl.2018.24

Andrés Jesús Cutiño Reinaldo, Licenciado en Educación en la especialidad de Matemática. Máster en Ciencias de la Educación Superior y Aspirante a Doctor en Ciencias Pedagógicas. Investiga en temas relacionados con modelos didácticos matemáticos, elaboración de problemas matemáticos y su relación con el adiestramiento lógico lingüístico. Ha publicado artículos sobre didáctica de las matemáticas tales como: Formulación de problemas a partir de la respuesta esperada, Adiestramiento lógico-lingüístico en la enseñanza de la Matemática, Estrategia didáctico-metodológica para elevar los niveles de aprendizaje en los Institutos Preuniversitarios de Ciencias Pedagógicas, Estrategia pedagógica para el desarrollo de la cultura general integral de los estudiantes de los preuniversitarios de ciencias exactas, La formación integral de la personalidad de los estudiantes de los Institutos Preuniversitarios de Ciencias Pedagógicas de Granma, Alternativa para elaborar tareas integradoras en la enseñanza del trabajo con variables en décimo grado, Alternativa didáctica para la enseñanza de la formulación de problemas en estudiantes. Investiga en el tema elaboración de problemas matemáticos y su relación con el adiestramiento lógico lingüístico. Se desempeña como profesor de Matemática, Probabilidades y Estadística en la Universidad de Granma.

Lourdes Concha Yero, Licenciada en Matemática, Universidad Frank País, Santiago de Cuba. Aspirante a Doctora en Ciencias Pedagógicas por la Universidad de Granma. Investiga en temas relacionados con modelos didácticos matemáticos, el adiestramiento lógico lingüístico y la formulación de problemas matemáticos. Ha publicado diferentes artículos relacionados con la didáctica de las matemáticas, adiestramiento lógico lingüístico en la enseñanza de la Matemática, Acciones para contribuir al adiestramiento lógico lingüístico de los estudiantes en la enseñanza de la Matemática, La elaboración de problemas y su papel en la formación de profesores de Matemática, Formulación de problemas matemáticos a partir de la respuesta esperada, Alternativa para elaborar tareas integradoras en la enseñanza del trabajo con variables en décimo grado. Actualmente se desempeña como profesora de Matemática en la Universidad de Granma, Cuba.

Alberto Rodríguez Rodríguez, Licenciado en Matemática, Universidad de Granma, Máster en Ciencias de la Educación y Doctor en Ciencias Pedagógicas por la Universidad de Granma. Investiga en temas

relacionados con modelos pedagógicos-didácticos matemáticos, dogmas restrictivos en el proceso enseñanza-aprendizaje de la Matemática y estrategias de contextualización e interdisciplinariedad. Ha publicado diferentes libros relacionados con las matemáticas, entre ellos se destacan los dos tomos de Elementos de Matemática Básica para carreras universitarias, Otra mirada a las probabilidades, sus procesos y aplicaciones, La Estadística: Gnosis del ser humano, Modelo del proceso enseñanza-aprendizaje contextualizado de Matemática, Una aproximación al comportamiento de costos y tomas de decisiones, Procedimiento didáctico-matemático para ingresar a la universidad y La Metodología para la evaluación de cosechadoras cañeras. Actualmente se desempeña como profesor de matemáticas y Editor de la Revista UNESUM-Ciencias en la Universidad Estatal del Sur de Manabí, Ecuador.

Raquel Vera Velázquez, Licenciada en Matemática, Instituto Superior Pedagógico José de La luz y Caballero de Holguín y Máster en Ciencias Pedagógicas en el Instituto Superior Pedagógico Pepito Tey de Las Tunas. Ha investigado en temas relacionados con la Didáctica de la Matemática, Procesos de Formulación y Resolución de Problemas Matemáticos. Ha participado en eventos Universidad Perspectivas de la Educación Superior en Cuba y I y II eventos de Salud y Medio Ambiente (2013, 2014 y 20015), con publicaciones sobre formulación y resolución de problemas matemáticos y estrategias de salud y problemas medioambientales, ha cursado diplomados en metodologías de la enseñanza de la matemática y se ha desarrollado como profesora y metodóloga de Matemáticas durante 30 años. Actualmente se desempeña como profesora de Matemáticas en la Universidad Estatal de Manabí, Ecuador.

Edwin Joao Merchán Carreño, Ingeniero en Sistemas, Universidad Laica Eloy Alfaro de Manabí – Ecuador, Máster en Docencia Universitaria e Investigación Educativa, Universidad Nacional de Loja – Ecuador, Máster en Informática Empresarial, Universidad Regional Autónoma de los Andes – Ecuador, Master en Gestión y Administración de las Tecnologías de la Información, Universidad Nacional de Piura – Perú. Ha publicado diferentes artículos relacionados con la Implantación de entornos virtuales, Impacto de las Tecnologías de la Información, Uso de las infotecnologías, las redes sociales y su importancia en la educación superior, Sistemas de gestión documental. Actualmente se

desempeña como Coordinador de las Carreras de Ingeniería en Sistemas Computacionales y de Tecnologías de la Información y profesor de Arquitectura del Computador, Auditoria y Evaluación de Sistemas en la Universidad Estatal del Sur de Manabí – Ecuador.

Karina Virginia Mero Suárez, Ingeniera en Sistemas, Universidad Laica Eloy Alfaro de Manabí – Ecuador, Máster en Docencia Universitaria e Investigación Educativa, Universidad Nacional de Loja – Ecuador, Máster en Informática Empresarial, Universidad Regional Autónoma de los Andes – Ecuador, Master en Gestión y Administración de las Tecnologías de la Información, Universidad Nacional de Piura – Perú. Ha publicado diferentes artículos relacionados con la Implantación de entornos virtuales, Impacto de las Tecnologías de la Información, Uso de las infotecnologías, las redes sociales y su importancia en la educación superior, Sistemas de gestión documental. Actualmente se desempeña como profesora de Fundamentos de Programación en la Universidad Estatal del Sur de Manabí – Ecuador.

Jorge Willian Castro Guerra, Ingeniero en Computación y Redes por la Universidad Estatal del Sur de Manabí, Magister en Educación Informática, Universidad de Guayaquil, Magister en Gerencia Educativa por la Universidad Estatal del Sur de Manabí. Actualmente profesor de la Unidad Educativa Coronela Filomena Chávez Mora. Ecuador.

ÍNDICE

CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y DOMINIOS NUMÉRICOS .................... 15 1.1. Conjunto. Elementos de un conjunto ...................................... 15

1.1.1. Formas de definir un conjunto ...................................... 16 1.2. Operaciones con conjuntos (unión, intersección, diferencia y su caso particular la complementación).............................................. 19 1.3. Relación entre los dominios numéricos ................................... 23 1.4. Comparación y orden .............................................................. 28 1.5. Operaciones de cálculo ............................................................ 32 1.6. Relaciones y propiedades de las operaciones.......................... 42 1.7. Potencia de exponente entero, fraccionario y racional ........... 44 1.8. Raíz n – ésima de un número real ............................................ 46 1.9. Propiedades de los radicales, su interpretación como caso particular de la potenciación .......................................................... 48 1.10. Simplificación de radicales ..................................................... 49 1.11. Reducción de radicales a un mismo índice ............................ 50 1.12. Radicales semejantes ............................................................. 51 1.13. Operaciones con radicales ..................................................... 51 1.14. Racionalización de denominadores ....................................... 52 1.15. Definición de logaritmo ......................................................... 54

1.15.1. Identidad fundamental logarítmica ................................ 55 1.15.2. Resolución de problemas donde se combinen las diferentes operaciones de cálculo, el tanto por ciento y el tanto por mil......................................................................................... 57

EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................. 62 CAPÍTULO 2. TRABAJO ALGEBRAICO ............................................. 73

2.1. Adición y sustracción de polinomios. Productos notables ....... 73 2.2. Multiplicación de polinomios ................................................... 76 2.3. Descomposición factorial ......................................................... 78

2.3.1. Factor común por agrupamiento ...................................... 79 2.3.2. Diferencia de cuadrados ................................................... 81 2.3.3. Trinomio cuadrado perfecto ............................................. 82 2.3.4. Trinomios de la forma x2 + px + q ..................................... 83 2.3.5. Trinomios de la forma mx2 + px + q .................................. 84

2.4. Completamiento cuadrático .................................................... 86 2.5. División de polinomios ............................................................. 88 2.6. Regla de Ruffini o algoritmo de Horner ................................... 89

2.6.1. Descomposición de polinomios que contengan divisores o factores de la forma 𝒙 + 𝒂; 𝒙 ≠ −𝒂 𝒚 𝒂 ≠ 𝟎 ............................ 91

2.6.2. Suma y diferencia de cubos .............................................. 93 2.6.3. Ejercicios combinados de descomposición en factores .... 94

2.7. Concepto de fracción algebraica ............................................. 95 2.7.1. Cambios de signos en una fracción que mantienen invariante su valor ...................................................................... 96 2.7.2. Simplificación de fracciones algebraicas ........................... 98 2.7.3. Multiplicación y división de fracciones algebraicas........... 99 2.7.4. Adición y sustracción de fracciones algebraicas ............. 101 2.7.5. Operaciones combinadas con fracciones algebraicas ..... 103

CAPÍTULO 3. ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES ............................................................................. 109

3.1. Definición de ecuación, dominio básico de una ecuación, solución de una ecuación, conjunto solución de una ecuación .... 109 3.2. Ecuaciones equivalentes ........................................................ 112 3.3. Transformaciones que pueden realizarse en una ecuación ... 113

3.3.1. Reglas de transformación de ecuaciones ....................... 113 3.4. Determinación de cantidades de magnitud en fórmulas. Despeje en formulas ................................................................................... 114

3.4.1. Determinación de los valores reales de incógnitas y parámetros en ecuaciones lineales. Despeje en fórmulas ........ 116 3.4.2. Determinación de los valores reales de incógnitas y parámetros en ecuaciones cuadráticas. Despeje en formulas.. 118 3.3.3. Determinación de los valores reales de incógnitas y parámetros en ecuaciones fraccionarias. Despeje en formulas 122 3.5.4. Determinación de los valores reales de incógnitas y parámetros en ecuaciones irracionales (con radicales). Despeje en formulas .................................................................................... 125 3.5.6. Determinación de los valores reales de incógnitas y parámetros en ecuaciones logarítmicas. Despeje en formulas 131

3.6. Definición de inecuación, dominio básico de una inecuación, solución de una inecuación, conjunto solución ............................ 133 3.7. Inecuaciones equivalentes, transformaciones que pueden realizarse en una inecuación ........................................................ 135 3.8. Resolución de inecuaciones lineales y aplicaciones ............... 138 3.9. Resolución de inecuaciones cuadráticas y aplicaciones ......... 140 3.10. Aplicaciones ......................................................................... 141 3.11. Resolución de inecuaciones fraccionarias y aplicaciones .... 142 3.12. Resolución de inecuaciones exponenciales y aplicaciones .. 145 3.13. Resolución de inecuaciones logarítmicas y aplicaciones ..... 148

3.14. Definición de sistemas de ecuaciones lineales, solución y conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales ............. 150 3.15. Sistemas equivalentes. Transformaciones que pueden realizarse en un Sistema ............................................................... 153

3.15.1. Sistemas de ecuaciones lineales con dos ecuaciones y dos variables.................................................................................... 156 3.15.2. Sistemas de ecuaciones lineales con tres ecuaciones y tres variables.................................................................................... 160

3.16. Sistemas cuadráticos. Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas ................................................. 162

3.16.1. Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas ................................................................ 164 3.16.2. Representación de situaciones mediante el uso de ecuaciones y viceversa, extracción de conclusiones a partir de ellas…….. ................................................................................... 170

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 171

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1: Diagramas de Venn……………………………………………………………………….18

Figura 2: Los diagramas de Venn son representaciones gráficas de los conjuntos mediante círculos u otras figuras en el interior de un rectángulo….18

Figura 3: Conjunto A (más oscuro), es un subconjunto del conjunto B. Observe como todos los elementos de A, son elementos de B………………………………….19

Figura 4: Los puntos O, A, B, C, D y E del rayo numérico r representan a los números naturales 0, 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente……………………………………24

Figura 5: Dicho número se representa por – a y se denomina el opuesto de a………………………………………………………………………………………………………………….25

Figura 6: Las relaciones conjuntistas de inclusión entre los dominios numéricos……………………………………………………………………………………………………28

Figura 7: Las relaciones de inclusión entre los dominios numéricos pueden observarse además en un diagrama de Venn………………………………………………28

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PRÓLOGO

Investigaciones relacionadas con el proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática, muestran, con ejemplos concretos, que hay una brecha importante entre las matemáticas que se explican en la escuela y las que las personas hacen servir en su vida cotidiana. La existencia de esta brecha es uno de los motivos que explican las actitudes negativas que muchas personas desarrollan hacia las matemáticas.

Los autores de esta valiosa obra, con suficiente experiencia como docentes activos en los diferentes subsistemas de Educación, dígase Nivel Medio, Medio Superior, Educación de Adultos y en la Educación Superior, han dedicado esfuerzos considerables empeñados en hacer de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, un proceso manipulable. En ese contexto han visto la necesidad de la extensión del marco de la Matemática como parte de la cultura a posturas teórico-prácticas, como expresión más sintética de la integración e interacción de su contenido, así como la necesidad de profundizar en el rigor lógico, en la comprensión, sin contraponer ésta a los aspectos operativos y manipulativos del contenido matemático.

En esa dirección, proponemos este curso de Matemática Básica, sustentada en los Tomos I y II de Elementos de Matemática Básica para carreras universitarias, con un enfoque didáctico, lenguaje claro, preciso, directo, sin ambigüedades, con variados ejemplos resueltos y ejercicios propuestos que permitirán identificar el tránsito evolutivo de los estudiantes con un aprendizaje duradero y en consecuencia, disminuir la deserción escolar o el abandono de los estudios por considerar que la asignatura Matemática constituye una barrera.

Los Autores

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CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y DOMINIOS NUMÉRICOS

Sumario: Conjunto. Elementos de un conjunto. Formas de definir un conjunto. Operaciones con conjuntos (unión, intersección, diferencia y su caso particular la complementación). Relación entre los dominios numérico. Comparación y orden. Operaciones de cálculo. Relaciones y propiedades de las operaciones. Potencia de exponente entero, fraccionario y racional.

Raíz n – ésima de un número real. Propiedades de los radicales, su interpretación como caso particular de la potenciación. Simplificación de radicales. Reducción de radicales a un mismo índice. Radicales semejantes. Operaciones con radicales. Racionalización de denominadores monomios y binomios. Definición de logaritmo. Identidad fundamental logaritmo. Propiedades de los logaritmos.

Resolución de problemas donde se combinen las diferentes operaciones de cálculo, el tanto por ciento y el tanto por mil.

1.1. Conjunto. Elementos de un conjunto

La palabra conjunto se utiliza en Matemática en el sentido de totalidad. Intuitivamente significa agrupación, cúmulo, colección, lista o clase de objetos bien determinados. Los conjuntos están formados por elementos. Los conceptos: conjunto y elemento no serán definidos, esto se debe a que son conceptos básicos. Los ejemplos siguientes deben dar idea del significado matemático de los conceptos conjunto y elemento.

Ejemplo 1

Conjunto de los números 1, 3, 7 y 10.

Conjunto de todas las soluciones de la ecuación 𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0.

Conjunto de todas las vocales del alfabeto español: a, e, i. o. u.

Conjunto de todas las personas que viven en Cuba.

Conjunto de los estudiantes Tomás, María e Inés.

Conjunto de los estudiantes ausentes en esta clase.

Conjunto de los países Cuba, Bolivia y Venezuela.

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Conjunto de las ciudades cubanas.

Conjunto de los números 0, 2, 4, 6, 8, …

Conjunto de los ríos de Cuba.

Los objetos indicados o descritos en cada conjunto, son los elementos del conjunto. Los conjuntos se denotan por medio de letras mayúsculas del alfabeto latino y sus elementos con letras minúsculas del mismo alfabeto, siempre que no sean números concretos.

Para afirmar que un elemento x pertenece al conjunto A, se escribe x ∈A. Para negar esta afirmación, se escribe x ∉ A.

Ejemplo 1

Si nombramos por A al primer conjunto de la lista, las proposiciones 1 ∈ A y 5 ∉ A son verdaderas, mientras que las proposiciones 8 ∈A y 7 ∉ A son falsas.

Ejercicio 2

Seleccione conjuntos de la lista del Ejemplo 1 y ponga ejemplos de elementos que le pertenecen y elementos que no le pertenecen.

1.1.1. Formas de definir un conjunto

Definir un conjunto significa precisar qué elementos son los que pertenecen al conjunto y cuáles no pertenecen a él. Hay dos formas de definir un conjunto:

Por extensión, nombrando cada uno de los elementos que le pertenece. Es decir, se alude explícitamente a cada elemento del conjunto.

Ejemplo 3

Observe los conjuntos de orden impar presentados en el Ejemplo 1, es decir, los conjuntos: 1, 3, 5, 7 y 9. Todos se han definido por extensión.

Al definir un conjunto por extensión, este se puede escribir en forma tabular. Por, ejemplo, el primer conjunto de la lista: A = { 1, 3, 7, 10 }.

Tercer conjunto de la lista, C = { a, e, i, o, u}.

Quinto conjunto de la lista, E = {Tomás, María e Inés}.

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Ejercicio 2

Escriba en notación tabular los conjuntos séptimo y noveno de la lista del Ejemplo 1.

Los conjuntos se definen también en forma descriptiva, en este caso se hace alusión a una propiedad, atributo o característica común a todos los elementos que forman parte del conjunto y solo a estos.

Ejemplo 4

Los conjuntos de orden par presentados en el Ejemplo 1. Se han definido en forma descriptiva

Cuando el conjunto se define en forma descriptiva se utiliza la notación constructiva cuya forma general es la siguiente {x ∈ 𝔘: P(x)}. En la estructura indicada 𝔘 es el llamado conjunto universal, conjunto especial de donde provienen los elementos del conjunto que se define y P(x), es la propiedad común a todos los elementos del conjunto que se define.

Ejemplo 5

El segundo conjunto de la lista del Ejemplo 1, que denotamos por B se escribe en notación constructiva B = {x ∈ ℝ: x2 + 3x − 2 = 0}. En este ejemplo, el conjunto universal es el dominio de los números reales ℝ y la propiedad P(x), es la ecuación de segundo grado x2 + 3x −2 = 0. Los números reales que sean solución de la ecuación dada son los únicos que pertenece al conjunto B.

El cuarto conjunto, que denotamos por D, se escribe en notación constructiva en la forma D = {x ∈ P: x vive en Cuba}. El conjunto universal P es aquí la población mundial y la propiedad P(x), biene dada por la expresión x vive en Cuba.

Ejercicio 3

Escriba en notación constructiva los conjuntos sexto, octavo y décimo de la lista del Ejemplo 1.

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Figura 1: Diagramas de Venn.

Los conjuntos pueden ser representados en forma gráfica. Los procedimientos más utilizados son los intervalos en la recta numérica y los conocidos diagramas de Venn.

Apelando a la representación de los números reales, como puntos de una recta. En la Figura 1 se han representado tres conjuntos de números reales, ellos definen intervalos en la recta numérica:

El conjunto B, de los números reales menores que -3, es decir, 𝐵 ={x ∈ ℝ ∶ x < −3}.

El conjunto C, de los números reales mayores o iguales que -3 y menores o iguales que 8. Es decir, 𝐶 = {x ∈ ℝ ∶ −3 ≤ x ≤ 8}.

El conjunto D, de los números reales mayores que 8, es decir, 𝐷 ={x ∈ ℝ ∶ x > 8}.

Los diagramas de Venn son representaciones graficas de los conjuntos mediante círculos u otras figuras en el interior de un rectángulo. El rectángulo representa al conjunto universal 𝔘 y las figuras interiores a los conjuntos que se definen y representan en este diagrama. En la Figura 2 se ha definido un conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se ha denotado con el símbolo 𝐴 ∪ 𝐵.

Figura 2: Los diagramas de Venn son representaciones graficas de los conjuntos mediante círculos u otras figuras en el interior de un rectángulo.

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Ejercicio 4

Utilice diagramas de Venn para representar los conjuntos del Ejemplo 1.

1.2. Operaciones con conjuntos (unión, intersección, diferencia y su caso particular la complementación)

Por razones prácticas y teóricas es necesario considerar la existencia de un conjunto que no contiene ningún elemento del universo 𝒰. Este conjunto se denomina conjunto nulo o conjunto vacío y se denota por el símbolo ∅.

Definición 1 (Inclusión de conjuntos)

Dados dos conjuntos A y B, cuyos elementos provienen de un universo dado 𝒰, se dice que A es un subconjunto de B si y solo si todo elemento del conjunto A también es un elemento del conjunto B. Esta relación entre los conjuntos A y B se denota en la forma 𝐴 ⊂ 𝐵.

Figura 3: Conjunto A (más oscuro), es un subconjunto del conjunto B. Observe como todos los elementos de A, son elementos de B.

(𝟏) 𝑨 ⊂ 𝑩 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ∈ 𝓤, 𝒅𝒆 𝒙 ∈ 𝑨 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂 𝒙∈ 𝑩

Ejercicio 5

Forme subconjuntos de los conjuntos dados en la lista del Ejemplo 1.

Se considera que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos.

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Teorema 1 (Propiedades de la inclusión de conjuntos)

Para todos los conjuntos A, B y C, cuyos elementos provienen del universo 𝒰 son verdaderas las propiedades siguientes.

(𝟐) 𝑨 ⊂ 𝑨 Propiedad reflexiva.

(𝟑) 𝑺𝒊 𝑨 ⊂ 𝑩 𝒚 𝑩 ⊂ 𝑪, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑨 ⊂ 𝑪 Propiedad transitiva.

(𝟒) 𝑺𝒊 𝑨 ⊂ 𝑩 𝒚 𝑩 ⊂ 𝑨, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑨 = 𝑩 Propiedad de linealidad.

(𝟓) ∅ ⊂ 𝑨 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑨.

Ejercicio 6

Comprueba la validez de las propiedades (2) a (5) utilizando diagramas de Venn.

La propiedad (4) permite definir la relación igualdad de conjuntos en términos de la inclusión.

Definición 2 (Igualdad de conjuntos)

Dados dos conjuntos A y B, cuyos elementos provienen del universo 𝒰. Se dice que A es igual a B si y solo si 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑦 𝐵 ⊂ 𝐴. Se escribe 𝐴 = 𝐵.

(𝟔) 𝑨 = 𝑩 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝑨 ⊂ 𝑩 𝒚 𝑩 ⊂ 𝑨

La relación igualdad de conjuntos satisface las propiedades siguientes.

Teorema 2 (Propiedades de la igualdad de conjuntos)

Para todos los conjuntos A, B y C, cuyos elementos provienen del universo 𝒰 se cumplen:

(𝟕) 𝑨 = 𝑨. Propiedad reflexiva.

(𝟖) 𝑺𝒊 𝑨 = 𝑩, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑩 = 𝑨. Propiedad de simetría.

(𝟗) 𝑺𝒊 𝑨 = 𝑩 𝒚 𝑩 = 𝑪, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑨 = 𝑪. Propiedad transitiva.

Ejercicio 7

Comprueba la validez de las propiedades (7) a (9) utilizando diagramas de Venn.

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Una manera de definir nuevos conjuntos consiste en formar agrupaciones con los elementos de un conjunto dado. Esto se puso de manifiesto al definir el concepto de subconjunto. También es posible, mediante ciertos procedimientos que generan nuevos conjuntos cuyos elementos pertenecen a determinados elementos de dos o más conjuntos dados.

Definición 3 (Operaciones con conjuntos)

Dados dos conjuntos A y B, cuyos elementos provienen del universo 𝒰.

El conjunto unión de A y B consta de todos los elementos de A o de B. Se denota 𝐴 ∪ 𝐵.

(𝟏𝟎) 𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙 ∈ 𝓤: 𝒙 ∈ 𝑨 𝒐 𝒙 ∈ 𝑩}

El conjunto intersección de A y B consta de todos los elementos que pertenecen a al conjunto A y pertenecen al conjunto B. Se denota 𝐴 ∩𝐵.

(𝟏𝟏) 𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒙 ∈ 𝓤: 𝒙 ∈ 𝑨 𝒚 𝒙 ∈ 𝑩}

El conjunto diferencia de A y B consta de todos los elementos de A que no están en B. Se denota 𝐴 ∖ 𝐵.

(𝟏𝟐) 𝑨 ∖ 𝑩 = {𝒙 ∈ 𝓤: 𝒙 ∈ 𝑨 𝒚 𝒙 ∉ 𝑩}

El conjunto complemento de A consta de todos los elementos del universo 𝒰 que no están en A. Se denota 𝐴𝑐.

(𝟏𝟑) 𝑨𝒄 = {𝒙 ∈ 𝓤: 𝒙 ∉ 𝑨}

En la Figura 2 se representó el conjunto 𝐴 ∪ 𝐵 utilizando un diagrama de Venn.

Ejercicio 8

Represente los conjuntos 𝐴 ∩ 𝐵; 𝐴 ∖ 𝐵; 𝐵 ∖ 𝐴, 𝐵𝑐 𝑦 𝐴𝑐 mediante diagramas de Venn.

Ejemplo 6

La forma proposicional 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 es verdadera si y solo si para todo 𝑥 ∈ 𝒰 se cumple 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜 𝑥 ∈ 𝐵.

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Ejercicio 9

Utilice la definición 3, diagramas de Venn y el Ejemplo 6 para completar los espacios en blanco.

La forma proposicional 𝒙 ∈ 𝑨 ∩ 𝑩 es verdadera si y solo si _________________

La forma proposicional 𝒙 ∈ 𝑨 ∖ 𝑩 es verdadera si y solo si _________________

La forma proposicional 𝒙 ∈ 𝑨𝒄 es verdadera si y solo si ___________________

Las operaciones con conjuntos poseen propiedades interesantes. A continuación, se resumen algunas de estas propiedades. El estudiante podrá comprobar la validez de las mismas apelando a los diagramas de Venn.

Teorema 3 (Propiedades de las operaciones con conjuntos)

Para todos los conjuntos A, B y C, cuyos elementos provienen del universo 𝒰 se cumplen:

(𝟏𝟒. 𝟏) 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑩 ∪ 𝑨 Conmutatividad de la unión de conjuntos.

(𝟏𝟒. 𝟐) 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑩 ∩ 𝑨 Conmutatividad de la intersección de conjuntos.

(𝟏𝟓. 𝟏) (𝑨 ∪ 𝑩) ∪ 𝑪 = 𝑨 ∪ (𝑩 ∪ 𝑨) Asociatividad de la unión de conjuntos.

(𝟏𝟓. 𝟐) (𝑨 ∩ 𝑩) ∩ 𝑪 = 𝑨 ∩ (𝑩 ∩ 𝑨) Asociatividad de la intersección de conjuntos.

(𝟏𝟔. 𝟏) 𝑨 ∪ (𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨 ∪ 𝑩) ∩ (𝑨 ∪ 𝑪) Distributividad de la unión respecto a la intersección.

(𝟏𝟔. 𝟐) 𝑨 ∩ (𝑩 ∪ 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨 ∩ 𝑪) Distributividad de la intersección respecto a la unión.

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(𝟏𝟕. 𝟏) (𝑨 ∪ 𝑩)𝒄 = 𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝒄 Complemento de la unión.

(𝟏𝟕. 𝟐) (𝑨 ∩ 𝑩)𝒄 = 𝑨𝒄 ∪ 𝑩𝒄 Complemento de la intersección.

(𝟏𝟖. 𝟏) 𝑨 ∪ ∅ = 𝑨 Unión con el vacío.

(𝟏𝟖. 𝟐) 𝑨 ∩ ∅ = ∅ Intersección con el vacío.

(𝟏𝟗. 𝟏) 𝑨 ∪ 𝓤 = 𝓤 Unión con el universo.

(𝟏𝟗. 𝟐) 𝑨 ∩ 𝓤 = 𝑨. Intersección con el universo.

(𝟐𝟎. 𝟏) ∅𝑪 = 𝓤 Complemento del vacío.

(𝟐𝟎. 𝟐) 𝓤𝑪 = ∅ Complemento del universo.

1.3. Relación entre los dominios numéricos

Los dominios numéricos son ciertos conjuntos de números entre cuyos elementos se definen operaciones que generan elementos del dominio considerado. Estas operaciones poseen propiedades que le confieren características propias a cada dominio numérico. Los elementos de cada dominio numérico se comparan entre sí de determinada manera, el procedimiento de comparación que se define cumple propiedades que establecen una relación de orden que permite organizar los elementos del dominio numérico.

En primer lugar, se analiza el conjunto de números que conforma a cada dominio numérico y las relaciones conjuntistas entre dichos conjuntos.

El dominio numérico más familiar para los estudiantes es el de los números naturales. El conjunto ℕ consta de todos los números que se utilizan para contar. También se utilizan para identificar objetos y ordenarlos en una lista.

(𝟕) ℕ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, … , 𝟏𝟗, 𝟐𝟎, 𝟐𝟏, … , 𝟐𝟗, 𝟑𝟎, … }

Ejemplo 7

En el siguiente texto se han utilizado distintos números naturales. La brigada 4 de estudiantes de la carrera de Gestión Sociocultural para el

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Desarrollo participó en un trabajo voluntario, recolectó 150 quintales de papá y con ello aportó 1500 pesos al presupuesto de la universidad.

Ejercicio 9

¿Qué significado tienen los números naturales utilizados en el texto del Ejemplo 7?

Los números naturales poseen una representación como puntos en el rayo numérico. Los puntos del rayo numérico que representan números naturales comienzan en el origen de la semirrecta, que es este caso se incluye en el rayo numérico, los demás puntos están a la misma distancia del anterior.

Figura 4: Los puntos O, A, B, C, D y E del rayo numérico r representan a los números naturales 0, 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente.

Ejercicio 10

Represente en el rayo numérico los números naturales 0, 1, 5, 10 y 13.

Los números naturales representan unidades enteras. Con ellos no se puede representar partes de una unidad. Para esta tarea hacen falta

nuevos números. El número 3

5 representa cierta parte de una unidad.

Particularmente expresa, que una unidad se ha dividido en cinco partes iguales y se han tomados tres de esas partes. El número se lee tres quintos.

El número 3

5 no representa un número natural, pero se ha formado con

la ayuda de los números naturales 3 y 5. Se trata de una fracción de numerador 3 y denominador 5. Cada fracción donde el numerador es un número natural cualquiera y el denominador es un número natural distinto de cero representa un número fraccionario.

El conjunto formado por todos los números naturales y estos nuevos números llamados fraccionarios se denomina dominio de los números fraccionarios. El dominio de los números fraccionarios se denota con el símbolo ℚ+. Escribamos este conjunto en notación constructiva.

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(𝟖) ℚ+ = {𝒎

𝒏∶ 𝒎 ∈ ℕ; 𝒏 ∈ ℕ; 𝒏 ≠ 𝟎}

Por la definición del dominio ℚ+ es evidente que ℕ ⊂ ℚ+. Entre ℕ y ℚ+ el primero es el más restringido. Una representación más explícita es la que sigue:

ℚ+ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏, … ,𝟎

𝟏,𝟏

𝟐, … ,

𝟏

𝒎,𝟐

𝟏,𝟐

𝟐, … ,

𝟐

𝒎,𝟑

𝟏,𝟑

𝟐, … ,

𝟑

𝒎, … }

Cada número fraccionario de la forma 𝑛

1 puede ser interpretado como

el número natural n.

Ejercicio 11

Represente en el rayo numérico los números fraccionarios

𝟎; 𝟐

𝟑; 𝟏;

𝟒

𝟑;

𝟓

𝟐; 𝟓 𝒚

𝟐𝟕

𝟒

Para cada número fraccionario a, representado por cierto punto A del rayo numérico, podemos considerar otro número representado por un punto B, situado a la izquierda del punto O en la recta numérica, de manera que la distancia desde O hasta A es la misma que la distancia desde O hasta B.

Figura 5: Dicho número se representa por – a y se denomina el opuesto de a.

Si al dominio de todos los números fraccionarios ℚ+, se añaden todos los opuestos de números fraccionarios se obtiene un nuevo dominio numérico. Se trata del dominio de los números racionales ℚ. Por consiguiente, El dominio de los números racionales ℚ, está formado por todos los números fraccionarios y sus opuestos. Es obvio que todos los números fraccionarios forman parte del dominio de los números racionales, por lo tanto ℚ+ ⊂ ℚ.

En el dominio ℚ de los números racionales, cada número racional r se considera positivo si coincide con un número fraccionario a, en este caso se representa por 𝑟 = +𝑎, o simplemente 𝑟 = 𝑎. Pero si r coincide con el opuesto del número fraccionario a, entonces se escribe

26

𝑟 = −𝑎 y se dice que es un número negativo. En general si 𝑟 es un número racional su opuesto se denota por−𝑟.

Teorema 4

Para todo número racional 𝑟 se cumple 𝑟 = −(−𝑟). En particular, el número 0 no tiene opuesto.

A todo número racional r se asocia un número positivo denominado el módulo o valor absoluto de r. Este número se denotado |𝑟| y se obtiene mediante la siguiente regla.

(𝟗) |𝒓| = {

𝒓 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒓 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐.𝟎 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒓 𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝒄𝒆𝒓𝒐

−(𝒓) 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒓 𝒆𝒔 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒖𝒊𝒗𝒐.

Ejemplo 8

Calcule el módulo del número racional r en cada caso:

𝒓 = −𝟑 b) 𝒓 = 𝟓 c) 𝒓 = 𝟎

Solución

Como r es negativo |𝒓| = |−𝟑| = −(−𝟑) = 𝟑

Como r es positivo |𝒓| = |𝟓| = 𝟓

Como 𝒓 = 𝟎 se cumple que |𝒓| = |𝟎| = 𝟎

En el dominio de los números racionales ℚ, se encuentra un subconjunto importante. Se trata del conjunto que consta de todos los números naturales y sus opuestos, este conjunto constituye dominio numérico. Se denomina dominio de los números enteros ℤ. Se cumple que ℤ ⊂ ℚ. Por otro lado, por la propia definición de ℤ, se cumple que ℕ ⊂ ℤ.

Ejercicio 12

Represente en la recta numérica los números fraccionarios

0; 2

3; 1;

4

3;

5

2; 5;

27

4 y sus opuestos.

27

Generalizando los resultados del Ejercicio 12, es natural pensar que para cada número racional r, se encuentra una representación como punto en la recta numérica. Pero, ¿todo punto de la recta numérica es un representante de un número racional?

En la resolución de algunos problemas matemáticos, se encontraron números que poseen representación como puntos en la recta numérica, sin embargo, no admitían una representación como número fraccionario o el opuesto de un número fraccionario. Es decir, no eran números racionales. Tales números fueron llamados números irracionales. Uno de estos números, lo encontró Pitágoras al tratar de calcular la diagonal de un cuadrado de lado 1. Un resultado análogo se obtuvo al comparar por cociente la longitud de la circunferencia con su diámetro, lo cual dio lugar al conocido número 𝜋.

Al añadir los números irracionales al conjunto de todos los números racionales, se obtuvo el dominio de los números reales ℝ. Este dominio numérico consta de todos los números racionales y todos los números irracionales. Por consiguiente, el conjunto ℚ de todos los números racionales es una parte del dominio de los números reales. Es decir, ℚ ⊂ ℝ.

El domino numérico ℝ de los números reales es el más amplio y el dominio numérico ℕ de los números naturales es el más restringido. Esto se observa en las siguientes cadenas de inclusiones: ℕ ⊂ ℚ+ ⊂ℚ ⊂ ℝ y ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Las relaciones conjuntistas de inclusión entre los dominios numéricos se representan en el esquema de la Figura 6, donde los dominios más restringidos aparecen a la izquierda. La flecha sustituye al símbolo de inclusión.

28

Figura 6: Las relaciones conjuntistas de inclusión entre los dominios numéricos.

Las relaciones de inclusión entre los dominios numéricos pueden observarse además en un diagrama de Venn, como el de la Figura 7.

Figura 7: Las relaciones de inclusión entre los dominios numéricos pueden observarse además en un diagrama de Venn.

Ejercicio 13

Observe el diagrama de Venn de la Figura 7. ¿En qué tipo de relación se encuentran los dominios: ¿naturales, fraccionarios y enteros?

1.4. Comparación y orden

Para comparar los números naturales, acudimos a su representación como puntos en el rayo numérico. Si n; m son números naturales, decimos que n es menor que m si el punto que representa al número n en el rayo numérico antecede a al punto que representa al número m. La relación n es menor que m se escribe 𝑛 < 𝑚. Si los representantes de n y m coinciden en un mismo punto se dice n es igual a m i se escribe 𝑛 = 𝑚.

La sucesión de los números naturales: 0; 1; 2; 3; 4; está ordenada de manera que 0 es menor que 1, el número natural 1 es menor que 2, etc. Es decir, 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ⋯ El número 0 es el menor de todos los números naturales, pero no existe un número natural mayor que todos los demás números naturales. En esta ordenación se observa que cada número natural, excepto el cero, tiene un antecesor. O bien, dicho de otra manera, el número natural cero no es sucesor de ningún otro número natural.

29

Para comparar los números fraccionarios utilizamos las operaciones las operaciones de cálculo definidas en ℕ, la cuales se abordarán más adelante.

Definición 4

Entre dos números fraccionarios 𝑎

𝑏 𝑦

𝑐

𝑑 se cumple la relación

𝑎

𝑏 es

menor que 𝑐

𝑑 si y solo si 𝑎 ∙ 𝑑 < 𝑐 ∙ 𝑏. Se escribe

𝑎

𝑏 <

𝑐

𝑑 . En el caso,

𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑐 ∙ 𝑏. Decimos, que estos números son iguales.

Se escribe 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

(𝟏𝟎) 𝒂

𝒃 <

𝒄

𝒅⟺ 𝒂 ∙ 𝒅 < 𝒄 ∙ 𝒃

(𝟏𝟏) 𝒂

𝒃=

𝒄

𝒅⟺ 𝒂 ∙ 𝒅 = 𝒄 ∙ 𝒃

Ejemplo 9

Ordene de mayor a menor los siguientes números fraccionarios

representados como fracciones comunes: 1

2;

4

3;

5

7;

2

3;

3

5 𝑦

1

4

Solución

1

2<

4

3 Porque 3 < 8

5

7<

4

3 Porque 15 < 28

1

2<

5

7 Porque 7 < 10

El orden correcto de los tres primeros términos es: 1

2<

5

7 <

4

3

utilizando este método de comparación se ordenan los demás términos

en la forma: 1

4<

1

2<

3

5<

2

3<

5

7 <

4

3

Otro método para comparar y ordenar estos números consiste en representarlos en el rayo numérico. Hecho esto quedad ordenados.

Definición 5

30

Para comparar dos números racionales r, s se tienen en cuenta las siguientes alternativas:

Primer caso: si 𝑟 ∈ ℚ+ 𝑦 𝑠 ∈ ℚ+, entonces r y s se comparan como procede en ℚ+.

Segundo caso: si 𝑟 = 0 𝑦 𝑠 ∈ ℚ+, entonces 𝑟 < 𝑠.

Tercer caso: si 𝑟 = 0 𝑦 𝑠 ∉ ℚ+, entonces 𝑠 < 𝑟.

Cuarto caso: si 𝑟 ∉ ℚ+ 𝑦 𝑠 ∈ ℚ+, entonces 𝑟 < 𝑠.

Quinto caso: si 𝑟 ∉ ℚ+ 𝑦 𝑠 ∉ ℚ+, entonces 𝑟 < 𝑠 si |𝑟| > |𝑠|

Ejemplo 10

Compare los números racionales 𝑟 = −2

3 𝑦 𝑠 = −

5

7

Solución

Se trata del quinto caso. Hallamos |𝑟| = |−2

3| =

2

3 y |𝑠| = |−

5

7| =

5

7.

Comparamos los módulos 2

3<

5

7 porque 2 ∙ 7 = 14 < 15 = 3 ∙ 5

Por lo tanto −2

3 > −

5

7 es decir, 𝑟 > 𝑠.

Definición 6

Para comparar dos números reales r, s se tienen en cuenta las siguientes alternativas:

Si los números dados coinciden con números racionales se comparan como en ℚ.

Si los números dados no son racionales (o alguno de ellos no lo es), entonces se reduce a la comparación de números racionales aproximando los números irracionales a números racionales.

Otros procedimientos más específicos que se explicaran posteriormente.

Teorema 5

31

Cada número real 𝑟 posee una representación como punto en la recta numérica. Recíprocamente, cada punto de la recta numérica es un representante de un número real. Esta correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta numérica permite ordenar los elementos de ℝ de forma tal que entre dos numera reales 𝑟, 𝑠 se cumple la relación 𝑟 < 𝑠 si el punto A que representa a 𝑟 es anterior al punto B que representa 𝑠.

Teorema 6 (propiedades del orden irreflexivo de números reales)

Sean 𝑟, 𝑠, 𝑡 números reales cualesquiera:

(12) Para todo 𝑟 ∈ ℝ, se cumple 𝑟 ≮ 𝑟. Propiedad irreflexiva

(13) Para todo 𝑟, 𝑠 ∈ ℝ se cumple, si 𝑟 < 𝑠, entonces 𝑠 ≮ 𝑟. Propiedad de asimetría.

(14) Para todo 𝑟, 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ se cumple, si 𝑟 < 𝑠 y 𝑠 < 𝑡, entonces 𝑟 < 𝑡. Propiedad transitiva.

(15) Para todo 𝑟, 𝑠 ∈ ℝ se cumple 𝑟 < 𝑠; 𝑠 < 𝑟 o 𝑟 = 𝑠. Propiedad de conexidad.

(16) Para todo 𝑟, 𝑠 ∈ ℝ existe un 𝑡 ∈ ℝ, tal que 𝑟 < 𝑡 < 𝑠. Propiedad de densidad.

(17) Para todo 𝑟 ∈ ℝ positivo existe un número 𝑛 ∈ ℕ tal que 𝑟 < 𝑛. Propiedad arquimideana.

En los dominios numéricos ℕ 𝑦 ℤ solo se cumplen las propiedades 1) a 4). En los dominios ℚ+𝑦 ℚ son válidas las seis propiedades enunciadas.

Definición 7 (Orden reflexivo de números reales)

Entre dos números reales r, s se cumple la relación 𝑟 ≤ 𝑠 si y solo si r es menor que s o r es igual a s.

(𝟏𝟖) 𝒓 ≤ 𝒔, 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒓 < 𝒔 𝒐 𝒓 = 𝒔.

Teorema 7 (Propiedades del orden reflexivo de números reales)

(19) Para todo 𝑟 ∈ ℝ, se cumple 𝑟 ≤ 𝑟. Propiedad reflexiva.

32

(20) Para todo 𝑟, 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ se cumple, si 𝑟 ≤ 𝑠 y 𝑠 <≤ 𝑡, entonces 𝑟 ≤ 𝑡. Propiedad transitiva.

(21) Para todo 𝑟, 𝑠 ∈ ℝ se cumple, si 𝑟 ≤ 𝑠 𝑦 𝑠 ≤ 𝑟 entonces 𝑠 = 𝑟. Propiedad de antisimetría.

(22) Para todo 𝑟, 𝑠 ∈ ℝ se cumple 𝑟 ≤ 𝑠 𝑜 𝑠 ≤ 𝑟 . Propiedad de linealidad.

Las propiedades del orden reflexivo son válidas en el resto de los dominios numéricos.

1.5. Operaciones de cálculo

Decimos que una operación aritmética se realiza ilimitadamente en un dominio numérico cuando para dos elementos cualesquiera del dominio numérico dado el resultado de la operación existe siempre y es único. Por el contrario, si para alguna operación definida en el dominio numérico el resultado es único, pero solo existe bajo determinadas condiciones decimos que dicha operación se realiza de manera parcial en el dominio dado.

En el dominio ℕ de los números naturales las operaciones adición y multiplicación se realizan ilimitadamente. Sin embargo, las operaciones sustracción y división solo se pueden realizar de manera parcial en este dominio.

La diferencia 𝑛 − 𝑚 de dos números naturales n y m solo es un número natural cuando el sustraendo m es menor o a lo sumo igual al minuendo n. Es decir, se cumple:

(𝟐𝟑) 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒏, 𝒎 ∈ ℕ (𝒏 − 𝒎 ∈ ℕ 𝐬𝐢 𝐲 𝐬𝐨𝐥𝐨 𝐬𝐢 𝐦 ≤ 𝒏)

El cociente 𝑛 ÷ 𝑚 de dos números naturales n, m con 𝑚 ≠ 0 es un número natural cuando el dividendo n es un múltiplo del divisor m. Es decir, se cumple:

(𝟐𝟒) 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐭𝐨𝐝𝐨 𝒏, 𝒎 ∈ ℕ(𝒏 ÷ 𝒎 ∈ ℕ, 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒌 𝒚 𝒌 ∈ ℕ

De la fórmula (24) se derivan algunas conclusiones:

33

Ningún número natural 𝑛 ≠ 0 se puede dividir por cero, porque la igualdad 𝑛 = 0 ∙ 𝑘 no se cumple para ningún numero natral n distinto de cero.

El número natural cero se puede dividir por cualquier número natural. En efecto, la igualdad 0 = 0 ∙ 𝑘 se cumple para todo número natural k.

Los procedimientos de cálculo con números naturales se dan por conocidos.

Cuando la división 𝑛 ÷ 𝑚 no es exacta, es decir, el cociente no es un número natural es posible establecer cierta relación entre los términos n, m de la operación y otros dos números naturales k; r que dependen de n y m. El número k se denomina cociente de la división inexacta de n por m y el número r, que cumple además la condición 𝑟 < 𝑚, se denomina resto de la división inexacta. Por consiguiente:

(𝟐𝟓) 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐭𝐨𝐝𝐨 𝒏, 𝒎 ∈ ℕ, 𝐞𝐱𝐢𝐬𝐭𝐞𝐧 𝒌, 𝒓 ∈ ℕ ( 𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒌 + 𝒓 𝐲 𝒓 < 𝒎. )

Para hacer referencia a la relación (25) se utilizan los términos división inexacta, división con resto o división euclidiana.

Ejemplo 11

Halle el cociente k y el resto r de la división de n por m. Garantice que se cumpla la condición 𝑟 < 𝑚.

𝑎) 𝑛 = 140 𝑦 𝑚 = 51.

𝑏) 𝑛 = 144 𝑦 𝑚 = 48.

𝑐) 𝑛 = 1163 𝑦 𝑚 = 72.

Soluciones

Inciso a) 140 = 51 ∙ 2 + 38 y se cumple que 38 < 51. Por lo tanto, en la división euclidiana de 140 por 51 el cociente de es 2 y el resto es 38.

Inciso b) 144 = 48 ∙ 3 + 0 y se cumple que 0 < 48. Por lo tanto, en la división euclidiana de 144 por 48 el cociente de es 3 y el resto es 0. En

34

casos como este, donde el resto de la división euclidiana es igual a 0 decimos que el número 144 es divisible por 48.

Inciso c) 1163 = 72 ∙ 16 + 11 y se cumple que 11 < 72. Por lo tanto, en la división euclidiana de 1163 por 72 el cociente de es 16 y el resto es 11.

Ejercicio 18

Complete la siguiente tabla. Si la división no es realizable, halle el cociente y el resto de la división euclidiana.

N m 𝒏 + 𝒎 𝒏 ∙ 𝒎 𝒏 − 𝒎 𝒏 ÷ 𝒎

350 423

1035 23

1569 523

18 35

Debido a que ℕ ⊂ ℚ+ las operaciones aritméticas en ℚ+ se definen de manera tal que estas sigan siendo válidas en los casos en que los representantes de los términos de la operación sean números naturales. Para garantizar la validez de los resultados se asume que cada número natural es una fracción de denominador 1. Es decir, para

todo número natural n se cumple que 𝑛

1 es un representante de un

número fraccionario.

En el dominio de los números fraccionarios ℚ+ se realizan sin limitaciones las operaciones adición, multiplicación y división, excepto la división por cero. De esta manera, el cálculo aritmético en ℚ+ es más rico en posibilidades para resolver problemas. El dominio de los números fraccionarios ℚ+supera al domino de los naturales ℕ.

Definición 8 (operaciones de cálculo en ℚ+)

Para todos los números fraccionarios 𝑟 =𝑎

𝑏; 𝑠 =

𝑐

𝑑 donde 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈

ℕ 𝑦 𝑏 ≠ 0 𝑦 𝑑 ≠ 0 se cumple:

35

(26) 𝑟 + 𝑠 =𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑+𝑏𝑐

𝑏𝑑 .

(27) 𝑟 − 𝑠 = 𝑎

𝑏−

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑−𝑏𝑐

𝑏𝑑 .

(28) 𝑟 ∙ 𝑠 =𝑎

𝑏⋅

𝑐

𝑑=

𝑎𝑐

𝑏𝑑

(29) 𝑟 ÷ 𝑠 = 𝑎

𝑏÷

𝑐

𝑑=

𝑎∙𝑑

𝑏∙𝑐 𝑎𝑞𝑢í 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑐 ≠ 0

Según la definición 7, las operaciones aritméticas en ℚ+ se reducen a las operaciones con números naturales. Por tal motivo la operación (27) solo es realizable cuando el número 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 es natural, es decir, cuando 𝑎𝑑 > 𝑏𝑐 𝑜 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐.

Ejemplo 12

Calcule

17

9÷

1

7

26 ÷ 41

Soluciones

17

9÷

1

7=

17

9∙

7

1=

153

9=

17

1= 17 La igualdad

153

9=

17

1 es verdadera

porque 153 ∙ 1 = 9 ∙ 17

26 ÷ 41 =26

1÷

41

1=

26

1∙

1

41=

26

41

Además de la representación como fracciones comunes, es decir, en la

forma 𝑚

𝑛; 𝑐𝑜𝑛 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ𝑦 𝑛 ≠ 0. Los números fraccionarios poseen

otra forma de representación: la representación como expresiones decimales.

Una expresión decimal está formada por números naturales a0; a1; a2; a3… escrita en la forma 𝑎0, 𝑎1𝑎2𝑎3 … donde 𝑎0 representa la parte entera y los números que están después de la coma decimal representan la parte fraccionaria.

36

Un procedimiento sencillo para obtener la representación como expresión decimal de un número fraccionario representado como fracción común es el llamado algoritmo de división. El procedimiento consiste en obtener los cocientes de la división inexacta de ciertos números naturales n, m. Estos cocientes representan la parte entera y las cifras decimales de la expresión decimal.

Ejemplo 13 (algoritmo de división)

Represente el número 22

7 como expresión decimal.

Solución

Aplicamos la división inexacta (25) a los números 22 y 7 obtenemos

22 = 7 ∙ 3 + 1 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒 1 < 7. El cociente 3, es la parte entera de la expresión decimal a obtener.

Multiplicamos el resto 1 por 10 y aplicamos la división inexacta al resultado de este producto y al número 7.

10 = 7 ∙ 1 + 3 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒 3 < 7. El cociente 1 es la primera cifra de la parte fraccionaria, esta cifra se escribe separada de la parte entera

por la coma decimal, por ejemplo, 3,1. Puede asumirse que 22

7≈ 3,1;

no se utiliza el signo de igualdad por la presencia del resto 3 en la división anterior.

En busca de la posible exactitud de la expresión decimal correspondiente repetimos el procedimiento anterior. Ahora con el número que resulta de multiplicar por 10 el resto del paso anterior (10 ∙3 = 30) y el denominador 7 de la fracción común. Resultado:

30 = 7 ∙ 4 + 2 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒 2 < 7. El cociente 4 será la segunda cifra

de la parte fraccionaria, es decir, 22

7≈ 3,14.

El procedimiento se puede repetir tantas veces como aparezca un resto diferente de cero.

20 = 7 ∙ 2 + 6 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒 6 < 7

60 = 7 ∙ 8 + 4 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒 4 < 7

37

50 = 7 ∙ 7 + 1 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒 1 < 7

Lo hecho hasta ahora muestra que 𝟐𝟐

𝟕≈ 𝟑, 𝟏𝟒𝟐𝟖𝟕.

En el último paso del proceso apareció el resto 1 nuevamente. Por la propia naturaleza de este proceso reaparecerán los restos 3,2, 6, 4 y se repetirán las cifras 14278. Aunque el proceso se prolongue indefinidamente la sucesión de cifras 14278 aparecerá una y otra vez.

La expresión decimal resultante 3,142871428714287… se denomina

expresión decimal periódica y se escribe en la forma 3, 14287.

Mediante la notación 14287 se indica el grupo de cifras que se repiten periódicamente y reciben el nombre de periodo.

Resultado: 𝟐𝟐

𝟕≈ 𝟑, 𝟏𝟒𝟐𝟖𝟕.

El Ejemplo 13 antes explicado, deja una importante enseñanza: toda fracción común puede ser representada por una expresión decimal periódica. La aparición de periodos es inevitable por que el denominador de la fracción es un número natural y el resto debe ser menor que este número. Por lo tanto, la cantidad de restos distintos que pueden aparecer es finita y, en consecuencia, las cifras de la expresión decimal tienen que repetirse.

La única excepción ocurre cuando aparece el resto 0, en dado caso el proceso se detiene y la expresión decimal correspondiente se denomina finita. Si aplica el algoritmo de división, puede comprobar

que 22

8= 2,75. Aquí es correcto utilizar el signo de igualdad por que la

representación es exacta. Vea el Ejercicio 15.

Si los números fraccionarios están dados como expresiones decimales, las operaciones de cálculo también se reducen a las operaciones con números naturales. Los procedimientos necesarios se presentan en el ejemplo siguiente.

Se concluye que todo número fraccionario admite una representación como expresión decimal finita o como expresión decimal infinita, pero periódica.

38

Ejemplo 14

Dados los números fraccionarios 𝑟 = 4, 352̅̅̅̅ y 𝑠 = 0,37 calcule:

𝑟 + 𝑠

𝑟 − 𝑠

𝑟 ∙ 𝑠

𝑟 ÷ 𝑠

Soluciones

Si fuera necesario, se añaden ceros al final de alguno de los sumandos para garantizar que ambos tengan la misma cantidad de lugares decimales. En este caso hacemos 𝑠 = 0,370. Obviando las comas decimales calculamos la suma 4352 + 370 = 4722. El resultado debe tener tres lugares decimales porque esa era la cantidad de lugares decimales de los sumandos. Respuesta 𝑟 + 𝑠 = 4,722

Se repiten los pasos anteriores para finalmente efectuar la diferencia 4352 − 370 = 3982. El resultado de la operación debe tener tres lugares decimales. Respuesta 𝑟 − 𝑠 = 3,982.

Los factores se escriben como números naturales, sin tener en cuenta la coma decimal. Se efectúa el producto 4 352 ∙ 37 = 161 024. El resultado debe tener tantos lugares decimales como la suma de los lugares que hay en los factores originales. Respuesta 𝑟 ∙ 𝑠 = 1,61024 (cinco lugares decimales porque en el primer factor hay tres lugares decimales y en el segundo factor hay dos lugares decimales).

El dividendo y el divisor se convierten en números naturales corriendo la coma hacia la derecha la misma cantidad de lugares decimales en cada término. De ser necesario se añaden ceros a la derecha. En este caso hacemos 𝑟 = 4 352 y 𝑠 = 370. Se aplica el algoritmo de división, presentado en el Ejemplo 8, a los números 4 352 y 370. Respuesta 𝑟 ÷

𝑠 = 11,7621̅̅ ̅̅ ̅

Como se ha visto, las operaciones con números fraccionarios se reducen a las operaciones con números naturales.

39

En el Teorema 8 se incluyen algunas reglas de cálculo con números racionales opuestos.

Teorema 8

Para números racionales cualesquiera r, s se cumple:

(30) −(−𝑟) = 𝑟

(31) −𝑟 = (−1) ∙ 𝑟

(32) −(𝑟 ∙ 𝑠) = (−𝑟) ∙ 𝑠 = 𝑟 ∙ (−𝑠)

(33) (−𝑟)(−𝑠) = 𝑟𝑠

(34) −𝑟 − 𝑠 = −(𝑟 + 𝑠)

(35) 𝑟 + (−𝑟) = (−𝑟) + 𝑟 = 0

(36) 𝑟 − 𝑠 = 𝑟 + (−𝑠)

(37) 𝑟 ÷ 𝑠 = 𝑟 ∙ (𝑠−1) El número 𝑠−1 se llama recíproco de s.

En el dominio ℚ de los números racionales, las cuatro operaciones aritméticas se realizan sin limitaciones; la única excepción es la división por cero. Las operaciones de cálculo con números racionales se reducen a las operaciones con números fraccionarios, pero hay que tener en cuenta que los números racionales pueden tener signos.

Para calcular con seguridad se propone el siguiente método, eficaz para evitar errores.

Reconozca y no olvide que operación está efectuando.

Identifique de que caso se trata.

Obtenga el signo del resultado según el caso que se trata.

Efectúe el cálculo.

Escriba el resultado con el signo determinado previamente.

Ejemplo 15 (Cálculo con números racionales)

40

Dados los números racionales 𝑟 = −5

7 y 𝑠 =

3

8 calcule:

𝑟 + 𝑠

𝑟 − 𝑠

𝑟 ∙ 𝑠

𝑟 ÷ 𝑠

Soluciones

Inciso a) 𝒓 + 𝒔 = −𝟓

𝟕+

𝟑

𝟖

Operación: adición de números racionales.

Caso: sumandos con signos diferentes.

Signo del resultado: se corresponde con el signo del término de mayor

módulo. Calculamos los módulos y los comparamos. |−5

7| =

5

7; |

3

8| =

3

8. Comparación

5

7>

3

8 porque 40 > 35. El número negativo resulto ser

el de mayor módulo, por lo tanto, el resultado será negativo.

Cálculo: al mayor módulo restamos el menor módulos, es decir, 5

7−

3

8=

5∙8−7∙3

7∙8=

35

56=

5

8

Resultado: −5

8

Inciso b) 𝒓 − 𝒔 = −𝟓

𝟕−

𝟑

𝟖

Operación: sustracción de números racionales.

Caso: utilizando la regla (36) del Teorema 8 (cálculo con números

opuestos) realizamos la transformación −5

7−

3

8= −

5

7+ (−

3

8) Los

términos de la operación tienen sinos iguales y negativos.

Signo del resultado: negativo.

Calculo: se suman los módulos como en ℚ+ Esto es: 5

7+

3

8=

61

56

41

Resultado. −61

56

Se hubiera obtenido el mismo resultado utilizando la regla 5 del Teorema 7.

Inciso c) 𝒓 ∙ 𝒔 = (−𝟓

𝟕) ∙

𝟑

𝟖

Operación: multiplicación.

Caso: factores con signos diferentes.

Signo del resultado: negativo según la regla (32) del Teorema 8.

Calculo: se multiplican los módulos como en ℚ+ Esto es 5

7∙

3

8=

15

56

Resultado. −15

56

Inciso d) 𝒓 ÷ 𝒔 = (−𝟓

𝟕) ÷

𝟑

𝟖

Operación: división.

Caso: términos con signos diferentes.

Signo del resultado: negativo, según la regla (32) del Teorema 8.

Calculo: utilizando la regla 8 del Teorema 7 realizamos la

transformación (−5

7) ÷

3

8= (−

5

7) ∙

8

3 y multiplicamos los módulos

como en ℚ+ Esto es 5

7∙

8

3=

40

21

Resultado. −40

21

Si los términos están representados como expresiones decimales, se procede de manera análoga utilizando las reglas enunciadas en el Teorema 7. El cálculo se reduce al cálculo con números fraccionarios ya que los mismos se realizan con los módulos de los números dados. Se procede como en el Ejemplo 11.

Ejercicio 19

42

Dados los números racionales 𝑟 = 4, 352̅̅̅̅ y 𝑠 = − 0,37 calcule:

𝑟 + 𝑠

𝑟 − 𝑠

𝑟 ∙ 𝑠

𝑟 ÷ 𝑠

El cálculo en ℝ se puede reducir al cálculo en ℚ. Para ello, se utilizan aproximaciones racionales de los números reales que no son racionales, es decir, para las expresiones decimales infinitas no periódicas. Así, el cálculo con números reales se desarrolla siguiendo las mismas reglas del cálculo con números racionales, fraccionarios y naturales.

Los números reales admiten otras formas de representación, por ejemplo, como potencias, radicales o logaritmos. En estos casos, se introducen reglas especiales para el cálculo con números reales dados en estas formas de representación, lo cual se explica más adelante.

1.6. Relaciones y propiedades de las operaciones

En este punto sistematizamos las propiedades de la adición y la multiplicación de números reales. Posteriormente indicamos cuales de ellas no se cumplen en alguno de los subdominios.

Teorema 9 (propiedades de las operaciones con números reales)

Para todos los números reales r, s, t se cumple:

(38) La adición es conmutativa, es decir, 𝑟 + 𝑠 = 𝑠 + 𝑟.

(39) La adición es asociativa, es decir, 𝑟 + (𝑠 + 𝑡) = (𝑟 + 𝑠) + 𝑡

(40) El número real 0 es neutro para la adición, es decir, 𝑟 + 0 = 0 +𝑟 = 𝑟

(41) Cada número real r posee un opuesto – r tal que 𝑟 + (−𝑟) =(−𝑟) + 𝑟 = 0

(42) La multiplicación es conmutativa, es decir, 𝑟 ∙ 𝑠 = 𝑠 ∙ 𝑟

43

(43) La multiplicación es asociativa, es decir, 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ 𝑡) = (𝑟 ∙ 𝑠) ∙ 𝑡

(44) El número real 1 es neutro para la multiplicación, es decir, 𝑟 ∙ 1 =1 ∙ 𝑟 = 𝑟

(45) Cada número real r, diferente de cero, posee un recíproco 𝑟−1 tal que 𝑟 ∙ 𝑟−1 = 𝑟−1 ∙ 𝑟 = 1

(46) La multiplicación es distributiva con respecto a la multiplicación, es decir, 𝑟 ∙ (𝑠 + 𝑡) = 𝑟 ∙ 𝑠 + 𝑟 ∙ 𝑡

Las propiedades (38) hasta (46) también son válidas en el dominio ℚ de los números racionales. Sin embargo, en el dominio ℚ+ de los números fraccionarios no se cumple la propiedad (41). En el dominio ℤ de los números enteros, no se cumple la propiedad (45) y en el dominio ℕ de los números naturales, no se cumplen las propiedades (41) y (45).

Teorema 10 (Compatibilidad entre las operaciones y el orden)

Para todos los números reales r, s, t, u se cumple:

(46) Todo número positivo es mayor que cero.

(47) Todo número negativo es menor que cero.

(48) 0 < 𝑟 si y solo si −𝑟 < 0

(49) 𝑟 < 𝑠 si y solo si 𝑟 − 𝑠 < 0. Otras formas equivalentes de (4) son:

(49.1) 𝑟 < 𝑠 si y solo si 0 < 𝑠 − 𝑟

(49.2) 𝑟 < 𝑠 si y solo si −𝑠 < −𝑟

(50) Si 𝑟 < 𝑠, entonces 𝑟 + 𝑡 < 𝑠 + 𝑡 (monotonía de la adición)

(51) Si 𝑟 < 𝑠 y 𝑡 < 𝑢, entonces 𝑟 + 𝑡 < 𝑠 + 𝑢 (monotonía generalizada)

(52) Si 𝑟 < 𝑠 y 0 < 𝑡, entonces 𝑟 ∙ 𝑡 < 𝑠 ∙ 𝑡

(52.1) Si 𝑟 < 𝑠 y 𝑡 < 0, entonces 𝑠 ∙ 𝑡 < 𝑟 ∙ 𝑡

(53) Si 0 < 𝑟 y 0 < 𝑠, entonces 0 < 𝑟 ∙ 𝑠.

44

(53.1) Si 𝑟 < 0 y 𝑠 < 0, entonces 0 < 𝑟 ∙ 𝑠

(53.2) Si 𝑟 < 0 y 0 < 𝑠, entonces 𝑟 ∙ 𝑠 < 0.

(54) Si 𝑟 ≠ 0, entonces 0 < 𝑟 ∙ 𝑟 = 𝑟2.

1.7. Potencia de exponente entero, fraccionario y racional

Definición 9 (Potencia de exponente natural)

Si a es un número real diferente de cero y n un número natural mayor que cero, el número real 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 que se obtienen multiplicando el factor a por sí mismo n veces, se denota 𝑎𝑛 y se llama potencia de base a y exponente n.

(𝟓𝟓) 𝒂𝒏 = 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ … ∙ 𝒂 (𝒂 ∈ ℝ; 𝒏 ∈ ℕ; 𝒏 ≠ 𝟎 𝒚 𝒂 ≠ 𝟎)

La operación que consiste en calcular potencias se llama potenciación.

Ejemplo 16 (Cálculo de potencias)

24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16

32 = 3 ∙ 3 = 9

43 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64

44 = 43 ∙ 4 = 64 ∙ 4 = 256

El procedimiento utilizado en el inciso d) se puede generalizar. Para ello asumimos que

(56) 𝑎1 = 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎

Si conocemos el valor de 𝑎𝑛, entonces 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑎

En el cálculo con potencias se precisan algunas situaciones especiales:

(𝟓𝟕) 𝑺𝒊 𝒏 = 𝟎 𝒚 𝒂 ≠ 𝟎, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒂𝟎 = 𝟏

(𝟓𝟖) 𝑺𝒊 𝒂 = 𝟎 𝒚 𝒏 ≠ 𝟎, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒄𝒆𝒔 𝟎𝒏 = 𝟎

Extensión del concepto potencia a exponente entero. Si 𝑛 ∈ ℤ 𝑦 𝑛 = −𝑘, entonces se cumple:

45

(𝟓𝟗) 𝒂−𝒌 =𝟏

𝒂𝒌

Extensión del concepto potencia a exponente fraccionario. Si 𝑛 ∈

ℚ+𝑦 𝑛 =𝑝

𝑞 𝑐𝑜𝑛 𝑞 ≠ 0 se cumple:

(𝟔𝟎) 𝒂𝒏𝒎 = √𝒂𝒏𝒎

Para extender el concepto de potencia a exponentes reales se asume que la base debe ser positiva, es decir, 𝑎 > 0.

Definición 10 (Potencia de exponente real)

Si 𝑎 > 0 para todos los números reales a y c existe un único número real b tal que 𝑎𝑐 = 𝑏

Las definiciones 9 y 10, junto a las igualdades (55) a (60) y las igualdades (61) a (65) que se introducen en el siguiente Teorema, sistematizan el cálculo con potencias, aunque las reglas de cálculo se enuncian para números reales. Esto se hace así porque son válidas en todos los dominios numéricos estudiados donde tengan sentido.

Teorema 10 (reglas de cálculo con potencias)

Sean 𝑎, 𝑏, 𝑟, 𝑠 (𝑎 > 0, 𝑏 > 0) números reales cualesquiera, entonces se cumple:

(𝟔𝟏) 𝒂𝒓 ∙ 𝒂𝒔 = 𝒂𝒓+𝒔

(𝟔𝟐) 𝒂𝒓 ∙ 𝒃𝒓 = (𝒂 ∙ 𝒃)𝒓

(𝟔𝟑) (𝒂𝒓)𝒔 = 𝒂𝒓∙𝒔

(𝟔𝟒) 𝒂𝒓 ÷ 𝒂𝒔 = 𝒂𝒓−𝒔

(𝟔𝟓) 𝒂𝒓 ÷ 𝒃𝒓 = (𝒂 ÷ 𝒃)𝒓

El estudiante debe dedicar suficiente tiempo hasta dominar las formulaciones (55) a (65) y aprender a utilizarlas en el cálculo. Esto es fundamental para su desarrollo posterior.

Ejemplo 17

46

Calcule y simplifique

310(3233)

(35)3 248244

(64)3

Soluciones

Inciso a) 310(3233)

(35)3 =31035

315 =315

315 = 30 = 1

Inciso b) 248244

(64)3 = 2412

612 = (24 ÷ 6)12 = 412 = 16 777 216

Teorema 11 (comparación de potencias)

Sean 𝑎, 𝑏, 𝑟, 𝑠 (𝑎 > 0, 𝑏 > 0) números reales cualesquiera, entonces se cumple:

(66) 𝑠𝑖 𝑟 < 𝑠 𝑦 𝑎 > 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑟 < 𝑎𝑠

(67) 𝑠𝑖 𝑟 < 𝑠 𝑦 𝑎 < 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑟 > 𝑎𝑠

Las propiedades (6) y (7) se utilizan para comparar potencias.

Ejemplo 18

Compare las potencias:

(0,21)3𝑦 (0,21)5

(2,3)2𝑦 (2,3)3

Soluciones

Inciso a) la base es menor que 1 y 3 < 5 por lo tanto (0,21)3 >

(0,21)5

Inciso b) la base es mayor que 1 y 2 < 3 por lo tanto (2,3)2 < (2,3)3

1.8. Raíz n – ésima de un número real

Según la definición 10, si 𝑎 > 0 para todos los números reales a y c existe un único número real b tal que 𝑎𝑐 = 𝑏. Por lo tanto, si están dados 𝑐 𝑦 𝑏 𝑐𝑜𝑛 𝑏 > 0 cabe preguntarse ¿Qué base x debe elevarse al exponente c para obtener b?

47

Ejemplo 19

Calcule el número x tal que 𝑥2 = 2

Buscando un valor para x observamos que:

12 = 1 𝑦 22 = 4 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 1 < 𝑥 < 2

Al dividir la unidad delimitada por 1 y 2 en diez partes iguales, obtenemos las fracciones: 1,1; 1,2; 1, 3;…; 1,9. Elevando al cuadrado los números fraccionarios indicados resulta que: (1,4)2 = 1,96 < 2 y (1,5)2 = 2.25 > 2. Por lo tanto:

1,4 < 𝑥 < 1,5

Repitiendo el procedimiento, ahora con el intervalo (1,4; 1,5)

1,41 < 𝑥 < 1,42

Y así, sucesivamente:

1,414 < 𝑥 < 1,415

1,4142 < 𝑥 < 1,4143

………

Está demostrado que el número x existe, aunque por el método anterior solo se puede encontrar una expresión decimal infinita no periódica que lo representa. En la práctica, este número irracional se sustituye por una aproximación racional, por Ejemplo 1, 41.

El número x se denota con el símbolo √2. Este número irracional satisface la ecuación 𝑥2 = 2 y se denomina raíz cuadrada. En general

si a es un número real positivo, el numero 𝑥 = √𝑎 se denomina raíz cuadrada del número a, porque 𝑥2 = 𝑎. La mayoría de estos números reales son irracionales.

Análogamente, el número 𝑥 = √𝑎3

que satisface la ecuación 𝑥3 = 𝑎 se denomina raíz cúbica.

Definición 11 (Raíz n – ésima de un número real)

48

El número real x, que satisface la ecuación 𝑥𝑛 = 𝑎 para 𝑎 > 0; 𝑛 ∈

ℕ 𝑦 𝑛 > 0 se denomina raíz n –ésima de a y se denota 𝑥 = √𝑎𝑛

.

(68) √𝑎𝑛

= 𝑥, 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥𝑛 = 𝑎 𝑦 𝑎 > 0

La equivalencia (68) de la definición 11 tiene sentido también para 𝑎 < 0 siempre que el índice del radical n sea impar. También se cumple que

√0𝑛

= 0, siempre que 𝑛 > 0 pues en dado caso 0𝑛 = 0. Si n es par el número −𝑥 también es una raíz n – ésima de a. En efecto (−𝑥)𝑛 =(−𝑥)2𝑚 = ((−𝑥)2)𝑚 = (𝑥2)𝑚 = 𝑎. En la práctica solo utiliza la raíz positiva, que recibe el nombre de raíz aritmética del número a.

1.9. Propiedades de los radicales, su interpretación como caso particular de la potenciación

En general, se denominan radical a una expresión de la forma √𝑎𝑛

, el número real a se denomina radicando y se considera mayor que cero. El número natural n es mayor que uno y recibe el nombre de índice del radical. En el caso n = 2 no se escribe el índice del radical.

Según la igualdad (60) se cumple que √𝑎𝑚𝑛= (𝑎)

𝑚

𝑛 . Por consiguiente, las leyes de cálculo con radicales se obtienen en analogía con las leyes de la potenciación.

Teorema 12 (Leyes de cálculo con radicales)

Para todos los números reales a, b tales que 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 y los números naturales m, n, k distintos de cero se tiene que:

(69) 𝐷𝑒 𝑎1

𝑛 ∙ 𝑏1

𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)1

𝑛, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 √𝑎𝑛

∙ √𝑏𝑛

= √𝑎 ∙ 𝑏𝑛

(70) 𝐷𝑒 𝑎1

𝑛 ÷ 𝑏1

𝑛 = (𝑎 ÷ 𝑏)1

𝑛, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 √𝑎𝑛

÷ √𝑏𝑛

= √𝑎 ÷ 𝑏𝑛

(71) 𝐷𝑒 (𝑎1

𝑛)𝑚 = 𝑎𝑚

𝑛 , 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 ( √𝑎𝑛

)𝑚

= √𝑎𝑚𝑛

(72) 𝐷𝑒 (𝑎1

𝑛)1

𝑚 = 𝑎1

𝑛∙𝑚, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 √ √𝑎𝑛𝑚

= √𝑎𝑛∙𝑚

(73) 𝐷𝑒 𝑎𝑘∙𝑚

𝑘∙𝑛 = 𝑎𝑚

𝑛 , 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 √𝑎𝑘∙𝑛𝑘∙𝑚= √𝑎𝑛𝑚

(74) 𝐷𝑒 𝑎𝑛

𝑛 = 𝑎1 = 𝑎, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 √𝑎𝑛𝑛= 𝑎

49

Ejemplo 20

Compare los radicales √(2

3)

43

𝑦 √(2

3)

75

Solución

Utilizando la igualdad (60) y las propiedades (67) del Teorema 11:

√(2

3)

43

= (2

3)

4

3 y √(

2

3)

75

= (2

3)

7

5

Resulta que e 𝑎 =2

3< 1. Comparando

4

3 con

7

5 resulta que

4

3 <

7

5 se

cumple que (2

3)

4

3 > (

2

3)

7

5 según la propiedad (27). Por lo tanto

√(2

3)

43

> √(2

3)

75

1.10. Simplificación de radicales

Es importante aprender a simplificar radicales. Un radical está simplificado, cuando se cumplen las condiciones siguientes:

El índice del radical no tiene factores comunes con el exponente del radicando;

El radicando no posee factores que son raíces exactas;

El radicando no tiene denominador.

Para simplificar un radical se utilizan las leyes de cálculo del Teorema 12 y alguno (a veces más de uno) de los procedimientos que se presentan a continuación:

Ejemplo 21 (Reducción del índice del radical)

Si el índice del radical y exponente del radicando tienen un factor común k este puede ser simplificado como indica la propiedad (73) del Teorema 12.

√123556= √127∙57∙8

= √1258

En el Ejemplo 21 el factor común es k = 7.

50

Ejemplo 22 (Extracción de factores del radical)

El radical √1353

contiene una raíz exacta como factor en el radical.

Solución

√1353

= √27 ∙ 5 3

= √33 ∙ 53

= √333∙ √5

3 Utilizando la propiedad (69) del Teorema 12.

= 3 ∙ √53

Utilizando la propiedad (74) del Teorema 12.

= 3√53

1.11. Reducción de radicales a un mismo índice

Algunas veces, los radicales dados pueden ser reducidos a un índice común. Este procedimiento es útil para efectuar algunas operaciones con radicales. El procedimiento para reducir radicales a un índice común se presenta en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 23 (reducción de radicales a un índice común)

Reduzca los radicales √5; √134

; √165

a un índice común.

Solución

Los radicales dados no tienen el mismo índice, para reducirlos a un índice común.

Lo primero es determinar el mcm entre de los índices de los radicales dados. Resulta que 𝑚𝑐𝑚(2; 4; 5) = 20.

Aplicando la propiedad (32) del Teorema 12

√5 = √51020 (Se multiplicó el índice del radical y el exponente del

radicando por 10)

√134

= √13520 (Se multiplicó el índice del radical y el exponente del

radicando por 5)

51

√165

= √16420 (Se multiplicó el índice del radical y el exponente del

radicando por 4)

Todos los radicales tienen el índice común n = 20.

1.12. Radicales semejantes

Dos o más radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando. Los radicales semejantes solo se diferencian por sus coeficientes, es decir, los factores que multiplican al radical. Algunas veces, se obtienen radicales semejantes aplicando procedimientos de reducción a un índice común, extracción o introducción de factores del radicando.

Ejemplo 24

Convierta los radicales √53

; √16006

𝑦 √6253

en radicales semejantes.

Solución

√16006

= √52266= √266

∙ √526= 2√5

3

√6253

= √543= 5√5

3

Los radicales √53

; 2√53

𝑦 5 √53

son semejantes.

1.13. Operaciones con radicales

La adición y la sustracción de radicales solo se pueden efectuar cuando los radicales son semejantes. En dado caso, se opera con los coeficientes y se mantiene el radical común.

Ejemplo 25

Efectúe la suma algebraica 4√𝑎23− 5√𝑎23

+ 3√𝑎23

Solución

4√𝑎23− 5√𝑎23

+ 3√𝑎23= (4 − 5 + 3)√𝑎23

= 2√𝑎23

En la multiplicación y la división de radicales hay que diferenciar dos casos:

52

Primer caso: los radicales tienen el mismo índice. El cálculo se realiza directamente aplicando la regla (69) del Teorema 12 para la multiplicación o la regla (70) del mismo Teorema en el caso de la división.

Segundo caso: los radicales no tienen un índice común. En este caso los términos de las operaciones se reducen a un índice común y a continuación se procede como en el caso 1.

Ejemplo 26

Efectúe

√𝑎2𝑏43 ∙ √𝑎

3

√𝑎𝑏34∙ √𝑎𝑏

5

√𝑎35 ∙ √𝑏

5÷ √𝑎25

√𝑥3𝑦65÷ √𝑥2𝑦36

Soluciones

Inciso a) √𝑎2𝑏43 ∙ √𝑎

3= √𝑎3𝑏43

= 𝑎 √𝑏43

Inciso b) √𝑎𝑏34∙ √𝑎𝑏

5= √𝑎5𝑏1520

∙ √𝑎4𝑏420= √𝑎9𝑏1920

Inciso c) √𝑎35 ∙ √𝑏

5÷ √𝑎25

= √𝑎3𝑏5

÷ √𝑎25= √𝑎𝑏

5

Inciso d) √𝑥3𝑦65÷ √𝑥2𝑦36

= √𝑥18𝑦3630÷ √𝑥10𝑦1530

= √𝑥8𝑦1630

1.14. Racionalización de denominadores

Uno de los elementos para considerar que un radical está simplificado es que este no tenga radicales en el denominador. Los procedimientos de racionalización de denominadores permiten lograr este objetivo. Se diferencian dos casos:

Primer caso: el denominador tiene un solo radical. El procedimiento consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la expresión por un factor apropiado, de manera que en el denominador se obtenga un radical como los que se presentan en la regla (33) del Teorema 12.

53

Ejemplo 27

Elimine el denominador de las expresiones:

4

√33

√𝑥

√𝑦25

Soluciones

Inciso a) como 3 ∙ 32 = 33 multiplicamos el numerador y el

denominador de la expresión por el factor √323.

4

√33 =

4∙ √323

√33

∙ √323 =4 √9

3

√333 =4 √9

3

3

Inciso b) como 𝑦2𝑦3 = 𝑦5 multiplicamos el numerador y el

denominador de la expresión por el factor √𝑦35. En efecto:

√𝑥

√𝑦25=

√𝑥 ∙ √𝑦35

√𝑦25∙ √𝑦35

=√𝑥5𝑦610

𝑦

Segundo caso: el radical presente en el denominador forma parte de un binomio. Este caso se conoce como denominador binómico. El procedimiento de racionalización del denominador consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la expresión por la conjugada del denominador.

Ejemplo 28 (Tipos de conjugadas)

El denominador tiene la forma √𝑎 + √𝑏; su conjugada será √𝑎 − √𝑏.

El producto (√𝑎 + √𝑏 )(√𝑎 − √𝑏) = 𝑎 − 𝑏

El denominador tiene la forma √𝑎 − √𝑏; su conjugada será √𝑎 + √𝑏.

El producto (√𝑎 − √𝑏 )(√𝑎 + √𝑏) = 𝑎 − 𝑏

El denominador tiene la forma 𝑎 + √𝑏; su conjugada será 𝑎 − √𝑏. El

producto (𝑎 + √𝑏 )(𝑎 − √𝑏) = 𝑎2 − 𝑏

54

El denominador tiene la forma 𝑎 − √𝑏; su conjugada será 𝑎 + √𝑏. El

producto (𝑎 − √𝑏 )(𝑎 + √𝑏) = 𝑎2 − 𝑏

El denominador tiene la forma √𝑎 + 𝑏; su conjugada será √𝑎 − 𝑏. El

producto (√𝑎 + 𝑏 )(√𝑎 − 𝑏) = 𝑎 − 𝑏2

El denominador tiene la forma √𝑎 − 𝑏; su conjugada será √𝑎 + 𝑏. El

producto (√𝑎 − 𝑏 )(√𝑎 + 𝑏) = 𝑎 − 𝑏2

Ejercicio 20

Racionalice las expresiones siguientes:

5

√3+√7 b)

3√8

√12−√5 c)

5

√3+7 d)

2√3

√5−7 e)

9√2

8+√7 f)

−7√2

2−√7

1.15. Definición de logaritmo

Puesto que para todos los números reales a y c existe un único número real b tal que 𝑎𝑐 = 𝑏, sí están dados los números racionales positivos 𝑎 𝑦 𝑏 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 1 pueden preguntar, ¿a qué exponente x hay que elevar la base a para obtener b? Tal número existe y generalmente es irracional.

Definición 12

Dada una base 𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1 y un número 𝑏 > 0 se llama logaritmo de b en la base a y se denota log𝑎 𝑏 al número c al cual hay que elevar la base a para obtener b. Es decir, se cumple que 𝑎𝑐 = 𝑏.

La Definición 12 se expresa brevemente en la forma:

(75) log𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎𝑐 = 𝑏

Ejemplo 29 (cálculos donde interviene la definición de logaritmo)

log3 81 = 4 porque34 = 81

log2 32 = 5 porque 25 = 32

55

log2 8 = 3 porque 23 = 8

1.15.1. Identidad fundamental logarítmica

Observe el inciso a) del Ejemplo 29. Si en la igualdad 34 = 81 sustituimos el exponente 4 por su representación como logaritmo se

tiene que 3log3 81 = 81. Análogamente:

de 25 = 32 resulta 2log2 32 = 32

de 23 = 8 resulta 2log2 8 = 8

de 𝑎𝑥 = 𝑏 y x = log𝑎 𝑏, resul1ta 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏

En general se cumple la identidad fundamental logarítmica.

(76) 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏

La identidad fundamental logarítmica tiene aplicaciones en trabajo con logaritmos.

Propiedades de los logaritmos

Las propiedades de los logaritmos, son en realidad las leyes de cálculo con esta forma de representación de números reales. Se introducen en el siguiente Teorema.

Teorema 13

Si 𝑎 > 0; 𝑏 > 0; 𝑐 > 0; 𝑐 ≠ 1; 𝑦 𝑎 ≠ 1 entonces se cumplen las siguientes leyes de cálculo con logaritmos.

(77) log𝑎(𝑏 ∙ 𝑐) = log𝑎(𝑏) + log𝑎(𝑐) (Logaritmo de un producto)

(78) log𝑎(𝑏 ÷ 𝑐) = log𝑎(𝑏) − log𝑎(𝑐) (Logaritmo de un cociente)

(79) log𝑎(𝑏𝑥) = 𝑥 ∙ log𝑎(𝑏) (Logaritmo de una potencia)

(80) log𝑎(𝑐) ∙ log𝑐(𝑏) = log𝑎(𝑏) (Cambio de base)

(81) log𝑎𝑥(𝑏) =1

𝑥∙ log𝑎(𝑏) 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 0 (Base exponencial)

56

Ejemplo 30 (Cálculos donde interviene las propiedades de los logaritmos)

Calcule aplicando propiedades:

log2 8 + log2 4

log3 405 − log3 5

2 ∙ log2 8

log10 3 ∙ log3 100

1

3∙ log2 64

5log5 130

272 log3 5

4log4 3+2

Soluciones

Inciso a) log2 8 + log2 4 = log2 32 = 5

Inciso b) log3 405 − log3 5 = log3(405 ÷ 5) = 4

Inciso c) 2 ∙ log2 8 = log2 82 = 6

Inciso d) log10 3 ∙ log3 100 = log10 100 = 2 (aquí se utilizó la propiedad 39). Los logaritmos de base 10 se escriben en la forma log 𝑏 y se llaman logaritmos decimales.

Inciso e) 1

3∙ log2 64 = log23 64 = 2

Inciso f) 5log5 130 = 130

Inciso g) 272 log3 5 = (33)2 log3 5 = 36 log3 5 = 56

Inciso h) 4log4 3+2 = 4log4 3 ∙ 42 = 3 ∙ 16 = 48

La operación que consiste en calcular logaritmos se denominan logaritmación. La operación logaritmación satisface la propiedad de monotonía.

57

Teorema 14

(82) Si la base 𝑎 > 1, entonces 𝑑𝑒 𝑏 > 𝑐 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 log𝑎 𝑏 > log𝑎 𝑐

(83) Si 0 < 𝑎 < 1, entonces 𝑑𝑒 𝑏 > 𝑐 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 log𝑎 𝑏 < log𝑎 𝑐

La monotonía de la logaritmación se utiliza para comparar logaritmos de una misma base.

Ejemplo 31

Compare los logaritmos:

log3 12 𝑦 log3 7

log0,7 12 𝑦 log0,7 7

Solución

Inciso a) Se cumple que La base 3 es mayor que 1 y 12 es mayor que 7. Luego log3 12 > log3 7.

Inciso b) La base 0,7 esta entre 0 y 1 y 12 es mayor que 7. Por lo tanto, se cumple que log0,7 12 < log0.7 7

1.15.2. Resolución de problemas donde se combinen las diferentes operaciones de cálculo, el tanto por ciento y el tanto por mil

Los problemas surgen en la vida cotidiana, en las ciencias y en el objeto de la profesión que se desempeña. Por ello, afirma Garret (1995), un problema es una situación, un conflicto, para el cual no se tiene respuesta inmediata, ni algoritmo, ni heurística, ni siquiera se sabe qué información se necesita para intentar conseguir una respuesta.

Ante un problema cotidiano o de la profesión, es prudente analizar la situación o el conflicto, encontrar las posibles causas, pensar en diferentes alternativas para resolver la situación, elegir una de tales alternativas, realizarla y finalmente valorar la efectividad de la solución encontrada.

Los problemas no son un atributo solo de la Matemática, pero un buen entrenamiento para ejecutar las acciones mencionadas consiste en resolver problemas matemáticos. Se han dado múltiples estrategias

58

para resolver problemas matemáticos, pero en todas ella están implícitas las acciones mencionadas a continuación.

analizar la situación;

buscar una vía de solución;

realizar la vía de solución elegida;

valorar la solución y la vía.

En esta sección se abordarán problemas aritméticos donde pueden estar incluidos problemas típicos de fracciones y problemas de tanto por ciento o tanto por mil.

Ejemplo 32

Para un entrenamiento en matemáticas Juan, Raúl y Luís resolvieron individualmente cierta cantidad de ejercicios durante 3 meses. Se sabe que entre Juan y Luís resolvieron 270 ejercicios, que entre Luís y Raúl resolvieron 220 ejercicios y que entre Raúl y Juan resolvieron 250 ejercicios. Entonces Raúl resolvió: a) 110 ejercicios b) 125 ejercicios c) 100 ejercicios d) 120 ejercicios.

Solución

Se indica por J; R; L la cantidad de ejercicios resueltos por Juan, Raúl y Luís respectivamente.

Datos:

Ejercicios resueltos por: Análisis del problema.

Juan: J J + L = 270 ejercicios

Raúl: R L + R = 220 ejercicios

Luís: L J + R = 250 ejercicios

Como se han dado cuatro alternativas para la cantidad de ejercicios resueltos por Raúl, se determina en cada una de ellas la cantidad de ejercicios resueltos por Juan y la cantidad de ejercicios resueltos por Luís. La solución correcta para Raúl se obtiene cuando L + J = 270.

59

Si R = 110, entonces L = 110 y J = 240, pero 110 + 240 = 250. Falso.

Si R = 125, entonces L = 95 y J = 125, pero 95 + 125 = 210 falso.

Si R = 100, entonces L = 120 y J = 150, pero 120 + 250 = 270 verdadero.

Si R = 120, entonces L = 100 y J = 130, pero 100 + 130 = 230 falso.

La respuesta correcta es c). Raúl resolvió 100 ejercicios.

Ejemplo 33

Se tienen 60 m de cinta y se hacen cuatro cortes para dividirla en partes iguales. El primer pedazo se vende a $4,50 pesos cada metro, el segundo pedazo a $6,00 pesos el metro y el resto a $5,50 pesos el metro. ¿Cuánto se obtiene por la venta? Selecciona la respuesta correcta.

a) $ 3 225,00 b) $ 320,00 c) $ 322,50 d) $ 3 224,00

Solución

Como 69 ÷ 4 = 15 cada parte tiene una mediada igual 15 m.

(6,00)(15) + (4,50)(15) + (5,50)(30) = 322,50

La respuesta correcta es c). Se obtiene por la venta total $322, 50.

Ejemplo 34

Un artículo cuesta $ 474,00 pesos. Se puede comprar a plazos

entregando en el primer plazo 3

2

de su importe, en el segundo plazo la mitad de lo restante y en el tercero lo que le falta para completar el precio.

a) ¿Cuánto ha de pagar en cada plazo?

b) ¿Qué tanto por ciento del total pagó en el último plazo?

60

Solución

Inciso a) Primer plazo 2

3 de 474 =

2

3∙ 474 = 316

Falta por pagar 474 − 316 = 158.

La mitad de 158 es 1

2 de 158 =

1

2∙ 158 = 79

En el segundo Plazo y el tercer plazo se deben pagar 79.

Comprobación 316 + 79 + 79 = 474

Respuesta. En cada plazo pagará: $316,00; $79,00 y $79,00 respectivamente.

Inciso b) para calcular que tanto por ciento del total representa el último plazo se despeja x en la proporción.

(𝟖𝟒) 𝑷

𝑻=

𝒙

𝟏𝟎𝟎

Para despejar x en la fórmula (84), se multiplica por 100 cada miembro

de la igualdad. Por consiguiente: 𝑥 =79

474∙ 100 = 16, 6 Por

consiguiente, 𝑋 ≈ 16,67%

En la fórmula (84) hay tres parámetros: T que representa el todo, P que representa una parte del total y x que representa el tanto por ciento que es P de T. La proporción (43) permite calcular cualquiera de estos tres parámetros siempre que se conozcan los otros dos.

Esta fórmula también se utiliza para resolver problemas donde hay que calcular un tanto por 1000. En dado caso, es suficiente con sustituir al número 100 por el número 1000.

Ejemplo 35

Si un jugador de baseball ha bateado 120 hits en 250 turnos oficiales al bate y un segundo jugador ha bateado 132 hits en 263 turnos oficiales. ¿Cuál de los dos tiene mejor average?

Solución

61

Debemos calcular el average de cada jugador utilizando la fórmula (44), que es apropiada para calcular que tanto por mil es P de T.

(𝟖𝟓) 𝑷

𝑻=

𝒙

𝟏𝟎𝟎𝟎

Finalmente, se comparan ambos averages.

Primer jugador 𝑥 =120

250∙ 1000 = 480

Segundo jugador 𝑥 =132

263∙ 1000 = 501,9 ≈ 502

El segundo jugador tiene mejor average que el primero.

Ejemplo 36

La presa Zaza, en la provincia de Sancti Spíritus, es el mayor embalse de Cuba con una capacidad de 1020 000 000 de metros cúbicos de agua. ¿Cuántos litros del preciado líquido se almacenan en este embalse?

Solución

Para resolver el problema es más cómodo representar el número natural m = 1020 000 000 en notación científica. Para ello se representa al número natural m como el producto de la expresión decimal 1, 02 (mayor que cero y menor que 10) y el número 109 (potencia de base 10 cuyo exponente positivo indican cuantos lugares debe correrse la coma a la derecha si quiere reproducir el número m).

Esto es 𝑚 = 1,02 ∙ 109. Se conoce que un litro equivale a un decímetro cubico, como un metro equivale a 10 decímetros resulta que 1𝑚3 =103𝑑𝑚3 la cantidad de decímetros cúbicos de la presa es 1,02 ∙ 109 ∙

103𝑑𝑚3 = 1.02 ∙ 1012𝑑𝑚3

R/ En el embalse del Zaza tiene una capacidad de 1.02 ∙ 1012𝐿.

Ejemplo 37

La masa corporal de un bebé de 3 a 12 meses se estima mediante la

fórmula (86) 𝑀 =𝑚+11

2,2 donde m designa la cantidad de mesen y se

expresa en kilogramos. ¿Cuánto pesa un bebé de 6 meses, en libras?

62

Solución

Se determina la masa en kilogramos para m = 6.

𝑴 =𝟔+𝟏𝟏

𝟐,𝟐= 𝟕. 𝟕𝟑 𝑲𝒈

Como una un kilogramo equivale a 2,2 lb. 𝑀 = 7.73 ∙ 2,2 = 17𝑙𝑏.

Ejemplo 38

La fórmula de Weech (87) 𝑇 = (2,5𝑒 + 34) ∙ 2,54 se utiliza para estimar la talla (T) en centímetros de un niño de 2 a 14 años en función de la edad (e) en años.

¿Qué estatura aproximada debe tener un niño de 10,42 años?

Si un niño de 9 años mide 1,35 m, ¿puede afirmarse que su estatura está acorde con su edad?

Solución

Para e = 10,42 años se cumple. 𝑇 = (2,5𝑒 + 34) ∙2,54 aproximadamente.

𝑻 = [(𝟐, 𝟓) ∙ (𝟏𝟎, 𝟒𝟐) + 𝟑𝟒] ∙ 𝟐, 𝟓𝟒 = 𝟏𝟓𝟎 𝒄𝒎

Para un niño de 9 años 𝑇 = [(2,5) ∙ (9) + 34] ∙ 2,54 = 143,51 𝑐𝑚 ≈1,44 𝑚 La respuesta es no.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

Determine un conjunto A cuyos elementos sean objetos presentes en su esfera de trabajo. Defínalo por extensión y represéntelo en notación tabular.

Ejercicio 2

63

Determine un conjunto B cuyos elementos sean objetos presentes en su esfera de trabajo. Defínalo en forma descriptiva y represéntelo en notación constructiva.

Ejercicio 3

Sea A = {1, 3, 7, 10} un conjunto. Enuncie con palabras cada una de las proposiciones indicadas a continuación y escriba en la línea en blanco V o F según la considere verdadera o falsa respectivamente.

a) 1 A ____ b) 7 A ____ e) 10 A ____

c) 3 A ____ d) 8 A ____ f) 8 A ____

Ejercicio 4

Dados los conjuntos:

𝐴 = {0,23; 4; −5, 72; 1; −3}; 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑍 ∣ −3 ≤ 𝑥 < 3}; 𝐶 = {𝑥 ∈

𝑅 ∣ −3 ≤ 𝑥 < 3}

Represente los conjuntos dados en la recta numérica.

Indique el conjunto universal 𝒰 con que se trabaja en cada conjunto dado.

Ejercicio 5

Dibuje un diagrama de Venn para representar las siguientes inclusiones:

a) 𝐴 ⊂ 𝐵 b) 𝐴 ⊂ 𝐴 c) (𝐴 ⊂ 𝐵) ⊂ 𝐶 d) 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑦 𝐴 ⊂ 𝐶

Ejercicio 6

Construya tres subconjuntos A, B y C del conjunto R de manera que se cumplan las condiciones siguientes: 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑦 𝐴 ⊂ 𝐶,𝑝𝑒𝑟𝑜 𝐵 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐶

Represente los conjuntos A, B y C en la recta numérica.

Ejercicio 6

Represente en un diagrama de Venn los conjuntos:

64

𝐴 ∪ 𝐵 𝐴 ∩ 𝐵 𝐴 ∖ 𝐵

𝐴𝑐 Ejercicio 7

Utilice diagramas de Venn para comprobar la validez de las propiedades asociativa y distributiva de las operaciones con conjuntos.

Sugerencia, utilice un diagrama con el de la Figura 1 para cada miembro de la igualdad que se demuestra. La proposición es cierta si en cada miembro se obtiene el mismo conjunto.

Ejercicio 8

Sean los conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∣ 0 ≤ 𝑥 < 3}; 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∣ −2 < 𝑥 ≤3} y 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∣ −3,9 ≤ 𝑥 ≤ 5,3}.

Represente los conjuntos dados como intervalos en la recta numérica.

Halle el conjunto 𝐷 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 y represéntelo en la recta numérica.

Construya el conjunto 𝐸 = (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 ∖ 𝐶 y represéntelo en la recta numérica.

Ejercicio 9

𝒰 A

C

B

65

Determine si las proposiciones que siguen son verdaderas o falsas. En caso de falso fundamente.

___ el número 2017 es natural.

___ el número – 2,017 es fraccionario.

___ el número 3,1416… es racional.

___ el número – 2017 es entero.

___ el número 2017 es real.

Ejercicio 10

Determine si las proposiciones que siguen son verdaderas o falsas. En caso de falso fundamente.

___ −441 ∈ ℕ

___ −441 ∉ ℤ

___ −441 ∉ ℝ

___ √31 ∈ ℚ

___ 4,532̅̅̅̅ ∈ ℚ+

___ 𝜋 ∈ ℝ

Ejercicio 11

Sustituya en el espacio en blanco uno de los símbolos ∈; ∉; ⊂; ⊄ de manera que se obtenga una proposición verdadera.

−190 441 ____ℕ

ℕ____ℝ

ℤ ___ℚ+

1 034 780 ____ℝ

Ejercicio 12

Complete el espacio en blanco de manera que resulte una proposición verdadera.

66

El dominio numérico más restringido que contiene al número 2,7017 … es __________

El dominio numérico más restringido que contiene al número 2,7428̅̅ ̅̅ ̅ es __________

El dominio numérico más restringido que contiene al número −2,70 es __________

El dominio numérico más restringido que contiene al número −2701 es __________

El dominio numérico más restringido que contiene al número 701 es __________

Ejercicio 13

Complete el espacio en blanco con la relación apropiada <; >; ≤; ≥ y fundamente en cada caso.

12

23_____

11

12

18

5 ___

36

10

−3

5 ___

4

7

−8

13 ___ −

7

15

−0,16 _____ − 0,14

−2,00596 _____0,0014

Ejercicio 14

Represente los números fraccionarios 13

17;

21

4;

37

13 𝑦

23

40 como

expresiones decimales.

Determine si alguna es finita.

determine parte entera y la parte fraccionaria.

67

Para las infinitas indique el período y el anteperíodo si existe. El anteperiodo está formado por las cifras decimales que anteceden al periodo.

Ejercicio 15

Verifique, mediante ejemplos concretos, que toda fracción cuyo denominador puede descomponerse como producto de potencias de base 2 o de base 5, admiten una representación como expresión decimal finita.

Ejercicio 16

Represente los siguientes números racionales como expresiones

decimales y ubíquelos en la recta numérica: 123

8; −

7

16; −

15

6;

11

12 𝑦 −

31

18

Ejercicio 17

Simplifique las expresiones siguientes y si es posible efectúe y determine el valor numérico.

3−1 + 50 b) 40(3−1 + 6−1) c) 42(4−2 + 22) d) 5−2∙4

4−1∙5

Ejercicio 18

Ordene los números a, b y c de menor a mayor e indique el dominio numérico más restringido al que pertenece cada uno de ellos.

𝑎 =950∙320

3121 ; 𝑏 =629∙915

1830 ; 𝑐 = 1530

915∙532

Ejercicio 19

Compare los números a y b

𝑎 =83+8−3

362−36−2; 𝑏 =810,25+9−0,5

(−27)3+(−8)3

Ejercicio 20

Exprese como radical y simplifique si es posible:

68

41

2 b) 81

3 c) 271

3 d) 93

2 e) 163

2

Ejercicio 21

Exprese como potencia y simplifique si es posible:

√𝑎23 b) √𝑎3𝑏 c) √3𝑥𝑦24

d) √𝑎2𝑥25 e) √𝑥3𝑦𝑧35

Ejercicio 22

Aplique las leyes de los radicales

𝑎) √3

5∙ √15 ; 𝑏) √9

3÷ √3

3 c) √2

3√53

d) √23

√24

e) √213

√73

Ejercicio 23

Simplifique los radicales siguientes extrayendo factores del radicando.

𝑎) √276

; b) √32 ; c) √75 d) √20 e)√3753

Ejercicio 24

Introduzca el factor externo como factor del radicando.

𝑎) 4√23

; b) 3√𝑥 ; c) 𝑥√2 d) 2𝑥√5𝑥 e)3√53

Ejercicio 25

Simplifique los radicales siguientes por reducción de sus índices.

√44

b) √364

c) √166

d) √276

e) √𝑎24

Ejercicio 26

Racionalice las expresiones siguientes

√2

5 b)

2

√3 c)

3

√84 d)

√7𝑥3

√9𝑥23 e) 3

√5+2 f)

−6

7−√8 g)

√2

√5+√3

Ejercicio 27

Calcule

69

𝑎) √2 − √18 + √32 𝑏) √543

− √23

− √163

c) −√12 + 2√27 −

5√75 + 3√48

Ejercicio 28

Efectúe las operaciones indicadas

a) √2 ∙ √3

b) 4√3 ∙ 2√6

c) √53

∙ √34

∙ √36

d) (2 + √3)(√5 + 7)

e) √6 ÷ √2

f) √15 ÷ √3

g) 2√3 ÷ √8

h) (√𝑎3)2

i) √√123

Ejercicio 29

Calcule los logaritmos que se indican

𝑎) log10 1000

b) log5 125

c) log2 64

d) log2 512

e) log10 1

f) log4 1

g) log2 √2

Ejercicio 30

70

Escriba como logaritmo las igualdades siguientes:

a) 25 = 32 b) 2−2 = 0,25 c) 51

2 = √5

Ejercicio 31

Exprese como un solo logaritmo

𝑎) log2 10 + log2 6 − log2 15 b) log 5 − log 12 + log 24

Ejercicio 32

Compruebe que las igualdades siguientes son verdaderas

log2 4 + log2 8 = log2 32

2 log3 9 = log3 81

log5 3125 − log5 125 = log5 25

Ejercicio 33

El 30% de las vacas de una granja fueron inseminadas el lunes. El martes se inseminaron 28 y aún queda la mitad de las vacas por inseminar. ¿Cuántas vacas se inseminaron el lunes?

Ejercicio 34

En el Clásico Mundial de Beisbol, sin contar los directivos, entrenadores

e invitados, participan 448 peloteros y los 13

28 de este total de

participantes son lanzadores. Si el 20% del resto de los peloteros que asistieron al evento deportivo son receptores. ¿Cuántos jardineros y jugadores de cuadro participaron en el Clásico Mundial de Beisbol del 2017?

Ejercicio 35

El perímetro de un terreno de forma rectangular es de 52,2 m y uno de sus lados excede al otro en 11,19 m. ¿Qué tanto por ciento del perímetro representa el mayor de los lados?

Ejercicio 36

71

El radio de la base de un cilindro circular recto se aumenta en un 25% mientras que la altura se disminuye en un 20% ¿En qué porcentaje varía el volumen del cilindro?

En una ciudad africana se registraron 4500 nacimientos en el año 2017 y ocurrieron 27 fallecimientos. ¿Cuál fue la tasa de mortalidad infantil de esa ciudad africana?

¿Cuántas vidas debieron ser salvadas para reducir esta tasa a 2,3 por cada mil infantes nacidos vivos?

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

p. 8. Ejercicios del 1 al 4

pp. 106 – 108. Ejercicios del 1 al 4.

pp. 57 – 58. Ejercicios del 1 al 3.

p. 110. Ejercicios 1 y 2.

pp. 58 – 59. Ejercicios del 4 al 7.

pp. 112 – 113. Ejercicios 1.

pp. 59 – 60. Ejercicios del 8 al 12.

pp. 115 – 116. Ejercicios 1 y 2.

pp. 118 – 119. Ejercicios 1 y 2.

pp. 60 – 64. Ejercicios del 13 al 29.

pp.19 – 21. Ejercicios 1 al 7; 9 y 10.

pp. 64 – 65. Ejercicios del 30 al 34.

72

73

CAPÍTULO 2. TRABAJO ALGEBRAICO

Sumario: Adición, sustracción y multiplicación de polinomios (se

incluyen los productos notables: (a b)2, (a + b) (a - b), (a b)3, (ax + b) (cx + d). Descomposición factorial: factor común, factor común por agrupamiento, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomios de la forma x2 + px + q y de la forma mx2 + px + q. Completamiento cuadrático.

División de polinomios. Regla de Ruffini o Horner. Descomposición de

polinomios que contengan divisores o factores de la forma (x + a) x -

a, a 0. Suma y diferencia de cubos. Ejercicios combinados de descomposición en factores.

Concepto de fracción algebraica. Cambios de signos en una fracción que garantizan que su valor permanezca invariante. Simplificación de fracciones algebraicas. Multiplicación y división de fracciones algebraicas. Adición y sustracción de fracciones algebraicas. Operaciones combinadas con fracciones algebraicas.

2.1. Adición y sustracción de polinomios. Productos notables

Para comprender el concepto polinomio y efectuar operaciones con estos es necesario conocer el concepto monomio. Se denomina monomio a un número, a una variable, a la multiplicación indicada de números y variables así como a la multiplicación indicada de números y variables elevadas a exponente positivo.

Ejemplo 1 (Monomios)

La expresión 3𝑥7 es un monomio.

El número 17 también es un monomio.

La variable x también es un monomio.

la potencia 𝑦5 también es un monomio.

En el inciso a), el monomio 3𝑥7 tiene la estructura más completa. El número 3 representa su parte numérica o el coeficiente numérico. La potencia 𝑥7 es su parte literal.

74

Es importante comprender que todo monomio tiene parte numérica y parte literal:

En el inciso b) la parte numérica del monomio es 17 y la parte literal se considera que es una variable arbitraria con exponente cero. En este caso, dicha variable no puede tomar el valor cero. Por lo tanto 17 puede ser el monomio 17𝑥0.

En el inciso c) la parte numérica del monomio es el número 1. De hecho, el coeficiente 1 no se escribe. Tampoco se escribe el exponente 1 de la variable. En realidad 𝑥 = 1𝑥1

En el inciso d) el monomio 𝑦5 tiene la forma 1𝑦5 solo que el coeficiente 1 no se escribe.

Definición 1 (Polinomio)

Se denomina polinomio a la suma o la diferencia indicada de monomios.

Ejemplo 2 (Polinomios)

𝟓𝒙𝟒𝒚𝟑 + 𝟏𝟐𝒙𝟑𝒚𝟒 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟓

𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟗

Algunos polinomios tienen nombres especiales:

La suma algebraica, o sea, la suma o diferencia indicada de dos monomios se llama binomio. Por ejemplo: 3𝑥 + 1; 2𝑦 − 7; 𝑥2 −

𝑦2; 𝑒𝑡𝑐.

La suma algebraica de tres monomios se llama trinomio. Por ejemplo,

3𝑥2 + 𝑥 − 13; 𝑥3 + 6𝑥2 − 8𝑥; 𝑒𝑡𝑐.

En un polinomio de la forma

(𝟏) 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎

Al mayor exponente de la variable se denominan grado del polinomio. En la expresión (1) los coeficientes 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎0 son números reales con 𝑎𝑛 ≠ 0.

75

Considere dos polinomios, denotados M(x) y N(x) para mayor comodidad:

𝑴(𝒙) = 𝟓𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟓 y 𝑵(𝒙) = 𝟏𝟐𝐱𝟑 + 𝟒𝐱𝟐 + 𝟗.

Hallar la suma de dos polinomios M(x) y N(x), significa encontrar un polinomio S(x) cuyos coeficientes se obtienen sumando los coeficientes de los monomios del mismo grado en los polinomios dados. La operación que consiste en hallar la suma de dos (o más) polinomios se llama adición de polinomios.

Ejemplo 3 (Suma de polinomios)

𝑺(𝒙) = 𝑴(𝒙) + 𝑵(𝒙)

= (𝟓𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟓) + (𝟏𝟐𝐱𝟑 + 𝟒𝐱𝟐 + 𝟗 )

= (𝟓 + 𝟎)𝒙𝟒 + (𝟕 + 𝟏𝟐)𝐱𝟑) + (−𝟐 + 𝟒)𝐱𝟐) + (𝟔 + 𝟎)𝒙) +

(−𝟓 + 𝟗)

= 𝟓𝒙𝟒 + 𝟏𝟗𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟒

Otro procedimiento para efectuar la suma de los polinomios dados se representa a continuación:

𝟓𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟓

𝟏𝟐𝐱𝟑 + 𝟒𝐱𝟐 + 𝟗

𝟓𝒙𝟒 + 𝟏𝟗𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟒

Hallar la diferencia de dos polinomios M(x) y N(x) significa encontrar un polinomio D(x), que se obtiene sumando al polinomio M el opuesto de N. Es decir:

𝑫(𝒙) = 𝑴(𝒙) + [−𝑵(𝒙)]

Ejemplo 4

𝑀(𝒙) − 𝑵(𝒙) = 𝑴(𝒙) + [−𝑵(𝒙)]

= (𝟓𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟓) + (−𝟏𝟐𝐱𝟑 − 𝟒𝐱𝟐 − 𝟗 )

76

= (𝟓 + 𝟎)𝒙𝟒 + (𝟕 − 𝟏𝟐)𝒙𝟑 + (−𝟐 − 𝟒)𝒙𝟐 + (𝟔 + 𝟎)𝒙 + (−𝟓 −𝟗)

= 𝟓𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏𝟒

Segundo procedimiento de cálculo:

𝟓𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟓

−𝟏𝟐𝐱𝟑 − 𝟒𝐱𝟐 − 𝟗

𝟓𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏𝟒

El grado del polinomio suma y el grado del polinomio diferencia coincide con el grado superior entre los grados de los polinomios que representan los términos de la operación. Los polinomios S(x) y D(x) son de cuarto grado.

2.2. Multiplicación de polinomios

Para comprender esta operación debe dominar la regla (61) del cálculo con potencias (Ver tema 1, Teorema 10: p. 20) y el procedimiento para multiplicar un monomio por un polinomio. Observe dicho procedimiento en el siguiente ejemplo, preste atención a la determinación del coeficiente y el exponente de la variable en cada monomio del resultado.

Ejemplo 5 (Multiplicación de un monomio por polinomio)

(𝟔𝒚𝟑) ∙ (−𝟒𝒚𝟐 + 𝟖𝒚𝟑 − 𝒚𝟒) = (𝟔𝒚𝟑)(−𝟒𝒚𝟐) + (𝟔𝒚𝟑)(𝟖𝒚𝟑) −

(𝟔𝒚𝟑)(𝒚𝟒)

= (−𝟐𝟒𝒚𝟓) + (𝟒𝟖𝒚𝟔) − 𝟔𝒚𝟕

= −𝟐𝟒𝒚𝟓 + 𝟒𝟖𝒚𝟔 − 𝟔𝒚𝟕

Ejercicio 1

Enuncie una regla que generalice las acciones a efectuar para llegar al resultado final en el proceso de multiplicar un monomio por un polinomio. Auxíliese de los casos particulares siguientes:

𝑨(𝑩 + 𝑪)

77

𝑨(𝑩 + 𝑪 + 𝑫)

𝑨(𝑩 + 𝑪 + 𝑫 + 𝑬)

En el Ejemplo 6 se multiplica un binomio por un polinomio. Observe el proceso de solución y compruebe que el primer paso se reduce a aplicar el procedimiento del Ejemplo 5 más de una vez.

Ejemplo 6

(𝟐𝒙 + 𝟏)(𝟑𝒙 − 𝟐) = (𝟐𝒙)(𝟑𝒙 − 𝟐) + (𝟏)(𝟑𝒙 − 𝟐)

= (𝟔𝒙𝟐 − 𝟒) + (𝟑𝒙 − 𝟐)

= 𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟔

Ejercicio 2

Enuncie una regla que generalice las acciones a efectuar para llegar al resultado final en el proceso de multiplicar un polinomio por otro polinomio. Auxíliese de los casos particulares siguientes:

(𝑨 + 𝑩)(𝑪 + 𝑫)

(𝑨 + 𝑩)(𝑪 + 𝑫 + 𝑬)

(𝑨 + 𝑩 + 𝑪)(𝑫 + 𝑬 + 𝑭)

Productos notables: (a b)2, (a + b)(a - b), (a b)3, (ax + b)(cx + d)

Algunos productos de polinomios se presentan con frecuencia en las transformaciones algebraicas imprescindibles para resolver diversos problemas. Los resultados de estos productos son fáciles de recordar, ¡y deben ser recodados! Suelen llamarse productos notables.

Ejercicio 3

Efectúe los productos notables indicados a continuación. Memorice los resultados que se obtienen en cada caso.

(𝑨 + 𝑩)(𝑪 + 𝑫) =

78

(𝑨 + 𝑩)(𝑨 − 𝑩) =

(𝑨 + 𝑩)𝟐 = (𝑨 + 𝑩)(𝑨 + 𝑩) =

(𝑨 − 𝑩)𝟐 = (𝑨 − 𝑩)(𝑨 − 𝑩) =

(𝐀 + 𝐁)𝟑 = (𝐀 + 𝐁)(𝐀 + 𝐁)𝟐 =

(𝐀 − 𝐁)𝟑 = (𝐀 − 𝐁)(𝐀 − 𝐁)𝟐 =

(𝑨 + 𝑩)(𝑨𝟐 − 𝑨𝑩 + 𝑩𝟐) =

(𝑨 − 𝑩)(𝑨𝟐 + 𝑨𝑩 + 𝑩𝟐) =

(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) =

(𝒂𝒙 + 𝒃)(𝒄𝒙 + 𝒅) =

Descomposición factorial: factor común, factor común por agrupamiento, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomios de la forma: x2 + px + q y mx2 + px + q. Completamiento cuadrático.

2.3. Descomposición factorial

Descomponer en factores, o sea, convertir sumas en productos es una habilidad necesaria para trabajar y resolver problemas en Matemática Básica. El dominio de los productos notables representa una gran ayuda al efectuar acciones y operaciones de factorización. A continuación se presentan las técnicas de factorización citadas en el título.

Factor común

En el Ejemplo 5 se efectuó la multiplicación del monomio 𝐴 = 6𝑦3por el trinomio 𝐸 = −4𝑦2 + 8𝑦3 − 𝑦4, con el resultado 𝑃 = −24𝑦5 +48𝑦6 − 6𝑦7. Suponga que está dado el trinomio P, pero usted no conoce los factores A y E que lo originaron. ¿Cómo encontrar factores que hayan originado al polinomio P?

La resolución del problema formulado es una técnica de factorización, denominada extracción del factor común. Veamos qué acciones se realizan para resolver este problema.

79

Si analizan los coeficientes del trinomio dado, observarán que todos son múltiplos de 6. En efecto, −24 = 6(−4); 48 = 6(8); −6 =6(−1).

Si analizan la parte literal de cada monomio de P, observarán que todas

contienen al factor 𝑦5. En efecto 𝑦5 = 𝑦5(1); 𝑦6 = 𝑦5(𝑦1); 𝑦7 =

𝑦5(𝑦2).

Conclusión: el monomio 6𝑦5 es un factor común para todos los monomios del trinomio P.

Para obtener la descomposición en factores se efectúan las siguientes operaciones:

El trinomio P se escribe como un producto donde uno de los factores

es 6𝑦5. Por lo tanto 𝑃 = 6𝑦5().

Para determinar el otro factor se divide cada monomio de P entre el

factor común hallado 6𝑦5. Por ejemplo: −24𝑦5

6𝑦5 = −4; 48𝑦6

6𝑦5 =

8𝑦; −6𝑦7

6𝑦5 = −𝑦2

Dentro del paréntesis se ubican los resultados de las divisiones efectuadas.

Resultado: −24𝑦5 + 48𝑦6 − 6𝑦7 = 6𝑦5(−4 + 8𝑦 − 𝑦2)

Generalizando, puede afirmarse que:

Si un polinomio 𝑃 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐴𝐷 contiene un factor común A , entonces se escribe como producto en la forma:

(𝟐) 𝑨𝑩 + 𝑨𝑪 + 𝑨𝑫 = 𝑨(𝑩 + 𝑪 + 𝑫)

2.3.1. Factor común por agrupamiento

Según el inciso 1 del Ejercicio 3 se cumple:

(𝟑) 𝑨𝑪 + 𝑩𝑪 + 𝑨𝑫 + 𝑩𝑫 = (𝑨 + 𝑩)(𝑪 + 𝑫) Muchas sumas tienen una estructura parecida a la del miembro izquierdo de la igualdad (3). Por lo tanto, existe la posibilidad de expresarlas en forma de un producto semejante al del miembro derecho de esta misma igualdad.

80

En general se cumple, toda suma algebraica cuya estructura presente la forma 𝐴𝐶 + 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 + 𝐵𝐷, o pueda ser representada de esta manera, se expresa como producto en la forma (𝐴 + 𝐵)(𝐶 + 𝐷). La técnica de factorización basada en la igualdad (3) se denomina extracción del factor común por agrupamiento o simplemente agrupamiento.

En el siguiente ejemplo se muestran acciones y operaciones necesarias para aplicar la técnica de factorización por agrupamiento.

Ejemplo 7

Descomponga en factores el trinomio 4𝑚4 − 15𝑚2𝑝3 + 9𝑝6

Solución

Pensando en aplicar la técnica de agrupamiento se hace necesario transformar la suma algebraica dada, pues la misma solo tiene tres monomios y se necesitan cuatro. Una alternativa, es descomponer el monomio −15𝑚2𝑝3 en dos sumandos. Por ejemplo −15𝑚2𝑝3 =−12𝑚2𝑝3 − 3𝑚2𝑝3. Esta elección la da la experiencia y está orientada a la búsqueda de resultados como los de los pasos 3, 4 y 5.

Sustituyendo este resultado en la expresión original resulta 4𝑚4 −12𝑚2𝑝3 − 3𝑚2𝑝3 + 9𝑝6.

Se agrupan el primero y el segundo monomio, para extraer factor común. Por ejemplo (4𝑚4 − 12𝑚2𝑝3) = 4𝑚2(𝑚2 − 3𝑝3). En otros casos, pueden agruparse o bien primero y tercero o bien primero y cuarto.

Se agrupan los otros dos monomios con el objetivo de extraer otro factor común, pero de manera que uno de los factores del paso anterior aparezca como factor en la nueva descomposición. Por

ejemplo (−3𝑚2𝑝3 + 9𝑝6) = −3𝑝3(𝑚2 − 3𝑝3).

Observe como las descomposiciones de los pasos 3 y 4 tienen al factor (𝑚2 − 3𝑝3) común.

En la suma 4𝑚2(𝑚2 − 3𝑝3) − 3𝑝3(𝑚2 − 3𝑝3) se extrae el factor común (𝑚2 − 3𝑝3).

81

Como resultado de este proceso, se tiene: 4𝑚4 − 12𝑚2𝑝3 −3𝑚2𝑝3 + 9𝑝6 = (𝑚2 − 3𝑝3)(4𝑚2 − 3𝑝3).

Ejercicio 4

Identifique en la expresión 4𝑚4 − 12𝑚2𝑝3 − 3𝑚2𝑝3 + 9𝑝6 los factores A, B, C y D de manera que esta adquiera la estructura del miembro izquierdo de la igualdad (3) y el resultado de la transformación en producto tenga la forma (A + B)(C + D) del miembro derecho de la esta igualdad (3).

Ejercicio 5

Escriba como producto.

𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒚𝟐 − 𝟔𝒙𝒚 − 𝟑𝒙𝟐𝒚

𝟐𝒎𝒑𝟐 + 𝟔𝒎𝒒 − 𝟕𝒏𝒑𝟐 − 𝟐𝟏𝒏𝒒

𝒙𝟐𝒂𝟑 − 𝒙𝟐𝒃𝟑 + 𝟑𝒚𝟐𝒂𝟑 − 𝟑𝒚𝟐𝒃𝟑

2.3.2. Diferencia de cuadrados

A veces, es necesario descomponer en factores a un binomio que tiene forma de diferencia de dos cuadrados perfectos, es decir, la forma 𝐴2 − 𝐵2. Un resultado como este se obtuvo al efectuar el producto notable correspondiente al inciso 2 del Ejercicio 3. Por consiguiente, usted habrá concluido que es correcta la igualdad:

(𝟒) 𝑨𝟐 − 𝑩𝟐 = (𝑨 + 𝑩)(𝑨 − 𝑩)

La técnica de descomposición en factores que se basa en la igualdad (4) se denomina diferencia de cuadrados.

Ejemplo 8

Escriba el binomio 36𝑥2𝑦4 − 81𝑧6𝑢8 como producto.

Solución

Si tiene la intención de aplicar la técnica diferencia de cuadrados, lo primero es comprobar que el binomio dado realmente tiene la forma de una diferencia de cuadrados. Para ello, es suficiente determinar la base de cada cuadrado perfecto.

82

El monomio 36𝑥2𝑦4 = (62)(𝑥2)((𝑦2)2). Por lo tanto, es un cuadrado perfecto de base 𝐴 = 6𝑥𝑦2.

Análogamente, el monomio 81𝑧6𝑢8 es un cuadrado perfecto de base 𝐵 = 9𝑧3𝑢4.

Por lo tanto 36𝑥2𝑦4 − 81𝑧6𝑢8 = (6𝑥𝑦2)2 − (9𝑧3𝑢4)2

= (6𝑥𝑦2 + 9𝑧3𝑢4)(6𝑥𝑦2 − 9𝑧3𝑢4)

Ejercicio 6

Compruebe en cada caso que el binomio dado es una diferencia de cuadrado determinando las bases A y B. Escriba este binomio como producto aplicando la igualdad (4).

𝟒𝟗𝒙𝟔𝒚𝟒 − 𝟗𝒛𝟐𝒖𝟖

𝟖𝟏𝒂𝟐𝒃𝟒 − 𝟔𝟒𝒂𝟏𝟎𝒃𝟖

2.3.3. Trinomio cuadrado perfecto

Según el resultado de los incisos 3 y 4 del Ejercicio 3 se cumple:

(𝟓) 𝑨𝟐 + 𝟐𝑨𝑩 + 𝑩𝟐 = (𝑨 + 𝑩)𝟐

(𝟔) 𝑨𝟐 − 𝟐𝑨𝑩 + 𝑩𝟐 = (𝑨 − 𝑩)𝟐

Por consiguiente, cualquier trinomio que pueda ser representado como el miembro izquierdo de alguna de las igualdades (5) o (6) constituye un cuadrado perfecto y puede escribirse como producto utilizando el miembro derecho de la igualdad correspondiente.

La técnica de descomposición en factores que se basa en las igualdades (5) o (6) se denomina representación como cuadrado perfecto. Para aplicar esta técnica es suficiente identificar en el trinomio dado las expresiones A y B, para luego aplicar alguna de las igualdades (5) o (6) según corresponda.

Ejemplo 9

Investigue si el trinomio 9𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 4𝑦2. En caso afirmativo, escríbalo como producto utilizando las igualdades (5) o (6) según corresponda.

83

Solución

Si se sospecha que el trinomio dado es un trinomio cuadrado perfecto investigamos su primer término. En este caso 9𝑥2 = (3𝑥)2, por lo tanto es un cuadrado perfecto y podemos escribirlo en la forma con 𝐴 = 3𝑥.

El tercer término del trinomio dado también puede ser escrito en la

forma 𝐵2 con 𝐵 = 2𝑦.

Investigamos el término medio y comprobamos que −12𝑥𝑦 =−2(3𝑥)(2𝑦) = −2𝐴𝐵.

Concluimos que el trinomio dado es un trinomio cuadrado perfecto y aplicado la igualdad (6) resulta: 9𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 4𝑦2 = (3𝑥)2 −2(3𝑥)(2𝑦) + (2𝑦)2 = (3𝑥 − 2𝑦)2

Ejercicio 7

Investigue si los trinomios dados a continuación son cuadrados perfectos. En caso afirmativo, expréselos en forma de producto.

𝟏𝟔𝒂𝟐 + 𝟒𝟖𝒂𝒃 + 𝟑𝟔𝒃𝟐

𝟗𝒂𝟒𝒃𝟔 − 𝟑𝟎𝒂𝟐𝒃𝟑𝒄 + 𝟐𝟓𝒄𝟐

𝟏𝟒𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝟖𝒙𝒃𝟐 + 𝟒𝒃𝟐

2.3.4. Trinomios de la forma x2 + px + q

Al calcular el producto notable 9 del Ejercicio 3 se obtuvo 𝑥2 +(𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏. Por tanto, aquellos trinomios que admiten una representación de este tipo se expresan como producto en la forma (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏). O sea, se cumple la igualdad

(𝟕) 𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃 = (𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃)

Ejemplo 10

Descomponga en factores el trinomio 𝑥2 − 5𝑥 − 84

84

Solución

Para obtener la descomposición aplicando la igualdad (7) conocida como Teorema de Vieta, se buscan dos números cuya suma algebraica es igual a (- 5) y su producto es igual a (– 84). Según las condiciones del ejercicio los números a y b buscados tienen signos contrarios y el mayor es negativo. Mediante un tanteo inteligente se buscan factores a y b tales que ab = - 84 y calculamos su suma a + b. Ver la tabla que sigue.

a −𝟖𝟒 −𝟒𝟐 −𝟐𝟏 −𝟏𝟒 −𝟏𝟐 b 1 2 4 6 7

a + b −79 −40 −17 −8 −5

Resultado 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟖𝟒 = 𝒙𝟐 + (−𝟏𝟐 + 𝟕)𝒙 + (−𝟏𝟐)(𝟕)

= (𝒙 + 𝟕)(𝒙 − 𝟏𝟐)

Ejercicio 8

Descomponga en factores el trinomio dado en cada inciso

𝐱𝟐 + 𝟏𝟎𝐱 + 𝟐𝟏

𝐱𝟐 − 𝟕𝐱 + 𝟏𝟎

𝐱𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟏

𝐱𝟔 − 𝟕𝒙𝟑 + 𝟏𝟎

2.3.5. Trinomios de la forma mx2 + px + q

Cuando se calculó el producto notable (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑) del Ejercicio 3, inciso 10, el resultado que se obtuvo fue un trinomio de la forma 𝑎𝑐𝑥2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥 + 𝑏𝑑. Por consiguiente, la siguiente igualdad es correcta.

(𝟖) 𝒂𝒄𝒙𝟐 + (𝒂𝒅 + 𝒃𝒄)𝒙 + 𝒃𝒅 = (𝒂𝒙 + 𝒃)(𝒄𝒙 + 𝒅)

85

Según la igualdad (8) algunos trinomios de la forma 𝑚𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 admiten una descomposición como producto, donde los factores son del tipo: (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑦 (𝑐𝑥 + 𝑑).

Naturalmente, los números reales a, b, c y d deben cumplir algunas condiciones. A saber: 𝑎𝑑 = 𝑚; 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = 𝑝; 𝑏𝑑 = 𝑞.

Ejemplo 11

Descomponga en factores el trinomio 5𝑥2 − 8𝑥 + 3

Solución

Si el trinomio dado admite descomposición en factores, esta se expresa en la forma (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑) según la igualdad (8). El problema es encontrar los números a, b, c y d que permitan escribir el trinomio como en el miembro izquierdo de esta igualdad (8). Estrategia heurística para determinar los factores (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑦 (𝑐𝑥 + 𝑑) si existen.

Plantear ambos factores según el esquema indicado. Cada línea de la parte superior representa uno de los factores buscados.

Esquema indicado 𝐚𝐱 + 𝐛 𝒄𝒙 + 𝒅

(𝒂𝒅 + 𝒃𝒄)𝒙 Comprobar si se cumplen las condiciones:

(𝒂𝒙)(𝒄𝒙) = 𝒎𝒙𝟐;

𝒃𝒅 = 𝒒

𝟑) (𝒂𝒙)𝒅 + (𝒄𝒙)𝒃 = 𝒑𝒙

Garantizar las condiciones 1) y 2) es sencillo. El problema es que se cumpla la condición 3). Si es necesario se harán varias pruebas, pero puede no existir la descomposición en factores que se busca,

Primera prueba:

Se escogen los números 𝑎 = 5 𝑦 𝑐 = 1 porque (5𝑥)(𝑥) = 5𝑥2. Un resultado análogo se obtiene con la elección 𝑎 = −5 𝑦 𝑐 =−1 porque (−5𝑥)(−𝑥) = 5𝑥2.

86

Se escogen los números 𝑏 = 3 𝑦 𝑑 = 1 porque 3 ∙ 1 = 3. Otra alternativa es 𝑏 = −3 𝑦 𝑑 = −1 porque (−3)(−1) = 3.

Planteo del esquema indicado en los primeros casos:

𝟓𝒙 + 𝟑 𝒙 + 𝟏

(5x)(1) ((𝟓𝒙)(𝟏) +(𝒙)(𝟑) = 𝟖𝒙

La primera prueba se desecha porque 8𝑥 ≠ −8𝑥.

Se consigue el resultado esperado al realizar una segunda prueba con el esquema siguiente:

𝟓𝒙 − 𝟑 𝒙 − 𝟏

(𝟓𝒙)(−𝟏) + (𝒙)(−𝟑) = −𝟖𝒙

Puede afirmarse entonces que 5𝑥2 − 8𝑥 + 3 = (5𝑥 − 1)(𝑥 − 1)

Ejercicio 9

Descomponga en factores

𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟑

𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟔

𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟒

𝟑𝒙𝟔 − 𝟑𝟕𝒙𝟑 + 𝟏𝟐

2.4. Completamiento cuadrático

Muchas veces hace falta completar trinomios de manera que contengan un cuadrado perfecto. Para ello se añade un sumando que suele llamarse complemento cuadrático.

Ejemplo 12

Calculemos el complemento cuadrático de 𝑥2 + 10𝑥

87

Solución

El binomio 𝑥2 + 10𝑥 = 𝑥2 + 2 ∙ 5𝑥 si recuerda la igualdad (5) observará que añadiendo el sumando 52 se transforma el binomio dado en un trinomio cuadrado perfecto del tipo (𝑥 + 5)2. El complemento cuadrático es en este caso el número 52.

La acción de transformar una suma de manera que contenga un cuadrado perfecto se llama completamiento cuadrático.

Ejemplo 13

Transforme las sumas siguientes de modo que contengan un cuadrado perfecto.

𝒓𝟐 + 𝟖𝒓

𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 −𝟑

𝟒

𝒙𝟐 + 𝒑𝒙 + 𝒒

Solución

𝑟2 + 8𝑟 = 𝑟2 + 2 ∙ 𝑟 ∙ 4 + 42 − 42

= (𝑟2 + 2 ∙ 𝑟 ∙ 4 + 42) − 42

= (𝑟 + 4)2 − 42

𝑥2 + 7𝑥 −3

4= 𝑥2 + 2 ∙

7

2𝑥 + (

7

2)

2− (

7

2)

2−

3

4

= (𝑥2 + 2 ∙7

2𝑥 + (

7

2 )

2) − (

7

2)

2−

3

4

= (𝑥 +7

2)

2−

26

2

𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = (𝑥2 + 2 ∙ 𝑥 ∙𝑝

2+ (

𝑝

2)

2) + 𝑞 − (

𝑝

2)

2

= (𝑥 +𝑝

2)

2+ 𝑞 −

𝑝2

4

88

Ejercicio 10

Observe el Ejemplo 13 c) y responda ¿Cuál el complemento cuadrático para un trinomio del tipo 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞?

Investigue qué forma tiene el complemento cuadrático para un trinomio del tipo 𝑚𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞.

Ejercicio 11

Transforme las sumas siguientes de modo que contengan un cuadrado perfecto.

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟓

𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑

𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙𝒚 + 𝟖𝒚𝟐

2.5. División de polinomios

Dividir un polinomio P(x) de grado n por otro polinomio A(x) de grado m menor o igual que n significa hallar otros dos polinomios Q(x) y R(x) tales que:

𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥)𝐴(𝑥) + 𝑅(𝑥)

El grado de R(x) es menor que el grado Q(x).

El polinomio Q(x) se denomina cociente y el polinomio R(x) se denomina resto.

Ejemplo 14

Divida el polinomio 6𝑥3 − 11𝑥2 + 12𝑥 − 17 entre 3𝑥2 − 𝑥 + 4

Solución

𝟔𝒙𝟑 − 𝟏𝟏𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟕 │𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟒

−𝟔𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 𝟐𝒙 − 𝟑

−𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏𝟕

89

𝟗𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏𝟐

𝒙 − 𝟓

Procedimiento

Dividir el monomio 6𝑥3 entre el monomio 3𝑥2 para el cociente 2𝑥.

Multiplicar el cociente 2𝑥 por cada término del divisor.

Colocar los productos debajo del término correspondiente en el dividendo, con el signo opuesto.

Restar y bajar término siguiente (en este caso −17).

Repetir el procedimiento dividiendo −9𝑥2 + 4𝑥 − 17 entre 3𝑥2 − 𝑥 +4.

El proceso termina cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor.

Se han obtenido el cociente 𝑄(𝑥) = 2𝑥 − 3 y el resto 𝑅(𝑥) = 𝑥 − 5, observe que el grado del resto es menor que el grado del divisor 𝐴(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑥 + 4.

2.6. Regla de Ruffini o algoritmo de Horner

El procedimiento de división de polinomios puede ser realizado utilizando solo los coeficientes. Este método se conoce como método de división sintética, regla de Ruffini o algoritmo de Horner.

En este caso lo que interesa es la división de un polinomio P(x) de grado n por un binomio. A continuación, se muestra un ejemplo.

Ejemplo 15

Calcule, aplicando la regla de Ruffini, el cociente y el resto de la división

del polinomio 𝑥4 − 3𝑥3 + 2 por el binomio 𝑥 − 3.

Solución

Se organiza el polinomio en orden descendente de las potencias que contiene, comenzando por el término de mayor potencia. Si en el polinomio dado faltara alguna potencia se escribe un cero en lugar de

90

esta potencia. En este ejemplo, 1 0 -3 0 2 porque faltan las potencias de exponente 2 y 1.

Escribimos los coeficientes determinados en un esquema como el siguiente:

1 0 -3 0 2

Insertamos el opuesto del término independiente de divisor y bajamos el primer coeficiente como se indica en el esquema siguiente:

3

1 0 -3 0 2

1 Multiplicamos este primer coeficiente bajado por el número insertado y el resultado se escribe debajo del segundo coeficiente. Efectuamos la suma algebraica y el resultado se escribe debajo, pero en la segunda fila, como indica el esquema.

3

1 0 -3 0 2 3

1 3 Repetimos el procedimiento anterior:

3

1 0 -3 0 2 3 9

1 3 6 Repetimos este procedimiento hasta llegar al último coeficiente.

3

1 0 -3 0 2 3 9 18

1 3 6 18 Última repetición.

3

1 0 -3 0 2 3 9 18 54

1 3 6 18 56

91

No es necesario plantear todos estos esquemas. El procedimiento se realiza en uno solo: el último. Se actuó de esta manera para que el estudiante comprenda cada paso.

El último esquema se interpreta como sigue: En la sucesión de resultados 1 3 6 18 56 el último coeficiente (56) es el resto de la división, en este caso el polinomio de grado cero 𝑅(𝑥) = 56. Los números 1 3 6 18 son los coeficientes del cociente, es decir, 𝑄(𝑥) =𝑥3 + 3𝑥2 + 6𝑥 + 18.

Ejercicio 12

Compruebe, efectuando la división como en el Ejemplo 14, Calcule, que 𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 6𝑥 + 18 es el cociente y 𝑅(𝑥) = 56 es el resto de la división del polinomio 𝑥4 − 3𝑥3 + 2 por el binomio 𝑥 − 3.

2.6.1. Descomposición de polinomios que contengan divisores o factores de la forma 𝒙 + 𝒂; 𝒙 ≠ −𝒂 𝒚 𝒂 ≠ 𝟎

Se dice que el polinomio 𝑃(𝑥) es divisible por el binomio 𝑥 + 𝑎, o que 𝑃(𝑥) contiene un factor de la forma 𝑥 + 𝑎 si se cumple:

(𝟗) 𝑷(𝒙) = 𝑸(𝒙)(𝒙 + 𝒂)

Es decir, el resto de la división del polinomio por el binomio es igual a cero.

La igualdad (9) es la descomposición en factores del polinomio 𝑃(𝑥) y se puede obtener aplicando el algoritmo de Ruffini.

Ejemplo 16

Descomponga en factores el polinomio 2𝑥4 + 4𝑥3 + 𝑥2 − 4 aplicando la regla de Ruffini.

Solución

Debemos determinar si el polinomio dado posee factores de la forma 𝑥 + 𝑎. Los posibles factores de este tipo tienen un término independiente 𝑎 que está entre los divisores del término independiente del polinomio dado.

92

Divisores de −4: D = {1; −1; 2; −2; 4; −4}, por consiguiente los posibles factores son: (𝑥 + 1), (𝑥 − 1), (𝑥 + 2), (𝑥 − 2), (𝑥 +4) 𝑦 (𝑥 − 4).

Aplicamos el algoritmo de Ruffini con todos estos binomios para ver si alguno de ellos origina un resto cero. Examinamos el binomio 𝑥 + 2.

-2

2 4 1 0 - 4 -4 0 -2 4

2 0 1 -2 0 Aplicando la igualdad (9) resulta:

𝟐𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒 = (𝟐𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐)

El proceso de descomposición en factores puede continuar examinando el trinomio 2𝑥3 + 𝑥 − 2. Los posibles factores de este son: (𝑥 + 1), (𝑥 − 1), (𝑥 + 2) 𝑦 (𝑥 − 2).

Probando a (𝒙 + 𝟏):

-1

2 0 1 -2 -2 2 -3

2 -2 3 -5 Resto 𝑅(𝑥) = −5, por lo tanto el trinomio 2𝑥3 + 𝑥 − 2 no contiene al factor (𝑥 + 1). Es necesario examinar los otros tres binomios para una respuesta definitiva y una factorización completa.

Ejercicio 13

Determine si alguno de los binomios (𝑥 − 1), (𝑥 + 2) 𝑦 (𝑥 − 2) es un divisor del trinomio 2𝑥3 + 𝑥 − 2 y por lo tanto del polinomio 2𝑥4 +4𝑥3 + 𝑥2 − 4. En caso afirmativo, complete la descomposición en factores de este polinomio.

Ejercicio 14

Calcule el cociente y el resto de la división del polinomio por el binomio dados aplicando la regla de Ruffini.

𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟐𝟗 por 𝒙 + 𝟓

𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 por 𝒙 − 𝟑

93

𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 por 𝒙 − 𝟐

𝒙𝟓 − 𝟏 por 𝒙 + 𝟏

Ejercicio 15

Descomponga en factores aplicando la regla de Ruffini.

𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟓

𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟒

𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟔

2.6.2. Suma y diferencia de cubos

Usted comprobó al resolver incisos 7) y 8) del Ejercicio 3 que estos tienen como resultado una suma de cubos en el primer inciso y una diferencia de cubos en el segundo inciso. Ambos productos notables generan un procedimiento para descomponer en factores binomios que tiene forma de suma de cubos o diferencia de cubos.

(𝟏𝟎) 𝑨𝟑 + 𝑩𝟑 = (𝑨 + 𝑩)(𝑨𝟐 − 𝑨𝑩 + 𝑩𝟐)

(𝟏𝟏) 𝑨𝟑 − 𝑩𝟑 = (𝑨 − 𝑩)(𝑨𝟐 + 𝑨𝑩 + 𝑩𝟐)

Ejemplo 17

Escriba como producto 27𝑥6 + 8𝑦3

Solución

Según propiedades de la potenciación, es fácil ver que 27𝑥6 = (3𝑥2)3

y 8𝑦3 = (2𝑦)3.

De esta manera 27𝑥6 + 8𝑦3 = (3𝑥2)3 + (2𝑦)3.

Aplicando la igualdad (10) con 𝐴 = 3𝑥2; 𝐵 = 2𝑦, se cumple:

(3𝑥2)3 + (2𝑦)3 = (3𝑥2 + 2𝑦)(9𝑥4 − 6𝑥2𝑦 + 4𝑦2)

Ejemplo 18

Escriba como producto 27𝑥6 − 8𝑦3

94

Solución

Según propiedades de la potenciación, es fácil ver que 27𝑥6 = (3𝑥2)3 y 8𝑦3 = (2𝑦)3. Por tanto 27𝑥6 − 8𝑦3 = (3𝑥2)3 − (2𝑦)3.

Aplicando la igualdad (11) con 𝐴 = 3𝑥2 y 𝐵 = 2𝑦 resulta:

(3𝑥2)3 − (2𝑦)3 = (3𝑥2 − 2𝑦)(9𝑥4 + 6𝑥2𝑦 + 4𝑦2)

Ejercicio 15

Escriba como producto:

(𝟐𝒙)𝟑 − (𝟓𝒚)𝟑

𝟔𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝟕𝒚𝟑

(𝟓𝒂)𝟑 + (𝟕𝒃)𝟑

𝟐𝟒𝟑𝒙𝟑 + 𝟏𝟐𝟓𝒛𝟑

2.6.3. Ejercicios combinados de descomposición en factores

La representación de sumas en forma de productos es un paso imprescindible en la resolución de muchos ejercicios y problemas. A veces, no basta una sola técnica para lograr la factorización completa de una suma. Por tal motivo, es necesario resolver ejercicios donde se combinen más de una técnica.

Un ejemplo típico es la combinación cuadrado perfecto - diferencia de cuadrado.

Ejemplo 18

Exprese como producto la suma 4𝑥2 + 12𝑥 + 9 − 𝑦2

Solución

4𝑥2 + 12𝑥 + 9 − 𝑦2 = (4𝑥2 + 12𝑥 + 9) − 𝑦2

= (2𝑥 + 3)2 − 𝑦2

= (2𝑥 + 3 + 𝑦)(2𝑥 + 3 − 𝑦)

95

Ejemplo 19

Descomponga en factores la suma 𝑥4 + 4

Solución

𝑥4 + 4 = (𝑥2)2 + 22 Completando cuadrado perfecto

= ((𝑥2)2 + 4𝑥2 + 22) − 4𝑥2

= (𝑥2 + 2)2 − (2𝑥)2

= (𝑥2 + 2 + 2𝑥)(𝑥2 + 2 − 2𝑥)

Ejercicio 16

Descomponga en factores las siguientes sumas

𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐

𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑

𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 + 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟑𝒚

Concepto de fracción algebraica. Cambios de signos en una fracción que garantizan que su valor permanezca invariante. Simplificación de fracciones algebraicas. Multiplicación y división de fracciones algebraicas. Adición y sustracción de fracciones algebraicas. Operaciones combinadas con fracciones algebraicas.

2.7. Concepto de fracción algebraica

El cálculo con polinomios y la descomposición de polinomios en forma de producto tiene múltiples aplicaciones en el trabajo algebraico.

Definición 3

Se denomina fracción algebraica al cociente indicado 𝐴

𝐵 siempre que A

y B sean expresiones algebraicas, B ≠ 0 y en B aparece al menos una variable con exponente entero positivo.

Ejemplo 20

Son fracciones algebraicas:

96

𝟓𝒙

𝟕𝒚

𝟗𝒙

𝒙 + 𝟏𝟎

𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟐𝟑

𝒙 + 𝟒

2.7.1. Cambios de signos en una fracción que mantienen invariante su valor

En definitiva, toda fracción algebraica es la expresión simbólica de una familia de números. Para obtener representantes particulares de esta familia de números, se asignan valores a las variables de la fracción algebraica y se efectúan los cálculos indicados. El número obtenido en cada asignación de valores a las variables de la fracción algebraica se llama valor numérico de la expresión algebraica.

Ejemplo 21

Halle el valor numérico de la fracción algebraica 𝐴(𝑥) =9𝑥

𝑥+10; en cada

caso indique también el dominio numérico más restringido que contiene al valor numérico calculado.

𝑎) 𝑥 = 0; 𝑏) 𝑥 = 1; 𝑐) 𝑥 = 2; 𝑑) 𝑥 = 3

Solución

Valor para 𝑥 = 0, es decir, 𝐴(0). Se sustituyen todas las x por cero y se

efectúan los cálculos indicados: 𝐴(0) =9(0)

(0)+10= 0 ∈ ℕ.

Valor para 𝑥 = 1. Sustituyendo 𝐴(1) =9(1)

(1)+10=

9

11∈ ℚ+

Valor para x = 2. Sustituyendo 𝐴(2) =9(2)

(2)+10=

3

2∈ ℚ+

Valor para x = 3. Sustituyendo 𝐴(3) =9(3)

(3)+10=

27

13∈ ℚ+

En algunas ocasiones será necesario modificar el signo de una expresión algebraica. Esto puede hacerse sin que se altere el valor numérico correspondiente a la asignación de valores dada.

97

Se presentan dos casos:

Primer caso: una fracción algebraica positiva quiere expresarse con un signo menos delante. Se escribe el signo menos delante de la fracción y se cambia el signo de los términos del numerador o de los términos del denominador.

(𝟏𝟐) 𝑨

𝑩= −

−𝑨

𝑩 𝒐 𝒃𝒊𝒆𝒏

𝑨

𝑩= −

𝑨

−𝑩

Ejemplo 22

La fracción algebraica 𝐴(𝑥) =9𝑥

𝑥+10 toma el valor

27

13 para x = 3. Escríbala

con un signo menos delante y compruebe que su valor para x = 3 no varía.

Solución

𝑨′(𝒙) = −−𝟗𝒙

𝒙+𝟏𝟎 y se cumple 𝑨′(𝟑) = −

−𝟗(𝟑)

(𝟑)+𝟏𝟎= − (−

𝟐𝟕

𝟏𝟑) =

𝟐𝟕

𝟏𝟑

Segundo caso: una fracción algebraica con signo menos delante debe expresarse como una fracción algebraica positiva. Se elimina el signo menos de la fracción y se escribe delante del numerador o del denominador.

(𝟏𝟑) − 𝑨

𝑩=

−𝑨

𝑩𝒐 𝒃𝒊𝒆𝒏 −

𝑨

𝑩=

𝑨

−𝑩

Ejemplo 23

Escriba la fracción algebraica 𝐵(𝑥) = −𝑥2+11𝑥−23

𝑥+4 como una fracción

𝐵′(𝑥) con signo positivo delante y compruebe que el valor de ambas fracciones para x = 1, es el mismo.

Solución

𝐵′(𝑥) =−𝑥2−11𝑥+23

𝑥+4

Cálculo del valor para x = 1

𝐵(1) = −1+11−23

1+4=

13

5

98

𝐵′(1) =−1−11+23

1+4=

13

5

Ejercicio 17

Exprese la fracción algebraica 𝐴(𝑥) =−3𝑥2+2𝑥−1

𝑥2−3 como una fracción

de signo negativo.

Exprese la fracción algebraica 𝐵(𝑥) = −−3𝑥2+2𝑥−1

𝑥2+𝑥2−3 como una fracción

de signo positivo.

2.7.2. Simplificación de fracciones algebraicas

Las fracciones algebraicas pueden ser ampliadas o simplificadas.

Ejemplo 24

La fracción algebraica 𝑥2−9

𝑥2+6𝑥+9 es una ampliación de la fracción

algebraica 𝑥−3

𝑥+3 Ambas son representantes de una misma fracción

algebraica. Para obtener la fracción ampliada se multiplicaron

numerador y denominador de 𝑥−3

𝑥+3 por el factor de ampliación (𝑥 + 3).

En efecto, 𝑥−3

𝑥+3=

(𝑥−3)(𝑥+3)

(𝑥+3)(𝑥+3)=

𝑥2−9

𝑥2+6𝑥+9

Análogamente la fracción algebraica 𝑥2−9

𝑥2+6𝑥+9 puede ser simplificada

cuando su numerador y su denominador tengan un factor común. Esto se percibe mediante la descomposición en factores del numerador y el

denominador. En efecto, 𝑥2−9

𝑥2+6𝑥+9=

(𝑥−3)(𝑥+3)

(𝑥+3)(𝑥+3)=

𝑥−3

𝑥+3

La acción de eliminar el factor común en el numerador y el denominador se llama simplificación.

La acción de multiplicar numerador y denominador por un factor común se llama ampliación.

Ejercicio 18

Utilice los polinomios 𝑥2; (2𝑥 + 1); (𝑥2 − 3) 𝑜 (𝑥2 + 2𝑥 − 1) como factores de ampliación y amplíe las fracciones algebraicas del Ejemplo 20.

99

Ejercicio 19

Descomponga en factores el numerador y el denominador de las fracciones algebraicas siguientes y simplifique si es posible.

𝟏𝟔𝒙𝟒𝒚𝟑(𝒎 − 𝟓𝒑)𝟐

−𝟏𝟐𝒙𝟑(𝒎 − 𝟓𝒑)

𝒎𝟐 + 𝟔𝒎 + 𝟗

𝒎𝟐 − 𝟗

𝟒𝒂𝟒 − 𝟏𝟓𝒂𝟐 − 𝟒

𝒂𝟐 − 𝟖𝒂 − 𝟐𝟎

2.7.3. Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Las operaciones de multiplicación y división de fracciones algebraicas se efectúan de manera análoga a las operaciones correspondientes con fracciones numéricas.

Si están dadas dos fracciones algebraicas 𝐴

𝐵 y

𝐶

𝐷 y se cumplen las

condiciones 𝐵 ≠ 0; 𝐷 ≠ 0, entonces las siguientes igualdades permiten obtener el resultado de cada una de las operaciones mencionadas.

(14) 𝐴

𝐵∙

𝐶

𝐷=

𝐴∙𝐶

𝐵∙𝐷

(15) 𝐴

𝐵÷

𝐶

𝐷=

𝐴∙𝐷

𝐵∙𝐶 con 𝐶 ≠ 0

La igualdad (15) significa que la división de fracciones algebraicas se reduce a la multiplicación de la fracción dividendo y el recíproco de la fracción divisor. Por tanto, se cumple:

(15.1) 𝐴

𝐵÷

𝐶

𝐷=

𝐴

𝐵∙

𝐷

𝐶 con 𝐶 ≠ 0

Ejemplo 25

Dados los polinomios:

100

𝐴 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3; 𝐵 = 𝑥3 − 27; 𝐶 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9 𝑦 𝐷 = 𝑥2 −3𝑥 − 4

Calcule 𝐴

𝐵∙

𝐶

𝐷 𝑦

𝐵

𝐷÷

𝐴

𝐶

Halle el valor del primer resultado para x = 5 y el valor del segundo resultado para x = 1.

En cada caso, indique el dominio numérico más restringido que contiene al valor calculado.

Solución

𝐴

𝐵∙

𝐶

𝐷=

𝑥2−2𝑥−3

𝑥3−27∙

𝑥2+6𝑥+9

𝑥2−3𝑥−4 Sustituyendo

=(𝑥2−2𝑥−3)(𝑥2+6𝑥+9)

(𝑥3−27)(𝑥2−3𝑥−4) Efectuando según igualdad (14)

=(𝑥−3)(𝑥+1)(𝑥+3)2

(𝑥+3)(𝑥−3)(𝑥−4)(𝑥+1) Descomponiendo en factores

=(𝑥+3)

(𝑥−4) Simplificando

𝐵

𝐷÷

𝐴

𝐶=

𝑥3−27

𝑥2−3𝑥−4÷

𝑥2−2𝑥−3

𝑥2+6𝑥+9 Sustituyendo

=𝑥3−27

𝑥2−3𝑥−4∙

𝑥2+6𝑥+9

𝑥2−2𝑥−3 Efectuando según igualdad (15.1)

=(𝑥+3)(𝑥−3)

(𝑥−4)(𝑥+1)∙

(𝑥+3)2

(𝑥−3)(𝑥+1) Descomponiendo en factores

=(𝑥+3)(𝑥−3)(𝑥+3)2

(𝑥−4)(𝑥+1)(𝑥−3)(𝑥+1) Efectuando según igualdad (14)

=(𝑥+3)3

(𝑥−4)(𝑥+1)2 Simplificando.

Cálculo del valor del primer resultado para x = 5

Sustituyendo x en el primer resultado (𝑥+3)

(𝑥−4)=

(5+3)

(5−4)=

8

1= 8

Cálculo del valor del segundo resultado para x = 1

Sustituyendo x en el segundo resultado

101

(𝑥+3)3

(𝑥−4)(𝑥+1)2 =(1+3)3

(1−4)(1+1)2 =64

−12= −

64

12= −

16

3

Dominio más restringido del primer valor 8 ∈ ℕ

Dominio más restringido del segundo valor −16

3∈ ℚ

Ejercicio 20

Sean las fracciones algebraicas 𝐴 =𝑥+1

𝑥2+3𝑥+2; 𝐵 =

𝑥3+1

𝑥+2 𝑦 𝐶 =

𝑥+5

𝑥2+7𝑥+6

Calcule 𝐴 ∙ 𝐶; determine el valor numérico del resultado para x = 2 e indique el dominio numérico más restringido que lo contiene.

Calcule 𝐴 ÷ 𝐶; determine el valor numérico del resultado para x = 1 e indique el dominio numérico más restringido que lo contiene.

Calcule 𝐴 ÷ 𝐶 ∙ 𝐵; determine el valor numérico del resultado para x = 3 e indique el dominio numérico más restringido que lo contiene.

2.7.4. Adición y sustracción de fracciones algebraicas

Las operaciones de adición y sustracción de fracciones algebraicas se efectúan de manera análoga a las operaciones correspondientes con fracciones numéricas.

Si están dadas dos fracciones algebraicas 𝐴

𝐵 y

𝐶

𝐷 y se cumplen las

condiciones 𝐵 ≠ 0; 𝐷 ≠ 0, entonces las siguientes igualdades permiten obtener el resultado de cada una de las operaciones mencionadas.

(𝟏𝟔) 𝑨

𝑩+

𝑪

𝑫=

𝑨∙𝑫+𝑩∙𝑪

𝑩∙𝑫

(𝟏𝟕) 𝑨

𝑩−

𝑪

𝑫=

𝑨∙𝑪−𝑩∙𝑫

𝑩∙𝑫

La igualdad (17) significa que la sustracción de fracciones algebraicas se reduce a la adición del primer sumando y el opuesto del segundo sumando. Por tanto, se cumple:

(𝟏𝟕. 𝟏) 𝑨

𝑩−

𝑪

𝑫=

𝑨

𝑩+ (−

𝑪

𝑫)

102

La adición y la sustracción de fracciones algebraicas pueden efectuarse sin dificultades aplicando las igualdades (16) y (17) o (17.1), pero suelen obtenerse expresiones complicadas en el numerador y en el denominador. Por otro lado, la simplificación del resultado no siempre es sencilla.

El cálculo se simplifica un poco si se determina el mínimo común múltiplo de los denominadores y lo seleccionamos como denominador común. El procedimiento continúa como el cálculo usual con fracciones numéricas.

Ejemplo 26

Dadas las fracciones algebraicas 𝐴 =(𝑥−3)(𝑥+1)

𝑥3−27; 𝐵 =

𝑥2+9

𝑥2+3𝑥+9 𝑦 𝐶 =

𝑥3+1

𝑥+2

Halle la suma A y B.

Calcule la diferencia de B y C.

Solución

Primero determinamos el MCM de los denominadores:

𝑥3 − 27 = 𝑥3 − 33 = (𝑥 − 3)(𝑥2 + 3𝑥 + 9) Según la igualdad (11)

𝑥2 + 3𝑥 + 9 No admite factorización (es un factor cuadrático).

𝑀𝐶𝑀 = (𝑥 − 3)(𝑥2 + 3𝑥 + 9)

𝐴 + 𝐵 =(𝑥−3)(𝑥+1)

𝑥3−27+

x2+9

x2+3x+9 Sustituyendo

=(𝑥−3)(𝑥+1)+(𝑥−3)(𝑥2+9)

(𝑥−3)(𝑥2+3𝑥+9) Efectuando cálculo

=(𝑥−3)(𝑥+1+𝑥2+9)

(𝑥−3)(𝑥2+3𝑥+9) Factorizando y simplificando

=𝑥2+𝑥+10

𝑥2+3𝑥+9

Diferencia de B y C

103

𝐵 − 𝐶 = 𝐵 + (−𝐶)

−𝐶 = −𝑥3+1

𝑥+2=

−𝑥3−1

𝑥+2

Por lo tanto

𝐵 + (−𝐶) =𝑥2+9

𝑥2+3𝑥+9+

−𝑥3−1

𝑥+2 Sustituyendo

=(𝑥2+9)(𝑥+2)+(𝑥2+3𝑥+9)(−𝑥3−1)

(𝑥2+3𝑥+9)(𝑥+2) Según igualdad (16)

Ejercicio 21

Dadas las fracciones algebraicas 𝐴 =𝑥

9−3𝑥; 𝐵 =

3+𝑥

3𝑥 𝑦 𝐶 =

3

3𝑥−9

calcule:

A + B

B – C

B – C + A

2.7.5. Operaciones combinadas con fracciones algebraicas

Las operaciones combinadas con fracciones algebraicas se efectúan paso a paso, dejando indicadas las operaciones que no se han efectuado y escribiendo en cada paso el resultado de las operaciones que se efectuaron hasta efectuar todas las operaciones que fueron combinadas. En todo momento debe tenerse en cuenta el orden de las operaciones.

Orden de las operaciones

Si hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes y llaves):

Primero se efectúan las operaciones indicadas entre paréntesis y el resultado obtenido se convierte en un término más de las operaciones indicadas entre corchetes. Al finalizar este paso habrán desaparecido los paréntesis;

A continuación se efectúan las operaciones indicadas entre corchetes y el resultado obtenido se convierte en un término más de las

104

operaciones indicadas entre llaves. Al finalizar este paso habrán desaparecido los corchetes;

Seguidamente se efectúan las operaciones indicadas entre llaves y el resultado obtenido se convierte en un término más de las operaciones indicadas si existe algún término fuera de los signos de agrupación, de lo contrario se trata del resultado final. Al finalizar este paso habrán desaparecido las llaves.

Si no hay signos de agrupación:

Primero se efectúan las operaciones de potenciación y radicación en el orden en que estén indicadas. Los resultados obtenidos son términos del resto de la operación combinada;

Seguidamente se efectúan multiplicación y división en el orden en que estén indicadas. Los resultados obtenidos son términos del resto de la operación combinada;

Finalmente se efectúan las operaciones de adición y sustracción en el orden en que estén indicadas. El resultado obtenido puede ser otro término de la combinada o el resultado de la misma.

Este orden de operaciones debe ser respetado también dentro de cada signo de agrupación.

Ejemplo 27

Suponga que A, B y C son fracciones algebraicas dadas y debe efectuar la combinada:

𝑨 + {𝑩𝟐 − [𝑨 ÷ 𝑪 + 𝑩(𝑩 ÷ 𝑪 + 𝑪 ÷ 𝑨)]}

¿Cómo debe proceder para obtener el resultado final?

Solución

𝐴 + {𝐵2 − [𝐴 ÷ 𝐶 + 𝐵(𝐵 ÷ 𝐶 + 𝐶 ÷ 𝐴)]}

= 𝐴 + {𝐵2 − [𝐴 ÷ 𝐶 + 𝐵(𝐷 + 𝐸)]} Aquí 𝐷 = 𝐵 ÷ 𝐶 𝑦 𝐸 =𝐶 ÷ 𝐴

= 𝐴 + {𝐵2 − [𝐴 ÷ 𝐶 + 𝐵 ∙ 𝐹]} Aquí 𝐹 = 𝐷 + 𝐸

105

= 𝐴 + {𝐵2 − [𝐺 + 𝐻]} Aquí 𝐺 = 𝐴 ÷ 𝐶 𝑦 𝐻 =𝐵 ∙ 𝐹

= 𝐴 + {𝐵2 − 𝐼} Aquí 𝐼 = 𝐺 + 𝐻

= 𝐴 + { 𝐽 − 𝐼} Aquí 𝐽 = 𝐵2

= 𝐴 + 𝐾 Aquí 𝐾 = 𝐽 − 𝐼

= 𝐿 Aquí 𝐿 = 𝐴 + 𝐾

Ejemplo 28

Efectúe el algoritmo presentado en el Ejemplo 27 con las fracciones

algebraicas 𝐴 =𝑥

9−3𝑥; 𝐵 =

3+𝑥

3𝑥 𝑦 𝐶 =

3

3𝑥−9

Solución

El análisis de la estructura de la combinada dada en el Ejemplo 27 permitió identificar todas las operaciones parciales que deben ser efectuadas y sobre todo en qué momento se efectúan. Realizar este análisis es una manera segura de efectuar la combinada y de demostrar que usted sabe cómo proceder.

Ahora puede obtener los resultados parciales y el resultado final.

Cálculo de 𝐷 = 𝐵 ÷ 𝐶

𝑫 =𝟑+𝒙

𝟑𝒙÷

𝟑

𝟑𝒙−𝟗=

𝟑+𝒙

𝟑𝒙∙

𝟑𝒙−𝟗

𝟑=

𝒙𝟐−𝟗

𝟑𝒙

Cálculo de 𝐸 = 𝐶 ÷ 𝐴

𝑬 =𝟑

𝟑𝒙−𝟗÷

𝒙

𝟗−𝟑𝒙=

𝟑

𝟑𝒙−𝟗∙

𝟗−𝟑𝒙

𝒙=

𝟑

𝟑𝒙−𝟗∙

−(𝟑𝒙−𝟗)

𝒙=

−𝟑

𝒙

Cálculo de 𝐹 = 𝐷 + 𝐸

𝑭 =𝒙𝟐−𝟗

𝟑𝒙+

−𝟑

𝒙=

𝒙𝟐−𝟗+(−𝟗)

𝟑𝒙=

𝒙

𝟑

Cálculo de 𝐺 = 𝐴 ÷ 𝐶 𝑦 𝐻 = 𝐵 ∙ 𝐹

𝑮 =𝒙

𝟗−𝟑𝒙÷

𝟑

𝟑𝒙−𝟗=

𝒙

𝟗−𝟑𝒙∙

𝟗−𝟑𝒙

𝒙= 𝟏

106

𝑯 = 𝑩 ∙ 𝑭 =𝟑+𝒙

𝟑𝒙∙

𝒙

𝟑=

𝒙+𝟑

𝟗

Cálculo de 𝐼 = 𝐺 + 𝐻

𝑰 = 𝑮 + 𝑯 = 𝟏 +𝒙+𝟑

𝟗=

𝒙+𝟏𝟐

𝟗

Cálculo de 𝐽 = 𝐵2

𝑱 = 𝑩𝟐 = (𝟑+𝒙

𝟑𝒙)

𝟐=

(𝒙+𝟑)𝟐

𝟗𝒙𝟐

Cálculo de 𝐾 = 𝐽 − 𝐼

𝑲 =(𝒙+𝟑)𝟐

𝟗𝒙𝟐 −𝒙+𝟏𝟐

𝟗=

(𝒙+𝟑)𝟐+𝒙𝟐(𝒙+𝟏𝟐)

𝟗𝒙𝟐 =𝒙𝟑+𝟏𝟑𝒙𝟐+𝟔𝒙+𝟗

𝟗𝒙𝟐

Cálculo de 𝐿 = 𝐾 + 𝐴

𝑳 =𝒙𝟑+𝟏𝟑𝒙𝟐+𝟔𝒙+𝟗

𝟗𝒙𝟐 −𝒙

𝟑(𝒙−𝟑)=

(𝒙−𝟑)(𝒙𝟑+𝟏𝟑𝒙𝟐+𝟔𝒙+𝟗)−𝟑𝒙𝟑

𝟗𝒙𝟐(𝒙−𝟑)=

𝒙𝟒+𝟏𝟎𝒙𝟑−𝟗𝒙−𝟑𝟑𝒙𝟐−𝟐𝟕

𝟗𝒙𝟐(𝒙−𝟑)

Ejercicio 22

Sean las fracciones algebraicas 𝐴 =12𝑦2+5𝑦−6

2𝑥−𝑦; 𝐵 =

2𝑦2+16𝑦

4𝑦2 y 𝐶 =

2𝑥2−4𝑥

𝑥2−25

Efectúe las operaciones indicadas:

𝐀 ∙ 𝐁 + 𝐂

𝐀 ÷ 𝐂 – 𝐁

𝑨 ÷ 𝑪 + 𝑪 ÷ 𝑩

𝑨(𝑩 + 𝑪)

𝑩 − 𝑪 ∙ [𝑨𝟐 + 𝟐(𝑪 − 𝑩)] − 𝑩 ∙ 𝑪

𝐂 ∙ { 𝐀 ∙ 𝐁 + 𝐂 ∙ [𝐀 + (𝐀 − 𝐁)(𝐁 + 𝐂)]}

Ejercicios propuestos

107

Escriba como producto

(𝒙 + 𝒚)𝟐 − (𝒛)𝟐

𝟑𝒙𝟑𝒚 + 𝟔𝒚𝟐𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟓𝒚𝟑𝒛

𝟗𝒙𝟒 + 𝟏𝟐𝒙𝟐𝒚 + 𝟒𝒚𝟐

Efectúe

𝒙 + 𝟓

(𝒙 − 𝟑)𝟐+

𝒙 − 𝟏

𝒙 − 𝟑

𝒙 − 𝟓

(𝒙)𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓−

𝒙 + 𝟏

𝒙 − 𝟑

𝒙 − 𝟔

𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔∙

𝒙 + 𝟐

𝒙𝟐 − 𝟑𝟔

𝒙𝟑 + 𝟐𝟕

𝒙 − 𝟏÷

𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟐𝟏

𝒙𝟑 − 𝟏

Efectúe

a) 𝑥−2

𝑥2−𝑥−

𝑥+3

𝑥2+3𝑥−4+

𝑥2+12𝑥+16

𝑥4+3𝑥3−4𝑥2

b) [9𝑥2

𝑦2 − 4] ÷ [5

3𝑥+2𝑦−5+ 1] ⋅

6𝑥𝑦2+4𝑦3+10𝑦2

9𝑥2+12𝑥𝑦+4𝑦2−25

108

109

CAPÍTULO 3. ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Sumario: Definición de ecuación, dominio básico de una ecuación, solución de una ecuación, conjunto solución de una ecuación. Ecuaciones equivalentes, transformaciones que pueden realizarse en una ecuación. Determinación de cantidades de magnitud en fórmulas. Determinación de los valores reales de incógnitas y parámetros en ecuaciones lineales, cuadráticas, fraccionarias, irracionales (con radicales), trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Despeje en fórmulas.

Definición de inecuación, dominio básico de una inecuación, solución de una inecuación, conjunto solución. Inecuaciones equivalentes, transformaciones que pueden realizarse en una inecuación. Resolución de inecuaciones lineales, cuadráticas, fraccionarias, exponenciales y logarítmicas y aplicaciones.

Definición de sistemas de ecuaciones lineales, solución y conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. Transformaciones que pueden realizarse en un sistema. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables. Sistemas cuadráticos. Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas.

Representación de situaciones mediante el uso de ecuaciones y viceversa, extracción de conclusiones a partir de ellas, haciendo uso de los conocimientos y habilidades sobre ecuaciones lineales, cuadráticas y fraccionarias, irracionales (con radicales), trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, inecuaciones lineales, cuadráticas y fraccionarias, exponenciales y logarítmicas y sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas y cuadráticos.

3.1. Definición de ecuación, dominio básico de una ecuación, solución de una ecuación, conjunto solución de una ecuación

Definición 1 (ecuación)

Una ecuación es una igualdad con al menos una variable o incógnita. Las ecuaciones con una sola incógnita generalmente se expresan de

110

manera simbólica en la forma (𝟏) 𝐟(𝐱) = 𝟎

Observe la igualdad (1), toda ecuación tiene una estructura. El miembro izquierdo (MI) representado por f(x), el miembro derecho (MD) representado 0 y el signo de relación =, conocido como signo de igualdad. La estructura de una ecuación es MI = MD. La estructura de una ecuación no se debe perder jamás.

En toda ecuación, la incógnita x representa números de cierto dominio numérico. Como se observará en el Ejercicio 1, este dominio numérico debe ser indicado explícitamente. Cuando esto no se haga se asume que 𝑥 ∈ ℝ.

Ejercicio 1 (Ejemplos de ecuaciones)

Identifique los componentes de la estructura de cada una de las ecuaciones siguientes y el dominio de la incógnita:

3x − 10 = 0; 𝑥 ∈ ℕ

6𝑥 + 7 = 5𝑥 − 8; 𝑥 ∈ ℤ

7𝑥2 + 10𝑥 − 22 = 0

𝑥 + 1

𝑥 − 3−

1

𝑥 + 6= 0; 𝑥 ∈ ℚ

|−2𝑥 + 5| = 15

√3𝑥 − 7 = 𝑥 − 1; 𝑥 ∈ ℚ+

28𝑥−3 = 16

log2(𝑥2 − 1) = 3

𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1

Toda ecuación indica una igualdad, pero la verdad o falsedad de esta igualdad no se conoce hasta que la incógnita x se sustituye por números específicos del dominio de la variable. En algunos casos, resulta una igualdad cierta, o sea, resulta una proposición verdadera, pero en otros casos resulta una igualdad incorrecta, es decir, una proposición falsa.

111

Ejercicio 2

Considere la ecuación |−2𝑥 + 5| = 15; 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ ℤ. ¿Para cuál de los valores x que se indican la ecuación se convierte en una proposición verdadera?

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 3 _____

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 10 _____

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −5 _____

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −10 _____

Definición 2 (Solución de una ecuación)

Si al sustituir la incógnita de una ecuación por un número 𝑎, la igualdad se convierte en una proposición verdadera se dice que a es una solución de la ecuación.

Ejemplo 1

Para la ecuación |−2𝑥 + 5| = 15; 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ ℤ los números 10 y – 5 son soluciones.

En efecto, para x = 10 se cumple |−2(10) + 5| = |−15| = 15; para x = – 5 se cumple |−2(−5) + 5| = |15| = 15.

En el Ejemplo 1, la ecuación |−2𝑥 + 5| = 15; 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ ℤ tiene las soluciones 𝑥 = 10; 𝑥 = −5. Como se ve, una ecuación puede tener más de una e inclusive ninguna solución. El conjunto S de todas las soluciones de una ecuación se denomina conjunto solución de la ecuación. El conjunto solución de la ecuación anterior es 𝑆 ={10; −5}. Cuando el conjunto solución es vacío se denota 𝑆 = ∅.

Si bien la incógnita de una ecuación pertenece a cierto dominio numérico. No todo elemento del dominio numérico correspondiente puede ser admitido como posible solución. Observe el Ejemplo 2:

112

Ejemplo 2

¿Cualquier número real puede ser solución de la ecuación

√𝑥2 − 12𝑥 = 𝑥 − 8?

Respuesta

Para cualquier elemento del conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ: 0 < 𝑥 < 12} se cumple que 𝑥2 − 12𝑥 < 0 y en este caso la raíz cuadrada del MI de la ecuación carece de sentido. Los números reales del conjunto A no pueden ser admitidos como posibles soluciones de la ecuación. La ecuación considerada solo puede tener soluciones en el conjunto

𝑨′ = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 < 𝟎 𝒐 𝒙 > 𝟏𝟐}

El conjunto de números del dominio numérico dado, donde la ecuación considerada puede tener soluciones se llama dominio básico de solución. Se representa con la notación DB. El DB de solución de la ecuación del Ejemplo 2, es el conjunto 𝐴′.

3.2. Ecuaciones equivalentes

Definición 3 (ecuaciones equivalentes)

Se dice que la ecuación 𝐹(𝑥) = 0 es equivalente a la ecuación 𝐻(𝑥) =0 y se escribe 𝐹(𝑥) = 0 ⟺ 𝐻(𝑥) = 0 si y solo si, cada solución de la primera ecuación es solución de la segunda y, recíprocamente, cada solución de la segunda ecuación también es solución de la primera.

Si dos ecuaciones son equivalentes, entonces ambas ecuaciones tienen el mismo conjunto solución.

Ejemplo 3

Las ecuaciones: 𝑥 − 4 = 5 − 2𝑥 𝑦 3𝑥 − 9 = 0 son equivalentes.

En efecto, en la ecuación 𝑥 − 4 = 5 − 2𝑥

𝑀𝐼 = (3) − 4 = −1

𝑀𝐷 = 5 − 2(3) = −1

Como 𝑀𝐼 = 𝑀𝐷 resulta que 𝑥 = 3 es solución de la primera ecuación. No existe otra solución, por lo tanto 𝑆 = {3}.

113

En la segunda ecuación se cumple:

𝑀𝐼 = 3(3) − 9 = 0

𝑀𝐷 = 0

Como 𝑀𝐼 = 𝑀𝐷 se cumple que 𝑥 = 3 también es solución de la segunda ecuación.

3.3. Transformaciones que pueden realizarse en una ecuación

Resolver una ecuación significa determinar su conjunto solución. Para realizar esta acción se aplican las llamadas transformaciones equivalentes o reglas de transformación. Mediante la aplicación de transformaciones equivalentes una ecuación dada se transforma en otra ecuación equivalente a la primera.

3.3.1. Reglas de transformación de ecuaciones

Las ecuaciones 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) y 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) = 0 son equivalentes.

Para cualquier número real a, las ecuaciones 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) y 𝐹(𝑥) +𝑎 = 𝐺(𝑥) + 𝑎 son equivalentes.

Para cualquier número real 𝑎 ≠ 0, las ecuaciones 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) y 𝑎𝐹(𝑥) = 𝑎𝐺(𝑥) son equivalentes.

Si para todo número real x se cumple la igualdad 𝐹(𝑥) = 𝐻(𝑥), entonces las ecuaciones 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) y 𝐻(𝑥) = 𝐺(𝑥) son equivalentes.

Las transformaciones enunciadas garantizan una ecuación equivalente a la ecuación transformada.

Existen otras transformaciones como:

Elevar al cuadrado ambos miembros

Extraer raíz cuadrada en ambos miembros

Tomar logaritmos en ambos miembros.

114

Pero estas transformaciones, no siempre generan ecuaciones equivalentes a la ecuación transformada. Por tal motivo deben usarse con reservas y comprobar siempre si las soluciones encontradas con ellas, también son soluciones de la ecuación original.

Ejemplo 4 (Uso de las reglas de transformación)

Sean las expresiones algebraicas 𝐹(𝑥) = √5𝑥 + 7 y 𝐺(𝑥) = √2𝑥 + 1 determine el conjunto de números reales x para los cuales 𝐹(𝑥) =𝐺(𝑥).

Solución

√5𝑥 + 7 = √2𝑥 + 1 ; 𝐷𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > −2}

(√5𝑥 + 7)2

= (√2𝑥 + 1)2

Aplicando la regla V

5𝑥 + 7 = 2𝑥 + 1 Efectuando radicales

5𝑥 + 7 − (2𝑥 + 1) = 0 Aplicando la regla I

3𝑥 + 6 = 0 Efectuando cálculos en el MI

3𝑥 = −6 Aplicando la regla II, con 𝑎 = −6

𝑥 =−6

3 Aplicando la regla III, con 𝑎 =

1

3

𝑥 = −2 Efectuando cálculos en el MD

La solución de última ecuación 𝑥 = −2 no es solución de la ecuación original porque −2 ∉ 𝐷𝐵

3.4. Determinación de cantidades de magnitud en fórmulas. Despeje en formulas

Las reglas para transformar ecuaciones se utilizan también para despejar variables en una fórmula. Efectuar esta actividad es una ejercitación instructiva y útil en la resolución de problemas prácticos en los que es necesario calcular cantidades de una magnitud dada.

115

Ejemplo 5 (Uso de las reglas de transformación)

Las amplitudes 𝛼; 𝛽; 𝛾, de los ángulos interiores de un triángulo ABC satisfacen la igualdad 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180𝑜. Si 𝛼 = 37,2𝑜𝑦 𝛽 = 61,5𝑜 halle la amplitud 𝛾 del tercer ángulo interior del triángulo.

Solución

Se busca la cantidad 𝛾 de la magnitud amplitud de un ángulo. Utilizando las reglas de transformación se despeja 𝛾 en la igualdad 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 =180𝑜.

𝛾 = 180𝑜 − 𝛼 − 𝛽

𝛾 = 180𝑜 − (37,2𝑜) − (61,5𝑜) Sustituyendo las cantidades conocidas.

𝛾 = 180𝑜 − (37,2𝑜) − (61,5𝑜)

𝛾 = 180𝑜 − 98,7𝑜

𝛾 = 81,3𝑜

Para resolver el problema del Ejemplo 5, primero se despejó la variable que representaba la magnitud desconocida y finalmente se efectuó el cálculo una vez sustituidos los valores conocidos.

Es importante que practique el despeje de variable en fórmulas.

Ejercicio 3

Calcule la cantidad indicada en cada fórmula, a partir de los datos:

𝑠 =1

2𝑎𝑡2 calcule a, para 𝑆 = 100 ; 𝑡 = 2.

𝑚

𝑚′=

𝑛∙𝑀

𝑛′∙𝑀′ Calcule 𝑛′ para 𝑚 = 12,3; 𝑚′ = 57,8; 𝑛 = 4; 𝑀 =

7,7 𝑦 𝑀′ = 9,4

𝐴 = 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 Calcule b, para 𝐴 = 198𝑐𝑚2; 𝑎 = 14 𝑐𝑚; 𝑐 =4 𝑐𝑚.

𝑠 = 𝑣0𝑡 +1

2𝑎𝑡2 Despeje t.

116

𝑇 = 2𝜋√𝑙

𝑔 Despeje 𝑙.

3.4.1. Determinación de los valores reales de incógnitas y parámetros en ecuaciones lineales. Despeje en fórmulas Definición 4 (ecuación lineal)

Se denomina ecuación lineal a toda ecuación que tiene (o puede ser expresada) en la forma

(𝟐) 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎

En la ecuación lineal 𝐹(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 los números 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅; 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 son sus parámetros, el número 𝑥 ∈ 𝑅 o al dominio numérico que se indique es la incógnita.

Al resolver una ecuación lineal se practican los procedimientos para despejar variables en una fórmula. Es suficiente interpretar la ecuación como una fórmula. Se pueden despejar tanto la incógnita x como los parámetros a y b.

Despejes:

(2.1) 𝑥 =−𝑏

𝑎, 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑔𝑒 𝑎 ≠ 0 Despeje de la incógnita x.

(2.2) 𝑏 = −𝑎𝑥 Despeje del parámetro b.

(2.3) 𝑎 =−𝑏

𝑥, 𝑒𝑛 𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑔𝑒 𝑥 ≠ 0 Despeje del parámetro a.

Ejercicio 4

Compruebe las igualdades (2.1) a (2.3) realizando los despejes correspondientes aplicando las reglas de transformación.

Ejemplo 6

El salario S de un obrero se determina mediante una ecuación lineal del tipo (2). En este caso 𝑆 = 𝑎𝑥 + 𝑏. El parámetro a es la cantidad que se paga por cada hora de trabajo; el parámetro b representa una cantidad adicional por los años de servicio y la incógnita x es la cantidad de horas trabajadas durante el mes. ¿A cuánto se paga la hora de trabajo si un

117

obrero que gana $160,00 por años de servicio y trabajó 96,5 horas devengó $964,25?

Resolución

En este problema, 𝑆 = $964,25; 𝑥 = 96,5 ℎ 𝑦 𝑏 = $160,00; 𝑎 = ?

𝑆 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Despejando a resulta:

𝑆−𝑏

𝑥= 𝑎 Por consiguiente, sustituyendo los valores conocidos y

calculando:

𝑎 =(964,25)−(160,00)

(96,5)= 8,33

La hora de trabajo se paga a $8,33.

Ejemplo 7

Halle el conjunto solución de la ecuación lineal 3𝑥 + 2 = 5𝑥 −4(2 + 𝑥).

Resolución

3𝑥 + 2 = 5𝑥 − 4(2 + 𝑥) Aplicando la regla I

3𝑥 + 2 − (5𝑥 − 4(2 + 𝑥)) = 0 Transformando el miembro izquierdo

3𝑥 + 2 − (5𝑥 − 8 − 4𝑥) = 0 Transformando el miembro izquierdo

3𝑥 + 2 − 𝑥 + 8 = 0 Transformando el miembro izquierdo

2𝑥 + 10 = 0

𝑥 =−10

2= −5

Comprobación (Siempre en la ecuación original)

𝑀𝐼 = 3(−5) + 2 = −13

𝑀𝐷 = 5(−5) − 4(2 + (−5)) = −25 + 12 = −13

𝑀𝐼 = 𝑀𝐷

118

𝑆 = {−5}

Ejercicio 5

Resuelva y compruebe las ecuaciones siguientes:

𝟑(𝒙 − 𝟑) + 𝟓 = 𝒙

𝟑(𝒙 + 𝟏) − 𝟓(𝒙 + 𝟕) = 𝟐𝒙 + 𝟒

𝟒(𝒙 + 𝟐) − 𝟐(𝒙 − 𝟑) = 𝟐𝒙 + 𝟏

Ejercicio 6

Resuelva los siguientes problemas

En un aula hay 48 alumnos. Si hay 6 hembras más que varones, ¿cuántas hembras y cuántos varones hay?

El número de neumáticos recapados en una empresa se triplicó con respecto al año anterior. Si entre ambos años se recaparon 68 124 unidades, ¿Cuántos neumáticos se recaparon en cada año?

En un triángulo el mayor de los ángulos interiores es igual al duplo del menor y el mediano excede en 20𝑜 al menor. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores del triángulo?

3.4.2. Determinación de los valores reales de incógnitas y parámetros en ecuaciones cuadráticas. Despeje en formulas

Definición 5 (Ecuación cuadrática)

Se denomina ecuación cuadrática a toda ecuación que tiene (o puede ser expresada) en la forma

(𝟑) 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

En la ecuación cuadrática 𝐹(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 los números 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈𝑅; 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 son sus parámetros, el número 𝑥 ∈ 𝑅 o al dominio numérico que se indique es la incógnita.

Ejemplo 8

Resuelva la ecuación 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 𝑥(𝑥 + 5).

119

Resolución

2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 𝑥(𝑥 + 5) Aplicando la regla I equivale a

2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) − 𝑥(𝑥 + 5) = 0 Efectuando operaciones en el MI

𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 Representado el MI como producto

(𝑥 + 2)(𝑥 − 3) = 0

La última igualdad se cumple tanto si (𝑥 + 2) = 0 como si (𝑥 − 3) =0

Primer caso:

𝑥 + 2 = 0 Aplicando la regla II con 𝑎 = −2 resulta

𝑥 = −2

Segundo caso

𝑥 − 3 = 0 Aplicando la regla II con 𝑎 = 3 resulta

𝑥 = 3

𝑆 = {−2; 3}

Ejercicio 7

Efectúe la comprobación de la ecuación resuelta. Sugerencia: utilice el procedimiento de comparación realizado en el Ejemplo 7. En este caso se comprueban independientemente ambas soluciones.

Ejercicio 8

Trate de describir las acciones realizadas para resolver la ecuación cuadrática del Ejemplo 7. Generalice el procedimiento obtenido para el

caso de cualquiera ecuación cuadrática del tipo 𝑚𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0.

El conjunto solución de la ecuación del Ejemplo 8 tiene dos elementos. En general, toda ecuación cuadrática tiene dos, una o ninguna solución. En efecto, al descomponer el MI en factores hay solo tres resultados posibles:

120

𝑚𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑) Hay dos soluciones 𝑥 =−𝑏

𝑎 y 𝑥 =

−𝑑

𝑐

𝑚𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = (𝑎𝑥 + 𝑏)2 Hay una sola solución 𝑥 =−𝑏

𝑎

𝑚𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 no se puede descomponer en factores. No hay soluciones.

Existe otro método general y seguro, para hallar las soluciones de una ecuación cuadrática. Se aplica a cualquier tipo de ecuación cuadrática, pero es más necesario en ecuaciones cuadráticas del tipo 𝑚𝑥2 + 𝑝𝑥 +𝑞 = 0; 𝑚, 𝑝, 𝑞 ∈ ℝ; 𝑚 ≠ 0cuya descomposición en factores no se encuentra con facilidad.

Ejemplo 9

Halle el conjunto solución de la ecuación cuadrática 𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0

Resolución

Seleccionamos los parámetros 𝑚 = 1; 𝑝 = 3; 𝑞 = −2

Determinamos el discriminante

(4) 𝐷 = 𝑝2 − 4𝑚𝑞

Sustituyendo los parámetros en (4) se cumple 𝐷 = (3)2 −4(1)(−2) = 17

En este caso el discriminante D = 17 es positivo y la ecuación tiene dos

soluciones dadas por las fórmulas 𝑥1 =−𝑝+√𝐷

2𝑚; 𝑥2 =

−𝑝−√𝐷

2𝑚:

De manera que 𝑥1 =−𝑝+√𝐷

2𝑚=

−3+√17

2 y 𝑥2 =

−𝑝−√𝐷

2𝑚=

−3−√17

2

Por consiguiente 𝑆 = {−3+√17

2;

−3−√17

2}

Ejercicio 9

Realice la prueba.

121

En general, al resolver una ecuación cuadrática por el método del discriminante pueden presentarse tres cados:

Primer caso 𝑫 > 𝟎 (D es positivo), la ecuación cuadrática tiene dos

soluciones reales: 𝑥1 =−𝑝+√𝐷

2𝑚; 𝑥2 =

−𝑝−√𝐷

2𝑚

Segundo caso 𝑫 = 𝟎 (D es igual a cero), la ecuación cuadrática tiene

una sola solución real. A saber 𝑥 =−𝑝

2𝑚 Muchas veces se dice que la

ecuación posee una raíz doble.

Tercer caso 𝑫 < 𝟎 (D es negativo), la ecuación dada no tiene soluciones reales. En el dominio ℝ los números negativos no tienen raíces cuadradas. Por consiguiente 𝑆 = ∅

Ejercicio 10

Resuelva las ecuaciones siguientes aplicando el método más conveniente. Realice la prueba en cada caso.

𝒙(𝒙 + 𝟑) = 𝟒

𝒙(𝟐𝒙 + 𝟓) = 𝒙(𝒙 − 𝟑)

𝟐(𝒙𝟐 − 𝟑𝒙) − 𝒙(𝒙 − 𝟔) = 𝟐𝟓

𝟐𝒙(𝒙 − 𝟏) − 𝟐(𝒙 + 𝟐) = 𝒙 + 𝟑

Ejercicio 11

Despeje las variables indicadas en cada fórmula

𝐸𝑐 =1

2𝑚𝑣2 Despeje m, despeje v.

𝐴 = 𝜋𝑟2 Despeje r.

𝑣 =1

3𝜋𝑟2ℎ Despeje h, despeje r.

𝐴𝑙 = 2𝜋𝑟ℎ + 𝜋𝑟2 Despeje h, despeje r.

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐𝑑 Despeje d, despeje b y despeje c.

122

3.3.3. Determinación de los valores reales de incógnitas y parámetros en ecuaciones fraccionarias. Despeje en formulas

Nota: En este epígrafe y en todos los epígrafes marcados con asterisco, el contenido que se expone es opcional para los estudiantes de las carreras: Derecho y Gestión Sociocultural para el Desarrollo.

Definición 6 (Ecuación fraccionaria)

Se denomina ecuación fraccionaria a toda ecuación que tiene al menos una incógnita en un denominador

Ejemplo 10 (Ecuaciones fraccionarias)

𝟑

𝟐(𝒙 + 𝟏)+

𝟓

𝟒=

𝟏𝟓

𝟖−

𝒙

𝒙 + 𝟏

𝟑

𝒙 − 𝟏=

𝟔

𝒙𝟐 − 𝟏

𝟑

𝒙 − 𝟓+

𝒙𝟐 + 𝟕

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓= −

𝟐

𝒙 + 𝟑

Para resolver ecuaciones fraccionarias es necesario eliminar sus denominadores. Como resultado de las transformaciones que se realizan estas ecuaciones fraccionarias se transforman en una ecuación lineal o en una ecuación cuadrática. En este proceso de transformación de la ecuación fraccionaria original se pueden introducir raíces extrañas, es decir, soluciones de la ecuación transformada que no son soluciones de la ecuación original. Por tal motivo, es obligatorio realizar la prueba.

Ejemplo 11

Resuelva y compruebe la ecuación fraccionaria 3𝑥−4

𝑥2−3𝑥−

2

𝑥−3=

1

𝑥

Resolución

Para eliminar los denominadores determinamos el mínimo común múltiplo de los denominadores (MCM)

𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 = 𝒙(𝒙 − 𝟑)

123

𝒙 − 𝟑 = (𝟏)(𝒙 − 𝟑)

𝒙 = (𝟏)(𝒙)

__________________

𝑴𝑪𝑴 = (𝒙)(𝒙 − 𝟑) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙

Para hallar el MCM de los denominadores se forma el producto de los factores encontrados. Los factores comunes se escriben una sola vez y si estos factores comunes tuvieran exponentes diferentes se tomarían los de mayor exponente.

Como segundo paso, multiplicamos cada fracción de la ecuación por el MCM calculado. Esta transformación se basa en la regla II, que también puede aplicarse con 𝑎 = 𝑀𝐶𝑀.

Ejecución del segundo paso:

3𝑥−4

𝑥2−3𝑥(𝑥2 − 3𝑥) −

2

𝑥−3(𝑥)(𝑥 − 3) =

1

𝑥(𝑥)(𝑥 − 3)

Simplificando, resulta la ecuación

3𝑥 − 4 − 2𝑥 = 𝑥 − 3

Aplicando la regla I resulta:

3𝑥 − 4 − 2𝑥 − 𝑥 + 3 = 0

Efectuando los cálculos indicados se tiene:

−1 = 0

Esta contradicción indica que la ecuación original no tiene soluciones. Por lo tanto 𝑆 = ∅.

Ejemplo 12

Resuelva y compruebe la ecuación fraccionaria 3

𝑥−1=

6

𝑥2−1

124

Resolución

Como 𝑥2 − 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) tiene entre sus factores al denominador de la otra facción de la ecuación: 𝑀𝐶𝑀 = (𝑥 + 1)(𝑥 −1)

La ecuación se transforma del siguiente modo:

3

𝑥−1(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) =

6

𝑥2−1(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) Multiplicando ambos

miembros por MCM.

3(𝑥 + 1) = 6 Resultado de la simplificación.

3(𝑥 + 1) − 6 = 0 Aplicando la regla I.

3𝑥 − 3 = 0 Resultado de efectuar cálculos en el MI.

Resolviendo la ecuación lineal obtenida resulta 𝑥 = 1

Comprobación

𝑀𝐼 =3

𝑥−1 Sustituyendo para 𝑥 = 1 resulta

𝑀𝐼 =3

1−1=

3

0

Como la división por cero no está definida la igualdad 𝑀𝐼 = 𝑀𝐷 no se puede establecer. Por lo tanto, el valor 𝑥 = 1 encontrado no es solución de la ecuación original.

𝑆 = ∅

Ejercicio 12

Resuelva y compruebe las ecuaciones fraccionarias a) y c) del Ejemplo 10.

Ejercicio 13

Determine el conjunto solución de las ecuaciones siguientes:

𝟐

𝟑−

𝟔𝒙𝟐

𝟗𝒙𝟐 − 𝟏=

𝟐

𝟑𝒙 − 𝟏

125

𝟏

𝒙=

𝟑𝒙 − 𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙−

𝟐

𝒙 − 𝟏

𝟓𝒙 − 𝟖

𝒙 − 𝟏=

𝟕𝒙 − 𝟒

𝒙 + 𝟐

Ejercicio 14

Despeje las variables que se indiquen encada fórmula

𝑷

𝑻=

𝒙

𝟏𝟎𝟎 Despeje x; despeje P y despeje T.

𝑷

𝑻=

𝒙

𝟏𝟎𝟎𝟎 Despeje x; despeje P y despeje T.

𝑷

𝑻=

𝑵

𝑴 Despeje N; despeje P; despeje T y despeje M.

3.5.4. Determinación de los valores reales de incógnitas y parámetros en ecuaciones irracionales (con radicales). Despeje en formulas

Definición 7

Se denominan ecuaciones con radicales, las ecuaciones que tiene al menos una incógnita bajo el signo de radical.

Ejemplo 13

Son ecuaciones con radicales:

√𝒙 + 𝟒 − 𝟑 = 𝟎;

−𝟑 = √𝟔𝒙 + 𝟗 − 𝒙;

Las ecuaciones con radicales se resuelvan aplicando las reglas de trasformación. También en el proceso de transformación de las ecuaciones con radicales pueden introducirse raíces extrañas. Por consiguiente, siempre deben ser comprobadas.

Ejemplo 14

Resuelva las ecuaciones del Ejemplo 13

𝑎) √𝑥 + 4 − 3 = 0

126

Resolución

√𝑥 + 4 − 3 = 0 Lo primero es aislar el radical. Aplicando la regla II con 𝑎 = 3

√𝑥 + 4 = 3 Elevamos ambos miembros al cuadrado, de acuerdo con la regla V.

𝑥 + 4 = 9 Aplicando la regla II con 𝑎 = −4

𝑥 = 5

Comprobación, en la ecuación original

𝑀𝐼 = √(5) + 4 − 3 = √9 − 3 = 0

𝑀𝐷 = 0

𝑀𝐼 = 𝑀𝐷

𝑆 = {5}

𝑏) − 3 = √6𝑥 + 9 − 𝑥

Resolución

−3 = √6𝑥 + 9 − 𝑥 Para aislar el radical aplicamos la regla II con 𝑎 =𝑥

−3 + 𝑥 = √6𝑥 + 9 − 𝑥 + 𝑥 Efectuamos los cálculos y reorganizamos el MI

𝑥 − 3 = √6𝑥 + 9 Elevamos ambos miembros al cuadrado, regla V.

(𝑥 − 3)2 = (√6𝑥 + 9)2

Efectuamos los cálculos en ambos miembros.

𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 6𝑥 + 9 Efectuando los cálculos y aplicando la regla I

𝑥2 − 12𝑥 = 0

El proceso de transformación de la ecuación con radicales condujo a una ecuación cuadrática. Continuamos resolviendo esta ecuación cuadrática.

127

Observe que la igualdad 𝑥2 − 12𝑥 = 𝑥(𝑥 − 12) es correcta porque solo se ha extraído el factor común x. La regla IV, es la que justifica la sustitución del MI de la ecuación cuadrática por MD de la igualdad anterior. Por tanto la ecuación se transforma en:

𝑥(𝑥 − 12) = 0

Con las posibles soluciones 𝑥 = 0; 𝑥 = 12.

Comprobación de la ecuación original.

Para 𝑥 = 0

𝑀𝐼 = −3

𝑀𝐷 = √6(0) + 9 − (0) = 3 𝑀𝐼 ≠ 𝑀𝐷. Por lo tanto 𝑥 = 0 no es

solución de la ecuación original, es decir, es una raíz extraña.

Para 𝑥 = 12.

𝑀𝐼 = −3

𝑀𝐷 = √6(12) + 9 − (12) = √81 − 12 = −3

𝑀𝐼 = 𝑀𝐷

Por lo tanto 𝑆 = {12}

Ejercicio 15

Determine el conjunto solución de las ecuaciones siguientes

√𝟓𝒔 − 𝟕 − √𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎

𝒙 + √𝒙 − 𝟐 = 𝟒

√𝒙 + 𝟏𝟎 − 𝒙 = −𝟐

Ejercicio 16

Despeje l en la fórmula 𝑇 = 2𝜋√𝑙

𝑔

128

Ejercicio 17

Determine, si existe, el valor del parámetro b para que la ecuación

√5𝑥 + 𝑏 = 4 tenga la solución 𝑥 = 5.

3.5.5 Determinación de los valores reales de incógnitas y parámetros en ecuaciones exponenciales. Despeje en fórmulas

Definición 8 (Ecuación exponencial)

Se denominan ecuaciones exponenciales, las ecuaciones que tiene al menos una incógnita en un exponente.

Ejemplo 15 (ecuaciones exponenciales)

𝑎) 2𝑥 =1

64; 𝑏) 2𝑥−1 = 45; 𝑐) √4𝑥3

= 32; 𝑑) 9𝑥+3 = 27𝑥

La resolución de ecuaciones exponenciales se basa en la siguiente propiedad de la potenciación.

(5) 𝑆𝑖 𝑎 ≠ 1 𝑦 𝑎𝑥 = 𝑎𝑦, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑦

Para resolver ecuaciones exponenciales se utiliza igualdad (5), las leyes de la potenciación y las reglas de transformación de ecuaciones de la página 4 de este Manual de Matemática Básica.

Ejemplo 16 (Resolución de ecuaciones exponenciales)

Resuelva las ecuaciones del Ejemplo 15.

2𝑥 =1

64

Resolución

Aplicando el procedimiento de descomposición en factores primos se comprueba que 64 = 26. Por consiguiente, la ecuación dada se escribe en la forma:

2𝑥 =1

26 Por la propiedad de la potenciación (igualdad 59 del Tema 1)

2𝑥 = 2−6 Por la propiedad de la potenciación (igualdad 59 del Tema 1)

2𝑥 = 2−6

129

Como las bases son iguales y distintas de 1 se cumple x = −6 Según la propiedad (5).

Comprobación

𝑀𝐼 = 2−6 =1

64; 𝑀𝐷 =

1

64

𝑀𝐼 = 𝑀𝐷 y 𝑆 = {−6}

2𝑥−1 = 45

Resolución

La potencia 45 = (22)5 = 210 Sustituyendo

2𝑥−1 = 210 Por lo tanto.

𝑥 − 1 = 10

𝑥 = 11

√4𝑥3= 32

El miembro izquierdo de c) puede expresarse en la forma √4𝑥3= 2

2𝑥

3 para ello se expresó el número 4 como potencia de 2 aplicando la regla de la potenciación potencia de potencia el exponente adquirió la forma 2x finalmente aplicado la definición de potencia de exponente racional se obtuvo el resultado. Por consiguiente, según la regla IV de

transformación de ecuaciones √4𝑥3= 32 ⇔ 2

2𝑥

3 = 25 pues 32 también es una potencia de 2. Por consiguiente, aplicando la regla X,

resulta que 𝑥 =15

2.

9𝑥+3 = 27𝑥

En este caso tanto 9 como 27 son potencias de 3, al realizar las transformaciones correspondientes con ayuda de la potencia de potencia y aplicando la regla IV de transformación de ecuaciones se cumple que:

9𝑥+3 = 27𝑥 ⇔ 32(𝑥+3) = 33(𝑥). Ahora, aplicando la regla X, se cumple que 𝑥 = 6.

130

Las ecuaciones anteriores y otras están resueltas también en el Ejemplo 2 del texto [2] p. 2. Allí encontrará otra manera de explicar los procedimientos.

Muchas veces las ecuaciones exponenciales aparecen al aplicar ciertos artificios durante la resolución de ecuaciones. Ello puede estudiarse en el Ejemplo 3 de [2] p. 3. Un ejemplo similar se explica a continuación.

Ejemplo 16 (Uso de artificios en la resolución de ecuaciones)

Resuelva la ecuación 22𝑥 − 9(2𝑥) + 8 = 0

Resolución

Si observa el primer monomio del MÍ vera que 22𝑥 = (2𝑥)2 por consiguiente la ecuación dada, según la regla IV, es equivalente a (2𝑥)2 − 9(2𝑥) + 8 = 0. El artificio a utilizar consiste en este caso en hacer un cambio de variable: por ejemplo 2𝑥 = 𝑦. Ahora la ecuación toma la forma 𝑦2 − 9𝑦 + 8 = 0. Se ha logrado expresar la ecuación original de una manera más sencilla.

Resolviendo la ecuación cuadrática obtenida resulta que 𝑦 = 1; 𝑦 = 8 son sus soluciones. Retomando la sustitución 2𝑥 = 𝑦 resultan las ecuaciones 2𝑥 = 1 𝑦 2𝑥 = 8. Por lo tanto x = 0; x = 3 pueden ser las soluciones de la ecuación original.

Recuerde que esto debe ser comprobado. En este caso es cierto por tanto:

𝑆 = {0; 3}

Ejercicio 18

Resuelva las ecuaciones siguientes.

𝟖𝟐𝒙 = 𝟏𝟐𝟖

𝟐𝒙 = 𝟐√𝟐

𝟕𝟑𝒙𝟐+𝒙 = 𝟒𝟗

131

3.5.6. Determinación de los valores reales de incógnitas y parámetros en ecuaciones logarítmicas. Despeje en formulas

Definición 9 (Ecuación logarítmica)

Se denomina ecuación logarítmica a una ecuación que posee al menos una incógnita en el argumento de un logaritmo.

Ejemplo 17 (Ecuaciones logarítmicas)

𝑎) log2 𝑥 = 6; 𝑏) log2(𝑥2 − 𝑥) = 1; 𝑐) log𝑥 81 = 4; 𝑑) (log4 𝑥)2 +log4 𝑥 − 6 = 0

Como se observa en el inciso c, en algunos casos la variable puede estar en la base del logaritmo.

Los ejemplos indicados están resueltos en el Ejemplo 3 de [2] p. 10. El procedimiento de resolución de ecuaciones logarítmicas consiste en aplicar la definición de logaritmo, en algunos casos se utilizan propiedades de los logaritmos previamente. Finalmente resolver las ecuaciones lineales, cuadráticas, o de otro tipo que resultan al aplicar la definición de logaritmo. A continuación, se resuelven las ecuaciones del Ejemplo 6.

Ejemplo 18 (Resolución de ecuaciones logarítmicas)

Resuelva las ecuaciones logarítmicas siguientes:

𝒂) 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 = 𝟔

𝒃) 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙𝟐 − 𝒙) = 𝟏

𝒄) 𝐥𝐨𝐠𝒙 𝟖𝟏 = 𝟒

𝒅) (𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙)𝟐 + 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 − 𝟔 = 𝟎

Resolución

𝑎) log2 𝑥 = 6

Según la definición de logaritmo 6 es el exponente al que se eleva la base 2 para obtener x. Por lo tanto, aplicando la definición resulta la ecuación elemental 𝑥 = 26 = 64.

132

𝑏) log2(𝑥2 − 𝑥) = 1

Aplicando la definición de logaritmo 𝑥2 − 𝑥 = 21

𝑥2 − 𝑥 = 2 ⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0. Aplicando la regla I

⇔ (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0. Aplicando la regla IV

De donde resultan las dos ecuaciones lineales: 𝑥 − 2 = 0 𝑦 𝑥 + 1 = 0 cuyas soluciones son: 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = −1 de la ecuación cuadrática resultante.

Realizan do la prueba se advierte que ambas son soluciones de la ecuación original. Por lo tanto. 𝑆 = {−1; 2}

𝑐) log𝑥 81 = 4

Aplicando la definición de logaritmo resulta que 𝑥4 = 81 y se ha obtenido una ecuación exponencial cuya solución es 𝑥 = 3.

𝑑) (log4 𝑥)2 + log4 𝑥 − 6 = 0

En este caso es prudente utilizar la sustitución 𝑧 = log4 𝑥 para simplificar la ecuación original en la forma 𝑧2 + 𝑧 − 6 = 0 y advertir que se trata de una ecuación cuadrática.

𝑧2 + 𝑧 − 6 = 0 ⇔ (𝑧 + 3)(𝑧 − 2) = 0. Aplicando IV. A continuación se resuelven las dos ecuaciones lineales que resultan:

𝑧 + 3 = 0 ⇔ 𝑧 = −3 y 𝑧 − 2 = 0 ⇔ 𝑧 = 2

Regresando a la sustitución introducida:

log4 𝑥 = −3 ⇔ 𝑥 = 4−3

log4 𝑥 = 2 ⇔ 𝑥 = 42

Después de comprobar 𝑆 = {1

64; 16}

Ejercicio 19

Determine el conjunto solución de las ecuaciones siguientes:

𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 + 𝟑) + 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 − 𝟒) = 𝟑

133

𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 + 𝟕) − 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 − 𝟏𝟏) = 𝟐

𝐥𝐨𝐠(𝒙 + 𝟔) −𝟏

𝟐𝐥𝐨𝐠(𝟐𝒙 − 𝟑) = 𝟐 − 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟓

Ejercicio 20

La fórmula 𝑝𝐻 = − log 𝑐(𝐻3𝑂+) se utiliza para calcular la concentración de iones de hidrógeno en una disolución.

Halle el pH de una disolución en la cual 𝑐(𝐻3𝑂+) = 10−3𝑚𝑜𝑙 ∙ 𝐿−1

¿Cuántos iones de hidrógeno debe haber en 4 L de una disolución para que el pH se igual 6?

3.6. Definición de inecuación, dominio básico de una inecuación, solución de una inecuación, conjunto solución

Definición 10 (Inecuación)

Se denomina inecuación a toda desigualdad con al menos una incógnita.

Las inecuaciones se producen al comparar una expresión algebraica que representa el miembro izquierdo (MI) con otra expresión algebraica que representa al miembro derecho (MD) mediante uno de los signos de relación: <; ≤; >; ≥.

Ejemplo 19 (Inecuaciones)

𝟑 − 𝟗𝒙 > 𝟎

𝟔 − 𝟑(𝒙 + 𝟐) ≤ 𝟒(𝒙 − 𝟑) + 𝟓(𝒙 + 𝟑)

𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟓

𝒙 − 𝟐> 𝟎

Muchas veces, alguna de las expresiones algebraicas presentes en una inecuación carece de sentido para determinados números del dominio numérico de la variable. Por ejemplo, el MI de la inecuación c) del Ejemplo 19 no está definido para 𝑥 = 2, pues la división por cero no está definida. Al separar el número 2 del dominio numérico de la variable, se define el dominio básico de solución (DB) de la inecuación

134

dada. Por consiguiente, para la inecuación considerada el 𝐷𝐵 ={𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ 2}.

Definición 11 (Solución de una inecuación)

El número 𝑎, perteneciente al dominio básico de solución (DB) de una inecuación se denomina solución de la inecuación si y solo si al sustituir la incógnita x donde quiera que esta aparezca por el numero 𝑎 la desigualdad indicada por la inecuación es verdadera.

El conjunto formado por la totalidad de las soluciones de una inecuación, se llama conjunto solución de la inecuación y se denota por 𝑆. El conjunto solución de una inecuación puede ser vacío, en dado caso 𝑆 = ∅.

Ejemplo 20

Verifique, mediante la sustitución de elementos particulares del

conjunto dado, que 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 <1

3} es el conjunto solución de la

inecuación 3 − 9𝑥 > 0.

Comprobación

Cualquier número real menor que un tercio pertenece al conjunto S, por consiguiente será solución de la inecuación dada. Como el conjunto S es infinito, se comprueba para algunos elementos de S.

Se cumple que 1

9∈ 𝑆. En efecto,

1

9<

1

3 porque 3 < 9.

Comprobando para 𝑥 =1

9 se cumple:

𝑀𝐼 = 3 − 9 (1

9) = 2

𝑀𝐷 = 0

𝑀𝐼 > 𝑀𝐷

Por lo tanto el número 1

9∈ 𝑆 es en realidad una solución de la

inecuación dada.

135

Usted puede repetir esta prueba con otros elementos del conjunto S. Siempre obtendrá la desigualdad 𝑀𝐼 > 𝑀𝐷.

Por otro lado. Si efectúa una prueba análoga con números no pertenecientes al conjunto S, entonces no obtendrá nunca la desigualdad 𝑀𝐼 > 𝑀𝐷.

Ejercicio 21

¿Cuál de los números dados a continuación pertenece al conjunto solución de la inecuación 6 − 3(𝑥 + 2) ≤ 4(𝑥 − 3) + 5(𝑥 + 3)?

___ 𝒙 = −𝟎, 𝟑

___ 𝒙 = −𝟎, 𝟒

___ 𝒙 = −𝟎, 𝟏

___ 𝒙 = −𝟎, 𝟐𝟔

3.7. Inecuaciones equivalentes, transformaciones que pueden realizarse en una inecuación

Definición 12 (Inecuaciones equivalentes)

Si están dadas dos inecuaciones. Se dice que estas inecuaciones son equivalentes si cualquier solución de la primera inecuación también es solución de la segunda y, recíprocamente, cualquier solución de la segunda inecuación también es solución de la primera.

Según la definición 12, dos inecuaciones equivalentes se caracterizan por tener el mismo conjunto solución.

La expresión resolver una inecuación significa determinar su conjunto solución. Con este propósito, es importante conocer algunas reglas útiles para la trasformación de inecuaciones. Para mayor comodidad, al enunciar estas reglas se hará referencia a la inecuación 𝑓(𝑥) <𝑔(𝑥). No obstante, lo que se afirma en las reglas de transformación se cumple también para inecuaciones formuladas mediante cualquiera de los signos de relación: ≥; >; ≤ que no se mencionan explícitamente.

136

Reglas para la transformación de inecuaciones

Regla I. Las inecuaciones𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) y 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) < 0 son equivalentes.

Regla II. Las inecuaciones 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) y 𝑓(𝑥) + 𝑎 < 𝑔(𝑥) + 𝑎 son equivalentes cualquiera que sea el número real 𝑎.

Regla III a). Las inecuaciones 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) y 𝑎𝑓(𝑥) < 𝑎𝑔(𝑥) son equivalentes cualquiera que sea el número real positivo 𝑎.

Regla III b). Las inecuaciones 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) y 𝑎𝑓(𝑥) > 𝑎𝑔(𝑥) son equivalentes cualquiera que sea el número real negativo 𝑎.

Regla IV a) Las inecuaciones 𝑎𝑓(𝑥) < 𝑎𝑔(𝑥) y 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) son equivalentes para cualquier número real 𝑎 > 1.

Regla IV b) Las inecuaciones 𝑎𝑓(𝑥) < 𝑎𝑔(𝑥) y 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) son equivalentes para cualquier número real 0 < 𝑎 < 1.

Regla V Sea n un número natural y se cumple que en cierto conjunto M, 𝑓(𝑥) ≥ 0 y 𝑔(𝑥) ≥ 0. Entonces, las inecuaciones 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) y [𝑓(𝑥)]𝑛 < [𝑔(𝑛)]𝑛 son equivalentes para todo 𝑥 ∈ 𝑀.

Regla VI a) Sea a un número real dado tal que 𝑎 > 1 y se cumple que en cierto conjunto M, 𝑓(𝑥) ≥ 0 y 𝑔(𝑥) ≥ 0. Entonces, las inecuaciones 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) y 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) < 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥) son equivalentes para todo 𝑥 ∈𝑀.

Regla VI b) Sea a un número real dado tal que 0 < 𝑎 < 1 y se cumple que en cierto conjunto M, 𝑓(𝑥) ≥ 0 y 𝑔(𝑥) ≥ 0. Entonces, las inecuaciones 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) y 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥) son equivalentes para todo 𝑥 ∈ 𝑀.

Regla VII a) Si ℎ(𝑥) > 0 para todo elemento x de un conjunto M de números reales. Entonces, las inecuaciones 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥)𝑓(𝑥) <ℎ(𝑥)𝑔(𝑥) son equivalentes para todo x de M.

Regla VII b) Si ℎ(𝑥) < 0 para todo elemento x de un conjunto M de números reales. Entonces, las inecuaciones 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥)𝑓(𝑥) >ℎ(𝑥)𝑔(𝑥) son equivalentes para todo x de M.

137

En la transformación de inecuaciones también se utiliza la regla IV para la transformación de ecuaciones.

Ejemplo 21

Consideremos la inecuac1ón 3(𝑥 + 2) < (𝑥 + 2)2 y la sucesión de inecuaciones:

3(𝑥 + 2) − (𝑥 + 2)2 < 0

−(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) < 0

(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) > 0

Determine, qué regla de transformación se utilizó en cada paso

Respuestas

Regla I. En efecto, la inecuación 3(𝑥 + 2) < (𝑥 + 2)2 y la inecuación

3(𝑥 + 2) − (𝑥 + 2)2 < 0 son equivalentes, según la regla I.

Regla IV. En efecto, extrayendo el factor común −(𝑥 + 2) se cumple la igualdad

3(𝑥 + 2) − (𝑥 + 2)2 = −(𝑥 + 2)(𝑥 − 1). La regla IV, permite reemplazar el MI de la inecuación 3(𝑥 + 2) − (𝑥 + 2)2 < 0 por la expresión algebraica −(𝑥 + 2)(𝑥 − 1). Por lo tanto, la inecuación 3(𝑥 + 2) − (𝑥 + 2)2 < 0 y la inecuación −(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) < 0 son equivalentes.

Regla III b). En efecto, esta regla permite multiplicar ambos miembros de la inecuación −(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) < 0 por un número negativo. Seleccionando como factor al número 𝑎 = −1 de acuerdo con la regla III b) se obtuvo la inecuación (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) > 0 equivalente a la anterior.

Ejercicio 22

En la siguiente sucesión de inecuaciones, identifique la regla que permitió pasar de la inecuación anterior a la siguiente:

(𝑥 − 3)2 − (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) < 11 − 3𝑥

138

𝑥2 − 6𝑥 + 9 − (𝑥2 − 4) < 11 − 3𝑥

𝑥2 − 6𝑥 + 9 − 𝑥2 + 4 < 11 − 3𝑥

−6𝑥 + 13 < 11 − 3𝑥

−3𝑥 < −2

𝑥 >2

3

3.8. Resolución de inecuaciones lineales y aplicaciones

Definición 13 (inecuación lineal)

Se denomina inecuación lineal, a toda inecuación que tiene la forma general la forma general 𝑚𝑥 + 𝑛 > 0. Los parámetros m y n son números reales cualesquiera, con la excepción 𝑚 ≠ 0. Recordemos que el signo de relación puede ser sustituido por cualquiera de los signos: ≥: <; ≤.

Ejemplo 22 (Resolución de inecuaciones lineales)

Resuelva la inecuación 3 − 9𝑥 > 0

Resolución

3 − 9𝑥 > 0 Como 3 − 9𝑥 = −9𝑥 + 3 aplicando la regla IV resulta:

−9𝑥 + 3 > 0 Aplicando la regla II, con 𝑎 = −3 resulta:

−9𝑥 > −3 Aplicando la regla III b), con 𝑎 = −1

9 resulta:

𝑥 <1

3

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 <1

3 }

El conjunto solución puede ser representado también en notación de intervalo o en forma gráfica.

𝑆: (−∞; 1

3) (En notación de intervalo).

Gráficamente. La parte de la recta situada a la izquierda del número, sin incluir al punto que representa al número.

139

Aplicaciones

Las inecuaciones lineales y otras se aplican para determinar el conjunto de valores admisibles (CVA) de expresiones algebraicas que tienen forma de raíz cuadrada o forma de logaritmo, las cuales exigen que el termino bajo el signo de raíz cuadrada o de logaritmo sea positivo.

Ejemplo 23

El CVA de la expresión algebraica log0,5(3 − 9𝑥) se define como:

𝑪𝑽𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝟑 − 𝟗𝒙 > 𝟎}

Como se comprobó en el Ejemplo 22, se trata del conjunto solución de la inecuación 3 − 9𝑥 > 0.

Ejemplo 24 (Resolución de inecuaciones lineales)

Si 𝑦 = 3 − 9𝑥 es la ecuación de una función lineal, el conjunto solución de la inecuación 3 − 9𝑥 > 0 representa el conjunto de números reales para los cuales las imágenes de la función dada son positivas.

Ejercicio 23

Resuelva las inecuaciones siguientes:

𝟗𝒙 + 𝟖 − 𝟒𝒙 < 𝟑𝒙 + 𝟏𝟐

𝟓(𝒙 + 𝟒) − 𝟐(𝒙 − 𝟑) > 𝟖

𝟒(𝟐𝒙 + 𝟏) ≥ 𝟔 − 𝟑(𝟒 − 𝟑𝒙)

𝟔 − 𝟑(𝒙 + 𝟐) ≤ 𝟒(𝒙 − 𝟑) + 𝟓(𝒙 + 𝟑)

140

3.9. Resolución de inecuaciones cuadráticas y aplicaciones

Definición 14 (Inecuación cuadrática)

Se denomina inecuación cuadrática, a toda inecuación que tiene la forma general 𝑚𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 > 0. En este caso, los parámetros m, p y q son números reales arbitrarios, con la excepción 𝑚 > 0. Como se ha informado, en esta forma general el signo de relación puede ser reemplazado por: ≥; < 𝑜 ≤.

Ejemplo 25 (Resolución de inecuaciones cuadráticas)

Resuelve la inecuación cuadrática 𝑥2 − 𝑥 > 0

Halle el conjunto solución de la inecuación (𝑥 − 3)2 > 0

Resolución

Esta inecuación tiene la forma general indicada y cumple la condición exigida. En efecto, 𝑚 = 1 > 0; 𝑝 = −1 𝑦 𝑞 = 0.

Procedimiento

Como 𝑥2 − 𝑥 = 𝑥(𝑥 − 1), aplicando la regla IV, resulta la inecuación equivalente:

𝑥(𝑥 − 1) > 0

Determinamos las raíces de la ecuación auxiliar 𝑥(𝑥 − 1) = 0. En este caso, se trata de 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 1.

Representamos estas raíces como puntos del eje real (la recta numérica).

141

Dado que la inecuación que se resuelve utiliza el signo de relación “mayor que”, nos interesan los intervalos del eje real cuyos puntos generan valores positivos, para el miembro izquierdo de la inecuación. Estos intervalos son:

(−∞; 0) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 0}

(1; ∞) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 1}

El conjunto solución de la inecuación viene dado por la unión de estos dos intervalos. Es decir: 𝑆 = (−∞; 0) ∪ (1; ∞)

Si se desea expresar el conjunto solución utilizando la notación conjuntista, la respuesta es 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 0} ∪ {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 1} ={𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 0 𝑜 𝑥 > 1}

La inecuación del segundo miembro tiene una sola raíz. Se dice que es una raíz doble. En los factores cuadráticos no se produce cambio de signo.

En este caso la inecuación es positiva en toso el eje real 𝑆 = ℝ.

3.10. Aplicaciones

Las inecuaciones cuadráticas, se aplican para determinar los signos de funciones cuadráticas. Es decir, los intervalos de números reales donde la función cuadrática toma valores positivos o toma valores negativos.

Ejemplo 26

¿En qué intervalos la función cuadrática 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 toma valores positivos?

Solución

Para responder esta pregunta, se resuelve la inecuación 𝑥2 − 𝑥 > 0. La respuesta, es el conjunto solución de la inecuación planteada el cual fue determinado en el Ejemplo 25. Por consiguiente, la función 𝑦 =𝑥2 − 𝑥 es positiva en los intervalos (−∞; 0) y (1; ∞).

142

En general, el problema de encontrar los signos de funciones representadas mediante una ecuación del tipo 𝑦 = 𝐹(𝑥) se resuelve resolviendo una de las inecuaciones 𝐹(𝑥) > 0 o bien 𝐹(𝑥) < 0.

Ejercicio 24

Determine el conjunto solución de las inecuaciones siguientes:

𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 > 𝟎

𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟖 > 𝟎

𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟔 < 𝟎

𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟔 ≤ 𝟎

𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 > 𝟏𝟎𝒙

Ejercicio 25

Encuentre los intervalos donde la función 𝑦 = 𝐹(𝑥) toma valores positivos o toma valores negativos.

𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟕

𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟐𝟎

𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟏𝟓

3.11. Resolución de inecuaciones fraccionarias y aplicaciones

Nota: el contenido de este epígrafe es opcional para los estudiantes de las carreras Derecho y Gestión Sociocultural para el Desarrollo.

Definición 15 (Inecuación fraccionaria)

Se denomina inecuación fraccionaria, a toda inecuación que tiene la forma general

𝑝(𝑥)

𝑄(𝑥)> 0

Donde el numerador y el denominador son polinomios enteros. Los coeficientes de los términos de mayor grado respectivamente, son positivos. El signo de relación puede ser reemplazado por: ≥; < 𝑜 ≤.

143

A través de ejemplos, se explica el procedimiento para resolver inecuaciones fraccionarias.

Ejemplo 27

Halle el conjunto solución de la inecuación fraccionaria.

𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟓

𝒙 − 𝟐> 𝟎

(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟐)𝟐

(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)< 𝟎

Resolución

En este caso, se trata de una inecuación fraccionaria porque el numerador y el denominador son polinomios enteros y el coeficiente del término de mayor potencia en cada polinomio es positivo. Si estas condiciones no se cumplieran, hay que conseguirlas mediante transformaciones algebraicas.

Como 𝑥2 − 4𝑥 − 5 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 5) obtenemos la inecuación equivalente:

(𝑥+1)(𝑥−5)

𝑥−2> 0

Se determinan las raíces del numerador y las raíces del denominador.

De (𝑥 − 5)(𝑥 + 1) = 0 resulta 𝑥 = 5 𝑦 𝑥 = −1. Ceros del numerador.

De 𝑥 − 2 = 0 resulta 𝑥 = 2. Ceros del denominador.

Representamos las raíces obtenidas en la recta numérica:

Importan los intervalos donde la fracción del MI de la inecuación es positiva. Como indica el esquema se trata se los intervalos:

(−1; 2) = {𝑥 ∈ ℝ: −1 < 𝑥 < 2}

144

(5; ∞) = {𝑥 ∈ ℝ: 5 < 𝑥}

El conjunto solución de la inecuación es el conjunto unión de ambos intervalos

𝑆 = (−1; 2) ∪ (5; ∞) = {𝑥 ∈ ℝ: −1 < 𝑥 < 2 𝑜 𝑥 > 5}

En este caso, los términos de la fracción se han presentado ya descompuestos en factores. De lo contrario esto debió ser un paso previo como en el inciso a). Solo interesa la manera de obtener el conjunto solución por la presencia de factores cuadráticos: (𝑥−3)(𝑥+2)2

(𝑥+1)(𝑥−1)< 0

Raíces del numerador: 3 y -2. La raíz -2, como proviene de un factor cuadrático se dice que es doble.

Raíces del denominador: -1 y 1.

Igual que en el ejemplo anterior, representamos todas las raíces en la recta numérica. Pero, al realizar la colocación de los signos más y menos se tendrá en cuenta que en la raíz correspondiente al factor cuadrático no se produce cambio de signo.

Ahora interesan los intervalos donde la fracción del miembro izquierdo de la inecuación toma valores negativos. Según el esquema de signos esto se cumple en los intervalos: (−∞; −1) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 <−1} 𝑦 (1; 3) = {𝑥 ∈ ℝ: 1 < 𝑥 < 3}

𝑺 = (−∞; −𝟏) ∪ (𝟏; 𝟑) = {𝒙 ∈ ℝ ∶ 𝒙 < −𝟏 𝒐 𝟏 < 𝒙 < 𝟑}

Aplicaciones

La resolución de inecuaciones fraccionarias se aplica para determinar los signos de funciones racionales, es decir, de funciones definidas por una ecuación donde el segundo miembro de la ecuación es una fracción algebraica racional.

145

Ejercicio 26

Resuelva las inecuaciones fraccionarias dadas a continuación:

𝟏

𝒙 + 𝟔+

𝟑𝟗 − 𝒙𝟐

𝒙𝟐 − 𝟑𝟔≥ −𝟏

𝟑𝒙 − 𝟏

𝟑𝒙 − 𝟐−

𝟐𝒙 − 𝟑

𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒> 𝟏

Ejercicio 27

Determine los intervalos de números reales donde las funciones dadas continuación toman valores positivos:

𝒇(𝒙) =𝒙 − 𝟒

𝟑𝒙 + 𝟐

𝒚 =(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟖)

𝒙 − 𝟏

3.12. Resolución de inecuaciones exponenciales y aplicaciones

Definición 16 (Inecuación exponencial)

Se denomina inecuación exponencial a toda inecuación que posee incógnitas en el exponente de alguna potencia.

Ejemplo 28 (Inecuaciones exponenciales)

4𝑥2≤

2𝑥+2

8

9𝑥 ∙ 27 > 3𝑥 ∙ 3

La resolución de inecuaciones exponenciales se realiza expresando todas las potencias presentes en la misma como potencias de una base común, para luego comparar los exponentes de acuerdo con el siguiente Teorema.

146

Teorema 1

Si 𝒂 > 𝟏 𝒚 𝒂𝑭(𝒙) < 𝒂𝑮(𝒙), entonces 𝑭(𝒙) < 𝑮(𝒙)

Si 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 𝒚 𝒂𝑭(𝒙) < 𝒂𝑮(𝒙), entones 𝑭(𝒙) > 𝑮(𝒙)

Ejemplo 29

Resolución de las inecuaciones exponenciales del Ejemplo 28

Resolución

4𝑥2≤

2𝑥+2

8 Como 4𝑥2

= (22)𝑥2= 22𝑥2

sustituyendo, según la regla

IV, resulta

22𝑥2≤

2𝑥+2

8 Como

2𝑥+2

8= 2𝑥−1 sustituyendo, según regla IV, resulta

22𝑥2≤ 2𝑥−1

Como la base 2 es mayor que 1, aplicando la parte a) del Teorema 1, resulta

2𝑥2 ≤ 𝑥 − 1 Aplicando la regla I, resulta

2𝑥2 − 𝑥 + 1 ≤ 0

En este caso, el problema se reduce a resolver la inecuación cuadrática: 2𝑥2 − 𝑥 + 1 ≤ 0, como el MI de la inecuación no admite descomposición en factores en ℝ, la desigualdad es válida para todos los números reales:

𝑆 = ℝ

9𝑥 ∙ 27 > 3𝑥 ∙ 3

Resolución

9𝑥 ∙ 27 = 32𝑥+3 y 3𝑥 ∙ 3 = 3𝑥+1 aplicando dos veces la regla I resulta la inecuación:

32𝑥+3 > 3𝑥+1 Aplicando el Teorema 1, resulta:

2𝑥 + 3 > 𝑥 + 1

147

El problema se reduce a resolver la inecuación lineal obtenida. Aplicando la regla I

𝑥 + 2 > 0 Aplicando la regla II con 𝑎 = −2

𝑥 > −2

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > −2}

Aplicaciones

Ejemplo 30

Determine para qué números reales x se cumple que la función 𝑦 =

(1

3)

𝑥2−1−

1

27 toma valores positivos.

Solución

Debemos resolver la inecuación (1

3)

𝑥2−1−

1

27> 0. Aplicando las reglas

IV y II resulta:

(1

3)

𝑥2−1> (

1

3)

3 Aplicando el Teorema 1 b)

𝑥2 − 1 < 3 Aplicando la regla II resulta:

𝑥2 − 4 < 0

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) < 0

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ −2 < 𝑥 < 2}

R/ La función estudiada es positiva en el intervalo −2 < 𝑥 < 2.

Ejercicio 28

Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones exponenciales:

148

(√𝟑)𝒙𝟐−𝟑𝒙

> (√𝟑)𝟒

𝟐𝟐𝒙−𝟏 > 𝟐𝒙+𝟏

𝟏𝟏𝒙𝟐< 𝟏𝟏𝒙

(𝟏

𝟓)

𝒙𝟐−𝒙

< (𝟏

𝟓)

𝒙

3.13. Resolución de inecuaciones logarítmicas y aplicaciones

Definición 17 (Inecuaciones logarítmicas)

Se denomina inecuación logarítmica a las inecuaciones que poseen incógnitas en el argumento o en la base de un logaritmo.

Teorema 2

La sustitución de la inecuación log𝑎 𝑓(𝑥) < log𝑎 𝑔(𝑥), por la inecuación 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥), si 𝑎 > 1 o por la inecuación 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) en caso que 0 < 𝑎 < 1, es una transformación equivalente para todos los números reales x pertenecientes al dominio básico de solución (DB) de la inecuación.

La regla de trasformación de inecuaciones logarítmicas enunciada en el Teorema 2 se denomina potenciación de las desigualdades.

Para resolver las inecuaciones logarítmicas se tienen en cuenta las reglas de transformación de inecuaciones VI a) y VI b). Se determina el DB y aplica el Teorema 2, para finalmente resolver la inecuación resultante en el DB determinado.

Ejemplo 31 (Resolución de inecuaciones logarítmicas)

Determine para qué valores de x se satisface log4 𝑥 < 3

Resolución

El dominio básico de solución es el conjunto 𝐷𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 0}

149

Según la regla IV a) de la transformación de inecuaciones se cumple

que de log4 𝑥 < 3 y 4log4 𝑥 < 43 son equivalentes en el DB de la inecuación.

Según la identidad logarítmica fundamental 4log4 𝑥 = 𝑥 por consiguiente, aplicando la regla IV

4log4 𝑥 < 43 Es equivalente a 𝑥 < 43

La última desigualdad se cumple en el conjunto 𝑀 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 < 64}

Por consiguiente, 𝑆 = 𝑀 ∩ 𝐷𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 0 < 𝑥 < 64}

Ejemplo 32 (Resolución de inecuaciones logarítmicas)

Determine para qué valores de x se cumple log0,5(2𝑥 − 1) <

log0,5(𝑥2 + 5)

Resolución

DB de la inecuación

2𝑥 − 1 > 0 Es equivalente a

𝑥 >1

2

𝑀𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 >1

2}

𝑥2 + 5 > 0 Es válida para todo número real x. 𝑀𝐷 = ℝ

𝐷𝐵 = 𝑀𝐼 ∩ 𝑀𝐷 = 𝑀𝐼

Para todo x del DB, de 0 < 𝑎 < 1 y log0,5(2𝑥 − 1) < log0,5(𝑥2 + 5)

resulta, según VI

b) que 0,5log0,5(2𝑥−1) > 0,5log0,5(𝑥2+5) .

Por consiguiente, esta inecuación es equivalente a:

2𝑥 − 1 > 𝑥2 + 5 Según la regla I es equivalente a:

2𝑥 − 1 − 𝑥2 − 5 > 0 Aplicando la regla IV, resulta:

150

−𝑥2 + 2𝑥 − 6 > 0 Aplicando la regla III b) con 𝑎 = −1

𝑥2 − 2𝑥 + 6 < 0

Resulta que 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 5 = (𝑥 − 1)2 + 5

Por consiguiente, (𝑥 − 1)2 + 5 < 0 no se cumple para ningún elemento de 𝑀𝐼 . Por tal motivo 𝑆 = ∅.

Ejercicio 29

Determine el conjunto solución de las inecuaciones siguientes:

𝐥𝐨𝐠𝟗(𝒙 + 𝟐) > 𝟎

𝐥𝐨𝐠𝟓(𝟐𝒙 − 𝟑) ≥ 𝟎

𝐥𝐨𝐠𝟒(𝒙 + 𝟐) ≤ 𝟎

𝐥𝐨𝐠𝟏,𝟓(𝒙 − 𝟖) > 𝐥𝐨𝐠𝟏,𝟓 𝟑

𝐥𝐨𝐠𝟎,𝟓(𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓) ≥ −𝟒

3.14. Definición de sistemas de ecuaciones lineales, solución y conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales

Se denomina ecuación lineal en dos variables a una ecuación que tiene la forma general 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.

Ejemplo 32 (Resolución de inecuaciones logarítmicas)

Ejemplo 33 (Ejemplos de ecuaciones lineales en dos variables)

3𝑥 + 7𝑦 − 8 = 0. Los coeficientes 𝑎 = 3; 𝑏 = 7; 𝑐 = −8 son sus parámetros.

𝑦 = 5𝑥 + 7. Es una ecuación lineal con la incógnita y despejada. Se dice que está resuelta respecto a x. Sus parámetros son 𝑎 = 5; 𝑏 = 1; 𝑐 =7.

Toda ecuación lineal en dos variables posee infinitas soluciones. Por ejemplo, si x toma cualquier valor real y despejamos la incógnita y

151

respecto a x como en el inciso b) del Ejemplo 33, cada par del tipo (𝑥; 𝑦 = 5𝑥 + 7) es una solución particular de la ecuación lineal dada.

Ejemplo 34

Halle el conjunto solución de la ecuación lineal 3𝑥 + 7𝑦 − 8 = 0 y ponga tres ejemplos de soluciones particulares.

Solución

Despejamos la incógnita 𝑦 respecto a 𝑥: 𝑦 =−3𝑥+8

7

𝑆 = {(𝑥; 𝑦) ∶ 𝑥 ∈ ℝ; 𝑦 =−3𝑥 + 8

7}

Si hacemos 𝑥 = 0; 𝑦 =−3(0)+8

7=

8

7 por lo tanto, el par ordenado(0;

8

7)

es una solución particular de la ecuación dada.

Asignándole libremente valores a la incógnita x resultan valores para la incógnita y; con ello, nuevos pares ordenados (𝑥; 𝑦) que son soluciones particulares.

Consideraciones análogas, llevan a una ecuación lineal con tres variables, a una ecuación lineal con más tres variables. En cualquier caso, la ecuación considerada tendrá infinitas soluciones.

Definición 18 (Sistema de ecuaciones lineales)

Se denomina sistema de ecuaciones lineales con varias incógnitas (SEL) al planteo de dos o más ecuaciones lineales con dos o más incógnitas con el objetivo de encontrar alguna solución común a todas las ecuaciones del sistema.

Ejemplo 35 (Sistema de ecuaciones lineales)

{𝟑𝒙 + 𝟕𝒚 − 𝟖 = 𝟎𝒙 + 𝒚 − 𝟒 = 𝟎

{

𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏−𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟒𝟒𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟐𝟐

152

En el caso a) tenemos un SEL de dos ecuaciones con dos incógnitas. En el inciso b) tenemos un SEL con tres ecuaciones y tres incógnitas. Estos son los sistemas que se estudiarán en este curso.

Se denomina solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas a todo par ordenado de números reales (𝑥0; 𝑦0) que satisface a ambas ecuaciones del sistema.

Análogamente, se denomina solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas a todo trio ordenado de números reales (𝑥0; 𝑦0; 𝑧0) que satisface a todas las ecuaciones del sistema.

El conjunto S de todas las soluciones del sistema de ecuaciones lineales se denomina conjunto solución del sistema.

El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales puede contener una sola solución, es decir, un solo par ordenado (𝑥0; 𝑦0) o un solo trio ordenado (𝑥0; 𝑦0; 𝑧0) que satisface a todas las ecuaciones del sistema. En estos casos, el conjunto solución se escribe en la forma 𝑆 = {(𝑥0; 𝑦0)} o bien 𝑆 = {(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0)} y se dice que el SEL tiene solución única. Cuando el SEL tiene solución única, en la escuela se utiliza la notación 𝑥 = 𝑥0; 𝑦 = 𝑦0 o bien 𝑥 = 𝑥0; 𝑦 = 𝑦0; 𝑧 = 𝑧0 según sea el caso. En este curso, también se aceptará esta manera de indicar la solución del sistema.

Puede ocurrir que el SEL no tenga solución. Lo cual se indica como es usual 𝑆 = ∅.

El sistema puede tener infinitas soluciones. En este caso, el conjunto solución se indica en la forma:

𝑆 = {(𝑥; 𝑦): 𝑦 = 𝑓(𝑥); 𝑥 ∈ ℝ} para el caso de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

𝑆 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧): 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦); 𝑥 ∈ ℝ; 𝑦 ∈ ℝ} para un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Ejercicio 30

Verifique que el par ordenado (−2; 1) es solución del SEL{𝑥 + 𝑦 = −1𝑥 + 2𝑦 = 0

153

verifique que el trio ordenado (−2; 1; 0) es solución del SEL

{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0

3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −7

3.15. Sistemas equivalentes. Transformaciones que pueden realizarse en un Sistema

Definición 19 (Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes)

Si están dados dos sistemas de ecuaciones lineales con dos ecuaciones y dos incógnitas (SEL). Se dice que estos SEL son equivalentes si cualquier solución de una de ellos también es solución del segundo y, recíprocamente, cualquier solución del segundo sistema también es solución del primero.

Según la definición 19, dos SEL equivalentes tienen el mismo conjunto solución.

Resolver un SEL, significa encontrar su conjunto solución. Esto se realiza, aplicando las llamadas transformaciones equivalentes, o sea, aquellas que pueden ser aplicadas a un SEL para generar otro SEL equivalente al anterior.

A continuación, se presentan algunas transformaciones que pueden realizarse en un sistema de ecuaciones lineales.

Regla I. Si un SEL se intercambian de lugar dos sus ecuaciones, entonces se obtiene un nuevo SEL equivalente al anterior.

Regla II. Si un SEL se sustituye una ecuación por otra ecuación equivalente a esta, entonces se obtiene un nuevo SEL equivalente al anterior. Se obtiene una ecuación lineal equivalente a una dada utilizando las reglas: I a VII empleadas para transformar ecuaciones, también mediante la suma algebraica de dos ecuaciones de este multiplicadas por números distintos de cero.

Regla III. Si un SEL se sustituye una incógnita por una expresión algebraica igual a ella, entonces se obtiene un nuevo SEL equivalente al anterior.

A continuación ejemplos de cómo utilizar estas reglas para transformar SEL en otros SEL equivalentes.

154

Ejemplo 36 (Aplicación de la regla I)

Dado el siguiente SEL de tres ecuaciones con tres incógnitas obtenga SEL equivalentes a él utilizando las reglas enunciadas.

(1) 5𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = −2

(2) 𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 10

(3) 3𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 = 13

Solución

Permutando las ecuaciones (1) y (2) del SEL dado. Se obtiene otro SEL equivalente al anterior. Resultado:

(1) 𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 10

(2) 5𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = −2

(3) 3𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 = 13

Ejemplo 37 (Aplicación de la regla II)

En el SEL, sustituya la ecuación (2) por otra ecuación del tipo (2𝑎) =(1) − 5(2).

(1) 𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 10

(2) 5𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = −2

(3) 3𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 = 13

Solución

La ecuación (2a) es el resultado de efectuar la suma algebraica de dos igualdades. Se realiza de forma análoga a la suma de dos polinomios. Este cálculo, se efectúa aparte, en un rincón de la hoja de trabajo.

(1) 5𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = −2

(2) − 5𝑥 − 20𝑦 − 15𝑧 = −50

(2𝑎) − 26𝑦 − 13𝑧 = −52

155

El resultado de esta transformación es el siguiente SEL.

(1) 5𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = −2

(2𝑎) − 26𝑦 − 13𝑧 = −52

(3) 3𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 = 13

Ejemplo 38 (Aplicación de la regla III)

En el SEL, sustituya la incógnita x en las ecuaciones (2) y (3) por expresión igual a x.

(1) 𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 10

(2) 5𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = −2

(3) 3𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 = 13

Solución

Obtenemos una expresión igual a x despejando x en la ecuación (1). Resultado:

𝑥 = 10 − 4𝑦 − 3𝑧

Sustituimos la incógnita x por su expresión equivalente en (2) y efectuando los cálculos como se indica a continuación:

5(10 − 4𝑦 − 3𝑧) − 6𝑦 + 2𝑧 = −2

50 − 20𝑦 − 15𝑧 − 6𝑦 + 2𝑧 = −2

−26𝑦 − 13𝑧 = −52

Resultado: (2𝑎) − 26𝑦 − 13𝑧 = −52. Observe que la ecuación (2a), carece de la incógnita x.

De manera análoga, se obtiene la ecuación (3𝑎) − 7𝑦 − 2𝑧 = −23

Reemplazando las ecuaciones (2) y (3) del sistema original por las nuevas ecuaciones (2a) y (3a) respectivamente se, obtiene un SEL equivalente al sistema dado. Resultado:

(1) 𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 10

156

(2𝑎) − 26𝑦 − 13𝑧 = −52

(3𝑎) − 7𝑦 − 2𝑧 = −23

Ejercicio 31

Dado el sistema de ecuaciones lineales {𝑥 + 𝑦 = −1𝑥 + 2𝑦 = 0

Utilice las reglas I y II para obtener un SEL equivalente que carezca de la incógnita y.

Utilice la regla III para obtener un SEL equivalente que carezca de la incógnita x.

Ejercicio 32

Dado el sistema de ecuaciones lineales: {

2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = −25𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 8

3𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 0

Utilice las reglas I y II para obtener un SEL equivalente que carezca de la incógnita z.

Utilice la regla III para obtener un SEL equivalente que carezca de la incógnita z.

3.15.1. Sistemas de ecuaciones lineales con dos ecuaciones y dos variables

Para resolver un SEL con dos ecuaciones y dos variables se utilizan generalmente dos métodos: el método de adición sustracción y el método de sustitución. Ambos utilizan la misma idea: reducir el sistema dado a un sistema equivalente en el que la segunda ecuación contenga una sola incógnita.

Ejemplo 39 (Resolución de un SEL tipo 2x2 por el método de adición-sustracción)

{(𝟏) 𝟑𝒙 + 𝟕𝒚 − 𝟖 = 𝟎(𝟐) 𝒙 + 𝒚 − 𝟒 = 𝟎

157

{(𝟏) 𝟑𝒙 + 𝟕𝒚 − 𝟒 = 𝟎(𝟐) − 𝟔 𝒙 − 𝟏𝟒 𝒚 + 𝟖 = 𝟎

{(𝟏) 𝟑𝒙 + 𝟕𝒚 − 𝟖 = 𝟎(𝟐) 𝟑𝒙 + 𝟕𝒚 + 𝟓 = 𝟎

Resolución

Aplicando la regla II, se sustituye la ecuación (2) por la ecuación (2a) obtenida por medio de la transformación: (2a) = (1) – 3(2). Recuerde que esto se hace aparte, en el Ejemplo 31 se mostró como se hace. Ahora se explica nuevamente:

3𝑥 + 7𝑦 − 8 = 0

−3𝑥 − 3 𝑦 + 12 = 0

4𝑦 + 4 = 0 (Ecuación (2a))

Resultado: El SEL que sigue es equivalente al sistema original.

(1) 3𝑥 + 7𝑦 − 8 = 0

(2𝑎) 4𝑦 + 4 = 0

A continuación resolvemos la ecuación lineal (2a)

Resultado: 𝒚 = −𝟏

Sustituimos el valor 𝑦 = −1 en la ecuación (1) del sistema transformado. Esto genera la ecuación lineal 3𝑥 − 15 = 0.

Resolviendo esta ecuación 𝒙 = 𝟓.

Comprobación (siempre en el sistema original):

Ecuación (1) 𝑀𝐼 = 3(5) + 7(−1) − 8 = 0; 𝑀𝐷 = 0. Los valores hallados satisfacen la primera ecuación, porque MI = MD.

Ecuación (2) (𝑀𝐼) = (5) + (−1) − 4 = 0; 𝑀𝐷 = 0. Los valores hallados satisfacen la segunda ecuación, porque MI = MD.

𝑆 = {(5; −1)}

158

O como se dice en la escuela 𝑥 = 5; 𝑦 = −1.

{(1) 3𝑥 + 7𝑦 − 4 = 0(2) − 6 𝑥 − 14 𝑦 + 8 = 0

Resolución

Reemplazamos la ecuación (2) por la ecuación (2a) = 2(1) + (2).

Resultado: (2a) 0 = 0

Sistema transformado {(1) 3𝑥 + 7𝑦 − 4 = 0(2𝑎) 0 = 0

La ecuación (2a) se redujo a una identidad después de la transformación. Por lo tanto tiene infinitas soluciones. Despejamos la

incógnita y en (1). Resultado 𝑦 =4−3𝑥

7

𝑆 = {(𝑥; 𝑦) ∶ 𝑦 =4 − 3𝑥

7; 𝑥 ∈ ℝ}

{(1) 3𝑥 + 7𝑦 − 8 = 0(2) 3𝑥 + 7𝑦 + 5 = 0

Resolución

Reemplazamos la ecuación (2) del sistema original por la ecuación (2a) obtenida mediante la transformación: (1) – (2). Resultado: −13 = 0

{(1) 3𝑥 + 7𝑦 − 8 = 0(2𝑎) − 13 = 0

La segunda ecuación se reduce a una contradicción.

𝑆 = ∅

Ejemplo 40 (Resolución de un SEL tipo 2x2 por el método de sustitución)

{(1) 3𝑥 + 7𝑦 − 8 = 0(2) 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0

Resolución

159

Se trata de los mismos sistemas del Ejemplo 39. Solo se quiere explicar otro método de resolución.

{(1) 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0(2) 3 𝑥 + 7𝑦 − 8 = 0

Aplicando la regla I se permutaron las ecuaciones del sistema.

Despejamos x en (1). Resultado: 𝑥 = 4 − 𝑦

Sustituimos x en (2). Resultado (2𝑎) 4𝑦 + 4 = 0

Sistema equivalente:

{(1) 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0(2𝑎) 4𝑦 + 4 = 0

El proceso continúa de forma análoga:

Despeje de y en (2a); sustitución de y en (1); despeje de x en (1). Resultado

𝑆 = {(5; −1)}

Ejercicio 33

Resuelva los siguientes SEL por el método de sustitución.

{(1) 3𝑥 + 7𝑦 − 4 = 0(2) − 6 𝑥 − 14 𝑦 + 8 = 0

{(1) 3𝑥 + 7𝑦 − 8 = 0(2) 3𝑥 + 7𝑦 + 5 = 0

Ejercicio 34

Escriba los textos que siguen en forma de sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. Resuelva estos sistemas, por adición-sustracción y por sustitución.

Si al triplo de un número adicionamos un segundo número el resultado es 7 y si al primer número sustraemos el doble del otro el resultado es 7.

160

Si al duplo de un número restamos un segundo número el resultado es -5, pero si al cuádruplo del primer número adicionamos el triplo del segundo el resultado es 10.

Si al quíntuplo de un número adicionamos el triplo de un segundo número el resultado es -8, si al duplo del primer número adicionamos el triplo del segundo el resultado es -2.

3.15.2. Sistemas de ecuaciones lineales con tres ecuaciones y tres variables

Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas se utilizan los mismos métodos: adición-sustracción o sustitución. Mediante cualquiera de los dos métodos mencionados, y aplicando las reglas de transformación de SEL, el sistema original se transforma en un sistema equivalente que carece, por ejemplo, de las incógnitas x en la segunda y la tercera ecuación. Finalmente, este segundo sistema se transformas en un tercero equivalente a él que carece, por ejemplo, de la incógnita y en la última ecuación.

Ejemplo 41 (Resolución de SEL de tipo 3 x 3)

Resuelva el sistema de ecuaciones lineales

{

(1) 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 0(2) 𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = −2(3) 4𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 2

Resolución

Aplicando el método de adición-sustracción transformamos el sistema original en otro equivalente que de la incógnita x en las ecuaciones (2) y (3). Para ello, obtenemos la ecuación (2a) como la diferencia (1) – (2). Resultado: (2𝑎) 4𝑧 = 2.

Análogamente, la ecuación (3) se reemplaza por la ecuación (3a) resultado de diferencia 4(1) – (3). Resultado: (3𝑎) − 9𝑦 + 10𝑧 = 2

Sistema transformado:

161

{

(1) 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 0(2𝑎) 4𝑧 = 2(3𝑎) − 9𝑦 + 10𝑧 = 2

Resolviendo la ecuación lineal (2a) resulta 𝑧 =1

2

Sustituyendo z en la ecuación (3a) resulta la ecuación lineal −9𝑦 =

−3. Por lo tanto, 𝑦 =1

3

Finalmente, sustituyendo 𝑧 =1

2; 𝑦 =

1

3 en la ecuación (1) resulta 𝑥 =

0.

Comprobación

(1) 𝑀𝐼 = (0) − 3 (1

3) + 2 (

1

2) = 0; 𝑀𝐷 = 0 Se cumple que MI =

MD.

(2) 𝑀𝐼 = (0) − 3 (1

3) − 2 (

1

2) = −2; 𝑀𝐷 = −2 Se cumple que MI =

MD.

(3) 𝑀𝐼 = 4(0) + 3 (1

3) + 2 (

1

2) = 2; 𝑀𝐷 = 2 Se cumple que MI =

MD.

𝑆 = {(0; 1

3;

1

2)}

O bien 𝑥 = 0; 𝑦 = 1

3; 𝑧 =

1

2

El sistema puede ser resuelto por el método de sustitución. Lo cual se deja como estudio independiente para el estudiante.

Ejercicio 35

Resuelva los siguientes sistemas

{

𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 = 𝟒𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟕

162

{

−𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟓𝒛 = 𝟐

−𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 = −𝟒

{𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟐𝟓𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟒

𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = −𝟒

3.16. Sistemas cuadráticos. Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas

Se denomina sistema de ecuaciones cuadrático, a un sistema de ecuaciones que posee al menos una ecuación de segundo grado.

Ejemplo 42 (Sistemas cuadráticos)

Resuelva los siguientes sistemas cuadráticos.

{𝑦2 − 4𝑥 = 0

𝑥 + 𝑦 = 3

{𝑦2 + 2𝑥 = 2

𝑥 + 𝑦 = 2

Resolución

{𝑦2 − 4𝑥 = 0

𝑥 + 𝑦 = 3

Despejamos una incógnita en la ecuación lineal, por ejemplo, 𝑦 = 3 −𝑥

Sustituimos en la ecuación cuadrática y calculamos

(3 − 𝑥)2 − 4𝑥 = 𝑥2 − 10𝑥 + 9 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática 𝑥2 − 10𝑥 + 9 = 0

(𝑥 − 1)(𝑥 − 9) = 0

Por lo tanto, 𝑥 = 1; 𝑥 = 9

Sustituyendo en la ecuación lineal resulta:

Para 𝑥 = 1, (1) + 𝑦 = 3; 𝑦 = 2

163

Comprobación

Ecuación cuadrática: 𝑀𝐼 = (2)2 − 4(1) = 0; 𝑀𝐷 = 0; 𝑀𝐼 = 𝑀𝐷

Ecuación lineal 𝑀𝐼 = (1) + (3) = 3; 𝑀𝐷 = 3; 𝑀𝐼 = 𝑀𝐷

Por lo tanto, 𝑥 = 1; 𝑦 = 2 es una solución.

Para 𝑥 = 9; (9) + 𝑦 = −3; 𝑦 = −6

Comprobación

Ecuación cuadrática: 𝑀𝐼 = (−6)2 − 4(9) = 0; 𝑀𝐷 = 0; 𝑀𝐼 = 𝑀𝐷

Ecuación lineal 𝑀𝐼 = (9) + (−6) = 3; 𝑀𝐷 = 3; 𝑀𝐼 = 𝑀𝐷

Por lo tanto, 𝑥 = 9; 𝑦 = −6 es una solución.

𝑆 = {(1; 2), (9; −6)}

{𝑦2 + 2𝑥 = 2

𝑥 + 𝑦 = 2

Resolución

Despejamos y en la ecuación lineal, para sustituirla en la ecuación cuadrática.

𝑦 = 2 − 𝑥

(2 − 𝑥)2 + 2𝑥 = 2

Calculando, resulta la ecuación cuadrática 𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática

𝑥2 + 2𝑥 − 2 = (𝑥2 + 2𝑥 + 1) − 3 Completando cuadrado perfecto

(𝑥 + 1)2 − 3 = 0

𝑥 = −1 ± √3

Para 𝑥 = −1 + √3 se cumple que 𝑦 = 2 − (−1 + √3) = 3 − √3

Una posible solución es (−1 + √3; 3 − √3)

164

Para 𝑥 = −1 − √3 se cumple que 𝑦 = 2 − (−1 − √3) = 3 + √3

Otra posible solución es (−1 − √3; 3 + √3)

La comprobación queda a cargo del estudiante.

Ejercicio 36

Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas cuadráticos

{𝑥𝑦 = 32

2𝑥 − 𝑦 = 0

{𝑥𝑦 = −4

𝑥 + 3𝑦 = 1

{𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4

𝑦 − 𝑥 = 4

{𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 4 = 0

𝑥 + 𝑦 = 2

3.16.1. Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas

En el Ejercicio 34 se presentaron algunas situaciones de carácter numérico, para ser modeladas mediante sistemas de ecuaciones lineales. De manera análoga, pueden presentarse situaciones que se modelan mediante sistemas cuadráticos. Los conocimientos ejercitados en ese momento, así como, las habilidades para resolver ecuaciones favorecen la resolución de problemas.

Ejemplo 43

La altura de un triángulo es 2,5 𝑐𝑚 más corta que la base y su base es de 13 𝑐𝑚2¿Cuánto miden estos segmentos?

Resolución

165

Lo primero es leer cuidadosamente el problema para comprender la situación. Se trata de la figura geométrica Triángulo, de ella se conocen su área y determinada relación entre la altura y la base de este triángulo. El problema es determinar cuánto miden estos elementos.

Determinación de los datos y las incógnitas. Sabemos que el área de un

triángulo puede hallarse mediante la fórmula 𝐴 =1

2𝑏 ∙ ℎ

Sabemos que 𝐴 = 13 𝑐𝑚2

La altura ℎ = 𝑏 − 2,5 𝑐𝑚

La base 𝑏 = 𝑥 porque esta se desconoce.

Planteamos una ecuación sustituyendo en la fórmula conocida. En este caso:

13 =1

2𝑥 ∙ (𝑥 − 2,5)

Resultado: 𝑥2 − 2,5𝑥 − 26 = 0

Resolvemos la ecuación obtenida

𝑥2 − 2,5𝑥 − 26 = 0 Multiplicando por 𝑎 = 2 (regla I)

2𝑥2 − 5𝑥 − 52 = 0 Aquí 𝑚 = 2; 𝑝 = −5; 𝑞 = −52

𝐷 = 𝑝2 − 4𝑚𝑞

= (−5)2 − 4(2)(−52)

= 441

𝑥1 =−𝑏+√𝐷

2𝑚= 6,5

𝑥2 =−𝑏−√𝐷

2𝑚= −4

La segunda solución de la ecuación cuadrática se desprecia, porque la base (b) del triángulo no puede tener una longitud negativa. Asumimos que 𝑏 = 6,5 𝑐𝑚

Comprobación

166

La altura ℎ = 6,5 − 2,5 = 4,0 𝑐𝑚

𝐴 =1

2(6,5)(4,0) = 13𝑐𝑚2

R/ La base mide 6,5 𝑐𝑚 y la altura 4,0 𝑐𝑚.

Ejemplo 44

Dos obreros necesitan 48 min para fabricar una pieza. Si la diferencia entre los tiempos de ambos obreros es de 8 min, ¿qué tiempo empleó cada uno en fabricar la pieza?

Resolución

Se hace referencia a dos obreros. Cada uno utiliza un tiempo específico para fabricar la pieza, pero se ignora cuáles son estos tiempos. Podemos asignar variables a cada tiempo.

Tiempo del primer obrero: x min.

Tiempo de segundo obrero: y min.

Como entre los dos utilizan 48 min, se tiene que (1) 𝑥 + 𝑦 = 48. Además se cumple que (2) 𝑥 − 𝑦 = 8, porque entre los tiempos utilizado hay una diferencia de 8 min. El problema consiste en determinar los valores de 𝑥 𝑒 𝑦.

El problema puede resolverse planteando una ecuación lineal. En efecto, la ecuación (2) es equivalente a 𝑥 = 8 + 𝑦. Sustituyendo la incógnita x en la ecuación (1) se obtiene la ecuación lineal (8 + 𝑦) +𝑦 = 48 es equivalente a 2𝑦 = 40, luego 𝑦 = 20. Finalmente, sustituyendo el valor y en la ecuación (1) resulta 𝑥 + 20 = 48. Por consiguiente, 𝑥 = 28.

El problema puede resolverse también planteando un sistema de ecuaciones:

{(1) 𝑥 + 𝑦 = 48(2) 𝑥 − 𝑦 = 8

Sustituyendo la ecuación (2) por la suma de (1) y (2) se obtiene el sistema equivalente

167

{(1) 𝑥 + 𝑦 = 48

(2𝑎) 2𝑥 = 56

Resolviendo la ecuación (2a) resulta 𝑥 = 28

Sustituyendo x en la ecuación (1) y despejando, resulta 𝑦 = 20.

La comprobación se realiza en el texto del problema. En este caso la suma de los tiempos es de 48 min y su diferencia es de 8 min.

R/ El primer obrero necesitó 28 min, el segundo 20 min.

Ejemplo 45

Un melón, una piña y un aguacate cuestan $19,50. Dos melones y tres piñas cuestan $35,10. Dos piñas y tres aguacates cuestan $29,3. ¿Cuánto cuesta cada fruta?

Resolución

Precio del melón: x

Precio de la piña: y

Precio del aguacate: z

El texto del problema permite plantear el siguiente sistema de

ecuaciones:

{

(1) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 19,50(2) 2𝑥 + 3𝑦 = 35,10(3) 2𝑦 + 3𝑧 = 29,30

Multiplicamos la ecuación (1) por 2 y restamos la ecuación (2).

Resultado (2𝑎) − 𝑦 + 2𝑧 = 3,90. Reemplazando la ecuación (2) por la ecuación (2a) se obtiene el sistema equivalente:

{

(1) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 19,50(2𝑎) − 𝑦 + 2𝑧 = 3,90

(3) 2𝑦 + 3𝑧 = 29,30

168

Si multiplicamos la ecuación (2a) por 2 y le adicionamos la ecuación (3) resulta la ecuación (3𝑎) 6𝑧 = 37,10. Reemplazando la ecuación (3) del sistema anterior por la ecuación (3a) resulta el sistema equivalente:

{

(1) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 19,50(2𝑎) − 𝑦 + 2𝑧 = 3,90

(3𝑎) 7𝑧 = 37,10

Despejamos z en (3a). Resultado 𝑧 = 5,30

Sustituyendo z en (2a) y despejando y resulta: 𝑦 = 6,70

Sustituyendo y, z en (1) y despejando x resulta: 𝑥 = 7,50

Comprobación

7,50 + 6,70 + 5,30 = 19,50

13,4 + 15,9 = 29,30

13,4 + 15,9 = 29,30

R/ Los melones cuestan $5,30; las piñas $6,70 y los aguacates $7,50.

Ejemplo 46

Determine si existen, los puntos de intersección de la recta 4𝑥 − 𝑦 =0 y la circunferencia (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 16.

Resolución

En caso de existir, estos de puntos de intersección son las soluciones del sistema cuadrático

{(1)(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 16(2) 4 𝑥 − 𝑦 = 0

Para resolverlo, despejamos la incógnita y en la ecuación (2). Resultado 𝑦 = 2𝑥.

Sustituimos la incógnita despejada en la ecuación (1). Resultado: 5𝑥2 −11 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática

169

5𝑥2 − 11 = 0

𝑥 = ±√55

5 Tomando √55 ≈ 7,4 resulta: 𝑥 = ±7,4

Para 𝑥 = +7,4 se cumple que 𝑦 = 2(7,4) = 14,8 Punto de intersección (7,4; 14,8)

Para 𝑥 = −7,4 se cumple que 𝑦 = −14,8 Punto de intersección (−7,4; −14,8)

La comprobación queda a cargo del estudiante.

Ejercicio 37

Resuelva los problemas siguientes

El largo de un terreno de forma rectangular excede en 6 𝑚 al ancho, si el área es de 280 𝑚2 halle las dimensiones del terreno.

Un cateto de un triángulo rectángulo tiene 7 𝑚 que el otro y 2 𝑚 menos que la hipotenusa. Halle la longitud de cada lado del triángulo.

Un numero de dos lugares con las cifras básicas 𝑎; 𝑏 se escribe en la forma 10𝑎 + 𝑏. Si se invierten las cifras básicas, entonces toma la forma 10𝑏 + 𝑎. Suponga que la suma de las cifras básicas de un número de dos lugares es 12, si se invierte el orden de las cifras, el número no varía. ¿Cuál es el número?

La suma de las cifras básicas de un número de dos lugares 9. Si se invierte el orden de ambas cifras, se obtiene un número menor en 9 unidades que el número original. ¿Cuál es el número?

En un número de tres cifras la suma de ellas es 14. La suma del triplo de la cifra de las centenas con la cifra de las unidades es igual a la cifra de las decenas. Si al número se le suma 99, el nuevo número tiene las mismas cifras, pero en orden inverso. ¿Cuál es el número?

Determine, si existen, los puntos de intersección de la circunferencia de ecuación 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 con la recta representada por la ecuación lineal 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

170

3.16.2. Representación de situaciones mediante el uso de ecuaciones y viceversa, extracción de conclusiones a partir de ellas

Diversas situaciones de la vida cotidiana pueden ser representadas por medio de ecuaciones. Esto ocurre, cuando representamos las magnitudes que intervienen en un proceso, fenómeno o situación mediante variables y parámetros y tratamos de expresar las relaciones entre tales magnitudes matemáticamente.

Las ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones estudiadas en este curso, surgieron, precisamente, como resultado de la modelación matemática de situaciones, fenómenos y procesos reales.

Los problemas matemáticos o de la vida real muchas veces se resuelven modelando las relaciones implicadas en la situación que se describe mediante ecuaciones. En este tema se han visto varios ejemplos.

Ejemplo 47

Recordemos la simple ecuación lineal: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0. Es común escribirla en la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛. Hay toda una infinidad de situaciones que se modelan o representan mediante una ecuación lineal.

Si se interpretan las variables x, y, como las coordenadas de cierto punto (𝑥; 𝑦) del plano y los parámetros a, b, c como números reales la ecuación dada representa una recta del plano para cada valor específico de a, b, c. Una figura geométrica, la recta, puede ser representada mediante una ecuación.

Un caso particular se tiene cuando el parámetro n es cero. La ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 puede tener varios significados.

La variable x, representa el precio original de una mercancía que sufre una modificación m. En ese caso y representa el precio actual de la mercancía.

El salario de un trabajador que cobra $10,00 por cada hora de trabajo y prima de $100,00 por condiciones anormales se representa mediante la ecuación lineal 𝑆 = 10𝑥 + 100; la variable x representa la cantidad de horas trabajadas.

171

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANDREIV, P.P. (1969). Geometría: Estereometría. Editorial Pueblo y Educación.

ALIAGA, S. (1997). Material de Estudio para el entrenamiento de los Concursos Matemáticos en el nivel medio. Ponencia presentada en el Congreso Internacional PEDAGOGÍA 97.

ALIAGA, S. (1999). ¿Cómo contribuir al desarrollo del pensamiento lógico matemático? Ponencia presentada en el Congreso Internacional PEDAGOGÍA 99.

BALDOR, A. (1954). Álgebra. Imprenta Nacional de Cuba. La Habana.

BALLESTER, S. (1995). ¿Cómo sistematizar los conocimientos matemáticos? / Sergio Ballester. Ciudad de la Habana: Editorial Academia.

BALLESTER, S. (1995). ¿Cómo consolidar conocimientos matemáticos? /Sergio Ballester, C. Arango. Ciudad de la Habana: Editorial Academia.

BALLESTER, S. (1992). Metodología de la enseñanza de la Matemática. / Sergio Balleste [et, al]. Ciudad de La Habana: Editorial Pueblo y Educación. Tomo 1.

CAMPISTROUS, L. (1996). Aprende a resolver problemas aritméticos/ Luis Campistrous Pérez, Celia Rizo Cabrera. La Habana. Editorial Pueblo y Educación.

CAMPISTROUS, L. (1989). Matemática Décimo. Libro de Texto/ Luis Campistrous Pérez [et, al]. La Habana. Editorial Pueblo y Educación. 170

CAMPISTROUS, L. (1989). Matemática Onceno. Libro de Texto/ Luis Campistrous Pérez [et, al]. La Habana. Editorial Pueblo y Educación.

DÍAZ, M. (2006). Conjunto. CD de Ciencias Exactas.

FULLER, G. (1963). Álgebra elemental, Compañía Editorial Continental SA, México.

GONZÁLEZ., & M., M. (1976). Álgebra Elemental Moderna. (Volúmenes 1 y 2). Editorial Pueblo y Educación. Ciudad de La Habana.

GONZÁLEZ, M. (1958). Quinto Curso. Complemento de Aritmética y Algebra/ Mario González. La Habana: Editorial “Selecta”.

GUSIEV, V. (1989). Práctica para resolver problemas matemáticos. Geometría/ V. Gusiev, V. Litvinenko, A. Mordkovich. Moscú: Editorial Mir.

172

JIMÉNEZ, M., &, H., & R., &, B., J. (2006). Funciones. Ejercicios sobre funciones. MINED. CD de la Carrera de Ciencias Exactas.

KALNIN R.A. Algebra y Funciones Elementales/ R.A. Kalnin. (1973). Moscú: Editorial Mir.468 pp.

LITVINENKO V. (1989). Prácticas para resolver problemas matemáticos. Algebra/ V. Litvinenko, [et, at]. Moscú: Editorial MIR.

MINED, (1992). Matemática 6, 7, 8, 9 y 10. Colectivo de Autores.

MINED, (2005). Nuevos cuadernos de Matemática 7,8 y 9. Colectivo de Autores.

PAZ, S, A. (1963). Geometría. Cuarto Curso/ Antonio Paz Sordía. La Habana: Editorial Nacional de Cuba.

RODRÍGUEZ, A. (2008). Alternativa para la dirección del aprendizaje de la Matemática. Tesis en opción al título de Máster en ciencias de la Educación. Granma.

RODRÍGUEZ, A. (2015). Modelo del proceso enseñanza-aprendizaje contextualizado de la asignatura Matemática. Tesis en opción al grado científico de Doctor en Ciencias.

SANDOVAL, A. (2008). Matemática V Semestre. Armando Sandoval Torres, [et, at]. Editorial Pueblo y Educación.

SHARIGUIN I. (1986). Problemas de Geometría. Planimetría. / I. Shariguin. Moscú: Editorial Mir.

SHARP, H. JR. (1975). Elementos de Trigonometría Plana. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.

SPITZBART, A. Y ROSS, B. (1970). Álgebra y trigonometría plana, CECSA.