UNIVERSIDAD FERMIN TORO

VICERRECTORADO ACADEMICO

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA TELECOMUNICACIONES

Ejercicios propuestos Matemática IV

Unidad I

Integrante:

Edgar Eduardo Andrade Colon

Cedula 24.353.337

Mayo de 2015

ASIGNACIÓN DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD I: VARIABLE COMPLEJA

ENTREGA: DESDE EL 15/05/2015 HASTAEL 19/05/2015 A LAS 23:50

pm. VALOR: 5 PUNTOS

1.) Efectuar las operaciones indicadas:

31

472 32.) iia

392163726 43Re5232.) iiiiiib

2

4

8

31

3

2

3

1

2

3Im.) ii

ii

ic

2.) Demostrar que: zzz cos3cos43cos 3

3.) Expresar la función 34

Re2 zZiZf en la forma:

yxiVyxUzfw ,,

4.) Determine si la siguiente función es armónica, si lo es determine la

armónica conjugada:

a) f (z) = y/(x2+y2) b) f(z) = x/ (x2-y2)

Efectuar las operaciones indicadas:

31

472 32.) iia

Para resolver el ejercicio debemos saber que

𝑖0 = 1 ; 𝑖1 = 𝑖 ; 𝑖2 = −1 ; 𝑖3 = −𝑖

47

4= (4 ∗ 11) + 3 ; 𝑖47 = 𝑖3 = −𝑖

(2(−1) − √3(−𝑖))1/3

= (−2 + √3𝑖) 1/3

= (2 − √3𝑖)1/3

392163726 43Re5232.) iiiiiib

𝑖0 = 1 ; 𝑖1 = 𝑖 ; 𝑖2 = −1 ; 𝑖3 = −𝑖

26

4= (4 ∗ 6) + 2 ;

7

4= (4 ∗ 1) + 3 ;

6

4= (4 ∗ 1) + 2 ;

21

4= (4 ∗ 5) + 1 ;

39

4= (4 ∗ 9) + 3

𝑖26 = 𝑖2 = −1; 𝑖7 = 𝑖3 = −𝑖; 𝑖6 = 𝑖2 = −1; 𝑖21 = 𝑖1 = 𝑖; 𝑖39 = 𝑖3 = −𝑖

|(2𝑖2 + 3𝑖3)(2𝑖3 + 5𝑖2) |𝑅𝑒(3𝑖1 + 4𝑖3) =

|(2(−1) + 3(−𝑖))(2(−𝑖) + 5(−1)) | 𝑅𝑒(3(𝑖) + 4(−𝑖)) =

|(2(−1) + 3(−𝑖))(2(−𝑖) + 5(−1)) | 𝑅𝑒(3(𝑖) + 4(−𝑖)) =

|(−2 − 3𝑖)(−2𝑖 − 5) |𝑅𝑒(3𝑖 − 4 − 𝑖) =

|(−2 − 3𝑖)(−5 − 2𝑖) |𝑅𝑒(−7𝑖) =

|(−2 − 3𝑖)(−5 − 2𝑖) | ∗ 0 = |(4 + 19𝑖)| ∗ 0 = (−4 − 19𝑖) ∗ 0 = 0

2

4

8

31

3

2

3

1

2

3Im.) ii

ii

ic

𝑖0 = 1 ; 𝑖1 = 𝑖 ; 𝑖2 = −1 ; 𝑖3 = −𝑖

31

4= (4 ∗ 7) + 3 ;

8

4= (4 ∗ 2) + 0 ;

4

4= (4 ∗ 1) + 0 ;

𝑖31 = 𝑖3 = −𝑖; 𝑖8 = 𝑖0 = 1; 𝑖4 = 𝑖0 = 1;

𝐼𝑚 {(3 + 𝑖

1 + 2𝑖)

} + |

1

3+

2

3𝑖|

2

= 𝐼𝑚{1 − 𝑖} +5

9=

5

9− 𝑖

𝐼𝑚 {(3 + 𝑖

1 + 2𝑖)

} + |

1

3+

2

3𝑖|

2

=5

9− 𝑖

Expresar la función 3

4

Re2 zZiZf en la forma:

yxiVyxUzfw ,,

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑥; 𝑅𝑒3 = 𝑥3; 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦; (𝑧)4 = (𝑥 − 𝑖𝑦)4

(𝑧)4 = (𝑥 − 𝑖𝑦)4 = 𝑥4 − 6𝑥2𝑦2 + 4𝑖𝑥𝑦3 + 4𝑦4 − 4𝑖𝑦𝑥3

𝑤 = 𝑓(𝑧) = 2𝑖𝑥2(𝑥4 − 6𝑥2𝑦2 + 4𝑖𝑥𝑦3 + 4𝑦4 − 4𝑖𝑦𝑥3)

𝑤 = 𝑓(𝑧) = 2𝑖𝑥6 − 12𝑖𝑥4𝑦2 − 8𝑥3𝑦3𝑦 + 8𝑖𝑥2𝑦4 + 8𝑦𝑥5

𝑤 = 𝑓(𝑧) = −8𝑥3𝑦3 + 8𝑥5𝑦 + 2𝑖𝑥6 − 12𝑖𝑥4𝑦2 + 8𝑖𝑥2𝑦4

𝑈(𝑥, 𝑦) = −8𝑥3𝑦3 + 8𝑥5𝑦

𝑖𝑉(𝑥, 𝑦) = 2𝑖𝑥6 − 12𝑖𝑥4𝑦2 + 8𝑖𝑥2𝑦4

Determine si la siguiente función es armónica, si lo es determine la armónica conjugada:

f (z) = y/(x2+y2) f (z) = x/ (x2-y2)