Ecuaciones de Mallas

Tutorial de Teoría de CircuitosTema 3: Redes resistivas

Ecuaciones de mallas1. Introducción2. Red resistiva de dos mallas3. Red resistiva de n mallas4. Referencias5. Test

1. Introducción

Definición de MALLA: Conjunto de ramas que forman una trayectoria cerrada y que tienelas siguientes propiedades:

Cada nodo une solamente dos ramas.1.El conjunto no encierra a otra rama.2.

Es por tanto un lazo que no encierra o atraviesa ninguna rama.

Ejemplo:

Puesto que una malla es un tipo particular de lazo, sigue cumpliendo la ley de voltajes deKirchoff.

Se obtienen tantas ecuaciones independientes como mallas halla en el circuito (si seeligieran lazos al azar, podríamos llegar a ecuaciones dependientes).

En una red, si tenemos b ramas y n nodos, se cumple que el número de mallas es:

Por tanto, tenemos b-n+1 ecuaciones independientes analizando por mallas.

Ecuaciones de mallas http://delibes.tel.uva.es/tutorial_cir/tema3/ec_malla.htm

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http://delibes.tel.uva.es/tutorial_cir/tema3/ec_malla.htm

2. Red resistiva de dos mallas

Tomamos la misma dirección de referencia para las corrientes de ambas mallas: en el sentidode las agujas de reloj.

Aplicando la Ley de Voltajes de Kirchoff a cada malla, poniendo los voltajes de la fuente enun miembro de la ecuación y los de rama en otro; y sustituyendo el voltaje en cada resistencia porla expresión de la ley de Ohm:

En forma matricial:

Hay que apreciar que:

a. El signo de VS1, VS2 es positivo si es subida de tensión y negativo si es caída, según ladirección de referencia de la malla.

b. Los términos de la diagonal principal (r11, r22) son la suma de todas las resistenciaspropias de cada malla.

c. Los términos fuera de la diagonal principal son la suma de las resistencias de la ramacomún a ambas mallas, pero con signo negativo (esto se debe a que el sentido de referencia de lamalla contigua es contrario).

Los elementos de la matriz R tienen dimensión de resistencia.


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EJEMPLO:

3. Red resistiva de n mallas

Para una red resistiva plana con n mallas, suponiendo que la recorremos en el sentido de lasagujas del reloj, tendremos:

Donde:

Vi: suma de todas las fuentes de voltaje de la malla i-ésima, considerando positivas las subidasde tensión y negativas las caídas (en la dirección de recorrido de la malla).rii (diagonal de la matriz R): la suma de las resistencias propias de la malla i.rij ( ): El negativo de la suma de los valores de las resistencias comunes a las mallas i y j.Si la red no tiene generadores dependientes la matriz es simétrica (rij=rji).ii: Valor de la corriente de la malla i-ésima (incógnitas, normalmente).


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Se resuelve por CRAMER. Para que haya solución, la condición necesaria y suficiente esque la matriz R tenga determinante no nulo.

Una vez conocidas las corrientes de malla, se pueden calcular las corrientes y voltajes decada una de las ramas.

Es importante destacar que este método únicamente se utiliza con fuentes de voltaje.

4. Referencias

[1] Teoría de circuitos. Segunda edición. Lawrence P. Huelsman. Prentice-HallHispanoamericana, S.A.

[2] Circuitos eléctricos. Tercera edición. Joseph A. Edminister. Mahmood Nahvi. McGraw-Hill.

[3] Circuitos eléctricos. Cuarta edición. James W. Nilsson. Addison-WesleyIberoamericana, Argentina 1995.

5. Test

1. Dado el circuito:

¿Cuántas ecuaciones independientes se obtienen?

3 4 5

2. Dado el circuito:


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¿Cuál de las siguientes respuestas es correcta?

3. En una red resistiva de n mallas:

Para que haya solución, la condición necesaria y suficiente, es que la matriz R tengadeterminante nulo.

Vi es la suma de todas las fuentes de voltaje de la malla i-ésima, considerando positivas lascaídas de tensión y negativas las subidas.

Si la red no tiene generadores dependientes la matriz R es simétrica.


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