Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática es de la forma a x2±bx ±c=0 con a, b y c siendo números reales.

Vamos a mostrar 2 formas de resolver las ecuaciones, que serán por formula general y factorización por inspección. La primera que explicaremos será la formula general.

Primero tenemos una ecuación cuadrática 9x2±6 x±10=0 entonces para aplicar la formula tenemos que saber que a= 9 b=6 c= 10 (importante, siempre será de esta forma, a es el numero al lado de x2 b es el numero al lado de x y c será el último número) cuando se identifica esto el siguiente paso es obtener el discriminante que es el que nos ayudara a resolverlo por formula general, la

fórmula para obtener el discriminante es: ▲= (b2 )−4.a. c (dato importante, El

discriminante siempre nos estará indicando la cantidad de soluciones que posee la ecuaciones entonces: ▲¿0 entonces la ecuación posee dos soluciones, si ▲=0 entonces la ecuación solo posee una solución y si ▲¿0 entonces la ecuación no posee soluciones) después de obtener el discriminante ya podemos aplicar la formula general que es la siguiente

x=−b±√∆2.a

si tiene una solución pero si tiene dos también debemos aplicar

esta otra x=−b−√∆2.a

y con estas dos podemos obtener el resultado de la

operación a continuación resolveré la ecuación inicial paso por paso para ayudar a comprender lo explicado:

9x2±6 x±10=0 a=9 , b=6 y c=10

▲=(6)2−4.a . c ▲= (b2 )−4.a. c

▲=−324 Cuando obtenemos el discriminante aplicamos la formula

.x=−6±√−3242.9

Primero se saca la raíz.

x=−6±182 .9

Ahora resuelven las operaciones presentes.

x=1218

Cuando se obtiene el resultado se simplifica.

x=12

Y ese es el resultado de la operación.

Ahora resolveremos la siguiente ecuación cuadrática 2 x2−7 x±3=0 por el método de factorización por inspección paso por paso para que puedan entenderlo con claridad:

2 x2−7 x±3=0

2 x2−7 x±3=0

-2x -1

-1x - 3

−6 x ±−1 x=−7 x

−2 x−1=0

−1 x−1=0

1.−2 x−1=0

−2 x=1

x= 1−2

x=−12

2.−1 x−1=0

−1 x=1

x= 1−1

x=−1

Lo primero que hay que saber es que tenemos que buscar dos números que multiplicados den el número que estamos buscando

¿Por qué hicimos esto? Buena para empezar, lo que vamos a hacer es multiplicar en cruz para poder obtener dos valores que cuando se suman tienen que dar el número que está en medio de la operación que en este caso es 7x

Cuando sabemos que da el número deseado lo que hacemos es igualar los valores a 0 y después resolvemos la ecuación que esta.

Al igualarlo a 0 se resuelve la operación de darán 2 resultados y uno escoge el más lógico de la respuesta, que en este caso sería el número dos.

Problemas con ecuaciones cuadráticas

1. La suma de dos números es 10 y la de sus cuadrados es 58. ¿Cuáles son los números?

Lo primero que hay que hacer es pasar lo que está escrito en palabras a números que nos permitan resolver el problema, se recomienda primero hacer un planteamiento de todo y después realizar la operación.

X= A el número mayor.

10-X= El número menor.

x2± ¿

x2± ¿

x2±100−20x ±x2=58

x2± x2−20 x±100−58=0

2 x2−20 x±42=0

2 x - 6

x -7

−14 x−6 x=−20 x

2 x−6=0

x=62

x=3

x−7=0

x=7

Este sería el planteamiento, entonces solo faltaría resolver el problema con los datos obtenidos en el planteamiento.

Cuando llega este paso, escogemos de que manera se resuelve, si por factorizacion por inspeccion o por formula general.

Como se puede apreciar se utilizó el método de factorización por inspección y claramente los números que dieron son la respuesta del problema

R/Los números son 3 y 7.

Problema 2

Ashley es dos años mayor que Juana y la suma de los cuadrados de ambas es igual a 130. ¿Cuál es la edad de cada una?

Planteamiento

X

X±2

x2± ¿

Desarrollo

x2± ¿

x2± x2±4 x ±4=130

x2± x2±4 x ±4−130=0

2 x2±4 x−126=0

▲=(4¿2−4.2 .−126 =

16 ±1008=√1024

x=−4 ±√10242.2

x=−4−√10242 .2

x=−4 ±322.2

x=−4−322 .2

x=284

x=−364

x=7 x=−9

Cuando es negativo siempre se descarta

R/Juana tiene 7 años y Ashley tiene 9

Las ecuaciones tanto lineales como cuadráticas son muy importantes para la vida de las personas porque aunque no lo crean las utilizan constantemente como para ser compras o los que más las utilizan que son los ingenieros y arquitectos, pero a pesar de eso igual hasta en la población joven les ha ayudado a progresar debido a que después de ver las ecuaciones aunque al inicio siempre ha sido un dolor de cabeza o una pérdida de tiempo como lo consideran algunos, en realidad les ayuda mucho a la agilidad mental de los jóvenes y según un estudio después de pasar por todo lo que conlleva el estudio de ellas los jóvenes muestras un considerable mejora en todos los aspectos relacionas con la matemática y en algunos casos también con el resto de las asignaturas. Y claramente un aspecto muy importante de aprender estas ecuaciones es una buena explicación o una persona que sepa introducir bien el tema ya que aunque es un poco complicado ya sabemos todas las ventajas aunque muchas personas no creen en ellas y además también cabe agregar que conocer paso a paso todo el proceso de la ecuación y de las excepciones que existen.

Muchos jóvenes le tienen odio y rencor a la matemática en general porque dicen que es la materia más difícil o la que no entienden nada, los números literalmente es como un idioma más que como los demás cualquiera puede aprender y cuando realmente lo aprenden todo se vuelve más fácil ese es el mismo caso de las ecuaciones, tal vez muchos les temen o pero cuando ya comienzan a manejar el tema realmente todo se les vuelve más fácil y con el tiempo cuando ya manejan el tema a la perfección tienen la capacidad de plantear la ecuación inconscientemente o con mucha rapidez y es en ese punto cuando las personas tienen esa capacidad de aplicarlo en la vida cotidiana solo que nunca se dan cuenta. Y una opinión que dan algunos expertos es que realmente aprendan matemáticas y las disfruten porque les facilitara en un montón la vida cotidiana debido a lo que ya hemos mencionado anterior mente tiene muchos aspectos positivos en la vida de todas las personas.

Introducción

Datos curiosos o históricos de las ecuaciones

Desde el siglo XVII A.C los matemáticos de Mesopotámia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones.

En el siglo III existio un matemático griego llamado Diofanto de Alejandría que publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa las ecuaciones de primer grado.

Los primeros documentos matemáticos que existen que datan

del siglo III d.c son los Sulvasttras, donde se recogen todos los

conocimientos necesarios para construir los templos. En éstos

aparece el siguiente problema:

“Hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y

sabiendo que su Área es igual al área de un cuadrado dado. "

Esto es:

Es decir, a x = S .

Lo resolvían utilizando el método de la falsa posición, como los

egipcios.

Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación   ax + b = c   han pasado más de 3.000 años.

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida.