Resolver ecuaciones cuadráticas fórmula cuadrática y casos ... · Nota: No todas las ecuaciones...
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Ecuaciones cuadráticas
Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico - Arecibo
Resolver ecuaciones cuadráticas –
fórmula cuadrática y casos especiales
Ecuación cuadrática en forma
general
Una ecuación cuadrática tiene una forma general como sigue
ax2 + bx + c = 0, donde a, b,c son valores reales; y a≠0
a es el coeficiente del término cuadrático (coeficiente de la variable de grado 2).
b es el coeficiente del término lineal (coeficiente de la variable de grado 1.)
c es la constante.
Resolver ecuaciones
cuadráticas
Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. • Método de factorización • Método de raíz cuadrada • Método utilizando la fórmula cuadrática
Ecuación cuadrática en forma
general
Nota: No todas las ecuaciones cuadráticas son trinomios, o sea no todas tienen 3 términos.
En una ecuación cuadrática (en su forma general), ax2 + bx + c = 0, los coeficientes b y/o c pueden ser igual a 0.
Ejemplos: 9x2 – 16 = 0 4x2 = 8 5x2 – 15x = 0
9x = 𝟏
𝟐𝒙𝟐
(El coeficiente lineal, b, es 0.
( 4x2 – 8 = 0, el coeficiente lineal, b, es 0.
(El término constante, c, es 0.
(𝟏
𝟐𝒙𝟐 − 9x = 0, el término constante, c, es 0.
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando c = 0
Ejemplo: Determine el conjunto solución de
5x2 – 15x = 0
Solución: Cuando en una ecuación cuadrática la constante (c) es 0, el factor común mayor de los términos que quedan contiene al menos, alguna potencia de la variable. Cuando c = 0, podemos resolver la ecuación mediante factorización por factor común.
Ejemplo-continuación
Solución: (continuación)
Podemos aplicar la propiedad distributiva para factorizar.
5x2 – 15x = 0
5x(x – 3) = 0
Ahora aplicamos el principio del factor cero:
5x = 0 5𝑥
5=
0
5
x = 0
x – 3 = 0 x = 3
El conjunto solución es: {0, 3}
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando c = 0
Ejemplo: Determine el conjunto solución de
18x3 + 9x2 = 0
Solución: No hay constante. No es una ecuación cuadrática. Podemos remover de los dos términos el factor común mayor de 9x2
Ejemplo – continuación
Solución: (continuación) 18x3 + 9x2 = 0 9x2 (2x + 1) = 0 Por el principio del factor cero 9x2 = 0
𝟗𝒙𝟐
𝟗=
𝟎
𝟗
x2 = 0 x = 0
2x + 1 = 0 2x = – 1 𝟐𝒙
𝟐=
−𝟏
𝟐
𝒙 = −𝟏
𝟐
El conjunto
solución
es: {0, −𝟏
𝟐}
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando b = 0
Cuando el coeficiente lineal, b, es igual a cero,
empleamos el método de la raíz cuadrada
para resolverlo.
Ejemplos:
2x2 – 7 = 0
36 = 9x2
(3x - 5)2 = 5
Cuando una ecuación cuadrática tiene sólo un
término cuadrático y uno constante
• Dejamos a un lado de la ecuación el
término cuadrático y al otro lado el término
constante.
• Luego extraemos la raíz cuadrada de
ambos lados, tomando en cuenta que
existen dos soluciones para una ecuación
de la forma x2 = k
• 𝑥 = ± 𝑘
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando b = 0
Ejemplo: Resolver x2 + 2 = 10
Solución:
x2 + 2 – 2 = 10 – 2
x2 = 8
x2 = ± 8
𝑥 = ± 8
𝑥 = ± 2 2
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando b = 0
Las soluciones son: x = −𝟐 2, y x = 𝟐 2
Ejemplo: Determinar las soluciones de
3x2 – 5 = 7
Solución:
3x2 – 5 + 5 = 7 + 5
3x2 = 12
3𝑥2
3=
12
3
x2 = 4
𝑥2 = ± 4
𝑥 = ±2
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando b = 0
Las soluciones son
x = – 2 y x= 2.
Ejemplo
Resolver: (2x – 7)2 – 16 = 0
Solución:
(2x – 7)2 – 16 + 16= 16
(𝟐𝒙 − 𝟕)𝟐 = ± 𝟏𝟔 𝟐𝒙 − 𝟕 = ±𝟒
2x – 7 = 4 2x – 7 = - 4
Ejemplo – continuación
2x – 7 = 4 2x – 7 = - 4
2x – 7 + 7= 4 + 7 2x = 11 𝟐𝒙
𝟐=
𝟏𝟏
𝟐
x = 5.5
2x – 7 + 7= - 4 + 7 2x = 3 𝟐𝒙
𝟐=
𝟑
𝟐
x = 1.5
El conjunto solución es
{1.5, 5.5}
Resolver: 7(x – 3)2 + 5 = 8
7(x – 3)2 + 5 – 5 = 8 – 5 7(x – 3)2 = 3 7(𝑥 – 3)2
7=
3
7
(𝑥 – 3)2 = 3
7
(𝑥 − 3)2= ±3
7
x – 3 = ±3
7
Resolver: 7(x – 3)2 + 5 = 8
x – 3 + 3 = 3 ±3
7
x = 3±3
7
x = 3 +3
7 ó x = 3−
3
7
Las soluciones son x = 3 +𝟑
𝟕 y x= 3 –
𝟑
𝟕.
Fórmula cuadrática
Dada una ecuación cuadrática en su forma
general:
ax2 + bx + c = 0,
donde a, b,c son valores reales y a≠0,
la fórmula cuadrática establece que sus
soluciones están dadas por:
x b b2 4ac
2a
Resolver: 6x2 + x = 2
Primeramente debemos escribir la ecuación en
forma general:
6x2 + x - 2 = 0
Debemos identificar los coeficientes a, b y c:
a = 6
b = 1
c = - 2
Aplicar la fórmula cuadrática
aplicamos a la fórmula cuadrática.
Con a = 6, b = 1, y c = -2
)(
))((x
62
26411 2
12
4811 x
12
491x
x b b2 4ac
2a
Ejemplo-continuación
El conjunto solución de
6x2 + x - 2 = 0 es: 12
491x
2
1
3
2,12
71x
12
71x
12
6x
2
1x
12
71x
12
8x
3
2x
ó Las soluciones son
racionales.
Esto implica que la
ecuación original se pudo
haber resuelto usando la
factorización por binomios.
Resolver: x2 - 5x = 8
Primeramente debemos escribir la ecuación en
forma general:
x2 - 5x - 8 = 0
Notemos que no existen factores de -8 que
sumen -5, por lo tanto, NO factoriza como el
producto de 2 binomio lineales.
Identificar los coeficientes a, b y c:
a = 1
b = -5
c = -8
Aplicar la fórmula cuadrática
aplicamos a la fórmula cuadrática.
El conjunto solución de
la ecuación es:
Con a = 1, b = - 5, y c = - 8
)(
))(()()(x
12
81455 2
2
32255 x
2
575x
2
575
2
575,
x b b2 4ac
2a
Cuidado
Es común equivocarse con el signo de
“-b”.
Puede ser de ayuda si interpretamos “-
b” como el opuesto de b. De esta
forma:
• si b es positivo, -b será negativo
• si b es negativo, -b será positivo.
El discriminante
Llamamos discriminante al radicando de
la fórmula cuadrática
b2 - 4ac
Podemos utilizar el discriminante para
determinar cuántas soluciones tiene
una ecuación cuadrática y si éstas son
reales o no.
x b b2 4ac
2a
Discriminante
b2 - 4ac
• Si b2 - 4ac > 0, la ecuación tiene 2
soluciones reales.
• Si b2 - 4ac < 0, la ecuación NO tiene
soluciones reales.
• Si b2 - 4ac = 0, la ecuación tiene 1
solución real.
¿Cuántas soluciones reales?
Determine cuántas soluciones reales tienen las
siguientes ecuaciones cuadráticas:
2x2 - 5x + 3 = 0
Identificar los coeficientes a, b y c:
(-5)2 - 4(2)(3)
= 25-24
= 1>0 ==> tiene 2 soluciones reales
b2 - 4ac =
a=2, b= -5, c= 3,
¿Cuántas soluciones reales?
3x2 + 4x + 5 = 0
42 - 4(3)(5) =16 -60
= -44<0 --> tiene 0 soluciones reales
-9 + 6x - x2 = 0
62 - 4(-1)(-9)
= 36-36
= 0 --> tiene 1 solución real
a=3, b= 4, c= 5,
a= -1, b= 6, c= -9,
b2 - 4ac =
b2 - 4ac =
Ejercicios
Resuelva:
1) x2 - 5x + 4 = 0
2) 2y2 + 7y = 3
3) 3w2 + 4w - 3 = 0
4) 4y + 5y2 = 4
5) (x+2)2 = 10
6) 3(y-4)2 + 4 = 6
Soluciones
1) {4, 1}
2)
3)
7 73
4,7 73
4
2 13
3,2 13
3
2 2 6
5,22 6
5
{ 10 2, 10 2}
2
3 4,
2
3 4
4)
5)
6)
Ejemplos adicionales
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando c = 0
Ejemplo: Determine el conjunto solución de
3x2 = 7x
Solución: Para resolver una ecuación cuadrática, debe estar en su forma general, o sea igual a 0.
3x2 – 7x = 0
Factorizamos mediante factor común:
Ejemplo – continuación
Solución: (continuación) 3x2 – 7x = 0 x (3x – 7) = 0 Por el principio del factor cero x = 0 3x – 7 = 0
3x = 7 𝟑𝒙
𝟑=
𝟕
𝟑
𝒙 =𝟕
𝟑
El conjunto
solución
es: {0, 𝟕
𝟑}
Ejemplo
Resolver: (2x – 7)2 = 9
2x – 7 = 9
2x = 3+7
Aquí hay dos ecuaciones lineales para
resolver:
2x = 3+7
2x = 10
x = 5 El conjunto solución de la
ecuación es: {2, 5}
2x = – 3+7
2x = 4
x = 2
Ejercicios
Resuelva:
1) y2 = 7
2) 3w2 = 15
3) 5y2 = 4
4) (x + 2)2 = 10
5) 3(y - 4)2 + 4 = 6
6) 3p2 + 4p + 1 = 0
Soluciones
1)
2)
3)
4)
5)
6) {−1
3, −1}
{ 7, 7}
{ 5, 5}
}5
4,
5
4{
}102,102{
}3
24,
3
24{