Ecuaciones cuadráticas
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Profesor:
Asignatura:
Departamento:
ECUACIONES CUADRÁTICASCON UNA INCÓGNITA
ÁREA DE MATEMÁTICAS
Mtra. Judith Aguila Mendoza
MATEMÁTICAS 0 PARA NEGOCIOS
Mtra. Judith Aguila Mendoza
Ley de la tricotomia:
• Dadas dos cantidades cualesquiera a y b entre ellas puede existir únicamente una de las siguientes relaciones:
a = b a > b
a < b
Igualdades
Desigualdades
Mtra. Judith Aguila Mendoza
Igualdades
• Las igualdades son expresiones que nos permiten comparar dos cantidades y definen que estas son iguales.Ejemplo: a = b44= 2(22)8= 16/2
Mtra. Judith Aguila Mendoza
Elementos• La igualdades estan conformadas por los
siguientes elementos:Primer miembro= Segundo miembro
a) Podemos representar las igualdades mediante dos cantidades conocidas.
• Ejemplo: 4= 2(2)b) Podemos expresar una igualdad mediante cantidades desconocidas o bien conocidas y desconocidas.Por ejemplo: x= yo bien, x= 5
Mtra. Judith Aguila Mendoza
Elementos:
• Cuando las cantidades son desconocidas las denominamos incógnitas y representan la cantidad de nuestro interés en la solución del problema que estamos aplicando.Por ejemplo:El número de sillas en el salón es 25, lo expresamos:
X=25Donde x es el número de sillas
Mtra. Judith Aguila Mendoza
Clasificación:
• La igualdades pueden clasificarse en dos tipos:Identidades: Son igualdades que se cumplen para cualquier valor de la incógnitaEjemplo:
Si sustituimos x por el valor de 5, tendríamos 25-4= (7)(3)
( ) ( )2242 −+=− xxx
Mtra. Judith Aguila Mendoza
definición
Es una igualdad que se cumple para algunos valores de la incógnita
Clasificación
Lineales CuadráticasRacionales Con radical
Solución
Es el valor o los valores que hacen verdadera la igualdad
M é t o d o d e s o l u c i ó n
Aplicando la propiedad uniforme de las igualdades de manera directa
0bax =+ 0dx
cbx
a =+
++ 0cbxax2 =++ 0bxn =+
Ejemplos
Definiendo el dominio de la ecuación, para definir la solución
•Definiendo el mcd de la expresión racional•Multiplicando los dos extremos de la igualdad por el mcd, para simplificar•Resolver la ecuación, tomando en cuenta el dominio
Ejemplos
Por factorizaciónCompletando el cuadradoPor fórmula cuadrática
Ejemplos
ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
Ejemplos
Ejemplos
Mtra. Judith Aguila Mendoza
Ecuación Solución Comprobaciónx=- 5/4
X=5y
X=1
05x4 =+00
055
05454
==+−
=+
−
x45x2 =−( ) ( )
20205455 2
==−
( )44
)1(451 2
−=−−=−−
Mtra. Judith Aguila Mendoza
Ejemplo de solución de ecuación lineal
x95x2 −=−:extremo sólo un en incógnita la con términos Los
59xx2 +=+:semejantes términos los Reduciendo
14x3 =
314x
:es ecuación la de solución La
=
Mtra. Judith Aguila Mendoza
Ejemplo 2
−−−=−−
312
21
49
42
35 xxxx
−−−=
−−
31x2x
21
4912
42x
3x512
( )1x22x6276x3x20 −+−=+−
Resolviendo:
−−−=−−
31x2x6)9(3)2x(3)x5(4
Obtenemos el mínimo común denominador y multiplicamos los extremos de la ecuación por 12:
Mtra. Judith Aguila Mendoza
19 15x =
2x-25617x =+
Efectuando las operaciones indicadas:
24627617 −+−=+ xxx
6-252x17x =+:resolver Al
1519=x
Reduciendo términos semejantes
Los términos con x al primer miembro y los independientes al segundo
Mtra. Judith Aguila Mendoza
Ejemplo de solución de ecuación racional
36
45
−=
− xx
404
≠≠−
xx
Observamos, que la incógnita esta en el denominador, por lo que es necesario definir el dominio de la ecuación.
“El dominio de la ecuación es el conjunto de valores de la incógnita que tienen sentido, en el caso de ecuaciones racionales, aquellos que no hacen el denominador igual a cero”
Tomando en cuenta lo anterior tenemos:
303
≠≠−
xx
Por lo que: “El dominio de la ecuación son todos los números reales excepto el 3 y el 4”
Mtra. Judith Aguila Mendoza
Ahora buscamos el mcd.
36
45
−=
− xx
Encontramos que es (x-4) (x-3) y multiplicamos la ecuación en sus dos extremos por el:
( ) ( ) ( )( )3
6434
543−
−−=−
−−x
xxx
xx
Simplificando tenemos:
( ) ( ) ( )( )3
6434
543−
−−=−
−−x
xxx
xx
quedándonos
( ) ( )6453 −=− xx
Mtra. Judith Aguila Mendoza
246155 −=− xx
152465 +−=− xx
9−=− x
Que podemos observar se redujo a una ecuación lineal, por lo que para resolverla tenemos que colocar los términos con la incógnita en uno de los extremos de la igualdad:
Reduciendo términos semejantes:
La solución de la ecuación es:
9=x
Mtra. Judith Aguila Mendoza
:miembroprimerelosFactorizam
:igualdad lacumplir Para
( ) ( ) 016 =−+ xx
Factorizando un trinomio de la forma x2+bx+c=0
16 =−= xx
0762 =−+ xx
( ) 06x =+ ( ) 01 =−x: tantoloPor
Mtra. Judith Aguila Mendoza
Por Fórmula Cuadrática:
1c7,b6,a ===
a2ac4bbx
2 −±−=
( ) ( ) ( )( )62
16477-x
2 −±=
1257
12257-
1224497-
±−=±=
−±=
x
x
0176 2 =++ xx
Sustituyendo en la fórmula:
Realizando operaciones
Con lo que concluimos que:
61
122 −=−=x 1
1212 −=−=xy
Son los valores que solucionan la ecuación
Mtra. Judith Aguila Mendoza
Solución de ecuaciones que contienen radicales:
( ) ( )22472x +−=+ x
44x14-492x +++=+ x
4x144-x-49-2x +=+
472x +−=+ x
742 =+++ xxDespejamos un radical a cada extremo para simplificar
Elevamos al cuadrado cada miembro
Desarrollando
Dejamos el término con radical en un solo extremo