Ecuación Lineal Con n Incógnitas
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Ecuación lineal con n incógnitas ES cualquier expresión del tipo: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ... + a n x n = b , donde a i , b . Los valores a i se denominan coeficientes , b término independiente y los valores x i incógnitas . Solución de una ecuación lineal Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación. Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella: (1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4). Ecuaciones equivalentes Son aquellas que tienen la misma solución. Sistemas de ecuaciones lineales Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + ..................... +a 1n x n = b 1 a 21x1 + a 22 x 2 + ..................... +a 2n x n = b 2 .......................................................... ..... a m1 x 1 + a m2 x 2 + ..................... +a mn x n = b m x i son las incógnitas, (i = 1,2,...,n).
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Ecuación lineal con n incógnitas
ES cua lqu ie r expres ión de l t ipo : a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . . + a n x n =
b , donde a i , b . Los va lo res a i se denominan coef ic ientes , b
té rmino independiente y los va lo res x i incógnitas .
Solución de una ecuación l ineal
Cua lqu ie r con junto de n números rea les que ver i f i ca la ecuac ión se
denomina so luc ión de la ecuac ión .
Dada la ecuac ión x + y + z + t = 0 , son so luc iones de e l la :
(1 , -1 ,1 , -1 ) , ( -2 , -2 ,0 , 4 ) .
Ecuaciones equivalentes
Son aque l las que t ienen la misma so luc ión .
Sistemas de ecuaciones lineales
Es un con junto de expres iones a lgebra icas de la fo rma:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+a 2 n x n = b 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+a m n x n = b m
x i son las incógnitas, ( i = 1,2, . . . ,n) .
a i j son los coef ic ientes, ( i = 1,2, . . . ,m) ( j = 1,2, . . . ,n) .
b i son los términos independientes, ( i = 1,2, . . . ,m).
m, n ; m > n, ó, m = n, ó, m < n.
Obsérvese que e l número de ecuaciones no t iene por qué
ser igual a l número de incógnitas.
a i j y b i .
Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las
incógnitas con las letras x, y , z , t , . . .
Cuando b i = 0 para todo i , e l s istema se l lama
homogéneo.
Solución de un s istema
Es cada con junto de va lo res que sat i s face a todas las
ecuac iones .
Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que t ienen la
misma soluc ión , aunque tengan d i s t in to número de ecuac iones .
Obtenemos s i s temas equ iva lentes por el iminación de ecuaciones
dependientes. S i :
Todos los coef ic ientes son ceros.
Dos f i las son iguales.
Una f i la es proporc ional a otra.
Una f i la es combinación l ineal de otras.
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1º S i a ambos miembros de una ecuac ión de un s i s tema se les
suma o se les resta una misma expresión , e l sistema resu l tante es
equivalente .
2º S i mult ip l icamos o d iv id imos ambos miembros de las
ecuac iones de un s i s tema por un número dist into de cero , e l sistema
resu l tante es equivalente .
3º S i sumamos o restamos a una ecuación de un s i s tema ot ra
ecuac ión del mismo s istema , e l sistema resu l tante es equivalente a l
dado .
4º S in en un s istema se sust i tuye una ecuación por otra que
resulte de sumar las dos ecuaciones del s istema previamente
mult ip l icadas o d iv id idas por números no nulos, resulta otro
s istema equivalente a l pr imero.
5º S i en un s i s tema se cambia e l orden de las ecuaciones o e l
orden de las incógnitas , resu l ta o t ro sistema equivalente .
Clasificación de sistemas de ecuaciones
Atendiendo a l número de sus soluc iones
Incompatib le
No t iene so luc ión .
Compatib le
T iene so luc ión .
Compatib le determinado
So luc ión ún ica .
Compatib le indeterminado
I n f in i tas so luc iones .
Sistemas de ecuaciones escalonados
Son aquel los en que cada ecuación t iene una incógnita
menos que la anter ior .
x + y + z = 3
y + 2 z = - 1
z = - 1
S i nos vamos a la 3 a ecuac ión , tenemos que z=-1 .
Sus t i tuyendo su va lo r en la 2 a obtenemos que y = 1 .
Y sus t i tuyendo en la 1 a l os va lo res anter io res tenemos que x= 3 .
También es un s i s tema esca lonado:
x + y + z = 4
y + z = 2
Como en es te caso tenemos más incógn i tas que ecuac iones ,
tomaremos una de las incógnitas (por e jemplo la z ) y la pasaremos
a l segundo miembro.
x + y + z = 3
y = 2 - λ
Cons ideraremos z= λ , s iendo λ un parámetro que tomara
cualquier valor real .
x + y + z = 3
y = 2 - z
Las so luc iones son :
z= λ y = 2-λ x= 2 .
Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar un s istema de
ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea
escalonado.
Para fac i l i ta r e l cá lcu lo vamos a t rans formar e l s i s tema en una
matr iz , en la que pondremos los coef ic ientes de las var iables y los
términos independientes ( separados por una rec ta ) .
Ejemplos
3x +2y + z = 1
5x +3y +4z = 2
x + y - z = 1
Discusión de sistemas de ecuaciones
Discut ir un s istema es determinar si t iene soluc ión y , caso de
tener la , saber si ésta es única .
Es dec i r , determinar si es compatib le o incompatib le , y en caso
de ser compat ib le , si es determinado o indeterminado .
Discusión de sistemas por el método de Gauss
Estud ia r s i ex i s te a lgún va lo r de m, para e l cua l e l s i s tema es
compat ib le . S i es as í , reso lver de l s i s tema para ese va lo r de m.
Puedes consultar este otro método para
discutir sistemas.
Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones
Pasos a seguir:
Leer y comprender e l enunc iado .
Anotar los datos u t i l i zando: esquemas , d ibu jos , d iagramas de
árbo l . . .
E leg i r una notac ión que nos permi ta re lac ionar las d i s t in tas
var iab les .
P lantear y reso lver e l s i s tema.
Comprobar la so luc ión .
E l dueño de un bar ha comprado re f rescos , cerveza y v ino por
impor te de 500 € ( s in impuestos ) . E l va lo r de l v ino es 60 € menos que e l
de los re f rescos y de la cerveza con juntamente . Ten iendo en cuenta que
los re f rescos deben pagar un IVA de l 6%, por la cerveza de l 12% y por
E l v ino de l 30%, lo que hace que la fac tura to ta l con impuestos sea de
592 .4 € , ca lcu la r la cant idad inver t ida en cada t ipo de beb ida .
x = Impor te en € de los re f rescos . x=120 €
y = Impor te en € de la cerveza . y=160 €
z = Impor te en € de l v ino . z=220 €
Sistemas de ecuaciones I. Resumen
Ecuación lineal con n incógnitas:
Cua lqu ie r expres ión de l t ipo : a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . . +a n x n = b ,
donde a i , b . Los va lo res a i se denominan C O E F I C I E N T E S , b T É R M I N O
I N D E P E N D I E N T E y los va lo res x i I N C Ó G N I T A S .
Solución de una ecuación l ineal :
Cua lqu ie r con junto de n números rea les que ver i f i ca la ecuac ión se
denomina so luc ión de la ecuac ión .
E jemplo : Dada la ecuac ión x+y+z+t=0, son so luc ión de e l la : (1 , -1 ,1 , -1 ) ,
( -2 , -2 ,0 , 4 ) .
Ecuaciones equivalentes: Son aque l las que t ienen la misma
so luc ión .
Sistema de ecuaciones
Es un con junto de expres iones a lgebra icas de la fo rma:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+a 2 n x n = b 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+a m n x n = b m
x i son las incógnitas, ( i = 1,2, . . . ,n) .
a i j son los coef ic ientes, ( i = 1,2, . . . ,m) ( j = 1,2, . . . ,n) .
b i son los términos independientes, ( i = 1,2, . . . ,m).
m, n ; m > n, ó, m = n, ó, m < n.
Obsérvese que e l número de ecuaciones no t iene por qué
ser igual a l número de incógnitas.
a i j y b i .
Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las
incógnitas con las letras x, y , z , t , . . .
Cuando b i = 0 para todo i , e l s istema se l lama
homogéneo.
SO L U C I Ó N D E U N S I S T E M A : Es cada con junto de va lo res que
sat i s face a todas las ecuac iones .
Clasif icación de sistemas
Atend iendo a l número de sus so luc iones :
IN C O M P A T I B L E : no t iene so luc ión .
CO M P A T I B L E : t i ene so luc ión .
CO M P A T I B L E D E T E R M I N A D O : so luc ión ún ica .
CO M P A T I B L E I N D E T E R M I N A D O : i n f in i tas so luc iones .
Sistemas escalonados:
Son aquel los en que cada ecuación t iene una
incógnita menos que la anter ior .
Sistemas equivalentes
Son aque l los que t ienen la misma so luc ión , aunque
tengan d i s t in to número de ecuac iones . Obtenemos
s i s temas equ iva lentes por :
El iminación de ecuaciones dependientes. S i :
Todos los coe f i c ientes son ceros .
Dos f i l as son igua les .
Una f i l a es proporc iona l a o t ra .
Una f i l a es combinac ión l inea l de o t ras .
Transformaciones:
Se pueden rea l i za r las s igu ientes t rans formac iones :
Cambiar e l o rden de las ecuac iones de l s i s tema.
Cambiar e l o rden de las incógn i tas en la ecuac ión .
Mul t ip l i ca r los dos miembros de una ecuac ión por un número
d i s t in to de cero .
Sust i tu i r una ecuac ión de l s i s tema por una combinac ión
l inea l de e l la y de las res tantes s iempre que e l coe f i c iente
de la ecuac ión sus t i tu ida sea d i s t in to de cero .
Método de Gauss
EL M É T O D O D E GA U S S cons i s te en t rans formar un s i s tema de
ecuac iones en o t ro E Q U I V A L E N T E de fo rma que és te sea
E S C A L O N A D O . Para fac i l i ta r e l cá lcu lo vamos a t rans formar e l
s i s tema en una matr iz , en la que pondremos los coef ic ientes
de las var iables y los términos independientes ( separados
por una rec ta ) .
Discusión de sistemas I
D I S C U T I R U N S I S T E M A es determinar si t iene soluc ión y , caso
de tener la , saber si ésta es única . Es dec i r , determinar si es
compatib le o incompatib le , y en caso de ser compat ib le , si es
determinado o indeterminado .
Resolución de problemas.
Pasos a seguir:
Leer y comprender e l enunc iado .
Anotar los datos u t i l i zando: esquemas , d ibu jos , d iagramas
de árbo l . . .
E leg i r una notac ión que nos permi ta re lac ionar las d i s t in tas
var iab les .
P lantear y reso lver e l s i s tema.
Comprobar la so luc ión .
Sistemas I. Evaluación
Examen
1 Dec i r s i son verdaderas o fa l sas las s igu ientes a f i rmac iones :
1. En un s i s tema compat ib le indeterminado se puede e l im inar una
ecuac ión y obtener un s i s tema equ iva lente .
2. Un s i s tema compat ib le indeterminado es equ iva lente a un
s i s tema homogéneo .
3. Todo s i s tema compat ib le indeterminado t iene dos ecuac iones
igua les .
4. De un s i s tema incompat ib le podemos ext raer o t ro compat ib le
(no equ iva lente ) e l im inando ecuac iones .
2Clas i f i ca r y reso lver e l s igu iente s i s tema de ecuac iones :
3Reso lver e l s igu iente s i s tema de ecuac iones de ecuac iones
l inea les :
¿Es pos ib le t rans formar lo en uno compat ib le indeterminado
cambiando so lamente la te rcera ecuac ión?
4 Es tud ia r s i ex i s te a lgún va lo r de m, para e l cua l e l s i s tema es
compat ib le . S i es as í , reso lver de l s i s tema para ese va lo r de m.
5Se t ienen t res l ingotes compuestos de l s igu iente modo:
E l p r i m e r o d e 2 0 g d e o r o , 3 0 g d e p l a t a y 4 0 g d e c o b r e .
E l s e g u n d o d e 3 0 g d e o r o , 4 0 g d e p l a t a y 5 0 g d e c o b r e .
E l t e r c e r o d e 4 0 g d e o r o , 5 0 g d e p l a t a y 9 0 g d e c o b r e .
Se p ide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los
l ingotes anter io res para fo rmar un nuevo l ingote de 34 g de o ro ,
46 g de p la ta y 67 g de cobre .
Sistemas I. Evaluación
1
Dec i r s i son verdaderas o fa l sas las s igu ientes a f i rmac iones :
1. En un s i s tema compat ib le indeterminado se puede e l im inar una
ecuac ión y obtener un s i s tema equ iva lente .
Si .
Se puede e l im inar la 3ª ecuac ión , ya que es combinac ión l inea l
de las o t ras dos ecuac iones .
2. Un s i s tema compat ib le indeterminado es equ iva lente a un
s i s tema homogéneo .
No.
Los s i s temas homogéneos , por lo genera l , só lo admi ten la
so luc ión t r i v ia l : x = 0 ; y = 0 ; z = 0 . . .
M ient ras que los s i s temas compat ib les determinados admi ten
in f in i tas so luc iones .
3. Todo s i s tema compat ib le indeterminado t iene dos
ecuac iones igua les .
No.
4. De un s i s tema incompat ib le podemos ext raer o t ro
compat ib le (no equ iva lente ) e l im inando ecuac iones .
Si .
Clasi f icar y resolver e l s iguiente s istema de ecuaciones:
Sistemas
I. Evaluación
3
Reso lver e l s igu iente s i s tema de ecuac iones de ecuac iones
l inea les :
¿Es pos ib le t rans formar lo en uno compat ib le indeterminado
cambiando so lamente la te rcera ecuac ión?
S í , podemos t rans formar lo en un s i s tema compat ib le
indeterminado , con só lo hacer que la 3ª ecuac ión sea la suma de la 1ª y
2ª .
Sistemas I. Evaluación
4
Estud ia r s i ex i s te a lgún va lo r de m, para e l cua l e l s i s tema es
compat ib le . S i es as í , reso lver de l s i s tema para ese va lo r de m.
Sistemas I. Evaluación
5
Se t ienen t res l ingotes compuestos de l s igu iente modo:
E l p r i m e r o d e 2 0 g d e o r o , 3 0 g d e p l a t a y 4 0 g d e c o b r e .
E l s e g u n d o d e 3 0 g d e o r o , 4 0 g d e p l a t a y 5 0 g d e c o b r e .
E l t e r c e r o d e 4 0 g d e o r o , 5 0 g d e p l a t a y 9 0 g d e c o b r e .
Se p ide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los
l ingotes anter io res para fo rmar un nuevo l ingote de 34 g de o ro ,
46 g de p la ta y 67 g de cobre .
x = Peso de l 1 e r l i ngote .
y = Peso de l 2º l ingote .
z = Peso de l 3 e r l i ngote .
En e l 1 e r l i ngote , l a ley de l o ro es : 20 /90 = 2 /9
En e l 2º l ingote , l a ley de l o ro es : 30 /120 = 1 /4
En e l 3 e r l i ngote , l a ley de l o ro es : 40 /180 = 2 /9
La ecuac ión para e l o ro es :
En e l 1 e r l i ngote , l a ley de la p la ta es : 30 /90 = 1 /3
En e l 2º l ingote , l a ley de la p la ta es : 40 /120 = 1 /3
En e l 3 e r l i ngote , l a ley de la p la ta es : 50 /180 = 5 /18
La ecuac ión para e l p la ta es :
En e l 1 e r l i ngote , l a ley de l cobre es : 40 /90 = 4 /9
En e l 2º l ingote , l a ley de l cobre es : 50 /120 = 5 /12
En e l 3 e r l i ngote , l a ley de l cobre es : 90 /180 = 1 /2
La ecuac ión para e l cobre es :
x = 45 y = 48 z = 54
