Diseño Mecanico

Diseo Mecnico Captulo VIII: Cargas y clculo de uniones roscadas

Ing. Csar A. Quispe Gonzles, M Sc. Pgina 114

CAPTULO VIII - CARGAS Y CALCULO DE UNIONES ROSCADAS

8.1 USO DE UNIONES ROSCADAS

Las uniones roscadas son ampliamente usados en las mquinas, debido a sus ventajas: versatilidad, variedad, disponibilidad (gran comercializacin), bajo costo, fcil montaje y desmontaje, estn normalizados. Los tornillos se utilizan en la fijacin de motores, bombas hidrulicas, tramos de tuberas, tapas en tanques (manholes, handholes), bastidores de mquinas, estructuras, chumaceras, piones, poleas, tapones de tubera de calderas, etc. En la Fig. 8.1 se muestra algunas aplicaciones de los pernos. En algunos casos los tornillos y pernos tienden a ser reemplazados por otros mtodos de unin que proporcionan mayor facilidad de manufactura y ensamble.

Figura 8.1 Algunas aplicaciones de las uniones roscadas en la mecnica

Las estructuras metlicas presentan un amplio campo de utilizacin de las uniones roscadas, siempre y cuando exista la necesidad de montajes y desmontajes continuos. En caso contrario, es mejor utilizar uniones fijas. Las uniones roscadas se utilizan para unir los diferentes elementos de las estructuras, ya sea elemento a elemento o con ayuda de cartelas, rigidizadores y apoyos. Estas uniones se dan viga viga; viga pilar, empalmes y bases de pilares y postes. En la Fig. 8.2 se muestra algunos tipos de uniones atornilladas.

Figura 8.2 Algunos tipos de uniones atornilladas en estructuras metlicas.



8.2 CARGAS DE LOS PERNOS

Un perno puede soportar diferentes tipos de carga (axial, flexin, torsin y cizalladura o corte), aunque lo ms comn es que soporte slo traccin. En el ejemplo de la Fig. 8.3, los pernos se usan para fijar una chumacera al pedestal, y ste a una pared metlica. Debido al apriete de los pernos, stos estn sometidos a traccin. La forma de aplicacin de las cargas y la inexactitud de las piezas (por ejemplo, si las arandelas no quedan paralelas) podran generar flexin, aunque sta tiende a ser muy pequea en la mayora de los casos. De manera similar, la carga de torsin generada durante el apriete tiende a desaparecer durante el trabajo y, generalmente, no se tiene en cuenta.

Figura 8.3 Cargas sobre los pernos de un sistema chumacera pedestal.

El apriete de los pernos produce fuerzas normales de compresin en las superficies de las partes a unir. Dichas fuerzas normales tienen la capacidad de generar fuerzas de friccin para equilibrar algunas de las fuerzas externas. Sin embargo, dependiendo de la magnitud de las fuerzas paralelas a las superficies en contacto de las partes a unir y de las holguras en el montaje de los pernos, stos podran estar sometidos a cortante directo. Para que los pernos no queden sometidos a cortante directo, pueden usarse clavijas (pasadores). stos se encargaran de posicionar las partes a unir y de soportar las fuerzas cortantes, mientras que los pernos estaran sometidos slo a traccin.

Por otro lado, las cargas pueden ser de diferente carcter (esttica, dinmica: variable o de impacto). Entonces, en el caso ms general, un perno soporta cargas combinadas variables. Esta situacin de clculo es compleja y se analiza en el curso de Elementos de Mquinas.

Cuando se conoce la fuerza de apriete sobre el perno, el cual se obtiene mediante un clculo adecuado, puede calcularse la fuerza total sobre el perno tF ; con esta ltima y las dems cargas que actan sobre el perno (cortante, flexin y torsin), puede aplicarse una ecuacin adecuada para su diseo, de acuerdo con las teoras y ecuaciones de la resistencia de materiales y elementos de mquinas. Sin embargo, en ciertas ocasiones la fuerza de apriete sobre el perno es poco predecible, ya que una persona al apretar un tornillo con una llave convencional, podr darle un apriete grande o pequeo, dependiendo de su fuerza y criterio. Si no se conoce la fuerza inicial, no podr calcularse la fuerza total y el diseo deber ser emprico.

8.3 COMPROBACIN Y FALLAS COMUNES EN LAS UNIONES ROSCADAS

El estudio de una unin metlica cabe interpretarlo como el de una cadena en la que hay que verificar cada uno de sus eslabones o componentes (bsicas). Por ejemplo, en la unin entre una viga y un pilar, estas componentes bsicas son: resistencia a cortante de alma del pilar, resistencia a compresin del alma del pilar, resistencia a traccin del alma del pilar, resistencia a flexin de las alas de un pilar, resistencia a flexin de la chapa frontal, resistencia a compresin del ala y alma de la viga, etc.

Es obvio que la ausencia o el fallo de un eslabn o componente bsica de la cadena, invalida todo el sistema.

Se tiene que comprobar que ninguno de los elementos que conforman la unin, agota bajo las tensiones a las que se puede ver sometida la unin.

Segn la forma en que trabaje la unin, puede fallar por diferentes modos:



a) La unin podra fallar por agotamiento del material de las chapas a unir en las paredes del agujero efectuado para alojar el tornillo. La resistencia frente al aplastamiento se expresa en funcin de la tensin de rotura del acero de las chapas a unir y no de la tensin del lmite elstico, debido a la existencia inevitable de valores altos en las deformaciones locales que hacen trabajar el material a tensiones ms all del lmite elstico.

b) Tambin se tiene que comprobar frente a cortadura, que este esfuerzo se produce cuando, en el vstago, las chapas unidas tratan de deslizar una con respecto a la otra.

c) En una unin atornillada con los tornillos trabajando normalmente a su eje (por cortadura y aplastamiento) es preciso comprobar las piezas a unir cuando estn sometidas a traccin, ya que los agujeros son un debilitamiento que, si es excesivo, puede llevar a la rotura de la pieza por desgarramiento.

d) En las uniones donde existen esfuerzos de traccin en la direccin del eje del tornillo, se tiene que comprobar la resistencia del tornillo, que depende, como es lgico, de la resistencia de clculo del tornillo y de su rea.

e) Si la unin trabaja a traccin y a cortante, es necesario comprobar que no falle bajo esta solicitacin combinada.

f) En los tornillos de alta resistencia pretensados. Frente a cargas perpendiculares al eje de los tornillos la unin resiste mediante el rozamiento entre chapas favorecido por el esfuerzo de pretensado. Cuando la carga perpendicular alcanza el valor de la resistencia por rozamiento, la unin desliza hasta que el vstago del tornillo entra en contacto con las paredes del agujero. A partir de este momento, la parte de las fuerzas exteriores no absorbidas por el rozamiento debern serlo por el tornillo de alta resistencia trabajando a cortadura y aplastamiento

El fallo por rotura de una unin en que el esfuerzo sobre el tornillo ordinario o un tornillo calibrado es una fuerza normal a un eje puedes ser (Fig. 8.4):

- Por rotura a traccin de la chapa (a). - Por cortadura de la seccin del tornillo (b). - Por aplastamiento de la chapa a flexin del vstago del tornillo (c). - Por desgarro de la chapa, que se puede evitar normalmente con las disposiciones

constructivas aconsejadas (d).

Figura 8.4 Posibles fallas por rotura en los elementos de uniones roscadas

Las fallas ms comunes de las uniones roscadas estn localizadas en ciertas zonas particulares, distinguindose:

Falla por rotura del vstago a travs de la rosca o debajo de la cabeza del tornillo. Falla por aplastamiento en los filetes del tornillo y de la tuerca. Falla por corte en la cabeza del tornillo. Falla por aplastamiento en las superficies de apoyo de las placas



Debe indicarse que durante la etapa de clculo, cuando el perno o tornillo est sometido a traccin, el dimetro tomado para calcular la resistencia no es el dimetro nominal d (dimetros de cresta), por el contrario, es el dimetro de raz

rd , tal como se muestra en la Fig. 8.5.

Figura 8.5 Esquema de la geometra del perno para el clculo de resistencia.

Como la resistencia a una solicitacin es inversamente proporcional a un rea que soporta la accin de las fuerzas y bajo estas condiciones indicadas en el prrafo anterior, se definen dos tipos de reas a usar en los clculos de resistencia de uniones roscadas:

rea transversal: 2

4r

t

dA pi= (8.1)

rea lateral: l rA d Hpi= (8.2)

donde H es la longitud de rosca que soporta el esfuerzo.

A continuacin, se analizarn tres modos de ruptura que se aplican al diseo de las planchas y que dependen fuertemente del dimetro del perno.

8.4 DISEO A LA TRACCIN SIMPLE

En este caso, se puede usar el lmite de fluencia o la carga de prueba como carga admisible. Este lmite de tensin a la traccin admisible puede ser definido como:

Esfuerzo de traccin admisible para tornillos ordinarios: [ ] [ ]0.65t tadm lim = (8.3) Esfuerzo de traccin admisible para tornillos calibrados: [ ] [ ]0.80t tadm lim = (8.4)

Un ejemplo se solicitacin a la traccin se muestra en la Fig. 8.6. En esta figura, cada perno soporta 2F en traccin y el clculo de su resistencia sera:

Figura 8.6 Esquema de clculo a la solicitacin de traccin.



Considerando la primera seccin de posible falla, por rotura del vstago en la rosca (en el filete adyacente a la tuerca) o debajo de la cabeza del tornillo, los esfuerzos normales de traccin se encuentran en el eje del perno. En este caso, la condicin de resistencia debe satisfacer:

[ ] t st admp t

F kn A

(8.5)

donde [ ]t adm es la tensin a la traccin admisible y que es una propiedad del material, tF es la fuerza de traccin actuante en todo el conjunto mecnico,

sk es el coeficiente de seguridad que vara en el intervalo 1.25 1.5; pn es la cantidad de pernos que tiene la unin roscada (la carga se repartir uniformemente sobre estos pernos) y tA

es el rea transversal efectiva del vstago del perno que soporta la fuerza sobre el conjunto.

La ecuacin para las reas de esfuerzo de trabajo para los perfiles de rosca UN se define de la siguiente forma:

20.97430.7854tA d N

=

(8.6)

donde d es el dimetro nominal del tornillo y N es el paso en hilos por pulgada.

La ecuacin para las reas de esfuerzo de trabajo para los perfiles de rosca M se define de la siguiente forma:

( )20.7854 0.9382tA d p= (8.7)

siendo d el dimetro nominal del tornillo y p es el paso en milmetros.

Analizando la Fig. 8.6, sobre el tornillo y la tuerca debido a la carga axial tF , se inducen esfuerzos cortantes sobre las rosca en contacto que pueden inducir a una falla por corte a travs de la superficie cilndrica de dimetros iguales al dimetro nominal y raz de sus roscas respectivamente.

En este caso, se puede usar el lmite de fluencia o la carga de prueba como carga admisible. Este lmite de tensin al corte o cizallamiento admisible puede ser definido como:

[ ] [ ]0.45c tadm lim = (8.8)

Bajo estas consideraciones, la condicin de resistencia debe satisfacer:

[ ] t st admp c

F kn A

(8.9)

donde [ ]c adm es la tensin admisible a la solicitacin de corte, tF es la fuerza de traccin actuante en todo el conjunto mecnico, sk es el coeficiente de seguridad que vara en el intervalo 1.25 1.5;

pn es la cantidad de pernos que tiene la unin roscada (la carga se repartir uniformemente sobre estos pernos) y cA es el rea de corte con la cual el perno que soporta la fuerza sobre el conjunto. Para los filetes de las roscas del tornillo se tiene:

[ ] 2 t st admp r

F kn d H

pi

(8.10)



y para los filetes de la rosca de la tuerca:

[ ] 2 t st admp c

F kn d H

pi

(8.11)

donde r

d es el dimetro de raz, cd es el dimetro de cresta o dimetro nominal del perno y H es la altura de la tuerca.

Por otra parte, la tercera zona que corresponde a la altura de la cabeza del tornillo 'H , debe ser tal, para evitar la posibilidad de fallo por corte en ella, originada por la carga axial tF cuyo esfuerzo corresponde a la ecuacin:

[ ]'

t sc adm

p c

F kn d H

pi

(8.12)

8.5 DISEO AL ESFUERZO CORTANTE SIMPLE

El tornillo puede estar sometido a simple o doble cortadura (Fig. 8.7).

Figura 8.7 Solicitacin de un tornillo a diversos tipos de cortadura

En uniones a corte, el objetivo es aplicar una precarga al perno para generar un apriete de magnitud tal, que el roce equilibre la carga cortante. En caso que dicho pre-apriete se suelte por vibraciones, corrosin, dilataciones trmicas, etc., el perno recibe la carga en corte. Considerando la unin de las planchas, tal como se muestra en la Fig. 8.8.

Figura 8.8 Esquema de clculo para esfuerzos cortantes en uniones roscadas.

En este caso, se puede usar el lmite de fluencia o la carga de prueba como carga admisible. Este lmite de tensin al corte o cizallamiento admisible puede ser definido como:

Esfuerzo de corte o cizallamiento admisible de tornillos ordinarios:

[ ] [ ]0.45c tadm lim = (8.13)

Esfuerzo de corte o cizallamiento admisible de tornillos calibrados:



[ ] [ ]0.60c tadm lim = (8.14)

Bajo estas consideraciones, la condicin de resistencia debe satisfacer:

[ ] c sadm

p c

F kn A

(8.15)

donde [ ]c adm es la tensin admisible a la solicitacin de corte, CF es la fuerza cortante actuante en todo el conjunto mecnico,

sk es el coeficiente de seguridad que vara en el intervalo 1.25 1.5; pn es la cantidad de pernos que tiene la unin roscada (la carga se repartir uniformemente sobre estos pernos) y

cA es el rea transversal del perno que soporta la fuerza sobre el conjunto.

Ningn plano de corte debe pasar por la zona roscada del tornillo, para considerar como rea de resistencia A (rea del vstago del tornillo); pero se considera que la fuerza cortante se reparte uniformemente entre el nmero de planos de corte

cn . Por lo tanto, en este caso se usa:

[ ] c sadm

c p c

F kn n A

(8.16)

8.6 DISEO DE ESFUERZO AL APLASTAMIENTO

El esfuerzo de aplastamiento es la capacidad que tienen los elementos mecnicos para soportar con sus superficies de apoyo, los esfuerzos que comprimen estas superficies. El criterio de resistencia est definido por la tensin admisible de aplastamiento [ ]a adm y que puede definirse por el lmite de fluencia a la traccin por medio de la siguiente relacin:

Tensin de aplastamiento admisible:

[ ] [ ]0.6a tadm lim =

Adems, entre las roscas de elementos roscados en contacto existen esfuerzos normales de aplastamiento actuando en la direccin paralela al eje axial, uno en la rosca del tornillo y uno en la rosca de la tuerca o elemento que puedan hacer las veces de ella, que poseen igual magnitud.

[ ] ( )4 t s

a admp r

F p kn d d H

pi

(8.17)

As tambin, las zonas en donde el perno se apoya en las placas quedan cargadas a compresin (sobre el espesor de la placa t con tensin admisible de las placas [ ]t adm ). Utilizando el esquema anterior de dos planchas unidas con un perno, donde el dimetro del agujero es D , se tiene que:

[ ] s sa admp c p

F k F kn A n D t

= (8.18)

La falla por aplastamiento se muestra en la Fig. 8.9, en donde se aprecia una pieza denominada grillete ensayado a ruptura. El pasador roscado fall en corte y el grillete muestra aplastamiento del agujero roscado.



Figura 8.9 Falla por aplastamiento en las uniones roscadas.

8.7 CARGAS ESTATICAS DE TRACCIN AXIALES Y TRANSVERSALES

En la Fig. 8.10 se muestra una repisa bajo la accin de carga excntrica P , que tiende a hacerla girar alrededor de su borde inferior, y donde los elementos roscados no se encuentran sometidos a estados de cargas iguales. Si la carga P es tal que origina una separacin de las superficies.

Figura 8.10 Repisa fijada a una pared con cuatro tornillos sometida a carga excntrica P.

Para este caso, el sistema se equilibra con la resistencia que ofrecen las uniones empernadas al efecto de la carga P . Una suma de fuerzas en las direcciones axial y transversal no ayudara a solucionar el problema, por lo que slo se puede plantear un equilibrio mediante la suma de momentos de las fuerzas actuantes (carga excntrica y traccin de los pernos). Tomando como punto de referencia la parte inferior de la repisa, se puede construir el diagrama de fuerzas, el cual se muestra en la Fig. 8.11.

Figura 8.11 Tringulo de fuerzas para las uniones empernadas

Si la pestaa de la repisa se considera como un cuerpo rgido, entonces la elongacin de los tornillos ser proporcional a sus respectivas distancias al borde inferior. Considerando a los tornillos del mismo tamao, entonces bastara determinar el (los) que estn mayormente cargado(s) y definir el (los) estado(s) de esfuerzos en su(s) punto(s) critico(s).

De la geometra se obtiene:



1 4t taF Fb

= 2 4t tF F= 1 3t tF F=

Tomando momentos alrededor del borde inferior, alrededor del cual en el instante considerado la repisa tiende de a girar, se tiene:

( ) ( )1 3 2 41 22 2

t t t t

t t

Pe F F a F F bPe a F b F

= + + +

= +

Dejando en funcin de la carga 4tF por ser la ms cargada, se tiene:

2

4 42 2t taPe F bFb

= +

Al operar se obtiene:

4 2 2

2 2t t

PeF Fa bb

= =

+

( )1 3 2 22t tPeaF Fa b

= =

+

Podemos observar que los tornillos ms esforzados son el 2 y 4 en cuanto a traccin se refiere. Adicionalmente, cada tornillo est sometido a un corte directo por efecto de una carga cortante directa, llamada carga cortante primaria, que acta verticalmente hacia abajo sobre los tornillos, posee la misma magnitud en cada uno de ellos.

'

jp

PFn

=

donde ' jF es la carga cortante primaria en cada uno de los pernos ( )1,2,3,4j =

Por tanto, puede afirmarse con toda seguridad, que los tornillos mas esforzados y que estn sometidos al mismo estado de carga dada por: Una carga de traccin externa en la direccin x (eje longitudinal del eje del tornillo), cuya magnitud se determina por la expresin:

( )4 2 2 22t tb PeF Fa b

= =

+

Una carga cortante primaria en una direccin y (perpendicular al eje longitudinal del tornillo) cuya magnitud es:

' '

2 4 4PF F= =

Es de hacer notar que en este caso la seccin crtica no se encuentra en una zona perteneciente a las roscas, sino justo en la lnea divisoria entre la placa y la pared. La carga axial tpF produce un esfuerzo de traccin y un efecto cortante a travs de la rosca del tornillo, basada en el dimetro nominal de la rosca, y adicionalmente un esfuerzo de aplastamiento por contacto directo entre el tornillo y los elementos (placa y pared).

Por tanto, los esfuerzos representados en el elemento diferencial tendrn magnitudes dadas en forma general por:

Esfuerzo de traccin:



2

4t tt

F FA d

pi

= =

Esfuerzo cortante:

' '

24 163 3cF FA d

pi

= =

Esfuerzo de aplastamiento:

' '

a

ap a

F FA d L

= =

donde A es el rea basada en el dimetro nominal, aplA es el rea de aplastamiento entre el tornillo y el elemento a unir (rea de contacto proyectada del elemento roscado) y

aL es el espesor del elemento a unir donde se encuentra el punto crtico.

Dado que en el punto crtico del tornillo se tiene un estado biaxial de esfuerzos dado por esfuerzos de traccin, cortante y de aplastamiento, para hallar la tensin resultante puede utilizarse la ecuacin de Von Mises:

2 2 2' 3t al t ap c = + + (8.19)

Cuando un tornillo est sometido conjuntamente a esfuerzo cortante y a traccin deber verificarse adems en la espiga del tornillo, mediante la ecuacin de Hertz, dada por:

2 2' 3t c = + (8.20)

8.8 DISPOSICIONES CONSTRUCTIVAS PARA UNIONES EMPERNADAS

En la Fig. 8.12 y la Tabla 8.1 se presenta algunas de las recomendaciones a tener en cuenta durante para el diseo de las uniones empernadas.

Figura 8.12 Nomenclatura de la disposicin de tornillos



Tabla 8.1 Disposiciones constructivas para las uniones empernadas

Problema.- Determinar un dimetro adecuado para los pernos de la serie mtrica, para la junta mostrada, la cual est sometida a cargas estticas y debe ser montada y desmontada con cierta frecuencia. Calcular tambin el par de torsin de apriete. Debido a las caractersticas del diseo, asuma un factor de seguridad de 3. Suponga que las cargas se distribuyen por igual en cada perno.



Solucin.- La junta est sometida a varias fuerzas. La fuerza externa de traccin (a lo largo del eje de los pernos) es de

etF = 15 kN acta tratando de separar las partes, por lo tanto, sta es la fuerza externa total. Las otras fuerzas (de 8 kN y 14 kN), que actan paralelamente a la seccin transversal de los pernos, producen esfuerzos cortantes en stos. Entonces, los pernos estn sometidos a una combinacin de esfuerzos de traccin y esfuerzos cortante directo. Primero, se resolver el problema teniendo en cuenta la fuerza externa total y despus se calcular el factor de seguridad para los esfuerzos combinados.

La fuerza externa, eF , es igual a la relacin entre la fuerza externa total y el nmero de pernos,

entonces:

15 7.5 kN2

ett

p

FF

n= = =

Tomando como referencia un perno de alta resistencia SAE 8, se tiene que la resistencia de traccin a la fluencia es de [ ] 897MPalim = . Para los diversos modos de esfuerzos se asume lo siguiente: Esfuerzo de traccin admisible: [ ] [ ]0.6 0.6 897 538 MPa

adm lim = = =

Esfuerzo de corte admisible: [ ] [ ]0.45 0.45 828 372 MPaadm lim = = =

Luego, el clculo a traccin del perno se realiza con la expresin:

[ ] [ ]2

6

1.5 1.5 1.5

7500 3 0.003 m1.5 538 10

t s t s t s t s t sradm

l r r r r r adm

r

F k F k F k F k F kdA d L d d d

d

pi pi pi pi

pi

= = =

=

Luego, se efecta el clculo al esfuerzo cortante. Para esto, primero es necesario encontrar la fuerza cortante resultante al sumar vectorialmente la fuerza de 14 kN y la de 8 kN, y dividir por dos (nmero de pernos):

2 27000 4000 8062 NcF = + =

Luego, el clculo al esfuerzo de corte del perno se realiza con la expresin:

8 kN

8 kN

14 kN 14 kN

15 kN

15 kN

12 12

40



[ ] [ ]2

6

4 4

4 8062 3 0.0091 m372 10

c s c s c sradm

t r adm

r

F k F k F kdA d

d

pi pi

pi

=

=

Se observa que el dimetro de raz del perno que satisface la condicin es de 9 mm. Para asegurarse a los esfuerzos combinados se encuentra la fuerza total actuante sobre la unin, bajo la ecuacin:

2 2 2 27500 8062 11011 Nt cF F F= + = + =

El clculo al esfuerzo total de corte del perno ser:

[ ] 64 4 11011 3 0.0106 m

372 10c s

r

adm

F kdpi pi

= =

Para un perno de esta medida puede asumirse un paso medio de 1 mm, por lo que sumando 1.5 veces el valor del paso se obtiene el dimetro nominal del perno:

1.5 10.6 1.5 1 12.1 mmp rd d p= + = + =

Buscando un perno de medida estndar, se observa que la medida estndar es perno M12 M14.

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