DISEÑO DE BLOQUES COMPLETO AL AZAR

1.- ¿En qué situaciones se aplica el diseño en bloques completos al azar? ¿En que difieren los factores de tratamiento y de bloque?

Cuando se quieren comparar ciertos tratamientos o estudiar el efecto de un factor, es deseable que las posibles diferencias se deban principalmente al factor de interés y a no a otros factores que no se consideran en el estudio. Cuando esto no ocurre y existen otros factores que no se controlan o nulifican a la hora de hacer la comparación, las conclusiones podrían ser afectadas sensiblemente. El diseño en bloques completos al azar se aplica cuando el efecto de un tratamiento a comparar depende de otros factores que pueden influir en el resultado de experimento y que deben de tomarse en cuenta para anular su posible efecto y evitar sesgo al comparar los factores de interés. Para evitar este sesgo se deben incluir estos factores adicionales en la experimentación y probarlos con cada uno de los factores de interés de manera tal que puedan presentarse todas las combinaciones posible entre ambos para obtener resultados en la comparación que sean validos, esta forma de nulificar su efecto se llama bloqueo.

La diferencia entre los factores de tratamiento y los de bloque radica en que estos

últimos no se incluyen en el experimento de manera explícita por que interese analizar su efecto, sino como un medio para estudiar de manera adecuada y eficaz al factor de interés para no sesgar la comparación. Estos entran al estudio con un nivel de importancia secundaria con respecto al factor de interés y la inclusión de estos es un medio no un fin para lograr la comparación.

2.- ¿Qué diferencia hay entre un DBCA y los diseños en cuadro latino?

El diseño de bloque completo al azar se controla un factor de bloque y uno de tratamiento más el error aleatorio y cuadro latino dos factores de bloque y uno de tratamiento por lo que se tienen cuatro fuentes de variabilidad, incluyendo el termino error, que pueden afectar la respuesta observada.

3.-De acuerdo con el modelo estadístico para un diseño en bloques, ¿Por qué a través de este diseño se reduce el error aleatorio?

Porque en el diseño en bloques se analiza bloque a bloque y se toman en cuenta todos los factores posibles que puedan afectar de manera significativa a nuestro experimento.

4. A continuación se muestra parte del ANOVA para un diseño en bloques que tiene tres

tratamientos y cinco bloques con una sola repetición por tratamiento-bloque.

Fuente de variación

S. De cuadrados

G. De libertad

C. Medio Razón F Valor-p

TRATAMIENTO BLOQUE ERROR TOTAL

600 850 500

1950

2 4 8

14

300 212.5 62.5

4.8 3.4

a) Agregar en esta tabla los grados de libertad, el cuadrado medio y la razón F para

cada uno de las fuentes de variación.

b) Interprete en forma práctica, para cada caso, lo que está estimando el cuadrado

medio:

- El cuadrado medio interpreta una división de cada suma de cuadrados

entre sus respectivos grados de libertad.

c) Escriba el modelo estadístico y las hipótesis pertinentes.

Modelo Estadístico:

Yij= + τi + j + Єij ; {i = 1,2, …k U j=1,2,…,b}

Hipótesis

H0: 1 = 2 = 3 = … = b = 0

HA: 0 para algún bloque j

d) Apóyese en las tablas de la distribución f para aceptar o rechazar las hipótesis.

Para efecto tratamiento se rechaza la hipótesis nula (4.8 > 4.459)

Para efecto del bloque se acepta la hipótesis nula (3.4 < 3.838)

Esto quiere decir que el factor tratamiento tiene efecto significativo en la

respuesta del experimento y el efecto del bloque no es significativo.

e) Con apoyo de un software obtenga el valor-P para cada caso. Interprete sus

resultados.

Valor- P para tratamiento: 0.003 < 0.05 (Se rechaza H0)

Valor- P para bloque: 0.1014 > 0.05 (No se rechaza H0)

5. Realice el problema anterior, pero ahora suponga que no se bloqueó ¿se hubiesen

obtenido las mismas conclusiones? Argumente.

- Las conclusiones serian idénticas, ya que el resultado del bloque no tiene un efecto

significativo en la respuesta y sin bloque, toda la variación se iría al término error.

6. Aunque en el análisis de varianza para un diseño en bloques completos al azar también se puede probar la hipótesis sobre si hay diferencia entre los bloques, se dice que esta hipótesis se debe ver con ciertas reservas. Explique por qué.

La hipótesis que se plantea: H0: 1 = 2 = 3 =… = b = 0 HA: 0 para algún bloque j

Esta no es una prueba F exacta, sino aproximada, debido a la restricción de aleatorización (sólo se aleatoriza dentro del bloque). En la práctica se recomienda su interpretación porque es evidencia a favor o en contra de que valió la pena el esfuerzo de controlar el factor de bloque. Si resulta significativa implica que el factor de bloques tiene influencia sobre la variable de respuesta, y debe ser tomado en cuenta para mejorar la calidad de ésta. Pero, si no se rechaza y se acepta que los bloques son iguales en respuesta media, entonces se tiene el argumento a favor de no controlar este factor en futuros experimentos sobre esta misma respuesta, además de que su influencia en la calidad de la respuesta no es significativa.

La restricción de aleatorización se debe al hecho de que no se aleatoriza el orden

de las corridas experimentales en relación a los bloques. El experimento supone que sólo se aleatoriza el orden de las corridas dentro de cada bloque, lo cual evita sesgos en la comparación de los tratamientos, pero no los impide en la comparación de los bloques.

7. Explique por qué se utiliza el adjetivo azar en el nombre del diseño en bloques completos al azar.

Primeramente la palabra completo en el nombre del diseño se debe a que en cada bloque se prueban todos los tratamientos, o sea, los bloques están completos. La aleatorización se hace dentro de cada bloque; por lo tanto, no se realiza de manera total como en el diseño completamente al azar. El hecho de que existan bloques hace que no sea práctico o que incluso sea imposible aleatorizar en su totalidad. 8.- Una compañía farmacéutica realizo un experimento para estudiar los tiempos promedios (en días) necesarios para que una persona se recupere de los efectos y complicaciones que siguen a un resfriado común. En este experimento se hizo una comparación de distintas dosis diarias de vitamina C. para hacer el experimento se contacto a un número determinado de personas, que en cuanto les daba el resfriado empezaban a recibir algún tipo de dosis. Si la edad de las personas es una posible fuente de variabilidad, explique con detalle como aplicaría la idea de bloqueo para controlar tal fuente de variabilidad.

Si fuera un número grande de personas se podrían acomodar en subgrupos o en rangos para distribuir las diferentes edades se probarían las distintas dosis en las diferentes edades.

9.-A continuación se muestran los datos para un diseño en bloques al azar.

Bloques total por tratamiento Tratamiento 1 2 3 4

A 3 4 2 6 Y1=15

B 7 9 3 10 Y2=29

C 4 6 3 7 Y3=20

Total por bloque= Y1=14 Y2=19 Y3=8 Y1=23 Total global=64

a) Completes las sumas totales que se piden en la tabla anterior

b) Calcule las sumas de cuadrados correspondientes SCTRAT, SCB, SC T Y SCE.

SCTRAT=

-

SCB=

-

= 42

SC T =

-

=72.66

SCE=72.66 - – 42 = 5.5

c) Obtenga la tabla de análisis de varianza y anote las principales conclusiones.

Fuente de variación

GL SC MC F P

Tratamientos 2 25.1667 12.5833 13.73 0.006

Bloques 3 42.0000 14 15.27 0.003

Error 6 5.50 0.9167

total 11 72.6667

De acuerdo al ANOVA anterior se observa que para los tratamientos se obtuvo un valor-p =0.006 < 0.05, por lo que se rechaza la hipótesis nula de que las media de los tratamientos son iguales entre si, en cuanto al factor de bloques se puede concluir que su valor-p =0.003 < 0.05, lo que nos dice que existen diferencias entre estos.

d) Obtenga la diferencia mínima significativa (LSD) para comparar tratamientos en

este diseño en bloques.

LSD= ( )( ) √

LSD= √ ( )

LSD=2.44 √ ( )

= 1.65

Diferencia poblacional Diferencia muestral Decision

|-3.5|>1.65 significativa

|-1.25|<1.65 No significativa

|2.25|>1.65 significativa

Por lo que se concluye que el tratamiento A es diferente del B y el B del C.

11.- En una empresa lechera se tienen varios silos para almacenar leche (cisternas de

60,000 L). Un aspecto crítico para que se conserve la leche es la temperatura de

almacenamiento. Se sospecha que en algunos silos hay problemas, por ello, durante

cinco días se decide registrar la temperatura a cierta hora critica. Obviamente la

temperatura de un día a otro es una fuente de variabilidad que podría impactar la

variabilidad total.

Día

Silo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

A 4.0 4.0 5.0 0.5 3.0

B 5.0 6.0 2.0 4.0 4.0

C 4.5 4.0 3.5 2.0 3.0

D 2.5 4.0 6.5 4.5 4.0

E 4.0 4.0 3.5 2.0 4.0

a) En este problema, ¿Cuál es el factor de tratamiento y cual el factor de bloque? El factor de tratamiento son los silos y el factor de bloque los días.

b) Suponga un DBCA, formule las hipótesis adecuadas y el modelo estadístico Modelo estadístico:

Yij = μ + τ1 + γj + εij; {

}

Donde Yij en la medición que corresponde al tratamiento i y al bloque de j, μ es la

media global poblacional, τ1 es el efecto debido al tratamiento i, γ es el efecto debido

al bloque j y εij en el error aleatorio.

Hipótesis: H0: μ1 = μ2 = μ3 =… = μk = μ HA: μ1 ≠ μj para algún i ≠ j Que también se puede expresar como: H0: τ1 = τ2 = τ3 =…= τk = 0 HA: τ1 ≠ 0 para algún i En cualquiera de estas hipótesis la afirmación a probar es que la respuesta

media poblacional lograda con cada tratamiento es la misma para los k tratamientos y que, por lo tanto, cada respuesta media μ1 es igual a la media global poblacional, μ.

c) ¿Hay diferencia entre los silos?

Fuente de variabilidad

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado Medio

F0 Valor-P

Tratamientos 4.46 4 1.115 0.69 0.246

Bloques 9.76 4 2.44 1.51 0.609

Error 25.84 16 1.615

Total 40.06 24

Aquí podemos observar que el valor-p de los silos es mayor que el valor de

significancia, es decir, que el valor-p de los silos es 0.246 y el nivel de significancia es 0.05 y por lo tanto es mayor, lo que significa que estadísticamente son iguales.

d) ¿La temperatura de un día a otro es diferente?

Por medio del problema anterior podemos observar que la temperatura es igual porque el valor-p de los bloques es 0.609 y el nivel de significancia es 0.05 así que se muestra que el valor-p del bloque es mayor que la significancia y por lo tanto las temperaturas son iguales.

e) Revise residuos, ¿hay algún problema evidente?

En el recuadro de la grafica de probabilidad normal nos muestra que el supuesto de normalidad se cumple porque los residuos o puntos estas más o menos cerca de la línea recta.

Por mientras que en el recuadro vs ajuste también se cumple el supuesto de varianza porque los residuos se ubican aleatoriamente dentro de una banda horizontal.

12.- Se diseño un experimento para estudiar el rendimiento de cuatro detergentes. Las

siguientes lecturas de “blancura” se obtuvieron con un equipo especial diseñado para 12

cargas de lavado, distribuidas en tres modelos de lavadoras:

Detergente Lavadora 1 Lavadora2 Lavadora3

A 45 43 51

B 47 44 52

C 50 49 57

D 42 37 49

a) Señale el nombre del diseño experimental utilizado.

Diseño por bloques

b) Formule la hipótesis que se quiere probar en este problema.

c) Realice el análisis estadístico más apropiado para estos datos y obtenga

conclusiones.

k =4 b= 3 N= 12

Fuente de variabilidad

Suma de cuadrados

Grado de libertad Cuadro medio F0

Método 133.67 3 44.55 34.26

lavadora 170.17 2 85.08 65.45

Error 7.82 6 1.36

Total 311.66 11

SCT=452 + 472 + …492 = 27008-5662 / 12 = 311.66

SCTrat = 1392 + 1432 + 1562 + 1282 / 3 -5662 / 12 = 133.67

SCB = 1842 + 1732 + 2092 / 4 - 5662 / 12 = 170.17

SCE = 311.66 – 133.67 – 170.17 = 7.82

El valor-p que arroja minitab nos dice que se rechazan ambas H0, por lo tanto las medias de los diferentes tratamientos son significativamente diferentes de la media poblacional y, para el factor de bloqueo quiere decir que influye en la respuesta del experimento.

13.- Con respecto al problema anterior:

a) Conteste los tres incisos del problema anterior sin tomar en cuenta el efecto de las

lavadoras y obtenga conclusiones.

1. Completamente al azar.

3.

A B C D

45 47 50 42

43 44 49 37

51 52 57 49

139 143 156 128

Detergente Lavadora 1 Lavadora2 Lavadora3

A 45 43 51

B 47 44 52

C 50 49 57

D 42 37 49

Y1:139

Y2:143

Y3:156

Y4:128

566 Y1:184 Y2:173 Y3:209

T =566

Fuente de

variabilidad

Suma de cuadrados

Grado de libertad Cuadro medio F0

método 133.66 3 44.5 0.75

lavadora 311.66 8 38.95

error 178 11

SCTrat = 1392 + 1432 + 1562 + 1282 /3 - 5662 /12 = 133.66

SCT = 452 + 472 + 502 + … 492 - 5662 / 12 = 311.66

SCE = 133.66 – 311.66 = 178

b) ¿Hay diferencias en las conclusiones anteriores y las del problema anterior?

Explique su respuesta.

Si hay diferencias, debido a que en las conclusiones anteriores las medias de los diferentes tratamientos son diferentes de la media poblacional, y en este caso del diseño completamente al azar, se acepta la H0 que las medias de los tratamientos son iguales a la media poblacional.

c) ¿Con cuales conclusiones se queda? Explique su respuesta.

Con las primeras que se obtuvieron en el diseño de bloques completo al azar porque el factor de bloqueo que consideramos tiene influencia en la respuesta.

14. Una de las variables críticas en el proceso de ensamble del brazo lector de un disco

duro es el ángulo que este forma con el cuerpo principal de la cabeza lectora. Se corre

un experimento con el objetivo de comparar dos equipos que miden dicho ángulo en

dichos radianes. Se decide utilizar como factor de bloque a los operadores de los

equipos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

operador

Equipo

1 2

1 1.328, 0.985, 1.316, 1.553, 1.310 1.113, 1.057, 1.144, 1,144, 1.386

1.273, 0.985, 1.134, 1.412, 0.917 0.789, 0.671, 0.554, 1.386, 1.289

2 1.269, 1.268, 1.091, 1.195, 1.380 1.093, 0.984, 1.087, 1.482, 1.442

1.036, 0.783, 1.108, 1.129, 1.132 0.201, 0.900, 0.916, 1.434, 1.223

3 1.440, 1.079, 1.389, 1,611, 1.445 1.150, 1.190, 1.247, 1.617, 1.574

1.454, 1.063, 1.219, 1.602, 1.583 1.018, 1.050, 0.997, 1.538, 1.478

Equipo Operador

1 2 3

1 2

1.2677 1.0410

1.2291 0.9862

1.3742 1.3002

Total 2.3087 2.2153 2.6744

Y1 = 3.871; Y2= 3.3274; Y.. = 7.1984

SC = (1.26772 + 1.0412 + 1.22912 + 0.98622 + 1.37422 + 1.30022) = 8.75296722

SCT= 8.75296722 – ( )

= 0.116807

SCTRAT = ( ) ( )

-

( )

= 0.04925

SCB = ( )

-( )

= 0.058872

SCE = 0.116807 - 0.04925 - 0.058872 = 0.008684

F. V. S. C. G. L. C. M. F. P

EQUIPO 0.04925 1 0.04925 11.34 0.078

OPERADOR 0.058872 2 0.029436 6.78 0.129

ERROR 0.008684 2 0.004342

TOTAL 0.116807 5 Congruente con valores MINITAB:

Modelo lineal general: Respuesta vs. Equipo, Operador Factor Tipo Niveles Valores

Equipo fijo 2 1, 2

Operador fijo 3 1, 2, 3

Análisis de varianza para Respuesta, utilizando SC ajustada para pruebas

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P

Equipo 1 0.049250 0.049250 0.049250 11.34 0.078

Operador 2 0.058872 0.058872 0.029436 6.78 0.129

Error 2 0.008684 0.008684 0.004342

Total 5 0.116807

a) Plantee el modelo y las hipótesis más adecuadas al problema.

Modelo Estadístico:

Yij= + τi + j + Єij ; {i = 1,2, …k U j=1,2,…,b}

Hipótesis

Para tratamiento

H0: = =

HA: ≠ i≠j

Para bloque

H0: 1 = 2 = 3 = b = 0

HA: 0 para algún bloque j

b) ¿Existen diferencias entre los equipos? Argumente estadísticamente.

No existen diferencias ya que el valor –p en tratamiento equipo es de 0.078 (mayor que

0.05 de ) por lo tanto se acepta la Ho, los dos equipos son estadísticamente iguales.

c) ¿Existen diferencias entre los operadores?

No existen diferencias entre el factor de bloque operadores, valor-p 0.129 > 0.05, son

estadísticamente iguales.

d) Dibuje los diagramas de cajas simultáneos y las gráficas de medias para ambos factores,

después interprételas.

Otra prueba para comprobar la hipótesis nula es con estas gráficas, se puede apreciar el

traslape en ambas, lo cual induce a decir que, en efecto, no hay diferencia significativa.

e) Verifique los supuestos de normalidad e igualdad de varianza entre tratamientos, así como

la posible presencia de puntos aberrantes.

La normalidad en los datos es uniforme y la varianza es constante, la calidad del ajuste es

satisfactorio porque no hay puntos aberrantes, además los coeficientes de determinación:

R-cuad. = 92.57% R-cuad.(ajustado) = 81.41%

10. Se hace un estudio sobre la efectividad de tres marcas de atomizador para matar moscas.

Para ello, cada producto se aplica a un grupo de 100 moscas, y se cuenta el número de moscas

muertas expresado en porcentajes. Se hicieron seis replicas, pero en días diferentes; por ello, se

sospecha que puede haber algún efecto importante debido a esta fuente de variación. Los datos

obtenidos se muestran a continuación:

Número de replica (día)

Marca de atomizador

1 2 3 4 5 6

1 2 3

72 55 64

65 59 74

67 68 61

75 70 58

62 53 51

73 50 69

SCT= 722+552+642+652+592+742+672+682+612+752+702+582+622+532+512+732+502+692 -11462/18=

= 74054 – 72962= 1092

SCTRAT= 4142+3552+3772/6 - 72962=

= 296.333

SCB = 1912+1982+1962+2032+1662+1922 / 3 - 72962=

= 281.333

SCE= SCT – SCTRAT – SCB=

1092- 296.333 – 281.333=

= 514.3337

FUENTE DE VARIABILIDAD

SUMA DE CUADRADOS

GRADOS DE LIBERTAD

CUADRADO MEDIO

F0 VALOR-P

METODOS 296.33 2 148.1665 2.880

OPERADORES 281.33 5 56.266 1.0939

ERROR 514.3337 10 51.433337

TOTAL 1092 17

a) Suponiendo un DBCA, formule las hipótesis adecuadas y el modelo estadístico.

1. H0: β1 = β2 = βt

HA: Al menos el efecto de un bloque es diferente de los demás.

2. H0:Ʈ1 =Ʈ2= Ʈt

HA: Al menos el efecto de un tratamiento es diferente de los demás.

b) ¿Existe diferencia entre la efectividad promedio de los atomizadores?

No

c) ¿Hay algún atomizador mejor? Argumente su respuesta.

Por muy poca significancia es mejor el numero 1, pero este no varia en la efectividad para con

los otros 2 atomizadores.

d) ¿Hay diferencias significativas en los resultados de diferentes días en que se realizo el

experimento? Argumente su respuesta.

No, ya que cada atomizador tuvo un porcentaje de moscas muertas muy parecido entre los

seis días q se utilizaron las replicas.

20.-cuando se comparan varios fertilizantes o diferentes variedades de cierto cultivo, es

típico que se deba considerar el gradiente de fertilidad del suelo (factor columna) o los

efectos residuales de cultivos previos (factor renglón). Considerando estos factores de

bloque, Gómez y Gómez (1984) plantean un experimento en cuadro latino para

comparar, en cuanto al rendimiento en toneladas por hectárea, tres variedades de maíz

híbrido (A, B, C) y una variedad control (C). Para ello se utiliza, un campo agrícola

cuadrado de 16 hectáreas, dividido en parcelas de una hectárea. Los datos de

rendimiento obtenido se muestran en una tabla a continuación:

Ren/ Col 1 2 3 4

1 1.640 (B) 1.210 (D) 1.425 (C) 1.345 (A)

2 1.475 (C) 1.185 (A) 1.400 (D) 1.290 (B)

3 1.670 (A) 0.710 (C) 1.665 (B) 1.180 (D)

4 1.565 (D) 1.290 (B) 1.655 (A) 0.660 (C)

Tabla ANOVA

a) ¿Existen diferencias entre los rendimientos de las diferentes variedades de maíz?

Debido a que le Valor-p es menos que la significancia observada para el modelo

0.025< 0.05 se afirma que si existen diferencias entre los tratamientos.

b) ¿Cuál de los factores de bloque tuvo efecto?

El gradiente de fertilidad del suelo.

c) ¿Se habrían detectado las mismas diferencias entre los tratamientos con un diseño

completamente al azar?

No, porque en este tipo de diseño en cuadro latino se controlan dos factores de

bloqueo y se tienen cuatro fuentes de variabilidad para el modelo que pueden afectar la

respuesta observada.

d) ¿Y con un diseño en bloque completos al azar?

No, ya que no contempla la posibilidad de comparar más de 1 factor.

Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

F0 Valor -p

Tratamientos 0.82734 3 0.27578 12.77 0.005

Renglón 0.03015 3 0.01005 0.47 0.717

Columna 0.042684 3 0.14228 6.59 0.025

Error 0.12958 6 0.02160

Total 1.41392 15